第一篇：例說不等式在解幾何題中的應(yīng)用.doc

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例說不等式在解幾何題中的應(yīng)用 作者：徐 塌

來源：《發(fā)明與創(chuàng)新(學(xué)生版)》2006年第08期

第二篇：解剖學(xué)在幾何證明題中的應(yīng)用

“解剖學(xué)”在幾何證明題中的應(yīng)用

咸安區(qū)白鶴中學(xué)游明勇

幾何的正面，是學(xué)生感到很難的一部分內(nèi)容。它需把定理與圖形

靈活地結(jié)合起來，一些簡(jiǎn)單的幾何圖形，孩比較容易找到切入點(diǎn)，但

對(duì)一些組合圖形，或圖形中的線，圖形較多時(shí)，我就采取“解剖學(xué)”

中的方法，把圖形先提出來，分析探究有關(guān)結(jié)論，再放進(jìn)去，把不熟

悉的圖形，變成成熟的，學(xué)生就很容易找到切入點(diǎn)。

案例1》：如圖,?O1與?O2外切于P，AB切?O1于A，切?O2于

B，R1=4,R2=2，求AB的長(zhǎng)。

老師提出問題：怎樣求AB的長(zhǎng)呢？請(qǐng)學(xué)生邊讀題邊結(jié)合圖形，你能讀出哪些結(jié)論？有哪些輔助線？

生：（1）點(diǎn)O1,P,O2三點(diǎn)共線。

（2）連O1A,O2B 輔助線。

師：試連線，結(jié)合題中已知，你能得到哪些線段長(zhǎng)？

生：O1O2=6,AO1=4,BO2=

2結(jié)合題中問題，觀察思考：題中怎樣求線的AB的長(zhǎng)？讓學(xué)生自己動(dòng)

手做后，老師再用另一種思路解:AB師：請(qǐng)把圖中點(diǎn)A,B,O1,O2四點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圖形

4提出來，結(jié)合初二基本圖形，你有所發(fā)現(xiàn)。O1 6

生：它就是：初二梯形中，已知上、下底長(zhǎng)—腰長(zhǎng)，求另一腰長(zhǎng)。

反思：歸納：這樣，在幾何題證明中，避免其它線對(duì)思維的影響，可O2

適當(dāng)?shù)匕巡糠謭D像從原題中提出來進(jìn)行分析，得出結(jié)論，還放回原題

進(jìn)行解答。

案例2>：如圖，?O1與?O2都經(jīng)過A, B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線CD

與?O1交于C，與?O2交于D，過點(diǎn)B的直線EF與?O1交與E，交?

M

E?圖（1）N（1）求證：CE//DF.（2）在圖（1）中，若CD與EF可以繞點(diǎn)A, B 轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)

E重合時(shí)，過點(diǎn)E作直線MN//DF。判斷直線MN與?O1的位

置關(guān)系，并證明你的結(jié)論。與?O2師：案例（1）中靈活應(yīng)用，把題中部分“器官”提出來，進(jìn)行分析，然后再放進(jìn)去，你能用上述方法對(duì)案例（2）中第1小題進(jìn)行分析嗎？

試試看。

生：抓住兩圓相交的基本輔助線，在不同圓中分別進(jìn)行剖析，應(yīng)用圓

內(nèi)接四邊形性質(zhì)，和平行線的判定方法，易證。CA

師：對(duì)于第（2）小題，圖形變了，已知，結(jié)論也有所改變：你能用

以上“解剖”的方法，把它們分開分拆，提出來，再放進(jìn)去找聯(lián)系嗎？

生：可作如圖分解 ：

在圖（b）中可證：

再在圖（a）中，就是已知< ABE=

師生反思：因此，在幾何證明題中，當(dāng)圖中的線較多或圖形較復(fù)雜時(shí)，可以使當(dāng)?shù)匕巡糠謭D形提出來，單個(gè)研究，防止，其他圖對(duì)思維的影

響，阻礙了思維的發(fā)展。因此，使當(dāng)?shù)夭扇　敖馄实姆椒ā?，化難為

易，化繁為簡(jiǎn)，化不熟悉為常規(guī)，采取“各個(gè)擊破”的思想，大大降

低了解題的難度，改變了大部分學(xué)生認(rèn)為幾何難學(xué)的思想，在某一定

程度上，激發(fā)了學(xué)生求學(xué)的興趣。

第三篇：法向量在立體幾何解題中的應(yīng)用

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法向量在立體幾何解題中的應(yīng)用

作者：魏慶鼎

來源：《理科考試研究·高中》2013年第08期

高中數(shù)學(xué)教材引進(jìn)了向量知識(shí)以后，為我們解決數(shù)學(xué)問題提供了一套全新的方法——向量法.向量法在解決求立幾中的角和距離兩大問題中，是行之有效的方法，它解決了以前舊版教材立幾中的這兩個(gè)難點(diǎn).在舊版教材中，運(yùn)用幾何法解決這兩類問題，要通過“作”、“證”、“求”，既要有較強(qiáng)的空間想象能力，又要求學(xué)生對(duì)空間中，線、面之間的判定、性質(zhì)等定理非常熟悉并能熟練應(yīng)用，對(duì)學(xué)生，特別是中下水平的學(xué)生是一大難點(diǎn).而現(xiàn)在向量法則很好解決了這個(gè)難點(diǎn)，所以它對(duì)人們研究立幾問題有著普及的意義.同時(shí)向量法對(duì)立幾中的線面平行和線面垂直、面面垂直和面面平行等位置關(guān)系的證明，也非常簡(jiǎn)便.空間向量的引入使立體幾何的解題變得直觀、易懂.而“法向量”的靈活應(yīng)用，給解決空間問題提供了一個(gè)很方便、實(shí)用的工具，會(huì)使我們?cè)诟呖贾锌旖莸亟鉀Q立體幾何問題.以下是本人在教學(xué)過程中總結(jié)出來的關(guān)于“法向量”在立體幾何中的一些應(yīng)用.現(xiàn)把教學(xué)中得到的這些方法進(jìn)行歸類，供同行參考.4.用法向量求二面角平面角的大小

求二面角的平面角的大小可先求出兩個(gè)平面的法向量；則兩法向量的夾角與二面角的平面角相等或互補(bǔ).此時(shí)，觀察二面角的平面角為銳角還是鈍角，視情況而定.（注：在證明面面平行或面面垂直時(shí)，也可采用此法.如兩面的法向量共線，即兩平面平行；如兩平面的法向量垂直，即兩平面垂直）從以上的一些例題中，我們不難看出“法向量”這一特殊工具在立體幾何的解題中的優(yōu)越性.但在具體做題中，我們還應(yīng)對(duì)不同的題型選擇更便捷的方法去做，視自己對(duì)知識(shí)掌握的情況而定.

第四篇：極限思想在解題中的應(yīng)用

Email:hb_yuerf@sohu.com個(gè)人簡(jiǎn)介：岳儒芳畢業(yè)于河北師范大學(xué)中學(xué)一級(jí)教師教育碩士

極限思想在解題中的應(yīng)用

河北省石家莊市第十九中學(xué)岳儒芳

數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可以是特殊的或一般的，可以是具體的或抽象的，可以是靜止的或運(yùn)動(dòng)的，可以是有限的或無(wú)限的，它們之間都是矛盾的對(duì)立統(tǒng)一．正是由于對(duì)象之間的對(duì)立統(tǒng)一，為我們解決這些對(duì)立統(tǒng)一事物提供了研究的方法．有限與無(wú)限相比，有限顯得具體，無(wú)限顯得抽象，對(duì)有限的研究往往先于對(duì)無(wú)限的研究，對(duì)有限個(gè)對(duì)象的研究往往有章法可循，并積累了一定的經(jīng)驗(yàn)．而對(duì)于無(wú)限個(gè)對(duì)象的研究，卻往往不知如何下手，顯得經(jīng)驗(yàn)不足．于是將對(duì)無(wú)限的研究就轉(zhuǎn)化成對(duì)有限的研究，就成了解決無(wú)限問題的畢經(jīng)之路．反之當(dāng)積累了解決無(wú)限問題的經(jīng)驗(yàn)之后，可以將有限問題轉(zhuǎn)化成無(wú)限問題來解決．這種無(wú)限化有限，有限化無(wú)限的解決數(shù)學(xué)問題的方法就是有限與無(wú)限的思想．

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，雖然開始學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)都是有限的數(shù)學(xué)，但其中也包含有無(wú)限的成分，只不過沒有進(jìn)行深入的研究．在學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)及其運(yùn)算的過程中，對(duì)自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)都是研究有限個(gè)數(shù)的運(yùn)算，但實(shí)際上各數(shù)集內(nèi)元素的個(gè)數(shù)都是無(wú)限的，以上數(shù)集都是無(wú)限集．對(duì)圖形的研究，知道直線和平面都是可以無(wú)限延展的．在解析幾何中，還學(xué)習(xí)過拋物線的漸進(jìn)線，已經(jīng)開始有極限的思想體現(xiàn)在其中．學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限和函數(shù)的極限之后，使中學(xué)階段對(duì)無(wú)限的研究又上了一個(gè)新臺(tái)階，集中體現(xiàn)了有限和無(wú)限的數(shù)學(xué)思想．使用極限的思想解決數(shù)學(xué)問題，比較明顯的是立體幾何中求球的體積和表面積，采用無(wú)限分割的方法來解決．實(shí)際上先進(jìn)行有限次分割，然后再求和，求極限，我們認(rèn)為，這是典型的有限與無(wú)限數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．

函數(shù)是對(duì)運(yùn)動(dòng)變化的動(dòng)態(tài)事物的描述，體現(xiàn)了變量數(shù)學(xué)在研究客觀事物中的重要作用．導(dǎo)數(shù)是對(duì)事物變化快慢的一種描述，并由此可進(jìn)一步處理和解決函數(shù)的增減、極大、極小、最大、最小等實(shí)際問題，是研究客觀事物變化率和最優(yōu)化問題的有力工具．通過學(xué)習(xí)和考查，可以體驗(yàn)研究和處理不同對(duì)象所用的不同數(shù)學(xué)概念和相關(guān)理論以及變量數(shù)學(xué)的力量．

例1．函數(shù)y?log2x?logx(2x)的值域是（）

（A）(??,?1]（B）[3,??)（C）[?1,3]（D）(??,?1]?[3,??)

【分析】選D．

法1:用極限的思想．∵函數(shù)定義域?yàn)閧x|x

當(dāng)x?

12?0且x?1}．當(dāng)x???時(shí)，y???，∴可排除B，C； 時(shí)，y??1，∴可排除A．故選D．

?log2x?1

log2x?1法2:函數(shù)變形為y

求出．

例2．過拋物線y

p，設(shè)t?log2x,則t?0，再作出“對(duì)勾”函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合即可?ax2(a?0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長(zhǎng)分別是 和q，則

1p?1

q等于（）

2a（A）4a（B）

【分析】選A．（C）2a（D）4a

（法1）取a?2（不可取a?1,否則，A，D兩項(xiàng)的值均等于4），得焦點(diǎn)F(0,的直線PQ∥x軸，易知p

?q?

14,1p?1q

?8?4?

218)，過F再作特殊位置，故選A．（選擇圖形的某一個(gè)特殊位置，可得到相關(guān)的數(shù)

或式的特殊關(guān)系，而特殊位置圖形的選擇往往又與選取適當(dāng)?shù)奶厥庵岛吞厥恻c(diǎn)有關(guān)．）

（法2）用極限的思想即：畫出圖形，使PQ繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P與點(diǎn)O重合即可求出． 例3．設(shè)A1、A2是橢圓

A2P

2x

9?

y

?

1的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點(diǎn)，則直線A1P1與

交點(diǎn)的軌跡方程為（）（A）

x

9?

y

?

1（B）

y

?

x

?1

（C）

x

?

y

?1

（D）

y

?

x

?1

【分析】選C．（法1）設(shè)p1(3cos?,2sin?),P2(3osc

?,?2nis?)，由橢圓得A1(?3,0),?

A2(3,0)，直線A1P1為y?

?

3tan

?

2x?2tan

?2，直線A2P2為y

?

cot

?

x?2cot

?

3(cot?tan?tan

?)?，∴交點(diǎn)M中，x

?

cot

3cos?

2tan

?

?,y?

2?2tan??2tan?

cos?2，∴（x3)

?（y2)

?sec

??tan

??1,即

x

?

y

?1

．選C．

?0

(法2)利用極限的思想即當(dāng)P1P2恰是短軸的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，則兩直線無(wú)交點(diǎn)，即說明當(dāng)x曲線方程無(wú)解．結(jié)合選項(xiàng)可判斷選C．

例4．直三棱柱ABC

B?APQC

?A1B1C1的體積為V

時(shí)，所求的，P、Q分別為側(cè)棱AA?,CC?上的點(diǎn)，且AP

A

1?C?Q，則四棱錐

C1的體積是（）

12V

B1

（A）（B）

3V

（C）

4V

（D）

5V

P

Q

【分析】選B．

（法1）用極限的思想，即令點(diǎn)P與點(diǎn)A1重合，點(diǎn)Q與C重合，則四棱錐

B?APQC

A

B

C

就變成三棱錐B?

APQ，再根據(jù)等體積法VB?APQ

?VP?ABC

即可求出．

（法2）可分別取AA?,CC?的中點(diǎn)P，Q，同時(shí)令三棱柱中所有棱長(zhǎng)為2，很容易就可算出．

例

5、已知1?分析：令x

x?10，則(lgx)2,lgx2,lg(lg

?1，lgx

x)的大小關(guān)系為___________．

x)?0

?10，則(lgx)

2?2，lg(lg，?大小關(guān)系為

lg(lgx)?(lgx)

?lgx

．

例6、2005年10月15日，我國(guó)成功發(fā)射神州五號(hào)載人航天飛船，若飛船的運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，且其近地點(diǎn)距離地面為m千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面n千米，則該飛船運(yùn)行軌道的短軸長(zhǎng)為（）[已知地球半徑為R千米]

（A）

(m?R)(n?R)

（B）

2(m?R)(n?R)

（C）mn（D）2mn

分析：選B．

考慮問題的極限情形，m

而將m

?n?0,?n?0,則符合題意的橢圓表現(xiàn)為圓，于是軌道的短軸長(zhǎng)表現(xiàn)為圓的直徑2R，代入各選擇分支，僅有B適合，于是正確答案只能是B．

例

7、設(shè)n為自然數(shù)，求證不等式

19?125

???

1(2n?1)

?

．

時(shí)，不等式右邊是一個(gè)常量，而左邊從k變?yōu)?/p>

許多學(xué)生會(huì)利用數(shù)學(xué)歸納法證明，但是，當(dāng)證明n

k?1

?k?1

時(shí)卻在不斷增大，證明難度較大．然而，把

1(2n?1)

1(2n?1)1（看成數(shù)列{an}，則上述不等式可轉(zhuǎn)化為數(shù)列求和，?

12n?119?125)

因此想到利用數(shù)列極限進(jìn)行求解．因?yàn)?/p>

12(1?

13?13?15???

12n?1

?

12n?1)

?

22n?1，所以有下式：

???

1(2n?1)

1912

?

125lim

???

1(2n?1)

?，兩邊同時(shí)取極限，則

lim[

n???

]?

2n2n?1

?

．

n???

在上例中，將不等式的項(xiàng)與數(shù)列相聯(lián)系，用極限求和的方法為解決不等式證明問題拓寬了思路，簡(jiǎn)便了計(jì)算過程．另外，極限思想與特殊化原則的結(jié)合，可對(duì)某些較復(fù)雜的問題極端化處理，使解題過程化難為易．因此，教師應(yīng)該在課堂教學(xué)中幫助學(xué)生歸納和總結(jié)極限思想在解題中的運(yùn)用，但不能把對(duì)極限的運(yùn)用局限在解微積分的題目中，應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，通過極限思想，能有效地將數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容系統(tǒng)地聯(lián)系起來，有利于學(xué)生從整體上把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)．

高考中對(duì)有限與無(wú)限的考查才剛剛起步，并且往往是在考查其他數(shù)學(xué)思想和方法的過程中同時(shí)考查有限與無(wú)限的思想．例如，在使用由特殊到一般的歸納思想時(shí)，含有有限與無(wú)限的思想；在使用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，解決的是無(wú)限的問題，體現(xiàn)的是有限與無(wú)限的思想，等等．隨著高中課程的改革，對(duì)新增內(nèi)容的考查在逐步深入，必將加強(qiáng)對(duì)有限與無(wú)限思想的考查，設(shè)計(jì)出重點(diǎn)體現(xiàn)有限與無(wú)限思想的新穎試題．

第五篇：(no.1)2013年高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 柯西不等式在解題中的幾點(diǎn)應(yīng)用 新人教版

知識(shí)改變命運(yùn)

百度提升自我

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僅供參考

柯西不等式在解題中的幾點(diǎn)應(yīng)用

摘要：本文利用怎樣運(yùn)用柯西不等式解題的技巧，介紹了柯西不等式在解等式、不等式、極值、三角問題等方面的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：柯西不等式、技巧、應(yīng)用

一、引言

人民教育出版社高中《代數(shù)》下冊(cè)“不等式”一章的習(xí)題中有這樣一道題（P、15練習(xí)第2題）： 求證：ac+bd?a2?b2*c?d22這題用比較法是很容易證明的，這里用比值的方法來證明。

證明：當(dāng)a=b=c(或c=d=0)時(shí)，顯然成立； 假設(shè)a+b?0 且c+dac?bda22222?0,則

ac?bda2?b2*acc2?d2?

2?b2*bdc?d2=a2?c2

cd2?ba22*?d222a2?b222*?d2=a2?b2*cc2?d?ba222?b*c2

?? ???d221?ac??2?2?22?a?bc?d222?1?bd????2??a2?b22c?d??2=1 故ac+bd?ac?bd?ac?bd?a2?b2*c2?d2

(1)式就是著名的柯西不等式的一個(gè)簡(jiǎn)單特例。

柯西不等式的一般形式為：

對(duì)任意的實(shí)數(shù)a1,a2,?,an及b1,b2,?,bn有

n?n??n2??2???aibi????ai???bi?,?i?1i??i?1??i?1?2

(2)nnn或?i?1aibi??i?1ai*2?bi?12i,(3)其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1b1?a2b2???anbn時(shí)成立（當(dāng)bk?0時(shí)，認(rèn)為ak?0,1?k?n).柯西不等式有許多證明方法，這里就不作證明，僅就如何利用柯西不等式解題作一些介紹。

一、柯西不等式在解題中的應(yīng)用

用心 愛心 專心

知識(shí)改變命運(yùn)

百度提升自我

1、利用柯西不等式證明恒等式 利用柯西不等式來證明恒等式，主要是利用其取等號(hào)的充分必要條件來達(dá)到目的，或者是利用柯西不等式進(jìn)行夾逼的方法獲證。

例、已知a1?b2?b1?a2?1,求證：a2?b2?1。

證明：由柯西不等式，得

a1?b2?b1?a2?a?2?1?a2?2???b2?1?b?2???1

當(dāng)且僅當(dāng)b1?a2?1?ba2時(shí)，上式取等號(hào)，?ab?ab221?a2?1?b，2?1?a2?2??1?b?，?1。于是 a?b22、利用柯西不等式解無(wú)理方程（或方程組）用柯西不等式解無(wú)理方程，是先把方程的（含有無(wú)理式的）運(yùn)用柯西不等式化為不等式，然后結(jié)合原方程把不等式又化成等式，在判定為等式后再利用柯西不等式取等號(hào)的特性，得到與原方程同解的且比原方程簡(jiǎn)單的無(wú)理方程，進(jìn)而得到簡(jiǎn)單的整式方程，從而求得原方程的解。

例：解方程

x2?1x2??x1x1x22?1??21?x?1?22?2?1x?x?1?。

解：?x2???x?1??1?x?1?22

= x?2?1?x?1?2??x?1?

由柯西不等式知

x2?x1x2?1?x?1?2??x?1?2

?x?1x??x?1x即

用心 愛心 專心 2

知識(shí)改變命運(yùn)

百度提升自我

x2?1x2?1(x?1)2?(x?1)2?2?,x(x?1)

1?x2?1x12?(x?1)2?1(x?1)2

?2?x(x?1)1x(x?1)2當(dāng)上式取等號(hào)時(shí)有x(x?1)?成立，即

x2?x?1?0（無(wú)實(shí)根）或x?x?1?0，即

x??1?25，經(jīng)檢驗(yàn)，原方程的根為

x??1?25

用柯西不等式解方程組，也同樣是利用柯西不等式取等號(hào)的條件，從而求得方程組的解。

例：解方程組

x?y?z?9x?w?6x4

2?x(y2?z2?w)?w(y222?w)?4862解：原方程組可化為

x?y?z?9x?w?6(x2

?z)(x22?y2?w)?4862運(yùn)用柯西不等式得

(x2?y2?z)?2923?27, x?w?22622?18

兩式相乘，得

?x2?y2?z2???x2?w2??486

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=w=3時(shí)取等號(hào)。故原方程組的解為x=y=z=w=3.3、柯西不等式證明不等式。

很多重要的不等式都可以由柯西不等式導(dǎo)出，而利用柯西不等式的技巧有很多。如常數(shù)的巧拆、結(jié)構(gòu)的巧變、巧設(shè)數(shù)組等，下面略舉一、二說明怎樣利用柯西不等式證明不等式。例：設(shè)a,b,c為正數(shù)且不相等到，求證：

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2a?b?2b?c?2c?a?9a?b?c

這兩個(gè)常數(shù)進(jìn)行巧拆，9=?1?1?1?2分析：我們利用9與2，2?a?b?c???a?b???b?c???c?a?

這樣就給我們利用柯西不等式提供了條件。證明

：?a?11??1?b?c??????a?bb?cc?a????a11??1?b???b?c???c?a???????b?cc?a??a?ba?b???2????????2??1b?c?2????2?c?a??????????1??a?b??c?a?2?????11??b?c??22?????1??c?a??2??? ?a?b?2a?b?b?c?1b?c???c?a????1?1?1??9?2a?b?2b?c?2c?a?9a?b?c? a,b,c各不相等，? 等號(hào)不可能成立，從而原不等式成立。

但是我們只要改變一下多項(xiàng)式的形態(tài)結(jié)?有些問題本身不具備運(yùn)用柯西不等式的條件，構(gòu)，認(rèn)清其內(nèi)在的結(jié)構(gòu)特征，就可以達(dá)到利用柯西不等式解題的目的。下面略舉一例加以說明。

例：設(shè)a1?a2???an?an?1,求證：

1a1?a2?1a2?a3???1an?an?1?1an?1?a1?0

分析：這道題初看似乎無(wú)法使用柯西不等式，但改變其結(jié)構(gòu)，我們不妨改為證：

?a1??111?an?1?????????1，a2?a3an?an?1??a1?a2證明：為了運(yùn)用柯西不等式，我們將a1?an?1寫成

a1?an?1??a1?a2???a2?a3?????an?an?1?于是

??a1?n2?111?a2???a2?a3?????an?an?1?????????a?aa2?a3an?an?12?1?1.??? ?用心 愛心 專心 4

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即?111?a1?an?1????????a?aa2?a3an?an?12?11a1?a21a1?a2????1??，??1a2?a31???1an?an?11??1a1?an?11故a2?a3???an?an?1an?1?a1?0.我們進(jìn)一步觀察柯西不等式，可以發(fā)現(xiàn)其特點(diǎn)是：不等式左邊是兩個(gè)因式這和，其中每一個(gè)因式都是項(xiàng)平方和，右邊是左邊中對(duì)立的兩兩乘積之和的平方，證題時(shí)，只要能將原題湊成此種形式，就可以引用柯西不等式來證明。

例：求證：x1?x2?證明：?22y1?y2?222?x12?y1???x2?y22?2.?x1?x2?22y1?y22?2?x1?x2?y1?y2?2?2??22??x21?x2?y1?y2

2??22?由柯西不等式得

?x21?x2?y1?y2??x1y1?x2y2222????2

其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x1?ky1，x2?ky2 時(shí)成立。

?????x21?x222??y221?y222??x1y1?x2y2

2?x1?x2??y12y1?y2?2??x21?x22???y?21?y22??2?x?2.1y1?x2y2? ?x1?22??x2?y22?22x1?x2?y1?y2??x1?y1?2?x2?y2其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x1?ky1，x2?ky2 時(shí)成立。

4、用柯西不等式證明條件不等式

n2n2n柯西不等式中有三個(gè)因式?ai，?bi，?aibi而一般題目中只有一個(gè)或兩個(gè)

i?1i?1i?1因式，為了運(yùn)用柯西不等式，我們需要設(shè)法嵌入一個(gè)因式（嵌入的因式之和往往是定值），bi 具有廣泛的選擇余地，這也是利用柯西不等式的技巧之一。又柯西不等式中諸量ai，任意兩個(gè)元素 ai，aj（或bi，bj）的交換，可以得到不同的不等式，因此在證題時(shí)根據(jù)需要重新安排各量的位置，這種形式上的變更往往會(huì)給解題帶來意想不到的方便。這種變換也是運(yùn)用柯西不等式的一種技巧，下面我們簡(jiǎn)單舉例說明怎樣利用上述技巧運(yùn)用柯西不等式來證明條件不等式。

例：已知a,b?R，a+b=1,x1,x2?R, 求證：?ax1?bx2???bx1?ax2??x1x2

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分析：如果對(duì)不等式左端用柯西不等式，就得不到所要證明的結(jié)論。若把第二個(gè)小括號(hào)內(nèi)的前后項(xiàng)對(duì)調(diào)一下，情況就不同了。

證明：?ax1?bx2???bx1?ax2? =?ax1?bx2???ax2?bx1? ?a?x1x2?b2x1x2?2

=?a?b?x1x2?x1x2。例、設(shè)x1,x2,?,xn?R,求證：

x12?x2?xx3???xxn?xn2x1?x1?x2???xn

（1984年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）

證明：在不等式的左端嵌乘以因式?x2?x3???xn?x1?，也即嵌以因式

?x1??x2???xn?，由柯西不等式，得 x12x2?xx3???xxn?xn2x1??(x2?x3???xn?x1)

??x1?????x2???????x????2??x3??22222??x??x???????n?1???n???x????x?n?1??????x2???x3?2????xn???2x1?2???xn?xnx1??x1???

?x1????x2?x2?x2x32?x3???xn?1xn???x1?x2???xn?,于是x12x2?xx3???xxn?xn2x1?x1?x2???xn.5、利用柯西不等式求函數(shù)的極值

有些極值問題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項(xiàng)或和為常數(shù)的各項(xiàng)，就可以應(yīng)用柯西不等式來解，這也是運(yùn)用柯西不等式解題的技巧；而有些極值問題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能達(dá)到目的，但在運(yùn)用過程中，每運(yùn)用一次前后等號(hào)成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。這多次反復(fù)運(yùn)用柯西不等式的方法也是常用技巧之一。下面略舉例加以說明怎樣利用柯西不等式來求解一些極值問題。

例 設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)?1,?2????n滿足?1??2??????n?1,求

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?11??2??????_?n?1??1`??23??????n?n21??1????的最小值。（198

2n?1年西德數(shù)學(xué)奧林匹克度題）

解：易驗(yàn)證

?11??2??????+1=

n1?(?1??2?????n)2??1?22??1

同理可得

?11??1??3??????+1=

n22??2,???,?1??2nn?1??????+1=

22??n

令y??11??2??????2_?n?1??1`??23??????n?n21??1????

n?1故y?n?2??1?22??2+????22??n

為了利用柯西不等式，注意到

(2?a1)?(2?a2)?????(2?an)?2n?(a1?a2?????an)?2n?1，12??112??2?(2n?1)(?+????12??n)

=?(2?a1)?(2?a2)?????(2?an)??(12??1?12??2+????12??n)

???2?a1????y?n??2n12?a12?2?a2?2n212?a2n2n?1.?????2?an?12?an????2?n22n?1,y?2n?1?n?1n等號(hào)當(dāng)且公當(dāng)a1?a2?????an?時(shí)成立，從而y有最小值

nn2n?1

例 設(shè)x1,x2,???,xn都是正數(shù)，n?2,且?xi?1,求證：

i?1nn ?i?1xi1?xi??i?1xi.（1989年全國(guó)數(shù)學(xué)冬令營(yíng)試題）

n?1證明：令yi?1?xi(i?1,2,???n),由柯西不等式，得

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nnn(?i?1xi)2?n??i?1xi?n, 即 ?i?1xi?n.nnn同理，得(?i?1nyi)2?n??i?1yi?n??i?1(1?xi)?n(n?1)，即 ?yi?i?1n(n?1).又由柯西不等式，得

nn?i?1nyi??i?11yi2n?(?i?14yi?14)2?n

2yi故?i?11yi?n?1n?yin2，?i?1n(n?1)從而

n?i?1xi1?xinn?n??i?11?yiyin??i?11yin??i?1yi ?n(n?1)n

n?1nn?1??i?1xi.?n?16，利用柯西不等式解三角問題。

三角問題包括三角不等式，三角方程。三角極值等到，對(duì)于一些三角問題，我們?yōu)榱私o運(yùn)用柯西不等式創(chuàng)造條件，經(jīng)常引進(jìn)一些待定的參數(shù)，其值的確定由題設(shè)或者由等號(hào)成立的充要條件共同確定，也有一些三角極值問題我們可以反復(fù)運(yùn)用柯西不等式進(jìn)行解決。

例 在?ABC中，求證：

sinA?sinB?5sinC?198?2201(201?3)40

證明：?sinA?sinB?5sinC

?2sin?2cos?2cosA?B2C2C2(coscosA?B22C2?10sinC2)C2cosC2A?B?5sin).(1?5sin當(dāng)且僅當(dāng)A=B時(shí)等號(hào)成立。

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令y?cosx(1?5sinx)(0?x??)2，于是引進(jìn)參t?0,求

y2cos2x(1?5sinx)2的最值。

由柯西不等式，2y2?cos2x?1?5sinx?2?25cos2x??15?sinx???? =25?cosx??1t2?tsinx?? ?5?cos2?25?x????1?2??t2?2?t2?sinxt?2????5???

?25t2?1cos2x2xt2?t2?sin?.ab??a?b?2又由平均值不等式4,得

2222y2?25t?1?cosx?t?sin2x??t2???2? ?=?25t2?1??t2?1?24t2.（1）

當(dāng)且僅當(dāng)cos2x=t2?sin2x時(shí)等號(hào)成立。例、已知a,b為正常數(shù)，且0

3a2?3b2??3a2?3b2??sin2x?cos2x?

??3asinx?3bcosx?2等號(hào)成立的當(dāng)且僅當(dāng)sinxcosx3a?3b時(shí)；

即 x?arctg3ab 時(shí)，于是

3a2?3b2?3asinx?3bcosx

再由柯西不等式，得

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3a2?3b2b??a??? cosx??sinxb??a?bcosx?? sinxcosx?? ???3asinx?3?? 6a23sinx2asinx?6bcosxbcosx?2 ???a???b3??.??32等號(hào)成立也是當(dāng)且僅當(dāng)x?arctgab時(shí)。

3???a? 從而y??sinxcosx?ab232?b3?2?.??3?? 于是y?的最小值是?a?sinxcosx?ab232?b3?2?.?? 在許多問題中，如果我們能夠利用柯西不等式去解決，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新。

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