第一篇：空間向量方法解立體幾何教案

空間向量方法解立體幾何

【空間向量基本定理】

例1.已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，M、N分別為PC、PD上的點(diǎn)，且M分

數(shù)x、y、z的值。成定比2，N分PD成定比1，求滿(mǎn)足的實(shí)

分析;結(jié)合圖形，從向量

用、、出發(fā)，利用向量運(yùn)算法則不斷進(jìn)行分解，直到全部向量都表示出來(lái)，即可求出x、y、z的值。

如圖所示，取PC的中點(diǎn)E，連接NE，則

點(diǎn)評(píng)：選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問(wèn)題的一項(xiàng)基本功，要結(jié)合已知和所求，觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運(yùn)算法則和公式等，就近表示所需向量。再對(duì)照目標(biāo)，將不符合目標(biāo)要求的向量當(dāng)作新的所需向量，如此繼續(xù)下去，直到所有向量都符合目標(biāo)要求為止，這就是向量的分解。有分解才有組合，組合是分解的表現(xiàn)形式。空間向量基本定理恰好說(shuō)明，用空間三個(gè)不共面的向量組可以表示出空間任意一個(gè)向量，而且a,b,c的系數(shù)是惟一的。

【利用空間向量證明平行、垂直問(wèn)題】

例2.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB于點(diǎn)F。

（1）證明：PA//平面EDB；

（2）證明：PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。

點(diǎn)評(píng)：（1）證明兩條直線(xiàn)平行，只需證明這兩條直線(xiàn)的方向向量是共線(xiàn)向量．

（2）證明線(xiàn)面平行的方法：

①證明直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量垂直；

②證明能夠在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與已知直線(xiàn)的方向向量共線(xiàn)；

③利用共面向量定理，即證明直線(xiàn)的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量是共面向量．

（3）證明面面平行的方法：

①轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行處理；

②證明這兩個(gè)平面的法向量是共線(xiàn)向量．

（4）證明線(xiàn)線(xiàn)垂直的方法是證明這兩條直線(xiàn)的方向向量互相垂直．

（5）證明線(xiàn)面垂直的方法：

①證明直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量是共線(xiàn)向量；

②證明直線(xiàn)與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)的向量互相垂直．（6）證明面面垂直的方法：

①轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直處理；②證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直． 【用空間向量求空間角】

例3.正方形ABCD—中，E、F分別是

（1）異面直線(xiàn)AE與CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。，的中點(diǎn)，求：

點(diǎn)評(píng)：（1）兩條異面直線(xiàn)所成的角可以借助這兩條直線(xiàn)的方向向量的夾角

求得，即。

（2）直線(xiàn)與平面所成的角主要可以通過(guò)直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量的夾角求得，即或

（3）二面角的大小可以通過(guò)該二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量的夾角或其補(bǔ)角。

【用空間向量求距離】

例4.長(zhǎng)方體ABCD—中，AB=4，AD=6，段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中點(diǎn)，求：

（1）異面直線(xiàn)AM與PQ所成角的余弦值；（2）M到直線(xiàn)PQ的距離；（3）M到平面AB1P的距離。，M是A1C1的中點(diǎn)，P在線(xiàn)

本題用純幾何方法求解有一定難度，因此考慮建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量坐標(biāo)法來(lái)解決。利用向量的模和夾角求空間的線(xiàn)段長(zhǎng)和兩直線(xiàn)的夾角，在新高考試題中已多次出現(xiàn)，但是利用向量的數(shù)量積來(lái)求空間的線(xiàn)與線(xiàn)之間的夾角和距離，線(xiàn)與面、面與面之間所成的角和距離還涉及不深，隨著新教材的推廣使用，這一系列問(wèn)題必將成為高考命題的一個(gè)新的熱點(diǎn)?，F(xiàn)列出幾類(lèi)問(wèn)題的解決方法。

（1）平面的法向量的求法：設(shè)，利用n與平面內(nèi)的兩個(gè)向量a，b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個(gè)三元一次方程，聯(lián)立后取其一組解。

（2）線(xiàn)面角的求法：設(shè)n是平面

向量，則直線(xiàn)與平面的一個(gè)法向量，AB是平面的斜線(xiàn)l的一個(gè)方向

所成角為?則sin??

（3）二面角的求法：①AB，CD分別是二面角面直線(xiàn)，則二面角的大小為。的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異

②設(shè)分別是二面角的兩個(gè)平面的法向量，則

就是二面角的平面角或其補(bǔ)角。

（4）異面直線(xiàn)間距離的求法：向量，又C、D分別是

是兩條異面直線(xiàn)，n是。的公垂線(xiàn)段AB的方向

上的任意兩點(diǎn)，則

（5）點(diǎn)面距離的求法：設(shè)n是平面平面的距離為。的法向量，AB是平面的一條斜線(xiàn)，則點(diǎn)B到

（6）線(xiàn)面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離再用（5）中方法求解。

練習(xí)：

?????1????2????

1.若等邊?ABC的邊長(zhǎng)

為，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿(mǎn)足CM?CB?CA，則

????????MA?MB?_________

2．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0，2），B(1，-3，1)，點(diǎn)M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則M的坐標(biāo)是________。3.（本小題滿(mǎn)分12分）

如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A ?平面ABCD, AD//BC//FE，AB?AD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=

AD 2

(I)求異面直線(xiàn)BF與DE所成的角的大??；(II)證明平面AMD?平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。

4．（本題滿(mǎn)分15分）如圖，平面PAC?平面ABC，?ABC

是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E,F,O分別為PA，PB，AC的中點(diǎn)，AC?16，PA?PC?10．

（I）設(shè)G是OC的中點(diǎn)，證明：FG//平面BOE；

（II）證明：在?ABO內(nèi)存在一點(diǎn)M，使FM?平面BOE，并求點(diǎn)M到OA，OB的距離．

5.如圖，四棱錐P?ABCD的底面是正方形，PD?底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上.（Ⅰ）求證：平面AEC?平面PDB；

（Ⅱ）當(dāng)PD?且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與

平面PDB所成的角的大小.

第二篇：解立體幾何方法總結(jié)

啟迪教育

解立體幾何方法總結(jié)

1坐標(biāo)系的建立：

2空間向量的運(yùn)算：

3求異面直線(xiàn)的夾角

4法向量的求法

5證明線(xiàn)面平行方法：

6求線(xiàn)和面的夾角

7求幾何體的體積

8證明面和面垂直和線(xiàn)面垂直

9求點(diǎn)到面的距離（等體積法）

羅老師教案

1羅老師教案

6羅老師教案

1如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA?平面ABCD，PA?AD?4，AB?2．以BD的中點(diǎn)O為球心、BD為直徑的球面交PD于點(diǎn)M．

（1）求證：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直線(xiàn)PC與平面ABM所成的角；（3）求點(diǎn)O到平面ABM的距離．

B

2如圖3-2，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝a，BC，M是AD的中點(diǎn)。(Ⅰ)求證：AD∥平面A1BC；(Ⅱ)求證：平面A1MC⊥平面A1BD1；(Ⅲ)求點(diǎn)A到平面A1MC的距離。

3如圖，已知E,F分別是正方形ABCD邊BC,CD的中點(diǎn)，EF與AC交于點(diǎn)O, PA,NC都垂直于平面ABCD，且PA=AB=4，NC=2, M是線(xiàn)段PA上一動(dòng)點(diǎn)(1)求證：平面PAC⊥平面NEF；

(2)若PC∥平面MEF，試求PM∶MA的值；

(3)當(dāng)M是PA中點(diǎn)時(shí)，求二面角M-EF-N的余弦值

MN

A

E

C

圖3-2

羅老師教案

第三篇：《立體幾何VS空間向量》教學(xué)反思

我這節(jié)公開(kāi)課的題目是《立體幾何VS空間向量》選題背景是必修2學(xué)過(guò)立體幾何而選修21又學(xué)到空間向量在立體幾何中的應(yīng)用。學(xué)生有先入為主的觀念，總想用舊方法卻解體忽視新方法的應(yīng)用，沒(méi)有掌握兩種方法的特征及適用體型導(dǎo)致做題不順利。針對(duì)此種情況，我特意選了這節(jié)內(nèi)容來(lái)講。整節(jié)課，我是這樣設(shè)計(jì)的。本著以學(xué)生為主，教師為輔的這一原則，把學(xué)生分成兩組。利用學(xué)生的求知欲和好勝心強(qiáng)的這一特點(diǎn)，采取競(jìng)賽方式通過(guò)具體例題來(lái)歸納。分析概括兩種方法的異同及適用體型。最終讓學(xué)生在知識(shí)上有所掌握。在能力和意識(shí)上有所收獲。那么這節(jié)課我最滿(mǎn)意的有以下幾個(gè)地方(1)學(xué)生的參與這節(jié)課的主講不是我，是學(xué)生我要做的是設(shè)置問(wèn)題和激發(fā)興趣。至于整個(gè)分析過(guò)程和解決過(guò)程都是由學(xué)生來(lái)完成的。這節(jié)課二班學(xué)生積極參與，注意力集中。課堂氣氛活躍學(xué)生興趣濃厚，求知欲強(qiáng)，參與面大，在課堂中能夠進(jìn)行有效的合作與平等的交流。(2)學(xué)生的創(chuàng)新這一點(diǎn)是我這節(jié)課的意外收獲。在求一點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，我用的是投影而該班周英杰同學(xué)卻利用的是共線(xiàn)，方法簡(jiǎn)潔，給人以耳目一新的感覺(jué)。另外該班的徐漢宇同學(xué)在兩道中都提出了不同的做法。有其獨(dú)特的見(jiàn)解?？梢?jiàn)學(xué)生真的是思考了，我也從中獲益不少。真的是給學(xué)生以展示的舞臺(tái)。他回報(bào)你以驚喜。(3)學(xué)生的置疑林森同學(xué)能直截了當(dāng)?shù)闹赋龊诎迳系腻e(cuò)誤而且是一個(gè)我沒(méi)發(fā)現(xiàn)的錯(cuò)誤這一點(diǎn)是我沒(méi)想到的.這說(shuō)明了學(xué)生的注意力高度集中.善于觀察也說(shuō)明了我們的課堂比較民主,學(xué)生敢于置疑.這種大膽質(zhì)疑的精神值得表?yè)P(yáng).我不滿(mǎn)意的地方有以下幾點(diǎn)(1)題量的安排 5道題雖然代表不同的類(lèi)型.但從效果上看顯得很匆忙.每道題思考和總結(jié)的時(shí)間不是很長(zhǎng),我覺(jué)得要是改成4道題.時(shí)間就會(huì)充裕效果就會(huì)更好些.(2)課件的制作 立體幾何著重強(qiáng)調(diào)的是空間想象力,如果能從多個(gè)角度觀察圖形學(xué)生會(huì)有不同發(fā)現(xiàn).比如徐漢宇同學(xué)的不同做法.需要對(duì)圖形旋轉(zhuǎn).如果讓他上黑板做圖時(shí)間又不夠.我想不妨讓他畫(huà)好圖后用投影儀投到大屏幕上,效果會(huì)更好.(3)總結(jié)時(shí)間短 這節(jié)課的主題是兩種方法的比較和不同方法的適用題型,后來(lái)的小結(jié)時(shí)間不夠.這和我設(shè)置的容量大.有直接關(guān)系.沒(méi)有突出主題.我想不如直接刪掉一道題.空出時(shí)間讓學(xué)生自己談?wù)勑牡皿w會(huì).自己找找解題規(guī)律應(yīng)該會(huì)更好.以上就是我對(duì)這節(jié)課的反思.其實(shí)我最想說(shuō)的是我的心路歷程.每次上公開(kāi)課都能發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題.正是這些問(wèn)題使我變得成熟,完善,我很珍惜每一次上公開(kāi)課的機(jī)會(huì).它使我理智的看待自己的教學(xué)活動(dòng)中熟悉的習(xí)慣性的行為.使自己的教育教學(xué)理念和教學(xué)能力與時(shí)俱進(jìn).

第四篇：用向量方法解立體幾何題(老師用)

用向量方法求空間角和距離

在高考的立體幾何試題中,求角與距離是常考查的問(wèn)題,其傳統(tǒng)的“三步曲”解法:“作圖、證明、解三角形”,作輔助線(xiàn)多、技巧性強(qiáng),是教學(xué)和學(xué)習(xí)的難點(diǎn)．向量進(jìn)入高中教材,為立體幾何增添了活力,新思想、新方法與時(shí)俱進(jìn),本專(zhuān)題將運(yùn)用向量方法簡(jiǎn)捷地解決這些問(wèn)題． 求空間角問(wèn)題

空間的角主要有：異面直線(xiàn)所成的角；直線(xiàn)和平面所成的角；二面角．（１）求異面直線(xiàn)所成的角

?設(shè)a?、b分別為異面直線(xiàn)a、b的方向向量，??a?b則兩異面直線(xiàn)所成的角?=arccos|??|

|a||b|

（２）求線(xiàn)面角

?設(shè)l是斜線(xiàn)

?l的方向向量，n是平面?的法向量，則斜線(xiàn)

（３）求二面角

??l?nl與平面?所成的角?=arcsin|??|

|l||n|?法

一、在?內(nèi)a?l?，在?內(nèi)b?l，其方向如圖，則二面角

??a?b??l??的平面角?=arccos??|a||b| 1

?????法

二、設(shè)n1,n2,是二面角??l??的兩個(gè)半平面的法向量，?l??其方向一個(gè)指向內(nèi)側(cè)，另一個(gè)指向外側(cè)，則二面角??????n?n2? 的平面角?=arccos??1??|n1||n2|2 求空間距離問(wèn)題

構(gòu)成空間的點(diǎn)、線(xiàn)、面之間有七種距離，這里著重介紹點(diǎn)面距離的求法，象異面直線(xiàn)間的距離、線(xiàn)面距離；面面距離都可化為點(diǎn)面距離來(lái)求．（１）求點(diǎn)面距離

?法

一、設(shè)n是平面?的法向量，在?內(nèi)取一點(diǎn)B, 則 A

???????????|AB?n|?到?的距離d?|AB||cos?|?|n|法

二、設(shè)AO??于O,利用AO和點(diǎn)O在?內(nèi)的向量表示，可確定點(diǎn)O（２）求異面直線(xiàn)的距離

????的位置，從而求出|AO|．

法

一、找平面?使b??且a??，則異面直線(xiàn)a、b的距離就轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)a到平面?的距離，又轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到平面?的距離．

法

二、在a上取一點(diǎn)A, 在b上取一點(diǎn)B, 為異面直線(xiàn)a、b異面直線(xiàn)a、b

?的方向向量,求n??（n?a?設(shè)a?、b分別

??，n?b），則

?????????|AB?n|的距離d?|AB||cos?|??（此方法移植|n|于點(diǎn)面距離的求法）． 例１．如圖，在棱長(zhǎng)為２的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F分別是棱A1D1,A1B1的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求異面直線(xiàn)DE與FC1所成的角；（II）求BC1和面EFBD所成的角；（III）求B1到面EFBD的距離

解：（Ⅰ）記異面直線(xiàn)DE與FC1所成的角為?，則?等于向量?????????DE與FC1的夾角或其補(bǔ)角，????????? ?cos??|????DE?FC????1?|DE|?|FC|(????DD?????D?1|?????????1?1E)?(FB1?B ?||???DE?|?????1C1)|?|FC1| ?|?2|?2 555,???arccos25（II）如圖建立空間坐標(biāo)系D?xyz，則????????DE?(1,0,2)，DB?(2,2,0)

設(shè)面???????EFBD的法向量為n?(x,y,1)

由?DE?n????

DB???0???n?0得?n?(?2,2,1)又?????BC1?(?2,0,2)

記BC1和面EFBD所成的角為? ????????????則 sin??|cos?BCBC1?n21,n?|?|??????|BC|?

1||n|2∴ BC1和面EFBD所成的角為?4．（III）點(diǎn)B1到面EFBD的距離ｄ等于

????向量BB1在面EFBD的法向量上的投影的絕對(duì)值，???????2|BB1?n|????d??3|n|設(shè)計(jì)說(shuō)明：１．作為本專(zhuān)題的例１，首先選擇以一個(gè)容易建立空間直角坐標(biāo)系的多面體―――正方體為載體，來(lái)說(shuō)明空間角和距離的向量求法易于學(xué)生理解． ２．解決(1)后，可讓學(xué)生進(jìn)一步求這兩條異面直線(xiàn)的距離，并讓學(xué)生體會(huì)一下：如果用傳統(tǒng)方法恐怕很難（不必多講，高考對(duì)公垂線(xiàn)的作法不作要求）． ３．完成這３道小題后，總結(jié)：對(duì)于易建立空間直角坐標(biāo)系的立幾題，無(wú)論求角、距離還是證明平行、垂直（是前者的特殊情況），都可用向量方法來(lái)解決，向量方法可以人人學(xué)會(huì)，它程序化，不需技巧．

例2．如圖，三棱柱中，已知A BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，四邊形

AA?B?B 是矩形，平面AA?B?B?平面ABCD。

（Ⅰ）若AA?＝１，求直線(xiàn)AB到面DA'C的距離．（II）試問(wèn)：當(dāng)AA?的長(zhǎng)度為多少時(shí)，二面角

D?A?C?A的大小為60?？

解：（Ⅰ）如圖建立空間坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，則 ????????'DA?(?1,0,a)DC?(0,1,0)'

??????'??DA?n1?0則??????? ??DC?n1?0??設(shè)面DAC的法向量為n1?(x,y,1)??得n1?(a,0,1)直線(xiàn)AB到面DA'C的距離ｄ就等于點(diǎn)Ａ到面DA'C的距離，也等于向量AD在面DA'C的法向量上的投影的絕對(duì)值，??????|AD?n1|2???d??2|n1|????

????(?1,1,0)（II）易得面AA'C的法向量n2???????向量n1,n2的夾角為60 ??????????n?n2??由cos?n1,n2????1??|n1||n2|?

?aa?1?22?1

2得 a?

1當(dāng)AA?＝１時(shí)，二面角D?A?C?A的大小為60?．

設(shè)計(jì)說(shuō)明：１．通過(guò)（Ⅰ），復(fù)習(xí)線(xiàn)面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離再轉(zhuǎn)化為一向量在一向量（法向量）投影的絕對(duì)值的解題思路與方法．

２．通過(guò)（II），復(fù)習(xí)面面角轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角或其補(bǔ)角的方法，也可借此機(jī)會(huì)說(shuō)明為什么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，就沒(méi)有其他情況．

例３．正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為２，Ｐ是側(cè)棱AA1上任意一點(diǎn)．（Ⅰ）求證： 直線(xiàn)B1P不可能與平面ACC1A1垂直；（II）當(dāng)BC1?B1P時(shí)，求二面角C?B1P?C1的大?。?/p>

?a

證明：（Ⅰ）如圖建立空間坐標(biāo)系O?xyz，設(shè)AP則A,C,B1,P的坐標(biāo)分別為(0,?1,0),(0,1,0),(?????????AC?(0,2,0),B1P?(?3,?1,a?2)????????AC?B1P??2?0，?B1P不垂直AC?直線(xiàn)B1P

3,0,2)(0,?1,a)

不可能與平面ACC1A1垂直． ??????????????（II）BC1?(?3,1,2)，由BC1?B1P，得BC1?B1P?0

即2?2(a?2)?0 又BC1?B1C?a?1

?BC1?面CB1P

??????BC1?(?3,1,2)是面CB1P的法向量

??????B1P?n?0?設(shè)面C1B1P的法向量為n?(1,y,z)，由??????????B1C1?n?0得n?(1,?3,?23),設(shè)二面角C?B1P?C1的大小為???????BC1?n6?????則cos???????4|BC1||n| 64?二面角C?B1P?C1的大小為arccos．

設(shè)計(jì)說(shuō)明：１．前面選擇的兩個(gè)題，可有現(xiàn)成的坐標(biāo)軸，但本題ｘ、ｚ軸需要自己添加（也可不這樣建立）．

２．第（１）小題是證明題，同樣可用向量方法解答，是特殊情況；本小題也可證明這條直線(xiàn)與這個(gè)面的法向量不平行．

????通過(guò)上面的例子，我們看到向量方法（更確切地講，是用公式： a?b?|a||b|cos?）解決空間角和距離的作用，當(dāng)然，以上所舉例子，用傳統(tǒng)方法去做，也是可行的，甚至有的（例２）還較為簡(jiǎn)單，用向量法的好處在于克服傳統(tǒng)立幾以純幾何解決問(wèn)題帶來(lái)的高度的技巧性和隨機(jī)性．向量法可操作性強(qiáng)―――運(yùn)算過(guò)程公式化、程序化，有效地突破了立體幾何教學(xué)和學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，是解決立體幾何問(wèn)題的重要工具．充分體現(xiàn)出新教材新思想、新方法的優(yōu)越性．這是繼解析幾何后用又一次用代 數(shù)的方法研究幾何形體的一塊好內(nèi)容，數(shù)形結(jié)合，在這里得到淋漓盡致地體現(xiàn)．

練習(xí)：

１．在正四面體S?ABC中，棱長(zhǎng)為a，E,Ｆ分別為SA和BC的中點(diǎn)，求異面

23直線(xiàn)BE和SF所成的角．（arccos）

２．在邊長(zhǎng)為１的菱形ABCD中，?ABC起后BD＝１，求二面角B?３．在四棱錐P?PD?AD?ABCDAC?D?60?，將菱形沿對(duì)角線(xiàn)AC折起，使

折

13的余弦值．（）

?P中，底面ABCD為矩形，PD底D面，且Ca，問(wèn)平面PBA與平面PBC能否垂直？試說(shuō)明理由．（不垂直）

AB４．在直三棱柱ABC?A1B1C1中，?A?90?，O,O1,G 分別為BC,B1C1,AA1的中點(diǎn)，且AB?（１）求O1到面A1CB1的距離；（22AC?AA1?2．））（２）求BC到面GB1C1的距離．（263E ５.如圖，在幾何體ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC ＝900，BE和CD都垂直于平面ABC，F(xiàn)

D B C A 且BE＝AB＝2，CD＝1，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：DF∥平面ABC；

（Ⅱ）求AB與平面BDF所成角的大小.（arcsin）

8

第五篇：【教案】3.2立體幾何中的向量方法

3.2.2向量法解決空間角問(wèn)題

（習(xí)題課）

（1）、三維目標(biāo)

1．知識(shí)與能力：向量運(yùn)算在幾何計(jì)算中的應(yīng)用．培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算能力。

2．過(guò)程與方法：掌握利用向量運(yùn)算解幾何題的方法，并能解簡(jiǎn)單的立體幾何問(wèn)題． 3．情感目標(biāo)

通過(guò)師生、生生的合作學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力的培養(yǎng)，增強(qiáng)主動(dòng)與他人合作交流的意識(shí).（2）教學(xué)重點(diǎn)：向量運(yùn)算在解決空間角中的應(yīng)用．（3）教學(xué)難點(diǎn)：向量運(yùn)算在解決空間角中的應(yīng)用．21 新課導(dǎo)入設(shè)計(jì)

一、復(fù)習(xí)引入

1、兩條異面直線(xiàn)所成的角的定義及范圍？

2、直線(xiàn)與平面所成角的定義及范圍？

3、二面角定義及范圍？

（和學(xué)生一起回憶定義，并且通過(guò)直線(xiàn)的方向向量及平面的法向量復(fù)習(xí)線(xiàn)線(xiàn)角，線(xiàn)面角及面面角的公式）

二、習(xí)題展示：教師給出正方體這個(gè)載體，由學(xué)生在正方體中構(gòu)造空間角，展示自編題目，并由學(xué)生解答完成。

1、展示線(xiàn)線(xiàn)角習(xí)題：

（設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生清楚如何將求兩條異面直線(xiàn)所成角轉(zhuǎn)化成求兩個(gè)向量所成角，并且會(huì)用cos?=|cos＜a,b＞|＝|a?b|解決問(wèn)題，但要注意異面直線(xiàn)所成角的范圍與

a?b兩個(gè)向量所成角范圍的不同）

2、展示線(xiàn)面角習(xí)題；（設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生能將求線(xiàn)面角轉(zhuǎn)化為求線(xiàn)線(xiàn)角，即求斜線(xiàn)與平面的法向量所成的角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量所成角，這里關(guān)注學(xué)生在講解過(guò)程中是否能講清楚線(xiàn)面角的正弦即是線(xiàn)線(xiàn)角的余弦，即sin??cosAB,n?ABnABn）

3、展示面面角習(xí)題；（設(shè)計(jì)意圖；使學(xué)生能將二面角的平面角轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)角，即轉(zhuǎn)化為求平面的法向量所成的角，進(jìn)而使問(wèn)題又歸為