第一篇：向量法在立體幾何中的運用

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向量法在立體幾何中的運用

作者：何代芬

來源：《中學(xué)生導(dǎo)報·教學(xué)研究》2013年第27期

摘 要：在近幾年的高考中利用向量的模和夾角公式求立體幾何中的線段長和兩直線的夾角已多次出現(xiàn)，隨著新一輪課改的推進(jìn)，直線的方向向量和平面的法向量在解決立體幾何問題中的應(yīng)用必將成為高考命題的一個新的熱點.直線的方向向量和平面的法向量在解決立體幾何的“點線距離”，“點面距離”，“線面夾角”，“面面成角”以及“兩異面直線間的距離”這五種題型中的應(yīng)用，涉及的題目用傳統(tǒng)立體幾何法求解有一定的難度，而空間向量的介入使得問題迎刃而解.從中充分展現(xiàn)了向量法的獨到之處和強大威力.關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；立體幾何；向量法

向量的引入為數(shù)形結(jié)合思想注入了新鮮血液，為其開辟了更為廣闊的天地。特別是將空間向量知識應(yīng)用在立體幾何題目中，更是一改立體幾何題目以前單一的傳統(tǒng)幾何法，給我們以耳目一新的感覺.下面通過一個題的不同問題，領(lǐng)會空間向量中”直線的方向向量”和“平面的法向量”在解立體幾何題目中的獨到應(yīng)用。

例題1 長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=6，AA1=4，M是 A1C1的中點，P在線段BC上，且CP=2，Q是DD1的中點。

一、求點線距離

第二篇：淺談用向量法證明立體幾何中的幾個定理

淺談用向量法證明立體幾何中的幾個定理

15號

海南華僑中學(xué)（570206）王亞順

摘要：向量是既有代數(shù)運算又有幾何特征的工具，在高中數(shù)學(xué)的解題中起著很重要的作用。在立體幾何中像直線與平面平行的判定，平面與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定等定理都沒有給出證明，而用向量法很容易證明這些定理。

關(guān)鍵詞：向量法直線平面平行垂直立體幾何

在高中階段我們學(xué)習(xí)了平面向量與空間向量的基本知識，而向量本身既可以進(jìn)行代數(shù)運算又含有幾何特征，這是很典型的知識，促使其在代數(shù)或幾何方面都可以得到很好的應(yīng)用，因此，在解題方面我們運用向量知識及本身含有的運算去解決問題的方法，我們稱為向量法。即向量法既能解決代數(shù)問題也能解決幾何問題。

立體幾何是我們高中學(xué)習(xí)的一個難點，關(guān)鍵在于其抽象性及理解定理的基礎(chǔ)上靈活運用，抽象性在此就不多言了，我們來談下定理的問題。在高中人教A版的第二章《點、直線、平面之間的位置關(guān)系》中，對于直線與平面平行的判定，平面與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定等定理都沒有給出證明，課本中只是探究說明，讓學(xué)生體會而得到。如果能給出證明，就能夠很好地體現(xiàn)定理的嚴(yán)密性，在此可以用向量法來證明。

下面我們就用向量法證明這些定理，先介紹一些向量知識及相關(guān)

定理。

定義1??兩個向量?與?的長度與他們之間的夾角的余弦的乘積

?????????稱為?與?的數(shù)量積。記為?????cos?。特別地，若非零向量?與

???????【1】 ?垂直，即???，則????0

定義2 ????空間任意兩個向量?與?的向量積是一個向量，記為???

?????????。它的模為?????sin?，其中?為向量?與?之間的（或???,??）??????夾角，它的方向與?和?都垂直，并且按向量?、?、???這個順序

構(gòu)成右手坐標(biāo)系【2】。如圖

1圖1

【3】定理1兩個向量?與?共線的充分必要條件是????0。?????

定義3????給定空間的三個向量?、?、?，如果先做前兩個向量?????與?的向量積???，再做所得向量與第三個向量?的數(shù)量積，最后得

?????【4】 到的這個數(shù)叫做三個向量的混合積。記作???,?或者?,?,?。?????

定理2輪換混合積的三個因子，并不改變的它的值，對調(diào)任何兩個因子要改變混合積的符號，即

???????????????????【5】 ?,?,???,?,???,?,????,?,????,?,????,?,?。???????????

下面我們用以上的向量知識證明立體幾何的幾個定理。

直線與平面平行的判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

已知：如圖2，a??,b??,且a?b,證明：a??。

圖2圖

3???分析：在平面?內(nèi)找到一直線c，證明a,b?c?0即可。??

證明：如圖3，在平面?內(nèi)的直線b上取一點o，過o點作一直

??線c與直線b交于o點；設(shè)直線a、b、c上分別有非零向量a、b、?c。

??????a?b?a與b共線即a?b?0.?????????

根據(jù)定理2，有a,b?c?c,a?b?0，即a與b?c垂直。????

?直線a與平面?的垂線垂直，又直線a在平面?外，?a??。證畢

平面與平面平行的判定定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一平面平行，則這兩個平面平行。

已知：如圖4，a??,b??,a?b?P,a??,b??,證明：???。

圖4圖

5分析：證明平面?內(nèi)任一條直線都平面?平行即可。

證明：如圖5，設(shè)直線m為平面?內(nèi)任一條直線，在平面?內(nèi)取兩條相交直線c與d，又設(shè)直線a、b、c、d、m上分別有非零向

???????量a、b、c、d、m。由于a、b是平面內(nèi)兩條不共線的向量，則

???由平面向量基本定理可知，m??a??b。

?a??,b?????????a,c?d?b,c?d?0 ????

??????????????m,c?d??a??b,c?d??a,c?d??b,c?d?0 ????????

即直線m與平面?平行，又直線m為平面?內(nèi)任一條直線。

????。證畢

直線與平面垂直的判定定理一條直線與一平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

已知：如圖6，l

證明：l??。

?a,l?b,a??,b??,a?b?P

分析：由線面垂直定義，直線l垂直于平面?內(nèi)任一條直線。證明：如圖7，設(shè)直線c為平面?內(nèi)任一條直線，又設(shè)直線a、b、??????c、l上分別有非零向量a、b、c、l。由于a與b是平面內(nèi)兩個不

???共線的向量，由平面向量基本定理，有c??1a??2b。

?????l?a,l?b?a?l?b?l?0

??????????c?l??1a??2b?l??1a?l??2b?l?0 ??

???c?l即直線l與直線c垂直，又直線c為平面?內(nèi)任一條

直線，由線面垂直定義可知l??。證畢

用向量法證明立體幾何中的直線與平面平行的判定、平面與平面平行的判定、直線與平面垂直的判定等定理，解題思路清晰、過程簡潔。對立體幾何的常見問題都可以起到化繁為簡，化難為易的效果，體現(xiàn)了向量法解決幾何問題的優(yōu)越性。向量作為一種工具，在一定程度上可以使空間的幾何學(xué)代數(shù)化，數(shù)量化，可以為學(xué)生提供全新的視角，使學(xué)生形成一種新的思維方式。

參考文獻(xiàn)：

【1】 王仁發(fā)，編著，《代數(shù)與解析幾何》東北師范大學(xué)出

版社，1999年9月，107；

【2】 王仁發(fā)，編著，《代數(shù)與解析幾何》東北師范大學(xué)出

版社，1999年9月，110；

【3】 王仁發(fā)，編著，《代數(shù)與解析幾何》東北師范大學(xué)出

版社，1999年9月，110；

【4】 王仁發(fā)，編著，《代數(shù)與解析幾何》東北師范大學(xué)出

版社，1999年9月，116；

【5】

王仁發(fā)，編著，《代數(shù)與解析幾何》東北師范大學(xué)出

版社，1999年9月，117；

第三篇：法向量在立體幾何解題中的應(yīng)用

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法向量在立體幾何解題中的應(yīng)用

作者：魏慶鼎

來源：《理科考試研究·高中》2013年第08期

高中數(shù)學(xué)教材引進(jìn)了向量知識以后，為我們解決數(shù)學(xué)問題提供了一套全新的方法——向量法.向量法在解決求立幾中的角和距離兩大問題中，是行之有效的方法，它解決了以前舊版教材立幾中的這兩個難點.在舊版教材中，運用幾何法解決這兩類問題，要通過“作”、“證”、“求”，既要有較強的空間想象能力，又要求學(xué)生對空間中，線、面之間的判定、性質(zhì)等定理非常熟悉并能熟練應(yīng)用，對學(xué)生，特別是中下水平的學(xué)生是一大難點.而現(xiàn)在向量法則很好解決了這個難點，所以它對人們研究立幾問題有著普及的意義.同時向量法對立幾中的線面平行和線面垂直、面面垂直和面面平行等位置關(guān)系的證明，也非常簡便.空間向量的引入使立體幾何的解題變得直觀、易懂.而“法向量”的靈活應(yīng)用，給解決空間問題提供了一個很方便、實用的工具，會使我們在高考中快捷地解決立體幾何問題.以下是本人在教學(xué)過程中總結(jié)出來的關(guān)于“法向量”在立體幾何中的一些應(yīng)用.現(xiàn)把教學(xué)中得到的這些方法進(jìn)行歸類，供同行參考.4.用法向量求二面角平面角的大小

求二面角的平面角的大小可先求出兩個平面的法向量；則兩法向量的夾角與二面角的平面角相等或互補.此時，觀察二面角的平面角為銳角還是鈍角，視情況而定.（注：在證明面面平行或面面垂直時，也可采用此法.如兩面的法向量共線，即兩平面平行；如兩平面的法向量垂直，即兩平面垂直）從以上的一些例題中，我們不難看出“法向量”這一特殊工具在立體幾何的解題中的優(yōu)越性.但在具體做題中，我們還應(yīng)對不同的題型選擇更便捷的方法去做，視自己對知識掌握的情況而定.

第四篇：空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

【利用空間向量證明平行、垂直問題】

例.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB于點F。

（1）證明：PA//平面EDB；（2）證明：PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小。

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點。設(shè)DC=a。

（1）證明：連接AC，AC交BD于G，連接EG。依題意得。

∵底面ABCD是正方形?！郍是此正方形的中心，故點G的坐標(biāo)為，∴則而，∴PA//平面EDB。

（2）依題意得B（a，a，0），∴PB⊥DE由已知EF⊥PB，且

（3）解析：設(shè)點F的坐標(biāo)為又，故，所以PB⊥平面EFD。，則

從而所以

由條件EF⊥PB知，即，解得

∴點F的坐標(biāo)為，且∴

即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角。

∵，且

∴∴∠EFD=60°所以，二面角C—PB—D的大小為60°。

點評：（1）證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量．

（2）證明線面平行的方法：①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；②證明能夠在平面內(nèi)找到一個向量與已知直線的方向向量共線；③利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線向量是共面向量．

（3）證明面面平行的方法：①轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行處理；②證明這兩個平面的法向量是共線向量．（4）證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量互相垂直．

（5）證明線面垂直的方法：①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量；②證明直線與平面內(nèi)的兩個不共線的向量互相垂直．

（6）證明面面垂直的方法：①轉(zhuǎn)化為線線垂直、線面垂直處理；②證明兩個平面的法向量互相垂直．【用空間向量求空間角】例.正方形ABCD—

中，E、F分別是，的中點，求：

（1）異面直線AE與CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。

解析：不妨設(shè)正方體棱長為2，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則 A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，2），F(xiàn)（1，1，2）（1）由，得

又，∴，即所求值為。

（2）∵

∴

∴，過C作CM⊥AE于M，則二面角C—AE—F的大小等于，∵M(jìn)在AE上，∴設(shè)則，∵

∴

又∴

∴二面角C—AE—F的余弦值的大小為點評：（1）兩條異面直線所成的角（2）直線與平面所成的角

求得，即

求得，即。

或

可以借助這兩條直線的方向向量的夾角

主要可以通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角

（3）二面角的大小可以通過該二面角的兩個面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量的夾角或其補角?！居每臻g向量求距離】例.長方體ABCD—求：

（1）異面直線AM與PQ所成角的余弦值；（2）M到直線PQ的距離；（3）M到平面AB1P的距離。解析：（1）方法一：

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系B—xyz，則A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q（4，6，2），∴，中，AB=4，AD=6，M是A1C1的中點，P在線段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中點，故異面直線AM與PQ所成角的余弦值為

方法二：，∴

故異面直線AM與PQ所成角的余弦值為

（2）∵，∴上的射影的模

故M到PQ的距離為（3）設(shè)

是平面的某一法向量，則，∵因此可取，由于

∴，那么點M到平面的距離為，故M到平面的距離為。

點評：本題用純幾何方法求解有一定難度，因此考慮建立空間直角坐標(biāo)系，運用向量坐標(biāo)法來解決。利用向量的模和夾角求空間的線段長和兩直線的夾角，在新高考試題中已多次出現(xiàn)，但是利用向量的數(shù)量積來求空間的線與線之間的夾角和距離，線與面、面與面之間所成的角和距離還涉及不深，隨著新教材的推廣使用，這一系列問題必將成為高考命題的一個新的熱點?，F(xiàn)列出幾類問題的解決方法，供大家參考。

（1）平面的法向量的求法：設(shè)聯(lián)立后取其一組解。，利用n與平面內(nèi)的兩個向量a，b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個三元一次方程，（2）線面角的求法：設(shè)n是平面的法向量，是直線l的方向向量，則直線l與平面所成角的正弦值為。

（3）二面角的求法：①AB，CD分別是二面角的兩個面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小為。

②設(shè)或其補角。

分別是二面角的兩個平面的法向量，則就是二面角的平面角

（4）異面直線間距離的求法：

是兩條異面直線，n是的公垂線段AB的方向向量，又C、D分別是

上的任意

兩點，則。

（5）點面距離的求法：設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，則點B到平面的距離為。

（6）線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距離再用（5）中方法求解。

第五篇：向量方法在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用

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向量方法在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用

作者：王龍生

摘 要： 在江蘇省對口單招數(shù)學(xué)試卷中，立體幾何這一章的知識點每年都作為重點考查的內(nèi)容.每年我?？忌诹Ⅲw幾何解答題上的得分情況都不太理想.向量是基本的數(shù)學(xué)概念之一，是溝通代數(shù)與幾何的工具之一，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.根據(jù)向量的數(shù)形特性，可以將幾何圖形數(shù)量化，從而通過運算解決立體幾何中的平行、垂直等問題，能避免構(gòu)圖和推理的復(fù)雜過程，有利于降低解題難度.關(guān)鍵詞： 向量 立體幾何教學(xué) 數(shù)形結(jié)合在江蘇省對口單招數(shù)學(xué)試卷中，立體幾何這一章的知識點每年都是重點考查的內(nèi)容.每年我?？忌诹Ⅲw幾何解答題上的得分情況都不太理想.向量是基本的數(shù)學(xué)概念之一，是溝通代數(shù)與幾何的工具之一，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.根據(jù)向量的數(shù)形特性，可以將幾何圖形數(shù)量化，從而通過運算解決立體幾何中的平行、垂直等問題，避免構(gòu)圖和推理的復(fù)雜過程，有利于降低解題難度.一、將立體幾何中的平行問題轉(zhuǎn)化為向量平行來證明

二、將立體幾何中的垂直問題轉(zhuǎn)化為向量垂直來證明

由于立體幾何中的垂直問題圖形比較復(fù)雜，加上學(xué)生的空間感比較薄弱，因此學(xué)生很難解決.把立體幾何中的垂直問題轉(zhuǎn)化為向量垂直，其優(yōu)越性非常明顯，具體體現(xiàn)在：兩個向量垂直的充要條件可以把“垂直”體現(xiàn)在一個等式中變?yōu)榧兇獾倪\算，所涉及的向量易于用坐標(biāo)表示就足夠了.立體幾何中的線線、線面、面面垂直，都可以轉(zhuǎn)化為空間兩個向量的垂直問題解決.1.“線線垂直”化為“向量垂直”

華羅庚關(guān)于“數(shù)形結(jié)合”有一句名言：“數(shù)缺形時少直觀，形離數(shù)時難入微.”向量是基本的數(shù)學(xué)概念之一，是溝通代數(shù)與幾何的工具之一，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.因此，充分掌握、運用好向量知識，可以提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力，幫助學(xué)生理清數(shù)形結(jié)合呈現(xiàn)的內(nèi)在關(guān)系，把無形的解題思路形象化，有利于學(xué)生順利地、高效率地解決數(shù)學(xué)問題.利用向量方法研究立體幾何問題，能避免傳統(tǒng)幾何方法中繁瑣的推理及論證，有效提高學(xué)生解決立體幾何問題的能力.參考文獻(xiàn)：

[1]單招生—相約在高校，數(shù)學(xué)：基礎(chǔ)知識梳理.[2]單招零距離—數(shù)學(xué)：總復(fù)習(xí)方案.[3]呂林根，張紫霞，孫存金.立體幾何學(xué)習(xí)指導(dǎo)書.