第一篇：1證明二 詳細知識點+例題+習題
學大教育（佛山）個性化學習中心
Foshan Xueda Education Individualized learning center
個性化教學輔導教案
關(guān)注成長每一天咨詢熱線：0757-88018866 1
關(guān)注成長每一天咨詢熱線：0757-88018866
關(guān)注成長每一天咨詢熱線：0757-88018866
關(guān)注成長每一天咨詢熱線：0757-88018866
關(guān)注成長每一天咨詢熱線：0757-88018866
第二篇：浮力知識點及典型例題
(考查范圍：浮力及其應用)
附:本章知識小結(jié)(一)本章詞語解釋
1.上升: 物體在液體中向液面運動的過程.2.下沉: 物體在液體中向容器底部運動的過程.3.漂浮: 物體獨自靜止地浮在液面上,有一部分體積在液面下為V排,有一部分體積在液面上為V露.4.懸浮: 物體獨自靜止地懸在液體中任何位置,此時V排＝V物.5.沉底: 物體在液體中沉到容器底,容器底對它有一個支持力.6.浸沒: 物體全部浸在液體中,此時V排＝V物.7.浸入: 物體部分或全部浸在液體中.8.浮體: 凡是漂浮或懸浮在液體中的物體.(二)重難點分析
1.浮力的三要素
2.對阿基米德原理的理解(F?。紾排或F?。溅岩篻V排)A.原理中“浸入液體里的物體”指兩種情況
B.能區(qū)分G物與G排；V物與V排；ρ物與ρ液的意義.C.明確此公式的適用條件:既用于液體也適用于氣體.D.由此式理解決定浮力大小的因素.即:物體浸在液體中所受浮力的大小跟液體(氣體)的密度和物體排開液體(氣體)的體積有關(guān),而跟物體本身的體積、密度、形狀以及物體浸沒在液體(氣體)中的深度等無關(guān).因此,在用F?。溅岩篻V排計算或比較浮力大小時,關(guān)鍵是分析液體的密度ρ液和排開液體的體積V排的大小.3.怎樣判斷物體的浮沉及浮沉的應用
A.物體的浮沉條件 浸沒在液體里的物體若只受重力和浮力的作用,由力運動的關(guān)系可知: 當F浮>G物(ρ液>ρ物)時,物體上浮→漂浮(F'浮＝G物).當F浮=G物(ρ液=ρ物)時,物體懸浮.當F浮 技術(shù)上為了實現(xiàn)浮沉總是設法改變重力與浮力的“力量對比”,來達到目的.若保持浮力不變,可改變自身的重力,實現(xiàn)沉??；若保持重力不變,可改變排開液體(氣體)的體積來實現(xiàn)沉浮.a 輪船采用”空心”辦法,使它排開水的體積增大,達到增大浮力.b 潛水艇 浮力不變,通過改變“自重”來實現(xiàn)上浮、下沉的.c 氣球與飛艇 用小于空氣密度的氫氣或氦氣充入氣球和飛艇中,通過改變氣球和氣囊的體積而改變浮力的大小,實現(xiàn)升降.d 密度計用來測定液體密度的儀器.它利用漂浮原理:G密度計＝F?。溅岩篻V 排,即ρ液大,V排就小,密度計露出部分大而做成的.4.關(guān)于液面升降的問題.分析 其實質(zhì)是比較變化前后的V排.例: 一塊冰浮于水面,如圖.那么當冰熔化前后,其水面將______(選填“升高”、“降低”或“不變”)解: 冰熔化前: 由于漂浮,F?。紾物.則V排＝m冰g/ρ水g＝m冰/ρ水.冰熔化后:由于m水＝m冰,由ρ＝m/V得 V化水＝m水/ρ水＝m冰/ρ水 因 V排水＝V化水,即冰熔化成水后,剛好填滿原來被冰排開的水的體積,因此,水面保持不變.擴展一 ① 若上題中的冰包含有氣泡,則冰熔化后液面將如何變? ② 若上題中的冰包有一小木塊(ρ物<ρ水),則冰熔化后液面又將如何? ③ 若上題中的冰包含有一小石塊(ρ物>ρ水),則冰熔化后又如何? 擴展二 如圖甲,鐵塊A疊放在木塊B上,然后放在水缸中當將鐵塊從木塊上拿下,并放在水缸底部時,水面高度將() A.上升 B.下降 C.不變 D.無法確定 5.如何用浮力知識來測固體或液體的密度.A.測固體的密度 例一 請利用彈簧測力計、水、燒杯測出一塊小石頭(ρ物>ρ水)的密度.① 實驗原理 F?。紾－F拉(稱重法)② 步驟 a 用彈簧測力計先測出小石塊在空氣中的重力記為G石； b 用彈簧測力計懸吊著小石塊,使之浸沒在水杯中,并記下此時彈簧測力計的示數(shù)為F拉； c 由F?。獸拉＝G可求得小石塊浸沒在水中受到的浮力為F?。紾石－F拉； d 由F?。溅岩篻V排和G＝mg＝ρ物gV物及V物＝V排得ρ石＝ ρ水 例二 利用量筒、水、細針測出不沉于水的蠟塊(ρ物<ρ水)密度.① 實驗原理 F?。紾(漂浮法)② 步驟 a 先往量筒中倒入適量的水,記下水的體積為V0； b 然后往量筒中放入小蠟塊,待小蠟塊靜止后,記下水面現(xiàn)在所對應的刻度為V1,即蠟塊漂浮時V排＝V1－V0； c 用細針將蠟塊全部按入水中,記下現(xiàn)在水面刻度為V2,此時蠟塊的體積為V蠟＝V2－V0； d 利用漂浮條件F?。紾,即ρ水gV排＝ρ蠟gV蠟得出ρ蠟＝ρ水 B.測液體的密度 第一 原理 F?。紾－F拉和F?。溅岩篻V排.(稱重法)器材 彈簧測力計、燒杯、適量的水、適量的待測液體和一個密度大于水和液體的物體.過程 用上述器材分別測出物體在水中和待測液體中的浮力,則有 即:ρ液＝ 第二 原理 F?。紾物(漂浮法) 器材 量筒、水和待測液體、一個密度比水和待測液體小的物體.過程 用上述器材分別測出物體在水中和待測液體中的V排即可,即:由G物＝F 浮水和G物＝F浮液可知 ρ水gV排水＝ρ液gV排液,也即ρ液＝ 6.掌握計算浮力大小的四種方法.A.稱重法.利用彈簧測力計兩次讀數(shù)不等來計算浮力.基本公式 F浮＝G－F拉(式中的G和F拉分別為稱在空氣中的物體和稱在液體中的同一物體時彈簧測力計的讀數(shù)) 適用范圍 此式適用于液體中下沉的物體.常用于題中已知用彈簧測力計稱物體重的情況.B.壓力差法.利用浮力產(chǎn)生的原因來計算浮力.基本公式 F?。紽向上－F向下.適用范圍 此法用于判斷物體是否受到浮力或計算浸沒深度已知的規(guī)則物體所受的浮力.C.原理法.利用阿基米德原理來計算浮力.基本公式 F?。紾排液或F浮＝ρ液gV排液.適用范圍 普遍適用.D.平衡法.利用物體漂浮或懸浮的條件來計算浮力.基本公式 F?。紾物、F浮＋N支＝G物、F?。紾物＋F拉.適用范圍 漂浮體、懸浮體、沉底、連接體等.其中稱重法、原理法、平衡法是常用的計算浮力的方法.其它方法一般都要與原理法聯(lián)合使用,才能順利完成浮力問題的解答.7.求解浮力問題的一般步驟 a 明確研究對象 b 明確研究對象所處的運動狀態(tài).(漂浮、懸浮、沉底、上浮或下沉等) c 對研究對象進行受力分析,并畫出受力示意圖.(除分析重力、浮力外,還要注意是否有其它相關(guān)聯(lián)的物體對它有拉力、壓力等) d 列出物體處于平衡狀態(tài)下的力的平衡方程(在展開方程時,應注意抓住題中的關(guān)鍵字“全浸”、“部分浸”、“漂浮”、“沉底”、“露出水面”等)e 解方程求出未知量.1、第二次世界大戰(zhàn)時期，德國納粹一潛水艇在下潛過程中，撞到海底被擱淺而不能浮起來，這是因為()A.有浮力，但浮力小于重力 B.有浮力，且浮力等于重力 C.潛水艇底部沒有水進入，不產(chǎn)生浮力 D.機器壞了，不產(chǎn)生浮力 2．一艘輪船從東海駛?cè)腴L江后，它所受到的浮力()A.變小 B.不變 C.變大 D.不能確定 3．甲、乙兩物體的質(zhì)量之比是3∶5,密度之比是3∶10,若把它們浸沒在同種液體中,則它們所受的浮力之比是()A.3∶5 B.3∶10 C.1∶2 D.2∶1 4．如圖所示，體積相同的甲、乙、丙三個物體浸沒在水中。甲上浮、乙懸浮、丙下沉，在甲露出水面之前，關(guān)于它們所受浮力的說法正確的是()A.甲受到的浮力 B.乙受到的浮力大 C.丙受到的浮力大 D.甲、乙、丙受到的浮力一樣大 7．如圖所示，浸沒在燒杯底部的雞蛋所受水的浮力F1小于雞蛋的重力，現(xiàn)將適量的濃鹽水倒入燒杯中，雞蛋所受的浮力為F2，則F1與F2的關(guān)系是()A.F1>F2 B.F1 9．潛水員從水下15m的地方上浮到距水面lm的地方，則潛水員所受的浮力和壓強()A.壓強和浮力都將變大 C.壓強和浮力都將變小 B.壓強減小，浮力不變 D.壓強不變，浮力變小 10．一個邊長為a的立方體鐵塊從圖（甲）所示的實線位置（此時該立方體的下表面恰與水面齊平）下降至圖中的虛線位置，則圖（乙）中能正確反映鐵塊所受水的浮力的大小F和鐵塊下表面在水中的深度h關(guān)系的圖像是()a F F F F 2a 水 0 a 2a h 0 a 2a h 0 a 2a h 0 a 2a A B C D 11．將質(zhì)量相等的實心鐵塊、鋁塊和木塊放入水中，靜止時，比較它們受到的浮力(ρ鐵=7.8g／cm3、ρ33鋁=2.7g/cm、ρ木=0.4g/cm)()A.鐵塊受到的浮力最小 B.鋁塊受到的浮力最小 C.木塊受到的浮力最小 D.鐵塊和鋁塊受到的浮力一樣大 12．如圖所示，是一位先生巧用物理知識將帽子送給樓上女士的情景。此 過程中應用的關(guān)鍵知識是() A.氣球受到重力 B.帽子質(zhì)量大于氣球質(zhì)量 C.帽子密度大于氣球密度 D.空氣對物體有浮力作用 13．懸浮在水中的潛水艇排出水艙中的一部分水后，受到的浮力大于自身受到的重力，潛水艇將（） A.下沉 B.上浮 C.懸浮在水中 D.先下降后上升 14．打撈江底的沉船，下面采取的措施，不合理的是()A.使沉船與水底淤泥盡量分離 B.使用費力的機械把沉船拉起來 C.清除船體中的泥沙，使船變輕 D.將浮筒與船綁在一起，再排出浮筒內(nèi)的水 15．將一實心物體先后投入足量的水和酒精中，物體靜止時，所受浮力分別為6N和5N，判定物體在水、酒精中的浮沉狀態(tài)可能是（ρ3酒=0.8×10kg/m3）()A.在水中漂浮，在酒精中漂浮 B.在水中漂浮，在酒精中沉底 C.在水中懸浮，在酒精中漂浮 D.在水中沉底，在酒精中沉底 16．質(zhì)量相等的木塊和蠟塊，漂浮在同一盆水中，它們所受浮力的大小關(guān)系是（）A.木塊受浮力大 B.木塊和蠟塊受浮力相等 C.蠟塊受浮力大 D.條件不足，無法比較 17．如圖所示，質(zhì)量相等的A．B．C三個小球，放在同一液體中，結(jié)果A球漂浮，B球懸浮，C球下沉到容器底部，下列說法中正確的是（）A．如果三個小球都是空心的，則它們的體積可能相等 B．如果三個小球的材料相同，則A．B兩球一定是空心的 C．如果三個小球都是空心的，則它們所受浮力的大小關(guān)系為FA＞FB＞FC D．如果三個小球都是實心的，則它們密度的大小關(guān)系為ρA＞ρB＞ρC 18．如圖所示,在三個相同的容器中分別盛有甲、乙、丙三種液體；將三個完全相同的銅球,分別沉入容器底部,當銅球靜止時,容器底部受到銅球的壓力大小關(guān)系是F甲>F乙>F丙,則液體密度相比較() A.甲的最小 B.乙的最小 C.丙的最小 D.一樣大 19．在彈簧測力計下掛一實心物體，彈簧測力計的示數(shù)是Ｆ，如果把物體浸沒在水中央，物體靜止時彈簧測力計的示數(shù)為F/5，則該物體的密度是（）A.1.0×103kg/mB.0.8×103kg/m3 C.1.5×103kg/m3 D.1.25×103kg/m3 20．如圖所示，將兩只同樣盛滿水的溢水杯放在天平的兩盤時天平平衡。將一木塊放在右盤的溢水杯中木塊漂浮在水面上，并將溢出的水取走，此時天平()A.右邊上移 B.保持平衡 C.右邊下移 D.無法確定 21．用一個量筒、水、一根細針做實驗來測木塊的某些物理量，下列說法中正確的是()A.只能測木塊的體積 B.只能測木塊所受的浮力 C.只能測木塊的體積，質(zhì)量和密度 D.木塊的體積，所受的浮力，質(zhì)量和密度都能測量 三、填空題 22．潛水艇充滿水時，可以懸浮在海水中靜止不動．此時，它在豎直方向上受到_______ 力和_________力的作用，這兩個力的合力是_________。 23．如圖所示，卷成團的牙膏皮弄成空心后，立在水中受到的重力________，排開水的體積__________，受到的浮力_______(填“變大”、“變小”或“不變”)． 24．水下6米深處有一條體積為300厘米3的魚，它受到的浮力為______牛，這條魚若再向下游5米，則它受到的浮力將_______。(填“變大”、“變小”或“不變”) 25．一金屬塊在空氣中稱重27N，把它全部浸沒在水中稱彈簧秤讀數(shù)為17N，則該金屬塊受到水對它的浮力是______N，浮力的方向是_________，物體的體積3為______m。 26．如圖所示，重為3×105牛的飛艇靜止在空中，飛艇受到的浮力大小為___________牛，方向豎直___________。 27．一個重5N的木塊漂浮在水面上，它受到的浮力為 ___________ N，它排開水的體積為___________m3.28．一個質(zhì)量、體積均可忽略不計的塑料袋(不漏水)裝上1千克的水后再放入水中，它們受到水的浮力是_____N．(g=1ON／kg)29．如圖所示，將兩塊相同的橡皮泥做成實心球形和碗形，分別放入相同的甲、乙兩杯水中，靜止時甲杯中橡皮泥所受的浮力___________乙杯中橡皮泥所受的浮力（選填“大于”、“小于”或“等于”），________杯中水面升高得多。 30．如圖所示，物體浸沒在水中時，所受到的浮力為______N；如果直接將該物體投入水中，該物體將______（填“上浮”、“懸浮”或“下沉”）；從圖乙、丙可以看出浮力的大小與液體的_______有關(guān).31．小明把一塊地瓜放進杯中的水里，結(jié)果地瓜沉到杯底，如圖所示，請參考表中數(shù)據(jù)判斷，下面哪個辦法能使地瓜浮出水面.32．一個物體所受的重力為10N，將其全部浸沒在水中時，它所排開的水所受的重力為20N，此時它所受的浮力為_____________N，放手后物體將_____________（填“上浮”、“下沉”或“懸浮”），物體靜止時所受浮力為______________N.33． “五·一”黃金周期間，小明與家人到我省大英縣的“死海”游玩，這“死?！逼鋵嵕?/p> 是咸水湖，當人完全浸沒水中時，人受到的浮力_______________人受到的重力（選填“大于”、“小于”或“等于”），所以人就會自然向上浮起；當人漂浮在水面上靜止不動時，人受到的浮力___________人受到的重力（選填“大于”、“小于”或“等于”）。 34．在如圖所示的裝有水的杯中漂浮著一塊冰，冰塊內(nèi)有一實心小鐵塊．當 冰全部融化后，杯中的液面將會_________(填“升高”、“降低”或“不變”) 35．體積是125厘米3的正方體石塊，浸沒在水中某處時，受到的浮力大小是_______牛，如果此時正方體的上表面受到向下的壓力是2.5牛，則下表面受到向上的壓力是_______牛。(g=10牛/千克) 36．一只質(zhì)量是790克的實心鐵球放入水中受到的浮力是______牛，放入水銀中靜止后受到的浮力是______牛。(ρ=7.9×103千克/米3) 37．體積為50厘米，質(zhì)量為48克的生橡膠塊放入足夠深的水中靜止后，水對它的浮力是_________牛。(g＝10牛/千克) 38．將同一小石塊分別浸沒在水和某種液 體中，彈簧測力計的示數(shù)如圖所示，則小石塊的密度是________kg/m3,，這種液體的密度是__________ kg/m3.(g取10N/kg) 39．輪船進港卸下貨物后，吃水深度減少0.5m，如果輪船在水平方向上的平均截面積約 為5400m，那么，卸下貨物的質(zhì)量大約是_________． 40．一艘輪船滿載時的排水量是7500t，輪船受到的浮力是 N；滿載時輪船排開水 3的體積是 m。在水面下3m深處，水對船體的壓強是 Ｐa（輪船的排水量是指輪船排開水的質(zhì)量） 41．將一個密度為0.9×103kg/m3的實心小球，先后放入水和酒精當中，則小球排開水的體積與排開酒精的體積之比為 ________；小球在水和酒精中所受浮力之比是______ (ρ酒=0.8 ×l0kg/m) 42．一個空心銅球質(zhì)量為89g,它能漂浮在水中，且有1/3個球露在水面上，已知銅的密度為8.9×103 kg/m3，則此銅球的體積為________cm3,，其空心部分的體積為_______cm3． 幾何證明與計算 （二）2007、1【目標要求】 掌握等腰三角形（包括等邊三角形）的判定，能應用等腰三角形的性質(zhì)（底角相等，頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高三線合一）進行有關(guān)的計算和證明． 能應用直角三角形的重要性質(zhì)（兩個銳角互余，斜邊上的中線等于斜邊的一半，30°角所對的直角邊斜邊的一半及其逆定理），以及勾股定理及其逆定理進行有關(guān)的計算和證明．【解題指導】 例1如圖1，已知在△ABC中，點M是邊BC的中點，MD⊥AB于點D，ME⊥AC于點E，且MD=ME． 求證：△ABC是等腰三角形． 拓展與引申（1）本題的條件不變，還可證明MD等于AB邊的高的一半．（2）如果在△ABC中，AB=AC，點M是BC邊的任意一點，MD⊥AB于點D，ME⊥AC于點E，這兩個條件不變，可證明MD+ME等于AB邊上的高． （3）如圖2，在等邊△ABC中，P為三角形中的任意一點，那么P到三邊的距離之和為定值，這個定值等于等邊△ABC高． 例2 如圖3，在△ABC中，AB=AC，D、E是AB及AC延長線上的點，連結(jié)DE交BC于F，若F是DE的中點，求證：BD=CE． 拓展與引申當點D為AB的中點時，可證明點F是BC的四等分點． 初二數(shù)學第1頁 （圖1） C （圖2） C （圖3） 例3如圖4，在△ABC中，AF平分∠BAC，BF⊥AF于F，CE⊥AF于E，點D是BC的中點．求證DE=DF= （AB-AC）． 2（圖4） B 例4 如圖5，已知△ABC中，AB=AC，點D在BC邊上，∠DAC=90°.（1）（2） 當∠B=30°時，求證：BD=當BD= CD； 2 CD時，∠B是否一定為30°？ 2 如果一定，請給出證明；如果不一定，請說明理由.（圖5） 例5 如圖6, 等邊△ABC的邊長為1, 點D、E分別在AB、BC邊上，DE將△ABC分成面積相等的兩部分，點F、G在AC邊上，DF//BC，EG//AB, 設AF=x,CG=y.（1）求y與之間的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域； x （2）試問以AF、FG、GC的長為三邊的長能否構(gòu)成直角三 角形？請說明理由． C （圖6） 拓展與引申 如圖7，在Rt△ABC中，點D、E分別在AB、BC邊上，DE將△ABC分成面積相等的兩部分，點F、G在AC邊上，DF//BC，EG//AB, 試問以AF、FG、GC的長為三邊的長能否構(gòu)成直角三角形？請說明理由． （圖7） 初二數(shù)學第2頁 【作業(yè)】A組 1．填空題（1）等腰三角形的頂角為α度，那么底角等于度．（2）在ΔABC中，AB=AC=5cm，∠B=60°，那么BC=cm．（3）在ΔABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，那么ΔABC的面積等于cm2．（4）直角三角形兩個銳角的度數(shù)之比是4∶5，那么較大的一個銳角等于度．（5）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是中線，CE是角平分線，∠A=25°.那么∠DCE=________° （6）等邊三角形的邊長等于a，那么它的高等于． 2．選擇題 （1）用以下長度的三條線段不能組成一個直角三角形的是（）． （A）6cm，8cm，10cm（B）5cm，12cm，13cm（C）7cm，11cm，15cm（D）8cm，15cm，17cm （2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CM分別是這個三角形的高和中線，那么下列結(jié)論錯誤的是（）． （A）∠ACD=∠B（B）∠MCD =∠ACD（C）∠ACD=∠BCM（D）∠ACM=∠BCD（3）如果一個等腰三角形能夠分割為兩個小的等腰三角形，那么頂角不可能是（）． （A）36o（B）72o （C）90o（D）108o D 3．如圖，把矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，點C落在 點E處，BE與AD相交于點F．求證：△BDF是等腰三角形． C 4．已知，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，以點A 為圓心，AD的長為半徑畫弧，交BC于點E．求∠CDE的度數(shù)． 第4題5．在△ABC中，AB=AC，∠B和∠C的平分線相交于點D，求證：點D在邊BC的垂直平分線上． C 第5題 6．求證：如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那 么這個三角形是直角三角形． E 7．如圖，已知Rt△ABC中，AB=AC，CE垂直∠B的平分線BD，垂足為點E．求證：BD=2CE． B C （第7題） 初二數(shù)學第3頁 B組 1．填空題（1）等腰三角形兩條邊的長度分別為3和6，那么周長等于． （2）等腰三角形一腰上的高與另一腰所夾的角為45°，那么頂 角為度． （3）如圖，在ΔABC中，BC=5 cm，BP、CP分別是△ABC和△ ACB的平分線，點D、E在BC邊上，且PD//AB，PE//AC，那么ΔPDE第1（3）題的周長是_______ cm.． （4）已知直角三角形的周長為9cm，斜邊上的中線長為A 2cm，那么兩條直角邊長的和為cm． （5）在Rt△ABC中，斜邊AB的垂直平分線MN交邊AC于點M，如果∠B=55°，那么∠CBM度． E （6）等腰三角形一腰上的高等于腰長的一半，那么這個B D 等腰三角形的頂角等于_____度． 2．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，C ∠ADC=50°，點E是對角線BD的中點．求∠CAE的度數(shù)． 第2題 3．在直角坐標平面中，點A的坐標為（-3，0），點B的坐標為（2，5），點C的坐標為（-1，8），試判斷△ABC是否為直角三角形，并證明你的結(jié)論． A 4．如圖，已知∠ABD=∠ADB，∠ABC=∠ADC，BE=DC．試比 較∠DCB+2∠ACB與180度的大?。?C 5．如圖，已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC，過點C任意 畫一條與斜邊相交的直線，分別過點A、B作這條直線的垂線，垂足分別為點D和點E．求證：DE=AD-BE． C B 第5題 6．已知等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，過點C作直線l（直線l不經(jīng)過點A和點B），過點A作AD⊥l，垂足為點D，過點B作BE⊥l，垂足為點E，試探索DE、AD、BE長度之間的關(guān)系． 初二數(shù)學第4頁 基本不等式 知識點： 1.(1)若a,b?R，則a?b?2ab a?b時取“=”）22(2)若a,b?R，則ab?a?b222（當且僅當 2.(1)若a,b?R*，則 a?b時取“=”）a?b2?(2)若a,b?R，則a?b?2ab *ab（當且僅當 a?b?(3)若a,b?R，則ab??）??(當且僅當a?b時取“=” ?2?* 23.若x?0，則x? 若x?0，則x?1x 1x）?2(當且僅當x?1時取“=”??2(當且僅當x??1時取“=”） 若x?0，則x?1?2即x?1?2或x?1?-2(當且僅當a?b時取“=”） xxx 4.若ab?0，則a?b?2(當且僅當a?b時取“=”）若ab?0，則 ba a b??2即a bb a?2或 2ab2ba（）-?2當且僅當a?b時取“=”5.若a,b?R，則（注意： a?b2)?2a?b2（當且僅當a?b時取“=”） (1)當兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”． (2)求最值的條件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用 應用一：求最值 例：求下列函數(shù)的值域 （1）y＝3x 2＋ 12x 21（2）y＝x＋ x 解：(1)y＝3x 2＋1 2x 2 ≥23x 2·12x 2＝6∴值域為[6，+∞） 1(2)當x＞0時，y＝x ≥2x1x·＝2； x 當x＜0時，y＝x＋= －（－ x－）≤－ 2xx∴值域為（－∞，－2]∪[2，+∞） 解題技巧 技巧一：湊項 例已知x? 54x·=－2 x，求函數(shù)y ?4x?2? 14x?5的最大值。 解：因4x?5?0，所以首先要“調(diào)整”符號，又(4x?2)要進行拆、湊項，?x? 54,?5?4x?0，?y?4x?2? 4x?5 不是常數(shù)，所以對4x? 21? ???5?4x? 4x?55?4x? ???2?3?1 ?? 3? 當且僅當5?4x? 15?4x，即x?1時，上式等號成立，故當x?1時，ymax?1。 技巧二：湊系數(shù) 例： 當時，求y?x(8?2x)的最大值。解析：由 知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8為定值，故只需將 y?x (8?2x)湊上一個系數(shù)即可。 當，即x＝2時取等號當x＝2時，y?x(8?2x)的最大值為8。 變式：設0?x?，求函數(shù)y?4x(3?2x)的最大值。 2x?3?2x?9 解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2???? 222?? 當且僅當2x?3?2x,即x? 技巧三： 分離 技巧四：換元 例：求y? x?7x?10 x? 1?3? ??0,?時等號成立。4?2? (x??1)的值域。 解析一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項，再將其分離。 當,即 時,y?5?9（當且僅當x＝1時取“＝”號）。 解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。y? (t?1)?7(t?1）+10 t = t?5t?4 t ?t?4t ?5 當,即t=時,y?5?9（當t=2即x＝1時取“＝”號）。 例：求函數(shù)y?的值域。 ?t（t?2)，則y? 1t 1t ??t? 1t (t?2) 因t?0,t??1，但t?因為y?t? 1t 解得t??1不在區(qū)間?2,???，故等號不成立，考慮單調(diào)性。 在區(qū)間?1,???單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間?2,???為單調(diào)遞增函數(shù)，故y? ?5 ??。 所以，所求函數(shù)的值域為?,???。 ?2 技巧六：整體代換 多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。例：已知x?0,y?0，且 1x?9y 1x? ?1，求x?y的最小值。 9y ?1?x 9? ??x?y??y? ?12故 錯．解．：?x?0,y?0，且 ?1，?x?y?? ? ?x?y?min ?12。 等號成立條件 是x?y，在錯因：解法中 兩次連用均值不等式，在x?y?1x 9y ??1x ? 9y 即y?9x,取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。 ?19?y9x正解：?x?0,y?0,1?9?1，?x?y??x?y???????10?6?10?16 xy ?xy? xy 當且僅當技巧七 yx ? 9xy 時，上式等號成立，又 1x ? 9y ?1，可得x?4,y?12時，?x?y?min?16。 例：已知x，y為正實數(shù)，且x ＝1，求1＋y 2 的最大值.2分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤ 221＋y中y前面的系數(shù)為，x y 2 a 2＋b 2。 1＋y 22· ＝2 同時還應化簡1＋y 2 ＝x x· 1y 2 ＋22 1y 2 ＋分別看成兩個因式： 22x 2＋（1y 2 ＋)22222 x 2＋ ＝ y 22＋ 下面將x，x· 1y 2 ＋ ≤22 ＝即x 1＋y 2 ＝2 ·x 1y 23＋≤224技巧八： 已知a，b為正實數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y＝的最小值.ab 分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。 30－2b－2 b 2＋30b 法一：a＝，ab＝·b＝ b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15 令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝8 ∴ ab≤18∴ y≥ 118 當且僅當t＝4，即b＝3，a＝6時，等號成立。ab －2t 2＋34t－31 1616 ＝－2（t＋）＋34∵t＋ ≥2 t· 30－2b tttt 法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab∴ 30－ab≥2令u＝ab則u2＋22 u－30≤0，－5∴≤u≤3 ab≤32，ab≤18，∴y≥ a?b2 ab（a,b?R）的應用、不等式的解法及運算能力；② ? 點評：①本題考查不等式 ? ? 如何由已知不等式ab?a?2b?30（a,b?R）出發(fā)求得ab的范圍，關(guān)鍵是尋找到 a?b與ab之間的關(guān)系，由此想到不等式 a?b 2?ab（a,b?R），這樣將已知條件轉(zhuǎn)換 ? 為含ab的不等式，進而解得ab的范圍 .技巧 九、取平方 例: 求函數(shù)y ? 12?x? 52)的最大值。 解析：注意到2x?1與5?2x的和為定值。 y?? ?4??4?(2x ?1)?(5?2x)?8 又y?0，所以0?y?當且僅當2x?1=5?2x，即x? 時取等號。故ymax?。 應用二：利用均值不等式證明不等式 例：已知a、b、c?R?，且 a?b?c?1。求證：? ? 1??1??1? ?1???1???1??8 ?a??b??c? 分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“2”連乘，又1?1?1?a?b?c?，可由此變形入手。 a a a a 解：?a、b、c?R?，a?b?c?1。 ? 1a ?1? 1?aa ? b?ca ? a 。同理 1b ?1? b，1c ?1? c 1?1??1??1?。當且僅當時取等號。a?b?c??1?1?1??8?????? 3abcabc?????? 應用三：均值不等式與恒成立問題 例：已知x?0,y?0且 1x?9y ?1，求使不等式x?y?m恒成立的實數(shù)m的取值范圍。 解：令x?y?k,x?0,y?0,10k 3k 1x ? 9y ?1，? x?ykx ? 9x?9yky ?1.? 10k ? ykx ? 9xky ?1 ?1??2? 。?k?16，m????,16? 應用四：均值定理在比較大小中的應用： 例：若 a?b?1,P? lga?lgb,Q? (lga?lgb),R?lg（a?b2)，則P,Q,R的大小關(guān)系 是.分析：∵a?b?1 ∴l(xiāng)ga?0,lgb?0 Q? （lga?lgb)? a?b2)?lg lga?lgb?p lgab?Q∴R>Q>P。 R?lg(ab? 證明 （一）1交流必須對某些名稱和術(shù)語有共同的認識才能進行，為此，就要對名稱和術(shù)語的含義加以描述，做出明確的規(guī)定，也就是給出它們的定義。 2判斷一件事情的句子，叫做命題。如果一個句子沒有對某一件事情作出任何判斷，那么它就不是命題。 3每個命題都是由條件和結(jié)論兩部分組成，條件是已知的事項，結(jié)論是由已知事項推斷出的事項，一般地，命題都可以寫成“如果??那么?..”的形式，其中“如果”引出的部分是條件，“那么”引出的部分是結(jié)論。4正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題。 5要說明一個命題是假命題，通?？梢耘e出一個例子，使之具備命題的條件，而不具有命題的結(jié)論，這種例子稱為反例。 6公認的真命題稱為公理。除了公理外，其他真命題的正確性都通過真理的方法證實，推理的過程稱為證明，經(jīng)過證明的真命題稱為定理，而證明所需的定義，公理和其他定理都編寫在要證明的這個定理的前面。 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等。兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等。三邊對應相等的兩個三角形全等。 全等三角形的對應邊相等，對應角相等。 公理 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。定理 兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行。定理 兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.公理 兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。定理 兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等。 證明定理：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補。這一定理可以簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。 三角形內(nèi)角和定理 三角形三個內(nèi)角的和等于180度。 三角形的一個外角等于和它相鄰的兩個內(nèi)角的和。三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。 證明 （二）公理 三邊對應相等的兩個三角形全等（SSS）公理 兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等。（SAS）公理 兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等。(ASA)公理 全等三角形的對應邊相等、對應角相等。 推論 兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等。(AAS)定理 等腰三角形的兩個底角相等。 推論 等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。定理 有兩個角相等的三角形是等腰三角形。 先假設命題的結(jié)論不成立，然后推導出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立。這種證明方法稱為反證法。 定理 有一個角等于60度的等腰三角形是等邊三角形。 定理 在直角三角形中，如果一個銳角等于30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。.定理 直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。 定理 如果三角形的兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。 一個命題是真命題，它的逆命題卻不一定是真命題，如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理。 定理 斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。定理 線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。 定理 到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。定理 三角形三條邊的垂直平分線相交于一點并且這一點到三個頂點的距離相等。 定理 角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。 定理 在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。定理 三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等。 證明 （三）定理平行四邊形的對邊相等。定理平行四邊形的對角相等。 定理 同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形。定理 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。定理 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。 定理 三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。定理 矩形的四個角都是直角。定理 矩形的對角線相等。 推論 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。定理 菱形的四條邊都相等。 定理 菱形的對角線互相垂直，并且每條對角線平分一組對角。定理 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。第三篇：幾何證明與計算習題精選(二)
第四篇：新課標必修5數(shù)學基本不等式經(jīng)典例題(含知識點和例題詳細解析)（范文）
第五篇：證明(一)(二)(三)知識點總結(jié)
點擊咨詢 