第一篇：代數(shù)中的向量證明方法

代數(shù)中的向量證明方法

利用向量知識(shí)解題具有很多優(yōu)越性:思路直觀,運(yùn)算簡單,能把“數(shù)”與“形”有機(jī)地結(jié)合起來.學(xué)好平面向量,不僅是掌握生活、學(xué)習(xí)的一種工具,還能提高自己的數(shù)形結(jié)合能力和創(chuàng)新能力,而且能陶冶情操,享受數(shù)學(xué)思想方法帶來的向量學(xué)的美.利用向量解決中學(xué)數(shù)學(xué)題目已經(jīng)相當(dāng)普遍,下面舉例運(yùn)用向量方法證明代數(shù)中的一些問題.y

一 利用平面向量巧證三角證明題

例1 利用向量證明

cos10?cos130?cos250?0，?

?

?

130°

x

sin10?sin130?sin250?0.?

?

?

A

圖

1證明:設(shè)正三角形ABC的邊長為1.如圖1,置于坐標(biāo)系中則

AB??cos10?,sin10??,BC??cos130?,sin130??,CA??cos250?,sin250??,AB?BC?CA??cos10??cos130??cos250?,sin10??sin130??sin250??,?AB?BC?CA??0,0?,??cos10??cos130??cos250?,sin10??sin130??sin250????0,0?.?cos10??cos130??cos250??0,sin10??sin130??sin250??0.評(píng)析：依本題的證法，我們使x軸的正方向繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到向量AB的最小角為?，（而不是本題的特殊角10?）可以得到以正三角形為依托的較為一般的兩個(gè)三角等式：

cos??cos(??120)?cos(??240)?0,?

?

y

sin??sin(??120)?sin(??240)?0.?

?

G

A

例2用向量的方法還可以解決如下的問題，求值：cos

2?7?cos

4?7?cos

6?7?cos2?7

8?7?cos

10?7

?cos

12?7

C

解：因正七邊形的外角為系中，則

AB??cos0,sin0??{1,0},，設(shè)正七邊形的邊長為1，如圖2所示置于坐標(biāo)

2?2???

BC??cos,sin?,77??4?4??

CD??cos,sin

77?6?6??

DE??cos,sin

77?

?

?, ???, ?

8?8???

EF??cos,sin?,77??10?10??

FG??cos,sin

77?12?12??

GA??cos,sin

77?

圖

2?

?, ???.?

?AB?BC?CD?DE?EF?FG?GA?0.?1?cos?cos

2?72?7?cos4?74?7?cos6?76?7?cos8?78?7?cos

10?7

?cos

12?7

?0,?cos?cos?cos?cos

10?7

?cos

12?7

??1.評(píng)析：此題是應(yīng)用上面的證明方法來分析求解，在中學(xué)數(shù)學(xué)中可以遇到不少類似的題目，都可以類似來求解.例3 用向量證明三角公式:

cos(???)?cos?cos??sin?sin?.證明:如圖3,作一個(gè)單位圓,取平面上的兩個(gè)單位向量a、b使它們與x軸上的單位向量

i形成α、??角,即 OA?

a,OB?b.a?b??cos(???)?cos(???),又a??cos?,sin??,b??cos?,?sin??, ?a?b?cos?cos??sin?sin?,?cos(???)?cos?cos??sin?sin?.圖

評(píng)析:該公式在教材中采用構(gòu)造法證明,先構(gòu)造一個(gè)單位圓,再在單位圓上構(gòu)造四點(diǎn),形成兩個(gè)全等三角形,利用兩點(diǎn)間的距離公式證得.這種方法在構(gòu)造圖形上要求太高,很難與我們學(xué)過的知識(shí)相聯(lián)系起來.當(dāng)我們學(xué)過平面向量后,可以簡潔地將此公式證明.同法,我們可以證明:

例4cos?cos??

?cos(???)?cos(???)?.證明：設(shè)三個(gè)單位向量：

a??cos?,sin??,b??cos?,sin??,c??cos?,?sin??, ?a?b?cos?cos??sin?sin??cos(???), a?c?cos?cos??sin?sin??cos(???).?a?b?a?c?cos(???)?cos(???).又?a?b?a?c?a?(b?c)，?b?c??2cos?,0?, ?a（?b?c）?2cos?cos?.綜上所述,可得: cos?cos??

?cos(???)?cos(???)?.二 構(gòu)造向量證明不等式

利用以下定理，可以用向量證明代數(shù)不等式.定理: a,b為兩個(gè)非零向量,則

:例5 設(shè)a,b,c?R+，試證：證明:構(gòu)造向量:

ab

bc

?ca

?(a?b)1a?1b?1c

???

.?a

?1bc?11?a??，,b?，???.bcabc??a??

??(a?b),得

（ab

?

bc

?

ca)?1a

?

1b

?

1c

?1a

?

1b

?

1c,即

ab

?

bc

?

ca

?

?

?

當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c時(shí),不等號(hào)成立.用向量證明問題還應(yīng)該注意一些符號(hào)問題，如：

例6

????2?)

證明：由于a和b方向的不確定性，可按分類討論的思想進(jìn)行證明.（1）若a與b共線且方向相同時(shí)，則

?

??????2

?? ??

?

所以????2?).（2）若a與b共線且方向相反，則

?

??????2

?? ??

?

所以????2?).（3）若a與b不共線時(shí)，如圖4，設(shè)OA?a,OB?b,作平行四邊形OACB，可得

OC?a?b,BA?a?b;

在三角形OAB

中，??????BOA;在三角形OAC

中，?????OAC.因?yàn)?BOA??OAC??

所以兩式相加可得

B

C

????2?).O

A

圖4

評(píng)析：由于平面向量具有“數(shù)”和“形”的雙重功能，涉及“數(shù)”與“形”的許多問題需要分類討論，所以用分類討論思想解決平面向量問題是順理成章的事.通過分類討論把向量中的問題分門別類轉(zhuǎn)為局部問題，使繁復(fù)的向量問題簡單化，從而達(dá)到解決問題的目的.同樣地，我們可以用構(gòu)造向量的方法來證明三角不等式： 例7 設(shè)?，?，?均為銳角，滿足sin2??sin2??sin2??1則

sin?sin?

?

sin?sin?

?

sin?sin?

?1。

證明：構(gòu)造兩個(gè)向量：

2?sin??

a

??,??sin?sin?

sin

?

sin?sin?,??

?, sin?sin???sin

?

b?

?sin?,sin?sin?,?sin?.?

sin?sin?sin?

?(a?b).即

(?

sin

?

sin?sin?

?

sin?sin?sin?)?(sin?sin??sin?sin??sin?sin?)

?(sin??sin

??sin?)

所以

sin?sin?

?

sin?sin?

?

sin?sin?

?

(sin??sin

??sin?)

sin?sin??sin?sin??sin?sin?

?

(sin??sin??sin?)sin??sin??sin?

2222

?sin??sin??sin??1

評(píng)析：證明此類不等式證明，若能觀察到向量的“影子”，通過構(gòu)造向量，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算公式，能使繁復(fù)的問題簡單化.例8 若x，y，z?R?，且x?y?z?1.n為正整數(shù).求證:

x

n

y(1?y)

?

y

n

z(1?z)

?

z

n

x(1?x)

?

n?2

n

?9

.證明：由已知條件，知1?xn?0,1?yn?0,1?zn?0.構(gòu)造向量：

??a??

??

x

n,y

n,y(1?y)

z(1?z)

??

?,b?n

x(1?x)??z

y(1?y),n

z(1?z),n

x(1?x)

n

?

(x?y

?(a?b).得

?

y

n

?z)

?[

x

n

y(1?y)z(1?z)

?

z

n

x(1?x)

]?[y(1?y)?z(1?z)?x(1?x)]

n

n

n

所以

x

n

y(1?y)

?

y

n

z(1?z)

?

z

n

x(1?x)

?

(x?y?z)

(x?y?z)?(x

n?1

2222

?y

n?1

?z

n?1)

[3（?

x?y?z)]

(x?y?z)?3?（x?y?z)

n?1

122

[3?()]n

??n?2.1n?13?9

1?3?()

若取n?1,得

x

y(1?y)

?

y

z(1?z)

?

z

x(1?x)

?

.（《上海中學(xué)數(shù)學(xué)》1993（2）數(shù)學(xué)問題1）若取n?2，得

x

y(1?y)

?

y

z(1?z)

?

z

x(1?x)

?

.（《數(shù)學(xué)通報(bào)》1994（11）數(shù)學(xué)問題921）

評(píng)析：此題也是巧妙構(gòu)造向量的例子，題中n的取值不同可以得到不同的不等式方程，對(duì)應(yīng)解決不同的數(shù)學(xué)問題.小結(jié)：愛因斯坦說：“提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更重要”.善于觀察的人可以將常人熟視無睹的問題提出來，并加以研究解決.在引入向量的知識(shí)后，因?yàn)椤跋蛄俊本哂袔缀涡问胶痛鷶?shù)形式的“雙重身份”，它可以作為聯(lián)系代數(shù)和幾何的紐帶，是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn).本文主要從代數(shù)問題的角度利用向量方法證明，打破常規(guī)，構(gòu)造向量，利用平面向量的數(shù)量積獲得妙解.思路直觀，運(yùn)算簡單，能把“數(shù)”與“形”有機(jī)的結(jié)合起來.

第二篇：向量代數(shù)與空間解析幾何

1．向量代數(shù)與空間解析幾何

向量代數(shù)：向量的線性運(yùn)算，向量的坐標(biāo)，向量的數(shù)量積，向量積，兩向量平行與垂直的條件。平面與直線：會(huì)利用已知條件求平面的方程、直線的方程。

曲面與空間曲線：了解曲面的概念，如坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面，母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程；了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，會(huì)求空間曲線在坐標(biāo)面上的投影。

2．多元函數(shù)微分學(xué)

多元函數(shù)：會(huì)求簡單的二元函數(shù)的極限與判斷二元函數(shù)的連續(xù)性。

偏導(dǎo)數(shù)與全微分：偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，復(fù)合函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的求法、隱函數(shù)的求偏導(dǎo)；會(huì)求全微分； 偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：方向?qū)?shù)和梯度；空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線；最大值、最小值問題，條件極值，拉格朗日乘數(shù)法。

3．多元函數(shù)積分學(xué)

二重積分：化二重積分為二次積分、交換二次積分的次序；二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）；利用二重積分求曲面面積、立體體積。

三重積分：三重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）；

曲線積分：兩類曲線積分的計(jì)算方法；格林公式，平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件。

曲面積分：兩類曲面積分的計(jì)算方法；高斯公式。

4．無窮級(jí)數(shù)

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：級(jí)數(shù)收斂的判定，幾何級(jí)數(shù)和P—級(jí)數(shù)的斂散性；正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較、比值及根值審斂法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理，絕對(duì)收斂與條件收斂的概念及其關(guān)系。

冪級(jí)數(shù)：較簡單的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域的求法，冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)；函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)。傅里葉級(jí)數(shù)：函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，函數(shù)與和函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)展開為正弦或余弦級(jí)數(shù)。

5．常微分方程

可分離變量微分方程，齊次方程，一階線性微分方程?？山惦A的高階微分方程。二階常系數(shù)齊次線性微分方程。利用切線斜率建立簡單的微分方程并求解。

牢固掌握下列公式：

1、向量的數(shù)量積、向量積計(jì)算公式；

2、全微分公式；

3、方向?qū)?shù)公式；

4、拉格朗日乘數(shù)法；

5、格林公式、高斯公式；

6、函數(shù)的麥克勞林展開公式。

7、一階線性方程的通解公式；

第三篇：立體幾何中的向量方法----證明平行與垂直練習(xí)題

§8.7 立體幾何中的向量方法（Ⅰ）----證明平行與垂直

一、選擇題

1．若直線l1，l2的方向向量分別為a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，則()．

A．l1∥l2B．l1⊥l

2C．l1與l2相交但不垂直D．以上均不正確

2．直線l1，l2相互垂直，則下列向量可能是這兩條直線的方向向量的是()

A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0)

B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0)

C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2)

D．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2)

35?15???3．已知a＝?1，－，b＝?－3，λ，－滿足a∥b，則λ等于()． 22?2???

2992A.B.C．－D．－ 322

34．若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的是()．

A．a(chǎn)＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)

B．a(chǎn)＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)

C．a(chǎn)＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)

D．a(chǎn)＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)

5．若平面α，β平行，則下面可以是這兩個(gè)平面的法向量的是()

A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1)

B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1)

C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1)

D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2)

6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，則實(shí)數(shù)λ等于()．

62636065A.B.C.D.7777

7．已知平面α內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)A(2，－1,2)，α的一個(gè)法向量為n＝(3,1,2)，則下列點(diǎn)P中，在平面α內(nèi)的是()

A．(1，－1,1)3??B.?1，3，2??

??

C.?1，－3，2??

二、填空題

??

D.?－1，3，－

2??

8．兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，則

l1與l2的位置關(guān)系是_______．

9．平面α的一個(gè)法向量n＝(0,1，－1)，如果直線l⊥平面α，則直線l的單位方向向量是s＝________.→

＝0的_______．

→

12．已知→AB＝(1,5，－2)，→BC＝(3,1，z)，若→AB⊥→BC，→BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則實(shí)數(shù)x，y，z分別為________．

三、解答題

13．已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：

→

11．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，則平面ABC的單位法向量是________．

→

→

→

→

→

10．已知點(diǎn)A，B，C∈平面α，點(diǎn)P?α，則AP·AB＝0，且AP·AC＝0是AP·BC

a，b，c.14.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是C1C、B1C1的中點(diǎn)．求證：

MN∥平面A1BD.證明 法一 如圖所示，以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直

線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，???1?

則M?0，1，N?，1，1?，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，2???2?→

1??

1于是MN＝?，0，2??

2設(shè)平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)． ?x＋z＝0，則n·DA1＝0，且n·DB＝0，得?

?x＋y＝0.→

→

取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)． →

1??1

又MN·n＝?，0，·(1，－1，－1)＝0，2??2→

∴MN⊥n，又MN?平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.15．如圖，已知ABCDA1B1C1D1是棱長為3的正方體，點(diǎn)E在AA1上，點(diǎn)F在CC1上，且AE＝FC1＝

1.(1)求證：E，B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面；

(2)若點(diǎn)G在BC上，BG＝M在BB1上，GM⊥BF，垂足為H，求證：EM⊥面

BCC1B1.→→

證明(1)建立如圖所示的坐標(biāo)系，則BE＝(3,0,1)，BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．

→→

→→→→

所以BD1＝BE＋BF，故BD1、BE、BF共面． 又它們有公共點(diǎn)B，所以E、B、F、D1四點(diǎn)共面．(2)如圖，設(shè)M(0,0，z)，→

→→

2??

則GM＝?0，－，z?，而BF＝(0,3,2)，3??

→→

由題設(shè)得GM·BF＝－×3＋z·2＝0，得z＝1.→

因?yàn)镸(0,0,1)，E(3,0,1)，所以ME＝(3,0,0)． →

→

又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)，→→→→

所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，從而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.16．如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是線段EF的中點(diǎn)．

求證：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.證明(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC∩BD＝N，連接NE.則點(diǎn)N、E的坐標(biāo)分別為 ?22?

?，0?、(0,0,1)．

2?2?→?22?∴NE＝?－，－1?.2?2?

?2?

2又點(diǎn)A、M的坐標(biāo)分別是2，2，0)、?，1?

2?2

?

→

?22?∴AM＝?－，－1?.2?2?

→→

∴NE＝AM且NE與AM不共線．∴NE∥AM.又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，∴AM∥平面BDE.?22?

(2)由(1)知AM＝?－，－1?，2?2?

→

∵D2，0,0)，F(xiàn)(2，2，1)，∴DF＝(0，2，1)→→

∴AM·DF＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.→

第四篇：8.7 立體幾何中的向量方法Ⅰ——證明平行與垂直

§8.7 立體幾何中的向量方法Ⅰ——證明

平行與垂直

(時(shí)間：45分鐘 滿分：100分)

一、選擇題(每小題7分，共35分)

????????1.已知空間三點(diǎn)A（0,2,3），B（-2,1,6），C（1，-1,5）若a

a分別與AB,AC垂

直，則向量a為??

A.?1，1，1?

B.?－1，－1，－1?

C.?1，1，1?或?－1，－1，－1?

D.?1，－1，1?或?－1，1，－1?,2.已知a＝?1，1，1?，b＝?0，2，－1?，c＝ma＋nb＋?4，－4，1?.若c與a及b都垂直，則m，n的值分別為??,A.－1，2B.1，－2C.1，2D.－1，－

23.已知a＝?1,?,?，b＝??3,?,?

A??35?22???15??滿足a∥b，則λ等于?? 2?2992.B.C.－D.－ 3223????????????????????4.已知AB＝?1，5，－2?，BC＝?3，1，z?，若AB⊥BC，BP＝?x－1，y，－3?，且BP⊥平面ABC，則實(shí)數(shù)x，y，z分別為???A.33154015，－，4B.，－，4 77774040，－2，4D.4，－15 77C.5.若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的是??,A.a＝?1，0，0?，n＝?－2，0，0?

B.a＝?1，3，5?，n＝?1，0，1?

C.a＝?0，2，1?，n＝?－1，0，－1?

D.a＝?1，－1，3?，n＝?0，3，1?

二、填空題?每小題7分，共21分?

6.設(shè)a＝?1，2，0?，b＝?1，0，1?，則“c＝(,?,?的條件.7.若|a|，b＝?1，2，－2?，c＝?2，3，6?，且a⊥b，a⊥c，則a＝.,8.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，E、F分別是棱BC、DD1上的點(diǎn)，如果B1E⊥平面ABF，則CE與DF的和的值為

三、解答題?共44分?

9.?14分?已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別為BB1、C1D1的中點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求平面AMN的一個(gè)法向量

10．(15分)如圖，已知ABCD—A1B1C1D1是棱長為3的正方體，點(diǎn)E在AA

1上，點(diǎn)F在CC1上，且AE＝FC1＝1.(1)求證：E，B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面；

2(2)若點(diǎn)G在BC上，BG＝，點(diǎn)M在BB1上，GM⊥BF，垂足為H，求證：

3EM⊥面BCC1B1.11．(15分)如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB2，AF

＝1，M是線段EF的中點(diǎn)．

求證：(1)AM∥平面BDE；

(2)AM⊥平面BDF.答案

1.C2.A3.B4.B5.D

6.充分不必要7.??23132)”是“c⊥a，c⊥b且c為單位向量”31??181??18,2,?或?，?2,??8.1 5??55??

5.9.解 以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系?如圖所示?.,設(shè)

正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，則A?1，0，0?，M(1，1，11)，N(0，1)).∴2

2??????1??????1?AM??1,0,?,AN??0，1?設(shè)平面AMN的一個(gè)法向量為2???2?

n＝?x，y，z?,?????1?n?AM?y?z?0??2? ?????n?AN??x?1y?z?0??2

令y＝2，∴x＝－3，z＝－4.∴n＝(－3,2，－4)．

∴(－3,2，－4)為平面AMN的一個(gè)法向量．

????10.證明 建立如圖所示的坐標(biāo)系，則BE＝(3,0,1)，????→BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．

?????????????→???→所以BD1=BE+BF，故BD1，BE，BF共面．

又它們有公共點(diǎn)B，所以E、B、F、D1四點(diǎn)共面．

(2)如圖，設(shè)M(0,0，z)，?????2→0，－z?，而BF＝(0，3，2)，GM＝?3??

得z＝1.?????→2由題設(shè)得GM?BF=??3?z?2?0，3????因?yàn)镸(0,0，1)，E（3,0,1），所以ME＝(3,0,0)．

→→又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)，→→→→所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，從而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.11.證明(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC∩BD＝N，連接NE.則點(diǎn)N、E的坐標(biāo)分別為 ?22，0?、(0,0,1)． 2?2?

?????22∴NE＝－1?.2?2?

又點(diǎn)A、M的坐標(biāo)分別是，0)、?22?22→，AM＝?－，1?.，1，22?2??2?????→∴NE＝AM且NE與AM不共線．∴NE∥AM.又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，∴AM∥平面BDE.????22?→?(2)由（1）知AM＝1，∵D(2，0,0)，F(xiàn)22，1)，DF＝(0，2，2?2?

1)．

→→→→AM·DF＝0.∴AM⊥DF.→→同理AM⊥BF，又DF∩BF

＝

F，∴AM⊥平面BDF.

第五篇：證明向量共面

證明向量共面

已知O是空間任意一點(diǎn),A.B.C.D四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線,但四點(diǎn)共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,則2x+3y+4z=?

寫詳細(xì)點(diǎn)怎么做謝謝了~明白后加分！!

我假定你的O-A表示向量OA。

由O的任意性，取一個(gè)不在ABCD所在平面的O，這時(shí)若OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。

(證明：設(shè)O在該平面上的投影為p，那么對(duì)平面上任何一點(diǎn)X，OX=Op+pX，然后取X=A、B、C、D代你給的關(guān)系式并比較Op分量即可。)

你給的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。

2充分不必要條件。

如果有三點(diǎn)共線，則第四點(diǎn)一定與這三點(diǎn)共面，因?yàn)榫€和直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，如果第四點(diǎn)在這條線上，則四點(diǎn)共線，也一定是共面的。

而有四點(diǎn)共面，不一定就其中三點(diǎn)共線，比如四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共面，但這四個(gè)頂點(diǎn)中沒有三個(gè)是共線的。

“三點(diǎn)共線”可以推出“四點(diǎn)共面”，但“四點(diǎn)共面”不能推出“三點(diǎn)共線”。因此是充分不必要條件

任取3個(gè)點(diǎn)，如果這三點(diǎn)共線，那么四點(diǎn)共面;如果這三點(diǎn)不共線，那么它們確定一個(gè)平面，考慮第四點(diǎn)到這個(gè)平面的距離。方法二A、B、C、D四點(diǎn)共面的充要條件為向量AB、AC、AD的混合積(AB,AC,AD)=0。方法三A、B、C、D四點(diǎn)不共面的充要條件為向量AB、AC、AD線性無關(guān)。

3已知O是空間任意一點(diǎn),A.B.C.D四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線,但四點(diǎn)共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,則2x+3y+4z=?

寫詳細(xì)點(diǎn)怎么做謝謝了我假定你的O-A表示向量OA。

由O的任意性，取一個(gè)不在ABCD所在平面的O，這時(shí)若OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。

(證明：設(shè)O在該平面上的投影為p，那么對(duì)平面上任何一點(diǎn)X，OX=Op+pX，然后取X=A、B、C、D代你給的關(guān)系式并比較Op分量即可。)

你給的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。

4Xa-Yb+Yb-Zc+Zc-Xa=0

∴Xa-Yb=-(Yb-Zc)-(Zc-Xa)

由共面判定定理知它們共面。

簡單的說一個(gè)向量能夠用另外兩個(gè)向量表示，它們就共面。詳細(xì)的看高中課本

41.若向量e1、e2、e3共面，(i)其中至少有兩個(gè)不共線，不妨設(shè)e1,e2不共線，則e1,e2線性無關(guān)，e3可用e1,e2線性表示，即存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得e3=λe1+μe2,于是

λe1+μe2-e3=0.即存在三個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)λ，μ，υ=-1，使得

λe1+μe2+υe3=0”。

(ii)若e1,e2,e3都共線，則其中至少有一個(gè)不為0，不妨設(shè)e1≠0，則存在實(shí)數(shù)λ，使得e2=λe1.于是λe1-e2=0,即存在三個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)λ，μ=-1，υ=0，使得λe1+μe2+υe3=0”.2.存在三個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)λ，μ，υ，使得λe1+μe2+υe3=0”，不妨設(shè)λ≠0，就有e1=(-μ/λ)e2+(-υ/λ)e3,于是e1,e2,e3共面。