第一篇：極限思想在解題中的應(yīng)用

Email:hb_yuerf@sohu.com個人簡介：岳儒芳畢業(yè)于河北師范大學(xué)中學(xué)一級教師教育碩士

極限思想在解題中的應(yīng)用

河北省石家莊市第十九中學(xué)岳儒芳

數(shù)學(xué)研究的對象可以是特殊的或一般的，可以是具體的或抽象的，可以是靜止的或運動的，可以是有限的或無限的，它們之間都是矛盾的對立統(tǒng)一．正是由于對象之間的對立統(tǒng)一，為我們解決這些對立統(tǒng)一事物提供了研究的方法．有限與無限相比，有限顯得具體，無限顯得抽象，對有限的研究往往先于對無限的研究，對有限個對象的研究往往有章法可循，并積累了一定的經(jīng)驗．而對于無限個對象的研究，卻往往不知如何下手，顯得經(jīng)驗不足．于是將對無限的研究就轉(zhuǎn)化成對有限的研究，就成了解決無限問題的畢經(jīng)之路．反之當(dāng)積累了解決無限問題的經(jīng)驗之后，可以將有限問題轉(zhuǎn)化成無限問題來解決．這種無限化有限，有限化無限的解決數(shù)學(xué)問題的方法就是有限與無限的思想．

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，雖然開始學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)都是有限的數(shù)學(xué)，但其中也包含有無限的成分，只不過沒有進行深入的研究．在學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)及其運算的過程中，對自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)都是研究有限個數(shù)的運算，但實際上各數(shù)集內(nèi)元素的個數(shù)都是無限的，以上數(shù)集都是無限集．對圖形的研究，知道直線和平面都是可以無限延展的．在解析幾何中，還學(xué)習(xí)過拋物線的漸進線，已經(jīng)開始有極限的思想體現(xiàn)在其中．學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限和函數(shù)的極限之后，使中學(xué)階段對無限的研究又上了一個新臺階，集中體現(xiàn)了有限和無限的數(shù)學(xué)思想．使用極限的思想解決數(shù)學(xué)問題，比較明顯的是立體幾何中求球的體積和表面積，采用無限分割的方法來解決．實際上先進行有限次分割，然后再求和，求極限，我們認(rèn)為，這是典型的有限與無限數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．

函數(shù)是對運動變化的動態(tài)事物的描述，體現(xiàn)了變量數(shù)學(xué)在研究客觀事物中的重要作用．導(dǎo)數(shù)是對事物變化快慢的一種描述，并由此可進一步處理和解決函數(shù)的增減、極大、極小、最大、最小等實際問題，是研究客觀事物變化率和最優(yōu)化問題的有力工具．通過學(xué)習(xí)和考查，可以體驗研究和處理不同對象所用的不同數(shù)學(xué)概念和相關(guān)理論以及變量數(shù)學(xué)的力量．

例1．函數(shù)y?log2x?logx(2x)的值域是（）

（A）(??,?1]（B）[3,??)（C）[?1,3]（D）(??,?1]?[3,??)

【分析】選D．

法1:用極限的思想．∵函數(shù)定義域為{x|x

當(dāng)x?

12?0且x?1}．當(dāng)x???時，y???，∴可排除B，C； 時，y??1，∴可排除A．故選D．

?log2x?1

log2x?1法2:函數(shù)變形為y

求出．

例2．過拋物線y

p，設(shè)t?log2x,則t?0，再作出“對勾”函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合即可?ax2(a?0)的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是 和q，則

1p?1

q等于（）

2a（A）4a（B）

【分析】選A．（C）2a（D）4a

（法1）取a?2（不可取a?1,否則，A，D兩項的值均等于4），得焦點F(0,的直線PQ∥x軸，易知p

?q?

14,1p?1q

?8?4?

218)，過F再作特殊位置，故選A．（選擇圖形的某一個特殊位置，可得到相關(guān)的數(shù)

或式的特殊關(guān)系，而特殊位置圖形的選擇往往又與選取適當(dāng)?shù)奶厥庵岛吞厥恻c有關(guān)．）

（法2）用極限的思想即：畫出圖形，使PQ繞點F旋轉(zhuǎn)，使點P與點O重合即可求出． 例3．設(shè)A1、A2是橢圓

A2P

2x

9?

y

?

1的長軸的兩個端點，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點，則直線A1P1與

交點的軌跡方程為（）（A）

x

9?

y

?

1（B）

y

?

x

?1

（C）

x

?

y

?1

（D）

y

?

x

?1

【分析】選C．（法1）設(shè)p1(3cos?,2sin?),P2(3osc

?,?2nis?)，由橢圓得A1(?3,0),?

A2(3,0)，直線A1P1為y?

?

3tan

?

2x?2tan

?2，直線A2P2為y

?

cot

?

x?2cot

?

3(cot?tan?tan

?)?，∴交點M中，x

?

cot

3cos?

2tan

?

?,y?

2?2tan??2tan?

cos?2，∴（x3)

?（y2)

?sec

??tan

??1,即

x

?

y

?1

．選C．

?0

(法2)利用極限的思想即當(dāng)P1P2恰是短軸的兩個端點時，則兩直線無交點，即說明當(dāng)x曲線方程無解．結(jié)合選項可判斷選C．

例4．直三棱柱ABC

B?APQC

?A1B1C1的體積為V

時，所求的，P、Q分別為側(cè)棱AA?,CC?上的點，且AP

A

1?C?Q，則四棱錐

C1的體積是（）

12V

B1

（A）（B）

3V

（C）

4V

（D）

5V

P

Q

【分析】選B．

（法1）用極限的思想，即令點P與點A1重合，點Q與C重合，則四棱錐

B?APQC

A

B

C

就變成三棱錐B?

APQ，再根據(jù)等體積法VB?APQ

?VP?ABC

即可求出．

（法2）可分別取AA?,CC?的中點P，Q，同時令三棱柱中所有棱長為2，很容易就可算出．

例

5、已知1?分析：令x

x?10，則(lgx)2,lgx2,lg(lg

?1，lgx

x)的大小關(guān)系為___________．

x)?0

?10，則(lgx)

2?2，lg(lg，?大小關(guān)系為

lg(lgx)?(lgx)

?lgx

．

例6、2005年10月15日，我國成功發(fā)射神州五號載人航天飛船，若飛船的運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，且其近地點距離地面為m千米，遠(yuǎn)地點距地面n千米，則該飛船運行軌道的短軸長為（）[已知地球半徑為R千米]

（A）

(m?R)(n?R)

（B）

2(m?R)(n?R)

（C）mn（D）2mn

分析：選B．

考慮問題的極限情形，m

而將m

?n?0,?n?0,則符合題意的橢圓表現(xiàn)為圓，于是軌道的短軸長表現(xiàn)為圓的直徑2R，代入各選擇分支，僅有B適合，于是正確答案只能是B．

例

7、設(shè)n為自然數(shù)，求證不等式

19?125

???

1(2n?1)

?

．

時，不等式右邊是一個常量，而左邊從k變?yōu)?/p>

許多學(xué)生會利用數(shù)學(xué)歸納法證明，但是，當(dāng)證明n

k?1

?k?1

時卻在不斷增大，證明難度較大．然而，把

1(2n?1)

1(2n?1)1（看成數(shù)列{an}，則上述不等式可轉(zhuǎn)化為數(shù)列求和，?

12n?119?125)

因此想到利用數(shù)列極限進行求解．因為

12(1?

13?13?15???

12n?1

?

12n?1)

?

22n?1，所以有下式：

???

1(2n?1)

1912

?

125lim

???

1(2n?1)

?，兩邊同時取極限，則

lim[

n???

]?

2n2n?1

?

．

n???

在上例中，將不等式的項與數(shù)列相聯(lián)系，用極限求和的方法為解決不等式證明問題拓寬了思路，簡便了計算過程．另外，極限思想與特殊化原則的結(jié)合，可對某些較復(fù)雜的問題極端化處理，使解題過程化難為易．因此，教師應(yīng)該在課堂教學(xué)中幫助學(xué)生歸納和總結(jié)極限思想在解題中的運用，但不能把對極限的運用局限在解微積分的題目中，應(yīng)該認(rèn)識到，通過極限思想，能有效地將數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容系統(tǒng)地聯(lián)系起來，有利于學(xué)生從整體上把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)．

高考中對有限與無限的考查才剛剛起步，并且往往是在考查其他數(shù)學(xué)思想和方法的過程中同時考查有限與無限的思想．例如，在使用由特殊到一般的歸納思想時，含有有限與無限的思想；在使用數(shù)學(xué)歸納法證明時，解決的是無限的問題，體現(xiàn)的是有限與無限的思想，等等．隨著高中課程的改革，對新增內(nèi)容的考查在逐步深入，必將加強對有限與無限思想的考查，設(shè)計出重點體現(xiàn)有限與無限思想的新穎試題．

第二篇：剖析守恒思想在中學(xué)化學(xué)解題中的應(yīng)用

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剖析守恒思想在中學(xué)化學(xué)解題中的應(yīng)用 作者：文麗娟 楊恩健

來源：《考試周刊》2013年第27期

摘 要： 本文以典型的、計算過程復(fù)雜的計算型選擇題為例，剖析守恒思想在中學(xué)化學(xué)解題中的應(yīng)用，提高解題速度，達到事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞： 中學(xué)化學(xué)教學(xué) 守恒思想 快速解題 應(yīng)用

近年來高考第一卷中出現(xiàn)了很多計算較為復(fù)雜的選擇題，常常需要利用守恒思想進行分析，這就需要我們牢牢抓住問題的本質(zhì)，將復(fù)雜的問題簡單化，使思路清晰明了。守恒思想貫穿于整個高中化學(xué)學(xué)習(xí)的始終，靈活運用守恒法，可以快速而準(zhǔn)確地解題。守恒法是中學(xué)化學(xué)中典型的解題方法之一，即選擇化學(xué)式中始終相等的某兩數(shù)（如正負(fù)化合價數(shù)、陰陽離子所帶的正負(fù)電荷數(shù)）或化學(xué)反應(yīng)前后保持不變的某粒子數(shù)（如原子數(shù)、電子數(shù)等）作為解題依據(jù)。對學(xué)生而言，守恒思想的建立和守恒法的熟練應(yīng)用是一大難點，因此，本文以典型的計算型選擇題為例，剖析解題思路，達到快速正確解題的目的。

一、根據(jù)得失電子守恒

本題綜合運用了質(zhì)量守恒、電荷守恒、得失電子守恒等守恒方法。

在解題時，正確選擇并應(yīng)用上述方法對于正確快速解答題目十分關(guān)鍵。首先必須明確每種守恒法的特點，然后挖掘題目中存在的守恒關(guān)系，最后巧妙地選取方法，正確地解答題目?？傊?，掌握守恒思想并靈活運用，在解決化學(xué)問題會得心應(yīng)手、游刃有余，既能使復(fù)雜的問題簡單化，加快解題速度，提高解題效率，又能使我們思路清晰明了，有利于提高解題的正確率。

第三篇：分類討論思想在解數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)解題中的思考

------分類討論思想的應(yīng)用

【摘要】解數(shù)學(xué)問題往往可以有眾多的思想方法，如轉(zhuǎn)化化歸，數(shù)形結(jié)合，分類討論，數(shù)學(xué)建模等等，而在這些思想方法中分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程經(jīng)常會遇到分類問題，如數(shù)的分類，圖形的分類，代數(shù)式的分類等等，在研究數(shù)學(xué)問題中常常需要通過分類討論解決問題，本文從滲透在教材中的分類思想出發(fā)，結(jié)合例題闡述了分類討論的思想，分類的原則，分類討論的應(yīng)用，從而體現(xiàn)分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的作用和地位。

【關(guān)鍵詞】分類討論的思想分類的原則分類討論的應(yīng)用

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分，數(shù)學(xué)教學(xué)中如何挖掘課本中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，如何有效的進行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，如何培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育工作者普遍關(guān)注和潛心探索的一項重要課題。在新課程中，分類思想在教材中的體現(xiàn)是豐富多彩的，在整個初中階段很多問題都用了分類的思想，將不同的事物分為不同的種類，尋找它們各自的共同點及內(nèi)在的規(guī)律性。

一． 分類討論的思想

所謂分類討論就是分別歸類再進行討論的意思，數(shù)學(xué)中的分類過程就是對事物共性的抽象過程，解題時要使學(xué)生體會為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，在分類的過程如何認(rèn)識事物的屬性，如何區(qū)分不同事物的不同屬性，通過多次反復(fù)的思考和長時間的積累，使學(xué)生逐步感悟分類是一種重要的思想，它體現(xiàn)了化整為零，化零為整與歸類整理的思想，它:揭示著數(shù)學(xué)事物之間的內(nèi)在規(guī)律，學(xué)會分類有助于學(xué)生總結(jié)歸納所學(xué)的知識，使所學(xué)的知識條理化，提高思維的概括性，從而提高分析問題和解決問題的能力。

我們在運用分類討論的思想解決問題時，首先要審清題意，認(rèn)真分析可能產(chǎn)生的不同因素，進行討論時要確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，每一次分類只能按照一個標(biāo)準(zhǔn)來分，不能重復(fù)也不能遺漏，另外還要逐一認(rèn)真解答。我們平時在解決問題時還經(jīng)常碰到這樣的情況，當(dāng)問題解答到某一步驟后，需要按一定的標(biāo)準(zhǔn)來分為若干個子問題進行討論，這樣常?？梢允箚栴}化繁為簡，更清楚地暴露事物的屬性。

案例1：某服裝廠生產(chǎn)一種西裝和領(lǐng)帶。西裝每套定價200元，領(lǐng)帶每條定價40元，廠方在開展促銷活動期間向顧客提供兩種優(yōu)惠方案。方案一：買一套西裝送一條領(lǐng)帶，方案二：西裝領(lǐng)帶均按定價打9折（兩種優(yōu)惠方案不可同時采用）某店老板要去廠里購買20套西裝和若干條領(lǐng)帶（超過20條）請幫店老板選擇一種較省錢的購買方案？

分析：因為已知條件中未明確購買領(lǐng)帶的數(shù)量，因而較省錢的購買方案也是不確定的，而是由不同的領(lǐng)帶購買數(shù)量決定的解：設(shè)店老板需購買領(lǐng)帶x條

方案一購買需要付款200×20＋（x－20）×40＝40x＋3200（元）

方案二購買需要付款（200×20＋40x）×0.9＝36x＋3600（元）

假設(shè) y＝(40x＋3200)－(36x＋3600)＝ 4x－400（元）

（1）當(dāng)y＜0時,即20＜x＜100,方案一比方案二省錢

（2）當(dāng)y＝0時,即x＝100,方案一和方案二同樣省錢

（3）當(dāng)y＞0時,即x＞100,方案二比方案一省錢

答：當(dāng)購買領(lǐng)帶超過20條而不到100條時，方案一省錢，當(dāng)購買領(lǐng)帶等于100條時，兩種方案一樣省錢，當(dāng)購買領(lǐng)帶超過100條時，方案二省錢

二． 分類的原則

分類討論必須遵循一定的原則進行，在初中階段我們經(jīng)常用到以下幾個原則

1.同一性原則

分類應(yīng)該按照同一標(biāo)準(zhǔn)進行，即每次分類不能同時使用幾個不同的分類依據(jù)，否則會出現(xiàn)重復(fù)的現(xiàn)象，例如有些同學(xué)認(rèn)為三角形可以分為等腰三角形，等邊三角形，銳角三角形，鈍角三角形，直角三角形，這樣的分類是錯誤的，不但以邊來分類而且以角來分類，等腰三角形可以是銳角三角形，鈍角三角形或直角三角形，這樣的分類犯了標(biāo)準(zhǔn)不同的錯誤

2.互斥性原則

分類后的每一個子類應(yīng)該具備互不相容的原則，即不能出現(xiàn)有一項既屬于這一類又屬于那一類。例如學(xué)校舉行運動會，規(guī)定每個學(xué)生只能參加一項比賽，初一六班的6名同學(xué)報名參加100和200米的賽跑，其中有4人參加100米比賽，3人參加200米比賽，那么就有1人既參加100米又參加200米比賽，這道題目分類的互斥性原則

3.完整性原則

分類后的每一個子類合并起來應(yīng)該等于總類，否則會出現(xiàn)遺漏的現(xiàn)象。例如某人把實數(shù)分為正實數(shù)和負(fù)實數(shù)，這樣的分類是不完整的，因為零也是實數(shù)，但是零既不是正實數(shù)也不是負(fù)實數(shù)。

4.多層性原則

分類后的子類還可以繼續(xù)再進一步分類，直到不能再分為止。例如實數(shù)可以分為有理數(shù)和無理數(shù)，有理數(shù)可以分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，整數(shù)可以分為正整數(shù)，零和負(fù)整數(shù)

三． 分類討論的應(yīng)用

我們用分類討論的思想解決問題的一般步驟是：

（1）先明確需討論的事物及討論事物的取值范圍

（2）正確選擇分類的標(biāo)準(zhǔn)，進行合理的分類

（3）逐類討論解決

（4）歸納并作出結(jié)論

下面淺談一下分類討論在初中階段的一些簡單的應(yīng)用：

1.分類討論在應(yīng)用題中的應(yīng)用

案例2：學(xué)校建花壇余下24米漂亮的小圍欄，經(jīng)總務(wù)部門同意，初一五班的同學(xué)準(zhǔn)備在自己教室后的空地上建一個一面靠墻，三面利用這些圍欄的花圃，請你設(shè)計一下，使花圃的長比寬多3米，求出花圃的面積是多少？

分析：因為已知條件中并沒有明確長和寬的位置,所以需要對長和寬的位置進行討論 解：(1)假設(shè)平行于墻的一邊為長x米，則寬為(x－3)米，依題意可列方程

x＋2(x－3)=24

解方程得x＝10

經(jīng)檢驗，符合題意

長為10米，寬為7米，面積為70平方米

（2）假設(shè)垂直于墻的一邊為長x米，則寬為(x－3)米，依題意可列方程

2x＋(x－3)=24

解方程得x＝9

經(jīng)檢驗，符合題意

長為9米，寬為6米，面積為54平方米

答：當(dāng)平行于墻的一邊為花圃的長時花圃的面積是70平方米，當(dāng)垂直于墻的一邊為花圃的長時花圃的面積是54平方米。

學(xué)生在解此類題的錯誤往往是因為不認(rèn)真審題，沒有弄清已知條件中的各種可能情況

而急于解題所造成，只有審清了題意，全面系統(tǒng)地考慮問題，才可以確定出各種可能情況，解答此類問題就不會造成漏解

2.分類討論在絕對值方程中的應(yīng)用

關(guān)于絕對值的問題，往往要將絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式看成一個整體，將這個整體分為正數(shù)，負(fù)數(shù)，零三種，再分別進行討論。

案例3：求方程 ︳x﹢2︳﹢︳3﹣x︳＝ 5的解

分析：本題應(yīng)該對于代數(shù)式 ︳x﹢2︳應(yīng)分為x＝﹣2,x﹥﹣2,x﹤﹣2，對于︳3﹣x︳應(yīng)分為x＝3,x﹥3,x﹤3，把上述范圍畫在數(shù)軸上可見對這一問題應(yīng)劃分以下三種情況分別討論

解：①當(dāng)x≦﹣2時，原方程變?yōu)椹仼vx﹣2﹚﹢3﹣x＝5，解得x＝0與x≦﹣2產(chǎn)生矛盾，故在x﹤﹣2時原方程無解

②當(dāng)﹣2﹤x≦3時，原方程為x﹢2﹢3﹣x＝5恒成立，故滿足2﹤x≦3的一切實數(shù)x都是此方程的解

③當(dāng)x﹥3時，原方程為x﹢2﹣﹙3﹣x﹚＝5，解得x＝3這與x﹥3產(chǎn)生了矛盾，故在x﹥3時原方程無解

綜上所述，原方程的解是滿足2﹤x≦3的一切實數(shù)。

3．分類討論在解含有參數(shù)問題中的應(yīng)用

所有含有參數(shù)的問題都要進行分類討論，而且要對參數(shù)的不同取值范圍分類討論，不能有重復(fù)和遺漏。

案例4：若關(guān)于x的分式方程x?a3??1無解，求a的值 x?1x

解：方程兩邊同乘以x﹙x﹣1﹚，得﹙x﹣a﹚x﹣3﹙x﹣1﹚＝x﹙x﹣1﹚

整理得﹙a﹢2﹚x＝3

①當(dāng)a﹢2＝0即 a＝﹣2時，方程無解，則原方程也無解

②當(dāng)x＝1時方程無解，此時a﹢2＝3，得a＝1

③當(dāng)x＝0時方程無解，此時﹙a﹢2﹚×0＝3無解

綜上所述，a的值為1或﹣2

4．分類討論在解幾何題中的應(yīng)用

分類討論思想在幾何題中有廣泛的應(yīng)用，在有關(guān)點與線的位置關(guān)系，直線與直線的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，等腰三角形等的題目中都需要進行分類討論。案例5：等腰三角形中，有一個角是另一個角的4倍，求等腰三角形的一個底角的度數(shù)？ 分析：本題應(yīng)該分為底角是頂角的4倍和頂角是底角的4倍兩種情況進行討論

解：（1）當(dāng)一個底角的度數(shù)為x度，頂角是4x度時

依題意列方程x﹢x﹢4x＝180解得x＝30，底角等于30度

（2）當(dāng)一個底角的度數(shù)為4x度，頂角是x度時

依題意列方程4x﹢4x﹢x＝180解得x＝20，底角等于80度

綜上所述，等腰三角形的底角為30度或者80度。

5．分類討論在解概率題中的應(yīng)用

在求簡單事件的概率時，我們通常會用“列表”或者是“畫樹狀圖”的方法來列舉所有機會均等的結(jié)果，然后找出該事件所包含的結(jié)果，從而求出該事件發(fā)生的概率。事實上“列表”或者是“畫樹狀圖”的方法就是分類討論的思想方法最直接的體現(xiàn)。

案例6：同時拋擲3枚普通的硬幣一次，問得到“兩正一反”的概率是多少

分析：每一個硬幣都有正面和反面，我們可以用畫樹狀圖的方法分析先拋第一枚，再拋第二

枚，最后拋第三枚，可知共有8種機會均等的結(jié)果它們是（正正正）（正正反）（正反正）（反正正）（反反正）（反正反）（正反反）（反反反），其中兩正一反的結(jié)果有3種，可以求得概率是八分之三。

6．分類討論在解函數(shù)題中的應(yīng)用

分類討論的思想方法貫穿于初中階段學(xué)過的所有的函數(shù)中，一次函數(shù)y＝kx﹢b﹙k≠0﹚要對k，b取值范圍進行分類討論，反比例y=

2k﹙k≠0﹚函數(shù)要對k的取值范圍進行分類討論，x二次函數(shù)y＝ax﹢bx﹢c﹙a≠0﹚要對a的取值范圍進行分類討論

案例7：求二次函數(shù)y＝ax﹢﹙3﹣a﹚x﹢1﹙a≠0﹚與x軸只有一個交點，求a的值與交點坐標(biāo)

解：①當(dāng)a＝0時，此函數(shù)為一次函數(shù)y＝3x﹢1與x軸只有一個交點，交點坐標(biāo)是（－21，0）3

2②當(dāng)a≠0時，此函數(shù)是二次函數(shù)，因二次函數(shù)與x軸只能有一個交點則判別式為零﹙3﹣a）﹣4a ＝ 0

解得a＝1或a＝9

當(dāng)a＝1時,與x軸的交點坐標(biāo)是（﹣1，0）

當(dāng)a＝9時,與x軸的交點坐標(biāo)是（【結(jié)語】分類討論思想的應(yīng)用非常廣泛，涉及到初中的全部知識點，這里不能一一列舉出來，分類討論思想的關(guān)鍵是分清引起分類的原因，明確分類討論的事物和標(biāo)準(zhǔn)，按可能出現(xiàn)的所有情況做出準(zhǔn)確分類，再分門別類加以求解，最后將各類結(jié)論綜合歸納，得出正確答案。數(shù)學(xué)中的分類思想是一種比較重要的數(shù)學(xué)思想，通過加強數(shù)學(xué)分類思想的訓(xùn)練，有利于提高學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性，縝密性，科學(xué)性，這種優(yōu)良的思維品質(zhì)對學(xué)生的未來必將產(chǎn)生深刻和久遠(yuǎn)的影響。

參考文獻：

（1）2011年版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

（2）任百花：初中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)研究

（3）江國安：初中數(shù)學(xué)綜合題的教學(xué)探索

（4）趙峰：淺談分類討論思想在解題中的應(yīng)用

（5）王奎文：增強中學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識 1，0）3

第四篇：函數(shù)和不等式思想在極值點偏移問題中的應(yīng)用

函數(shù)和不等式思想在極值點偏移問題中的應(yīng)用

一、教材分析

1．教材的內(nèi)容

選修

1-1

第三章，本節(jié)屬于專題復(fù)習(xí)課.2.教材所處的地位和作用

微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展史中的里程碑，它的發(fā)展應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時期，它為研究變量與函數(shù)提供了重要的方法和手段。導(dǎo)數(shù)的概念是微積分的核心概念之一，它有及其豐富的實際背景和廣泛的應(yīng)用。在選修模塊中，學(xué)生將通過大量實例，經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率刻畫現(xiàn)實問題的過程，理解導(dǎo)數(shù)的含義，體會導(dǎo)數(shù)思想及其內(nèi)涵；應(yīng)用導(dǎo)數(shù)探索函數(shù)的單調(diào)，極值等性質(zhì)在實際中的應(yīng)用，感受導(dǎo)數(shù)在解決數(shù)學(xué)問題和實際問題中的作用，體會微積分的產(chǎn)生對人類文化發(fā)展的價值。

3.學(xué)情分析

①通過《數(shù)學(xué)必修》中函數(shù)，幾何與代數(shù)，數(shù)學(xué)建模等內(nèi)容的學(xué)習(xí)以及在《數(shù)學(xué)選修

1-1》中第二，三章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)具備了函數(shù)的基本知識和運算能力，這為本節(jié)我們討論極值點偏移問題提供了很好的前提與基礎(chǔ)。

②學(xué)生具體研究學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)必修中函數(shù)單調(diào)性的尋找，證明和應(yīng)用及不等式的相關(guān)結(jié)論，具備了一定的探究能力。基于此，學(xué)生會產(chǎn)生思考，如何運用函數(shù)和不等式來解決高考試題中極值點偏移的問題，能否給出一般性的解決方法和步驟，如果能夠得到這類問題較為簡單的解題通法，這個常常出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)壓軸題

題位置上的難點將不會再對我們造成太難的阻礙，甚至?xí)蔀椴糠滞瑢W(xué)新的得分點。

③教學(xué)對象是高三年級理科生，由于學(xué)生年齡和能力及題目本身思維要求高，過程繁，計算難度大等原因，學(xué)生的思維盡管活躍，敏捷，但卻缺乏冷靜深刻的數(shù)學(xué)思維和解難題的能力，因此所做的探索過于片面，結(jié)論不夠嚴(yán)謹(jǐn).4.教學(xué)的重點和難點

重點：函數(shù)構(gòu)造法，對數(shù)平均不等式和極值點偏移的判定定理

難點：函數(shù)構(gòu)造法的結(jié)題步驟，構(gòu)造函數(shù)的選取，對數(shù)平均不等式的放縮和極值點偏移的判定定理的使用

二、教學(xué)目標(biāo)分析

1．知識與技能

1.能運用函數(shù)和不等式解決導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中極值點偏移的問題

2.掌握函數(shù)和不等式解決這類題的一般步驟

3.極值點偏移的判定定理的使用

2、過程與方法

1.通過利用幾何畫板展現(xiàn)極值點偏移的過程，讓學(xué)生直觀認(rèn)識感受極值點偏移的本

質(zhì)原因，激發(fā)學(xué)生探究解決問題的激情，和培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真觀察事物變化過程，總結(jié)變化規(guī)律的習(xí)慣。同時在此處先不給出極值點偏移的判定定理，而是先用函數(shù)構(gòu)造法和對數(shù)平均不等式這兩種之前已經(jīng)介紹過的方法來求解例一。重在感受極值偏移的現(xiàn)象，和復(fù)習(xí)歸納已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識方法。

2.結(jié)合例一的解題過程，重點回顧討論解題的方法和步驟，展示這兩種方法的易錯點和難點的突破口，樹立學(xué)生解難題的信心規(guī)范學(xué)生的解題過程。然后把時間向前推移六年到例

2（2010

天津）讓學(xué)生自主模仿例一的解法嘗試來解例二，通過例一的復(fù)習(xí)學(xué)生較容易使用其中的一種或兩種方法得到題目的答案讓學(xué)生體會到學(xué)以致用的成就感，同時也通過兩題的比對了解到高考題目的變遷歷史體會該知識點在高考中的地位清楚今后的復(fù)習(xí)和學(xué)習(xí)方向。

3.展示學(xué)生例二的解題過程并加以點評后提出更高的要求——有沒有更好的方法，結(jié)合一開始的三張圖片讓學(xué)生再次重新審視極值點偏移的原因回歸到數(shù)學(xué)本質(zhì)上來，不用很精準(zhǔn)只需要說出自己的直觀感受即可，通過這一過程讓學(xué)生鍛煉自己的數(shù)學(xué)直觀想象和數(shù)學(xué)運算分析等核心素養(yǎng)，同時也為后面介紹極值點偏移的判定定理做好鋪墊，比較分析函數(shù)構(gòu)造法和對數(shù)平均不等式的特點和優(yōu)缺點，認(rèn)識到具體問題具體分析，方法的選擇要靈活有針對性，不能盲目模仿和生搬硬套，通過一題多解，和同法異題的求解加深解題方法的理解和應(yīng)用能力的提高，由具體問題的多角度的思維得出不同方法的求解過程培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和數(shù)學(xué)歸納的能力，數(shù)學(xué)抽象能力。

3、情感態(tài)度與價值觀

通過經(jīng)歷對例一和例二高考真題的探索和解決，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲，鼓勵學(xué)生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質(zhì)，從中獲得成功的體驗，感受數(shù)學(xué)思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對稱美、形式的簡潔美、數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美．引導(dǎo)學(xué)生樹立科學(xué)的世界觀，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合素質(zhì)。

三、教學(xué)方法與手段分析

1.教學(xué)方法

結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的認(rèn)知水平，在教法上，我采用“探究發(fā)現(xiàn)”模式的教學(xué)方法，整個教學(xué)過程以學(xué)生為主體，學(xué)生自主學(xué)習(xí)為中心的思想，同時運用多媒體課件教學(xué)等技術(shù)手段，同一題目不同方法的比對，相同方法不同題目的求解讓學(xué)生由淺入深，循序漸進的參與這堂課的每個過程，自然而然的完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。

2.學(xué)法

觀察分析→自主探究→

合作交流

→初步運用

→歸納小結(jié)

3.教學(xué)手段

利用計算機和實物投影等輔助教學(xué)，充分調(diào)動學(xué)生參與課堂教學(xué)的主動性與積極性.四、教學(xué)過程分析

教學(xué)是一個教師的“導(dǎo)”，學(xué)生的“學(xué)”以及教學(xué)過程中的“悟”構(gòu)成的和諧整體.教師的“導(dǎo)”也就是教師啟發(fā)、誘導(dǎo)、激勵、評價等為學(xué)生的學(xué)習(xí)搭建支架，把學(xué)習(xí)的任務(wù)轉(zhuǎn)移給學(xué)生，學(xué)生就是接受任務(wù)，探究問題、完成任務(wù).如果在教學(xué)過程中把“教與學(xué)”完美的結(jié)合也就是以“問題”為核心，通過對知識的發(fā)生、發(fā)展和運用過程的演繹、解釋和探究來組織和推動教學(xué).Ⅰ.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

圖

x

=

m

=

x1

+

x2

極值點無偏移

圖

x

m

=

x1

+

x2

極值點左偏

0

圖

x0

2

0

m

=

x1

+

x2

目的：①本例通過給出三張典型的凹函數(shù)圖像，讓學(xué)生從圖像特征上去直觀感受函數(shù)圖像極值點發(fā)生偏移的原因，有助于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，同時上來通過圖像讓學(xué)生直觀感受而非繁瑣的計算來思考解決問題，有助于開拓學(xué)生視野回歸數(shù)學(xué)問題本質(zhì)，降低了學(xué)生對于該問題的為難情緒。

②通過學(xué)生觀察后教師自然而然的給出極值點偏移的定義，并順帶給出極值點偏移的數(shù)學(xué)解釋逐步讓學(xué)生由感性認(rèn)知上升到理論認(rèn)知，當(dāng)然老師在此可以對學(xué)生提出進一步要求，可不可以給出一般性的判定定理？這里我們只先提出問題，做下伏筆，但并不馬上去求解，避免由于問題過難而挫傷學(xué)生的積極性，同時也為本節(jié)課最后的問題做好了鋪墊。

Ⅱ.探究問題

例一（2016

全國卷一）已知函數(shù)

f

(x)=

(x

2)ex

+

a(x

-1)2

有兩個零點。

（I）求

a的取值范圍；（略）

（II）設(shè)

x1,x2

是

f

(x)的兩個零點，證明：

x1

+

x2

目的：①發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，先自己探求結(jié)果，檢查學(xué)生前一階段的復(fù)習(xí)成果和對于問題一的思考和聯(lián)系；

②讓學(xué)生對于零點偏移求解過程更加熟練，思路更加清晰；并為下一步對數(shù)平均不等式和極值點偏移的判定定理做好鋪墊；

解法一：對稱構(gòu)造函數(shù)法由（1）知a

3

0

①

x1

x2

②構(gòu)造函數(shù)

F

(x)

=

f

(x)

f

(2

x)，(x

1)

T

F

＇

(x)

=

f

＇

(x)

f

＇

(2

x)

=

(x

-1)(ex

+

2a)

+

(1-

x)(e2-x

+

2a)

=

(x

-1)(ex

e2-x)

x

1時

x

0

T

x

x

T

e2-

x

ex

0

＼

F

＇

(x)

0

T

F

(x)在(-

￥，1)上

-

③代入

x1

得

F

(x1)<

F

(1)=

0

T

f

(x2)

=

f

(x1)

f

(2

x1)

又Q

y

=

f

(x)在(1，+

￥)上

-

x2

?

(1,+

￥),2

x1

?

(1,+

￥)

＼

x2

x1

即

x1

+

x2

提問

1：學(xué)生解法一由哪些主要步驟，哪些步驟是你覺得難得地方，我們是如何解決這些困難的？

結(jié)合學(xué)生的回答對稱化構(gòu)造函數(shù)處理極值點偏移問題的基本步驟歸納如下：

＇

①求導(dǎo)獲得

f

(x)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合判斷零點

x1,x2

和極值點

x0的范圍

②構(gòu)造輔助函數(shù)

F

(x)

=

性

f

(x)

f

(2x0

x)，判斷函數(shù)

F

(x)的符號，確定函數(shù)

F

(x)的單調(diào)

③結(jié)合F

(x0)

=

0

限定

x的范圍判定

F

(x)的符號得到不等式

④將

x1

(或x2)

代入上述不等式，利用

f

(x1)

=

f

(x2)

替換

f

(x1)

⑤結(jié)合①求得

f

(x)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為

x1,x2的不等式，證明結(jié)束。提問

2；可不可以把流程繼續(xù)簡化？

其中主要的三步流程簡化為“求導(dǎo)→構(gòu)造→代入”。構(gòu)造是難點，求導(dǎo)是關(guān)鍵，常用構(gòu)

造要記清。

提問

3：還有其他解法嗎？提醒學(xué)生從不等式構(gòu)造上思考

學(xué)生有困難，則先回顧基本不等式內(nèi)容，讓學(xué)生從熟悉的，簡單的問題入手

調(diào)和平均數(shù)￡

幾何平均數(shù)￡

算術(shù)平均數(shù)￡

￡

平方平均數(shù)

A(a,b)

=

a

+

b,L(a,b)

=

a

b

ln

a

ln

b

,G(a,b)

=

ab,(a,b

0)

T

A

￡

L

￡

G

解法二：對數(shù)平均不等式（ALG）

f

(x)

=

f

(x)

=

0

?

(x

2)ex1

+

a(x

-1)2

=

(x

2)ex2

+

a(x

-1)2

=

0

ì?a(x

-1)2

=

(2

x)ex1

T

í

??a(x

-1)2

=

(2

x)ex2，兩式相減得a(x

+

x

-

2)(x

-

x)

=

(2

x)ex1

(2

x)ex2

ìx1

+

x2

3

0

（反證）假設(shè)

x

+

x

3

T

?x

x

0

T

(2

x)ex

(2

x)ex

￡

0

í

?

?a

3

0

T

(2

x)ex1

￡

(2

x)ex2

（左右兩邊同時取對數(shù)）

T

ln(2

x1)

+

x1

￡

ln(2

x2)

+

x2

T

ln(2

x1)

ln(2

x2)

￡

x2

x1

T

（x2

x1

3

T

(2

x1)

(2

x2)

3

（*）

ln

x1)-

ln(2

x2)

ln(2

x1)-

ln(2

x2)

由對數(shù)平均不等式（ALG）得

(2

x1)

(2

x2)

<

(2

x1)

+

(2

x2)

=

x1

+

x2

￡

ln(2

x1)-

ln(2

x2)

顯然與（*）相矛盾，假設(shè)不成立，原命題成立。

解題流程：實際問題→（數(shù)學(xué)抽象）數(shù)學(xué)模型→數(shù)學(xué)解→（解釋與檢驗）實際問題引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對稱美、形式的簡潔美、數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美．

提問

4：這類問題最早出現(xiàn)在那一年高考題中，當(dāng)時的高中生如何解決這類問題，我們是否能在當(dāng)年的高考題中取得滿分？激發(fā)學(xué)生的動力積極性，檢查學(xué)生的掌握情況。給出本節(jié)的例二

例二（2010

天津卷）已知函數(shù)

f

(x)=

xe-x

(x

?

R)

（I）求函數(shù)

f

(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（II）已知函數(shù)

y

=

g

(x)的圖像與函數(shù)

y

=

時，f

(x)

g(x);

f

(x)的圖像關(guān)于直線

x

=

對稱，證明：當(dāng)

x

（III）如果

x1

1

x2，且

f

(x1)

=

f

(x2)，證明

x1

+

x2

2。

解法一：對稱構(gòu)造函數(shù)法（1）（2）略

①由（1）知

x1

x2

②構(gòu)造函數(shù)

F

(x)

=

f

(x)

f

(2

x)，(x

1)

T

F

＇

(x)

=

f

＇

(x)

f

＇

(2

x)

=

e-x

(1-

x)

+

e-(2-x)

[1-

(2

x)]

=

e-x

(1-

x)

+

e-(2-x)

(x

-1)

=

(x

-1)(e-2+x

e-x)

其中

x

0

ü

T

F

＇

(x)

0

t

x

T

ex-2

e-1

e-

x

y

T

F

(x)在（-

￥,1）上

-

③代入

x1

得

F

(x1)<

F

(1)=

0

T

f

(x2)

=

f

(x1)

f

(2

x1)

又Q

y

=

f

(x)在(1，+

￥)上

ˉ

x2

?

(1,+

￥),2

x1

?

(1,+

￥)

＼

x2

x1

即

x1

+

x2

解法二：對數(shù)平均不等式（ALG）

f

(x)

=

f

(x)

T

x

e-x1

=

x

e-x2

（左右兩邊同時取對數(shù)）

T

ln

x1

x1

=

ln

x2

x2

T

x1

x2

=

ln

x1

ln

x2

T

x1

x2

ln

x1

ln

x2

=

（*）

由對數(shù)平均不等式（ALG）得

T

x1

+

x2

x1

x2

ln

x1

ln

x2

=

x1

+

x2

提問

5：顯然這個問題對于現(xiàn)在的我們不是什么難題了，但作為新時代的我們能不能用給簡潔的方法給出這兩題的一般性解法，通法的探討顯然是我們要思考的問題。那么學(xué)生對于這個新的挑戰(zhàn)自然就會萌生極大地興趣，這時再回顧我們一開始觀察三張直觀圖時提出的問題，解法三的出現(xiàn)也就是必需的了。即本節(jié)課的最后一個知識點——極值點偏移的判定定理。

III.按圖索驥，回歸本質(zhì)

極值點偏移判定定理：在給定區(qū)間

D

上函數(shù)

y

=

f

(x)

可導(dǎo)

f

(x1)

=

f

(x2),(x1

x2)，若

x0

為

(x,x)

上的唯一極小值點，f

＇＇＇

(x)

0，則極小值點右偏?

x1

+

x2

x；

0

f

＇＇＇

(x)

0，則極小值點左偏?

x1

+

x2

x。

0

對于該定理作為高中生我們只需要了解，不需要完整嚴(yán)格的證明，（后附有泰勒展開的完整證明過程，可以開拓一部分自學(xué)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生的視野）

那么我們怎么來理解該判定定理呢？我們又如何運用它來解決高中相關(guān)的數(shù)學(xué)問題呢？對此我們分兩部分來討論。

第一部分：我們主要結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義與

n

階導(dǎo)數(shù)的運算來了解該定理的由來。首先

通過讓學(xué)生再次觀察一開始我們已展示的圖一，二，三不，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)

y

=

f

(x)的圖

像偏移的原因，即

y

=

f

(x)的圖像在u(x0,?)

內(nèi)增減速度的不同而發(fā)生的。接著再進一步

引導(dǎo)學(xué)生思考發(fā)生的不同我們?nèi)绾稳ビ脭?shù)學(xué)的語言來描述刻畫它，提醒學(xué)生從導(dǎo)數(shù)的幾

何意義來思考，以圖

為例和學(xué)生一起做探討：

y

=

f

(x)的圖像的斜率一直在增加，但

增加的速度在變慢，（數(shù)學(xué)直觀想象），如何用數(shù)學(xué)語言來表述這一變化？（數(shù)學(xué)抽象）

→

f

＇

(x)

0,f

＇

(x)

增加T

f

＇＇

(x)

0（速度變慢）T

f

＇＇

(x)的絕對值變小

T

y

=

f

＇＇＇

(x)

0。

完成圖二的探討后可讓學(xué)生模仿獨立的完成圖

3的探索：

f

＇

(x)

0,f

＇

(x)

增加T

f

＇＇

(x)

0

（速度變快）

T

f

＇＇

(x)的絕對值變大

T

y

=

f

＇＇＇

(x)

0。

以上結(jié)論可簡單記憶口訣（“小大小”，“小小大”），同時若

x0

是極大值點的話，結(jié)論相反，口訣為（“大大大”，“大小小”）

IV.給出定理，嘗試新解

第二部分：運用新的判定定理重新去接例一和例二例一新解

極值點偏移判定定理

解法三：

f

(x)=

(x

2)ex

+

a(x

-1)2

T

f

＇

(x)

=

(x

-1)(ex

+

2a)

T

f

＇＇

(x)

=

(x

-1)ex

+

ex

+

2a

T

f

＇＇＇

(x)

=

ex

(x

+1)

分兩段區(qū)間討論

①若

x

?

(-￥,1]，f

(2)

=

a

0

結(jié)合圖像可知

x1

￡

x2

a，則

x1

+

x2

②若

x

?

(-1,+

￥)，f

＇＇＇

(x)

0，x

=

是極小值，符合“小大小”

T

x

+

x2

綜上的x1

+

x2

例二新解

解法三：

f

(x)

=

xe-x

T



f

＇

(x)

=

e-x

xe-x

T



f

＇＇

(x)

=

e-x

(x

2)

T

f

＇＇＇

(x)

=

e-x

(3

x)

分兩段區(qū)間討論

①若

x

?[3,+

￥)，可知

x1

+

x2

max{x1,x2}

3

2，則

x1

+

x2

②若

x

?

(-

￥,3)，f

＇＇＇

(x)

0，x

=

是極大值，符合“大大大”

T

x



+

x2

綜上知

x1

+

x2

至此我們回頭再看例一和例二的三個解法，不知不覺中對于一開始極值點偏移的問題有

了更新的認(rèn)知。

VI.課堂練習(xí)

鞏固雙基

練習(xí)

1（2011

遼寧卷）已知函數(shù)

f

(x)

=

ln

x

ax2

+

(2

a)x。

（I）討論函數(shù)

f

(x)的單調(diào)性；

（II）設(shè)a

0，證明：當(dāng)0

x

時，f

（1

+

x)

f

（1

x);

a

a

a

（III）若函數(shù)

y

=

f

(x0)

0。

f

(x)的圖像與

x

軸交于

A,B

兩點，線段

AB

中點的橫坐標(biāo)為

x0，證明

練習(xí)

2（2014

天津卷）設(shè)

f

(x)

=

x

aex

(a

?

R),x

?

R

已知函數(shù)

y

=

且

x1

x2

（1）求

a的取值范圍

（2）證明

x2

隨著

a的減小而增大

x1

（3）證明

x1

+

x2

隨著

a的減小而增大

f

(x)

有兩個零點

x1,x2，練習(xí)

已知函數(shù)

f

(x)

=

a

ln

x,a

?

R.若函數(shù)

f

(x)

有兩個零點

x,x。

x

求證：

x1

+

x2

練習(xí)

已知函數(shù)

f

(x)

=

ex

ax

有兩個不同的零點

x,x，其極值點為

x

0

（I）求

a的取值范圍

（II）求證：

x1

+

x2

2x0

（III）求證：

x1

+

x2

（IV）求證：

x1

x2

目的：①通過學(xué)生的主體參與，使學(xué)生深切體會到本節(jié)課的主要內(nèi)容和思想方法，從而實現(xiàn)對知識的再次深化.②練習(xí)分層，有利于不同層次的學(xué)生培養(yǎng)。

VII.課堂小結(jié)

學(xué)生點評，老師引導(dǎo):

①由圖像直觀到方法求解,由繁瑣到簡潔，由為結(jié)題而解題到回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，一再的追問和嘗試思考有利于學(xué)生的知識遷移和能力提高；

②用三種方法解題的運用：函數(shù)構(gòu)造法，對數(shù)平均不等式和極值點偏移的判定定理。對三種解法的對比的再認(rèn)識．特別是方法的選擇上要能盡可能適合題目適合自己；

③在理解方法的基礎(chǔ)上,及時進行正反兩方面的“短、平、快”填空和判斷是非練習(xí).通過總結(jié)、辨析和反思，強化解法的靈活性，促進學(xué)生主動建構(gòu)，有助于學(xué)生形成知識模塊，優(yōu)化知識體系.體現(xiàn)知識目標(biāo)。

五、教學(xué)評價

結(jié)果因過程而精彩,現(xiàn)象因方法而生動.無論是情境創(chuàng)設(shè),還是探究設(shè)計,都必須以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)、訓(xùn)練為主線,設(shè)法從龐雜的知識中引導(dǎo)學(xué)生去尋找關(guān)系,挖掘書本背后的數(shù)學(xué)思想,建構(gòu)基于學(xué)生發(fā)展的知識體系,教學(xué)生學(xué)會思考,讓教學(xué)真正成為發(fā)展學(xué)生能力的課堂活動。因此，本課例在具體問題的數(shù)學(xué)模型的建立和數(shù)學(xué)工具的選擇上舍得花大量時間，便是為了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會探究與創(chuàng)新，它就像一縷溫暖的陽光，不一定能喚醒萬物，卻能催開人世間最絢麗的花朵。

通過三種解題方法的研究，使學(xué)生從不同的思維角度掌握了極值點偏移的解決方法；從圖像直觀到理論總結(jié)和方法嘗試，數(shù)學(xué)的解題方法拉近了知識之間的聯(lián)系；由特殊到一般問題的推導(dǎo)不再讓學(xué)生為解題而解題，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的魅力．學(xué)生從中深刻地領(lǐng)會到解題過程中所蘊含的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性、敏銳性、廣闊性、批判性．同時通過精講一題，發(fā)散一串的變式教學(xué)，使學(xué)生既鞏固了知識，又形成了技能．在此基礎(chǔ)上，通過民主和諧的課堂氛圍，培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣，也培養(yǎng)了學(xué)生勇于探索、不斷創(chuàng)新的思維品質(zhì)．

第五篇：高等數(shù)學(xué)中極限思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透

本科生畢業(yè)論文

題目：高等數(shù)學(xué)中極限思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透

學(xué)生姓名：段錫朋

學(xué) 號：20121050225 專 業(yè)：數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué) 指導(dǎo)教師：葛瑜

2016年4月27日

目錄

摘要...........................................................................................................................................3 緒論.......................................................................................................................................5 2.2 極限在拋物線上的應(yīng)用.............................................................................................6 第三章 極限在數(shù)列中的應(yīng)用...............................................................................................8 3.1 極限在等比數(shù)列中的應(yīng)用.........................................................................................8 3.2 洛必達法則在等比數(shù)列中的應(yīng)用.............................................................................9 第四章 極限在不等式中的應(yīng)用.........................................................................................10 4.1 極限比較不等式的大小...........................................................................................11 4.2證明不等式..................................................................................................................12 第五章 極限在立體幾何中的應(yīng)用.....................................................................................13 5.1極限確定角度的大小...................................................................................................13 結(jié)論.........................................................................................................................................16 致謝.........................................................................................................................................17 參考文獻.................................................................................................................................18

摘要

大學(xué)數(shù)學(xué)主要以極限為基礎(chǔ)，中學(xué)數(shù)學(xué)主要鍛煉人的形象思維，隨著中學(xué)數(shù)學(xué)課程的改革，在中學(xué)數(shù)學(xué)中滲透入大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容已成為常態(tài)，因此，了解和應(yīng)用一些簡單的大學(xué)數(shù)學(xué)中極限方法對于中學(xué)生來說是非常有必要的。極限思想是大學(xué)數(shù)學(xué)中比較重要的一種思想，它從數(shù)量上描述了變量在運動過程中的變化趨勢。極限思想不僅在高等數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，而且在中等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用也十分廣泛，特別是在幾何，函數(shù)，數(shù)列求解，三角函數(shù)，不等式等方面也有著密切的聯(lián)系。因此，極限的方法在解決中學(xué)數(shù)學(xué)的部分問題時有著不可忽視的作用。對于有些較難的數(shù)學(xué)問題，通過對問題的極端狀態(tài)的討論和研究，運用極限思想求解，可以避開一些復(fù)雜的運算，優(yōu)化了解題的過程，降低了問題的難度，達到事半功倍的效果。

關(guān)鍵字：大學(xué)數(shù)學(xué)，中等數(shù)學(xué)，極限，幾何，數(shù)列，函數(shù)，不等式。

Abstract

College mathematics is based on the limit while the main purpose of mathematics teaching in middle school is to cultivate students’ ability of imaginal thinking.With the reform of math course in middle school, it has become normal state to infiltrate basic components of college mathematics into math teaching in middle school.Thus, it is necessary for middle school students to learn the limit method.The limit cognition which describes the variation tendency of variables in movement, is an important thinking in college math study.It has been widely applied not only in advanced mathematics but only in mathematical teaching in middle school, especially in geometry, function, sequence calculation, trigonometric function and inequation.That is to say, limit method is assignable in solving some problems of middle school mathematics.It is effective.Through the discussion and study of the extreme condition, the application of the limit cognition in solving intricate mathematical problems can simplify and optimize the concrete operations, ease the difficulty level and get twofold results with half the effort.key: College mathematics，limit，geometry, function, sequence calculation, trigonometric function and inequation

緒論

極限思想是近代數(shù)學(xué)發(fā)展中的一種比較重要的思想。所謂的極限思想就是指用極限的概念分析問題和解決問題的一種重要的數(shù)學(xué)思想。極限思想的核心就是極限，極限簡單點來說就是永遠(yuǎn)接近的意思。極限思想解決問題的一般步驟分為：確定問題的未知量，再構(gòu)造一個與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過無限過程的結(jié)果就是所求的未知量；最后用極限計算來得到這結(jié)果。隨著中學(xué)課程的改革，中高考中逐漸加強對極限思想的考查，通過一些創(chuàng)新題，讓學(xué)生感受其中蘊含的極限思想。所以這就對學(xué)生的要求越來越高，需要對大學(xué)數(shù)學(xué)中的極限初步掌握。在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，有些題目雖然和極限無關(guān)，但若運用變化的觀點，靈活地用極限思想來思考，往往可以降低解題難度。

本課題就從大學(xué)數(shù)學(xué)中極限思想在解決中學(xué)數(shù)學(xué)中的幾類數(shù)學(xué)問題的應(yīng)用進行了探究，用無限逼近的方式從有限中認(rèn)識無限，從近似中認(rèn)識精確，從量變中認(rèn)識質(zhì)變。

研究意義

極限思想作為一種重要思想，在大學(xué)數(shù)學(xué)中乃至整個數(shù)學(xué)發(fā)展史中都占有重要的地位。極限思想在大學(xué)數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)中都有著廣泛的應(yīng)用，這是由它本身固有的思維功能所決定的。極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的對立統(tǒng)一關(guān)系。用極限思想解決問題，往往能突破思維上的禁錮，化繁為簡。

本課題解決的主要問題

本文主要對大學(xué)數(shù)中的學(xué)極限思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、不等式中的應(yīng)用進行分析，然后具體比較大學(xué)數(shù)學(xué)中的極限思想的解法和中學(xué)數(shù)學(xué)中的不同，進而體現(xiàn)出極限思想的優(yōu)點。

極限的定義

極限是高等數(shù)學(xué)中比較重要的一個模塊，內(nèi)容涉及到了函數(shù)，數(shù)列，導(dǎo)數(shù)，定積分等多個領(lǐng)域，學(xué)習(xí)和掌握難度較大。而由于極限在中學(xué)中的滲透，且應(yīng)用相對于高等數(shù)學(xué)來說，難度較小。所以，對于中學(xué)生來說，掌握一些簡單的極限以及極限的應(yīng)用是十分必要的。極限在中學(xué)中的滲透主要體現(xiàn)于函數(shù)極限和數(shù)列極限。下面就介紹函數(shù)極限的定義和數(shù)列極限的定義及其極限之間的簡單運算。

函數(shù)極限的定義：設(shè)y=f(x)是一個函數(shù)，A是一個常數(shù)，x0 是一個點，f(x)在x0的一個去心鄰域內(nèi)有定義。如果當(dāng)x越來越接近x0時，函數(shù)值越來越接近常數(shù)A，則稱A為趨于x0的函數(shù)的極限。記為

或

數(shù)列極限的定義：設(shè){}是一個數(shù)列，如果存在實數(shù)a，對于任意正數(shù)

|<ε(不論ε多么小)，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時，均有不等式│ε成立，那么稱常數(shù)a是數(shù)列{或

}的極限，記作

極限的四則運算

數(shù)列極限的四則運算法則：若{{}，{

}和{

}為收斂數(shù)列，則{

}，}也都是收斂數(shù)列，且有

第二章 極限思想在函數(shù)中的應(yīng)用

2.2 極限在拋物線上的應(yīng)用

例1.拋物線

與過焦點F的直線m交于兩點P、Q，F(xiàn)分線段PQ為兩個

等于（）線段，其長分別為p,q則A,4 B, C,8 D,2

圖一

解：（1）中學(xué)數(shù)學(xué)解法：由題意可得拋物線的焦點F（0，）由直線的參數(shù)方程可得過點F的直線m的參數(shù)方程為

聯(lián)立方程（1）和（2）并消去x和y得

韋達定理：一個一元二次方程

+根據(jù)韋達定理得方程的兩個根

,的關(guān)系為

=

（3）的兩個根為

（1）(2)

=

=

（2）極限的解法：因為F是拋物線的焦點，所以可以得出F的坐標(biāo)為F（0,）

因為直線m是經(jīng)過點F任意運動的。

所以利用極限的思想，我們可以讓P點運動到頂點O點，此時點Q就是運動到無窮遠(yuǎn)點 所以可以得到q∝∞，即∝0 于是.即答案為C

解析：本題是探究拋物線的不動點問題，中學(xué)數(shù)學(xué)的解法是探求p，q之間的關(guān)系，中間還應(yīng)用到了參數(shù)方程和韋達定理，其過程比較繁瑣，計算比較復(fù)雜，不適合于解答選擇題。而利用大學(xué)數(shù)學(xué)中極限的解法，只要能認(rèn)識到動點的極限狀態(tài)，借助于極限的思想就會使問題變得簡單：將線段PQ繞點F運動到無窮遠(yuǎn)處，因為PF=OF=p=，QF=q→∞，所以很快就可以得到種解法充分的體現(xiàn)了思維的靈活性和敏捷性。

→∞。極限的這第三章 極限在數(shù)列中的應(yīng)用

在大學(xué)數(shù)學(xué)中我們就學(xué)過了數(shù)列極限的四則運算法則，在中學(xué)階段主要學(xué)習(xí)最基礎(chǔ)的等差數(shù)列和等比數(shù)列。而在中學(xué)的解題過程中同意可以運用極限的思想來解決部分問題。

下面看一下極限在數(shù)列中的應(yīng)用

3.1 極限在等比數(shù)列中的應(yīng)用

例.已知數(shù)列{P 解：設(shè)數(shù)列{

}的公比為q，則 }，其中=,且數(shù)列{

}為等比數(shù)列，求常數(shù)

q===

對上式兩邊求極限 當(dāng)p=3時，當(dāng)p≠3時，q=q=

（1）

=

此時 即

整理得

即 4-2p=6-3p 所以p=2或p=3 解析：此題采用中學(xué)數(shù)學(xué)中的解法：根據(jù)等比數(shù)列的定義用后一項和前一項之比來表示公比q，經(jīng)過運算后發(fā)現(xiàn)根據(jù)中學(xué)數(shù)學(xué)的常規(guī)計算很難得到公比q，而（1）式正好是大學(xué)數(shù)學(xué)中極限的簡單運算，采用極限的運算很快得出公比q的值。這道題是中學(xué)數(shù)學(xué)解法與極限相輔相成的體現(xiàn)。并不能用兩種方法單獨解答，但是也很好的體現(xiàn)了極限思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透。

3.2 洛必達法則在等比數(shù)列中的應(yīng)用

例.解：中學(xué)數(shù)學(xué)解法：

已知一個公比為x的等比數(shù)列的前n項和為：

=

所以

所以

=

=

用極限的思想的解法：

洛必達法則是用于無窮比無窮或0/0型，分子分母同時求導(dǎo)，可以多次求導(dǎo)，在求導(dǎo)過程中不斷尋找等價的無窮小，或削去無窮因子。此題符合洛必達法則。

解析：觀察題目的分子分母可知分子分母符合等比數(shù)列的前項和公式，再通過極限的計算得出結(jié)果。而采用大學(xué)數(shù)學(xué)的極限的方法，我們可以看出整個式子符合運用洛必達法則的條件，所以通過洛必達法則對分子和分母同時求導(dǎo)就可以得出結(jié)果。此題是一道填空題，我們通過解答可以看出極限思想的優(yōu)越性。中學(xué)數(shù)學(xué)解法過程比較繁瑣和耗時，而極限的解法簡單省時，甚至可以達到秒殺的效果，應(yīng)當(dāng)掌握

第四章 極限在不等式中的應(yīng)用

不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個重要的模塊，在大學(xué)數(shù)學(xué)中不等式的應(yīng)用十分廣泛，例如極限的證明，夾逼法則的應(yīng)用等等。而極限同樣也在不等式中有著十分廣泛的應(yīng)用。4.1 極限比較不等式的大小

例：已知的大小。，，比較，解：中學(xué)數(shù)學(xué)的解法：采用賦值法，已知假設(shè)p=3，q=6 則，=3

所以可得 極限的解法：當(dāng)

時，，由

得

解析:中學(xué)數(shù)學(xué)的解法在比較不等式時最先想到的是賦值法，而本題采用賦值法的難點是p，q賦值的大小。我們看到根號里的分母是3，后兩個式子又分別開3次冪和6次冪，這就時比較大小變得不容易，所以我們必須使p,q的值假設(shè)為3的倍數(shù)，為了減小計算量，設(shè)p=3，q=6，通過計算就可以比較出不等式的大小。采用極限的解法，假設(shè)其中的一個值，把不等式轉(zhuǎn)化成與q有關(guān)的值，求出不等式的極限值就可以直接比較大小。賦值法在一般情況下簡單實用，但是比較考察賦值的把握能力。本題采用極限法只是應(yīng)用了極限的簡單思想和進行了簡單的計算，值得掌握。

4.2證明不等式

設(shè)n為自然數(shù)，求證：解：用數(shù)學(xué)歸納法

當(dāng) n=1時，不等式顯然成立。設(shè)n=k（那么，當(dāng)n=k+1時，)時，不等式成立，即

（1）

由于

所以，數(shù)學(xué)歸納法不可行

之所以用數(shù)學(xué)歸納法思路行不通，其原因在于是一個常數(shù)，從k 到(k+1)右邊常量不變，而左邊在增大，這樣，無法使用歸納假設(shè)。當(dāng)聯(lián)想可以將題目轉(zhuǎn)化為:

=

時，（2），不等式（2）成立，證明：①當(dāng)n=1時，②設(shè)n=k(k1)時，不等式（2）成立，即

那么，當(dāng)n=k+1時，+

<即當(dāng)n=k+1時，不等式（2）成立 即原式

解析：中學(xué)數(shù)學(xué)的解法：采用數(shù)學(xué)歸納法，我們可以看出n=1時，不等式顯然成立，假設(shè)n=k時不等式也成立，如果再證明出n=k+1時，不等式成立，則假設(shè)的n=k就成立，那么就可以用數(shù)學(xué)歸納法證明出不等式成立，但此題在證明n=k+1時，使不等式的左邊的值增大了，所以就達不到證明不等式左邊小于右邊的效果。極限的方法使不等式的右邊的常數(shù)值轉(zhuǎn)化成了一個等價的變量，使在證明n=k+1時，不等式左右兩邊的值同時增大，通過比較不等式的大小就證明出了n=k+1時不等式成立，繼而得出假設(shè)的n=k時的不等式也同樣成立，所以不等式就成立了。此題如果一味的采用數(shù)學(xué)歸納法是證明不出不等式成立的，而引入極限的思想，用極限值來構(gòu)造新的不等式就可以證明出了不等式成立，本題中引入的極限可以說是達到了一個四兩撥千斤的效果，作用非常大，這也正是極限的思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透的一個體現(xiàn)。

第五章 極限在立體幾何中的應(yīng)用

5.1極限確定角度的大小

立體幾何作為中學(xué)數(shù)學(xué)中一個重要的模塊，往往因為抽象而讓學(xué)生感覺學(xué)習(xí)難度較大。極限思想也成為了解決這類問題重要的一種方法。

例。正三棱錐相鄰兩個側(cè)面所成的角為α，則α的取值范圍是（Ｄ）A．（0，π）B.(0,π/3)C.(π/3,π/2)D.(π/3,π)

解：利用中學(xué)數(shù)學(xué)的解法： 首先作SO⊥底面ABC于O點。

因為S—ABC為正三棱錐，所以△ABC為正三角形，O點為△ABC的中心。作AD⊥SC于D點，連接BD，則BD⊥SC 所以∟ADB為相鄰的兩個側(cè)面A—SC-B的二面角 ∟ADB=α

設(shè)AB=AC=BC=m,∟SCB=β 所以AD=BD=m由余弦定理可得

=1-

所以α的余弦值與β的值有關(guān)。再由余弦定理得

cos∟BOC=

因為 所以 因為

cos∟BSC=

BO<ＢＳ

cos∟BOC< cos∟BSC

∟BＯC＝并且余弦函數(shù)在［0，π］上是減函數(shù)。

所以 ∟BSC<

在△ＳＣＢ中，由三角形的內(nèi)角和定理 所以

2β＋∟BSC＝π

β>

所以

即 ＝1-

即<α<π

所以答案為Ｄ

利用極限的思想求解

如圖所示，O為正三角形ABC的中心，SO為正三棱錐S-ABC的高，把O看作定點,S看作動點，當(dāng)0→OS時，兩相鄰側(cè)面趨向于一個平面，此時相鄰兩側(cè)面的夾角α→π；當(dāng)OS→∞時，正三棱錐無限趨向正三棱柱，兩相鄰側(cè)面的夾角愈來愈小，趨向于底面三角形ABC的一個內(nèi)角，即α→π/3 所以α∈（π/3,π），答案即為D 解析：中學(xué)數(shù)學(xué)的解法：首先構(gòu)造出相鄰兩個側(cè)面的二面角的平面角∟ADB，然后通過余弦定理來探求α和β之間的關(guān)系，由三角形的內(nèi)角和定理確定β的取值范圍，繼而確定出了α的取值范圍，就可以得出答案，思路比較簡單明了，但是計算過程比較繁瑣。采用極限的解法:通過動點S的移動，把相鄰的兩個側(cè)面轉(zhuǎn)化為一個平面，把二面角的平面角轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角，再根據(jù)動點的極限狀態(tài)求出極限值這是一道選擇題，采用中學(xué)數(shù)學(xué)的人解法步驟復(fù)雜，計算耗時較長，而采用極限的方法求解不僅簡單省時，而且有利于鍛煉學(xué)生的靈活性和創(chuàng)造性，此題充分體現(xiàn)了極限方法的優(yōu)越性。

5.2極限在計算立體幾何面積中的應(yīng)用

例.設(shè)三棱柱ABC-DEF的體積為V，P、Q分別是側(cè)棱AD、CF上的點，且PA=QF，則四棱錐B-APQC的體積為（）A.V B.V C.V D.V

結(jié)論

中學(xué)數(shù)學(xué)是大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，許多中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容都是大學(xué)數(shù)學(xué)的模型。大學(xué)數(shù)學(xué)正是在中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。所以說中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)之間存在著必然的聯(lián)系，許多在中學(xué)數(shù)學(xué)中無法解決的問題在大學(xué)數(shù)學(xué)中得以解決，這就要求中學(xué)生在中學(xué)學(xué)習(xí)階段必須掌握大學(xué)數(shù)學(xué)的一些基礎(chǔ)知識。本文通過站在大學(xué)數(shù)學(xué)的角度，運用大學(xué)數(shù)學(xué)的知識、方法和思想，從不同角度重新去審視，分析和解決中學(xué)數(shù)學(xué)的問題。大學(xué)四年的學(xué)習(xí)對我來說是一個知識的儲備過程。我在學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的同時，吸收了許多蘊含在數(shù)學(xué)知識中的數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)方法，正是這些數(shù)學(xué)思想和方法鍛煉了我的思維的條理性和連貫性，加強了邏輯思維在分析問題和解決問題的能力。

通過對大學(xué)數(shù)學(xué)中的極限思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透的研究，我發(fā)現(xiàn)大學(xué)數(shù)學(xué)極限思想能夠化繁為簡，具有較強的應(yīng)用性，深受人們的喜愛。極限思想可以用在我們中學(xué)數(shù)學(xué)的方方面面。在解題過程中，它能化無限為有限，節(jié)省大量運算，提高解題速度和準(zhǔn)確性。靈活巧妙、正確的運用數(shù)學(xué)極限思想能提高人們解題的正確率和策略意識，從而加深知識的理解和掌握。

對于中學(xué)生來說，能否熟練地應(yīng)用和掌握極限的思想和方法就要看我們是否有去用它的意識，而且能否掌握其中的技巧，如果我們具備了就會使復(fù)雜問題簡化，解題更加方便、快捷，收到事半功倍的效果。根據(jù)問題的不同條件和特點，合理選擇運算途徑是關(guān)鍵，而極限思想的靈活運用就成為減少運算量的一條重要途徑。

致謝

四年的讀書生活在這個季節(jié)即將劃上一個句號，而于我的人生卻只是一個逗號，我將面對又一次征程的開始。從開始進入課題到論文的順利完成，有多少可敬的師長、同學(xué)、朋友給了我許多的幫助，通過對本課題的研究，我自己學(xué)到了許多東西。在此，我特別感謝爸爸媽媽在我四年的學(xué)習(xí)生活中對我的關(guān)愛和支持。感謝朋友幫助我使用幾何畫板畫出數(shù)學(xué)圖形。感謝舍友在查找和研究資料時對我的幫助。感謝學(xué)校提供的學(xué)習(xí)環(huán)境。更非常感謝導(dǎo)師對我的課題的指導(dǎo)。

參考文獻

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5章建躍：《數(shù)學(xué)必修4》，人民教育出版社2007年版 6.李建華：《數(shù)學(xué)必修5》，人民教育出版社2007年版 7王申懷：《數(shù)學(xué)必修2》，人民教育出版社2007年版