第一篇：高中數(shù)學(xué)解題方法談：淺談分析法在解題中的應(yīng)用

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淺談分析法在解題中的應(yīng)用

分析法是數(shù)學(xué)中常用到的一種直接證明的方法，從推理的程序上來講，它是一種從未知到已知（從結(jié)論到題設(shè)）的邏輯推理方法，具體說，就是先假定問題的結(jié)論成立，再利用公理、定義、定理和公式，經(jīng)過正確的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊徊讲降赝评?，最后得到一個顯然成立的關(guān)系，即已證的命題或題設(shè)的已知條件，從而判定問題的結(jié)論成立。分析法的應(yīng)用較廣，通常在幾何、三角、不等式的證明中經(jīng)常采用。舉例說明。

例1下面是真命題還是假命題，用分析法證明你的結(jié)論。命題：若a?b?c且a?b?c?0，則

解：此命題是真命題。

因為a?b?c?0,a?b?c，?a?0,c?0。b?aca2?3。

要證b?ac

a

22?3成立，只要證b?ac?23a，22即證b?ac?3a，也就是證(a?c)?ac?3a，2即證(a?c)(2a?c)?0

因為a?c?0,2a?c?(a?c)?a?b?a?0

所以(a?c)(2a?c)?0成立。

故原不等式成立。

評注：應(yīng)用分析法證題時，語氣總是假定的，通常的語氣有：“若要證明A，則先證明B；若要證明B，則先證明C，……”或“若要A成立，必先B成立；若要B成立，必先C成立，……”。值得注意的是，在證明過程中從一個命題推到下一個命題時，必須注意它們之間的等效性。

例2求證：當(dāng)一個圓和一個正方形的周長相等時，圓的面積比正方形的面積大。

證明：設(shè)圓正方形的周長為l，則圓的面積為?（因此，本題只須證明：?(l22)?()。2?4l22)，正方形的面積為()。2?4ll

為了證明上式成立，只須證明：

4l2??l4?22?l216，兩邊同乘以正數(shù)，得1??

14。

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因此，只須證明4??。因為上式是成立的，所以?(l22)?()。2?4l

這就證明了如果一個圓和一個正方形的周長相等，那么圓的面積比正方形的面積大。例3已知?、??k???

2(k?Z)，且

sin??cos??2sin?①

sin??cos??sin2?② 1?tan2?1?tan

2求證：1?tan2???

2(1?tan2?。)

證明：因為(sin??cos?)2?2sin?cos??1,所以將①、②兩式代入上式，得：4sin2??2sin2??1

1?tan2?2

另一方面，要證?

1?tan2??1?tan，2(1?tan2?)

sin2

1?sin2?1??

cos2?cos2

即證?

sin2，1?sin2??

cos2?2(1??

cos2?)

即證cos2??sin2??1

2(cos2??sin2?)，即證1?2sin2??1

2(1?2sin2?)，即證4sin2??2sin2??1，由于上式與③式相同，于是問題得證。

③

第二篇：談分類討論方法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

談分類討論方法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

【摘要】分類討論是貫穿整個中學(xué)數(shù)學(xué)的一種重要的解題方法，是對問題進(jìn)行局部攻堅，再突破全局的解題策略。

【關(guān)鍵詞】分類討論；方法；解題；應(yīng)用

【中圖分類號】g623.5【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】a【文章編號】2095-3089（2012）12-0248-02

分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，幾乎涉及中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的各個部分，不僅在探索解題思路方面有著重要作用，而且在提高學(xué)生的素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)方面也有重要的作用。分類討論是在“合中分，分中合”的辯證思想指導(dǎo)下，運用各種數(shù)學(xué)手段，吧整體化為局部，把復(fù)雜問題化為簡單問題，以便“分而治之”、“各個擊破” 也就是是對問題進(jìn)行局部攻堅，再突破全局的解題方法或策略。

第三篇：分析法在立體幾何問題中應(yīng)用

分析法在立體幾何問題中應(yīng)用

立體幾何在高中是一個難點，特別是添輔助線，讓很多同學(xué)無從下手.雖然證明題的思路是非常明確的，比如要證明線面平行，只要在平面中找到一條直線與已知直線平行即可；要證明兩條異面直線垂直，只要構(gòu)造一個包含其中一條直線的平面與另一條直線垂直即可，但是如何去尋找所需要的直線與平面呢？幸好空間向量的引入，使得立體幾何也可以轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題進(jìn)行計算，不需要添加輔助線，只要能建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計算即可解決立體幾何的問題.但事與愿違，那些沒有數(shù)量關(guān)系的幾何問題不可能利用空間向量來解決，因此如何添加輔助線的可操作性的方法便呼之欲出.接下來，利用分析法討論兩類問題：如何添加輔助線和建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系.一、分析法解決輔助線問題

例1 在正方體ABCD?A1B1C1D1中，求證：B1D?平面ACD1.分析：要證明B1D?平面ACD1，只要證明B1D垂直于平面ACD1內(nèi)的兩條相交直線.利用分析法，可以將B1D?平面ACD1看成是已知條件，則根據(jù)線面垂直的定義，有B1D垂直于平面ACD1內(nèi)的所有直線，所以只要選取其中的兩條來證明即可.接下來問題就轉(zhuǎn)化成為證明B1D?AC和B1D?CD1，即兩條異面直線垂直，常用的方法就是構(gòu)造線面垂直.先來證明B1D?AC.利用分析法，B1D?AC可以看成是已知條件，由于A、C、D處于下底面，只要過D有一條垂直垂直于AC的直線即可，因為底面是一個正方形，故對角線互相垂直，所以只要連接BD，就應(yīng)有AC?平面BB1D.這樣問題就轉(zhuǎn)化為證明AC?平面

BB1D.由于AC?BD,AC?B1B，即可證明.然后同理可證B1D?CD1.證明過程略.A

D1 C

1B1

A1

D

C

B

評注：其實這個題，如果用三垂線定理，應(yīng)該是比較容易想到連接BD，因為BD是B1D在下表面內(nèi)的射影。但由于課改后，在必修2中對三垂線定理只字不提，增大了此類題目的難度.類似地，《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書》（人教版）數(shù)學(xué)必修2的73頁上有這樣一個探究題：如圖，直四棱柱ABCD?ABCD（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形ABCD滿足什么條件時，AC?BD?

'

'

'

'

'

'

'

'

'B

D

B

分析：連接A'C'，只要A'C'?B'D'，就有A'C?B'D'.C

例2 如圖，ABCD是平行四邊形，S是平面ABCD外一點，M為SC的中點.求證：SA//平面MDB.S

M

D C

A

B

分析：要證明SA//平面MDB，只要在平面MDB中找到一條直線與SA平行.利用分析法，可以將SA//平面MDB看成已知條件，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，過SA的平面只要與平面MDB相交，則SA與交線平行.題目中包含SA有兩個平面只有平面SAB和平面SAD，而這兩個平面與平面MDB的交線在這個幾何體的外面，不太好找.我們可以改變策略，在四棱錐中構(gòu)作一個包含SA的平面.根據(jù)確定平面的公理2的推論：一條直線和直線外一點可以唯一確定一個平面，我們選取點C，連接AC交BD于O，構(gòu)作平面SAC，它與平面MDB的交線是OM，故只要證明SA//OM.由于底面是平行四邊形，M是SC的中點，易得

SA//OM.證明過程略.評注：由于線面平行的話，直線上所有點到平面的距離相等，而且垂直于同一個平面的兩條直線平行，兩條平行直線也可確定一個平面，有時也利用平行四邊形構(gòu)作平面.如下題.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M、N分別是A1B、AC上的點，A1M?AN.求證：MN//平面BB1C1C.二、分析法建立空間直角坐標(biāo)系

利用空間向量解決立體幾何問題有著無比的優(yōu)越性，因此逐漸成為高考的熱點之一.新課改也處處體現(xiàn)向量方法的重要性.在必修2的最后一章，介紹了空間直角坐標(biāo)系，重點要求掌握空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)的確定，以及空間向量的模長，從而掌握空間向量的數(shù)量積來解決長度與角度的問題.而空間直角坐標(biāo)系是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的關(guān)鍵，所以如何建立空間直角坐標(biāo)系就顯得猶為重要.接下來，利用分析法談?wù)劷⒖臻g直角坐標(biāo)系的問題.例3 四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC?底面ABCD，已知?ABC?45?，AB?

2，BC?

SA?SB?

（1）求證：SA?BC；

（2）求直線SD與平面SAB所成角的大小.S

C

B

D

A

分析：要建立空間直角坐標(biāo)系，最好有一個線面垂直.先來分析下底面，由于下底面是?ABC?45?的平行四邊形，且AB?

2，BC?故連接AC，有?ABC是已?CAB為直角的等腰直角三角形.取BC的中點為O，連接AO，則AO?BC

.利用分析法，將SA?BC看成已知條件，所以應(yīng)有BC?平面SAO，則SO?BC.因為側(cè)面SBC?底面ABCD，根據(jù)面面垂直的定義，有SO?底面ABCD.故可取O為原點，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，OS所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.證明過程略.附：分析法得到意想不到的結(jié)果

1.設(shè)a,b,c都為正數(shù)，求證：abc?(a?b?c)(b?c?a)(c?a?b).分析：由于a,b,c都為正數(shù)，當(dāng)a?b?c?0,b?c?a?0,c?a?b?0時，可以將a,b,c看成是三角形的三邊.由不等式的右邊聯(lián)想到海倫公式，有

abc(a?b?c)?(a?b?c)(b?c?a)(c?a?b)(a?b?c)?16S

abca?b?c?16?r()

4R2

得R?2r（其中R,r分別為三角形的外接圓與內(nèi)切圓的圓心）2.在數(shù)列{an}中，已知an?ln2.解Sn?ln下先證明ln

12?ln1

23?ln1

nn?1，Sn是{an}的前n項和，求證：Sn?

n

1n

.???ln

12n1

?ln(??)?ln，n?123n?1n?11，只證lnx?x，令f(x)?lnx?x(0?x?1)，n?1n?1n?111?x

?0，又0?x?1，得f?(x)?0，∴f(x)為增函數(shù)，則f?(x)??1?

xx

?，令x?

得f(x)?f(1)?ln1?1??1?0，即lnx?x?0，有l(wèi)nx?x，于是ln

1n?1

?

1n?1

?

1n

.3.設(shè)函數(shù)f(x)?lnx?px?1(p?R)，（1）求f(x)極值點；

（2）當(dāng)p?0時，若對于任意的x?0，恒有f(x)?0，求p的取值范圍；（3）證明：當(dāng)n?N，n?2時，ln22

?

ln33

???

lnnn

?

2n?n?12(n?1)。

解：（1）f(x)的定義域為(0,??)。當(dāng)p?0時，f?(x)?

1x

?p?0，f(x)在其定義域上是增函數(shù)，故沒有極值點。

當(dāng)p?0時，若x?(0,)，則f?(x)?

p1p

11?pxx

?0

；若x?(,??)，則f?(x)?

p

11?pxx

?0，于

是f(x)有極小值點x?。

1p

（2）由（1）知，p?0時，f(x)有極小值點f()?ln

p

1p，由于f(x)在其定義域上只

1p

有一個極值點，因此f(x)的最大值為f()?ln

p

。所以f(x)?0?ln?0?p?1。

1x

（3）由（2）知，當(dāng)p?1，x?0時，f(x)?0?lnx?x?1?

于是

ln22

lnxx

?1?。

?

ln33

???

lnnn

?(1?

12)?(1?

13)???(1?

1n

1n)

?(n?1)?(又當(dāng)n?N，n?2時，12

?

???)。

1n

?

?

1(n?1)n

13?14

?

1n

?

1n?1

1n131，于是

1n?1)?1n

?

???

1n

?（12

13)?()???（12

?

12)

?

1n?1，∴

ln22

?

ln33

???

lnnn

?(n?1)?(????

?(n?1)?(?

n?1)?

2n?n?12(n?1)，即

ln22

?

ln33

???

lnnn

?

2n?n?12(n?1)。

評析：導(dǎo)數(shù)進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)后，為中學(xué)不等式證明提供了一個強大工具。正因為如此，通過構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)證明不等式已成為高考數(shù)學(xué)試題中一道亮麗的風(fēng)景線。本題第（2）問實際上已經(jīng)作出暗示，對比待證不等證式與第（2）問所得結(jié)論，證明思路自然生成。

第四篇：高中數(shù)學(xué)解題方法名錄

第一篇 數(shù)學(xué)具體解題方法 代入法

直接法

定義法

向量坐標(biāo)法

查字典法

擋板模型法

等差中項法

逆向化法

極限化法

整體化法

參數(shù)法

交軌法

幾何法

弦中點軌跡求

比較法

基本不等式法

以題攻題法

綜合法

分析法

放縮法

反證法

換元法

構(gòu)造法

數(shù)學(xué)歸納法

配方法

判別式法

序軸標(biāo)根法

函數(shù)與方程思想

整體思想

比較法綜合法向量平行法篩選法（排除法）向量垂直法數(shù)形結(jié)合法同一法特殊值法累加法 回代法（驗證法）累乘法特殊圖形法倒序相加法 分類法分組法運算轉(zhuǎn)換法公式法結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換法錯位相減法 割補轉(zhuǎn)換法裂項法導(dǎo)數(shù)法迭代法象限分析法角的變換法補集法公式的變形及逆距離法用法變更主元法降冪法差異分析法升冪法反例法“1”的代換法閱讀理解法引入輔助角法信息遷移法三角函數(shù)線法類比聯(lián)想法構(gòu)造對偶式法抽象概括法構(gòu)造三角形法邏輯推理法估算法等價轉(zhuǎn)化法 待定系數(shù)法根的分布法特殊優(yōu)先法分離參數(shù)法先選后排法抽簽法捆綁法隨機(jī)數(shù)表法插空法間接法數(shù)形結(jié)合思想第二篇 數(shù)學(xué)思想方法分類討論思想化歸轉(zhuǎn)化 第三篇分析法數(shù)學(xué)邏輯方法 反證法歸納法抽象與概括法思想類比法

第五篇：法向量在立體幾何解題中的應(yīng)用

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法向量在立體幾何解題中的應(yīng)用

作者：魏慶鼎

來源：《理科考試研究·高中》2013年第08期

高中數(shù)學(xué)教材引進(jìn)了向量知識以后，為我們解決數(shù)學(xué)問題提供了一套全新的方法——向量法.向量法在解決求立幾中的角和距離兩大問題中，是行之有效的方法，它解決了以前舊版教材立幾中的這兩個難點.在舊版教材中，運用幾何法解決這兩類問題，要通過“作”、“證”、“求”，既要有較強的空間想象能力，又要求學(xué)生對空間中，線、面之間的判定、性質(zhì)等定理非常熟悉并能熟練應(yīng)用，對學(xué)生，特別是中下水平的學(xué)生是一大難點.而現(xiàn)在向量法則很好解決了這個難點，所以它對人們研究立幾問題有著普及的意義.同時向量法對立幾中的線面平行和線面垂直、面面垂直和面面平行等位置關(guān)系的證明，也非常簡便.空間向量的引入使立體幾何的解題變得直觀、易懂.而“法向量”的靈活應(yīng)用，給解決空間問題提供了一個很方便、實用的工具，會使我們在高考中快捷地解決立體幾何問題.以下是本人在教學(xué)過程中總結(jié)出來的關(guān)于“法向量”在立體幾何中的一些應(yīng)用.現(xiàn)把教學(xué)中得到的這些方法進(jìn)行歸類，供同行參考.4.用法向量求二面角平面角的大小

求二面角的平面角的大小可先求出兩個平面的法向量；則兩法向量的夾角與二面角的平面角相等或互補.此時，觀察二面角的平面角為銳角還是鈍角，視情況而定.（注：在證明面面平行或面面垂直時，也可采用此法.如兩面的法向量共線，即兩平面平行；如兩平面的法向量垂直，即兩平面垂直）從以上的一些例題中，我們不難看出“法向量”這一特殊工具在立體幾何的解題中的優(yōu)越性.但在具體做題中，我們還應(yīng)對不同的題型選擇更便捷的方法去做，視自己對知識掌握的情況而定.