第一篇：2.5.1 平面幾何中的向量方法(教案)

2.5 平面向量應(yīng)用舉例 2.5.1 平面幾何中的向量方法

教學(xué)目標(biāo)

1.通過平行四邊形這個(gè)幾何模型,歸納總結(jié)出用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”.2.明了平面幾何圖形中的有關(guān)性質(zhì),如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示.教學(xué)重點(diǎn):用向量方法解決實(shí)際問題的基本方法;向量法解決幾何問題的“三步曲”.教學(xué)難點(diǎn):如何將幾何等實(shí)際問題化歸為向量問題.教學(xué)過程 導(dǎo)入新課

前言：向量的概念和運(yùn)算都有著明確的物理背景和幾何背景,當(dāng)向量和平面坐標(biāo)系結(jié)合后,向量的運(yùn)算就完全可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.這就為我們解決物理問題和幾何研究帶來了極大的方便.本節(jié)專門研究平面幾何中的向量方法.新知探究 提出問題

①平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型,如圖1,你能觀察、發(fā)現(xiàn)并猜想出平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩鄰邊長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系嗎？

②你能利用所學(xué)知識(shí)證明你的猜想嗎？能利用所學(xué)的向量方法證明嗎？試一試可用哪些方法? ③你能總結(jié)一下利用平面向量解決平面幾何問題的基本思路嗎？

圖1

圖2

證明:方法一:如圖2.作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,則Rt△ADF≌Rt△BCE.∴AD=BC,AF=BE.由于AC AE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2AB·BE+BE2+CE2=AB2+2AB·BE+BC2.BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2=AB2-2AB·AF+AF2+DF2=AB2-2AB·AF+AD2=AB2-2AB·BE+BC2.∴AC2+BD2=2(AB2+BC2).方法二:如圖3.以AB所在直線為x軸,A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.設(shè)B(a,0),D(b,c),則C(a+b,c).∴|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2, |BD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.∴|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)=2(|AB|2+|AD|2).用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”,即

(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;(2)通過向量運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問題;(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.應(yīng)用示例

圖3

例1 如圖4, 解:如圖4, ABCD中,點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn),BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn),你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎? 設(shè)AB=a,AD=b,AR=r,AT=t,則AC=a+b.由于AR與AC共線,所以我們?cè)O(shè)r=n(a+b),n∈R.又因?yàn)镋B=AB-AE=a-圖4

1b, 21b).2ER與EB共線,所以我們?cè)O(shè)ER=mEB=m(a-因?yàn)锳R?AE?ER,所以r=即(n-m)a+(n+

111b+m(a-b).因此n(a+b)=b+m(a-b), 222m?1)b=0.由于向量a、b不共線,要使上式為0,必須 2?n?m?0,1?解得n=m=.?m?13n??0.?2?所以AR=變式訓(xùn)練 111AC,同理TC=AC.于是RT=AC.所以AR=RT=TC.333

圖5

如圖5,AD、BE、CF是△ABC的三條高.求證:AD、BE、CF相交于一點(diǎn).證明:設(shè)BE、CF相交于H,并設(shè)AB=b,AC=c,AH=h，則BH=h-b,CH=h-c,BC=c-b.因?yàn)锽H⊥AC,CH⊥AB, 所以(h-b)·c=0,(h-c)·b=0, 即(h-b)·c=(h-c)·b.化簡(jiǎn)得h·(c-b)=0.所以AH⊥BC.所以AH與AD共線, 即AD、BE、CF相交于一點(diǎn)H.課堂小結(jié)：用向量解決平面問題的三步曲：

課后作業(yè)：

1.有一邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD,設(shè)AB=a,BC=b,AC=c,則|a-b+c|=_______________.2.已知|a|=2,|b|=,則使λb-a與a垂直的λ=____________.2,a與b的夾角為45°3.在等邊△ABC中,AB=a,BC=b,CA=c,且|a|=1,則a·b+b·c+c·a=____________.4.已知四邊形ABCD滿足|AB|2+|BC|2=|AD|2+|DC|2,M為對(duì)角線AC的中點(diǎn).求證:|MB|=|MD|.5.如圖6,已知AC為⊙O的一條直徑,∠ABC是圓周角.求證:∠ABC=90°.圖6

第二篇：2.5.1平面幾何中的向量方法(教學(xué)設(shè)計(jì))

SCH高中數(shù)學(xué)（南極數(shù)學(xué)）同步教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版必修4第二章《平面向量》）

2.5.1平面幾何中的向量方法（教學(xué)設(shè)計(jì)）

[教學(xué)目標(biāo)]

一、知識(shí)與能力：

1.運(yùn)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題.二、過程與方法：

經(jīng)歷用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題；體會(huì)向量是一種處理幾何問題的工具；發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力.三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

培養(yǎng)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象的好奇心，學(xué)習(xí)從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題；樹立學(xué)科之間相互聯(lián)系、相互促進(jìn)的辯證唯物主義觀點(diǎn).[教學(xué)重點(diǎn)] 運(yùn)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題.[教學(xué)難點(diǎn)]

運(yùn)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題

一、復(fù)習(xí)回顧 1． 向量的概念；

2． 向量的表示方法：幾何表示、字母表示； 3． 零向量、單位向量、平行向量的概念；

4． 在不改變長(zhǎng)度和方向的前提下，向量可以在空間自由移動(dòng)； 5． 相等向量：長(zhǎng)度（模）相等且方向相同的向量； 6． 共線向量：方向相同或相反的向量，也叫平行向量.7． 要熟練地掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，并能做出已知兩個(gè)向量的和向量； 8． 要理解向量加法的交換律和結(jié)合律，能說出這兩個(gè)向量運(yùn)算律的幾何意義； 9． 理解向量減法的意義；能作出兩個(gè)向量的差向量.10． 理解實(shí)數(shù)與向量的積的意義，能說出實(shí)數(shù)與一個(gè)向量的積這與個(gè)向量的模及方向間的關(guān)系； 11． 能說出實(shí)數(shù)與向量的積的三條運(yùn)算律，并會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行計(jì)算； 12． 能表述一個(gè)向量與非零向量共線的充要條件； 13． 會(huì)表示與非零向量共線的向量，會(huì)判斷兩個(gè)向量共線.二、師生互動(dòng)，新課講解

由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖像的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來.因此可用向量方法解決平面幾何中的一些問題.例1： 證明：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.SCH高中數(shù)學(xué)（南極數(shù)學(xué)）同步教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版必修4第二章《平面向量》）

證明：設(shè)四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AO?OC，BO?OD.AB?12AC?1112DB，DC?2DB?2AC,?AB?DC, 即AB?DC且AB//DC所以四邊形ABCD是平行四邊形，即對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.變式訓(xùn)練1：已知DE是?ABC的中位線，用向量的方法證明：DE?12BC，且DE//BC.證明：易知AD?12AB,AE?12AC,所以DE?AE?AD?12?AC?AB??12BC.即DE?12BC，又D不在BC上，所以DE//BC.例2： 用向量方法證明：三角形三條高線交于一點(diǎn).證明：設(shè)H是高線BE、CF的交點(diǎn)，且設(shè)AB?a,AC?b,AH?h則有BH?h?a,CH?h?b,BC?b?a,BH?AC,CH?AB,??h?a?·b??h?b?·a?0

化簡(jiǎn)得，h·?b?a??0?AH?BC所以，三角形三條高線交于一點(diǎn).變式訓(xùn)練2：證明勾股定理，在Rt?ABC中，AC?BC，BC?a，AC?b，AB?c，則c2?b2?a2.證明：由AB?AC?CB，得BAB·AB?AC·AC?2AC CB?CBCB即|AB|2?|AC|2?0?|CB|2，故c2?b2?a2.CA

例3：（課本P109例1）已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線為AC、BD.求證：|AC|2?|DB|2?2?|AB|2?|AD|2? 2

SCH高中數(shù)學(xué)（南極數(shù)學(xué)）同步教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版必修4第二章《平面向量》）

證明：由|AC|2?AC?AB?AD2??2?|AB|2?|AD|2?2AB AD|DB|2?DB?AB?AD2,??2

?|AB|2?|AD|2?2AB AD得|AC|2?|DB|2?2|AB|2?|AD|2.??變式訓(xùn)練3：用向量方法證明：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.解：如圖，四邊形ABCD對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AB?AO?OB,AD?AO?OD,?AB·AD?AO?OB·AO?OD2DOC????

A?AO?AO·OD?OB·AO?OB·OD?0?AB?AD,即AB?AD，?四邊形ABCD是矩形.B

三、課堂小結(jié)，鞏固反思：

向量是溝通數(shù)與形的十分有效的工具，利用向量處理平面幾何問題，最重要的是要先在平面圖形中尋找向量的“影子”，然后合理引入向量，并通過向量的運(yùn)算，達(dá)到快捷解題的效果.四、課時(shí)必記：

五、分層作業(yè)： A組：

1、（課本P118復(fù)習(xí)參考題 A組：NO：5）

2、（課本P118復(fù)習(xí)參考題 A組：NO：6）

3、（課本P118復(fù)習(xí)參考題 A組：NO：7）

4、（課本P118復(fù)習(xí)參考題 A組：NO：8）

5、（課本P118復(fù)習(xí)參考題 A組：NO：9）B組：

1、（課本P113習(xí)題2.5 A組NO：1）

2、（課本P113習(xí)題2.5 A組NO：2）SCH高中數(shù)學(xué)（南極數(shù)學(xué)）同步教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版必修4第二章《平面向量》）

3、用向量方法證明：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.證明：如圖平行四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AB?AO?OB,BC?BO?OC|AB|2??AO?OB?2?|AO|2?2AO OB?OB2?|AO2?OB2

|BC|2??BO?OC?2?|BO|2?2BO OC?|OC|2?|BO|2?|OC|2,?|AB|?|BC|，?四邊形ABCD是菱形.C組：

DCOAB4

第三篇：【教案】3.2立體幾何中的向量方法

3.2.2向量法解決空間角問題

（習(xí)題課）

（1）、三維目標(biāo)

1．知識(shí)與能力：向量運(yùn)算在幾何計(jì)算中的應(yīng)用．培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算能力。

2．過程與方法：掌握利用向量運(yùn)算解幾何題的方法，并能解簡(jiǎn)單的立體幾何問題． 3．情感目標(biāo)

通過師生、生生的合作學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力的培養(yǎng)，增強(qiáng)主動(dòng)與他人合作交流的意識(shí).（2）教學(xué)重點(diǎn)：向量運(yùn)算在解決空間角中的應(yīng)用．（3）教學(xué)難點(diǎn)：向量運(yùn)算在解決空間角中的應(yīng)用．21 新課導(dǎo)入設(shè)計(jì)

一、復(fù)習(xí)引入

1、兩條異面直線所成的角的定義及范圍？

2、直線與平面所成角的定義及范圍？

3、二面角定義及范圍？

（和學(xué)生一起回憶定義，并且通過直線的方向向量及平面的法向量復(fù)習(xí)線線角，線面角及面面角的公式）

二、習(xí)題展示：教師給出正方體這個(gè)載體，由學(xué)生在正方體中構(gòu)造空間角，展示自編題目，并由學(xué)生解答完成。

1、展示線線角習(xí)題：

（設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生清楚如何將求兩條異面直線所成角轉(zhuǎn)化成求兩個(gè)向量所成角，并且會(huì)用cos?=|cos＜a,b＞|＝|a?b|解決問題，但要注意異面直線所成角的范圍與

a?b兩個(gè)向量所成角范圍的不同）

2、展示線面角習(xí)題；（設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生能將求線面角轉(zhuǎn)化為求線線角，即求斜線與平面的法向量所成的角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量所成角，這里關(guān)注學(xué)生在講解過程中是否能講清楚線面角的正弦即是線線角的余弦，即sin??cosAB,n?ABnABn）

3、展示面面角習(xí)題；（設(shè)計(jì)意圖；使學(xué)生能將二面角的平面角轉(zhuǎn)化為線線角，即轉(zhuǎn)化為求平面的法向量所成的角，進(jìn)而使問題又歸為

第四篇：高中數(shù)學(xué)必修4人教A教案2.5.1平面幾何中的向量方法2.5.2向量在物理中的應(yīng)用舉例

2.5.1平面幾何中的向量方法

教學(xué)目的：

1.通過平行四邊形這個(gè)幾何模型,歸納總結(jié)出用向量方法解決平面幾何的問題的”三步曲”；

2.明確平面幾何圖形中的有關(guān)性質(zhì),如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示.； 3.讓學(xué)生深刻理解向量在處理平面幾何問題中的優(yōu)越性.教學(xué)重點(diǎn)：用向量方法解決實(shí)際問題的基本方法：向量法解決幾何問題的“三步曲”.教學(xué)難點(diǎn)：如何將幾何等實(shí)際問題化歸為向量問題.教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

1.兩個(gè)向量的數(shù)量積： a?b? |a||b|cos?.2.平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示: a?b?x1x2?y1y2.3.向量平行與垂直的判定: a//b?x1y2?x2y1?0.a?b?x1x2?y1y2?0.4.平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式：

|AB|?5.求模：

(x1?x2)2?(y1?y2)2

a?a?a

a?

二、講解新課： 例

x2?y a?(x1?x2)2?(y1?y2)2

1.平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型.如圖，AC? AB?AD,DB? AB?AD,你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？

DABC

思考1：

如果不用向量方法，你能證明上述結(jié)論嗎？

練習(xí)1.已知AC為⊙O的一條直徑，∠ABC為圓周角.求證：∠ABC＝90o.（用向量方法證明）

思考2：

運(yùn)用向量方法解決平面幾何問題可以分哪幾個(gè)步驟？

用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：

(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；

(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.例2．如圖，□ ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？ FD

E RT

A B

三、課堂小結(jié)

用向量方法解決平面幾何的“三步曲”：

(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；

(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.四、課后作業(yè)

習(xí)題2.5 A組第1題

C 2

2.5.2向量在物理中的應(yīng)用舉例

教學(xué)目的：

1.通過力的合成與分解模型、速度的合成與分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相關(guān)問題 的步驟，明了向量在物理中應(yīng)用的基本題型，進(jìn)一步加深對(duì)所學(xué)向量的概念和向量運(yùn)算的認(rèn)識(shí)；

2.通過對(duì)具體問題的探究解決，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，體會(huì) 數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的作用.教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)對(duì)物理中的力的作用、速度分解進(jìn)行相關(guān)分析來計(jì)算.教學(xué)難點(diǎn)：將物理中有關(guān)矢量的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中向量的問題.教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入： 1.講解上節(jié)作業(yè)題.已知A(1,0),直線l:y?2x?6,點(diǎn)R是直線l上的一點(diǎn),若RA?2AP,求點(diǎn)P的軌跡方程.2.你能掌握物理中的哪些矢量？向量運(yùn)算的三角形法則與平行四邊形法則是什么？

二、講解新課：

例1.在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力.你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種形象嗎？

探究1.設(shè)兩人拉力分別為F1，F(xiàn)2，其夾角為?，旅行包的重力為G。(1)?為何值時(shí)，|F1|最小，最小值是多少? 3

(2)| F1|能等于|G|嗎?為什么? 探究2: 你能總結(jié)用向量解決物理問題的一般步驟嗎? 用向量解決物理問題的一般步驟是：

(1)問題的轉(zhuǎn)化：把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；(2)模型的建立：建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；

(3)參數(shù)的獲得：求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解——理論參數(shù)值；(4)問題的答案：回到問題的初始狀態(tài)，解決相關(guān)物理現(xiàn)象.例2.如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d＝500 m，一艘船從A處出發(fā)到河對(duì)岸.已知船的速度|v1|＝10 km/h，水流速度|v2|＝2 km/h，問行駛航程最短時(shí)，所用時(shí)間是多少（精確到0.1 min）？

思考

3、: “行駛最短航程”是什么意思？怎樣才能使航程最短？

三、課堂小結(jié)

向量解決物理問題的一般步驟:(1)問題的轉(zhuǎn)化：把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；(2)模型的建立：建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；

(3)參數(shù)的獲得：求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解——理論參數(shù)值；(4)問題的答案：回到問題的初始狀態(tài)，解決相關(guān)物理現(xiàn)象.四、課后作業(yè)

習(xí)題2.5 A組第4題

第五篇：平面幾何常用證明方法

平面幾何常見證明方法

1,分析法

分析法是從命題的結(jié)論入手，先承認(rèn)它是正確的，執(zhí)果索因，尋求結(jié)論正確的條件，這樣一步一步逆而推之，直到與題設(shè)會(huì)合，于是就得出了由題設(shè)通往結(jié)論的思維過程。

分析法主要應(yīng)用與的幾何問題特點(diǎn)主要是：從證明推理的時(shí)候出現(xiàn)多個(gè)方向，不知道哪個(gè)方向能夠成功推導(dǎo)到結(jié)論，也就是說從正向推導(dǎo)比較迷茫的時(shí)候，比較適合用分析法來解決這些問題。

例1 如圖2.1.1，四邊形ABCD的一條對(duì)角線BD平行于兩對(duì)邊之交點(diǎn)的連線EF，求證：AC平分BD。[1]

證明：設(shè)AC交BD于M，交EF于N

BMMD?，欲證BM?MD ENNF作方向猜測(cè)，只需證EN?NF或 BMEN??1即可。MDNF則但我們意識(shí)到這不容易證明，（圖2.1.1）

BMMDBMEN??即可。而，從而MDBMMDNFMDENMDBMMDMCBM????只需證即可，又只需證即可。而，故得證。BMNFENNFENCNNF再作方向猜測(cè)，欲證BM?MD，只需證明2 綜合法

綜合法則是由命題的題設(shè)條件入手，由因?qū)Ч?，通過一系列的正確推理，逐步靠近目標(biāo)，最終獲得結(jié)論。再從已知條件著手，根據(jù)已知的定義、公式、定理，逐步推導(dǎo)出結(jié)論。綜合法和分析法有些不同的是分析法的思路從結(jié)論開始，綜合法的思路從題設(shè)開始。

例2如圖2.2.1設(shè)D是?ABC底邊BC上任一點(diǎn)，則AD?BC?AB?CD?AC?BD?BC?BD?CD。[1] 證明：在?ADB和?ABC中 222AD2?BD2?AB cos?ADB?

2AD?BDAD2?CD2?AC2

cos?ADC?

2AD?BD

由cos?ADB??cos?ADC，所以

(圖2.2.1)AD2?BD2?AB2AD2?CD2?AC2??

2AD?BD2AD?BD

有AD2(BD?CD)?AB2?CD?AC2?BD?BD?CD(BD?CD)

將BD?CD?BC代入上式則有

AD?BC?AB?CD?AC?BD?BC?BD?CD，證畢。

在具體證題時(shí)，這兩種方法可單獨(dú)運(yùn)用，也可配合運(yùn)用，在分析中有綜合，在綜合中有分析，以進(jìn)行交叉使用。由于篇幅有限在此僅歸納方法，并不做詳細(xì)介紹。

但是有些命題往往不易甚至不能直接證明，這時(shí)，不妨證明它的等效命題，以間接地達(dá)到目標(biāo)，這種證題思路就稱為間接式思路。我們常運(yùn)用的反證法是一種典型的用間接式思路證題的方法。2223反證法

具體地說，在證明一個(gè)命題時(shí)，如正面不易入手，就要從命題結(jié)論的反面入手，先假設(shè)結(jié)論的反面成立，如果由此假設(shè)進(jìn)行嚴(yán)格推理，推導(dǎo)出的結(jié)果與已知條件、公式、定理、定義、假設(shè)等的其中一個(gè)相矛盾，或者推出兩個(gè)相互矛盾的結(jié)果，就證明了“結(jié)論反面成立”的假設(shè)是錯(cuò)誤的，從而得出結(jié)論的正面成立，這種證題方法就叫做反證法。當(dāng)結(jié)論的反面只有一個(gè)時(shí)，否定了這一個(gè)便完成證明，這種較單純的反證法又叫做歸謬法;而當(dāng)結(jié)論的反面有若干個(gè)時(shí)，就必須駁倒其中的每一個(gè)，這種較繁瑣的反證法又稱為窮舉法。

反證法證題通常有如下三個(gè)步驟:

(1)反設(shè)。作出與結(jié)論相反的假設(shè)，通常稱這種假設(shè)為反證假設(shè)。

(2)歸謬。利用反證假設(shè)和已知條件，進(jìn)行符合邏輯的推理，推出與某個(gè)已知條件、公理、定義等相矛盾的結(jié)果。根據(jù)矛盾律，在推理和論證的過程中，在同時(shí)間、同關(guān)系下，不能對(duì)同一對(duì)象作出兩個(gè)相反的論斷，可知反證假設(shè)不成立。

(3)得出結(jié)論。根據(jù)排除率，即在同一論證過程中，命題C與命題非C有且僅有一個(gè)是正確的，可知原結(jié)論成立。

例3 如圖2.3.1已知：在四邊形ABCD中，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，1(AB?CD)。

2求證：AD∥BC

且MN?

證明：假設(shè)AD與BC不平行，連結(jié)ABD，并設(shè)P

是BD的中點(diǎn)，再連結(jié)MP、PN。在?ABD中

由BM?MA，BP?PD（圖2.3.1）

則MP1AD，同理可證PN2MP?PN?1BC 21(AB?CD)

① 從而

這時(shí)，BD的中點(diǎn)不在MN上

若不然，則由MN∥AD，MN∥BC，得AD∥BC與

假設(shè)AD與BC不平行矛盾，于是M、P、N三點(diǎn)不共線。

從而

MP?PN?MN

② 1

1由①、②得MN?(AB?CD)，這與已知條件MN?(AB?CD)相矛盾，2

2故假設(shè)不成立，所以AD∥BC，證畢。

在幾何中需要證明符合某種條件的點(diǎn)、線、面只有一個(gè)時(shí)，稱為“唯一性”問題。

例4 過平面?上的點(diǎn)A的直線a??，求證：a是唯一的。

證明：假設(shè)a不是唯一的，則過A至少還有一條直線b，b?? 由a、b是相交直線，則a、b可以確定一個(gè)平面?。設(shè)?和?相交于過點(diǎn)A的直線c。

由

a??，b??，有

a?c，b?c。

這樣在平面?內(nèi)，過點(diǎn)A就有兩條直線垂直于c，這與定理產(chǎn)生矛盾。所以，a是唯一的，證畢。

關(guān)于唯一性的問題，在幾何中有，在代數(shù)、三角等學(xué)科中也有。這類題目用直接證法證明相當(dāng)困難，因此一般情況下都采用間接證法。即用反證法或同一法證明，用反證法證明有時(shí)比同一法更方便。

另外，幾何中有一類問題，要證明某個(gè)圖形不可能有某種性質(zhì)或證明具有某種性質(zhì)的圖形不存在。它們的結(jié)論命題都是以否定形式出現(xiàn)的，若用直接證法證明有一定的困難。而它的否定命題則是某個(gè)圖形具有某種性質(zhì)或具有某種性質(zhì)的圖形存在，因此，這類問題非常適宜用反證法。

例5 求證：拋物線沒有漸近線。

證明：設(shè)拋物線的方程是y2?2px(p?0)。

假設(shè)拋物有漸近線，漸近線的方程是y?ax?b，易知a、b都不為0。因?yàn)闈u近線與拋物線相切于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，于是方程組

(1)?y2?2px ?

(2)?y?ax?b的兩組解的倒數(shù)都是0。

將（2）代入（1），得

a2x2?2(ab?p)x?b2?0

(3)

設(shè)x1、x2是（3）的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理，可知

2(ab?p)b2x1?x2??，x1?x2?2 2aa則

11x1?x2?2(ab?p)????0

2x1x2x1x2b(4)

111a2????0，(5)x1x2x1x2b2由（4）、（5），可推得p?0，這于假設(shè)p?0矛盾。

所以，拋物線沒有漸近線，證畢。

關(guān)于不可能問題是幾何中最常見也是非常重要的一種類型。由于它的結(jié)論是以否定形式出現(xiàn)，采用直接證法有困難，所以這類問題一般都使用反證法加以證明。

在幾何中存在一類很特殊的問題，就是證明具有某種性質(zhì)的圖形至少有一個(gè)或不多于幾個(gè)。由于這類問題能找到直接論證的理論根據(jù)很少，用直接證法有一定困難。如果采用反證法，添加了否定結(jié)論這個(gè)新的假設(shè)，就可以推出更多的結(jié)論，容易使命題獲證。

例6 已知：四邊形ABCD中，對(duì)角線AC?BD?1。求證：四邊形中至少有一條邊不小于

2。2證明：假設(shè)四邊形的邊都小于

2，由于四邊形中至少有一個(gè)角不是鈍角（這一結(jié)論也20可用反證法證明），不妨設(shè)?A?90，根據(jù)余弦定理，得

BD2?AD2?AB2?2AD?AB?cosA，有

BD2?AD2?AB2，即

BD?AD2?AB2?(這與已知四邊形BD?1矛盾。所以，四邊形中至少有一條邊不小于

222)?()2?1。222，證畢。2在證題過程中，不論是直接思路還是間接思路，都要進(jìn)行一系列正確的推理，需要解題者對(duì)撲朔迷離的表象進(jìn)行由表及里、去偽存真地分析、加工和改造，并從不同方向探索，以在廣闊的范圍內(nèi)選擇思路，從而及時(shí)糾正嘗試中的錯(cuò)誤，最后獲得命題的證明。