第一篇：2007-2012新課標(biāo)數(shù)學(xué)幾何證明選講解答題匯總

1、如圖，已知AP是?O的切線，P為切點(diǎn)，AC是

?O的割線，與?O交于B，C兩點(diǎn)，圓心O在?PAC的內(nèi)部，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)．，P，O，M四點(diǎn)共圓；（Ⅰ）證明A

（Ⅱ）求?OAM??APM的大?。?007新課標(biāo)）A【解析】（Ⅰ）證明：連結(jié)OP，OM．

因?yàn)锳P與?O相切于點(diǎn)P，所以O(shè)P?AP． 因?yàn)镸是?O的弦BC的中點(diǎn)，所以O(shè)M?BC． 于是?OPA??OMA?180°．，P，O，M四點(diǎn)共圓．由圓心O在?PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對(duì)角互補(bǔ)，所以A，P，O，M四點(diǎn)共圓，所以?OAM??OPM．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A

由（Ⅰ）得OP?AP．

由圓心O在?PAC的內(nèi)部，可知?OPM??APM?90°．

所以?OAM??APM?90°．

A2、如圖，過(guò)圓O外

切點(diǎn)為A，過(guò)A點(diǎn)作直線AP垂直直線OM，垂足為P． 一點(diǎn)M作它的一條切線，OP?OA；（Ⅰ）證明：OM?

（Ⅱ）N為線段AP上一點(diǎn)，直線NB垂直直線ON，且交圓O于B點(diǎn)．過(guò)B點(diǎn)的切線交直線ON于K．證明：∠OKM?90．（2008課標(biāo)卷）?

23、如圖,已知△ABC的兩條角平分線AD和CE相交于H,∠B＝60°,F在AC上,且AE＝AF.（2009課標(biāo)卷）

(1)證明B,D,H,E四點(diǎn)共圓;

(2)證明CE平分∠

DEF.分析:此題考查平面幾何知識(shí),如四點(diǎn)共圓的充要條件,角平分線的性質(zhì)等.證明:(1)在△ABC中，因?yàn)椤螧＝60°,所以∠BAC+∠BCA＝120°.因?yàn)锳D,CE是角平分線,所以∠HAC+∠HCA＝60°.故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°,因?yàn)椤螮BD+∠EHD＝180°,所以B,D,H,E四點(diǎn)共圓.(2)連結(jié)BH,則BH為∠ABC的平分線,得∠HBD＝30°.由(1)知B,D,H,E四點(diǎn)共圓,所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°,由已知可得EF⊥AD,可得∠CEF＝30°.所以CE平分∠DEF.4、如圖，已經(jīng)圓上的弧，過(guò)C點(diǎn)的圓切線與BA的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，證明：

（Ⅰ）∠ACE=∠BCD；

2（Ⅱ）BC=BF×CD。（2010課標(biāo)卷）

解：

?,（I）因?yàn)?AC?BC所以?BCD??ABC.又因?yàn)镋C與圓相切于點(diǎn)C，故?ACE??ABC，所以?ACE??BCD.（II）因?yàn)?ECB??CDB,?EBC??BCD, 所以?BDC∽?ECB，故即BC?BE?CD.2BCCD?，BEBC5、如圖，D，E分別為?ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且

不與?ABC的頂點(diǎn)重合。已知AE的長(zhǎng)為m，AC的長(zhǎng)為n,AD，AB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2?14x?mn?0的兩個(gè)根。

（Ⅰ）證明：C，B，D，E四點(diǎn)共圓；

（Ⅱ）若?A?90?，且m?4,n?6，求C，B，D，E所在圓的半徑。（）（201

1新課標(biāo)）

解析：（I）連接DE，根據(jù)題意在△ADE和△ACB中，AD?AB?mn?AE?AC即ADAE?.又∠DAE=∠CAB,從而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACBACAB

所以C,B,D,E四點(diǎn)共圓。

（Ⅱ）m=4, n=6時(shí)，方程x-14x+mn=0的兩根為x1=2,x2=12.故AD=2，AB=12.取CE的中點(diǎn)G,DB的中點(diǎn)F，分別過(guò)G,F作AC，AB的垂

線，兩垂線相交于H點(diǎn)，連接DH.因?yàn)镃，B，D，E四點(diǎn)共圓，所以C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的圓心為H，半徑為DH.由于∠A=90，故GH∥AB, HF∥AC.HF=AG=5，DF=

故C,B,D,E四點(diǎn)所在圓的半徑為

526、如圖，D,E分別為?ABC邊AB,AC的中點(diǎn)，直線DE交 021(12-2)=5.2?ABC的外接圓于F,G兩點(diǎn)，若CF//AB，證明：

（1）CD?BC；

（2）?BCD??GBD（2012課標(biāo)卷）

【解析】（1）CF//AB，DF//BC?CF//BD//AD?CD?BF

CF//AB?AF?BC?BC?CD

（2）BC//GF?BG?FC?BD

BC//GF??GDE??BGD??DBC??BDC??BCD??GBD7、

第二篇：數(shù)學(xué)選修4-1幾何證明選講解答題

選修4-1：幾何證明選講

一、填空題

1.(2011·陜西)如圖，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則BE＝________.2．(2011·湖南)如圖，A，E是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，直徑BC＝4，AD⊥BC，垂足為D，BE與AD相交于點(diǎn)F，則AF的長(zhǎng)為________．

二、解答題

3.如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在邊BA的延長(zhǎng)線上，CE交AD于點(diǎn)F，∠ECA＝∠D.求證：AC·BE＝CE·AD.4．(2011·江蘇)如圖，圓O1與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)A，其半徑分別為

r1與r2(r1>r2)．圓O1的弦AB交圓O2于點(diǎn)C(O1不在AB上)．求證：AB∶AC

為定值．

5．如圖，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AB，AD的中點(diǎn)，求EF的長(zhǎng)． a

26．如圖所示，點(diǎn)P是圓O直徑AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，PC切圓O于點(diǎn)C，直線PQ平分∠APC，分別交AC、BC于點(diǎn)M、N.求證：(1)CM＝CN；(2)MN2＝2AM·BN

.7．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝AD.過(guò)A點(diǎn)的切線交CB的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)．求證：AB2＝BE·CD.8．如圖，PA切⊙O于點(diǎn)A，割線PBC經(jīng)過(guò)圓心O，OB＝PB＝1，OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到OD，求PD的長(zhǎng)．

9.如圖，已知△ABC的兩條角平分線AD和

CE

相交于點(diǎn)

H，∠ABC＝60°，F(xiàn)在AC上，且AE＝AF.求證：(1)B、D、H、E四點(diǎn)共圓；

(2)CE平分∠DEF.10．如圖，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DA交△ABC的外接圓于點(diǎn)F，連結(jié)FB，F(xiàn)C.(1)求證：FB＝FC；

(2)求證：FB2＝FA·FD；

(3)若AB是△ABC外接圓的直徑，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的長(zhǎng)．

答案

231．2 2.3

CE3．證明 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AF∥BC，所以BE

＝.又因?yàn)锳E∥CD，所以△AFE∽△DFC，EFEA

EAEFCFEFCE所以＝＝.CDCFCDEABE

又因?yàn)椤螮CA＝∠D，∠CAF＝∠DAC，ACCF所以△AFC∽△ACD，所以，ADDC

ACCE所以，ADBE

所以AC·BE＝CE·AD.4.證明 如圖，連結(jié)AO1并延長(zhǎng)，分別交兩圓于點(diǎn)E

和點(diǎn)D.連結(jié)BD，CE.因?yàn)閳AO1與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)A，所以點(diǎn)O2在AD上，故

AD，AE分別為圓O1，圓O2的直徑．

π從而∠ABD＝∠ACE.2

所以BD∥CE，ABAD2r1r1于是＝＝.ACAE2r2r2

所以AB∶AC為定值．

5．解 連結(jié)DE，由于E是AB的中點(diǎn)，故BE＝.又CD＝，AB∥DC，22CB⊥AB，∴四邊形EBCD是矩形．

在Rt△AED中，AD＝a，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，故EF2

6．證明(1)∵PC切圓O于點(diǎn)C，∴∠PCB＝∠PAC，又∵∠CPM＝∠APM，∴∠CNM＝∠CPM＋∠PCB＝∠APM＋∠PAM＝∠CMN，∴CM＝CN.(2)∵∠CPN＝∠APM，∠PCN＝∠PAM，aaaPCCN∴△PCN∽△PAM＝，①

PAAM

同理△PNB∽△PMCPBBN.② PCCM

又∵PC2＝PA·PB，③

由①②③可知CM·CN＝AM·BN，∵CM＝CN，∴CM2＝AM·BN.∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB＝90°.∴MN2＝2CM2，即MN2＝2AM·BN.7．證明 連結(jié)AC.∵EA切⊙O于A，∴∠EAB＝∠ACB，∵AB＝AD，∴∠ACD＝∠ACB，AB＝AD.∴∠EAB＝∠ACD.又四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，所以∠ABE＝∠D.∴△ABE∽△CDA.ABBE，即AB·DA＝BE·CD.CDDA

∴AB2＝BE·CD.8．解 方法一 連結(jié)AB，∵PA切⊙O于點(diǎn)A，B為PO中點(diǎn)，∴AB＝OB＝OA，∴∠AOB＝60°，∴∠POD＝120°.在△POD中，由余弦定理得PD2＝PO2＋DO2－2PO·DO·cos∠POD＝4＋1－14×(－＝7.∴PD7.2

方法二 過(guò)D作DE⊥PC，垂足為E，∴∠POD＝120°，13∴∠DOE＝60°，可得OE，DE＝，22

在Rt△PED中，25322PDPE＋DE＝7.44

9．證明(1)在△ABC中，∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＋∠BCA＝120°.∵AD，CE分別是△ABC的角平分線，∴∠HAC＋∠HCA＝60°，∴∠AHC＝120°.∴∠EHD＝∠AHC＝120°.∴∠EBD＋∠EHD＝180°.∴B，D，H，E四點(diǎn)共圓．

(2)連結(jié)BH，則BH為∠ABC的平分線，∴∠EBH＝∠HBD＝30°.由(1)知B，D，H，E四點(diǎn)共圓，∴∠CED＝∠HBD＝30°，∠HDE＝∠EBH＝30°.∴∠HED＝∠HDE＝30°.∵AE＝AF，AD平分∠BAC，∴EF⊥AD.∴∠CEF＝30°.∴CE平分∠DEF.10．(1)證明 因?yàn)锳D平分∠EAC，所以∠EAD＝∠DAC.因?yàn)樗倪呅蜛FBC內(nèi)接于圓，所以∠DAC＝∠FBC.因?yàn)椤螮AD＝∠FAB＝∠FCB，所以∠FBC＝∠FCB，所以FB＝FC.(2)證明 因?yàn)椤螰AB＝∠FCB＝∠FBC，∠AFB＝∠BFD，F(xiàn)BFA所以△FBA∽△FDB.所以＝ FDFB

所以FB2＝FA·FD.(3)解 因?yàn)锳B是圓的直徑，所以∠ACB＝90°.又∠EAC＝120°，所以∠ABC＝30°，1∠DAC＝EAC＝60°.因?yàn)锽C＝6，2

所以AC＝BCtan∠ABC＝23，AC所以AD＝＝43(cm)． cos∠DAC

第三篇：幾何證明選講高考題(新課標(biāo))

i

幾何證明選講高考題匯編

潢川一中高二數(shù)學(xué)組

1．(2009新課標(biāo)全國(guó)卷)如圖，已知?ABC中的兩條角平分線AD和CE相交于H，?B=60?，F(xiàn)在AC上，且AE?AF。（I）證明：B,D,H,E四點(diǎn)共圓；（II）證明：CE平分?DEF。

2.(2010新課標(biāo)全國(guó)卷)如圖，已知圓上的 弧AC和 弧BD長(zhǎng)度相等，過(guò)C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，證明：（I）∠ACE＝∠BCD；（II）BC

2＝BE×CD.－ 1 －

3.(2011新課標(biāo)全國(guó)卷)如圖，D，E分別為?ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且不與?ABC的頂點(diǎn)重合．已知AE的長(zhǎng)為m，AC的長(zhǎng)為n，AD，AB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2

?14x?mn?0的兩個(gè)根．

（I）證明：C，B，D，E四點(diǎn)共圓（II）若?A?900，且m?4,n?6求C，B，D，E所在圓的半徑．

4.(2012新課標(biāo)全國(guó)卷)如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點(diǎn)，若CF//AB.證明：(Ⅰ)CD=BC；(Ⅱ)△BCD∽△GBD

G

F

－ 2 －

5.(2013新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷)已知如圖，直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，?ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于點(diǎn)D。（Ⅰ）證明：DB?DC；

（Ⅱ）設(shè)圓的半徑為

1，BC，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，求?BCF外接圓的半徑。

6.(2013新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷)如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長(zhǎng)線交直線CD于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn)，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓．（Ⅰ）證明：CA是△ABC外接圓的直徑；

（Ⅱ）若DB＝BE＝EA，求過(guò)B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值．

－ 3 －

7.（2013遼寧高考）如圖，AB為圓O的直徑，直線CD與圓O相切于E, AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE,BE.證明：(?)?FEB??CEB;(??)EF2

?AD?BC.8.（2013江蘇高考）如圖,AB和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D,C,AC經(jīng)過(guò)圓心O,且BC=2OC.求證:AC=2AD.－ 4 －

幾何證明選講高考題匯編參考答案

1．解：（Ⅰ）在△ABC中，因?yàn)椤螧=60°，所以∠BAC+∠BCA=120°.因?yàn)锳D,CE是角平分線，所以∠HAC+∠HCA=60°，故∠AHC=120

于是∠EHD=∠AHC=120°.因?yàn)椤螮BD+∠EHD=180°，所以B,D,H,E四點(diǎn)共圓。

（Ⅱ）連結(jié)BH，則BH為?ABC的平分線，得?HBD?30° 由（Ⅰ）知B，D，H，E四點(diǎn)共圓，所以?CED??HBD?30° 又?AHE??EBD?60°，由已知可得EF?AD，可得

?CEF?30°所以CE平分?DEF

2.解:（Ⅰ）因?yàn)榛B,CD長(zhǎng)度相等，所以?BCD??ABC.又因?yàn)镋C與圓相切于點(diǎn)C，故?ACE??ABC

所以?ACE??BCD.……5分（Ⅱ）因?yàn)?ECB??CDB,?EBC??BCD, 所以?BDC∽?ECB,故

BCBE?CDBC

.即BC2

?BE?C.D3解:（I）連接DE，根據(jù)題意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC，即

ADAC?AE

AB

.又∠DAE=∠CAB，從而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACB所以C，B，D，E四點(diǎn)共圓。（Ⅱ）m=4，n=6時(shí)，方程x2-14x+mn=0的兩根為x1=2，x2=12.故AD=2，AB=12.取CE的中點(diǎn)G，DB的中點(diǎn)F，分別過(guò)G，F(xiàn)作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點(diǎn)，連接DH.因?yàn)镃，B，D，E四點(diǎn)共圓，所以C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的圓心為H，半徑為DH.由于∠A=900，故GH∥AB，HF∥AC.HF=AG=5，DF=

2(12-2)=5.故C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的半徑為52

－ 5 －

4．解

5.解:(1)證明：連結(jié)DE，交BC于點(diǎn)G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因?yàn)镈B⊥BE，所以DE為直徑，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂線，所以BG＝

.設(shè)DE的中點(diǎn)為O，連結(jié)BO，則∠BOG＝60°.從而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圓的半徑等于32

.6.解：(1)因?yàn)镃D為△ABC外接圓的切線，所以∠DCB＝∠A.由題設(shè)知

BCFA?DC

EA，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因?yàn)锽，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圓的直徑．(2)連結(jié)CE，因?yàn)椤螩BE＝90°，所以過(guò)B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的直徑為CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故過(guò)B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為12

.－ 6 －

7解(?)由直線CD與圓O相切于E,得?EAB??CEB 由AB為圓O的直徑，得AE?EB，從而?EAB??EBF??

又EF垂直AB于F，得?FEB??EBF?

?，從而?FEB??CEB

(??)由BC垂直CD于C，得BC?CE

又EF垂直AB于F?EF?AB，?FEB??CEB，BE為公共邊，所以Rt?BCE≌Rt?BFE，所以BC?BF

同理可證，Rt?ADE≌Rt?AFE，所以AD?AF

又在Rt△AEB中, EF?AB,所以EF2

?AF?BF.綜上，EF2

?AD?BC.8證明：連結(jié)OD.因?yàn)锳B和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D,C, 所以∠ADO=∠ACB=90°.又因?yàn)椤螦=∠A,所以Rt△ADO∽R(shí)t△ACB.所以

BCOD?AC

AD,又BC=2OC=2OD, 故AC=2AD.幾何證明選講----知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。推理1：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊。

推理2：經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰。平分線分線段成比例定理

2、平分線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

3、相似三角形的判定：

定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值叫做相似比（或相似系數(shù)）。

－ 7 －

由于從定義出發(fā)判斷兩個(gè)三角形是否相似，需考慮6個(gè)元素，即三組對(duì)應(yīng)角是否分別相等，三組對(duì)應(yīng)邊是否分別成比

例，顯然比較麻煩。所以我們?cè)?jīng)給出過(guò)如下幾個(gè)判定兩個(gè)三角形：

4、相似的簡(jiǎn)單方法：

（1）兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；

（2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；（3）三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。

5、預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與三角形相似。

6、判定定理1：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三

角形相似。簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。

7、判定定理2：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。

8、判定定理3：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)

三角形相似。簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。

9、引理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

10、定理：（1）如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么它們相似；（2）如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么它們相似。

11、定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。

12、相似三角形的性質(zhì)：

－ 8 －

（1）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)平分線的比都等于相似比；（2）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方。

22、相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。

23、割線定理：從園外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等。

24、切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。

25、切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。

13、直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)。

14、圓周定理

圓周角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓周角的一半。圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)。

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等。

推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理

16、定理1：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。

17、定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角。

18、圓內(nèi)接四邊形判定定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。

推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。圓的切線的性質(zhì)及判定定理。

19、切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。

20、切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。弦切角的性質(zhì)

21、弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。與圓有關(guān)的比例線段

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第四篇：高三數(shù)學(xué)~幾何證明選講

德智答疑 http://dayi.dezhi.com/shuxue 高三數(shù)學(xué)~~幾何證明選講

1、外接圓的切線證明

?

? [ 高三數(shù)學(xué)] 題型:探究題

問題癥結(jié)：找不到突破口，請(qǐng)老師幫我理一下思路

考查知識(shí)點(diǎn)：

? 圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理

難度:難

解析過(guò)程：

規(guī)律方法：

熟練掌握?qǐng)A的切線的判定方法是解題的關(guān)鍵。

2，急！關(guān)于一道幾何題！

?

? [ 高三數(shù)學(xué)]題型:解答題

在三角行ABC中，角C=30度，O為外心，I為內(nèi)心，邊AC上的點(diǎn)D與邊BC上的點(diǎn)E，使AD=BE=AB，求證：OI=DE且OI垂直

問題癥結(jié)：找不到突破口，請(qǐng)老師幫我理一下思路

德智知識(shí)點(diǎn) http://004km.cn/knowledge德智QQ學(xué)習(xí)分享群：26192056

2德智答疑 http://dayi.dezhi.com/shuxue

考查知識(shí)點(diǎn)：

?

難度:難 直角三角形射影定理

解析過(guò)程：

解：

已知三角形ABC中，O、I為其外心和內(nèi)心，角C=30度，D、E分別為AC和BC上兩點(diǎn)，且AD=AB=BE，求證：OI=DE，且OI垂直于DE。

證明：輔助線如圖所示：

∵O為外心

∴∠AOB=2∠C=60°

∴△AOB為等邊三角形

∵I為內(nèi)心

∴∠IAB=∠IAE

又∵AB=AE

利用SAS

可知：△IAB≌△IAE

同理可證：△IAB≌△IDB

∴∠EIA=∠DIB=∠AIB

=180°-(∠IAB+∠IBA)=180°-(∠CAB+∠CBA)/

2=180°-(180°-30°)/2=105°

∴∠EID=360°-3∠EIA=360°-3×105°=45°

∠EFD

=(∠AEO-∠ECF)+(∠BDI-∠DCF)=∠AEO+∠BDI-(∠ECF+∠DCF)=(90°-∠EAO/2)+∠BAI-30°=60°+(∠BAE-∠EAO)/2

=60°+∠BAO/2=60°+30°

德智答疑 http://dayi.dezhi.com/shuxue =90°

∴EO⊥DI

同理可知：DO⊥EI

∴O為△EID的垂心

∴IO⊥ED

∴∠OID+∠EDI=∠DEO+∠EDI=90°

∴∠OID=∠DEO

又∵∠EID=45°

∴△EFI為等腰直角三角形

∴EF=IF

根據(jù)ASA知：△OIF≌△DEF

∴OI=ED

綜上所述：OI⊥ED且OI=ED

規(guī)律方法：

此題太難，高考的要求不會(huì)這樣難啊。知識(shí)點(diǎn)：幾何證明選講

概述

所屬知識(shí)點(diǎn)：

[幾何證明選講]

包含次級(jí)知識(shí)點(diǎn)：

平行切割定理、直角三角形射影定理、圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理、相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

本節(jié)主要包括平行切割定理、直角三角形射影定理、圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理、相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理等知識(shí)點(diǎn)。

1、平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。

德智答疑 http://dayi.dezhi.com/shuxue 推理1：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊。

推理2：經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰。

2、平分線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

3、相似三角形的判定：

定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值叫做相似比（或相似系數(shù)）。

由于從定義出發(fā)判斷兩個(gè)三角形是否相似，需考慮6個(gè)元素，即三組對(duì)應(yīng)角是否分別相等，三組對(duì)應(yīng)邊是否分別成比例，顯然比較麻煩。所以我們?cè)?jīng)給出過(guò)如下幾個(gè)判定兩個(gè)三角形：

相似的簡(jiǎn)單方法：

（1）兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；

（2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；

（3）三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。

預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與三角形相似。

判定定理1：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。

判定定理2：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。

判定定理3：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。

引理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

定理：（1）如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么它們相似；

（2）如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么它們相似。

定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。

相似三角形的性質(zhì)：

（1）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)平分線的比都等于相似比；

（2）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；

（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方。

4、直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)。

5、圓周角定理

圓周角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓周角的一半。

圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)。

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等。

德智答疑 http://dayi.dezhi.com/shuxue推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

6、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理

定理1：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。

定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角。

圓內(nèi)接四邊形判定定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。圓的切線的性質(zhì)及判定定理。

7、切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。

推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。

推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。

切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。弦切角的性質(zhì)

8、弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。與圓有關(guān)的比例線段

9、相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。

10、割線定理：從園外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等。

11、切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。

12、切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。

常見考法

本節(jié)在段考和高考中，是以填空題的形式出現(xiàn)，屬于選做題。一般屬于容易題。

誤區(qū)提醒

在利用相似三角形解答時(shí)，注意通過(guò)對(duì)應(yīng)邊找對(duì)應(yīng)角，通過(guò)對(duì)應(yīng)角找對(duì)應(yīng)邊，不要找錯(cuò)了。

【典型例題】

例1如圖，△ABC的角平分線AD的延長(zhǎng)線交它的外接圓于點(diǎn)

E.例2 如圖，AB、CD是圓的兩條平行弦，BE∥AC，并交CD于E，交圓于F，過(guò)A點(diǎn)的切線交DC的延長(zhǎng)線于P，PC＝ED＝1，PA＝2.(1)求AC的長(zhǎng)；

德智答疑 http://dayi.dezhi.com/shuxue(2)求證：EF＝

BE.德智知識(shí)點(diǎn) http://004km.cn/knowledge

第五篇：2012高考數(shù)學(xué)幾何證明選講

幾何證明選講

模塊點(diǎn)晴

一、知識(shí)精要

值叫做相似比（或相似系數(shù)）。

由于從定義出發(fā)判斷兩個(gè)三角形是否相似，需考慮

6個(gè)元素，即三組對(duì)應(yīng)角是否分別相等，三組對(duì)應(yīng)邊是否分別成比例，顯然比較麻煩。所以我們?cè)?jīng)給出過(guò)如下幾個(gè)判定兩個(gè)三角形相似的簡(jiǎn)單方法：

（1）兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；

（2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；

（3）三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。

形與三角形相似。

對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)

對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。

對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)

條直線平行于三角形的第三邊。

1）如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么它們相似；

（2）如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么它們相似。

（1）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)平分線的比都等于相似比；

（2）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；

（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方。

它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)。

°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

圓內(nèi)接四邊形判定定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。

切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。的比例中項(xiàng)。

兩條切線的夾角。

二、方法秘笈

⒈幾何證明選講內(nèi)容的考點(diǎn)雖多，主要還是集中在對(duì)圓的相關(guān)內(nèi)容的考查，而圓中又主要以與切線有關(guān)的性質(zhì)、圓冪定理、四點(diǎn)共圓這幾個(gè)內(nèi)容的考查為主。

⒉雖然本書內(nèi)容主要是由原初三內(nèi)容改編過(guò)來(lái)，而在初中，相關(guān)內(nèi)容也已經(jīng)刪去，似乎教師教與學(xué)生學(xué)都有一定難度，但是由于學(xué)生經(jīng)過(guò)兩年的高中學(xué)習(xí)，邏輯性、嚴(yán)密性都有了較大的提高，只要教學(xué)得法，學(xué)生對(duì)這部分的學(xué)習(xí)應(yīng)該并不會(huì)感到困難。

⒊緊扣課本中的例習(xí)題進(jìn)行學(xué)習(xí)，重視各個(gè)定理的來(lái)龍去脈，理解其中滲透的重要的數(shù)學(xué)思想方法，因?yàn)楦呖荚囶}中所采取的一些方法多來(lái)自課本中定理的證明方法及例習(xí)題的證明方法；

試題解析

一、選擇題

例1.（2012北京、理科）如圖.∠ACB=90o，CD⊥AB于點(diǎn)D，以BD為直徑的圓與BC交于

點(diǎn)E.則()

A.CE·CB=AD·DBB.CE·CB=AD·AB C.AD·AB=CD 2D.CE·EB=CD 2

【解析】A。在?ACB中，∠ACB=90o，CD⊥AB于點(diǎn)D，所以CD理的CD

二、填空題

例1.（2012全國(guó)、文科）如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過(guò)點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長(zhǎng)線相交于D.過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線與圓交于點(diǎn)E,與AB相交于點(diǎn)

F,AF?3,FB?1,EF?

?AD?DB,由切割線定

?CE?CB,所以CE·CB=AD·DB。

32,則線段CD的長(zhǎng)為

【解析】如圖連結(jié)BC，BE，則∠1=∠2，∠2=∠A

??A??1，又∠B=∠B，??CBF∽?ABC，CBBFCBCF??,?,代入數(shù)值得BC=2，ABBCABAC

AC=4，又由平行線等分線段定理得解得CD=

ACCD

?

AFFB,.【答案】

例2.(2012湖南、理科)如圖2，過(guò)點(diǎn)P的直線與圓O相交于A，B兩點(diǎn).若PA=1，AB=2，PO=3，則圓O的半徑等于

_______.PO交圓O于C，D，如圖，設(shè)圓的半徑為R，由割線定理知

PA?PB?PC?PD,即1?(1?2)?(3-r)(3?r),?r?

P

例3.（2012天津、理科）如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦.過(guò)點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線與圓相交于點(diǎn)Ｅ，與AB相交于點(diǎn)F，AF=3，F(xiàn)B=1，EF=

32，則線段CD的長(zhǎng)為

【解析】∵AF=3，F(xiàn)B=1，EF=

432

ABAF，由相交弦定理得AF?FB=EF?FC，所以FC=2，?FC=83

又∵BD∥CE，∴

AFAB

=

FCBD，BD=

?2=

83，設(shè)CD=x，則AD=4x，再由切

割線定理得BD=CD?AD，即x?4x=（練習(xí)題

1.（2012湖北、理科）)，解得x=，故CD=

43.如圖，點(diǎn)D在⊙O的弦AB上移動(dòng)，AB=4，連接OD，過(guò)點(diǎn)D作OD的垂線交⊙O于點(diǎn)C，則CD的最大值為_____________。

答案：

22.（2012陜西、文理科）如圖，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EF?DB，垂足為F，若AB?6，AE?1，則DF?DB?5。

三、解答題

例1(2012年全國(guó)新課標(biāo)卷)如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點(diǎn)，若CF//AB，證明：

G

F

(Ⅰ)CD=BC；

(Ⅱ)△BCD∽△GBD

【解析】（1）CF//AB，DF//BC?CF//BD//AD?CD?BFCF//AB?AF?BC?BC?CD

（2）BC//GF?BG?FC?BD

BC//GF??GDE??BGD??DBC??BDC??BCD??GBD

O相交例2．（2012遼寧、文理科）如圖，⊙O和⊙

/

于A,B兩點(diǎn)，過(guò)A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D

兩點(diǎn)，連接DB并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E。

證明

（Ⅰ）AC?BD?AD?AB；（Ⅱ）AC?AE。

例3.（2012江蘇、理科）如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連結(jié)

BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使BD = DC，連結(jié)AC，AE，DE．

求證：?E??C．

【解析】

21-A題）