第一篇：八年級命題與證明(知識點典型例題,動態(tài)幾何問題)

第四章命題與證明

知識回顧：

1一般地，能明確指出概念含義或特征的句子，稱為定義。

（定義必須是嚴(yán)密的，諸如“一些”，“大概”，“差不多”等不能在定義中出現(xiàn)）

2.判斷一件事情的句子，叫做命題。

命題必須是一個完整的句子，且必須對某件事情作出“是什么”或“不是什么”的判斷。正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題。（注意：錯誤的命題也是命題）

3.命題的構(gòu)成：命題由題設(shè)（或條件）和結(jié)論兩部分構(gòu)成。

命題表述的標(biāo)準(zhǔn)形式是：“如果??那么??”；或“若??，則??”

一般地，“如果（若）??”是題設(shè)部分，“那么（則）??”是結(jié)論部分。4公理與定理

公理與定理都是真命題．

經(jīng)過人們長期實踐中總結(jié)出來的，并作為判定其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫公理．（公理是不需要證明的基本事實）

從公理或其他真命題出發(fā)，通過邏輯推理來判斷一個命題是正確的，并可進一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫定理．證明：

根據(jù)題設(shè)的條件以及定義、公理、定理等，經(jīng)過邏輯推理來判斷一個命題是否正確，這樣的推理過程叫證明．反證法與舉反例證明假命題

反證法的步驟為：先假設(shè)結(jié)論的反面是正確的，然后通過邏輯推理、推出與公理、已證的定理、定義或已知條件相矛盾，說明假設(shè)的不成立，從而得出原結(jié)論是正確的．若要證明一個命題為假命題，只要舉出一個反例來說明命題不成立即可．

但所舉的反例要簡單、明確、有說服力．

【典型例題】：

例3.判斷下列語句，是不是命題，如果是，請判斷它是真命題還是假命題。

（1）畫線段AB的中垂線。

（2）兩條直線相交，有幾個交點？

（3）如果a//b，b//c，那么a//c。

（4）兩個角不相等，則它們不是對頂角。

（5）已知一個數(shù)能被4整除，這個數(shù)一定能被8整除。

（6）同位角相等。

例1.判斷下列命題的真?zhèn)危绻羌倜}，請舉出一個反例．

①若a>b，則

1a?1

b

②兩個銳角的和是個銳角

③同位角相等，兩直線平行

④一個角的補角大于這個角

解：①假命題．比如當(dāng)a＝2，b＝－3時，就有1

2??1

3．②假命題．比如30°和80°均為銳角，但30°+80°>90°

③真命題．

④假命題．比如：130°的補角是70°，但70°<130°

（注：舉反例說明命題為假只需舉一個反例即可）

例2.下列各命題中是假命題的是（）A.推理過程叫做證明B.定理都是命題

C.命題都是公理D.公理都是命題 解：C

例6.已知：（如圖）MN//PQ，AC⊥PQ，BD、AC相交于點E，且DE＝2AB．

求證：∠DBC＝

3∠ABC．

MDAN

Q

C B

證明：取DE的中點G，連結(jié)AG

∵AC⊥PQ MN//PQ（已知）

∴∠CAD＝90°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）又G為DE中點 ∴AG＝DG＝

2（直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半）DE．

∵DE＝2AB

∴AG=AB∴∠ABD＝∠AGB＝2∠ADG=2∠DBC（等腰三角形底角相等，與三角形外角定理）

∴∠DBC＝

∠ABC

例

7、反正法

1證明幾何量之間的關(guān)系

：已知：四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，EF?

2(AB?CD)。

求證：AB//CD。

證明：假設(shè)AB不平行于CD。如圖，連結(jié)AC，取AC的中點G，連結(jié)EG、FG。∵E、F、G分別是AD、BC、AC的中點，∴GE//CD，GE?∵AB不平行于CD，∴GE和GF不共線，GE、GF、EF組成一個三角形。∴GE?GF?EF① 但GE?GF?①與②矛盾。

2(AB?CD)?EF②

CD；GF//AB，GF?

12AB。

A

B

∴AB//CD2、證明“唯一性”問題

在幾何中需要證明符合某種條件的點、線、面只有一個時，稱為“唯一性”問題。

例3：過平面?上的點A的直線a??，求證：a是唯一的。證明：假設(shè)a不是唯一的，則過A至少還有一條直線b，b?? ∵a、b是相交直線，∴a、b可以確定一個平面?。設(shè)?和?相交于過點A的直線c?！遖??，b??，∴a?c，b?c。

這樣在平面?內(nèi)，過點A就有兩條直線垂直于c，這與定理產(chǎn)生矛盾。所以，a是唯一的。

【練習(xí)題】

1.判斷下列命題是真還是假命題，簡要說明理由．

（1）同一個角的鄰補角是對頂角

（2）三條直線a，b，c，若a⊥b，c⊥b，則a//c

（3）若延長線段AB，延長射線CD后它們?nèi)圆幌嘟?，則這條線段與這條射線互相平行（4）點到直線的距離即是點到直線的垂線段（5）若同旁內(nèi)角不互補，則這兩條直線不平行（6）推論是真命題

（7）是9的倍數(shù)的數(shù)，它一定也是3的倍數(shù)（8）若一個數(shù)能被5整除，則它一定也能被10整除（9）只有開方開不盡的式子才是二次根式（10）當(dāng)m≥0時，解不等式mx≥n，得到解集x?

nm

6.如圖，已知△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD＝AC求證：∠B＝2∠C．

BDC

*8.如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，BE＝CE，過點E作GH⊥AD，交AC、以及AD、AB的延長線于H、F、G．

求證：AC＝2BG+AB

A

BDHF

GC

1.（1）√（2）√（3）×（4）×（5）√

（6）√（7）√（8）×（9）×（10）×，理由略

6.提示：延長AB到點E，使BE＝BD，連結(jié)ED，證明△AED?△ACD8.提示：過B作BN//AC，證明△AGH為等腰三角形，則BG＝BN又證明△BNE?△CHE，∴BN＝HC＝BG

∴AC＝AH+HC＝AB+BG+HC＝AB+2BG

八年級下學(xué)期幾何動態(tài)問題

1.已知：等邊三角形ABC的邊長為4厘米，長為1厘米的線段MN在△ABC的邊AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B點運動（運動開始時，點M與點A重合，點N到達點B時運動終止），過點M、N分別作AB邊的垂線，與△ABC的其它邊交于P、Q兩點，線段MN運動的時間為t秒．

（1）線段MN在運動的過程中，t為何值時，四邊形MNQP恰為矩形？并求出該矩形的面積；

（2）線段MN在運動的過程中，四邊形MNQP的面積為S，運動的時間為t．求四邊形MNQP的面積S隨運動時間t變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．

2.如圖，在Rt△ABC中，?A?90?，AB?6，AC?8，D，E分別是邊AB，AC的中點，點P從點D出發(fā)沿DE方向運動，過點P作PQ?BC于Q，過點Q作QR∥BA交

AC于

R，當(dāng)點Q與點C重合時，點P停止運動．設(shè)BQ?x，QR?y．

B

A M N

（1）求點D到BC的距離DH的長；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

x的（3）是否存在點P，使△PQR為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的A

C

H Q

值；若不存在，請說明理由．

3.如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。動點P從點D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2兩個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，點P，Q分別從點D，C同時出發(fā)，當(dāng)點Q運動到點B時，點P隨之停止運動。設(shè)運動的時間為t（秒）。

（1）設(shè)△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)t為何值時，以B，P，Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？

（3）是否存在時刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由。

4.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?3，DC?5，BC?10，梯形的高為4．動點M從B點出發(fā)沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動；動點N同時從C點出發(fā)沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動．設(shè)運動的時間為t（秒）．

B

M

C

（1）當(dāng)MN∥AB時，求t的值；

（2）試探究：t為何值時，△MNC為等腰三角形．

第二篇：八年級數(shù)學(xué)下冊 幾何證明初步知識點

第十一章 幾何證明初步知識點整理

1.定義：用來說明一個名詞含義的語句叫做定義.2.命題：對事情進行判斷的語句叫做命題.每個命題都由條件和結(jié)論兩部分組成.條件是已知事項,結(jié)論是由已知事項推斷出的事項.一般地,命題可以寫成“如果??,那么??”的形式,其中“如果”引出的部分是條件,“那么”引出的部分是結(jié)論.如果一個句子沒有對某一件事情作出任何判斷,那么它就不是命題.例如,下列句子都不是命題:(1)你喜歡數(shù)學(xué)嗎?(2)作線段AB=CD.⑶清新的空氣；⑷不許講話。3.正確的命題稱為真命題,不正確的的命題稱為假命題.4.反例：要指出一個命題是假命題，只要能舉出一個例子，使它具備命題的條件，而不符合命題的結(jié)論就可以了。這種例子稱為反例。

5.公理：人類經(jīng)過長期實踐后公認(rèn)為正確的命題,作為判斷其他命題的依據(jù)。這些公認(rèn)為正確的命題叫做公理。

證明:除了公理外,其它真命題的正確性都通過推理的方法證實.推理的過程稱為證明.定理:經(jīng)過證明的真命題稱為定理.本套教材以下列基本事實作為公理： 1.兩點確定一條直線。

2.過直線外一點可以作且只能作一條直線與已知直線平行。3.兩直線平行,同位角相等。

4.兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。5.判斷三角形全等的方法：SAS ASA SSS。6.全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等。

7.在等式或不等式中,一個量可以用它的等量來代替.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,這一性質(zhì)也看作公理,稱為“等量代換”.判斷：

所有的命題都是公理。所有的真命題都是定理。所有的定理是真命題。所有的公理是真命題。

6.在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題。把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。Eg:(1)兩條直線平行，內(nèi)錯角相等．

(2)如果兩個實數(shù)相等，那么它們的平方相等．(3)如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值相等．(4)全等三角形的對應(yīng)角相等．

注意: 一個命題是真命題,它的逆命題卻不一定是真命題.如果一個定理的逆命題也是真命題，那么這個逆命題就是原來定理的逆定理！（勾股定理和它的逆定理）

7.三角形內(nèi)角和定理：三角形三個角的內(nèi)角和等于180° 推論一：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。推論二：三角形的一個外角大于與它不相鄰的任意一個內(nèi)角。8.直角三角形的兩個銳角互余。有兩角互余的三角形是直角三角形。三角形的外角和等于360°。

9.反證法：先提出與命題的結(jié)論相反的假設(shè),推出矛盾,從而證明命題成立.這種證明的方法叫做反證法.反證法的步驟：否定結(jié)論—推出矛盾—肯定結(jié)論 Eg:

1、“a＜b”的反面應(yīng)是（）（A）a≠＞b（B）a ＞b（C）a=b（D）a=b或a ＞b

2、用反證法證明命題“三角形中最多有一個是直角”時，應(yīng)如何假設(shè)？ ___________________________________

3、寫出下列各結(jié)論的反面：

（1）a//b（2）a≥0（3）b是正數(shù)（4）a⊥b(5)至多有一個（6）至少有一個 常用的互為否定的表述方式：

都是——不都是；大于——不大于；至少有一個——一個也沒有；至少有三個——至多有兩個；至少有n個——至多有(n-1)個；至多有一個——至少有兩個

第三篇：命題與證明的知識點總結(jié)

命題與證明的知識點總結(jié)（湘教版）

一、知識結(jié)構(gòu)梳理

1．定義：

（1）概念①；（2）分類

2．命題② 假命題（可通過來說明）

（3的形式。

命題與證明

（4）互逆命題（1）公理：

（2）定理：3.公理與定理

（1）概念：4.證明①理解題意，畫出

（2）證明命題的一般步驟②寫出已知，③寫出

（3）反證法

二、知識點歸類

知識點定義的概念對于一個概念特征性質(zhì)的描述叫做這個概念的定義。如：“兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離”是“兩點之間的距離”的定義。

注意：定義必須嚴(yán)密的，一般避免使用含糊不清的語言，例如“一些”、“大概”、“差不多”

等不能在定義中出現(xiàn)。

例1 在下列橫線上，填寫適當(dāng)?shù)母拍睿?/p>

（1）連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫作三角形的；

（2）能夠完全重合的兩個圖形叫做；

（3）兩組對邊分別平行的四邊形叫做；

例2 敘述概念的定義

（1）數(shù)軸；（2）等腰三角形

知識點命題

知識點一命題的概念

敘述一件事情的句子（陳述句），要么是真的，要么是假的，那么稱這個陳述句是一個命 如“你是一個學(xué)生”、“我們所使用是教科書是湘教版的”等。

注意：（1）命題必須是一個完整的句子。

（2）這個句子必須對某事情作出肯定或者否定的判斷，二者缺一不可。

例 下列句子中不是命題的是()

A 明天可能下雨B 臺灣是中國不可分割的部分

C 直角都相等D 中國是2008年奧運會的舉辦國

知識點二真命題與假命題

如果一個命題敘述的事情是真的，那么稱它是真命題；如果一個命題敘述的事情是假的，那么稱它是假命題

注意：真、假命題的區(qū)別就在于其是否是正確的，在判斷命題的真假時，要注意把握這點。例 下列命題中的真命題是（）

A 銳角大于它的余角B 銳角大于它的補角

C 鈍角大于它的補角D 銳角與鈍角等于平角

知識點三命題的結(jié)構(gòu)

每個命題都有條件和結(jié)論兩部分組成。條件是已知的事項，結(jié)論是由已知事項推斷出的事項。一般地，命題都可以寫出“如果------，那么-------”的形式。有的命題表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以寫成這種形式。如：“對頂角相等”，改寫成“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”。

例 把下列命題改寫成“如果------，那么-------”的形式，并指出條件與結(jié)論。

1、同角的余角相等

2、兩點確定一條直線

知識點四證明及互逆命題的定義

1、從一個命題的條件出發(fā)，通過講道理（推理），得出它的結(jié)論成立，這個過程叫作證明。注意：證明一個命題是假命題的方法是舉反例，即找出一個例子，它符合命題條件，但它不滿足命題的結(jié)論，從而判斷這個命題是假命題。

2、一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，這兩個命題稱為互逆的命題，其中的一個命題叫作另一個命題的逆命題。

注意：一個命題為真不能保證它的逆命題為真，逆命題是否為真，需要具體問題具體分析。例 說出下列命題的逆命題，并指出它們的真假。

（1）直角三角形的兩銳角互余；（2）全等三角形的對應(yīng)角相等。

公理與定理

知識點一公理與定理

數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結(jié)出來的，并把它們作為判斷其它命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理。

以基本定義和公理作為推理的出發(fā)點，去判斷其他命題的真假，已經(jīng)判斷為真的命題稱為定理。

注意：（1）公理是不需要證明的，它是判斷其他命題真假的依據(jù)，定理是需要證明；(2)定理都是真命題，但真命題不一定都是定理。

例 填空：（1）同位角相等，則兩直線；（2）平面內(nèi)兩條不重合的直線的位置關(guān)系是；（3）四邊形是平行四邊形。

知識點二互逆定理

如果一個定理的逆命題也是定理，那么稱它是原來定理的逆定理，這兩個定理稱為互逆定理。

注意：每個命題都有逆命題，但并非所有的定理都有逆定理。如：“對頂角相等”就沒逆定理。

證明

知識點一證明的含義

從一個命題的條件出發(fā)，通過講道理（推理），得出它的結(jié)論成立，從而判定該命題為真，這個過程叫做證明。

注意：（1）證明一個命題時，首先要分清命題條件和結(jié)論，其次要從已知條件出發(fā)，運用定義、公理、定理進行推理，得出結(jié)論。

（2）證明的過程必須做到步步有據(jù)。

例.已知：如圖正方形ABCD中，E為CD邊上一點，F(xiàn)為BC延長線上一點，且CE＝CF

（1）求證：ΔBCE≌ΔDCF

（2）若∠FDC＝30°，求∠BEF的度數(shù)。

AD

BCF

知識點二反證法

從命題結(jié)論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。

反證法的關(guān)鍵在于反設(shè)所證命題的結(jié)論。適用范圍：證明一些命題，且正面證明有困難，情況多或復(fù)雜，而否定則比較簡單。

反證法證題步驟：（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)命題結(jié)論的反面成立；（2）從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理，得出矛盾；（3）由矛盾判斷假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論成立。例在 △ABC中，∠A、∠B、∠C是它的三個內(nèi)角。

求證：在∠A、∠B、∠C中不可能有兩個直角。

三、鞏固訓(xùn)練

一、填空

1.把命題“三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等”寫成“如果??,那么??”的形式是________________________________________________________________________.222.命題“如果a?b ,那么a?b”的逆命題是________________________________.3.命題“三個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等”是一個______命題(填“真”或“假”).4.如圖,已知梯形ABCD中, AD∥BC, AD＝3,AB＝CD＝4, BC＝7,則∠B＝_______.5.用反證法證明“b1∥b2”時,應(yīng)先假設(shè)_________.二、選擇題

1.下列語句中,不是命題的是（）

A.直角都等于90°B.面積相等的兩個三角形全等

C.互補的兩個角不相等D.作線段AB

2.下列命題是真命題的是（）

A.兩個等腰三角形全等B.等腰三角形底邊中點到兩腰距離相等

C.同位角相等D.兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

3.下列條件中能得到平行線的是（）

①鄰補角的角平分線；②平行線內(nèi)錯角的角平分線；③平行線同位角的平分線； ④平行線同旁內(nèi)角的角平分線.A.①②B.②④C.②③D.④

4.下列命題的逆命題是真命題的是（）

A.兩直線平行同位角相等B.對頂角相等

C.若a?b,則a2?b2D.若(a?1)x?a?1,則x?

15.三角形中,到三邊距離相等的點是（）

A.三條高的交點B.三邊的中垂線的交點

C.三條角平分線的交點D.三條中線的交點

6.下列條件中，不能判定兩個直角三角形全等的是（）

A.兩條直角邊對應(yīng)相等B.斜邊和一銳角對應(yīng)相等

C.斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等D.面積相等

7.△ABC的三邊長a,b,c滿足關(guān)系式(a?b)(b?c)(c?a)?0，則這個三角形一定是（A.等腰三角形B.等邊三角形

C.等腰直角三角形D.無法確定

8.如圖，點E在正方形ABCD的邊AB上，若EB的長為1，EC的長為2，那么正方形ABCD的面積是（）

三、判斷下列命題是真命題還是假命題,若是假命題,請舉一個反例說明.（1）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.（2）有兩個角是銳角的三角形是銳角三角形.）

第四篇：命題與證明的知識點總結(jié)

命題與證明的知識點總結(jié)（湘教版）

一、知識結(jié)構(gòu)梳理

1．定義：

（1）概念

①

（2）分類

2．命題② 假命題（可通過

（3）形式：命題都可寫成的形式。

命題與證明（4）互逆命題

1）公理：

3.公理與定理

（2）定理：

（1）概念：

4.證明①理解題意，畫出

（2）證明命題的一般步驟②寫出已知，③寫出

（3）反正法

二、知識點歸類

知識點定義的概念對于一個概念特征性質(zhì)的描述叫做這個概念的定義。如：“兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離”是“兩點之間的距離”的定義。

注意：定義必須嚴(yán)密的，一般避免使用含糊不清的語言，例如“一些”、“大概”、“差不多”

等不能在定義中出現(xiàn)。

例1 在下列橫線上，填寫適當(dāng)?shù)母拍睿?/p>

（1）連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫作三角形的；

（2）能夠完全重合的兩個圖形叫做；

（3）兩組對邊分別平行的四邊形叫做；

例2 敘述概念的定義

（1）數(shù)軸；（2）等腰三角形

知識點命題

知識點一命題的概念

敘述一件事情的句子（陳述句），要么是真的，要么是假的，那么稱這個陳述句是一個命 如“你是一個學(xué)生”、“我們所使用是教科書是湘教版的”等。

注意：（1）命題必須是一個完整的句子。

（2）這個句子必須對某事情作出肯定或者否定的判斷，二者缺一不可。

例 下列句子中不是命題的是()

A 明天可能下雨B 臺灣是中國不可分割的部分

C 直角都相等D 中國是2008年奧運會的舉辦國

知識點二真命題與假命題

如果一個命題敘述的事情是真的，那么稱它是真命題；如果一個命題敘述的事情是假的，那么稱它是假命題

注意：真、假命題的區(qū)別就在于其是否是正確的，在判斷命題的真假時，要注意把握這點。例 下列命題中的真命題是（）

A 銳角大于它的余角B 銳角大于它的補角

C 鈍角大于它的補角D 銳角與鈍角等于平角

知識點三命題的結(jié)構(gòu)

每個命題都有條件和結(jié)論兩部分組成。條件是已知的事項，結(jié)論是由已知事項推斷出的事項。一般地，命題都可以寫出“如果------，那么-------”的形式。有的命題表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以寫成這種形式。如：“對頂角相等”，改寫成“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”。

例 把下列命題改寫成“如果------，那么-------”的形式，并指出條件與結(jié)論。

1、同角的余角相等

2、兩點確定一條直線

知識點四證明及互逆命題的定義

1、從一個命題的條件出發(fā)，通過講道理（推理），得出它的結(jié)論成立，這個過程叫作證明。注意：證明一個命題是假命題的方法是舉反例，即找出一個例子，它符合命題條件，但它不滿足命題的結(jié)論，從而判斷這個命題是假命題。

2、一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，這兩個命題稱為互逆的命題，其中的一個命題叫作另一個命題的逆命題。

注意：一個命題為真不能保證它的逆命題為真，逆命題是否為真，需要具體問題具體分析。例 說出下列命題的逆命題，并指出它們的真假。

（1）直角三角形的兩銳角互余；（2）全等三角形的對應(yīng)角相等。

公理與定理

知識點一公理與定理

數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結(jié)出來的，并把它們作為判斷其它命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理。

以基本定義和公理作為推理的出發(fā)點，去判斷其他命題的真假，已經(jīng)判斷為真的命題稱為定理。

注意：（1）公理是不需要證明的，它是判斷其他命題真假的依據(jù)，定理是需要證明；(2)定理都是真命題，但真命題不一定都是定理。

例 填空：（1）同位角相等，則兩直線；（2）平面內(nèi)兩條不重合的直線的位置關(guān)系是；（3）四邊形是平行四邊形。

知識點二互逆定理

如果一個定理的逆命題也是定理，那么稱它是原來定理的逆定理，這兩個定理稱為互逆定理。

注意：每個命題都有逆命題，但并非所有的定理都有逆定理。如：“對頂角相等”就沒逆定理。

證明

知識點一證明的含義

從一個命題的條件出發(fā)，通過講道理（推理），得出它的結(jié)論成立，從而判定該命題為真，這個過程叫做證明。

注意：（1）證明一個命題時，首先要分清命題條件和結(jié)論，其次要從已知條件出發(fā)，運用定義、公理、定理進行推理，得出結(jié)論。

（2）證明的過程必須做到步步有據(jù)。

知識點二命題的證明

證明幾何命題的表述格式：（1）按題意畫出圖形；（2）分清命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形，在“已知”中寫條件，在“求證”中寫出結(jié)論；（3）在“證明”中寫出推理過程。知識點三折疊問題

1、同旁，與其重疊或不重疊；顯然，“折”是過程，“疊”是結(jié)果。折疊，就是將圖形的一部分沿著一條直線翻折180°，使它與另一部分在這條直線

2、折疊的性質(zhì)：折疊不改變圖形的大小和形狀，即折疊部分在折疊前后是全等的圖形，滿足公理“軸反射”

知識點四反證法

從命題結(jié)論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。

反證法的關(guān)鍵在于反設(shè)所證命題的結(jié)論。適用范圍：證明一些命題，且正面證明有困難，情況多或復(fù)雜，而否定則比較簡單。

反證法證題步驟：（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)命題結(jié)論的反面成立；（2）從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理，得出矛盾；（3）由矛盾判斷假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論成立。例在 △ABC中，∠A、∠B、∠C是它的三個內(nèi)角。

求證：在∠A、∠B、∠C中不可能有兩個直角。

第五篇：7.2定義與命題例題與講解(2013-2014學(xué)年北師大八年級上)

定義與命題

1．定義

對某些名稱或術(shù)語的含義加以描述，作出明確的規(guī)定，就是對名稱和術(shù)語下定義． 談重點下定義的注意事項

①在定義中，必須揭示出事物與其他事物的本質(zhì)屬性的區(qū)別．②定義的雙重性：定義本身既可以當(dāng)性質(zhì)用，又可以當(dāng)判定用．③語句必須通順、嚴(yán)格、準(zhǔn)確，一般不能用“大約”“大概”“差不多”“左右”等含糊不清的詞語．要有利于人們對被定義的事物或名詞與其他事物或名詞區(qū)別．

【例1】 下列語句，屬于定義的是()．

A．兩點之間線段最短

B．連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線

C．三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半

D．三人行則必有我?guī)熝?/p>

解析：判斷是不是定義，關(guān)鍵看是否對名稱或術(shù)語的含義加以描述，而且作出了規(guī)定．很明顯，A，C，D沒有對名稱或術(shù)語作出描述，故應(yīng)選B.答案：B

點技巧分清定義與命題

注意定義與命題的區(qū)分，作出判斷的是命題，對名稱或術(shù)語作出描述的是定義．

2．命題

(1)定義：判斷一件事情的句子，叫做命題．

(2)命題的組成結(jié)構(gòu)：

①每個命題都是由條件和結(jié)論兩部分組成．條件是已知事項，結(jié)論是由已知事項推斷出的事項．命題一般寫成“如果??那么??”的形式．“如果”引出的部分是條件，“那么”引出的部分是結(jié)論．

②有些命題沒有寫成“如果??那么??”的形式，條件和結(jié)論不明顯．對于這樣的命題，要經(jīng)過分析才能找到條件和結(jié)論，也可以將它們改寫成“如果??那么??”的形式．命題的條件部分，有時也可用“已知??”或“若??”等形式表述．命題的結(jié)論部分，有時也可用“求證??”或“則??”等形式表述．

談重點改寫命題

命題的改寫不能是簡單地加上“如果”“那么”，而應(yīng)當(dāng)使改寫的命題和原來的命題內(nèi)容不變，且語句通順完整，命題的條件、結(jié)論要清楚可見．有些命題條件和結(jié)論不一定只有一個，要注意區(qū)分．

【例2】 指出下列命題的條件和結(jié)論：①平行于同一直線的兩條直線互相平行；②若ab＝1，則a與b互為倒數(shù)；③同角的余角相等；④矩形的四個角都是直角．

分析：命題的條件是已知事項，結(jié)論是由已知事項推斷出的事項．命題一般寫成“如果??，那么??”的形式．“如果”引出的部分是條件，“那么”引出的部分是結(jié)論． 解：①條件：兩條直線都和第三條直線平行，結(jié)論：這兩條直線互相平行． ②條件：ab＝1，結(jié)論：a與b互為倒數(shù)．

③條件：兩個角是同一個角的余角，結(jié)論：這兩個角相等．

④條件：一個四邊形是矩形，結(jié)論：這個四邊形的四個角都是直角．

點技巧分清條件和結(jié)論

“若??則??”形式的命題中“若”后面是條件，“則”后面是結(jié)論．

3．公理、定理、證明

(1)公理

公認(rèn)的真命題稱為公理．

①公理是不需推理論證的真命題． ②公理可以作為推理論證定理及其他命題真假的依據(jù)． 常用的幾個公理：

①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．

②兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等． ③兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等．

④兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．

⑤三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．

⑥全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等．

其他公理：等式和不等式的有關(guān)性質(zhì)，等量代換都可以看作公理．

(2)定理

有些命題的正確性是通過推理的方法證實的，這樣的真命題叫做定理．

①定理是經(jīng)過推理論證的真命題，但真命題不一定都是定理．

②定理可以作為推理論證其他命題的依據(jù)．

(3)證明

推理的過程叫證明．推理必須做到步步有據(jù)，條條有理．

【例3】 下列說法正確的是()．

A．真命題都可以作為定理

B．公理不需要證明

C．定理不一定都要證明

D．證明只能根據(jù)定義、公理進行

解析：真命題并不都是定理，故選項A不正確；定理必須經(jīng)過證明，故選項C不正確；證明可以根據(jù)定義、公理、定理進行，故選項D不正確；公理是公認(rèn)的真命題，不需要證明，故選B.答案：B

點評：掌握公理、定理、命題之間的區(qū)別，明確其含義，是解決本題的關(guān)鍵．

4．命題及真假命題的判斷

(1)命題的判斷

判斷一個句子是否為命題，要根據(jù)命題的定義．

①命題的特征：一是必須為一個完整的句子；二是必須對某件事情做出肯定或否定的判斷，即具有明確的判斷性．如果一個句子對某一件事情沒有作出任何判斷，那么它就不是命題．

②命題并不是數(shù)學(xué)所獨有，凡是判斷某一件事情的正確或錯誤的語句都是命題．

③命題是陳述語句，其他形式的句子，如：疑問句、感嘆句、祈使句等都不是命題．如：“你愛好什么運動？”沒有作出判斷，這不是命題． 注意：錯誤的判斷也是命題，不能以正確與否來判斷是否為命題．

(2)真假命題的判斷

命題是一個判斷，這個判斷可能正確，也可能錯誤．因此可以將命題分為真命題和假命題．

①正確的命題稱為真命題．

②不正確的命題稱為假命題．

③真命題、假命題的判斷與比較：

要說明一個命題是假命題，通常可以舉出一個例子，使之具有命題的條件，而不具有命題的結(jié)論，這種例子稱為反例；要說明一個命題是真命題需根據(jù)公理和定理證明．

談重點判斷真假命題的方法

①如果題設(shè)成立，結(jié)論也一定成立，那么這樣的命題為真命題；②如果題設(shè)成立，但結(jié)論不成立，這樣的命題為假命題．

【例4－1】 下列句子中是命題的有__________(填序號)．①直角三角形中的兩個銳角互余．②正數(shù)都小于0.③如果∠1＋∠2＝180°，那么∠1與∠2互補．④太陽不是行星．⑤

對頂角相等嗎？⑥作一個角等于已知角．

解析：判斷是否為命題，要根據(jù)命題的特征：一是必須為一個完整的句子；二是必須對某件事情做出肯定或否定的判斷．所以①②③是命題，它們都對事情作出了肯定回答；④是命題，它對事情作出了否定回答；⑤不是陳述語句；⑥只是描述了一個作圖的過程，并未作出判斷，不是命題．

答案：①②③④

【例4－2】 下列命題中，真命題是()．

A．若a·b＞0，則a＞0，b＞0B．若a·b＜0，則a＜0，b＜0

C．若a·b＝0，則a＝0，且b＝0D．若a·b＝0，則a＝0，或b＝0

解析：分析是否為真命題，需要分析各題設(shè)能否推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案．由a·b＞0可得a，b同號，可能同為正，也可能同為負(fù)，所以A是假命題；a·b＜0可得a，b異號，所以B是假命題；a·b＝0可得a，b中必有一個字母的值為0，但不一定同時為零，所以C是假命題；若a·b＝0，則a＝0，或b＝0，或二者同時為0，所以D是真命題．故選

D.答案：D

【例4－3】 已知下列命題：①對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；②等腰梯形的對角線相等；③對角線互相垂直的四邊形是菱形；④內(nèi)錯角相等．

其中假命題有__________(填序號)．

解析：

答案：析規(guī)律巧判真假命題

命題是判斷事情的語句．若命題判斷的事情是正確的，則命題是真命題；反之，命題為假命題．

5．命題的組合命題是由條件和結(jié)論組成的，當(dāng)條件成立，結(jié)論也成立時，該命題即為真命題．命題的組成就是通過選擇一定的條件，使結(jié)論成立，即組成真命題．

組合新的命題是考察命題的概念及有關(guān)知識的重要題型．該題型常見于對幾何的考查，一般是給出幾個單獨的論斷，根據(jù)有關(guān)知識內(nèi)容結(jié)合圖形重新組合寫出正確的命題．

命題的條件和結(jié)論往往不是固定的，要使所組合的命題是正確的，要求必須理解掌握有關(guān)的知識內(nèi)容．

點評：①命題組合時，條件可能不止一個，注意兩個條件的情況．②組合命題一般是幾何中的某一圖形的性質(zhì)或者判定．

【例5－1】 如圖，在△ABD和△ACE中，有下列四個論斷：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠B＝∠C；④BD＝CE.請以其中三個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題__________．(用序號?????的形式寫出)

解析：答案不唯一，如：由AB＝AC，∠B＝∠C，BD＝CE，得到△ABD≌△ACE，則AD＝AE.所以①③④?②.答案：①③④?②

【例5－2】 對同一平面內(nèi)的三條直線a，b，c，給出下列五個論斷：①a∥b；②b∥c；

③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.以其中兩個論斷為條件，另一個論斷為結(jié)論，組成一個你認(rèn)為正確的命題：__________(用序號表示)．

解析：答案不唯一．根據(jù)“如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也平行”，可得出：若①②，則④.答案：若①②，則④