第一篇：用好法向量,巧解高考題

用好法向量，巧解高考題

為了和國際數(shù)學(xué)接軌，全日制普通高級中學(xué)教科書中增加了向量的內(nèi)容，隨著課程改革的進行，向 量的應(yīng)用將會更加廣泛，這在2004年高考數(shù)學(xué)試題中得到了充分的體現(xiàn)。向量在研究空間幾何問題中為學(xué)生提供了新的視角，但在教學(xué)中，我們的應(yīng)用還不夠，特別是法向量的應(yīng)用，教科書中只給了一個概念：如果非零向量，那么 叫做平面 的法向量，實質(zhì)上，法向量的靈活應(yīng)用，將使得原本很繁瑣的推理，變得思路清晰且規(guī)范。本文將介紹法向量在空間幾何證明、計算中的應(yīng)用。

（一）直線 的方向向量和平面 的法向量分別為 面 所成的角 等于向量，則直線 和平

所成的銳角（若所成的角為鈍角，則為其補角）的余角，即。

中，底面是等腰直角 與的中點，點

在平(2003全國（理）18題)如圖，直三棱柱三角形,，側(cè)棱面上的射影是的重心（Ⅰ）求（Ⅱ）求點與平面到平面，分別是

所成角的大小（結(jié)果 用反三角函數(shù)值表示）； 的距離。

（Ⅰ）解：以設(shè)，則為坐標(biāo)原點，建立如 圖所示的坐標(biāo)系，，，，∴ ,，∴，由 ∴為，則，得，，由

，設(shè)平面，的法向量 得，令∴平面

得，，的一個法向量為∴ 與的夾角的余弦值是，∴ 與平面所成角為。

當(dāng)直線與平面平行時，直線與平面所成的角為，此時直線的方向向 量與平面的法向量垂直，我們可利用這一特征來證明直線與平面平行。

（二）如果不在平面內(nèi)一條直線與平面的一個法向量垂直，那么這條直線和這個平面平行。

（2004年高考湖南（理）19題）如圖，在底面是菱形的中，,，，點

在上，且

四棱錐（I）證明：（II）求以（Ⅲ）在棱為棱，； 與

為面的二面角的大小；，使

？證明你的結(jié)論。上是否存在一點

（Ⅲ）解：以為坐標(biāo)原點，直線分別為軸、軸，過點垂直平面的直線為軸，建立空間直角坐 標(biāo)系（如圖），由題設(shè)條件，相關(guān)各點的坐標(biāo)分別為，∴ 設(shè)平面的法向量為，則由題意可知，，由 得，∴ 令得，∴平面的一個法向量為

設(shè)點是棱上的點，則，由 得，∴，∴當(dāng)是棱的中點時。

同樣，當(dāng)直線與平面垂直時，直線與平面所成的角為，此時直線的方向向 量與平面的法向量平行，我們可利用這一特征來證明直線與平面垂直。

（三）設(shè)二面角角的兩個半平面和的法向量分別為，設(shè)二面的大小為，則二面角的平面角 與兩法向量所成的角相等或互補，當(dāng)二面角的銳角時，；當(dāng)二面角為鈍角時。

我們再來看2004年高考湖南（理）19題：

（Ⅱ）解：由題意可知，∵ 設(shè)平面

∴ 的法向量為

為平面的一個法向量，則由題意可知，, ，, 由 得，∴ 令 得，∴平面的一個法向量為，∴向量與夾角的余弦值是

為棱。

與，∴

為面的二面角是銳角，由題意可知，以∴所求二面角的大小為我們知道當(dāng)兩個平面的法向量互相垂直時，兩個平面所成的二面角為直角，此時兩個平面垂直，我 們可用這一特征來證明兩個平面垂直。

（四）設(shè)兩個平面和直。的法向量分別為，若，則這兩個平面垂

（1996年全國（文）23題）在正三棱柱分別是。上的點，且

中，求證：平面

平面

，證明：以為坐標(biāo)原點，建立如 圖所示的坐標(biāo)系，則，，，∴，設(shè)平面的法向量為，則由題意可知，由 得，∴∴平面

令的一個法向量為

得，，由題意可知，平面∴ 的一個法向量為

平面

∴平面

（五）設(shè)平面的法向量為，則點到平面的距離等于

是平面外一點，是平面內(nèi)一點，在法向量上的投影的絕對值，即。

我們再來看2003年全國（理）18題：（Ⅱ）解：設(shè) ∴ 設(shè)平面 由，的法向量為，得，則

，，則

，，，令

∴平面

得，，而

，的一個法向量為∴點 到平面的距離。我們知道直線與平面、兩個平面的距離都?xì)w結(jié)為點到平面的距離，故此法同樣可以解決直線與平面、兩個平行平面的距離。

（六）設(shè)向量與兩異面直線的法向量），都垂直（我們也把向 量稱為兩異面直線

上的點，則兩異面直 線的距離

分別為異面直線等于法向量上的投影的絕對值，即。

中，點

所成的角為

，（1999年全國（理）21題）如圖，已知正四棱柱在棱上，截面，求異面直線

與，且面

與底面

之間的距離。

解：以連結(jié)面 為坐標(biāo)原點，建立如 圖所示的坐標(biāo)系交于

，連結(jié)

，則

就是

，與底面所成的角的平面角，∴又∵截面∴ 則 為=，∴

，的中點，∴，為的中點，，∴ 設(shè)向量得，，都垂直，由，與兩異面直線∴，∴，∴異面直線與之間的距離

前面介紹了利用法向量解決空間幾何的證明與計算問題，實現(xiàn)了幾何問題的代數(shù)化，將復(fù)雜的幾何 證明轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，從而避免了幾何作圖，減少了邏輯推理，降低了難度。但公式的應(yīng)用也有一定的局限性，一般地，在能建立空間直角坐標(biāo)系的情況下，利用法 向量較為有效。

第二篇：構(gòu)造向量巧解不等式問題

構(gòu)造向量巧解有關(guān)不等式問題

新教材中新增了向量的內(nèi)容，其中兩個向量的數(shù)量積有一個性質(zhì)：a?b??|a||b|cos?（其中θ為向量a與b的夾角），則|，又?，則易得到以1?cos?1a?b|??||a|||bcos|

下推論：

（1）ab??|ab|?||；

（2）|ab?|?|a|?|b|；

（3）當(dāng)a與b同向時，ab??|ab|?||；當(dāng)a與b反向時，a?b???|a||b|；

（4）當(dāng)a與b共線時，|ab?|?|a|?|b|。

下面例析以上推論在解不等式問題中的應(yīng)用。

一、證明不等式

例1已知a。、b?R，a?b?12證明：設(shè)m=（1，1），n，則 2a?2b?1)???

?ab?

1||2||a?1?2b?1?

2ab?12由性質(zhì)m ?n?|m|?|n|，得?y?z?1，求證：x?y?z例2已知x。

證明：設(shè)m=（1，1，1），n=（x，y，z），則 2221

3m?n????xyz1

||3，|n|x?y?z

222222 m?nm|?||||n，得x?y?z由性質(zhì)|

?22213a2b2c2a?b?cR，求證：???例3已知a，b，c?。b?cc?aa?b2

222abc)證明：設(shè)m，??a?b)bc?ca?ab?

則m ??na?b?c

222abc||||2(a?b?c)b?ca?ca?b

第1頁（共4頁）

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a2b2c2a?b?c由性質(zhì)| ???m?n|?|m||n|，得b?cc?aa?b2222例4已知a,b為正數(shù)，求證：(。a?b)(a?b)?(a?b)

證明：設(shè)m ?(a，b)，n?(a，b)，則

33m?n?a?b

224442233222||a?b，|n|a?b

由性質(zhì)|m?n|?|m||n|，得 222

44422332(a?b)(a?b)?(a?b)

d?a?cd?。,b,c,d?R例5設(shè)a，求證：a

證明：設(shè)m=（a,b），n=（c,d），則

m?n??adbc

2222 ||a?b||c?d222

由性質(zhì)ab??|ab|?||，得

222ad?a?cd?

二、比較大小

Rda?例6已知m,n,a,b,c,d?

p，q的大小關(guān)系為（）

A.p?qB.p?qC.p

hk?abcd

bd |h|ma?nc，|k|mn

hk?|??|hk|||得 由性質(zhì)|

bcdman?即p?q，故選（A）

bd mn

三、求最值

例7已知m,n,x,y?，且m，那么mx+ny的最大值為??na，x??ybR

（）A.2222abB.a?b

2C.a2?b2

2D.a2?b2

解：設(shè)p=（m,n），q=（x,y），則

由數(shù)量積的坐標(biāo)運算，得p ?q?mx?ny

而|| m?n||x?y

從而有m xnmx?y

當(dāng)p與q同向時，mx+ny取最大值m，故選（A）。?nx?yb

例8求函數(shù)的最大值。x??)

解：設(shè)，則 x?2x)，n?(1，1)***2

m?n2x?1?2x

|m|?2，|n|2

由性質(zhì)m?n?|m|?|n|，得

x?2x2

當(dāng)

四、求參數(shù)的取值范圍 113 時時，y?2max22x??2x

y?y例9設(shè)x,y為正數(shù)，不等式x恒成立，求a的取值范圍。

yn)，?（1，1）解：設(shè)，則

||x?y||2

由性質(zhì)m?n?|m|?|n|，得

xyx?y y?y又不等式x恒成立

故有a?2

黑龍江省大慶市66中學(xué)（163000）

第三篇：法向量在立體幾何解題中的應(yīng)用

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法向量在立體幾何解題中的應(yīng)用

作者：魏慶鼎

來源：《理科考試研究·高中》2013年第08期

高中數(shù)學(xué)教材引進了向量知識以后，為我們解決數(shù)學(xué)問題提供了一套全新的方法——向量法.向量法在解決求立幾中的角和距離兩大問題中，是行之有效的方法，它解決了以前舊版教材立幾中的這兩個難點.在舊版教材中，運用幾何法解決這兩類問題，要通過“作”、“證”、“求”，既要有較強的空間想象能力，又要求學(xué)生對空間中，線、面之間的判定、性質(zhì)等定理非常熟悉并能熟練應(yīng)用，對學(xué)生，特別是中下水平的學(xué)生是一大難點.而現(xiàn)在向量法則很好解決了這個難點，所以它對人們研究立幾問題有著普及的意義.同時向量法對立幾中的線面平行和線面垂直、面面垂直和面面平行等位置關(guān)系的證明，也非常簡便.空間向量的引入使立體幾何的解題變得直觀、易懂.而“法向量”的靈活應(yīng)用，給解決空間問題提供了一個很方便、實用的工具，會使我們在高考中快捷地解決立體幾何問題.以下是本人在教學(xué)過程中總結(jié)出來的關(guān)于“法向量”在立體幾何中的一些應(yīng)用.現(xiàn)把教學(xué)中得到的這些方法進行歸類，供同行參考.4.用法向量求二面角平面角的大小

求二面角的平面角的大小可先求出兩個平面的法向量；則兩法向量的夾角與二面角的平面角相等或互補.此時，觀察二面角的平面角為銳角還是鈍角，視情況而定.（注：在證明面面平行或面面垂直時，也可采用此法.如兩面的法向量共線，即兩平面平行；如兩平面的法向量垂直，即兩平面垂直）從以上的一些例題中，我們不難看出“法向量”這一特殊工具在立體幾何的解題中的優(yōu)越性.但在具體做題中，我們還應(yīng)對不同的題型選擇更便捷的方法去做，視自己對知識掌握的情況而定.

第四篇：向量法證明不等式

向量法證明不等式

高中新教材引入平面向量和空間向量，將其延伸到歐氏空間上的n維向量，向量的加、減、數(shù)乘運算都沒有發(fā)生改變.若在歐式空間中規(guī)定一種涵蓋平面向量和空間向量上的數(shù)量積的運算，則高中階段的向量即為n=2，3時的情況.設(shè)a，b是歐氏空間的兩向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈R，i=1，…，n)

規(guī)定a·b=(x1，x2，…，xn)·(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.(注：a·b可記為(a，b)，表示兩向量的內(nèi)積)，有

由上，我們就可以利用向量模的和與和向量的模的不等式及數(shù)量積的不等式建立一系列n元不等式，進而構(gòu)造n維向量來證明其他不等式.一、利用向量模的和與和向量的模的不等式(即

例1設(shè)a，b，c∈R+，求證：(a+b+c)≤++≤.證明：先證左邊，設(shè)m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，則由

綜上，原不等式成立.點評：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式證明左邊，利用向量數(shù)量積建立不等式證明右邊.作單位向量j⊥AC

j(AC+CB)=jAB

jAC+jCB=jAB

jCB=jAB

|CB|cos(π/2-∠C)=|AB|cos(π/2-∠A)

即|CB|sinC=|AB|sinA

a/sinA=c/sinC

其余邊同理

在三角形ABC平面上做一單位向量i,i⊥BC,因為BA+AC+CB=0恒成立，兩邊乘以i得i*BA+i*AC=0①根據(jù)向量內(nèi)積定義，i*BA=c*cos(i,AB)=c*sinB,同理i*AC=bcos(i,AC)=b(-sinC)=-bsinC代入①得csinB-bsinC=0所以b/sinB=c/sinC類似地，做另外兩邊的單位垂直向量可證a/sinA=b/sinB,所以a/sinA=b/sinB=c/sinC

步驟1

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式。

第五篇：用向量法證明

用向量法證明

步驟1

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式.希望對你有所幫助!

設(shè)向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c向量BM=d,延長AM到D使AM=DM，連接BD,CD,則ABCD為平行四邊形

則向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c

平方(1)

向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d

平方(2)

(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2

已知EF是梯形ABCD的中位線，且AD//BC，用向量法證明梯形的中位線定理

過A做AG‖DC交EF于p點

由三角形中位線定理有：

向量Ep=?向量BG

又∵AD‖pF‖GC且AG‖DC∴向量pF=向量AD=向量GC(平行四邊形性質(zhì))

∴向量pF=?(向量AD+向量GC)

∴向量Ep+向量pF=?(向量BG+向量AD+向量GC)

∴向量EF=?(向量AD+向量BC)

∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)

得證

先假設(shè)兩條中線AD,BE交與p點

連接Cp,取AB中點F連接pF

pA+pC=2pE=Bp

pB+pC=2pD=Ap

pA+pB=2pF

三式相加

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+2pF

3pA+3pB+2pC=2pF

6pF+2pC=2pF

pC=-2pF

所以pC,pF共線，pF就是中線

所以ABC的三條中線交于一點p

連接OD,OE,OF

OA+OB=2OF

OC+OB=2OD

OC+OC=2OE

三式相加

OA+OB+OC=OD+OE+OF

OD=Op+pD

OE=Op+pE

OF=Op+pF

OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op+1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

由第一問結(jié)論

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+Cp

2pA+2pB+2pC=0

1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

所以O(shè)A+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op

向量Op=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)