第一篇：模型思想在幾何問題中的運用教學設計
模型思想在幾何問題中的運用的教學設計
教學目標
了解“數學模型”的概念，及“建模型思想”的意義。
理解“模型思想”的含義，會用模型思想的理論指導解答相關的幾何問題。掌握“模型思想”在幾何問題中的運用的內涵。教學重點、難點。
重點:運用“模型思想”指導解決幾何問題。難點:如何運用“模型思想”指導解決幾何問題。學習過程
1、小試牛刀，你發(fā)現(xiàn)什么？
如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E是BC邊上的一個動點，AE⊥EF，EF交DC于F, 設BE= x，F(xiàn)C= y，則當點E從點B運動到點C時, y關于 x的函數解析式是什么？
2、建模思想在幾何問題之中的運用
所謂數學模型，就是根據特定的研究目的，采用形式化的數學語言，去抽象地概括地表征所研究對象的主要特征及其關系所形成的一種數學結構。在初中數學中，用字母、數字及其他數學符號建立起來的代數式、關系式、方程、函數、不等式，及各種圖表、圖形等都是數學模型。
3、合作互學，探究進取
已知：如圖，在 Rt△ABC中，，點p 由B出發(fā)沿BA 方向向點 A 勻速運動，速度為1cm/s；點 Q 由A 出發(fā)沿AC 方向向點 C 勻速運動，速度為2cm/s；連接 ．若設運動的時間為 t（s）（0 （1）當t 為何值時，PQ//BC ？ 2（2）設△AQP 的面積為 y（cm），求 y與t 之間的函數關系式； （3）是否存在某一時刻t，使線段PQ 恰好把Rt△ACB的周長和面積同時平分？若存在，求出此時t 的值；若不存在，說明理由； 4、談一談你的收獲 5、模擬演練 如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點D在BC上運動（不與點B，C重合），過D AE作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求證：△ABD∽△DCE； BDC （2）設BD=x，AE=y，求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）當△ADE是等腰三角形時，求AE的長.課后練習： 1、已知：Rt△EFP和矩形ABCD如圖①擺放（點P與點B重合），點F，B（P），C在同一條直線上，AB＝EF＝6cm，BC＝FP＝8cm，∠EFP＝90°。如圖②，△EFP從圖①的位置出發(fā)，沿BC方向勻速運動，速度為1cm/s；EP與AB交于點G．同時，點Q從點C出發(fā)，沿CD方向勻速運動，速度為1cm/s。過Q作QM⊥BD，垂足為H，交AD于M，連接AF，PQ，當點Q停止運動時，△EFP也停止運動．設運動時間為t（s）（0＜t＜6），解答下列問題：(1).當 t 為何值時，PQ//BD？（2）設五邊形 AFPQM 的面積為 y（cm2），求 y 與 t 之間的函數關系式；（3）在運動過程中，是否存在某一時刻 t，使 S五邊形AFPQM:S矩形ABCD?9:8？若存在，求出 t 的值；若不存在，請說明理由；(4).在運動過程中，是否存在某一時刻 t，使點M在PG的垂直平分線上？ 若存在，求出 t 的值；若不存在，請說明理由． 2、如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC邊上的高AM=4，E為 BC邊上的一個動點（不與B、C重合）．過E作直線AB的垂線，垂足為F． FE與DC的延長線相交于點G，連結DE，DF．．（1）求證：ΔBEF ∽ΔCEG．（2）當點E在線段BC上運動時，△BEF和△CEG的周長之間有什么關系？并說明你的理由．（3）設BE＝x，△DEF的面積為 y，請你求出y和x之間的函數關系式，并求出當x為何值時,y有最大值，最大值是多少？ Email:hb_yuerf@sohu.com個人簡介：岳儒芳畢業(yè)于河北師范大學中學一級教師教育碩士 極限思想在解題中的應用 河北省石家莊市第十九中學岳儒芳 數學研究的對象可以是特殊的或一般的，可以是具體的或抽象的，可以是靜止的或運動的，可以是有限的或無限的，它們之間都是矛盾的對立統(tǒng)一．正是由于對象之間的對立統(tǒng)一，為我們解決這些對立統(tǒng)一事物提供了研究的方法．有限與無限相比，有限顯得具體，無限顯得抽象，對有限的研究往往先于對無限的研究，對有限個對象的研究往往有章法可循，并積累了一定的經驗．而對于無限個對象的研究，卻往往不知如何下手，顯得經驗不足．于是將對無限的研究就轉化成對有限的研究，就成了解決無限問題的畢經之路．反之當積累了解決無限問題的經驗之后，可以將有限問題轉化成無限問題來解決．這種無限化有限，有限化無限的解決數學問題的方法就是有限與無限的思想． 在數學教學過程中，雖然開始學習的數學都是有限的數學，但其中也包含有無限的成分，只不過沒有進行深入的研究．在學習有關數及其運算的過程中，對自然數、整數、有理數、實數、復數的學習都是研究有限個數的運算，但實際上各數集內元素的個數都是無限的，以上數集都是無限集．對圖形的研究，知道直線和平面都是可以無限延展的．在解析幾何中，還學習過拋物線的漸進線，已經開始有極限的思想體現(xiàn)在其中．學習了數列的極限和函數的極限之后，使中學階段對無限的研究又上了一個新臺階，集中體現(xiàn)了有限和無限的數學思想．使用極限的思想解決數學問題，比較明顯的是立體幾何中求球的體積和表面積，采用無限分割的方法來解決．實際上先進行有限次分割，然后再求和，求極限，我們認為，這是典型的有限與無限數學思想的應用． 函數是對運動變化的動態(tài)事物的描述，體現(xiàn)了變量數學在研究客觀事物中的重要作用．導數是對事物變化快慢的一種描述，并由此可進一步處理和解決函數的增減、極大、極小、最大、最小等實際問題，是研究客觀事物變化率和最優(yōu)化問題的有力工具．通過學習和考查，可以體驗研究和處理不同對象所用的不同數學概念和相關理論以及變量數學的力量． 例1．函數y?log2x?logx(2x)的值域是（） （A）(??,?1]（B）[3,??)（C）[?1,3]（D）(??,?1]?[3,??) 【分析】選D． 法1:用極限的思想．∵函數定義域為{x|x 當x? 12?0且x?1}．當x???時，y???，∴可排除B，C； 時，y??1，∴可排除A．故選D． ?log2x?1 log2x?1法2:函數變形為y 求出． 例2．過拋物線y p，設t?log2x,則t?0，再作出“對勾”函數的圖象，數形結合即可?ax2(a?0)的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是 和q，則 1p?1 q等于（） 2a（A）4a（B） 【分析】選A．（C）2a（D）4a （法1）取a?2（不可取a?1,否則，A，D兩項的值均等于4），得焦點F(0,的直線PQ∥x軸，易知p ?q? 14,1p?1q ?8?4? 218)，過F再作特殊位置，故選A．（選擇圖形的某一個特殊位置，可得到相關的數 或式的特殊關系，而特殊位置圖形的選擇往往又與選取適當的特殊值和特殊點有關．） （法2）用極限的思想即：畫出圖形，使PQ繞點F旋轉，使點P與點O重合即可求出． 例3．設A1、A2是橢圓 A2P 2x 9? y ? 1的長軸的兩個端點，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點，則直線A1P1與 交點的軌跡方程為（）（A） x 9? y ? 1（B） y ? x ?1 （C） x ? y ?1 （D） y ? x ?1 【分析】選C．（法1）設p1(3cos?,2sin?),P2(3osc ?,?2nis?)，由橢圓得A1(?3,0),? A2(3,0)，直線A1P1為y? ? 3tan ? 2x?2tan ?2，直線A2P2為y ? cot ? x?2cot ? 3(cot?tan?tan ?)?，∴交點M中，x ? cot 3cos? 2tan ? ?,y? 2?2tan??2tan? cos?2，∴（x3) ?（y2) ?sec ??tan ??1,即 x ? y ?1 ．選C． ?0 (法2)利用極限的思想即當P1P2恰是短軸的兩個端點時，則兩直線無交點，即說明當x曲線方程無解．結合選項可判斷選C． 例4．直三棱柱ABC B?APQC ?A1B1C1的體積為V 時，所求的，P、Q分別為側棱AA?,CC?上的點，且AP A 1?C?Q，則四棱錐 C1的體積是（） 12V B1 （A）（B） 3V （C） 4V （D） 5V P Q 【分析】選B． （法1）用極限的思想，即令點P與點A1重合，點Q與C重合，則四棱錐 B?APQC A B C 就變成三棱錐B? APQ，再根據等體積法VB?APQ ?VP?ABC 即可求出． （法2）可分別取AA?,CC?的中點P，Q，同時令三棱柱中所有棱長為2，很容易就可算出． 例 5、已知1?分析：令x x?10，則(lgx)2,lgx2,lg(lg ?1，lgx x)的大小關系為___________． x)?0 ?10，則(lgx) 2?2，lg(lg，?大小關系為 lg(lgx)?(lgx) ?lgx ． 例6、2005年10月15日，我國成功發(fā)射神州五號載人航天飛船，若飛船的運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，且其近地點距離地面為m千米，遠地點距地面n千米，則該飛船運行軌道的短軸長為（）[已知地球半徑為R千米] （A） (m?R)(n?R) （B） 2(m?R)(n?R) （C）mn（D）2mn 分析：選B． 考慮問題的極限情形，m 而將m ?n?0,?n?0,則符合題意的橢圓表現(xiàn)為圓，于是軌道的短軸長表現(xiàn)為圓的直徑2R，代入各選擇分支，僅有B適合，于是正確答案只能是B． 例 7、設n為自然數，求證不等式 19?125 ??? 1(2n?1) ? ． 時，不等式右邊是一個常量，而左邊從k變?yōu)?/p> 許多學生會利用數學歸納法證明，但是，當證明n k?1 ?k?1 時卻在不斷增大，證明難度較大．然而，把 1(2n?1) 1(2n?1)1（看成數列{an}，則上述不等式可轉化為數列求和，? 12n?119?125) 因此想到利用數列極限進行求解．因為 12(1? 13?13?15??? 12n?1 ? 12n?1) ? 22n?1，所以有下式： ??? 1(2n?1) 1912 ? 125lim ??? 1(2n?1) ?，兩邊同時取極限，則 lim[ n??? ]? 2n2n?1 ? ． n??? 在上例中，將不等式的項與數列相聯(lián)系，用極限求和的方法為解決不等式證明問題拓寬了思路，簡便了計算過程．另外，極限思想與特殊化原則的結合，可對某些較復雜的問題極端化處理，使解題過程化難為易．因此，教師應該在課堂教學中幫助學生歸納和總結極限思想在解題中的運用，但不能把對極限的運用局限在解微積分的題目中，應該認識到，通過極限思想，能有效地將數學各部分內容系統(tǒng)地聯(lián)系起來，有利于學生從整體上把握數學的本質． 高考中對有限與無限的考查才剛剛起步，并且往往是在考查其他數學思想和方法的過程中同時考查有限與無限的思想．例如，在使用由特殊到一般的歸納思想時，含有有限與無限的思想；在使用數學歸納法證明時，解決的是無限的問題，體現(xiàn)的是有限與無限的思想，等等．隨著高中課程的改革，對新增內容的考查在逐步深入，必將加強對有限與無限思想的考查，設計出重點體現(xiàn)有限與無限思想的新穎試題． 函數和不等式思想在極值點偏移問題中的應用 一、教材分析 1．教材的內容 選修 1-1 第三章，本節(jié)屬于專題復習課.2.教材所處的地位和作用 微積分的創(chuàng)立是數學發(fā)展史中的里程碑，它的發(fā)展應用開創(chuàng)了向近代數學過渡的新時期，它為研究變量與函數提供了重要的方法和手段。導數的概念是微積分的核心概念之一，它有及其豐富的實際背景和廣泛的應用。在選修模塊中，學生將通過大量實例，經歷由平均變化率到瞬時變化率刻畫現(xiàn)實問題的過程，理解導數的含義，體會導數思想及其內涵；應用導數探索函數的單調，極值等性質在實際中的應用，感受導數在解決數學問題和實際問題中的作用，體會微積分的產生對人類文化發(fā)展的價值。 3.學情分析 ①通過《數學必修》中函數，幾何與代數，數學建模等內容的學習以及在《數學選修 1-1》中第二，三章內容的學習，學生已經具備了函數的基本知識和運算能力，這為本節(jié)我們討論極值點偏移問題提供了很好的前提與基礎。 ②學生具體研究學習了數學必修中函數單調性的尋找，證明和應用及不等式的相關結論，具備了一定的探究能力。基于此，學生會產生思考，如何運用函數和不等式來解決高考試題中極值點偏移的問題，能否給出一般性的解決方法和步驟，如果能夠得到這類問題較為簡單的解題通法，這個常常出現(xiàn)在高考數學壓軸題 題位置上的難點將不會再對我們造成太難的阻礙，甚至會成為部分同學新的得分點。 ③教學對象是高三年級理科生，由于學生年齡和能力及題目本身思維要求高，過程繁，計算難度大等原因，學生的思維盡管活躍，敏捷，但卻缺乏冷靜深刻的數學思維和解難題的能力，因此所做的探索過于片面，結論不夠嚴謹.4.教學的重點和難點 重點：函數構造法，對數平均不等式和極值點偏移的判定定理 難點：函數構造法的結題步驟，構造函數的選取，對數平均不等式的放縮和極值點偏移的判定定理的使用 二、教學目標分析 1．知識與技能 1.能運用函數和不等式解決導數應用中極值點偏移的問題 2.掌握函數和不等式解決這類題的一般步驟 3.極值點偏移的判定定理的使用 2、過程與方法 1.通過利用幾何畫板展現(xiàn)極值點偏移的過程，讓學生直觀認識感受極值點偏移的本 質原因，激發(fā)學生探究解決問題的激情，和培養(yǎng)學生認真觀察事物變化過程，總結變化規(guī)律的習慣。同時在此處先不給出極值點偏移的判定定理，而是先用函數構造法和對數平均不等式這兩種之前已經介紹過的方法來求解例一。重在感受極值偏移的現(xiàn)象，和復習歸納已經學習的知識方法。 2.結合例一的解題過程，重點回顧討論解題的方法和步驟，展示這兩種方法的易錯點和難點的突破口，樹立學生解難題的信心規(guī)范學生的解題過程。然后把時間向前推移六年到例 2（2010 天津）讓學生自主模仿例一的解法嘗試來解例二，通過例一的復習學生較容易使用其中的一種或兩種方法得到題目的答案讓學生體會到學以致用的成就感，同時也通過兩題的比對了解到高考題目的變遷歷史體會該知識點在高考中的地位清楚今后的復習和學習方向。 3.展示學生例二的解題過程并加以點評后提出更高的要求——有沒有更好的方法，結合一開始的三張圖片讓學生再次重新審視極值點偏移的原因回歸到數學本質上來，不用很精準只需要說出自己的直觀感受即可，通過這一過程讓學生鍛煉自己的數學直觀想象和數學運算分析等核心素養(yǎng)，同時也為后面介紹極值點偏移的判定定理做好鋪墊，比較分析函數構造法和對數平均不等式的特點和優(yōu)缺點，認識到具體問題具體分析，方法的選擇要靈活有針對性，不能盲目模仿和生搬硬套，通過一題多解，和同法異題的求解加深解題方法的理解和應用能力的提高，由具體問題的多角度的思維得出不同方法的求解過程培養(yǎng)學生的探索精神和數學歸納的能力，數學抽象能力。 3、情感態(tài)度與價值觀 通過經歷對例一和例二高考真題的探索和解決，激發(fā)學生對數學的好奇心和求知欲，鼓勵學生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質，從中獲得成功的體驗，感受數學思維的奇異美、結構的對稱美、形式的簡潔美、數學的嚴謹美．引導學生樹立科學的世界觀，提高學生的數學素養(yǎng)和綜合素質。 三、教學方法與手段分析 1.教學方法 結合本節(jié)課的教學內容和學生的認知水平，在教法上，我采用“探究發(fā)現(xiàn)”模式的教學方法，整個教學過程以學生為主體，學生自主學習為中心的思想，同時運用多媒體課件教學等技術手段，同一題目不同方法的比對，相同方法不同題目的求解讓學生由淺入深，循序漸進的參與這堂課的每個過程，自然而然的完成本節(jié)課的教學目標。 2.學法 觀察分析→自主探究→ 合作交流 →初步運用 →歸納小結 3.教學手段 利用計算機和實物投影等輔助教學，充分調動學生參與課堂教學的主動性與積極性.四、教學過程分析 教學是一個教師的“導”，學生的“學”以及教學過程中的“悟”構成的和諧整體.教師的“導”也就是教師啟發(fā)、誘導、激勵、評價等為學生的學習搭建支架，把學習的任務轉移給學生，學生就是接受任務，探究問題、完成任務.如果在教學過程中把“教與學”完美的結合也就是以“問題”為核心，通過對知識的發(fā)生、發(fā)展和運用過程的演繹、解釋和探究來組織和推動教學.Ⅰ.創(chuàng)設情境，提出問題 圖 x = m = x1 + x2 極值點無偏移 圖 x m = x1 + x2 極值點左偏 0 圖 x0 2 0 m = x1 + x2 目的：①本例通過給出三張典型的凹函數圖像，讓學生從圖像特征上去直觀感受函數圖像極值點發(fā)生偏移的原因，有助于調動學生學習積極性，同時上來通過圖像讓學生直觀感受而非繁瑣的計算來思考解決問題，有助于開拓學生視野回歸數學問題本質，降低了學生對于該問題的為難情緒。 ②通過學生觀察后教師自然而然的給出極值點偏移的定義，并順帶給出極值點偏移的數學解釋逐步讓學生由感性認知上升到理論認知，當然老師在此可以對學生提出進一步要求，可不可以給出一般性的判定定理？這里我們只先提出問題，做下伏筆，但并不馬上去求解，避免由于問題過難而挫傷學生的積極性，同時也為本節(jié)課最后的問題做好了鋪墊。 Ⅱ.探究問題 例一（2016 全國卷一）已知函數 f (x)= (x 2)ex + a(x -1)2 有兩個零點。 （I）求 a的取值范圍；（略） （II）設 x1,x2 是 f (x)的兩個零點，證明： x1 + x2 目的：①發(fā)揮學生的主觀能動性，先自己探求結果，檢查學生前一階段的復習成果和對于問題一的思考和聯(lián)系； ②讓學生對于零點偏移求解過程更加熟練，思路更加清晰；并為下一步對數平均不等式和極值點偏移的判定定理做好鋪墊； 解法一：對稱構造函數法由（1）知a 3 0 ① x1 x2 ②構造函數 F (x) = f (x) f (2 x)，(x 1) T F ＇ (x) = f ＇ (x) f ＇ (2 x) = (x -1)(ex + 2a) + (1- x)(e2-x + 2a) = (x -1)(ex e2-x) x 1時 x 0 T x x T e2- x ex 0 ＼ F ＇ (x) 0 T F (x)在(- ￥，1)上 - ③代入 x1 得 F (x1)< F (1)= 0 T f (x2) = f (x1) f (2 x1) 又Q y = f (x)在(1，+ ￥)上 - x2 ? (1,+ ￥),2 x1 ? (1,+ ￥) ＼ x2 x1 即 x1 + x2 提問 1：學生解法一由哪些主要步驟，哪些步驟是你覺得難得地方，我們是如何解決這些困難的？ 結合學生的回答對稱化構造函數處理極值點偏移問題的基本步驟歸納如下： ＇ ①求導獲得 f (x)的單調性，數形結合判斷零點 x1,x2 和極值點 x0的范圍 ②構造輔助函數 F (x) = 性 f (x) f (2x0 x)，判斷函數 F (x)的符號，確定函數 F (x)的單調 ③結合F (x0) = 0 限定 x的范圍判定 F (x)的符號得到不等式 ④將 x1 (或x2) 代入上述不等式，利用 f (x1) = f (x2) 替換 f (x1) ⑤結合①求得 f (x)的單調性轉化為 x1,x2的不等式，證明結束。提問 2；可不可以把流程繼續(xù)簡化？ 其中主要的三步流程簡化為“求導→構造→代入”。構造是難點，求導是關鍵，常用構 造要記清。 提問 3：還有其他解法嗎？提醒學生從不等式構造上思考 學生有困難，則先回顧基本不等式內容，讓學生從熟悉的，簡單的問題入手 調和平均數￡ 幾何平均數￡ 算術平均數￡ ￡ 平方平均數 A(a,b) = a + b,L(a,b) = a b ln a ln b ,G(a,b) = ab,(a,b 0) T A ￡ L ￡ G 解法二：對數平均不等式（ALG） f (x) = f (x) = 0 ? (x 2)ex1 + a(x -1)2 = (x 2)ex2 + a(x -1)2 = 0 ì?a(x -1)2 = (2 x)ex1 T í ??a(x -1)2 = (2 x)ex2，兩式相減得a(x + x - 2)(x - x) = (2 x)ex1 (2 x)ex2 ìx1 + x2 3 0 （反證）假設 x + x 3 T ?x x 0 T (2 x)ex (2 x)ex ￡ 0 í ? ?a 3 0 T (2 x)ex1 ￡ (2 x)ex2 （左右兩邊同時取對數） T ln(2 x1) + x1 ￡ ln(2 x2) + x2 T ln(2 x1) ln(2 x2) ￡ x2 x1 T （x2 x1 3 T (2 x1) (2 x2) 3 （*） ln x1)- ln(2 x2) ln(2 x1)- ln(2 x2) 由對數平均不等式（ALG）得 (2 x1) (2 x2) < (2 x1) + (2 x2) = x1 + x2 ￡ ln(2 x1)- ln(2 x2) 顯然與（*）相矛盾，假設不成立，原命題成立。 解題流程：實際問題→（數學抽象）數學模型→數學解→（解釋與檢驗）實際問題引導學生體會數學思維的奇異美、結構的對稱美、形式的簡潔美、數學的嚴謹美． 提問 4：這類問題最早出現(xiàn)在那一年高考題中，當時的高中生如何解決這類問題，我們是否能在當年的高考題中取得滿分？激發(fā)學生的動力積極性，檢查學生的掌握情況。給出本節(jié)的例二 例二（2010 天津卷）已知函數 f (x)= xe-x (x ? R) （I）求函數 f (x)的單調區(qū)間和極值； （II）已知函數 y = g (x)的圖像與函數 y = 時，f (x) g(x); f (x)的圖像關于直線 x = 對稱，證明：當 x （III）如果 x1 1 x2，且 f (x1) = f (x2)，證明 x1 + x2 2。 解法一：對稱構造函數法（1）（2）略 ①由（1）知 x1 x2 ②構造函數 F (x) = f (x) f (2 x)，(x 1) T F ＇ (x) = f ＇ (x) f ＇ (2 x) = e-x (1- x) + e-(2-x) [1- (2 x)] = e-x (1- x) + e-(2-x) (x -1) = (x -1)(e-2+x e-x) 其中 x 0 ü T F ＇ (x) 0 t x T ex-2 e-1 e- x y T F (x)在（- ￥,1）上 - ③代入 x1 得 F (x1)< F (1)= 0 T f (x2) = f (x1) f (2 x1) 又Q y = f (x)在(1，+ ￥)上 ˉ x2 ? (1,+ ￥),2 x1 ? (1,+ ￥) ＼ x2 x1 即 x1 + x2 解法二：對數平均不等式（ALG） f (x) = f (x) T x e-x1 = x e-x2 （左右兩邊同時取對數） T ln x1 x1 = ln x2 x2 T x1 x2 = ln x1 ln x2 T x1 x2 ln x1 ln x2 = （*） 由對數平均不等式（ALG）得 T x1 + x2 x1 x2 ln x1 ln x2 = x1 + x2 提問 5：顯然這個問題對于現(xiàn)在的我們不是什么難題了，但作為新時代的我們能不能用給簡潔的方法給出這兩題的一般性解法，通法的探討顯然是我們要思考的問題。那么學生對于這個新的挑戰(zhàn)自然就會萌生極大地興趣，這時再回顧我們一開始觀察三張直觀圖時提出的問題，解法三的出現(xiàn)也就是必需的了。即本節(jié)課的最后一個知識點——極值點偏移的判定定理。 III.按圖索驥，回歸本質 極值點偏移判定定理：在給定區(qū)間 D 上函數 y = f (x) 可導 f (x1) = f (x2),(x1 x2)，若 x0 為 (x,x) 上的唯一極小值點，f ＇＇＇ (x) 0，則極小值點右偏? x1 + x2 x； 0 f ＇＇＇ (x) 0，則極小值點左偏? x1 + x2 x。 0 對于該定理作為高中生我們只需要了解，不需要完整嚴格的證明，（后附有泰勒展開的完整證明過程，可以開拓一部分自學高等數學的學生的視野） 那么我們怎么來理解該判定定理呢？我們又如何運用它來解決高中相關的數學問題呢？對此我們分兩部分來討論。 第一部分：我們主要結合導數的幾何意義與 n 階導數的運算來了解該定理的由來。首先 通過讓學生再次觀察一開始我們已展示的圖一，二，三不，學生不難發(fā)現(xiàn) y = f (x)的圖 像偏移的原因，即 y = f (x)的圖像在u(x0,?) 內增減速度的不同而發(fā)生的。接著再進一步 引導學生思考發(fā)生的不同我們如何去用數學的語言來描述刻畫它，提醒學生從導數的幾 何意義來思考，以圖 為例和學生一起做探討： y = f (x)的圖像的斜率一直在增加，但 增加的速度在變慢，（數學直觀想象），如何用數學語言來表述這一變化？（數學抽象） → f ＇ (x) 0,f ＇ (x) 增加T f ＇＇ (x) 0（速度變慢）T f ＇＇ (x)的絕對值變小 T y = f ＇＇＇ (x) 0。 完成圖二的探討后可讓學生模仿獨立的完成圖 3的探索： f ＇ (x) 0,f ＇ (x) 增加T f ＇＇ (x) 0 （速度變快） T f ＇＇ (x)的絕對值變大 T y = f ＇＇＇ (x) 0。 以上結論可簡單記憶口訣（“小大小”，“小小大”），同時若 x0 是極大值點的話，結論相反，口訣為（“大大大”，“大小小”） IV.給出定理，嘗試新解 第二部分：運用新的判定定理重新去接例一和例二例一新解 極值點偏移判定定理 解法三： f (x)= (x 2)ex + a(x -1)2 T f ＇ (x) = (x -1)(ex + 2a) T f ＇＇ (x) = (x -1)ex + ex + 2a T f ＇＇＇ (x) = ex (x +1) 分兩段區(qū)間討論 ①若 x ? (-￥,1]，f (2) = a 0 結合圖像可知 x1 ￡ x2 a，則 x1 + x2 ②若 x ? (-1,+ ￥)，f ＇＇＇ (x) 0，x = 是極小值，符合“小大小” T x + x2 綜上的x1 + x2 例二新解 解法三： f (x) = xe-x T f ＇ (x) = e-x xe-x T f ＇＇ (x) = e-x (x 2) T f ＇＇＇ (x) = e-x (3 x) 分兩段區(qū)間討論 ①若 x ?[3,+ ￥)，可知 x1 + x2 max{x1,x2} 3 2，則 x1 + x2 ②若 x ? (- ￥,3)，f ＇＇＇ (x) 0，x = 是極大值，符合“大大大” T x + x2 綜上知 x1 + x2 至此我們回頭再看例一和例二的三個解法，不知不覺中對于一開始極值點偏移的問題有 了更新的認知。 VI.課堂練習 鞏固雙基 練習 1（2011 遼寧卷）已知函數 f (x) = ln x ax2 + (2 a)x。 （I）討論函數 f (x)的單調性； （II）設a 0，證明：當0 x 時，f （1 + x) f （1 x); a a a （III）若函數 y = f (x0) 0。 f (x)的圖像與 x 軸交于 A,B 兩點，線段 AB 中點的橫坐標為 x0，證明 練習 2（2014 天津卷）設 f (x) = x aex (a ? R),x ? R 已知函數 y = 且 x1 x2 （1）求 a的取值范圍 （2）證明 x2 隨著 a的減小而增大 x1 （3）證明 x1 + x2 隨著 a的減小而增大 f (x) 有兩個零點 x1,x2，練習 已知函數 f (x) = a ln x,a ? R.若函數 f (x) 有兩個零點 x,x。 x 求證： x1 + x2 練習 已知函數 f (x) = ex ax 有兩個不同的零點 x,x，其極值點為 x 0 （I）求 a的取值范圍 （II）求證： x1 + x2 2x0 （III）求證： x1 + x2 （IV）求證： x1 x2 目的：①通過學生的主體參與，使學生深切體會到本節(jié)課的主要內容和思想方法，從而實現(xiàn)對知識的再次深化.②練習分層，有利于不同層次的學生培養(yǎng)。 VII.課堂小結 學生點評，老師引導: ①由圖像直觀到方法求解,由繁瑣到簡潔，由為結題而解題到回歸數學本質，一再的追問和嘗試思考有利于學生的知識遷移和能力提高； ②用三種方法解題的運用：函數構造法，對數平均不等式和極值點偏移的判定定理。對三種解法的對比的再認識．特別是方法的選擇上要能盡可能適合題目適合自己； ③在理解方法的基礎上,及時進行正反兩方面的“短、平、快”填空和判斷是非練習.通過總結、辨析和反思，強化解法的靈活性，促進學生主動建構，有助于學生形成知識模塊，優(yōu)化知識體系.體現(xiàn)知識目標。 五、教學評價 結果因過程而精彩,現(xiàn)象因方法而生動.無論是情境創(chuàng)設,還是探究設計,都必須以學生為主體、教師為主導、訓練為主線,設法從龐雜的知識中引導學生去尋找關系,挖掘書本背后的數學思想,建構基于學生發(fā)展的知識體系,教學生學會思考,讓教學真正成為發(fā)展學生能力的課堂活動。因此，本課例在具體問題的數學模型的建立和數學工具的選擇上舍得花大量時間，便是為了培養(yǎng)學生學會探究與創(chuàng)新，它就像一縷溫暖的陽光，不一定能喚醒萬物，卻能催開人世間最絢麗的花朵。 通過三種解題方法的研究，使學生從不同的思維角度掌握了極值點偏移的解決方法；從圖像直觀到理論總結和方法嘗試，數學的解題方法拉近了知識之間的聯(lián)系；由特殊到一般問題的推導不再讓學生為解題而解題，展現(xiàn)了數學思維的魅力．學生從中深刻地領會到解題過程中所蘊含的數學思想，培養(yǎng)了學生思維的深刻性、敏銳性、廣闊性、批判性．同時通過精講一題，發(fā)散一串的變式教學，使學生既鞏固了知識，又形成了技能．在此基礎上，通過民主和諧的課堂氛圍，培養(yǎng)了學生自主學習、合作交流的學習習慣，也培養(yǎng)了學生勇于探索、不斷創(chuàng)新的思維品質． 《數學課程標準》中關于課程內容中闡述“在教學中，應幫助學生建立數感和符號意識，發(fā)展運算能力和推理能力，初步形成模型思想?！痹诨纠砟畹牡诙l中闡述“數學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具，能夠幫助人們處理數據、進行計算、推理和證明，數學模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象。” 在數學教學中應當引導學生感悟建模過程，發(fā)展“模型思想”。在小學，進行數學建模教學具有鮮明的階段性、初始性特征，即要從學生熟悉的生活和已有的經驗出發(fā)，引導他們經歷將實際問題初步抽象成數學模型并進行解釋與運用的過程，進而對數學和數學學習獲得更加深刻的理解。數學模型不僅為數學表達和交流提供有效途徑，也為解決現(xiàn)實問題提供重要工具，可以幫助學生準確、清晰地認識、理解數學的意義。在小學教學活動中，教師應采取有效措施，加強教學模型思想的滲透，提高學生的學習興趣，培養(yǎng)學生用數學意識以及分析和解決實際問題的能力，將模型思想滲透到教學中。 關鍵詞：模型；數學建模；建模教學；小學數學教學《數學課程標準》指出：“數學教學應該從學生已有生活經驗出發(fā)，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并理解運用。” 一、在創(chuàng)設情境時，感知數學建模思想。情景的創(chuàng)設要與社會生活實際，時代熱點問題，自然，社會文化等與數學有關系的各種因素相結合。激發(fā)學生的興趣，使學生用積累的生活經驗來感受其中隱含的數學問題，從而促進學生將生活問題抽象成數學問題，感知數感 知數學模型的存在。學習數學的起點是培養(yǎng)學生以數學眼光發(fā)現(xiàn)數學問題，提出數學問題。在教學中教師就應根據學生的年齡及心理特征，為兒童提供有趣的、可探索的、與學生生活實際密切聯(lián)系的現(xiàn)實情境，引導他們饒有興趣地走進情境中，去發(fā)現(xiàn)數學問題，并提出數學問題。 二、在探究知識的過程中，體驗模型思想。 善于引導學生自主探索、合作交流，對學習過程、學習材料、主動歸納。力求建構出人人都能理解的數學模型。 例如：在推導圓柱體積公式一節(jié)課中，教師要有目的讓學生回顧平行四邊形，三角形、梯形、圓幾種平面圖形面積的推導過程是怎樣的？學生會想起通過割、補、平移、旋轉等方 法拼成學過的圖形，那么今天我們要探究的是圓柱的體積，你們怎樣來推導它的公式？這樣 學生很自然的想到一個新知識都是用舊知識來分解，從中找到新知識的內在模型。 三、新知識的結論，就是建立數學模型。 加法，減法，乘法、除法之間的內在聯(lián)系。各類應用題的解題規(guī)律，各類圖形的周長 與面積、體積的公式都是各種數學模型，學生有了這種模型思想才能應用它解釋生活中的現(xiàn) 實問題。 在解決問題中，拓展應用數學模型。用所建立的數學模型來解答生活實際中的問題，讓學生能體會到數學模型的實際應用價值，體驗到所學知識的用途和益處，進一步培養(yǎng)學生應用數學的意識和綜合應用數學解決問題的能力，讓學生體驗實際應用帶來的快樂。 例如:我在教學“平行四邊形面積的計算”時，采用了探究式的學習方法，使學生在獲取數學知識的同時，數學思維和學習能力也得到了培養(yǎng)。 1.讓學生充分參與與操作活動 數學知識具有抽象性，但來源于生活實際，加強教學中的實踐活動，不僅有助于學生理解抽象的數學知識，而且可以通過讓學生參與操作活動，促進學生的思維發(fā)展。如：在探究平行四邊形面積的計算方法時，我為學生設計了這樣的操作活動：讓他們通過剪一剪，拼一拼，想辦法把平行四邊形轉化為已學過的圖形，然后利用已有知識來推導它的面積計算方法，這就為學生創(chuàng)設一個“做數學”的機會，學生在操作前必須動腦思考，想好了才能動手剪拼，通過實際操作，多數學生都將平行四邊形剪拼成了長方形，這樣學生在積極參與操作活動的過程中，不僅促進了他們的思維發(fā)展，而且提高了他們的操作技能。 2.讓學生積極參與交流活動 四、解釋與應用中體驗模型思想的實用性。 如在學生掌握了速度、時間、路程之間關系后，先進行單項練習，然后出示這樣的變式題： 1.汽車3小時行駛了270千米，5小時可行駛多少千米？ 2.飛機的速度是每小時900千米，飛機早上11：00起飛，14：00到站，兩站之間的距離是多少千米？ 學生在掌握了速度乘時間等于路程這一模型后，進行變式練習，學生基本能正確解答，說明學生對基本數學模型已經掌握，并能夠從3小時行駛了270千米中找到需要的速度，從11：00至14：00中找到所需時間。雖然兩題敘述不同，但都可以運用同一個數學模型進行解答。掌握了數學模型，學生解答起數學問題來得心應手。綜上所述，數學建模思想的形成過程是一個綜合性的過程，是數學能力和其他各種能力協(xié)同發(fā)展的過程。在數學教學過程中進行數學建模思想的滲透，可以使學生感覺到利用數學建模的思想解決實際問題的妙處，進而對數學產生更大的興趣。這也給我們一些啟發(fā)：在對學生進行模型思想滲透時，要從現(xiàn)實生活出發(fā)，從實物出發(fā)，這樣才可以讓學生更快地接受，更快地理解；在滲透這些思想時，教師首先需站在更高的高度上去考慮；在教學過程中，通 過引導學生處理問題，可以讓學生更快、更有興趣地跟蹤教師的思路。在小學數學教材中，模型無處不在。小學生學習數學知識的過程，實際上就是對一系列數學模型的理解、把握的 過程。在小學數學教學中，重視滲透模型化思想，幫助小學生建立并把握有關的數學模型，有利于學生握住數學的本質。通過建模教學，培養(yǎng)學生應用數學的意識和自主、合作、探索、創(chuàng)新的精神，為學生的終身學習、可持續(xù)發(fā)展奠定基礎。因此在數學課堂教學中，逐步培養(yǎng) 數學解題中的思考 ------分類討論思想的應用 【摘要】解數學問題往往可以有眾多的思想方法，如轉化化歸，數形結合，分類討論，數學建模等等，而在這些思想方法中分類討論是一種重要的數學思想，學習數學的過程經常會遇到分類問題，如數的分類，圖形的分類，代數式的分類等等，在研究數學問題中常常需要通過分類討論解決問題，本文從滲透在教材中的分類思想出發(fā)，結合例題闡述了分類討論的思想，分類的原則，分類討論的應用，從而體現(xiàn)分類討論思想在初中數學解題中的作用和地位。 【關鍵詞】分類討論的思想分類的原則分類討論的應用 數學課程標準明確提出數學思想方法是數學基礎知識的重要組成部分，數學教學中如何挖掘課本中所蘊含的數學思想方法，如何有效的進行數學思想方法教學，如何培養(yǎng)和發(fā)展學生的數學思想已經成為數學教育工作者普遍關注和潛心探索的一項重要課題。在新課程中，分類思想在教材中的體現(xiàn)是豐富多彩的，在整個初中階段很多問題都用了分類的思想，將不同的事物分為不同的種類，尋找它們各自的共同點及內在的規(guī)律性。 一． 分類討論的思想 所謂分類討論就是分別歸類再進行討論的意思，數學中的分類過程就是對事物共性的抽象過程，解題時要使學生體會為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標準，在分類的過程如何認識事物的屬性，如何區(qū)分不同事物的不同屬性，通過多次反復的思考和長時間的積累，使學生逐步感悟分類是一種重要的思想，它體現(xiàn)了化整為零，化零為整與歸類整理的思想，它:揭示著數學事物之間的內在規(guī)律，學會分類有助于學生總結歸納所學的知識，使所學的知識條理化，提高思維的概括性，從而提高分析問題和解決問題的能力。 我們在運用分類討論的思想解決問題時，首先要審清題意，認真分析可能產生的不同因素，進行討論時要確定分類的標準，每一次分類只能按照一個標準來分，不能重復也不能遺漏，另外還要逐一認真解答。我們平時在解決問題時還經常碰到這樣的情況，當問題解答到某一步驟后，需要按一定的標準來分為若干個子問題進行討論，這樣常常可以使問題化繁為簡，更清楚地暴露事物的屬性。 案例1：某服裝廠生產一種西裝和領帶。西裝每套定價200元，領帶每條定價40元，廠方在開展促銷活動期間向顧客提供兩種優(yōu)惠方案。方案一：買一套西裝送一條領帶，方案二：西裝領帶均按定價打9折（兩種優(yōu)惠方案不可同時采用）某店老板要去廠里購買20套西裝和若干條領帶（超過20條）請幫店老板選擇一種較省錢的購買方案？ 分析：因為已知條件中未明確購買領帶的數量，因而較省錢的購買方案也是不確定的，而是由不同的領帶購買數量決定的解：設店老板需購買領帶x條 方案一購買需要付款200×20＋（x－20）×40＝40x＋3200（元） 方案二購買需要付款（200×20＋40x）×0.9＝36x＋3600（元） 假設 y＝(40x＋3200)－(36x＋3600)＝ 4x－400（元） （1）當y＜0時,即20＜x＜100,方案一比方案二省錢 （2）當y＝0時,即x＝100,方案一和方案二同樣省錢 （3）當y＞0時,即x＞100,方案二比方案一省錢 答：當購買領帶超過20條而不到100條時，方案一省錢，當購買領帶等于100條時，兩種方案一樣省錢，當購買領帶超過100條時，方案二省錢 二． 分類的原則 分類討論必須遵循一定的原則進行，在初中階段我們經常用到以下幾個原則 1.同一性原則 分類應該按照同一標準進行，即每次分類不能同時使用幾個不同的分類依據，否則會出現(xiàn)重復的現(xiàn)象，例如有些同學認為三角形可以分為等腰三角形，等邊三角形，銳角三角形，鈍角三角形，直角三角形，這樣的分類是錯誤的，不但以邊來分類而且以角來分類，等腰三角形可以是銳角三角形，鈍角三角形或直角三角形，這樣的分類犯了標準不同的錯誤 2.互斥性原則 分類后的每一個子類應該具備互不相容的原則，即不能出現(xiàn)有一項既屬于這一類又屬于那一類。例如學校舉行運動會，規(guī)定每個學生只能參加一項比賽，初一六班的6名同學報名參加100和200米的賽跑，其中有4人參加100米比賽，3人參加200米比賽，那么就有1人既參加100米又參加200米比賽，這道題目分類的互斥性原則 3.完整性原則 分類后的每一個子類合并起來應該等于總類，否則會出現(xiàn)遺漏的現(xiàn)象。例如某人把實數分為正實數和負實數，這樣的分類是不完整的，因為零也是實數，但是零既不是正實數也不是負實數。 4.多層性原則 分類后的子類還可以繼續(xù)再進一步分類，直到不能再分為止。例如實數可以分為有理數和無理數，有理數可以分為整數和分數，整數可以分為正整數，零和負整數 三． 分類討論的應用 我們用分類討論的思想解決問題的一般步驟是： （1）先明確需討論的事物及討論事物的取值范圍 （2）正確選擇分類的標準，進行合理的分類 （3）逐類討論解決 （4）歸納并作出結論 下面淺談一下分類討論在初中階段的一些簡單的應用： 1.分類討論在應用題中的應用 案例2：學校建花壇余下24米漂亮的小圍欄，經總務部門同意，初一五班的同學準備在自己教室后的空地上建一個一面靠墻，三面利用這些圍欄的花圃，請你設計一下，使花圃的長比寬多3米，求出花圃的面積是多少？ 分析：因為已知條件中并沒有明確長和寬的位置,所以需要對長和寬的位置進行討論 解：(1)假設平行于墻的一邊為長x米，則寬為(x－3)米，依題意可列方程 x＋2(x－3)=24 解方程得x＝10 經檢驗，符合題意 長為10米，寬為7米，面積為70平方米 （2）假設垂直于墻的一邊為長x米，則寬為(x－3)米，依題意可列方程 2x＋(x－3)=24 解方程得x＝9 經檢驗，符合題意 長為9米，寬為6米，面積為54平方米 答：當平行于墻的一邊為花圃的長時花圃的面積是70平方米，當垂直于墻的一邊為花圃的長時花圃的面積是54平方米。 學生在解此類題的錯誤往往是因為不認真審題，沒有弄清已知條件中的各種可能情況 而急于解題所造成，只有審清了題意，全面系統(tǒng)地考慮問題，才可以確定出各種可能情況，解答此類問題就不會造成漏解 2.分類討論在絕對值方程中的應用 關于絕對值的問題，往往要將絕對值符號內的代數式看成一個整體，將這個整體分為正數，負數，零三種，再分別進行討論。 案例3：求方程 ︳x﹢2︳﹢︳3﹣x︳＝ 5的解 分析：本題應該對于代數式 ︳x﹢2︳應分為x＝﹣2,x﹥﹣2,x﹤﹣2，對于︳3﹣x︳應分為x＝3,x﹥3,x﹤3，把上述范圍畫在數軸上可見對這一問題應劃分以下三種情況分別討論 解：①當x≦﹣2時，原方程變?yōu)椹仼vx﹣2﹚﹢3﹣x＝5，解得x＝0與x≦﹣2產生矛盾，故在x﹤﹣2時原方程無解 ②當﹣2﹤x≦3時，原方程為x﹢2﹢3﹣x＝5恒成立，故滿足2﹤x≦3的一切實數x都是此方程的解 ③當x﹥3時，原方程為x﹢2﹣﹙3﹣x﹚＝5，解得x＝3這與x﹥3產生了矛盾，故在x﹥3時原方程無解 綜上所述，原方程的解是滿足2﹤x≦3的一切實數。 3．分類討論在解含有參數問題中的應用 所有含有參數的問題都要進行分類討論，而且要對參數的不同取值范圍分類討論，不能有重復和遺漏。 案例4：若關于x的分式方程x?a3??1無解，求a的值 x?1x 解：方程兩邊同乘以x﹙x﹣1﹚，得﹙x﹣a﹚x﹣3﹙x﹣1﹚＝x﹙x﹣1﹚ 整理得﹙a﹢2﹚x＝3 ①當a﹢2＝0即 a＝﹣2時，方程無解，則原方程也無解 ②當x＝1時方程無解，此時a﹢2＝3，得a＝1 ③當x＝0時方程無解，此時﹙a﹢2﹚×0＝3無解 綜上所述，a的值為1或﹣2 4．分類討論在解幾何題中的應用 分類討論思想在幾何題中有廣泛的應用，在有關點與線的位置關系，直線與直線的位置關系，直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系，等腰三角形等的題目中都需要進行分類討論。案例5：等腰三角形中，有一個角是另一個角的4倍，求等腰三角形的一個底角的度數？ 分析：本題應該分為底角是頂角的4倍和頂角是底角的4倍兩種情況進行討論 解：（1）當一個底角的度數為x度，頂角是4x度時 依題意列方程x﹢x﹢4x＝180解得x＝30，底角等于30度 （2）當一個底角的度數為4x度，頂角是x度時 依題意列方程4x﹢4x﹢x＝180解得x＝20，底角等于80度 綜上所述，等腰三角形的底角為30度或者80度。 5．分類討論在解概率題中的應用 在求簡單事件的概率時，我們通常會用“列表”或者是“畫樹狀圖”的方法來列舉所有機會均等的結果，然后找出該事件所包含的結果，從而求出該事件發(fā)生的概率。事實上“列表”或者是“畫樹狀圖”的方法就是分類討論的思想方法最直接的體現(xiàn)。 案例6：同時拋擲3枚普通的硬幣一次，問得到“兩正一反”的概率是多少 分析：每一個硬幣都有正面和反面，我們可以用畫樹狀圖的方法分析先拋第一枚，再拋第二 枚，最后拋第三枚，可知共有8種機會均等的結果它們是（正正正）（正正反）（正反正）（反正正）（反反正）（反正反）（正反反）（反反反），其中兩正一反的結果有3種，可以求得概率是八分之三。 6．分類討論在解函數題中的應用 分類討論的思想方法貫穿于初中階段學過的所有的函數中，一次函數y＝kx﹢b﹙k≠0﹚要對k，b取值范圍進行分類討論，反比例y= 2k﹙k≠0﹚函數要對k的取值范圍進行分類討論，x二次函數y＝ax﹢bx﹢c﹙a≠0﹚要對a的取值范圍進行分類討論 案例7：求二次函數y＝ax﹢﹙3﹣a﹚x﹢1﹙a≠0﹚與x軸只有一個交點，求a的值與交點坐標 解：①當a＝0時，此函數為一次函數y＝3x﹢1與x軸只有一個交點，交點坐標是（－21，0）3 2②當a≠0時，此函數是二次函數，因二次函數與x軸只能有一個交點則判別式為零﹙3﹣a）﹣4a ＝ 0 解得a＝1或a＝9 當a＝1時,與x軸的交點坐標是（﹣1，0） 當a＝9時,與x軸的交點坐標是（【結語】分類討論思想的應用非常廣泛，涉及到初中的全部知識點，這里不能一一列舉出來，分類討論思想的關鍵是分清引起分類的原因，明確分類討論的事物和標準，按可能出現(xiàn)的所有情況做出準確分類，再分門別類加以求解，最后將各類結論綜合歸納，得出正確答案。數學中的分類思想是一種比較重要的數學思想，通過加強數學分類思想的訓練，有利于提高學生對學習數學興趣，培養(yǎng)學生思維的條理性，縝密性，科學性，這種優(yōu)良的思維品質對學生的未來必將產生深刻和久遠的影響。 參考文獻： （1）2011年版義務教育數學課程標準 （2）任百花：初中數學思想方法教學研究 （3）江國安：初中數學綜合題的教學探索 （4）趙峰：淺談分類討論思想在解題中的應用 （5）王奎文：增強中學生的數學應用意識 1，0）3第二篇：極限思想在解題中的應用
第三篇：函數和不等式思想在極值點偏移問題中的應用
第四篇：模型思想在小學數學教學中滲透
第五篇：分類討論思想在解數學題中的應用
點擊咨詢 