第一篇：模型思想在幾何問(wèn)題中的運(yùn)用教學(xué)設(shè)計(jì)

模型思想在幾何問(wèn)題中的運(yùn)用的教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)目標(biāo)

了解“數(shù)學(xué)模型”的概念，及“建模型思想”的意義。

理解“模型思想”的含義，會(huì)用模型思想的理論指導(dǎo)解答相關(guān)的幾何問(wèn)題。掌握“模型思想”在幾何問(wèn)題中的運(yùn)用的內(nèi)涵。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)。

重點(diǎn):運(yùn)用“模型思想”指導(dǎo)解決幾何問(wèn)題。難點(diǎn):如何運(yùn)用“模型思想”指導(dǎo)解決幾何問(wèn)題。學(xué)習(xí)過(guò)程

1、小試牛刀，你發(fā)現(xiàn)什么？

如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AE⊥EF，EF交DC于F, 設(shè)BE= x，F(xiàn)C= y，則當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí), y關(guān)于 x的函數(shù)解析式是什么？

2、建模思想在幾何問(wèn)題之中的運(yùn)用

所謂數(shù)學(xué)模型，就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，去抽象地概括地表征所研究對(duì)象的主要特征及其關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在初中數(shù)學(xué)中，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來(lái)的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式，及各種圖表、圖形等都是數(shù)學(xué)模型。

3、合作互學(xué)，探究進(jìn)取

已知：如圖，在 Rt△ABC中，，點(diǎn)p 由B出發(fā)沿BA 方向向點(diǎn) A 勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn) Q 由A 出發(fā)沿AC 方向向點(diǎn) C 勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；連接 ．若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t（s）（0

（1）當(dāng)t 為何值時(shí)，PQ//BC ？

2（2）設(shè)△AQP 的面積為 y（cm），求 y與t 之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使線(xiàn)段PQ 恰好把Rt△ACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t 的值；若不存在，說(shuō)明理由；

4、談一談你的收獲

5、模擬演練

如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)D

AE作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求證：△ABD∽△DCE；

BDC

（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；（3）當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng).課后練習(xí)：

1、已知：Rt△EFP和矩形ABCD如圖①擺放（點(diǎn)P與點(diǎn)B重合），點(diǎn)F，B（P），C在同一條直線(xiàn)上，AB＝EF＝6cm，BC＝FP＝8cm，∠EFP＝90°。如圖②，△EFP從圖①的位置出發(fā)，沿BC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；EP與AB交于點(diǎn)G．同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s。過(guò)Q作QM⊥BD，垂足為H，交AD于M，連接AF，PQ，當(dāng)點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，△EFP也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜6），解答下列問(wèn)題：(1).當(dāng) t 為何值時(shí)，PQ//BD？（2）設(shè)五邊形 AFPQM 的面積為 y（cm2），求 y 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻 t，使

S五邊形AFPQM:S矩形ABCD?9:8？若存在，求出 t 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4).在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻 t，使點(diǎn)M在PG的垂直平分線(xiàn)上？ 若存在，求出 t 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2、如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC邊上的高AM=4，E為 BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合）．過(guò)E作直線(xiàn)AB的垂線(xiàn)，垂足為F． FE與DC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)G，連結(jié)DE，DF．．（1）求證：ΔBEF ∽ΔCEG．（2）當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△BEF和△CEG的周長(zhǎng)之間有什么關(guān)系？并說(shuō)明你的理由．（3）設(shè)BE＝x，△DEF的面積為 y，請(qǐng)你求出y和x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x為何值時(shí),y有最大值，最大值是多少？

第二篇：極限思想在解題中的應(yīng)用

Email:hb_yuerf@sohu.com個(gè)人簡(jiǎn)介：岳儒芳畢業(yè)于河北師范大學(xué)中學(xué)一級(jí)教師教育碩士

極限思想在解題中的應(yīng)用

河北省石家莊市第十九中學(xué)岳儒芳

數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可以是特殊的或一般的，可以是具體的或抽象的，可以是靜止的或運(yùn)動(dòng)的，可以是有限的或無(wú)限的，它們之間都是矛盾的對(duì)立統(tǒng)一．正是由于對(duì)象之間的對(duì)立統(tǒng)一，為我們解決這些對(duì)立統(tǒng)一事物提供了研究的方法．有限與無(wú)限相比，有限顯得具體，無(wú)限顯得抽象，對(duì)有限的研究往往先于對(duì)無(wú)限的研究，對(duì)有限個(gè)對(duì)象的研究往往有章法可循，并積累了一定的經(jīng)驗(yàn)．而對(duì)于無(wú)限個(gè)對(duì)象的研究，卻往往不知如何下手，顯得經(jīng)驗(yàn)不足．于是將對(duì)無(wú)限的研究就轉(zhuǎn)化成對(duì)有限的研究，就成了解決無(wú)限問(wèn)題的畢經(jīng)之路．反之當(dāng)積累了解決無(wú)限問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)之后，可以將有限問(wèn)題轉(zhuǎn)化成無(wú)限問(wèn)題來(lái)解決．這種無(wú)限化有限，有限化無(wú)限的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法就是有限與無(wú)限的思想．

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，雖然開(kāi)始學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)都是有限的數(shù)學(xué)，但其中也包含有無(wú)限的成分，只不過(guò)沒(méi)有進(jìn)行深入的研究．在學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)及其運(yùn)算的過(guò)程中，對(duì)自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)都是研究有限個(gè)數(shù)的運(yùn)算，但實(shí)際上各數(shù)集內(nèi)元素的個(gè)數(shù)都是無(wú)限的，以上數(shù)集都是無(wú)限集．對(duì)圖形的研究，知道直線(xiàn)和平面都是可以無(wú)限延展的．在解析幾何中，還學(xué)習(xí)過(guò)拋物線(xiàn)的漸進(jìn)線(xiàn)，已經(jīng)開(kāi)始有極限的思想體現(xiàn)在其中．學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限和函數(shù)的極限之后，使中學(xué)階段對(duì)無(wú)限的研究又上了一個(gè)新臺(tái)階，集中體現(xiàn)了有限和無(wú)限的數(shù)學(xué)思想．使用極限的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，比較明顯的是立體幾何中求球的體積和表面積，采用無(wú)限分割的方法來(lái)解決．實(shí)際上先進(jìn)行有限次分割，然后再求和，求極限，我們認(rèn)為，這是典型的有限與無(wú)限數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．

函數(shù)是對(duì)運(yùn)動(dòng)變化的動(dòng)態(tài)事物的描述，體現(xiàn)了變量數(shù)學(xué)在研究客觀事物中的重要作用．導(dǎo)數(shù)是對(duì)事物變化快慢的一種描述，并由此可進(jìn)一步處理和解決函數(shù)的增減、極大、極小、最大、最小等實(shí)際問(wèn)題，是研究客觀事物變化率和最優(yōu)化問(wèn)題的有力工具．通過(guò)學(xué)習(xí)和考查，可以體驗(yàn)研究和處理不同對(duì)象所用的不同數(shù)學(xué)概念和相關(guān)理論以及變量數(shù)學(xué)的力量．

例1．函數(shù)y?log2x?logx(2x)的值域是（）

（A）(??,?1]（B）[3,??)（C）[?1,3]（D）(??,?1]?[3,??)

【分析】選D．

法1:用極限的思想．∵函數(shù)定義域?yàn)閧x|x

當(dāng)x?

12?0且x?1}．當(dāng)x???時(shí)，y???，∴可排除B，C； 時(shí)，y??1，∴可排除A．故選D．

?log2x?1

log2x?1法2:函數(shù)變形為y

求出．

例2．過(guò)拋物線(xiàn)y

p，設(shè)t?log2x,則t?0，再作出“對(duì)勾”函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合即可?ax2(a?0)的焦點(diǎn)F作一直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于P、Q兩點(diǎn)，若線(xiàn)段PF與FQ的長(zhǎng)分別是 和q，則

1p?1

q等于（）

2a（A）4a（B）

【分析】選A．（C）2a（D）4a

（法1）取a?2（不可取a?1,否則，A，D兩項(xiàng)的值均等于4），得焦點(diǎn)F(0,的直線(xiàn)PQ∥x軸，易知p

?q?

14,1p?1q

?8?4?

218)，過(guò)F再作特殊位置，故選A．（選擇圖形的某一個(gè)特殊位置，可得到相關(guān)的數(shù)

或式的特殊關(guān)系，而特殊位置圖形的選擇往往又與選取適當(dāng)?shù)奶厥庵岛吞厥恻c(diǎn)有關(guān)．）

（法2）用極限的思想即：畫(huà)出圖形，使PQ繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P與點(diǎn)O重合即可求出． 例3．設(shè)A1、A2是橢圓

A2P

2x

9?

y

?

1的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點(diǎn)，則直線(xiàn)A1P1與

交點(diǎn)的軌跡方程為（）（A）

x

9?

y

?

1（B）

y

?

x

?1

（C）

x

?

y

?1

（D）

y

?

x

?1

【分析】選C．（法1）設(shè)p1(3cos?,2sin?),P2(3osc

?,?2nis?)，由橢圓得A1(?3,0),?

A2(3,0)，直線(xiàn)A1P1為y?

?

3tan

?

2x?2tan

?2，直線(xiàn)A2P2為y

?

cot

?

x?2cot

?

3(cot?tan?tan

?)?，∴交點(diǎn)M中，x

?

cot

3cos?

2tan

?

?,y?

2?2tan??2tan?

cos?2，∴（x3)

?（y2)

?sec

??tan

??1,即

x

?

y

?1

．選C．

?0

(法2)利用極限的思想即當(dāng)P1P2恰是短軸的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，則兩直線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)，即說(shuō)明當(dāng)x曲線(xiàn)方程無(wú)解．結(jié)合選項(xiàng)可判斷選C．

例4．直三棱柱ABC

B?APQC

?A1B1C1的體積為V

時(shí)，所求的，P、Q分別為側(cè)棱AA?,CC?上的點(diǎn)，且AP

A

1?C?Q，則四棱錐

C1的體積是（）

12V

B1

（A）（B）

3V

（C）

4V

（D）

5V

P

Q

【分析】選B．

（法1）用極限的思想，即令點(diǎn)P與點(diǎn)A1重合，點(diǎn)Q與C重合，則四棱錐

B?APQC

A

B

C

就變成三棱錐B?

APQ，再根據(jù)等體積法VB?APQ

?VP?ABC

即可求出．

（法2）可分別取AA?,CC?的中點(diǎn)P，Q，同時(shí)令三棱柱中所有棱長(zhǎng)為2，很容易就可算出．

例

5、已知1?分析：令x

x?10，則(lgx)2,lgx2,lg(lg

?1，lgx

x)的大小關(guān)系為_(kāi)__________．

x)?0

?10，則(lgx)

2?2，lg(lg，?大小關(guān)系為

lg(lgx)?(lgx)

?lgx

．

例6、2005年10月15日，我國(guó)成功發(fā)射神州五號(hào)載人航天飛船，若飛船的運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，且其近地點(diǎn)距離地面為m千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面n千米，則該飛船運(yùn)行軌道的短軸長(zhǎng)為（）[已知地球半徑為R千米]

（A）

(m?R)(n?R)

（B）

2(m?R)(n?R)

（C）mn（D）2mn

分析：選B．

考慮問(wèn)題的極限情形，m

而將m

?n?0,?n?0,則符合題意的橢圓表現(xiàn)為圓，于是軌道的短軸長(zhǎng)表現(xiàn)為圓的直徑2R，代入各選擇分支，僅有B適合，于是正確答案只能是B．

例

7、設(shè)n為自然數(shù)，求證不等式

19?125

???

1(2n?1)

?

．

時(shí)，不等式右邊是一個(gè)常量，而左邊從k變?yōu)?/p>

許多學(xué)生會(huì)利用數(shù)學(xué)歸納法證明，但是，當(dāng)證明n

k?1

?k?1

時(shí)卻在不斷增大，證明難度較大．然而，把

1(2n?1)

1(2n?1)1（看成數(shù)列{an}，則上述不等式可轉(zhuǎn)化為數(shù)列求和，?

12n?119?125)

因此想到利用數(shù)列極限進(jìn)行求解．因?yàn)?/p>

12(1?

13?13?15???

12n?1

?

12n?1)

?

22n?1，所以有下式：

???

1(2n?1)

1912

?

125lim

???

1(2n?1)

?，兩邊同時(shí)取極限，則

lim[

n???

]?

2n2n?1

?

．

n???

在上例中，將不等式的項(xiàng)與數(shù)列相聯(lián)系，用極限求和的方法為解決不等式證明問(wèn)題拓寬了思路，簡(jiǎn)便了計(jì)算過(guò)程．另外，極限思想與特殊化原則的結(jié)合，可對(duì)某些較復(fù)雜的問(wèn)題極端化處理，使解題過(guò)程化難為易．因此，教師應(yīng)該在課堂教學(xué)中幫助學(xué)生歸納和總結(jié)極限思想在解題中的運(yùn)用，但不能把對(duì)極限的運(yùn)用局限在解微積分的題目中，應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，通過(guò)極限思想，能有效地將數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容系統(tǒng)地聯(lián)系起來(lái)，有利于學(xué)生從整體上把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)．

高考中對(duì)有限與無(wú)限的考查才剛剛起步，并且往往是在考查其他數(shù)學(xué)思想和方法的過(guò)程中同時(shí)考查有限與無(wú)限的思想．例如，在使用由特殊到一般的歸納思想時(shí)，含有有限與無(wú)限的思想；在使用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，解決的是無(wú)限的問(wèn)題，體現(xiàn)的是有限與無(wú)限的思想，等等．隨著高中課程的改革，對(duì)新增內(nèi)容的考查在逐步深入，必將加強(qiáng)對(duì)有限與無(wú)限思想的考查，設(shè)計(jì)出重點(diǎn)體現(xiàn)有限與無(wú)限思想的新穎試題．

第三篇：函數(shù)和不等式思想在極值點(diǎn)偏移問(wèn)題中的應(yīng)用

函數(shù)和不等式思想在極值點(diǎn)偏移問(wèn)題中的應(yīng)用

一、教材分析

1．教材的內(nèi)容

選修

1-1

第三章，本節(jié)屬于專(zhuān)題復(fù)習(xí)課.2.教材所處的地位和作用

微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展史中的里程碑，它的發(fā)展應(yīng)用開(kāi)創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過(guò)渡的新時(shí)期，它為研究變量與函數(shù)提供了重要的方法和手段。導(dǎo)數(shù)的概念是微積分的核心概念之一，它有及其豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用。在選修模塊中，學(xué)生將通過(guò)大量實(shí)例，經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的過(guò)程，理解導(dǎo)數(shù)的含義，體會(huì)導(dǎo)數(shù)思想及其內(nèi)涵；應(yīng)用導(dǎo)數(shù)探索函數(shù)的單調(diào)，極值等性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用，感受導(dǎo)數(shù)在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題中的作用，體會(huì)微積分的產(chǎn)生對(duì)人類(lèi)文化發(fā)展的價(jià)值。

3.學(xué)情分析

①通過(guò)《數(shù)學(xué)必修》中函數(shù)，幾何與代數(shù)，數(shù)學(xué)建模等內(nèi)容的學(xué)習(xí)以及在《數(shù)學(xué)選修

1-1》中第二，三章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)具備了函數(shù)的基本知識(shí)和運(yùn)算能力，這為本節(jié)我們討論極值點(diǎn)偏移問(wèn)題提供了很好的前提與基礎(chǔ)。

②學(xué)生具體研究學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)必修中函數(shù)單調(diào)性的尋找，證明和應(yīng)用及不等式的相關(guān)結(jié)論，具備了一定的探究能力?；诖?，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生思考，如何運(yùn)用函數(shù)和不等式來(lái)解決高考試題中極值點(diǎn)偏移的問(wèn)題，能否給出一般性的解決方法和步驟，如果能夠得到這類(lèi)問(wèn)題較為簡(jiǎn)單的解題通法，這個(gè)常常出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)壓軸題

題位置上的難點(diǎn)將不會(huì)再對(duì)我們?cè)斐商y的阻礙，甚至?xí)蔀椴糠滞瑢W(xué)新的得分點(diǎn)。

③教學(xué)對(duì)象是高三年級(jí)理科生，由于學(xué)生年齡和能力及題目本身思維要求高，過(guò)程繁，計(jì)算難度大等原因，學(xué)生的思維盡管活躍，敏捷，但卻缺乏冷靜深刻的數(shù)學(xué)思維和解難題的能力，因此所做的探索過(guò)于片面，結(jié)論不夠嚴(yán)謹(jǐn).4.教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：函數(shù)構(gòu)造法，對(duì)數(shù)平均不等式和極值點(diǎn)偏移的判定定理

難點(diǎn)：函數(shù)構(gòu)造法的結(jié)題步驟，構(gòu)造函數(shù)的選取，對(duì)數(shù)平均不等式的放縮和極值點(diǎn)偏移的判定定理的使用

二、教學(xué)目標(biāo)分析

1．知識(shí)與技能

1.能運(yùn)用函數(shù)和不等式解決導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中極值點(diǎn)偏移的問(wèn)題

2.掌握函數(shù)和不等式解決這類(lèi)題的一般步驟

3.極值點(diǎn)偏移的判定定理的使用

2、過(guò)程與方法

1.通過(guò)利用幾何畫(huà)板展現(xiàn)極值點(diǎn)偏移的過(guò)程，讓學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)感受極值點(diǎn)偏移的本

質(zhì)原因，激發(fā)學(xué)生探究解決問(wèn)題的激情，和培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真觀察事物變化過(guò)程，總結(jié)變化規(guī)律的習(xí)慣。同時(shí)在此處先不給出極值點(diǎn)偏移的判定定理，而是先用函數(shù)構(gòu)造法和對(duì)數(shù)平均不等式這兩種之前已經(jīng)介紹過(guò)的方法來(lái)求解例一。重在感受極值偏移的現(xiàn)象，和復(fù)習(xí)歸納已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識(shí)方法。

2.結(jié)合例一的解題過(guò)程，重點(diǎn)回顧討論解題的方法和步驟，展示這兩種方法的易錯(cuò)點(diǎn)和難點(diǎn)的突破口，樹(shù)立學(xué)生解難題的信心規(guī)范學(xué)生的解題過(guò)程。然后把時(shí)間向前推移六年到例

2（2010

天津）讓學(xué)生自主模仿例一的解法嘗試來(lái)解例二，通過(guò)例一的復(fù)習(xí)學(xué)生較容易使用其中的一種或兩種方法得到題目的答案讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)以致用的成就感，同時(shí)也通過(guò)兩題的比對(duì)了解到高考題目的變遷歷史體會(huì)該知識(shí)點(diǎn)在高考中的地位清楚今后的復(fù)習(xí)和學(xué)習(xí)方向。

3.展示學(xué)生例二的解題過(guò)程并加以點(diǎn)評(píng)后提出更高的要求——有沒(méi)有更好的方法，結(jié)合一開(kāi)始的三張圖片讓學(xué)生再次重新審視極值點(diǎn)偏移的原因回歸到數(shù)學(xué)本質(zhì)上來(lái)，不用很精準(zhǔn)只需要說(shuō)出自己的直觀感受即可，通過(guò)這一過(guò)程讓學(xué)生鍛煉自己的數(shù)學(xué)直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算分析等核心素養(yǎng)，同時(shí)也為后面介紹極值點(diǎn)偏移的判定定理做好鋪墊，比較分析函數(shù)構(gòu)造法和對(duì)數(shù)平均不等式的特點(diǎn)和優(yōu)缺點(diǎn)，認(rèn)識(shí)到具體問(wèn)題具體分析，方法的選擇要靈活有針對(duì)性，不能盲目模仿和生搬硬套，通過(guò)一題多解，和同法異題的求解加深解題方法的理解和應(yīng)用能力的提高，由具體問(wèn)題的多角度的思維得出不同方法的求解過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和數(shù)學(xué)歸納的能力，數(shù)學(xué)抽象能力。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀

通過(guò)經(jīng)歷對(duì)例一和例二高考真題的探索和解決，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質(zhì)，從中獲得成功的體驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)美、形式的簡(jiǎn)潔美、數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美．引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立科學(xué)的世界觀，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合素質(zhì)。

三、教學(xué)方法與手段分析

1.教學(xué)方法

結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的認(rèn)知水平，在教法上，我采用“探究發(fā)現(xiàn)”模式的教學(xué)方法，整個(gè)教學(xué)過(guò)程以學(xué)生為主體，學(xué)生自主學(xué)習(xí)為中心的思想，同時(shí)運(yùn)用多媒體課件教學(xué)等技術(shù)手段，同一題目不同方法的比對(duì)，相同方法不同題目的求解讓學(xué)生由淺入深，循序漸進(jìn)的參與這堂課的每個(gè)過(guò)程，自然而然的完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。

2.學(xué)法

觀察分析→自主探究→

合作交流

→初步運(yùn)用

→歸納小結(jié)

3.教學(xué)手段

利用計(jì)算機(jī)和實(shí)物投影等輔助教學(xué)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂教學(xué)的主動(dòng)性與積極性.四、教學(xué)過(guò)程分析

教學(xué)是一個(gè)教師的“導(dǎo)”，學(xué)生的“學(xué)”以及教學(xué)過(guò)程中的“悟”構(gòu)成的和諧整體.教師的“導(dǎo)”也就是教師啟發(fā)、誘導(dǎo)、激勵(lì)、評(píng)價(jià)等為學(xué)生的學(xué)習(xí)搭建支架，把學(xué)習(xí)的任務(wù)轉(zhuǎn)移給學(xué)生，學(xué)生就是接受任務(wù)，探究問(wèn)題、完成任務(wù).如果在教學(xué)過(guò)程中把“教與學(xué)”完美的結(jié)合也就是以“問(wèn)題”為核心，通過(guò)對(duì)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和運(yùn)用過(guò)程的演繹、解釋和探究來(lái)組織和推動(dòng)教學(xué).Ⅰ.創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

圖

x

=

m

=

x1

+

x2

極值點(diǎn)無(wú)偏移

圖

x

m

=

x1

+

x2

極值點(diǎn)左偏

0

圖

x0

2

0

m

=

x1

+

x2

目的：①本例通過(guò)給出三張典型的凹函數(shù)圖像，讓學(xué)生從圖像特征上去直觀感受函數(shù)圖像極值點(diǎn)發(fā)生偏移的原因，有助于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，同時(shí)上來(lái)通過(guò)圖像讓學(xué)生直觀感受而非繁瑣的計(jì)算來(lái)思考解決問(wèn)題，有助于開(kāi)拓學(xué)生視野回歸數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)，降低了學(xué)生對(duì)于該問(wèn)題的為難情緒。

②通過(guò)學(xué)生觀察后教師自然而然的給出極值點(diǎn)偏移的定義，并順帶給出極值點(diǎn)偏移的數(shù)學(xué)解釋逐步讓學(xué)生由感性認(rèn)知上升到理論認(rèn)知，當(dāng)然老師在此可以對(duì)學(xué)生提出進(jìn)一步要求，可不可以給出一般性的判定定理？這里我們只先提出問(wèn)題，做下伏筆，但并不馬上去求解，避免由于問(wèn)題過(guò)難而挫傷學(xué)生的積極性，同時(shí)也為本節(jié)課最后的問(wèn)題做好了鋪墊。

Ⅱ.探究問(wèn)題

例一（2016

全國(guó)卷一）已知函數(shù)

f

(x)=

(x

2)ex

+

a(x

-1)2

有兩個(gè)零點(diǎn)。

（I）求

a的取值范圍；（略）

（II）設(shè)

x1,x2

是

f

(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：

x1

+

x2

目的：①發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，先自己探求結(jié)果，檢查學(xué)生前一階段的復(fù)習(xí)成果和對(duì)于問(wèn)題一的思考和聯(lián)系；

②讓學(xué)生對(duì)于零點(diǎn)偏移求解過(guò)程更加熟練，思路更加清晰；并為下一步對(duì)數(shù)平均不等式和極值點(diǎn)偏移的判定定理做好鋪墊；

解法一：對(duì)稱(chēng)構(gòu)造函數(shù)法由（1）知a

3

0

①

x1

x2

②構(gòu)造函數(shù)

F

(x)

=

f

(x)

f

(2

x)，(x

1)

T

F

＇

(x)

=

f

＇

(x)

f

＇

(2

x)

=

(x

-1)(ex

+

2a)

+

(1-

x)(e2-x

+

2a)

=

(x

-1)(ex

e2-x)

x

1時(shí)

x

0

T

x

x

T

e2-

x

ex

0

＼

F

＇

(x)

0

T

F

(x)在(-

￥，1)上

-

③代入

x1

得

F

(x1)<

F

(1)=

0

T

f

(x2)

=

f

(x1)

f

(2

x1)

又Q

y

=

f

(x)在(1，+

￥)上

-

x2

?

(1,+

￥),2

x1

?

(1,+

￥)

＼

x2

x1

即

x1

+

x2

提問(wèn)

1：學(xué)生解法一由哪些主要步驟，哪些步驟是你覺(jué)得難得地方，我們是如何解決這些困難的？

結(jié)合學(xué)生的回答對(duì)稱(chēng)化構(gòu)造函數(shù)處理極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的基本步驟歸納如下：

＇

①求導(dǎo)獲得

f

(x)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合判斷零點(diǎn)

x1,x2

和極值點(diǎn)

x0的范圍

②構(gòu)造輔助函數(shù)

F

(x)

=

性

f

(x)

f

(2x0

x)，判斷函數(shù)

F

(x)的符號(hào)，確定函數(shù)

F

(x)的單調(diào)

③結(jié)合F

(x0)

=

0

限定

x的范圍判定

F

(x)的符號(hào)得到不等式

④將

x1

(或x2)

代入上述不等式，利用

f

(x1)

=

f

(x2)

替換

f

(x1)

⑤結(jié)合①求得

f

(x)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為

x1,x2的不等式，證明結(jié)束。提問(wèn)

2；可不可以把流程繼續(xù)簡(jiǎn)化？

其中主要的三步流程簡(jiǎn)化為“求導(dǎo)→構(gòu)造→代入”。構(gòu)造是難點(diǎn)，求導(dǎo)是關(guān)鍵，常用構(gòu)

造要記清。

提問(wèn)

3：還有其他解法嗎？提醒學(xué)生從不等式構(gòu)造上思考

學(xué)生有困難，則先回顧基本不等式內(nèi)容，讓學(xué)生從熟悉的，簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手

調(diào)和平均數(shù)￡

幾何平均數(shù)￡

算術(shù)平均數(shù)￡

￡

平方平均數(shù)

A(a,b)

=

a

+

b,L(a,b)

=

a

b

ln

a

ln

b

,G(a,b)

=

ab,(a,b

0)

T

A

￡

L

￡

G

解法二：對(duì)數(shù)平均不等式（ALG）

f

(x)

=

f

(x)

=

0

?

(x

2)ex1

+

a(x

-1)2

=

(x

2)ex2

+

a(x

-1)2

=

0

ì?a(x

-1)2

=

(2

x)ex1

T

í

??a(x

-1)2

=

(2

x)ex2，兩式相減得a(x

+

x

-

2)(x

-

x)

=

(2

x)ex1

(2

x)ex2

ìx1

+

x2

3

0

（反證）假設(shè)

x

+

x

3

T

?x

x

0

T

(2

x)ex

(2

x)ex

￡

0

í

?

?a

3

0

T

(2

x)ex1

￡

(2

x)ex2

（左右兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)）

T

ln(2

x1)

+

x1

￡

ln(2

x2)

+

x2

T

ln(2

x1)

ln(2

x2)

￡

x2

x1

T

（x2

x1

3

T

(2

x1)

(2

x2)

3

（*）

ln

x1)-

ln(2

x2)

ln(2

x1)-

ln(2

x2)

由對(duì)數(shù)平均不等式（ALG）得

(2

x1)

(2

x2)

<

(2

x1)

+

(2

x2)

=

x1

+

x2

￡

ln(2

x1)-

ln(2

x2)

顯然與（*）相矛盾，假設(shè)不成立，原命題成立。

解題流程：實(shí)際問(wèn)題→（數(shù)學(xué)抽象）數(shù)學(xué)模型→數(shù)學(xué)解→（解釋與檢驗(yàn)）實(shí)際問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)美、形式的簡(jiǎn)潔美、數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美．

提問(wèn)

4：這類(lèi)問(wèn)題最早出現(xiàn)在那一年高考題中，當(dāng)時(shí)的高中生如何解決這類(lèi)問(wèn)題，我們是否能在當(dāng)年的高考題中取得滿(mǎn)分？激發(fā)學(xué)生的動(dòng)力積極性，檢查學(xué)生的掌握情況。給出本節(jié)的例二

例二（2010

天津卷）已知函數(shù)

f

(x)=

xe-x

(x

?

R)

（I）求函數(shù)

f

(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（II）已知函數(shù)

y

=

g

(x)的圖像與函數(shù)

y

=

時(shí)，f

(x)

g(x);

f

(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)

x

=

對(duì)稱(chēng)，證明：當(dāng)

x

（III）如果

x1

1

x2，且

f

(x1)

=

f

(x2)，證明

x1

+

x2

2。

解法一：對(duì)稱(chēng)構(gòu)造函數(shù)法（1）（2）略

①由（1）知

x1

x2

②構(gòu)造函數(shù)

F

(x)

=

f

(x)

f

(2

x)，(x

1)

T

F

＇

(x)

=

f

＇

(x)

f

＇

(2

x)

=

e-x

(1-

x)

+

e-(2-x)

[1-

(2

x)]

=

e-x

(1-

x)

+

e-(2-x)

(x

-1)

=

(x

-1)(e-2+x

e-x)

其中

x

0

ü

T

F

＇

(x)

0

t

x

T

ex-2

e-1

e-

x

y

T

F

(x)在（-

￥,1）上

-

③代入

x1

得

F

(x1)<

F

(1)=

0

T

f

(x2)

=

f

(x1)

f

(2

x1)

又Q

y

=

f

(x)在(1，+

￥)上

ˉ

x2

?

(1,+

￥),2

x1

?

(1,+

￥)

＼

x2

x1

即

x1

+

x2

解法二：對(duì)數(shù)平均不等式（ALG）

f

(x)

=

f

(x)

T

x

e-x1

=

x

e-x2

（左右兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)）

T

ln

x1

x1

=

ln

x2

x2

T

x1

x2

=

ln

x1

ln

x2

T

x1

x2

ln

x1

ln

x2

=

（*）

由對(duì)數(shù)平均不等式（ALG）得

T

x1

+

x2

x1

x2

ln

x1

ln

x2

=

x1

+

x2

提問(wèn)

5：顯然這個(gè)問(wèn)題對(duì)于現(xiàn)在的我們不是什么難題了，但作為新時(shí)代的我們能不能用給簡(jiǎn)潔的方法給出這兩題的一般性解法，通法的探討顯然是我們要思考的問(wèn)題。那么學(xué)生對(duì)于這個(gè)新的挑戰(zhàn)自然就會(huì)萌生極大地興趣，這時(shí)再回顧我們一開(kāi)始觀察三張直觀圖時(shí)提出的問(wèn)題，解法三的出現(xiàn)也就是必需的了。即本節(jié)課的最后一個(gè)知識(shí)點(diǎn)——極值點(diǎn)偏移的判定定理。

III.按圖索驥，回歸本質(zhì)

極值點(diǎn)偏移判定定理：在給定區(qū)間

D

上函數(shù)

y

=

f

(x)

可導(dǎo)

f

(x1)

=

f

(x2),(x1

x2)，若

x0

為

(x,x)

上的唯一極小值點(diǎn)，f

＇＇＇

(x)

0，則極小值點(diǎn)右偏?

x1

+

x2

x；

0

f

＇＇＇

(x)

0，則極小值點(diǎn)左偏?

x1

+

x2

x。

0

對(duì)于該定理作為高中生我們只需要了解，不需要完整嚴(yán)格的證明，（后附有泰勒展開(kāi)的完整證明過(guò)程，可以開(kāi)拓一部分自學(xué)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生的視野）

那么我們?cè)趺磥?lái)理解該判定定理呢？我們又如何運(yùn)用它來(lái)解決高中相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？對(duì)此我們分兩部分來(lái)討論。

第一部分：我們主要結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義與

n

階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算來(lái)了解該定理的由來(lái)。首先

通過(guò)讓學(xué)生再次觀察一開(kāi)始我們已展示的圖一，二，三不，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)

y

=

f

(x)的圖

像偏移的原因，即

y

=

f

(x)的圖像在u(x0,?)

內(nèi)增減速度的不同而發(fā)生的。接著再進(jìn)一步

引導(dǎo)學(xué)生思考發(fā)生的不同我們?nèi)绾稳ビ脭?shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)描述刻畫(huà)它，提醒學(xué)生從導(dǎo)數(shù)的幾

何意義來(lái)思考，以圖

為例和學(xué)生一起做探討：

y

=

f

(x)的圖像的斜率一直在增加，但

增加的速度在變慢，（數(shù)學(xué)直觀想象），如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述這一變化？（數(shù)學(xué)抽象）

→

f

＇

(x)

0,f

＇

(x)

增加T

f

＇＇

(x)

0（速度變慢）T

f

＇＇

(x)的絕對(duì)值變小

T

y

=

f

＇＇＇

(x)

0。

完成圖二的探討后可讓學(xué)生模仿獨(dú)立的完成圖

3的探索：

f

＇

(x)

0,f

＇

(x)

增加T

f

＇＇

(x)

0

（速度變快）

T

f

＇＇

(x)的絕對(duì)值變大

T

y

=

f

＇＇＇

(x)

0。

以上結(jié)論可簡(jiǎn)單記憶口訣（“小大小”，“小小大”），同時(shí)若

x0

是極大值點(diǎn)的話(huà)，結(jié)論相反，口訣為（“大大大”，“大小小”）

IV.給出定理，嘗試新解

第二部分：運(yùn)用新的判定定理重新去接例一和例二例一新解

極值點(diǎn)偏移判定定理

解法三：

f

(x)=

(x

2)ex

+

a(x

-1)2

T

f

＇

(x)

=

(x

-1)(ex

+

2a)

T

f

＇＇

(x)

=

(x

-1)ex

+

ex

+

2a

T

f

＇＇＇

(x)

=

ex

(x

+1)

分兩段區(qū)間討論

①若

x

?

(-￥,1]，f

(2)

=

a

0

結(jié)合圖像可知

x1

￡

x2

a，則

x1

+

x2

②若

x

?

(-1,+

￥)，f

＇＇＇

(x)

0，x

=

是極小值，符合“小大小”

T

x

+

x2

綜上的x1

+

x2

例二新解

解法三：

f

(x)

=

xe-x

T



f

＇

(x)

=

e-x

xe-x

T



f

＇＇

(x)

=

e-x

(x

2)

T

f

＇＇＇

(x)

=

e-x

(3

x)

分兩段區(qū)間討論

①若

x

?[3,+

￥)，可知

x1

+

x2

max{x1,x2}

3

2，則

x1

+

x2

②若

x

?

(-

￥,3)，f

＇＇＇

(x)

0，x

=

是極大值，符合“大大大”

T

x



+

x2

綜上知

x1

+

x2

至此我們回頭再看例一和例二的三個(gè)解法，不知不覺(jué)中對(duì)于一開(kāi)始極值點(diǎn)偏移的問(wèn)題有

了更新的認(rèn)知。

VI.課堂練習(xí)

鞏固雙基

練習(xí)

1（2011

遼寧卷）已知函數(shù)

f

(x)

=

ln

x

ax2

+

(2

a)x。

（I）討論函數(shù)

f

(x)的單調(diào)性；

（II）設(shè)a

0，證明：當(dāng)0

x

時(shí)，f

（1

+

x)

f

（1

x);

a

a

a

（III）若函數(shù)

y

=

f

(x0)

0。

f

(x)的圖像與

x

軸交于

A,B

兩點(diǎn)，線(xiàn)段

AB

中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

x0，證明

練習(xí)

2（2014

天津卷）設(shè)

f

(x)

=

x

aex

(a

?

R),x

?

R

已知函數(shù)

y

=

且

x1

x2

（1）求

a的取值范圍

（2）證明

x2

隨著

a的減小而增大

x1

（3）證明

x1

+

x2

隨著

a的減小而增大

f

(x)

有兩個(gè)零點(diǎn)

x1,x2，練習(xí)

已知函數(shù)

f

(x)

=

a

ln

x,a

?

R.若函數(shù)

f

(x)

有兩個(gè)零點(diǎn)

x,x。

x

求證：

x1

+

x2

練習(xí)

已知函數(shù)

f

(x)

=

ex

ax

有兩個(gè)不同的零點(diǎn)

x,x，其極值點(diǎn)為

x

0

（I）求

a的取值范圍

（II）求證：

x1

+

x2

2x0

（III）求證：

x1

+

x2

（IV）求證：

x1

x2

目的：①通過(guò)學(xué)生的主體參與，使學(xué)生深切體會(huì)到本節(jié)課的主要內(nèi)容和思想方法，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的再次深化.②練習(xí)分層，有利于不同層次的學(xué)生培養(yǎng)。

VII.課堂小結(jié)

學(xué)生點(diǎn)評(píng)，老師引導(dǎo):

①由圖像直觀到方法求解,由繁瑣到簡(jiǎn)潔，由為結(jié)題而解題到回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，一再的追問(wèn)和嘗試思考有利于學(xué)生的知識(shí)遷移和能力提高；

②用三種方法解題的運(yùn)用：函數(shù)構(gòu)造法，對(duì)數(shù)平均不等式和極值點(diǎn)偏移的判定定理。對(duì)三種解法的對(duì)比的再認(rèn)識(shí)．特別是方法的選擇上要能盡可能適合題目適合自己；

③在理解方法的基礎(chǔ)上,及時(shí)進(jìn)行正反兩方面的“短、平、快”填空和判斷是非練習(xí).通過(guò)總結(jié)、辨析和反思，強(qiáng)化解法的靈活性，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)，有助于學(xué)生形成知識(shí)模塊，優(yōu)化知識(shí)體系.體現(xiàn)知識(shí)目標(biāo)。

五、教學(xué)評(píng)價(jià)

結(jié)果因過(guò)程而精彩,現(xiàn)象因方法而生動(dòng).無(wú)論是情境創(chuàng)設(shè),還是探究設(shè)計(jì),都必須以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)、訓(xùn)練為主線(xiàn),設(shè)法從龐雜的知識(shí)中引導(dǎo)學(xué)生去尋找關(guān)系,挖掘書(shū)本背后的數(shù)學(xué)思想,建構(gòu)基于學(xué)生發(fā)展的知識(shí)體系,教學(xué)生學(xué)會(huì)思考,讓教學(xué)真正成為發(fā)展學(xué)生能力的課堂活動(dòng)。因此，本課例在具體問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的建立和數(shù)學(xué)工具的選擇上舍得花大量時(shí)間，便是為了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)探究與創(chuàng)新，它就像一縷溫暖的陽(yáng)光，不一定能喚醒萬(wàn)物，卻能催開(kāi)人世間最絢麗的花朵。

通過(guò)三種解題方法的研究，使學(xué)生從不同的思維角度掌握了極值點(diǎn)偏移的解決方法；從圖像直觀到理論總結(jié)和方法嘗試，數(shù)學(xué)的解題方法拉近了知識(shí)之間的聯(lián)系；由特殊到一般問(wèn)題的推導(dǎo)不再讓學(xué)生為解題而解題，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的魅力．學(xué)生從中深刻地領(lǐng)會(huì)到解題過(guò)程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性、敏銳性、廣闊性、批判性．同時(shí)通過(guò)精講一題，發(fā)散一串的變式教學(xué)，使學(xué)生既鞏固了知識(shí)，又形成了技能．在此基礎(chǔ)上，通過(guò)民主和諧的課堂氛圍，培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣，也培養(yǎng)了學(xué)生勇于探索、不斷創(chuàng)新的思維品質(zhì)．

第四篇：模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中關(guān)于課程內(nèi)容中闡述“在教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立數(shù)感和符號(hào)意識(shí)，發(fā)展運(yùn)算能力和推理能力，初步形成模型思想。”在基本理念的第二條中闡述“數(shù)學(xué)是人們生活、勞動(dòng)和學(xué)習(xí)必不可少的工具，能夠幫助人們處理數(shù)據(jù)、進(jìn)行計(jì)算、推理和證明，數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象?！?/p>

在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生感悟建模過(guò)程，發(fā)展“模型思想”。在小學(xué)，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)具有鮮明的階段性、初始性特征，即要從學(xué)生熟悉的生活和已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)他們經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題初步抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與運(yùn)用的過(guò)程，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)獲得更加深刻的理解。數(shù)學(xué)模型不僅為數(shù)學(xué)表達(dá)和交流提供有效途徑，也為解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題提供重要工具，可以幫助學(xué)生準(zhǔn)確、清晰地認(rèn)識(shí)、理解數(shù)學(xué)的意義。在小學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)采取有效措施，加強(qiáng)教學(xué)模型思想的滲透，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)意識(shí)以及分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，將模型思想滲透到教學(xué)中。

關(guān)鍵詞：模型；數(shù)學(xué)建模；建模教學(xué)；小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該從學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并理解運(yùn)用?！?/p>

一、在創(chuàng)設(shè)情境時(shí)，感知數(shù)學(xué)建模思想。情景的創(chuàng)設(shè)要與社會(huì)生活實(shí)際，時(shí)代熱點(diǎn)問(wèn)題，自然，社會(huì)文化等與數(shù)學(xué)有關(guān)系的各種因素相結(jié)合。激發(fā)學(xué)生的興趣，使學(xué)生用積累的生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)感受其中隱含的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而促進(jìn)學(xué)生將生活問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，感知數(shù)感

知數(shù)學(xué)模型的存在。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的起點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生以數(shù)學(xué)眼光發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，提出數(shù)學(xué)問(wèn)題。在教學(xué)中教師就應(yīng)根據(jù)學(xué)生的年齡及心理特征，為兒童提供有趣的、可探索的、與學(xué)生生活實(shí)際密切聯(lián)系的現(xiàn)實(shí)情境，引導(dǎo)他們饒有興趣地走進(jìn)情境中，去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，并提出數(shù)學(xué)問(wèn)題。

二、在探究知識(shí)的過(guò)程中，體驗(yàn)?zāi)Ｐ退枷搿?/p>

善于引導(dǎo)學(xué)生自主探索、合作交流，對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程、學(xué)習(xí)材料、主動(dòng)歸納。力求建構(gòu)出人人都能理解的數(shù)學(xué)模型。

例如：在推導(dǎo)圓柱體積公式一節(jié)課中，教師要有目的讓學(xué)生回顧平行四邊形，三角形、梯形、圓幾種平面圖形面積的推導(dǎo)過(guò)程是怎樣的？學(xué)生會(huì)想起通過(guò)割、補(bǔ)、平移、旋轉(zhuǎn)等方 法拼成學(xué)過(guò)的圖形，那么今天我們要探究的是圓柱的體積，你們?cè)鯓觼?lái)推導(dǎo)它的公式？這樣 學(xué)生很自然的想到一個(gè)新知識(shí)都是用舊知識(shí)來(lái)分解，從中找到新知識(shí)的內(nèi)在模型。

三、新知識(shí)的結(jié)論，就是建立數(shù)學(xué)模型。

加法，減法，乘法、除法之間的內(nèi)在聯(lián)系。各類(lèi)應(yīng)用題的解題規(guī)律，各類(lèi)圖形的周長(zhǎng) 與面積、體積的公式都是各種數(shù)學(xué)模型，學(xué)生有了這種模型思想才能應(yīng)用它解釋生活中的現(xiàn) 實(shí)問(wèn)題。

在解決問(wèn)題中，拓展應(yīng)用數(shù)學(xué)模型。用所建立的數(shù)學(xué)模型來(lái)解答生活實(shí)際中的問(wèn)題，讓學(xué)生能體會(huì)到數(shù)學(xué)模型的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，體驗(yàn)到所學(xué)知識(shí)的用途和益處，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的能力，讓學(xué)生體驗(yàn)實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)的快樂(lè)。

例如:我在教學(xué)“平行四邊形面積的計(jì)算”時(shí)，采用了探究式的學(xué)習(xí)方法，使學(xué)生在獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，數(shù)學(xué)思維和學(xué)習(xí)能力也得到了培養(yǎng)。

1.讓學(xué)生充分參與與操作活動(dòng)

數(shù)學(xué)知識(shí)具有抽象性，但來(lái)源于生活實(shí)際，加強(qiáng)教學(xué)中的實(shí)踐活動(dòng)，不僅有助于學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且可以通過(guò)讓學(xué)生參與操作活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。如：在探究平行四邊形面積的計(jì)算方法時(shí)，我為學(xué)生設(shè)計(jì)了這樣的操作活動(dòng)：讓他們通過(guò)剪一剪，拼一拼，想辦法把平行四邊形轉(zhuǎn)化為已學(xué)過(guò)的圖形，然后利用已有知識(shí)來(lái)推導(dǎo)它的面積計(jì)算方法，這就為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)“做數(shù)學(xué)”的機(jī)會(huì)，學(xué)生在操作前必須動(dòng)腦思考，想好了才能動(dòng)手剪拼，通過(guò)實(shí)際操作，多數(shù)學(xué)生都將平行四邊形剪拼成了長(zhǎng)方形，這樣學(xué)生在積極參與操作活動(dòng)的過(guò)程中，不僅促進(jìn)了他們的思維發(fā)展，而且提高了他們的操作技能。

2.讓學(xué)生積極參與交流活動(dòng)

四、解釋與應(yīng)用中體驗(yàn)?zāi)Ｐ退枷氲膶?shí)用性。

如在學(xué)生掌握了速度、時(shí)間、路程之間關(guān)系后，先進(jìn)行單項(xiàng)練習(xí)，然后出示這樣的變式題：

1.汽車(chē)3小時(shí)行駛了270千米，5小時(shí)可行駛多少千米？

2.飛機(jī)的速度是每小時(shí)900千米，飛機(jī)早上11：00起飛，14：00到站，兩站之間的距離是多少千米？

學(xué)生在掌握了速度乘時(shí)間等于路程這一模型后，進(jìn)行變式練習(xí)，學(xué)生基本能正確解答，說(shuō)明學(xué)生對(duì)基本數(shù)學(xué)模型已經(jīng)掌握，并能夠從3小時(shí)行駛了270千米中找到需要的速度，從11：00至14：00中找到所需時(shí)間。雖然兩題敘述不同，但都可以運(yùn)用同一個(gè)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答。掌握了數(shù)學(xué)模型，學(xué)生解答起數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)得心應(yīng)手。綜上所述，數(shù)學(xué)建模思想的形成過(guò)程是一個(gè)綜合性的過(guò)程，是數(shù)學(xué)能力和其他各種能力協(xié)同發(fā)展的過(guò)程。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行數(shù)學(xué)建模思想的滲透，可以使學(xué)生感覺(jué)到利用數(shù)學(xué)建模的思想解決實(shí)際問(wèn)題的妙處，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生更大的興趣。這也給我們一些啟發(fā)：在對(duì)學(xué)生進(jìn)行模型思想滲透時(shí)，要從現(xiàn)實(shí)生活出發(fā)，從實(shí)物出發(fā)，這樣才可以讓學(xué)生更快地接受，更快地理解；在滲透這些思想時(shí)，教師首先需站在更高的高度上去考慮；在教學(xué)過(guò)程中，通 過(guò)引導(dǎo)學(xué)生處理問(wèn)題，可以讓學(xué)生更快、更有興趣地跟蹤教師的思路。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，模型無(wú)處不在。小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，實(shí)際上就是對(duì)一系列數(shù)學(xué)模型的理解、把握的 過(guò)程。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，重視滲透模型化思想，幫助小學(xué)生建立并把握有關(guān)的數(shù)學(xué)模型，有利于學(xué)生握住數(shù)學(xué)的本質(zhì)。通過(guò)建模教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和自主、合作、探索、創(chuàng)新的精神，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)、可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。因此在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，逐步培養(yǎng)

第五篇：分類(lèi)討論思想在解數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)解題中的思考

------分類(lèi)討論思想的應(yīng)用

【摘要】解數(shù)學(xué)問(wèn)題往往可以有眾多的思想方法，如轉(zhuǎn)化化歸，數(shù)形結(jié)合，分類(lèi)討論，數(shù)學(xué)建模等等，而在這些思想方法中分類(lèi)討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程經(jīng)常會(huì)遇到分類(lèi)問(wèn)題，如數(shù)的分類(lèi)，圖形的分類(lèi)，代數(shù)式的分類(lèi)等等，在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中常常需要通過(guò)分類(lèi)討論解決問(wèn)題，本文從滲透在教材中的分類(lèi)思想出發(fā)，結(jié)合例題闡述了分類(lèi)討論的思想，分類(lèi)的原則，分類(lèi)討論的應(yīng)用，從而體現(xiàn)分類(lèi)討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的作用和地位。

【關(guān)鍵詞】分類(lèi)討論的思想分類(lèi)的原則分類(lèi)討論的應(yīng)用

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，數(shù)學(xué)教學(xué)中如何挖掘課本中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，如何有效的進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，如何培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育工作者普遍關(guān)注和潛心探索的一項(xiàng)重要課題。在新課程中，分類(lèi)思想在教材中的體現(xiàn)是豐富多彩的，在整個(gè)初中階段很多問(wèn)題都用了分類(lèi)的思想，將不同的事物分為不同的種類(lèi)，尋找它們各自的共同點(diǎn)及內(nèi)在的規(guī)律性。

一． 分類(lèi)討論的思想

所謂分類(lèi)討論就是分別歸類(lèi)再進(jìn)行討論的意思，數(shù)學(xué)中的分類(lèi)過(guò)程就是對(duì)事物共性的抽象過(guò)程，解題時(shí)要使學(xué)生體會(huì)為什么要分類(lèi)，如何分類(lèi)，如何確定分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，在分類(lèi)的過(guò)程如何認(rèn)識(shí)事物的屬性，如何區(qū)分不同事物的不同屬性，通過(guò)多次反復(fù)的思考和長(zhǎng)時(shí)間的積累，使學(xué)生逐步感悟分類(lèi)是一種重要的思想，它體現(xiàn)了化整為零，化零為整與歸類(lèi)整理的思想，它:揭示著數(shù)學(xué)事物之間的內(nèi)在規(guī)律，學(xué)會(huì)分類(lèi)有助于學(xué)生總結(jié)歸納所學(xué)的知識(shí)，使所學(xué)的知識(shí)條理化，提高思維的概括性，從而提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

我們?cè)谶\(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題時(shí)，首先要審清題意，認(rèn)真分析可能產(chǎn)生的不同因素，進(jìn)行討論時(shí)要確定分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，每一次分類(lèi)只能按照一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)分，不能重復(fù)也不能遺漏，另外還要逐一認(rèn)真解答。我們平時(shí)在解決問(wèn)題時(shí)還經(jīng)常碰到這樣的情況，當(dāng)問(wèn)題解答到某一步驟后，需要按一定的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)分為若干個(gè)子問(wèn)題進(jìn)行討論，這樣常?？梢允箚?wèn)題化繁為簡(jiǎn)，更清楚地暴露事物的屬性。

案例1：某服裝廠生產(chǎn)一種西裝和領(lǐng)帶。西裝每套定價(jià)200元，領(lǐng)帶每條定價(jià)40元，廠方在開(kāi)展促銷(xiāo)活動(dòng)期間向顧客提供兩種優(yōu)惠方案。方案一：買(mǎi)一套西裝送一條領(lǐng)帶，方案二：西裝領(lǐng)帶均按定價(jià)打9折（兩種優(yōu)惠方案不可同時(shí)采用）某店老板要去廠里購(gòu)買(mǎi)20套西裝和若干條領(lǐng)帶（超過(guò)20條）請(qǐng)幫店老板選擇一種較省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案？

分析：因?yàn)橐阎獥l件中未明確購(gòu)買(mǎi)領(lǐng)帶的數(shù)量，因而較省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案也是不確定的，而是由不同的領(lǐng)帶購(gòu)買(mǎi)數(shù)量決定的解：設(shè)店老板需購(gòu)買(mǎi)領(lǐng)帶x條

方案一購(gòu)買(mǎi)需要付款200×20＋（x－20）×40＝40x＋3200（元）

方案二購(gòu)買(mǎi)需要付款（200×20＋40x）×0.9＝36x＋3600（元）

假設(shè) y＝(40x＋3200)－(36x＋3600)＝ 4x－400（元）

（1）當(dāng)y＜0時(shí),即20＜x＜100,方案一比方案二省錢(qián)

（2）當(dāng)y＝0時(shí),即x＝100,方案一和方案二同樣省錢(qián)

（3）當(dāng)y＞0時(shí),即x＞100,方案二比方案一省錢(qián)

答：當(dāng)購(gòu)買(mǎi)領(lǐng)帶超過(guò)20條而不到100條時(shí)，方案一省錢(qián)，當(dāng)購(gòu)買(mǎi)領(lǐng)帶等于100條時(shí)，兩種方案一樣省錢(qián)，當(dāng)購(gòu)買(mǎi)領(lǐng)帶超過(guò)100條時(shí)，方案二省錢(qián)

二． 分類(lèi)的原則

分類(lèi)討論必須遵循一定的原則進(jìn)行，在初中階段我們經(jīng)常用到以下幾個(gè)原則

1.同一性原則

分類(lèi)應(yīng)該按照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，即每次分類(lèi)不能同時(shí)使用幾個(gè)不同的分類(lèi)依據(jù)，否則會(huì)出現(xiàn)重復(fù)的現(xiàn)象，例如有些同學(xué)認(rèn)為三角形可以分為等腰三角形，等邊三角形，銳角三角形，鈍角三角形，直角三角形，這樣的分類(lèi)是錯(cuò)誤的，不但以邊來(lái)分類(lèi)而且以角來(lái)分類(lèi)，等腰三角形可以是銳角三角形，鈍角三角形或直角三角形，這樣的分類(lèi)犯了標(biāo)準(zhǔn)不同的錯(cuò)誤

2.互斥性原則

分類(lèi)后的每一個(gè)子類(lèi)應(yīng)該具備互不相容的原則，即不能出現(xiàn)有一項(xiàng)既屬于這一類(lèi)又屬于那一類(lèi)。例如學(xué)校舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)，規(guī)定每個(gè)學(xué)生只能參加一項(xiàng)比賽，初一六班的6名同學(xué)報(bào)名參加100和200米的賽跑，其中有4人參加100米比賽，3人參加200米比賽，那么就有1人既參加100米又參加200米比賽，這道題目分類(lèi)的互斥性原則

3.完整性原則

分類(lèi)后的每一個(gè)子類(lèi)合并起來(lái)應(yīng)該等于總類(lèi)，否則會(huì)出現(xiàn)遺漏的現(xiàn)象。例如某人把實(shí)數(shù)分為正實(shí)數(shù)和負(fù)實(shí)數(shù)，這樣的分類(lèi)是不完整的，因?yàn)榱阋彩菍?shí)數(shù)，但是零既不是正實(shí)數(shù)也不是負(fù)實(shí)數(shù)。

4.多層性原則

分類(lèi)后的子類(lèi)還可以繼續(xù)再進(jìn)一步分類(lèi)，直到不能再分為止。例如實(shí)數(shù)可以分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，有理數(shù)可以分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，整數(shù)可以分為正整數(shù)，零和負(fù)整數(shù)

三． 分類(lèi)討論的應(yīng)用

我們用分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題的一般步驟是：

（1）先明確需討論的事物及討論事物的取值范圍

（2）正確選擇分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理的分類(lèi)

（3）逐類(lèi)討論解決

（4）歸納并作出結(jié)論

下面淺談一下分類(lèi)討論在初中階段的一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用：

1.分類(lèi)討論在應(yīng)用題中的應(yīng)用

案例2：學(xué)校建花壇余下24米漂亮的小圍欄，經(jīng)總務(wù)部門(mén)同意，初一五班的同學(xué)準(zhǔn)備在自己教室后的空地上建一個(gè)一面靠墻，三面利用這些圍欄的花圃，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一下，使花圃的長(zhǎng)比寬多3米，求出花圃的面積是多少？

分析：因?yàn)橐阎獥l件中并沒(méi)有明確長(zhǎng)和寬的位置,所以需要對(duì)長(zhǎng)和寬的位置進(jìn)行討論 解：(1)假設(shè)平行于墻的一邊為長(zhǎng)x米，則寬為(x－3)米，依題意可列方程

x＋2(x－3)=24

解方程得x＝10

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意

長(zhǎng)為10米，寬為7米，面積為70平方米

（2）假設(shè)垂直于墻的一邊為長(zhǎng)x米，則寬為(x－3)米，依題意可列方程

2x＋(x－3)=24

解方程得x＝9

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意

長(zhǎng)為9米，寬為6米，面積為54平方米

答：當(dāng)平行于墻的一邊為花圃的長(zhǎng)時(shí)花圃的面積是70平方米，當(dāng)垂直于墻的一邊為花圃的長(zhǎng)時(shí)花圃的面積是54平方米。

學(xué)生在解此類(lèi)題的錯(cuò)誤往往是因?yàn)椴徽J(rèn)真審題，沒(méi)有弄清已知條件中的各種可能情況

而急于解題所造成，只有審清了題意，全面系統(tǒng)地考慮問(wèn)題，才可以確定出各種可能情況，解答此類(lèi)問(wèn)題就不會(huì)造成漏解

2.分類(lèi)討論在絕對(duì)值方程中的應(yīng)用

關(guān)于絕對(duì)值的問(wèn)題，往往要將絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式看成一個(gè)整體，將這個(gè)整體分為正數(shù)，負(fù)數(shù)，零三種，再分別進(jìn)行討論。

案例3：求方程 ︳x﹢2︳﹢︳3﹣x︳＝ 5的解

分析：本題應(yīng)該對(duì)于代數(shù)式 ︳x﹢2︳應(yīng)分為x＝﹣2,x﹥﹣2,x﹤﹣2，對(duì)于︳3﹣x︳應(yīng)分為x＝3,x﹥3,x﹤3，把上述范圍畫(huà)在數(shù)軸上可見(jiàn)對(duì)這一問(wèn)題應(yīng)劃分以下三種情況分別討論

解：①當(dāng)x≦﹣2時(shí)，原方程變?yōu)椹仼vx﹣2﹚﹢3﹣x＝5，解得x＝0與x≦﹣2產(chǎn)生矛盾，故在x﹤﹣2時(shí)原方程無(wú)解

②當(dāng)﹣2﹤x≦3時(shí)，原方程為x﹢2﹢3﹣x＝5恒成立，故滿(mǎn)足2﹤x≦3的一切實(shí)數(shù)x都是此方程的解

③當(dāng)x﹥3時(shí)，原方程為x﹢2﹣﹙3﹣x﹚＝5，解得x＝3這與x﹥3產(chǎn)生了矛盾，故在x﹥3時(shí)原方程無(wú)解

綜上所述，原方程的解是滿(mǎn)足2﹤x≦3的一切實(shí)數(shù)。

3．分類(lèi)討論在解含有參數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

所有含有參數(shù)的問(wèn)題都要進(jìn)行分類(lèi)討論，而且要對(duì)參數(shù)的不同取值范圍分類(lèi)討論，不能有重復(fù)和遺漏。

案例4：若關(guān)于x的分式方程x?a3??1無(wú)解，求a的值 x?1x

解：方程兩邊同乘以x﹙x﹣1﹚，得﹙x﹣a﹚x﹣3﹙x﹣1﹚＝x﹙x﹣1﹚

整理得﹙a﹢2﹚x＝3

①當(dāng)a﹢2＝0即 a＝﹣2時(shí)，方程無(wú)解，則原方程也無(wú)解

②當(dāng)x＝1時(shí)方程無(wú)解，此時(shí)a﹢2＝3，得a＝1

③當(dāng)x＝0時(shí)方程無(wú)解，此時(shí)﹙a﹢2﹚×0＝3無(wú)解

綜上所述，a的值為1或﹣2

4．分類(lèi)討論在解幾何題中的應(yīng)用

分類(lèi)討論思想在幾何題中有廣泛的應(yīng)用，在有關(guān)點(diǎn)與線(xiàn)的位置關(guān)系，直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，等腰三角形等的題目中都需要進(jìn)行分類(lèi)討論。案例5：等腰三角形中，有一個(gè)角是另一個(gè)角的4倍，求等腰三角形的一個(gè)底角的度數(shù)？ 分析：本題應(yīng)該分為底角是頂角的4倍和頂角是底角的4倍兩種情況進(jìn)行討論

解：（1）當(dāng)一個(gè)底角的度數(shù)為x度，頂角是4x度時(shí)

依題意列方程x﹢x﹢4x＝180解得x＝30，底角等于30度

（2）當(dāng)一個(gè)底角的度數(shù)為4x度，頂角是x度時(shí)

依題意列方程4x﹢4x﹢x＝180解得x＝20，底角等于80度

綜上所述，等腰三角形的底角為30度或者80度。

5．分類(lèi)討論在解概率題中的應(yīng)用

在求簡(jiǎn)單事件的概率時(shí)，我們通常會(huì)用“列表”或者是“畫(huà)樹(shù)狀圖”的方法來(lái)列舉所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果，然后找出該事件所包含的結(jié)果，從而求出該事件發(fā)生的概率。事實(shí)上“列表”或者是“畫(huà)樹(shù)狀圖”的方法就是分類(lèi)討論的思想方法最直接的體現(xiàn)。

案例6：同時(shí)拋擲3枚普通的硬幣一次，問(wèn)得到“兩正一反”的概率是多少

分析：每一個(gè)硬幣都有正面和反面，我們可以用畫(huà)樹(shù)狀圖的方法分析先拋第一枚，再拋第二

枚，最后拋第三枚，可知共有8種機(jī)會(huì)均等的結(jié)果它們是（正正正）（正正反）（正反正）（反正正）（反反正）（反正反）（正反反）（反反反），其中兩正一反的結(jié)果有3種，可以求得概率是八分之三。

6．分類(lèi)討論在解函數(shù)題中的應(yīng)用

分類(lèi)討論的思想方法貫穿于初中階段學(xué)過(guò)的所有的函數(shù)中，一次函數(shù)y＝kx﹢b﹙k≠0﹚要對(duì)k，b取值范圍進(jìn)行分類(lèi)討論，反比例y=

2k﹙k≠0﹚函數(shù)要對(duì)k的取值范圍進(jìn)行分類(lèi)討論，x二次函數(shù)y＝ax﹢bx﹢c﹙a≠0﹚要對(duì)a的取值范圍進(jìn)行分類(lèi)討論

案例7：求二次函數(shù)y＝ax﹢﹙3﹣a﹚x﹢1﹙a≠0﹚與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的值與交點(diǎn)坐標(biāo)

解：①當(dāng)a＝0時(shí)，此函數(shù)為一次函數(shù)y＝3x﹢1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)是（－21，0）3

2②當(dāng)a≠0時(shí)，此函數(shù)是二次函數(shù)，因二次函數(shù)與x軸只能有一個(gè)交點(diǎn)則判別式為零﹙3﹣a）﹣4a ＝ 0

解得a＝1或a＝9

當(dāng)a＝1時(shí),與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，0）

當(dāng)a＝9時(shí),與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（【結(jié)語(yǔ)】分類(lèi)討論思想的應(yīng)用非常廣泛，涉及到初中的全部知識(shí)點(diǎn)，這里不能一一列舉出來(lái)，分類(lèi)討論思想的關(guān)鍵是分清引起分類(lèi)的原因，明確分類(lèi)討論的事物和標(biāo)準(zhǔn)，按可能出現(xiàn)的所有情況做出準(zhǔn)確分類(lèi)，再分門(mén)別類(lèi)加以求解，最后將各類(lèi)結(jié)論綜合歸納，得出正確答案。數(shù)學(xué)中的分類(lèi)思想是一種比較重要的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)加強(qiáng)數(shù)學(xué)分類(lèi)思想的訓(xùn)練，有利于提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性，縝密性，科學(xué)性，這種優(yōu)良的思維品質(zhì)對(duì)學(xué)生的未來(lái)必將產(chǎn)生深刻和久遠(yuǎn)的影響。

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