第一篇：3.2立體幾何中的向量方法 教學(xué)設(shè)計(jì) 教案

教學(xué)準(zhǔn)備

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)與技能：理解直線的方向向量和平面的法向量；會(huì)用向量及其運(yùn)算表示線線、線面、面面間的位置關(guān)系.（2）過(guò)程與方法：在解決問(wèn)題中，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想方法，加深對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解。

（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：開(kāi)始體會(huì)把立方體幾何幾何轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題優(yōu)勢(shì)。

2.教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)

【教學(xué)重點(diǎn)】：平面的法向量.【教學(xué)難點(diǎn)】：用向量及其運(yùn)算表示線線、線面、面面間的位置關(guān)系.3.教學(xué)用具

多媒體

4.標(biāo)簽

3.2.1 直線的方向向量與平面的法向量

教學(xué)過(guò)程

課堂小結(jié)

1． 點(diǎn)、直線、平面的位置的向量表示。線線、線面、面面間的位置關(guān)系的向量表示。

第二篇：立體幾何中的向量方法的教學(xué)設(shè)計(jì)

《立體幾何中的向量方法》的教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教材分析

本節(jié)課是坐標(biāo)法與向量有效結(jié)合的典型范例，有利于培養(yǎng)學(xué)生利用向量解決立體幾何問(wèn)題的能力。

二、教學(xué)目標(biāo)

通過(guò)類(lèi)比平面內(nèi)的點(diǎn)、線的位置可以由向量來(lái)確定，引導(dǎo)學(xué)生理解空間內(nèi)的點(diǎn)、線、面的位置也可以由向量來(lái)表示，并進(jìn)一步探究用空間向量的運(yùn)算來(lái)表示空間線、面的位置關(guān)系。從應(yīng)用其證明空間線面的平行與垂直問(wèn)題中體會(huì)直線的方向向量與平面的法向量在解決立體幾何中線面平行與垂直問(wèn)題時(shí)的作用。從而樹(shù)立學(xué)好用好向量法解決立體幾何問(wèn)題的興趣和信心。

三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

由于建系求點(diǎn)坐標(biāo)是向量方法中最大的障礙，所以把坐標(biāo)法與向量法結(jié)合作為重點(diǎn)，而適當(dāng)?shù)亟⒖臻g直角坐標(biāo)系及添加輔助線作為難點(diǎn)。

四、教學(xué)手段

用幾何畫(huà)板直觀展示圖形給學(xué)生立體感，通過(guò)問(wèn)題鏈讓學(xué)生有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維。

五、教學(xué)流程

1、新課導(dǎo)入：

同學(xué)們，在前面的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)接觸過(guò)一些用空間向量的運(yùn)算方法，所以這節(jié)課我們將使用一些用空間向量知識(shí)證明點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。

為了運(yùn)用向量來(lái)解決立體幾何問(wèn)題，首先要明確空間的點(diǎn)、線、面的位置是否可以用向量來(lái)確定？想一想平面內(nèi)點(diǎn)、線的位置可以由向量來(lái)唯一確定嗎？你能利用類(lèi)比的方法，相應(yīng)地得出空間點(diǎn)、線、面的位置也可以由向量來(lái)唯一確定的結(jié)論嗎？

2、經(jīng)典例題講解：

<例一> 已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，?C1CB??C1CD??BCD??,求證：CC1?BD.分析：題目是讓我們求證CC1?BD，我們可以利用向量垂直的方法來(lái)試著證明CC1.BD =0 <例二> 棱長(zhǎng)都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分別是AC,CC1的中點(diǎn)，求證：A1E⊥平面DBC1。

分析：該題主要是考察學(xué)生是否可以根據(jù)已知題目給出的信息將建立空間直角坐標(biāo)系，本題以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC所在的直線為x軸，連接BD以BD為y軸，Z軸則平行與CC1建立了D-XYZ的空間直角坐標(biāo)系。接著根據(jù)平面法向量的性質(zhì)來(lái)求證出結(jié)果。

六、練習(xí)

用向量的方法證明“平面與平面垂直的判定定理”。

七、總結(jié)

將空間向量的方法引入到立體幾何中，通常的方法不必添加繁雜的輔助線，只要建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量運(yùn)算解決立體幾何問(wèn)題，這樣使問(wèn)題坐標(biāo)化、符號(hào)化、數(shù)量化，從而降低推理問(wèn)題的思維難度。

第三篇：【教案】3.2立體幾何中的向量方法

3.2.2向量法解決空間角問(wèn)題

（習(xí)題課）

（1）、三維目標(biāo)

1．知識(shí)與能力：向量運(yùn)算在幾何計(jì)算中的應(yīng)用．培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算能力。

2．過(guò)程與方法：掌握利用向量運(yùn)算解幾何題的方法，并能解簡(jiǎn)單的立體幾何問(wèn)題． 3．情感目標(biāo)

通過(guò)師生、生生的合作學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力的培養(yǎng)，增強(qiáng)主動(dòng)與他人合作交流的意識(shí).（2）教學(xué)重點(diǎn)：向量運(yùn)算在解決空間角中的應(yīng)用．（3）教學(xué)難點(diǎn)：向量運(yùn)算在解決空間角中的應(yīng)用．21 新課導(dǎo)入設(shè)計(jì)

一、復(fù)習(xí)引入

1、兩條異面直線所成的角的定義及范圍？

2、直線與平面所成角的定義及范圍？

3、二面角定義及范圍？

（和學(xué)生一起回憶定義，并且通過(guò)直線的方向向量及平面的法向量復(fù)習(xí)線線角，線面角及面面角的公式）

二、習(xí)題展示：教師給出正方體這個(gè)載體，由學(xué)生在正方體中構(gòu)造空間角，展示自編題目，并由學(xué)生解答完成。

1、展示線線角習(xí)題：

（設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生清楚如何將求兩條異面直線所成角轉(zhuǎn)化成求兩個(gè)向量所成角，并且會(huì)用cos?=|cos＜a,b＞|＝|a?b|解決問(wèn)題，但要注意異面直線所成角的范圍與

a?b兩個(gè)向量所成角范圍的不同）

2、展示線面角習(xí)題；（設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生能將求線面角轉(zhuǎn)化為求線線角，即求斜線與平面的法向量所成的角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量所成角，這里關(guān)注學(xué)生在講解過(guò)程中是否能講清楚線面角的正弦即是線線角的余弦，即sin??cosAB,n?ABnABn）

3、展示面面角習(xí)題；（設(shè)計(jì)意圖；使學(xué)生能將二面角的平面角轉(zhuǎn)化為線線角，即轉(zhuǎn)化為求平面的法向量所成的角，進(jìn)而使問(wèn)題又歸為

第四篇：空間向量方法解立體幾何教案

空間向量方法解立體幾何

【空間向量基本定理】

例1.已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，M、N分別為PC、PD上的點(diǎn)，且M分

數(shù)x、y、z的值。成定比2，N分PD成定比1，求滿足的實(shí)

分析;結(jié)合圖形，從向量

用、、出發(fā)，利用向量運(yùn)算法則不斷進(jìn)行分解，直到全部向量都表示出來(lái)，即可求出x、y、z的值。

如圖所示，取PC的中點(diǎn)E，連接NE，則

點(diǎn)評(píng)：選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問(wèn)題的一項(xiàng)基本功，要結(jié)合已知和所求，觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運(yùn)算法則和公式等，就近表示所需向量。再對(duì)照目標(biāo)，將不符合目標(biāo)要求的向量當(dāng)作新的所需向量，如此繼續(xù)下去，直到所有向量都符合目標(biāo)要求為止，這就是向量的分解。有分解才有組合，組合是分解的表現(xiàn)形式?？臻g向量基本定理恰好說(shuō)明，用空間三個(gè)不共面的向量組可以表示出空間任意一個(gè)向量，而且a,b,c的系數(shù)是惟一的。

【利用空間向量證明平行、垂直問(wèn)題】

例2.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB于點(diǎn)F。

（1）證明：PA//平面EDB；

（2）證明：PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。

點(diǎn)評(píng)：（1）證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量．

（2）證明線面平行的方法：

①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；

②證明能夠在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與已知直線的方向向量共線；

③利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量是共面向量．

（3）證明面面平行的方法：

①轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行處理；

②證明這兩個(gè)平面的法向量是共線向量．

（4）證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量互相垂直．

（5）證明線面垂直的方法：

①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量；

②證明直線與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量互相垂直．（6）證明面面垂直的方法：

①轉(zhuǎn)化為線線垂直、線面垂直處理；②證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直． 【用空間向量求空間角】

例3.正方形ABCD—中，E、F分別是

（1）異面直線AE與CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。，的中點(diǎn)，求：

點(diǎn)評(píng)：（1）兩條異面直線所成的角可以借助這兩條直線的方向向量的夾角

求得，即。

（2）直線與平面所成的角主要可以通過(guò)直線的方向向量與平面的法向量的夾角求得，即或

（3）二面角的大小可以通過(guò)該二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量的夾角或其補(bǔ)角。

【用空間向量求距離】

例4.長(zhǎng)方體ABCD—中，AB=4，AD=6，段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中點(diǎn)，求：

（1）異面直線AM與PQ所成角的余弦值；（2）M到直線PQ的距離；（3）M到平面AB1P的距離。，M是A1C1的中點(diǎn)，P在線

本題用純幾何方法求解有一定難度，因此考慮建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量坐標(biāo)法來(lái)解決。利用向量的模和夾角求空間的線段長(zhǎng)和兩直線的夾角，在新高考試題中已多次出現(xiàn)，但是利用向量的數(shù)量積來(lái)求空間的線與線之間的夾角和距離，線與面、面與面之間所成的角和距離還涉及不深，隨著新教材的推廣使用，這一系列問(wèn)題必將成為高考命題的一個(gè)新的熱點(diǎn)?，F(xiàn)列出幾類(lèi)問(wèn)題的解決方法。

（1）平面的法向量的求法：設(shè)，利用n與平面內(nèi)的兩個(gè)向量a，b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個(gè)三元一次方程，聯(lián)立后取其一組解。

（2）線面角的求法：設(shè)n是平面

向量，則直線與平面的一個(gè)法向量，AB是平面的斜線l的一個(gè)方向

所成角為?則sin??

（3）二面角的求法：①AB，CD分別是二面角面直線，則二面角的大小為。的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異

②設(shè)分別是二面角的兩個(gè)平面的法向量，則

就是二面角的平面角或其補(bǔ)角。

（4）異面直線間距離的求法：向量，又C、D分別是

是兩條異面直線，n是。的公垂線段AB的方向

上的任意兩點(diǎn)，則

（5）點(diǎn)面距離的求法：設(shè)n是平面平面的距離為。的法向量，AB是平面的一條斜線，則點(diǎn)B到

（6）線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離再用（5）中方法求解。

練習(xí)：

?????1????2????

1.若等邊?ABC的邊長(zhǎng)

為，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足CM?CB?CA，則

????????MA?MB?_________

2．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0，2），B(1，-3，1)，點(diǎn)M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則M的坐標(biāo)是________。3.（本小題滿分12分）

如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A ?平面ABCD, AD//BC//FE，AB?AD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=

AD 2

(I)求異面直線BF與DE所成的角的大小；(II)證明平面AMD?平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。

4．（本題滿分15分）如圖，平面PAC?平面ABC，?ABC

是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E,F,O分別為PA，PB，AC的中點(diǎn)，AC?16，PA?PC?10．

（I）設(shè)G是OC的中點(diǎn)，證明：FG//平面BOE；

（II）證明：在?ABO內(nèi)存在一點(diǎn)M，使FM?平面BOE，并求點(diǎn)M到OA，OB的距離．

5.如圖，四棱錐P?ABCD的底面是正方形，PD?底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上.（Ⅰ）求證：平面AEC?平面PDB；

（Ⅱ）當(dāng)PD?且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與

平面PDB所成的角的大小.

第五篇：向量方法在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用

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向量方法在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用

作者：王龍生

摘 要： 在江蘇省對(duì)口單招數(shù)學(xué)試卷中，立體幾何這一章的知識(shí)點(diǎn)每年都作為重點(diǎn)考查的內(nèi)容.每年我校考生在立體幾何解答題上的得分情況都不太理想.向量是基本的數(shù)學(xué)概念之一，是溝通代數(shù)與幾何的工具之一，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.根據(jù)向量的數(shù)形特性，可以將幾何圖形數(shù)量化，從而通過(guò)運(yùn)算解決立體幾何中的平行、垂直等問(wèn)題，能避免構(gòu)圖和推理的復(fù)雜過(guò)程，有利于降低解題難度.關(guān)鍵詞： 向量 立體幾何教學(xué) 數(shù)形結(jié)合在江蘇省對(duì)口單招數(shù)學(xué)試卷中，立體幾何這一章的知識(shí)點(diǎn)每年都是重點(diǎn)考查的內(nèi)容.每年我?？忌诹Ⅲw幾何解答題上的得分情況都不太理想.向量是基本的數(shù)學(xué)概念之一，是溝通代數(shù)與幾何的工具之一，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.根據(jù)向量的數(shù)形特性，可以將幾何圖形數(shù)量化，從而通過(guò)運(yùn)算解決立體幾何中的平行、垂直等問(wèn)題，避免構(gòu)圖和推理的復(fù)雜過(guò)程，有利于降低解題難度.一、將立體幾何中的平行問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量平行來(lái)證明

二、將立體幾何中的垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量垂直來(lái)證明

由于立體幾何中的垂直問(wèn)題圖形比較復(fù)雜，加上學(xué)生的空間感比較薄弱，因此學(xué)生很難解決.把立體幾何中的垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量垂直，其優(yōu)越性非常明顯，具體體現(xiàn)在：兩個(gè)向量垂直的充要條件可以把“垂直”體現(xiàn)在一個(gè)等式中變?yōu)榧兇獾倪\(yùn)算，所涉及的向量易于用坐標(biāo)表示就足夠了.立體幾何中的線線、線面、面面垂直，都可以轉(zhuǎn)化為空間兩個(gè)向量的垂直問(wèn)題解決.1.“線線垂直”化為“向量垂直”

華羅庚關(guān)于“數(shù)形結(jié)合”有一句名言：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形離數(shù)時(shí)難入微.”向量是基本的數(shù)學(xué)概念之一，是溝通代數(shù)與幾何的工具之一，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.因此，充分掌握、運(yùn)用好向量知識(shí)，可以提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力，幫助學(xué)生理清數(shù)形結(jié)合呈現(xiàn)的內(nèi)在關(guān)系，把無(wú)形的解題思路形象化，有利于學(xué)生順利地、高效率地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.利用向量方法研究立體幾何問(wèn)題，能避免傳統(tǒng)幾何方法中繁瑣的推理及論證，有效提高學(xué)生解決立體幾何問(wèn)題的能力.參考文獻(xiàn)：

[1]單招生—相約在高校，數(shù)學(xué)：基礎(chǔ)知識(shí)梳理.[2]單招零距離—數(shù)學(xué)：總復(fù)習(xí)方案.[3]呂林根，張紫霞，孫存金.立體幾何學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(shū).