第一篇：多元向量值函數(shù)積分自測(cè)題

1、填空題

1）設(shè)L為取正向的圓周x2?y2?9則曲線積分22xy?2ydx?x?4x?dy? ?????L

?18?。

x?2）設(shè)曲線積分?fx?e????sinydx?f?x?cosydy與積分路徑無(wú)關(guān)，其中f?x?一階?L

連續(xù)可導(dǎo)，且f?0??0，則f?x??

3）1x1?xe?e。22???y

?2?z?dydz??x?z2?dzdx??y?x2?dxdy?0,其中?為單位球面

x2?y2?z2?1的外側(cè)。

?????x224）設(shè)A?esinyi??2xy?z?j?xzyk，則divA?1,0,1???0，rotA?1,0,1??

??1,0,?e?。

2、計(jì)算下列曲線積分

1）??

Lx2y2x?2xydy，其中L為橢圓2?2?1，由點(diǎn)A?a,0?經(jīng)點(diǎn)C?0,b?到點(diǎn)ab2?

B??a,0?的弧段。

解：L的參數(shù)方程為??x?acost，t從0到?。y?bsint?

?

原式???

03?2??sin3t?222cost?acost?2absintcost?bcostdt??ab?sint?3??2ab3? ????0

?42ab

32）x2ydx?x2?y2dy??x?y?z?dz，其中L是x?y?z?11與z?x?y?1 ??L??2222

2的交線，其方向與z軸正方向呈右手系。

?x????x?y?2?解：L一般方程可化為?，其參數(shù)方程為?y??，?從0到2?

?

z?3?z?3??22

原式???

2?

02??1?cos4????4sin2?cos2?d???????d? 02???

?sin?4??

?si?n????? ??28??03、計(jì)算下列曲面積分

1）z?，其中是上半球面的上側(cè)。yzdzdx?2dxdy?

??2??

解：化為第一型曲面積分計(jì)算

zx?,zy???

???

取定側(cè)對(duì)應(yīng)法向量n?，1? ??

?n??xy??，n??22??

y2z?原式???

?dS 2?????x2?y2?4? x2?y2?4???2?y?dxdy??22?0d???2r?r3sin2??dr 0

2??2?

0?4?4sin2??d???2?0?6?2cos2??d??12?

?z?y2

2）??xdydz?ydzdx?zdxdy，其中?是曲線??x?0?的上側(cè)。

解：此曲面方程為z?x?y22?z?1?繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)面?z?1?，化為第一型曲面積分計(jì)算

zx?2x,zy?2y

?取定側(cè)對(duì)應(yīng)法向量n???2x,?2y,1? ?

?n??,n

原式?2,? ?22?

x2?y2?1????x?y2?dxdy

??2?

0d???r3dr??01?24、設(shè)曲線積分xy2dx?y??x?dy與路徑無(wú)關(guān)，其中??x?連續(xù)可導(dǎo)，且??0??0，求?L

??

解：?1,1?0,0?xy2dx?y??x?dy。?P?Q?2xy??y???x?????x??2x???x??x2?C ?y?x

由??0??0可得C?0，即??x??x

2???1,1?0,0?xy2dx?y??x?dy???1,1?

?0,0?xy2dx?yx2dy??ydy?011 2

????

5、求向量A?2xi?yj?zk通過(guò)0?x?1,0?y?1,0?z?1的邊界曲面流向外側(cè)的通

量。

解：???2xdydz?ydzdx?zdxdy?????2?1?1?dv?

2??

???????

6、求向量場(chǎng)A?xyi?cos?xy?j?cos?xz?k在點(diǎn)?,1,1?處的散度。?2?

?解：divA?y?xsin?xy??xsin?xz?

?div???1?? ??,1,?1?2?

第二篇：多元函數(shù)積分的計(jì)算方法與技巧范文

.多元函數(shù)積分

二重積分的計(jì)算方法與應(yīng)用。

（一）在作二次積分時(shí)，首先是把一個(gè)自變量看成是一個(gè)參數(shù)，而不是看成變量，這樣第一步是作單變量函數(shù)的定積分，然后得到一個(gè)包含第二個(gè)變量的表達(dá)式，再對(duì)第二個(gè)變量求定積分，這樣就得到了二重積分的值。這里對(duì)于選擇進(jìn)行積分運(yùn)算的自變量的順序是完全任意的，也就是說(shuō)，假設(shè)函數(shù)的積分區(qū)間，是由曲線

y?y1(x)y?y2(x)

和，x=a，x=b

所圍成的區(qū)域，那么f在這個(gè)區(qū)域上的二重積分為

by(x)b

??f(x,y)dxdy??adx?y2(x)f(x,y)dy??y2((xx))dy?af(x,y)dxy11D

（二）另外一種常常更為簡(jiǎn)單的計(jì)算二重積分的方法，是在極坐標(biāo)下，通過(guò)把二重積分轉(zhuǎn)變?yōu)槎畏e分來(lái)得到結(jié)果。

一般公式就是

r2f(rcos?,rsin?)rdr??f(x,y)d????d??r(?)1

?

(?)

D

三重積分及其應(yīng)用與計(jì)算。

在這兩種坐標(biāo)里計(jì)算多重積分，首先是給出分別在這些坐標(biāo)系里的體積微元的表達(dá)式： 在圓柱坐標(biāo)系里是dv?rdrd?dz；

在球面坐標(biāo)系里是dv?rsin?drd?d?。

因此可以分別得到在這兩個(gè)坐標(biāo)系里的三重積分的計(jì)算公式： 在圓柱坐標(biāo)系里是在?

???f(x,y,z)dv????f(rcos?,rsin?,z)rdrd?dz

?

?

； 里

是

球

?

面坐標(biāo)系

???f(x,y,z)dv????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcoa?)rsin?drd?d?

第三篇：多元函數(shù)

第二節(jié) 多元函數(shù)的基本概念

分布圖示

★ 領(lǐng)域★平面區(qū)域的概念

★ 多元函數(shù)的概念★ 例1★ 例

2★ 二元函數(shù)的圖形

★ 二元函數(shù)的極限★ 例3★ 例

4★ 例5★ 例6★ 例7

★ 二元函數(shù)的連續(xù)性★ 例 8

★ 二元初等函數(shù)★ 例 9-10

★ 閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

★ 內(nèi)容小結(jié)★ 課堂練習(xí)

★習(xí)題6-2

內(nèi)容提要：

一、平面區(qū)域的概念：內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)、開集、連通集、區(qū)域、閉區(qū)域

二、多元函數(shù)的概念

定義1 設(shè)D是平面上的一個(gè)非空點(diǎn)集，如果對(duì)于D內(nèi)的任一點(diǎn)(x,y)，按照某種法則f，都有唯一確定的實(shí)數(shù)z與之對(duì)應(yīng)，則稱f是D上的二元函數(shù)，它在(x,y)處的函數(shù)值記為f(x,y)，即z?f(x,y)，其中x，y稱為自變量，z稱為因變量.點(diǎn)集D稱為該函數(shù)的定義域，數(shù)集{z|z?f(x,y),(x,y)?D}稱為該函數(shù)的值域.類似地，可定義三元及三元以上函數(shù).當(dāng)n?2時(shí), n元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).二元函數(shù)的幾何意義三、二元函數(shù)的極限

定義2 設(shè)函數(shù)z?f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)點(diǎn)P(x,y)無(wú)限趨于點(diǎn)P0(x0,y0)時(shí)，函數(shù)f(x,y)無(wú)限趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱A為函數(shù)z?f(x,y)當(dāng)(x,y)?(x0,y0)時(shí)的極限.記為

x?x0y?y0limf(x,y)?A.或f(x,y)?A（(x,y)?(x0,y0)）

也記作

limf(P)?A或f(P)?A(P?P0)P?P0

二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限具有相同的性質(zhì)和運(yùn)算法則，在此不再詳述.為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，我們稱二元函數(shù)的極限為二重極限.四、二元函數(shù)的連續(xù)性

定義3 設(shè)二元函數(shù)z?f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果

x?x0y?y0limf(x,y)?f(x0,y0),則稱z?f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù).如果函數(shù)z?f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處不連續(xù)，則稱函數(shù)z?f(x,y)在(x0,y0)處間斷.與一元函數(shù)類似，二元連續(xù)函數(shù)經(jīng)過(guò)四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算后仍為二元連續(xù)函數(shù).由x和y的基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合所構(gòu)成的可用一個(gè)式子表示的二元函數(shù)稱為二元初等函數(shù).一切二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.這里定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域.利用這個(gè)結(jié)論，當(dāng)要求某個(gè)二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)的極限時(shí)，只要算出函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值即可.特別地，在有界閉區(qū)域D上連續(xù)的二元函數(shù)也有類似于一元連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上所滿足的定理.下面我們不加證明地列出這些定理.定理1（最大值和最小值定理）在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù), 在D上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)在D上一定有界.定理3（介值定理）在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù), 若在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值, 則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次.例題選講：

多元函數(shù)的概念

例1某公司的總成本（以千元計(jì)）為

C(x,y,z,w)?5x?4y?2z?ln(w?1)

其中x是員工工資，y是原料的開銷，z是廣告宣傳的開銷，w是機(jī)器的開銷.求2C(2,3,0,10).解 用2替換x，3替換y，0替換z，10替換w，則C(2,3,0，10)?5?2?4?3?0?ln(10?1)

?29.6（千元）。

例2（E02）求二元函數(shù)f(x,y)?2arcsin(3?x2?y2)

x?y2的定義域.22??3?x?y?1解? 2??x?y?0

?2?x2?y2?4 ?2?x?y

所求定義域?yàn)镈?

{(x,y)|2?x2?y2?4,x?y2}.例3（E03）已知函數(shù)f(x?y,x?y)?解設(shè)u?x?y,v?x?y,則 x2?y2x2?y2, 求f(x,y).x?u?vu?v,y?, 22

22?u?v??u?v??????2uv2??2??故得f(u,v)??, 2222u?v?u?v??u?v???????2??2?

即有f(x,y)?2xy.x2?y2

二元函數(shù)的極限

例4（E04）求極限 lim(x2?y2)sinx?0y?01.22x?y

解令u?x2?y2,則

lim(x2?y2)sinx?0

y?011=0.?limusin22u?0ux?y

例5 求極限limx?0

y?0sin(x2y)x?y22.22sinx(y)sinx(y)x2ysin(x2y)sinu2u?xy?1, ?22, 其中l(wèi)im解li22?li2limx?0x?0x?yx?0u?0uxyx?yx2yy?0y?0y?0x2y

x2?y2?12xy1?x?x2x2?y22x?0????0, sin(x2y)所以lim22?0.x?0x?yy?0

例6求極限 limx?y.x??x2?y2

y??

解當(dāng)xy?0時(shí)，0?x?yx?y11x?y???0(x??,y??), ??2y2x2xyx2?y2x2?y2

所以limx?y

x???0.y??x2?y2

例7（E05）證明limxy

x?0x2?y2不存在.y?0

證取y?kx(k為常數(shù)),則

limxy

x?0x2?y2?limx?kxk

x?0?2,y?0y?kxx2?k2x21?k易見題設(shè)極限的值隨k的變化而變化,故題設(shè)極限不存在.例8 證明limx3y

x?06不存在.y?0x?y2

證取y?kx3,limx3y

x?0x6?y2?limx3?kx3k

x?0x6?2,其值隨k的不同而變化,y?0y?kx3?k2x61?k

限不存在.二元函數(shù)的連續(xù)性

?x3?y3

例9討論二元函數(shù)f(x,y)???x2?y2,(x,y)?(0,0)在(0,0)處的連續(xù)性.??0,(x,y)?(0,0)

解由f(x,y)表達(dá)式的特征，利用極坐標(biāo)變換： 令x??cos?,y??sin?,則

(x,ylim)?(0,0)f(x,y)?lim??0?(sin3??cos3?)?0?f(0,0), 所以函數(shù)在(0,0)點(diǎn)處連續(xù).例10（E06）求lim??ln(y?x)y?

x?0?.y?1????x2?

?

解l?

x?i0m?lny(?x)?y???1???1.y?1??x???ln1(?0)????02?

?

例11求limex?y

x?0x?y.y?1故極

ex?ye0?1ex?y??2.解因初等函數(shù)f(x,y)?在(0,1)處連續(xù)，故limx?0x?y0?1x?y

y?1

課堂練習(xí)

y??1.設(shè)f?x?y,??x2?y2, 求f(x,y).x??

2.若點(diǎn)(x,y)沿著無(wú)數(shù)多條平面曲線趨向于點(diǎn)(x0,y0)時(shí), 函數(shù)f(x,y)都趨向于A, 能否斷定

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A? ?xy2,x2?y2?0?243.討論函數(shù)f(x,y)??x?y的連續(xù)性.?2x?y2?0?0,

第四篇：多元函數(shù)微分學(xué)

多元函數(shù)的極限與連續(xù)

一、平面點(diǎn)集與多元函數(shù)

（一）平面點(diǎn)集:平面點(diǎn)集的表示: E?{(x,y)|(x,y)滿足的條件}.1.常見平面點(diǎn)集:

⑴ 全平面和半平面: {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?a}, {(x,y)|y?ax?b}等.⑵ 矩形域: [a,b]?[c,d], {(x,y)|x|?|y|?1}.⑶ 圓域: 開圓, 閉圓, 圓環(huán).圓的個(gè)部分.極坐標(biāo)表示, 特別是 {(r,?)|r?2acos?}和{(r,?)|r?2asin?}.⑷ 角域: {(r,?)|?????}.⑸ 簡(jiǎn)單域:X?型域和Y?型域.2.鄰域: 圓鄰域和方鄰域，圓鄰域內(nèi)有方鄰域，方鄰域內(nèi)有圓鄰域.空心鄰域和實(shí)心鄰域, 空心方鄰域與集

{(x,y)|0?|x?x0|?? , 0?|y?y0|??}的區(qū)別.（二）點(diǎn)集的基本概念: 1.內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)和界點(diǎn)：集合E的全體內(nèi)點(diǎn)集表示為intE, 邊界表示為?E.集合的內(nèi)點(diǎn)?E, 外點(diǎn)?E, 界點(diǎn)不定.2.聚點(diǎn)和孤立點(diǎn): 孤立點(diǎn)必為界點(diǎn).例1 確定集E?{(x,y)|3.開集和閉集: 1?(x?1)2?(y?2)2?4 }的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)集、邊界和聚點(diǎn).intE?E時(shí)稱E為開集,E的聚點(diǎn)集?E時(shí)稱E為閉集.存在非開非閉集.R2和空集?為既開又閉集.4.開區(qū)域、閉區(qū)域、區(qū)域：以上常見平面點(diǎn)集均為區(qū)域.5.有界集與無(wú)界集: 6.點(diǎn)集的直徑d(E)：兩點(diǎn)的距離?(P1 , P2).7.三角不等式：

|x1?x2|（或|y1?y2|）?(x1?x2)2?(y1?y2)2? |x1?x2|?|y1?y2|.（三）二元函數(shù): 1.二元函數(shù)的定義、記法、圖象： 2.定義域： 例4 求定義域：

ⅰ> f(x,y)?3.有界函數(shù): 4.n元函數(shù): 9?x2?y2x2?y2?1;ⅱ> f(x,y)?lny.ln(y?x2?1)

二、二元函數(shù)的極限

（一）.二元函數(shù)的極限: 1.二重極限limf(P)?A的定義: 也可記為P?P0P?D(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A或x?x0y?y0limf(x,y)?A

例1 用“???”定義驗(yàn)證極限

(x,y)?(2,1)lim(x2?xy?y2)?7.[1]P94 E1.xy2?0.例2 用“???”定義驗(yàn)證極限 lim2x?0x?y2y?0?x2?y2,(x,y)?(0,0),?xy例3 設(shè)f(x,y)??x2?y

2?0 ,(x,y)?(0,0).? 證明(x,y)?(0,0)limf(x,y)?0.(用極坐標(biāo)變換)

P?P0P?ETh 1 limf(P)?A?對(duì)D的每一個(gè)子集E ,只要點(diǎn)P0是E的聚點(diǎn),就有l(wèi)imf(P)?A.P?P0P?D推論1 設(shè)E1?D,P0是E1的聚點(diǎn).若極限limf(P)不存在, 則極限limf(P)也不存在.P?P0P?E1P?P0P?D推論2 設(shè)E1,E2?D,P0是E1和E2的聚點(diǎn).若存在極限limf(P)?A1,limf(P)?A2，P?P0P?E1P?P0P?E2但A1?A2,則極限limf(P)不存在.P?P0P?D推論3 極限limf(P)存在?對(duì)D內(nèi)任一點(diǎn)列{ Pn },Pn?P0但Pn?P0,數(shù)列{f(Pn)}P?P0P?D ?xy ,(x,y)?(0,0),?22收斂 例4 設(shè)f(x,y)??x?y 證明極限limf(x,y)不存在.(x,y)?(0,0)?0 ,(x,y)?(0,0).?(考慮沿直線y?kx的方向極限).?例5 設(shè)f(x,y)???1,0,當(dāng)0?y?x2,???x???時(shí)，證明極限limf(x,y)不

(x,y)?(0,0)其余部分.存在.二重極限具有與一元函數(shù)極限類似的運(yùn)算性質(zhì).例6 求下列極限: ⅰ>(x,y)?(0,0)limsinxyx2ylim;ⅱ>;(x,y)?(3,0)yx2?y2 ⅲ>(x,y)?(0,0)limxy?1?1ln(1?x2?y2);ⅳ> lim.22(x,y)?(0,0)xyx?yf(x,y)???的定義: 3． 極限(x,y)?(x0,y0)lim其他類型的非正常極限，(x,y)?無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的情況.例7 驗(yàn)證(x,y)?(0,0)lim1???.222x?3yEx

[1]P99—100 1⑴—⑹，4，5.（二）累次極限:

1.累次極限的定義: 定義.例8 設(shè)f(x,y)?xy, 求在點(diǎn)(0 , 0)的兩個(gè)累次極限.22x?yx2?y2例9 設(shè)f(x,y)?2, 求在點(diǎn)(0 , 0)的兩個(gè)累次極限.2x?y例10 設(shè)f(x,y)?xsin11?ysin, 求在點(diǎn)(0 , 0)的兩個(gè)累次極限與二重極限.yx 2.二重極限與累次極限的關(guān)系:

⑴ 兩個(gè)累次極限存在時(shí), 可以不相等.(例9)

⑵ 兩個(gè)累次極限中的一個(gè)存在時(shí), 另一個(gè)可以不存在.例如函數(shù)f(x,y)?xsin1y在點(diǎn)(0 , 0)的情況.⑶ 二重極限存在時(shí), 兩個(gè)累次極限可以不存在.(例10)

⑷ 兩個(gè)累次極限存在(甚至相等)??二重極限存在.(參閱例4和例8).綜上, 二重極限、兩個(gè)累次極限三者的存在性彼此沒有關(guān)系.但有以下確定關(guān)系.Th 2 若全面極限(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在,則

x?x0y?y0必相等.推論1 二重極限和兩個(gè)累次極限三者都存在時(shí), 三者相等.注: 推論1給出了累次極限次序可換的一個(gè)充分條件.推論2 兩個(gè)累次極限存在但不相等時(shí), 全面極限不存在.注: 兩個(gè)累次極限中一個(gè)存在,另一個(gè)不存在??全面極限不存在.參閱⑵的例.三、二元函數(shù)的連續(xù)性

（一）二元函數(shù)的連續(xù)概念：

?xy22 , x?y?0 ,22??x?y例1 設(shè)f(x,y)??

?m , x2?y2?0.??1?m2證明函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0 , 0)沿方向y?mx連續(xù).?1 , 0?y?x2, ???x??? ,例1 設(shè)f(x,y)??

([1]P101)?0 , 其他.證明函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0 , 0)不全面連續(xù)但在點(diǎn)(0 , 0)f對(duì)x和y分別連續(xù).2.函數(shù)的增量: 全增量、偏增量.用增量定義連續(xù)性.3.函數(shù)在區(qū)域上的連續(xù)性.4.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì): 運(yùn)算性質(zhì)、局部有界性、局部保號(hào)性、復(fù)合函數(shù)連續(xù)性.

第五篇：多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)

第六章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用

6.1 多元函數(shù)的基本概念 一、二元函數(shù)的極限

定義 f(P)= f(x，y)的定義域?yàn)镈, oP0(x0,y0)是D的聚點(diǎn).對(duì)常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)?，總存在正數(shù)?，使得當(dāng)點(diǎn)P(x，y)∈D? U(P0,?)，即

0?|P0P|?

(x?x0)?(y?y0)??22

時(shí)，都有

|f(P)–A|=|f(x，y)–A|<

?

成立，那么就稱常數(shù)A為函數(shù)f(x，y)當(dāng)(x，y)→(x0，(x,y)?(x0,y0)y0)時(shí)的極限，記作

y0)), lim f(x,y)?A或f(x，y)→A((x，y)→(x0,也記作

P?P0limf(P)?A

或

f(P)→A(P→P0)為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，上述二元函數(shù)的極限也稱做二重極限.二、二元函數(shù)的連續(xù)性

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?f

(x0,y0)，(?x,?y)?(0,0)lim?z?0

如果函數(shù)f(x , y)在D的每一點(diǎn)都連續(xù)，那么就稱函數(shù)f(x , y)在D上連續(xù)，或者稱f(x , y)是D上的連續(xù)函數(shù).如果函數(shù)f(x , y)在點(diǎn)P0(x0,y0)不連續(xù)，則稱P0(x0,y0)為函數(shù)f(x , y)的間斷點(diǎn).多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)；連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零處仍連續(xù)；多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)。一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.多元初等函數(shù)的極限值就是函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值，即

p?p0limf(P)?f(P0).有界性與最大值最小值定理 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值.介值定理 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取復(fù)介于最大值和最小值之間的任何值。

三、例題 例1 設(shè)f(x,y)?x?y?g(x?y)，已知f(x,0)?xf(x,0)?x?g(x)?x222，求

f(x,y)的表達(dá)式。

2解 由題設(shè)，有g(shù)(x)?x?x2，于是

。f(x,y)?x?y?[(x?y)?(x?y)]，即 f(x,y)?(x?y)?2y例2 證明極限limxyx?y623不存在。

x?0y?0 證 當(dāng)(x,y)沿三次拋物線y?kx

3趨于(0,0)時(shí)，有

limxyx?yxyx?y。

623623x?0y?0?limx?kx62336x?0y?0x?kx?limk1?k2

x?0y?0其值隨k去不同值而取不同值。故極限lim不存在。

x?0y?0 例3 求極限limxy?1?1x?y2222x?0y?0 解

原式?limxy2222x?0y?0x?y?1xy?1?1?z?x22?12limxx?0y?022y22x?y?0

6.2 偏導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)數(shù) 6.2.1 偏導(dǎo)數(shù)

一、概念

說(shuō)明對(duì)x求導(dǎo)視z?f(x,y)，y?limf(x??x,y)?f(x,y)?x

?x?0為常數(shù)，幾何意義也說(shuō)明了這個(gè)問題

二元函數(shù)z=f(x , y)在點(diǎn)M0(偏導(dǎo)數(shù)數(shù)

x0,y0)的偏導(dǎo)數(shù)有下述幾何意義.0fx?(x0,y0)，就是曲面z?f(x,y)與平面y?y0的交線在點(diǎn)M0處的切線M0Tx對(duì)x軸的斜率.同樣，偏導(dǎo)fy(x0,y0)的幾何意義是曲面z?f(x,y)與平面x=x0的交線在點(diǎn)M 2 基于如上理由，求

處的切線M0Ty對(duì)y軸的斜率.?z?x(x0,y0)時(shí)，（因此可能簡(jiǎn)化函數(shù)）再對(duì)xy0可先代入，求導(dǎo)

例 f(x,y)?x?arctany(x?arctany(x??arctany)?)，求fx?(1,0)。

?n重 解 f(x,0)?x，fx?(x,0)?1，fx?(1,0)?1

二、可微，偏導(dǎo)數(shù)存在，連續(xù)的關(guān)系

?偏導(dǎo)數(shù)存在可微???連續(xù)

三、高階偏導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)z=f(x , y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)?可微，??fxy和

??fyx都連續(xù)，則

??fxy=

??fyx;

?z?x2?fx(x,y),?z?y?fy(x,y)，則這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)z=f(x , y)的二階

2偏導(dǎo)數(shù)。按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：

???z??z???z??z?f(x,y),??fxy(x,y),?????xx2?x??x??x?y??x??x?y???z???x??y??z????f(x,y),yx??y??y?x2??z????y??z??fyy(x,y).2???y?2

四、偏導(dǎo)數(shù)，微分運(yùn)算公式 1．z 2．dz ?f(x,y)，u?u(x,y)，v?v(x,y)

?z?x??f?u?u?x??f?v?v?x

?z?y??f?u?u?y??f?v?v?y

?fu?du?fv?dv?fu??(u?dx?u?ydy)?fv??(v?dx?v?ydy)xx?(fu??u??fv??v?)dx?(fu??u?y?fv??v?y)dyxx

d(u?v)?du?dvd(u?v)?udv?vdu?z?x??2

?u?vdu?udvd???2v?v?

3．F(x,y,z)?0 確定z?z(x,y)，F(xiàn)x?Fz?；

?z?y2??Fy?Fz?6.2.2 求偏導(dǎo)數(shù)算例 例1（1）z?arctanx?y1?xy，求

?z?x，?z?y，?z?x22，?z?x?y。

解 ?z?x?1?x?y1???1?xy??11?y2????2?1?(1?xy)?(x?y)(?y)(1?xy)?11?x2

由對(duì)稱性 ?z?y2，?z?x22?2?2x(1?x)，求

22；

2?z?x?y22?0；（2）u?lnx?y?z2?u?x22??u?y2??u?z2。

解?u?x?122x222x?y?z?xx?y?z22，2 ?u?x由對(duì)稱性 22?2x?y?z?x?2x(x?y?z)22222222222??x?y?z2222222222(x?y?z)22

?u?y222??x?y?z222，?u?z1222(x?y?z)?u?y22?x?y?z2(x?y?z)2

故 ?u?x2??u?z22?x?y?z222。

（3）?xy?22f(x,y)??x?y?0??x?022x?y?0，求

fx?(0,0)，fy?(0,0)

x?y?022 解 fx?(0,0)?lim?x?0?x?0?x22?0，同理fy?(0,0)?0；

?u?x，例2 u?yf(x?y,xy)，求

?u?x?y2。

解 ?u?x22?y?f1??2x?f2??y??2xyf1??yf2?

?u?x?y

??(?2y)?f12??x??2yf2??y2?f21??(?2y)?f22??x? ?2xf1??2xy?f112???2x2yf12???2yf2??2y3f21???xy2f22?? ?2xf1??4xyf11

例3

?z?y?z?f(xy,)?g??，求

?x?yx?x?y2

解

y?y????f1??y?f2????2??g???2??x?x??x?2?z

1?1y?1?????x?f12????????f1??y?f11?f?fx?f?22222?21???x?yx?xx?x??y1yy1??????2f2?????3f22???2g??f12f?f1??xyf11xxxxxy)，求du。例4 u?f(x?y,x?y,x解（1）?z1xx2g??g??

yx2g??1x

y3 du??u?xdx??u?ydy

?u1y??u??f1??f2?(?1)?f3??f1??f2??f3????2?；?xx?x??y

故

y1????du??f1??f2??2f3??dx??f1??f2??f3??dy xx????xdy?ydxd(x?y)?f2?d(x?y)?f3?解（2）du?f1?2x

?f1?(dx?dy)?f2?(dx?dy)?f3??[f1??f2??yx2xdy?ydxx1x2

f3?]dx?[f1??f2??f3?]dy

例5 設(shè)z?z(x,y)由方程F(x?zy,y?zx)?0，確定，F(xiàn)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，求

?z?x，?z?y。

解（1）方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)

?z????z??x?z??????0 F1??1??x??F2???x2y?x???????????zyz?F1??2F2??xyF1??F2??zxx??11?xxF1??yF2?F1??F2?yx；

方程兩邊對(duì)y求導(dǎo)

??z??y?z??1?z??y??F????F1??1?2?2??0 ??yx?y??????zxz??F?FF??xyF2?122?zyy ??11?yxF1??yF2?F1??F2?yxzy)?F2?d(y?zx2；

解（2）方程兩邊取微分 F1?d(x?)?0)?F2?(dy?zy2F1?(dx?ydz?zdyyzx2xdz?zdxx2)?0

(?F1??

F2?)dx?(1yF1??1xF1??F2?)dy dz?F2??xyF1???yzF2?； 則 ?z?x?F1???1yF1??zx12F2??F2??xyF1??yzxxF1??yF2?F2?；

?z?xxxF1??yF2?dydxx 例6 設(shè)y?f(x,t)，t?t(x,y)由F(x,y,t)?0確定F,f可微，求。

解（1）對(duì)方程取微分

?(1)?dy?fx?dx?ft?dt?????Fxdx?Fydy?Ftdt?0?(2)dy?fx?dxft??0

由（1）解得dt代入（2）得 Fx?dx?Fy?dy?Ft?

則 ?Fx??Ft?fx?/ft??Fx?ft??Ft?fx?dy?dx?dxFt????Ff?FytFy??ft?解（2）

dy，即

dx??Fx?ft??Ft?fx?Fy?ft??F?

y?f(x,t(x,y))

dy??t?tdy??fx??ft?????dx??x?ydx?

dydxfx??ft??1?ft???t 而?x?tyx?t?x??Fx?Ft?；

?t?y?u?x22??Fy?Ft?，則

dydx??Fx?ft??Ft?fx?Fy?ft??F?2

?y，? 例7 證明：當(dāng)??y時(shí)，方程x2?2xy?u?x?y2?y2?u?y2?0可化成標(biāo)準(zhǔn)形式

?u??22?0，其中u?u(x,y)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。

證明：將u看成由u(?,?)，而???yx，??y復(fù)合成x,y的函數(shù)，u?u(?(x,y),?(y))

則 ?u?x?2?u??????x2?u???u???u1?u?u?y??u??????????2?；

???x??y???y???y??x??22y??u1?u???2?2??；

?2?x?yx??x???x?????

?u?x222?u?y??uy???2??223???x???x?u21?u

?u22221??u1?u??u1?u?????1

??222?yx???x?????????x??2則 x?u?x22?2xy?u?x?y2?y2?u??22???y2?u??22?0??u??22?0

小結(jié)

① 顯函數(shù)（復(fù)合）二階混合偏導(dǎo)數(shù)

② 隱函數(shù)求偏導(dǎo)，會(huì)用微分法，用復(fù)合法習(xí)題 1．z?f(u)，u由方程u??(u)?

?xyp(t)dt確定的x,y的函數(shù)，f,?可微，P,??連續(xù)，??(u)?1，求P(y)?z?x?P(x)?z?y

（答案：0）（蔡 P146）

22．z?z(x,y)由z?e?xyz確定，求

?z?x?y；

23．F(x?y,y?z)?1確定了隱函數(shù)z?z(x,y)，F(xiàn)y?y(x),z?z(x)是由方程z?xf(x?y)和

具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)求

?z?y?x

4．設(shè)5．t6．zF(x,y,z)?0確定，f,F有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求

dzdx。

?0，f可微且滿足

kf(tx,ty,tz)?tf(x,y,z)，證明 xfx??yfy??zfz??kf。

。?f(x,y)于(1,1)點(diǎn)可微，且f(1,1)?1，fx?(1,1)?23x?1。，fy?(1,1)?3。?(x)?f(x,f(x,x))求ddx[?(x)]?u?x?2y7．設(shè)變換??v?x?ay8．設(shè)可把方程6?z?x22??z?x?y2??z?yx22?0化簡(jiǎn)為

?z?u?v?z?x222?02，求常數(shù)a的值。（a＝3）。

f(u)u有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，而?uz?f(esiny)滿足

??z?y2?ez2x，求

f(u)。（f(u)?c1e?c2e）

6.2 偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)用注意四個(gè)方面：空間曲面曲線切平面、法線、切線、法平面；方向?qū)?shù)；梯度、散度、旋度；極值與條件極值。

6.3.1 內(nèi)容小結(jié)

1． 空間曲線切線與法平面

?x?x(t)?1）?y?y(t)

?z?z(t)??切向量v?(xt?,yt?,zt?)

切線方程：

x?x0xt??y?y0yt??z?z0zt?

?(x法平面方程：xt?x0)?yt?(y?y0)?zt?(z?z0)?0

?x?x?y?y(x)???y?y(x)2）??z?z(x)?z?z(x)?切線方程：

?v??(1,y?,z?)類似的

x?x01?y?y0y??z?z0z?

法平面方程：x?x0?y?(y?y0)?z?(z?z0)?0

??Fz?z??0??F(x,z,y)?0xx?Fx??Fy?y?3）????v?(1,y?,z?)xx???????G(x,y,z)?0?Gx?Gyyx?Gzzx?02． 空間曲面切平面與法線

?1）F(x,y,z)?0,n?(Fx?,Fy?,Fz?)|P0切平面：Fx?|p0法線：

(x?x0)?Fy?|p0(y?y0)?Fz?|p0(z?z0)?0x?x0Fx?|p0?y?y0Fy?|p0?z?z0Fz?|p0

?2）z?f(x,y)?F?f(x,y)?z?n?(fx?,fy?,?1)

切平面：類似地

fx?(x?x0)?fy?(y?y0)?(z?z0)?0

法線：x?x0fx??y?y0fy??z?z0?1

?x?x(u,v)?3）*?y?y(u,v)

?z?z(u,v)??（參數(shù)方程形式）

?切線 ?,yu?,zu?),v2?(xv?,yv?,zv?)v1?(xu??????i?xvj?yu?yv?n?v1?v2?xu??(y,z)?(z,x)?(x,y)????zu??(u,v),?(u,v),?(u,v)?????zvk

3． 方向?qū)?shù)

u?u(x,y,z)?u?l??u?xcos???u?ycos???u?zcos??gradu?l???（梯度在l方向投影）

4． 梯度、散度、旋度

?????????，??

??x?y?z???u?u?u??gradu??u??，????x?y?z??

????divA??A??P?x??Q?y??R?z??

rotA???A?i??xPj??yQk??zR

6.3.2 例題

例1 求曲線x??t,y??t,z?t2?23上與平面x?2y?z?4平行的切線方程。

????解 切向量?2?(1,?2t,3t)，n?(1,2,1)由??n，則??n?0，即，1?4t?3t?0?t1?1,t2??當(dāng)t?1時(shí) ??(1,?2,3),x1?1,y1??1,z1?1，切線方程為?13?x?11?y?1?2?z?13

當(dāng)t時(shí) ?2?(1,?21111,),x2?,y1??,z1?333927，x?切線方程為13?y??119?23z?13127

22??x?y?10例2 求空間曲線?22??x?z?10在點(diǎn)(3,1,1)處的切線方程和法平面方程。

解 22??x?y?10?22??x?z?10確定了

y?y(x),z?z(x)，對(duì)x求導(dǎo)??2x?2yy??0?2x?2zz??0x?3y?1?3，y???z????z?1?3

xyxz

?于

1法平面方程為x?3?3(y?1)?3(z?1)?0，即x?3y?3z?3?0 例3 求曲面x2M(3,1,1)點(diǎn)：y???3,z???3,v?(1,?3,?3)切線方程為 ??y?z?x的切平面。使之與平面x?y???22z2?2?垂直，同時(shí)也與x?y?z?2垂直。

?解 切平面法向量n??(2x?1,2y,2z)，n1?(1,?1,?12)，n2?(1,?1,?1)，依題意

n1?n?0

??既有2x ?1?2y?z?0

（1）

（2）n2?n?0 2x?1?2y?12z?0

聯(lián)立（1）（2）和原方程 ?2?2x??4??2得解?y?4??z?0???2?2x??4??2，?y??4??z?0??

? n01??2?2?22???，0?，n02???,?,0? ?2???222????切平面22(x?2?42)?22(y?24)?0

即

x?y?x?y?1?21?222

得

?2?2?2?22?x???(y?)?0 ??2?424??x?2y?3z222即

例4 求u解 令

在(1,1,1)點(diǎn)沿x2?y?z?3的外法線方向的方向?qū)?shù)。

22222F(x,y,z)?x?y?z?3，F(xiàn)x??2x,Fy??2y,Fz??2z?于P(1,1,1)點(diǎn)n?(2,2,2)，n?(??13,13,13)

?u?n??u?xcos???u?ycos???u?zcos?111?12???2x??4y?6z|??43?(1,1,1)3333???

例5 設(shè)f(x,y)在?f?L3?|p0??f?x1??11??1?p0點(diǎn)可微，L1??，?,L2????2222????7。，?f?L1?1,?f?L2?0

?試確定L3使52?f?ycos?1?1，?f?L2??f?xcos?2??f?ycos?2?0，則 解 ?f?L1cos?1? ??f??x????f???x12??f?y12?1??f?x?12?y,?f?12

1??f1??0?????y2?2?? 設(shè)L3?(cos?3,cos?3)

從而?f?L3??f?xcos?3?75?f?xcos?3?75235 即

1245cos?3? 此時(shí)cos12cos?3?45或cos752

cos?3?sin?3??，解得cos??3?或cos?3??3??3?35

?34?即L3??,?55??例6 或L32?43???,? ?55?2 u?lnx?y?z2，求div2(gradu)。

解 div(gradu)???(?u)??u?12ln(x?y?z)222?u?x22??u?y222??u?z22。

u?，2?u?x22?xx?y?z222222，2222?u?x22?x?y?z?x?2x(x?y?z)??x?y?z222(x?y?z)

由對(duì)稱性 ?u?y22?x?y?z222222(x?y?z)2，?u?z22?x?y?z222222(x?y?z)2

從而 div(gradu)?1x?y?z222

例7 設(shè)a, b, c為常數(shù)，F(xiàn)證明(u,v)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)。

證 x?ay?b,)?0上任一點(diǎn)切平面都通過(guò)某定點(diǎn)。z?cz?c11x?ay?b?，F(xiàn)y??F2??，F(xiàn)???F??Fx??F1???F?z1222z?cz?c(z?c)(z?c)F（則切平面方程為 F1??取1z?c(X?x)?F2??1z?c(Y?y)?1(z?c)2?F?(x?a)?F2?(y?b)?(z?y)?0

x?a,Y?b,Z?c，則對(duì)任一的(x,y,z)點(diǎn)上式均滿足，即過(guò)任一點(diǎn)的切平面都過(guò)(a,b,c)點(diǎn)。

。(x?az,y?bz)?0上任一點(diǎn)切平面都通過(guò)某定直線平行（F具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）

?例8 設(shè)a,b為常數(shù)，證明曲面F證

?Fx??F1?，F(xiàn)y??F2?，F(xiàn)z???aF1??bF2?，即n?(F1?,F2?,?aF1??bF2?)，????取l?(a,b,1)，則n?l?0，n?l，曲面平行l(wèi)，取直線

x?x0a??y?y0b?z?z01，則曲面上任一點(diǎn)的切平面都與上述直線平行。例9 求二元函數(shù)u5方向?qū)?shù)最大？這個(gè)最大的方向?qū)?shù)值是多少？u沿那個(gè)方向減少得最快，沿哪個(gè)方向u的值不變？

解 ?x?xy?y22在點(diǎn)M(?1,1)沿方向n?1(2,1)的方向?qū)?shù)，并指出u在該點(diǎn)沿哪個(gè)方向的gradu|(?1,1)?(2x?y,2y?x)|(?1,1)?(?3,3)，u?M在點(diǎn)M(?1,1)沿n?方向的方向?qū)?shù)為

?u?n1?3?2??(gradu)?n|M?(?3,3)??,???5?5?5，方向?qū)?shù)取得最大值的方向?yàn)樘荻确较颍渥畲笾禐闉榍笫箄變化的變化率為零的方向，令l

?gradu|M?32，u沿負(fù)梯度方向減少最快。

?(cos?,sin?)，則，?u?l?u?lM?????(gradu|M)?l??3cos??3sin??32sin????4???4或?令?0，得??????4，故在點(diǎn)(?1,1)處沿???4和???4函數(shù)u得值不變化。

例10 一條鯊魚在發(fā)現(xiàn)血腥味時(shí)，總是沿血腥味最濃的方向追尋。在海上進(jìn)行試驗(yàn)表明，如果血源在海平面上，建立坐標(biāo)系味：坐標(biāo)原點(diǎn)在血源處，xOy2坐標(biāo)面為海平面，Oz軸鉛直向下，則點(diǎn)(x,224y,z)處血源的濃度C（每百萬(wàn)份水中所含血的份數(shù)）的近似值C?e?(x?y?2z)/10。

（1）求鯊魚從點(diǎn)?1,1,??1??（單位為海里）出發(fā)向血源前進(jìn)的路線?2???的方程；

（2）若鯊魚以40海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，鯊魚從?1,1,1??點(diǎn)出發(fā)需要用多少時(shí)間才能到達(dá)血源處？ 2?解（1）鯊魚追蹤最強(qiáng)的血腥味，所以每一瞬時(shí)它都將按血液濃度變化最快，即C的梯度方向前進(jìn)。由梯度的計(jì)算公式，得

2224??C?C?C??4?(x?y?2z)/10?gradC??，?10e(?2x.?2y,?4z)????x?y?z?設(shè)曲線?的方程為x?x(t)，y?y(t)，z?z(t)，則?的切線向量??(dx,dy,dz)必與gradC平行，從而有 dx?2x?dy?2y?dz?4z

解初始值問題

dy?dx???2y??2x?y|?1?x?1dz?dx????2x?4z??z|?1x?1?2?

得

y?x

解初始值問題

得

z?12x2，所以所求曲線?的方程為

x?x，y?x，z? 12（2）曲線?的長(zhǎng)度 x2(0?x?1)s??101?y??z?dx?xx?ln(3?1)??22?10?x2?xdx???22x?2?ln(x?2?x?1)?

?0?3212ln2（海里）

3?1)?1?。ln2?（小時(shí)）

2?因此到達(dá)血源處所用的時(shí)間為T6.4 多元函數(shù)的極值

1?3?ln(?40?2

一、無(wú)條件極值 限于二元函數(shù)z?f(x,y)

1． ??z?0???x?求駐點(diǎn)??z??0???y駐點(diǎn)P

2． 于駐點(diǎn)P處計(jì)算A??z?x22，B??z?x?y2，C??z?y22。B2?AC?0是極值點(diǎn)，A?0可取得極小值，A?0可取極大值。

3． 條件極值：??minu?f(x,y,z)?S.t.?(x,y,z)?0，令

L?f(x,y,z)???(x,y,z)求無(wú)條件極值。

例1 求內(nèi)接于橢球面，且棱平行對(duì)稱軸的體積最大的長(zhǎng)方體。

解 設(shè)橢球面方程為 xa22?yb22?zc22?1，長(zhǎng)方體于第一卦限上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y,z)，則

V?8xyz，s.t.xa 22?yb22?zc22?1，令

2?xa222?x2?yz? L?8xyz??????1?a2b2c2?????8yz?LxL??8xz?y??8xy?Lz及?0?(1)?0?(2)?0?(3)2?yb2?zc22xa22?yb22?zc22?1

由（1）（2）（3）得xa22?b3yb22?zc22?tc3，代入（3）得t?13，從而 x?a3，y?2，z2??2，此時(shí)V?8abc33?839abc。

例2 求由方程2x?2y?z?8xz?z?8?0所確定的二元函數(shù)z?f(x,y)的極值。解

方程兩邊對(duì)x,y求偏導(dǎo)數(shù)得：

4x?2z?z?x?8z?8x?z?x??z?x?0

?（1）

4y?2z?z?y?8x?z?y??z?y?0

?（2）

?4x?8z?016和原方程聯(lián)立得駐點(diǎn)(?2,0)，(,0)?0，得??x74y?0?y?方程（1）對(duì)x,y再求偏導(dǎo)，方程（2）對(duì)y求偏導(dǎo) 令?z?0，?z。

?z?z?z?z?z??z?4?2??8?8?8x??0 ??2z222?x?x?x?x?x?x??2?z?z?y?x?2z22222?（3）

?z?x?y2?82?z?y?8x2?z?x?y22??z?x?y2?0

?（4）

??z??z?z?z?

4?2??2z?8x??0

222??y??y?y?y??將駐點(diǎn)(?2,0)代入（此時(shí)z?1）

?（5）

4?2A?16A?A?0

A?C?415415

2B?16B?B?0

B?0

24?2C?16C?C?0

B?AC?0，z?1是極小值（因A>0）

將駐點(diǎn)?8?（4）（5）（此時(shí)z??,0?代入（3）

7?7??16），同上過(guò)程有

A?? 415，B?0，C??415，2B?AC?0，A?0，z??87是極大值。

習(xí)題： 1 設(shè)u?F(x,y,z)在條件?(x,y,z)?0和?(x,y,z)?0限制下，在P0(x0,y0,z0)處取得極值m??Fx???1??Lx??2???0xx

。證明F(x,y,z)?m，?(x,y,z)?0，?(x,y,z)?0在P0點(diǎn)法線共面。

正：L ?F(x,y,z)?m??1???2?L??Fy???1????2???0yyy

??Fz???1??Lz??2???0 zzFx???x??y??z??x???0y??zx?y?z?5r2222由于(1,?1,?2)?0，從而原方程有非零解，及系數(shù)矩陣為0Fy?Fz?，即三法向量共面。

2． 設(shè)f(x,y,z)?lnx?lny?3lnz。點(diǎn)

3(x,y,z)在第一卦限球面

3上，①求f(x,y,z)的最大值。②證明 對(duì)任意正數(shù)a,b,c成立abc

?a?b?c??27??5??。

習(xí)題課

y?e?例1 設(shè)f(x?y,lnx)??1?，求f(x,y)?yxxeln(x)??解 令x?y?u，lnx?v。

y?e?f(u,v)?f(x?y,lnx)??1??yxx?eln(x)?

xx??x?yxueveu2v?ex?yxlnx?(x?y)ee2lnxx?ylnx

所以

f(x,y)?xeyex2y.例2 討論limxyx?y是否存在.x?0y?0 解

當(dāng)點(diǎn) P(x,y)沿直線y?kx趨向（0，0）時(shí)，limxyx?y2y?kxx?0?limx?kxx?kxx?0?limkx1?kx?0?0

(k??1)，當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿直線y?x?xlim2xyx?y趨向（0，0）時(shí)，y?x?xx?0?lim2x(x?x)x?(x?x)22?lim(x?1)1y?x?xx?0x?0??1，所以limxyx?y不存在.x?0y?0 例3 ?22?(x?y)sinz?f(x,y)????0在（0，0）處是否連續(xù)？

1x?y22(x?y?0)，22(x?y?0),22（1）（2）（3）（4）fx(0,0),fy(0,0)是否存在？

偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y),fy(x,y)在（0，0）處是否連續(xù)？

f(x,y)在（0，0）處是否可微？

f(x,y)在（0，0）處是否連續(xù)，只要看limf(x,y)＝f(0,0)是否成立.因?yàn)?/p>

x?0y?0解

（1）函數(shù) limf(x,y)?lim(x?y)sinx?0y?0221x?y22

x?0y?0

?lim?sin??021??0?f(0,0).所以

f(x,y)在（0，0）處連續(xù).（2）如同一元函數(shù)一樣，分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)按定義來(lái)求.因?yàn)?/p>

(?x)sin?x?021(?x)?x1(?x)22?0 limf(?x,0)?f(0,0)?x?lim?x?0?lim?xsin?x?0?0,所以

(3)fx(0,0)?0，類似地可求得fy(0,0)?0.當(dāng)(x,y)?(0,0)時(shí)

fx(x,y)?2xsin

1x?y1x?y2222?(x?y)cosxx?y22221x?y22?1????2?22x?x2?y23?????

?2xsin?cos1x?y2.因?yàn)??limfx(x,y)?lim?2xsinx?0x?0?y?0y?0?1x?y22?xx?y22cos??不存在.22x?y??1所以 fx(x,y)在（0，0）處不連續(xù)。同理fy(x,y)在（0，0）處也不連續(xù)

（4）由于由fx(x,y),fy(x,y)在（0，0）處不連續(xù)，所以只能按定義判別f(x,y)在（0，0）處是否可微.fx(0,0)?0，fy(0,0)?0，故

?x?0?y?0lim?z?[fx(0,0)?x?fy(0,0)?y](?x)?(?y)222

[(?x)?(?y)]sin?lim?x?0?y?02221(?x)?(?y)22?0(?x)?(?y)(?x)?(?y)sin122 ?lim1(?x)?(?y)22

?x?0?y?0?lim?sin?x?0?y?0??0由全微分定義知f(x,y)在（0，0）處可微，且df(0,0)?0.?f(x,y,z)，z?g(x,y)，y?h(x,t)，t 例4 設(shè)u??(x)，求

dudx.解

對(duì)于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)來(lái)說(shuō)，最主要的是搞清變量之間的關(guān)系.哪些是自變量，哪些是中間變量，可借助于“樹圖”來(lái)分析.圖9－1 由上圖可見，u最終是x的函數(shù)，y，z，t都是中間變量.所以

dudx???f?x?f?x???f??h?hd???f??g?g??h?hd??????????y??x?tdx??z??x?y??x?tdx?f?h?y?x??f?hd??y?tdx??f?g?z?x??f?g?h?z?y?x???????.?f?g?hd??z?y?tdx 從最后結(jié)論可以看出:若對(duì)x求導(dǎo)數(shù)(或求偏導(dǎo)數(shù)),有幾條線通到”樹梢”上的x,結(jié)果中就應(yīng)有幾項(xiàng),而每一項(xiàng)又都是一條線上的函數(shù)對(duì)變量的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)的乘積.簡(jiǎn)言之,按線相乘,分線相加 例5 z?1?2x??f?x???y??1f2，f 可導(dǎo)，求zx.解 zx???1???f???2x???.y??

例6 已知y?ety?x，而t是由方程y?t?x?1確定的x，y的函數(shù)，求

ty222dydx.解

將兩個(gè)方程對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得

y??e(t?y?y?t)?12yy??2tt??2x?0

解方程可得

2dydx?t?xye2ty2tyt?(y?t)e.例7 求曲面x?2y?3z?21平行于平面x?4y?6z?0的切平面方程.解

曲面在點(diǎn)(x,y,z)的法向量為 n ＝(Fx,Fy,Fz)?(2x,4y,6z)，2x14y42已知平面的法向量為n1＝(1，4，6),因?yàn)榍衅矫媾c已知平面平行，所以n//n1,從而有

??6z6（1）

又因?yàn)辄c(diǎn)在曲面上，應(yīng)滿足曲面方程

x?2y?3z?212

（2）

由（1）、（2）解得切點(diǎn)為(1,2,2)及(?1,?2,?2), 所求切平面方程為：

或(x?1)?4(y?2)?6(z?2)?0(x?1)?4(y?2)?6(z?2)?012,1,1)。

這里特別要指出的是不要將n//n1不經(jīng)意的寫成n=n1,從而得出切點(diǎn)為(例8 在橢球面2x222的錯(cuò)誤結(jié)論.222?2y?z?1上求一點(diǎn)，使函數(shù)f(x,y,z)?x?y?zel在該點(diǎn)沿l＝(1,–1,0)方向的方向?qū)?shù)最大.1?1???,?,0?，2??2所以 ?f?l ??f?x?12??f?y12??f?z2?0

2(x?y)2(x?y)在條件2x由題意，要考查函數(shù)

?2y?z?1下的最大值，為此構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

222F(x,y,z)?2(x?y)??(2x?2y?z?1)，14

?Fx?2?4?x?0,??Fy??2?4?y?0, ??Fz?2?z?0,?222?2x?2y?z?1.解得可能取極值的點(diǎn)為 1??1,?,0? ?2??2 及

?11???，0?.?22??2，因?yàn)樗蟮淖畲笾狄欢ù嬖?，比較

?f?l1??1?,?,0?22???f?l?11???，0??22?2??2知??1?2,?1?,0?2?為所求的點(diǎn).例9 求函數(shù)z?x?y222在圓(x2?2)?(y?22)?9上的最大值與最小值.?0,zy?0，解得點(diǎn)(0,0).顯然z(0,0)=0為最小值.解

先求函數(shù)z再求z2?x?y2在圓內(nèi)的可能極值點(diǎn).為此令zx?x?y在圓上的最大、最小值.為此做拉格朗日函數(shù)

22F(x,y)?x?y??[(x?2)?(y?22)?9]，2?Fx?2x?2?(x?2)?0,???Fy?2y?2?(y?2)?0,?22(x?2)?(y?2)?9.??，代入（3）解得

(1)(2)(3)由（1）、（2）可知x?y x?y?522，和

x?y??22，?5252z?,?22????25???22???1.z??,??22???2)?(y?2?5252,?22?為z?25，最小值為z?0.比較z(0,0)、z?

??22??、z???三值可知：在(x?,??22????2)?92上，最大值