第一篇：2014高考必考問題9 等差、等比數(shù)列的基本問題

必考問題9 等差、等比數(shù)列的基本問題

1．(2012·遼寧)在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11＝()．

A．58B．88C．143D．176

2．(2012·新課標(biāo)全國)已知{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10＝()．

A．7B．5C．－5D．－7

3．(2012·福建)等差數(shù)列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，則數(shù)列{an}的公差為()．

A．1B．2C．3D．

44．(2012·浙江)設(shè)公比為q(q＞0)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，則q＝________.3答案

1、B2、D3、B

42本部分在高考中常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，考查這兩種數(shù)列的概念、基本性質(zhì)、簡(jiǎn)單運(yùn)算、通項(xiàng)公式、求和公式等，屬于中檔題；以解答題出現(xiàn)時(shí)，各省市的要求不太一樣，有的考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和等知識(shí)，屬于中檔題；有的與函數(shù)、不等式、解析幾何等知識(shí)結(jié)合考查，難度較大．

(1)深刻理解兩種數(shù)列的基本概念和性質(zhì)，熟練掌握常用的方法和技能；掌握等差數(shù)列

和等比數(shù)列的判定、證明方法，這類問題經(jīng)常出現(xiàn)在以遞推數(shù)列為背景的試題的第(1)問中．

(2)熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，并會(huì)靈活應(yīng)用，這是迅速、準(zhǔn)確地進(jìn)行計(jì)算的關(guān)鍵

.必備知識(shí)

等差數(shù)列的有關(guān)公式與性質(zhì)

n?a1＋an?n?n－1?＝na1＋d.2

2(4)2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)．(5)①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)；

②若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)；

③等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，?成等差數(shù)列． 等比數(shù)列的有關(guān)公式與性質(zhì)

an＋1a1?1－qn?a1－anq*n－1(1)q(n∈N，q為非零常數(shù))．(2)an＝a1q.(3)Sn＝(q≠1)． an1－q1－q

*(4)a2n＝an－1an＋1(n∈N，n≥2)．

－(5)①an＝amqnm；②若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq；

③等比數(shù)列{an}(公比q≠－1)的前n項(xiàng)和為Sn，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，?也成等比數(shù)列．

必備方法

1．運(yùn)用方程的思想解等差(比)數(shù)列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量a1、d(或q)，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個(gè)環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡(jiǎn)化運(yùn)算．

2．深刻理解等差(比)數(shù)列的定義，能正確使用定義和等差(比)數(shù)列的性質(zhì)是學(xué)好本章的關(guān)鍵．解題時(shí)應(yīng)從基礎(chǔ)處著筆，首先要熟練掌握這兩種基本數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)及公式，然后要熟悉它們的變形使用，善用技巧，減少運(yùn)算量，既準(zhǔn)又快地解決問題．

3．等差、等比數(shù)列的判定與證明方法：

an＋1(1)定義法：an＋1－an＝d(d為常數(shù))?{an}＝q(q為非零常數(shù))?{an}是等an

比數(shù)列；

(2)利用中項(xiàng)法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列；a2an＋2(n∈N*)?{an}n＋1＝an·(1)an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))．(2)an＝a1＋(n－1)d.(3)Sn＝

是等比數(shù)列(注意等比數(shù)列的an≠0，q≠0)；

(3)通項(xiàng)公式法：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列；an＝cqn(c，q為非零常數(shù))

?{an}是等比數(shù)列；

(4)前n項(xiàng)和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列；Sn＝mqn－m(m為常

數(shù)，q≠0)?{an}是等比數(shù)列；

(5)若判斷一個(gè)數(shù)列既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列，只需用a1，a2，a3驗(yàn)證即可．

等差?比?數(shù)列的基本運(yùn)算

等差數(shù)列和等比數(shù)列在公式和性質(zhì)上有許多相似性，是高考必考內(nèi)容，著重考查等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算、基本技能和基本思想方法，題型不僅有選擇題、填空題、還有解答題，題目難度中等．

【例1】?(2011·江西)已知兩個(gè)等比數(shù)列{an}、{bn}滿足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a

2＝2，b3－a3＝3.(1)若a＝1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{an}唯一，求a的值．

1－－（1）{an}的通項(xiàng)公式為an＝(2＋2)n1或an＝(22)n1.（2）a＝.3關(guān)于等差(等比)數(shù)列的基本運(yùn)算，一般通過其通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式構(gòu)造

關(guān)于a1和d(或q)的方程或方程組解決，如果在求解過程中能夠靈活運(yùn)用等差(等比)數(shù)列的性質(zhì)，不僅可以快速獲解，而且有助于加深對(duì)等差(等比)數(shù)列問題的認(rèn)識(shí)．

【突破訓(xùn)練1】(2011·廣東改編)等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，則k＝(A)．

A．10B．12C．15D．20

等差、等比數(shù)列的判斷與證明

高考對(duì)該內(nèi)容的考查主要是等差、等比數(shù)列的定義，常與遞推數(shù)列相結(jié)合考查．常作為

數(shù)列解答題的第一問，為求數(shù)列的通項(xiàng)公式做準(zhǔn)備，屬于中檔題．

【例2】? 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；

－(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．a(chǎn)n＝(3n－1)·2n

2.判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列的首選方法是根據(jù)定義去判斷，其次是

由等差中項(xiàng)或等比中項(xiàng)的性質(zhì)去判斷．

【突破訓(xùn)練2】 在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.a(1)設(shè)bn＝－.證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.Sn＝(n－1)2n＋2

1.等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用

從近幾年的考題看，對(duì)于等差與等比數(shù)列的綜合考查也頻頻出現(xiàn)．考查的目的在于測(cè)試

考生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，這個(gè)“靈活”就集中在“轉(zhuǎn)化”的水平上．

【例3】?(2012·石家莊二模)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝2，S1、2S2、3S

3成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；an?2?()

13n?1(2)數(shù)列{bn－an}是首項(xiàng)為－6，公

1差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．－－＋n2－7n＋

3.3

(1)在等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題中，特別要注意它們的區(qū)別，避免用錯(cuò)

公式．(2)方程思想的應(yīng)用往往是破題的關(guān)鍵．

【突破訓(xùn)練3】 數(shù)列{an}為等差數(shù)列，an為正整數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}為等比

數(shù)列，且a1＝3，b1＝1，數(shù)列{ban}是公比為64的等比數(shù)列，b2S2＝64.1113－(1)求an，bn；an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n1.(2)求證：＜.S1S2Sn

4遞推數(shù)列及其應(yīng)用

遞推數(shù)列問題一直是高考命題的特點(diǎn)，遞推數(shù)列在求數(shù)列的通項(xiàng)、求和及其它應(yīng)用中往往起至關(guān)重要的紐帶作用，是解決后面問題的基礎(chǔ)和臺(tái)階，此類題目需根據(jù)不同的題設(shè)條件，抓住數(shù)列遞推關(guān)系式的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)那蠼夥椒ǎ?/p>

【示例】?(2011·湖北)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：a1＝a(a≠0)，an＋1＝rSn(n*∈N，r∈R，r≠－1)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差數(shù)列，試判斷：對(duì)于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論．

[滿分解答](1)由已知an＋1＝rSn，可得an＋2＝rSn＋1，兩式相減，得an＋2－an＋1＝r(Sn＋1－Sn)＝ran＋1，即an＋2＝(r＋1)an＋1.(2分)

又a2＝ra1＝ra，所以，當(dāng)r＝0時(shí)，數(shù)列{an}為：a,0，?，0，?；(3分)

當(dāng)r≠0，r≠－1時(shí)，由已知a≠0，所以an≠0(n∈N*)，an＋2于是由an＋2＝(r＋1)an＋1，可得r＋1(n∈N*)，an＋

1∴a2，a3，?，an，?成等比數(shù)列，－∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝r(r＋1)n2a.(5分)

??a，n＝1，綜上，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝?(6分)n－2?r?r＋1?a，a≥2.?

(2)對(duì)于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差數(shù)列，證明如下：

??a，n＝1，當(dāng)r＝0時(shí)，由(1)知，an＝? ?0，n≥2.?

∴對(duì)于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差數(shù)列．(8分)

當(dāng)r≠0，r≠－1時(shí)，∵Sk＋2＝Sk＋ak＋1＋ak＋2，Sk＋1＝Sk＋ak＋1，若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差數(shù)列，則Sk＋1＋Sk＋2＝2Sk，∴2Sk＋2ak＋1＋ak＋2＝2Sk，即ak＋2＝－2ak＋1.(10分)

由(1)知，a2，a3，?，am，?的公比r＋1＝－2，于是對(duì)于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1＝－2am，從而am＋2＝4am，∴am＋1＋am＋2＝2am，即am＋1，am，am＋2成等差數(shù)列．(12分)

綜上，對(duì)于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差數(shù)列．(13分)

老師叮嚀：本題是以an和Sn為先導(dǎo)的綜合問題，主要考查等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)以及處理遞推關(guān)系式的一般方法．失分的原因有：第(1)問中漏掉r＝0的情況，導(dǎo)致結(jié)論寫

－為an＝r(r＋1)n2a；第(2)問中有的考生也漏掉r＝0的情況，很多考生不知將Sk＋1＋Sk＋2＝2Sk

轉(zhuǎn)化為ak＋1與ak＋2的關(guān)系式，從而證明受阻．

【試一試】(2012·四川)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2an＝S2＋Sn對(duì)一切正整數(shù)n都成立．(1)求a1，a2的值；(2)設(shè)a1＞0，數(shù)列{lg10a1的前n項(xiàng)和為Tn.當(dāng)n為何值時(shí)，Tnan

最大？并求出Tn的最大值．

解(1)取n＝1，得a2a1＝S2＋S1＝2a1＋a2，①

取n＝2，得a22＝2a1＋2a2，②

由②－①，得a2(a2－a1)＝a2，③

(i)若a2＝0，由①知a1＝0，(ii)若a2≠0，由③知a2－a1＝1.④

由①、④解得，a1＝2＋1，a2＝22；或a1＝12，a2＝2－2.綜上可知a1＝0，a2＝0；或a12＋1，a2＝＋2；或a1＝1－2，a2＝22.(2)當(dāng)a1＞0時(shí)，由(1)知a1＝＋1，a2＋2.當(dāng)n≥2時(shí)，有(2＋2)an＝S2＋Sn，(22)an－1＝S2＋Sn－1，所以(12)an＝(22)an－1，即an＝2an－1(n≥2)，－－所以an＝a12)n1＝(2＋2)n1.10a11100－令bn＝lg，則bn＝1－lg(2)n1＝1－(n－1)lg 2－ an22

21所以數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減的等差數(shù)列(公差為－lg 2)，2

10從而b1＞b2＞?＞b7＝lg＞lg 1＝0，8

11001當(dāng)n≥8時(shí)，bn≤b8＝0，21282

故n＝7時(shí)，Tn取得最大值，且Tn的最大值為

7?b1＋b7?7?1＋1－3lg 2?21T7＝7－lg 2.222

訓(xùn)練9 等差、等比數(shù)列的基本問題

(時(shí)間：45分鐘 滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)

1．若{an}為等差數(shù)列，Sn是前n項(xiàng)和，a1＝1，S3＝9，則該數(shù)列的公差d為()．

A．1B．2C．3D．

42．(2012·泰安二模)等比數(shù)列{an}中，a4a5＝1，a8a9＝16，則a6a7等于()．

A．16B．±4C．－4D．4

3．(2012·安徽)公比為2的等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a3a11＝16，則log2a10＝()．

A．4B．5C．6D．7

4．(2012·日照一模)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，則a6＝()．

A．3×44＋1B．3×44C．44D．44＋

12225．在數(shù)列{an}中，對(duì)任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋?＋an＝3n－1，則a1＋a22＋a3＋?＋an等于

11A．(3n－1)2B.(9n－1)C．9n－1(3n－1)24

二、填空題(每小題5分，共15分)

16．等比數(shù)列{an}中，已知a1＋a2＝a3＋a4＝1，則a7＋a8的值為________．

27．(2012·濟(jì)南二模)在等比數(shù)列{an}中，an＞0(n∈N*)，且a6－a4＝24，a3a5＝64，則{an}的前6項(xiàng)和是________．

8．將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：

3456

78910121314 1

5??????

根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第n(n≥3)行從左至右的第3個(gè)數(shù)是________．

三、解答題(本題共3小題，共35分)

an＋an＋19．(11分)已知數(shù)列{an}滿足，a1＝1，a2＝2，an＋2＝n∈N*.2

(1)令bn＝an＋1－an，證明：{bn}是等比數(shù)列；(2)求{an}的通項(xiàng)公式．

1110．(12分)(2011·新課標(biāo)全國)已知等比數(shù)列{an}中，a1＝q＝.33

1－an(1)Sn為{an}的前n項(xiàng)和，證明：Sn 2

(2)設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋?＋log3an，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．

11．(12分)(2012·陜西)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且a5，a3，a4成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的公比；(2)證明：對(duì)任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差數(shù)列．

第二篇：等差、等比數(shù)列問題

等差等比數(shù)列問題

一、等差數(shù)列、等比數(shù)列基本數(shù)列問題

1．等差數(shù)列?an?，s6?36，sn?6?144，sn?324，求n的值

1）an?2an?1?1；2）an?2an?1?n?1；3）an?2an?1?n2?n?1； 4）an?2an?1?2n；5）an?2an?1?3n

1）sn?2an?1；2）sn?22n?1?n?1；3）sn?2an?1?n2?n?1； 4）sn?2an?1?2n；5）sn?2an?1?3n 2．已知數(shù)列，a?an?滿足：a＝m（m為正整數(shù)）

anA7n?5

2．已知兩個(gè)等差數(shù)列?an?和?bn?的前n項(xiàng)和分別為An,Bn，且n?，則使得為整數(shù)

bnn?3Bn的的正整數(shù)n個(gè)數(shù)為：

3．已知等差數(shù)列?an?，a1?a3?a5???a99?36，公差d??2，求s100的值。

4、已知等差數(shù)列?an?的第2項(xiàng)為8，前10項(xiàng)和為185。1）求?an?的通項(xiàng)公式；2）若數(shù)列依次取出a2,a4,a8,?,a2n

n?1

?an?中

?an當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)

?n，若a6＝1，則m所有??2

當(dāng)an為奇數(shù)時(shí)??3an?1

?得到新數(shù)列?bn?，求數(shù)列?bn?的通項(xiàng)公式。

可能的取值為

四、數(shù)列與其它

1.已知數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式an?n??n?N??，則數(shù)列?an?的前30項(xiàng)中，最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別

n?是

2．已知數(shù)列?an?是遞增數(shù)列，且an?n2??n，則實(shí)數(shù)3.（Ⅰ）設(shè)

4．設(shè)等比數(shù)列?an?的公比為q（q>0），它的前n項(xiàng)和為40，前2n項(xiàng)和為3280，且前前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為27，求數(shù)列的第前2n項(xiàng)。

5．已知數(shù)列?an?的首項(xiàng)為23，公差為整數(shù)，且前6項(xiàng)為正，從第7項(xiàng)起為負(fù)數(shù)，求Sn的最大值。

?范圍是

an為正整數(shù)，6．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且a1

數(shù)列{ban}是公比為64的等比數(shù)列，b2S2?64.（1）求an,bn；（2）求證1?1???1?3.S1S2Sn

4二、數(shù)列思想問題

1．?dāng)?shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn，又bn2．求和sn?

?3,b1?1，a1,a2,??,an是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列（n?4），且公差d?0，若將此數(shù)列刪

a1的數(shù)值；②求n的所有可d

去某一項(xiàng)得到的數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列：①當(dāng)n =4時(shí)，求

能值；

（Ⅱ）求證：對(duì)于一個(gè)給定的正整數(shù)n(n≥4)，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差都不為零的等差數(shù)列

?an

b1,b2,??,bn，其中任意三項(xiàng)（按原來順序）都不能組成等比數(shù)列．，求?bn?的前n項(xiàng)和

123n?2?3???n aaaa

3．等差數(shù)列?an?和等比?bn?，求數(shù)列?an?bn?的前n項(xiàng)和 4．1?1?1???

1*2

2*3

3*4

?n?1??n 12?13?24?3

??????

n*n?11*22*33*4n*n?15．已知數(shù)列?an?滿足a1?2a2?3a3???nan?n?n?1?，求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式

三、復(fù)合數(shù)列問題

1、已知數(shù)列?an?滿足下列條件，且a1?1，求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式

第三篇：(經(jīng)典整理)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)

等差、等比數(shù)列的性質(zhì)

一：考試要求

1、理解數(shù)列的概念、2、了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義

3、了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng) 二:知識(shí)歸納

（一）主要知識(shí)：

有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論 1．等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,??仍為等差數(shù)列．

2．等差數(shù)列{an}中，若m?n?p?q，則am?an?ap?aq 3．等比數(shù)列{an}中，若m?n?p?q，則am?an?ap?aq

4．等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,??仍為等比數(shù)列．

5．兩個(gè)等差數(shù)列{an}與{bn}的和差的數(shù)列{an?bn}仍為等差數(shù)列．

?an??1?

6．兩個(gè)等比數(shù)列{an}與{bn}的積、商、倒數(shù)的數(shù)列{an?bn}、??、??仍為等比數(shù)

?bn??bn?

列．

（二）主要方法：

1．解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的問題時(shí)，通常考慮兩類方法：①基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(q)的方程；②巧妙運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡(jiǎn)，減少運(yùn)算量．

2．深刻領(lǐng)會(huì)兩類數(shù)列的性質(zhì)，弄清通項(xiàng)和前n項(xiàng)和公式的內(nèi)在聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．

三：例題詮釋，舉一反三

例題1(2011佛山)在等差數(shù)列{an}中，a1＋2a8＋a15＝96，則2a9－a10＝()A．24B．22C．20D．－8

變式1：(2011廣雅)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列且a1＋a7＋a13＝4π，則tan(a2＋a12)的值為()A

3變式2：（2011重慶理11）在等差數(shù)列{an}中，a3?a7?37，則a2?a4?a6?a8?

________

B3

A3

3A3

例題2 等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為()

A．130B．170C．210D．260

變式1:（2011高考創(chuàng)新）等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=1-2n,其前n項(xiàng)和為Sn,則數(shù)列{的前11項(xiàng)和為（）

A.-45B.-50C.-55D.-66 變式2：（2011高考創(chuàng)新）等差數(shù)列{an}中有兩項(xiàng)am和ak滿足am=

Snn

}

1k,ak=

1m,則該數(shù)列前mk

項(xiàng)之和是.例題3(1)已知等比數(shù)列{an}，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，則an＝________.(2)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且Sm＝10，S2m＝30，則S3m＝________(m∈N*)．(3)在等比數(shù)列{an}中，公比q＝2，前99項(xiàng)的和S99＝56，則a3＋a6＋a9＋…＋a99＝_______.變式1：(2011佛山)在等比數(shù)列{an}中，若a3·a5·a7·a9·a11＝32，則

a9

a1

1的值為()

A．4B．2C．－2D．－

4變式2（2011湛江）等比數(shù)列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n項(xiàng)的和Sn＝126，求n和公比q.變式3（2011廣州調(diào)研）等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2=6，S4=30，則S6.1

例題4 已知數(shù)列{an}，an∈N*，Sn＝(an＋2)2.8(1)求證：{an}是等差數(shù)列；

(2)若bn＝n－30，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和的最小值．

變式1已知數(shù)列{an}中，a1

?3

5，an

?2?

1an?1

(n?2,n?N

?)，數(shù)列{bn}滿足bn

?

1an?1

(n?N

?)

（1）求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；

（2）求數(shù)列{an}中的最大值和最小值，并說明理由

變式2設(shè)等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為sn，已知a3?24,s11?0，求： ①數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式②當(dāng)n為何值時(shí)，sn最大，最大值為多少？

變式3(2011·汕頭模擬)已知數(shù)列{an}中，a1＝，數(shù)列an＝2－，(n≥2，n∈N*)，數(shù)列an-1{bn}滿足bn＝

(n∈N*)．a(chǎn)n-1

(1)求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，并說明理由．

32a例題5(2008·陜西)(文)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝，an+1=n∈N*an+11

(1)求證數(shù)列－1}是等比數(shù)列；

ann

(2)求數(shù)列{前n項(xiàng)的和

an

變式1 在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)證明數(shù)列{an－n}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；(3)求證對(duì)任意n∈N*都有Sn＋1≤4Sn

變式2設(shè){an}，{bn}是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，且cn＝an＋bn，證明數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列．

變式3.在數(shù)列?an?中，a1?1,an?1?2an?2（1）設(shè)bn?

n

an

2n?1,證明?bn?是等差數(shù)列;（2）

求數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn。

當(dāng)堂講練： 1．（1）若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后三項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390,則這個(gè)數(shù)列有項(xiàng)；

（2）已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且an>0,n?N,a3a5?2a4a6?a5a7?81，則

a4?a6?

*

（3）等差數(shù)列前m項(xiàng)和是30，前2m項(xiàng)和是100，則它的前3m項(xiàng)和是．

2．若數(shù)列{an}成等差數(shù)列，且Sm?n,Sn?m(m?n)，求Sn?m．

3．等差數(shù)列{an}中共有奇數(shù)項(xiàng)，且此數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)之和為77，偶數(shù)項(xiàng)之和為66，a1?1，求其項(xiàng)數(shù)和中間項(xiàng).4．若數(shù)列{an}（n?N*）是等差數(shù)列，則有數(shù)列bn?

a1?a2???an

n

（n?N*）也為

等差數(shù)列，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：若數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，且cn>0（n?N*），則有

d

n?

n?N*）也是等比數(shù)列．

5．設(shè)Sn和Tn分別為兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意n?N，都有則第一個(gè)數(shù)列的第11項(xiàng)與第二個(gè)數(shù)列的第11項(xiàng)的比是．說明：

anbn

?S2n?1T2n?1

*

SnTn

?

7n?14n?27，．

四：課后練習(xí)

1基礎(chǔ)部分

1已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列?an?中，a1?a11?36，則a6的最小值為（）

A、4B、5C、6D、7

2.已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差為（）

A.3B.4C.5D.23.等差數(shù)列{an}中，a1?3a8?a15?120,則2a9?a10?

（）

A．24 B．22 C．20 D．-8

4{an}是等差數(shù)列，a1>0，a2009＋a2010>0，a2009·a2010<0，使前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大自然數(shù)n是（）A．4019B．4018C．4017D．4016

5.在等差數(shù)列{an}中,前n項(xiàng)和為Sn,若a7?5,S7?21,那么S10等于（）

A．55 B．40 C．35 D．70

6.(2009山東卷文)在等差數(shù)列{an}中,a3?7,a5?a2?6,則a6?____________.7設(shè)Sn是等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，已知S6?36,Sn?324,Sn?6?144,則n=__________.S2007

?S2005200

5?2

?a?Sa??20088在等差數(shù)列n中，1，其前n項(xiàng)的和為n．若2007

S2008?_________，則

2提高部分

1、（2010惠州 第三次調(diào)研理 4）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a2?a8?a11?30，那

么S13值的是（）A．130

B．6

5C．70D．以上都不對(duì)

2．（2010揭陽市一模 理4）數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且a1,a3,a7為等比數(shù)列{bn}的連續(xù)三項(xiàng)，則數(shù)列{bn}的公比為

A

B．4C．2D．

3、(2009安徽卷文 2）已知{an}為等差數(shù)列，于A.-1

12，則

B.1C.3D.7

等

4.（2009江西卷文）公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a4是a3與a7的等比中項(xiàng), S8?32,則S10等于

A.18B.24C.60D.90

5．（2011佛山一檢）在等差數(shù)列?an?中，首項(xiàng)a1?0,公差d?0，若

ak?a1?a2?a3???a7，則k?()

A．22 B．23 C．24D．25

6.（2010全國卷1文）（4）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，則

aaa=

(A)

7.（2010湖北文）7.已知等比數(shù)列{am}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1，則

a9?a10a7?

a8

?A.1?

a3,2a2成等差數(shù)列，B.1?

C.3?

D3?

8（2010福建理）3．設(shè)等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn,若a1??11,a4?a6??6,則當(dāng)Sn取最小值時(shí),n等于

A．6

B．7

C．8

D．9

9.（廣東省佛山市順德區(qū)2010年4月普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè)試題理科）在等比數(shù)列{an}中，若a1a2a3?2，a2a3a4?16, 則公比q?10．（2010年3月廣東省廣州市高三一模數(shù)學(xué)理科試題）在等比數(shù)列?an?中，a1?1，公比

q?2，若?an?前n項(xiàng)和Sn?127，則n的值為．

11．(2010年3月廣東省深圳市高三年級(jí)第一次調(diào)研考試?yán)砜?設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S9?81，則a2?a5?a8?．

12．若Sn和Tn分別表示數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意自然數(shù)n，有an??

2n?32

*，（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)集合A?{x|x?2an,n?N}，4Tn?12Sn?13n，B?{y|y?4bn,n?N}．若等差數(shù)列{cn}任一項(xiàng)cn?A?B,c1是A?B中的最大數(shù)，且

*

?265?c10??125，求{cn}的通項(xiàng)公式．

第四篇：等差、等比數(shù)列性質(zhì)類比

等差、等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)

一、等差數(shù)列：

1.等差數(shù)列的證明方法：1.定義法：2．等差中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列則{an}為等差數(shù)列。2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：

?an?，若2an?1?an?an?

2an?a1?(n?1)d------該公式整理后是關(guān)于n的一次函數(shù)

Sn?

n(a1?an)n(n?1)

2Sn?na1?dS?An?Bn n223.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 1．2.3.a?bA?

2或2A?a?b 4.等差中項(xiàng): 如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)。即：

5.等差數(shù)列的性質(zhì):（1）等差數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果

an是等差數(shù)列的第n項(xiàng)，am是等差

a?am?(n?m)d

數(shù)列的第m項(xiàng)，且m?n，公差為d，則有n

（2）.對(duì)于等差數(shù)列

?an?，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq。

*??SSS?Sk，S3k?S2kak?Nnn（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，那么k，2k

S3k

?????????????????????????a1?a2?a3???ak?ak?1???a2k?a2k?1???a3k???????????????????????

成等差數(shù)列。如下圖所示：

（4）．設(shè)數(shù)列

SkS2k?SkS3k?S2k

?an?是等差數(shù)列，S奇是奇數(shù)項(xiàng)的和，S偶是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和，Sn是前n項(xiàng)的和，S偶?S奇?

S奇n?n?1dS?S?a偶中，S偶n.2，○2當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則奇

則有如下性質(zhì)： ○1當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，二、等比數(shù)列：

1.等比數(shù)列的判定方法:①定義法若數(shù)列。

an?

1?q(q?0)an

2an?是等比aa?ann?2n?1，則數(shù)列?②等比中項(xiàng)：若

n?1

??aa?aqqann12.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:如果等比數(shù)列的首項(xiàng)是1，公比是，則等比數(shù)列的通項(xiàng)為。

3.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和:○1

Sn?

a1(1?qn)

(q?1)

1?q

○

2Sn?

a1?anq

(q?1)

1?q

○3當(dāng)

q?1時(shí)，Sn?na1 ?ab。

4.等比中項(xiàng):如果使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)。那么G5.等比數(shù)列的性質(zhì):

（1）．等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果

an是等比數(shù)列的第n項(xiàng)，am是等差數(shù)列的第m項(xiàng)，且m?n，qan?amqn?m

公比為，則有

（2）對(duì)于等比數(shù)列?an?，若n?m?u?v，則an?am?au?av也就是：a1?an?a2?an?1?a3?an?2???。

（3）．若數(shù)列?an?是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，k?N*，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等比數(shù)

????????????S?3k????????????a?1??a?2??a?3??????a?k?a?k??1???????a?2k?a?2k??1???????a?3k

列。如下圖所示：SkS2k?SkS3k?S2k

基礎(chǔ)練習(xí)

一、選擇題：

1．已知｛an｝為等差數(shù)列，a2+a8=12,則a5等于（）

(A)4(B)5(C)6(D)7

2．設(shè)｛an｝是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a1?1,a5=16,則數(shù)列｛an｝前7項(xiàng)的和為（）

A.63B.64C.127D.128

3.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3?9，S6?36，則a7?a8?a9?（）

A．63B．45C．36D．274、設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q?2，前n項(xiàng)和為SS

4n，則a?（）

A.2B.4 C.15D.17

25.某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中,每20分鐘分裂一次(一個(gè)分裂為兩個(gè)).經(jīng)過3個(gè)小時(shí),這種細(xì)菌由1個(gè)可繁殖成-（A.511個(gè)B.512個(gè)C.1023個(gè)D.1024個(gè)

6．已知等差數(shù)列｛an｝中，a2=6, a5=15.若bn=a2n,則數(shù)列｛bn｝的前5項(xiàng)和等于（）

(A)30（B）45(C)90(D)186

7．已知數(shù)列?an?*

對(duì)任意的p，q?N滿足ap?q?ap?aq，且a2??6，那么a10等于（）

A．?165B．?33C．?30D．?2

18．設(shè){an}是等差數(shù)列，若a2?3,a7?13，則數(shù)列{an}前8項(xiàng)和為（）

Ａ．128Ｂ．80Ｃ．64Ｄ．56

9．設(shè)｛an｝是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a1＝1,a5=16,則數(shù)列｛an｝前7項(xiàng)的和為（）

A.63B.64C.127D.128

10．記等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，若S2?4，S4?20，則該數(shù)列的公差d=（）

A．7B.6C.3D.2

11．記等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，若a1?1

2，S4?20，則S6?()

A．16B.24C.36D.48

a2,aa1?

1?n?1?n?ln

12．在數(shù)列?an??中，??1?n??，則an＝（）

2)

A．2?lnnB．

二、填空題：

1．等差數(shù)列{an}中，a5=24，S5=70，則S10=___

2．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=32??n?1?lnnC．2?nlnnD．1?n?lnn +t，則t=________

3．等比數(shù)列{an}中，an>0，a2·a4+2a3·a5+a4·a6=25，則a3+a5=_______

4．設(shè){an}中，an=20－4n，則這個(gè)數(shù)列前__或____項(xiàng)和最大。

5．已知：兩個(gè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且An?3n?1 n

Bn2n?

3求：（1）a15b15=_________（2）an=___________ bn

6.等差數(shù)列{an}的公差d?1，且前100項(xiàng)和S100=100,則a1+a3 +a5+…a99=__

27．在[1000，2000]內(nèi)能被3整除且被4除余1的整數(shù)個(gè)數(shù)是________________

8．在數(shù)列{an}在中，an?4n?52*2，a1?a2??an?an?bn，n?N,其中a,b為常數(shù)，則ab?

52an?4n?{a}a?a??a?an?bn，n?N*,其中a,b為常數(shù)，則2n2，19．在數(shù)列n在中，lin??an?bnan?bn的值是_____________

10．已知{an}為等差數(shù)列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，則a5 = ____

三、解答題：

1．已知數(shù)列

n項(xiàng)和

11111S與SSS與S43453a設(shè)Snn345342.是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知的等比中項(xiàng)為，的等差中項(xiàng)為1，{an}是一個(gè)等差數(shù)列，且a2?1，a5??5。（1）求{an}的通項(xiàng)an；（2）求{an}前Sn的最大值。??

求數(shù)列

?an?的通項(xiàng)．

3.等差數(shù)列{an}的前n

項(xiàng)和為Sn，a1?1S3?9?求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；

4.等差數(shù)列?an?中，a4?10且a3，a6，a10成等比數(shù)列，求數(shù)列?an?前20項(xiàng)的和S20．

第五篇：等差等比數(shù)列的證明

專題：等差（等比）數(shù)列的證明

1.已知數(shù)列{a}中，anan1?5且?2an?1?2n?1（n?2且n?N*）.?an?1?（Ⅰ）證明：數(shù)列?2n?為等差數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{an}的前n??

項(xiàng)和S.n

2.已知數(shù)列{a}中，an1?2且an?1?an?2n?3?0（n?2且n?N*）.證明：數(shù)列?an?2n?為等差數(shù)列；

3.已知數(shù)列{a}中，an1?4且2an?1?an?2n?5?0（n?2且n?N*）.證明：數(shù)列?an?2n?1?為等比數(shù)列；

4．?dāng)?shù)列{an}滿足a1?2,a2?5,an?2?3an?1?2an.（1）求證：數(shù)列{an?1?an}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

5.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列?an?前n項(xiàng)和為

1a且n是和S2Sn，首項(xiàng)為a1，n的等差中項(xiàng).求數(shù)列?a?的通項(xiàng)公式； n

6.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的n∈N*有an＋Sn＝

n.(1)設(shè)bn＝an－1，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列； 7.設(shè)數(shù)列?an?的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意

n?N*，都有

a?a?a????????a?S

為數(shù)列的前n項(xiàng)和.3132333n2n，其中S

n

（I）求證：

a?2Sn?an;

n

（II）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；

8.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，a(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，求證：{bn}是等比數(shù)列；（2）.證明數(shù)列{n－2}

是等差數(shù)列

(3)設(shè)cn＝

9.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足 2Sn＝an＋1.求證：{an}是等差數(shù)列．

10.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，a{cn}是等比數(shù)列． 3n－1

Sn*

an＝2(n－1)(n∈N)．

n

(1)

求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列{的前n項(xiàng)和Tn，an·an+1

11.設(shè)Sn是數(shù)列{an}（n?N*）的前n項(xiàng)和，已知a1?4，an?1?Sn?3n，設(shè)bn?Sn?3n.（Ⅰ）證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令cn

12.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1?，an＋2SnSn?1＝0(n?2)． 問：數(shù)列{1是否為等差數(shù)列？并證明你的結(jié)論；

Sn

?2log2bn?

n

?2，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.bn

13.已知等差數(shù)列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2?14x?45?0的兩根，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和為Sn，且Sn=

an·bn。求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

1?bn

(n∈N*),Cn=

14.已知數(shù)列{an}與{bn}滿足

n1

3＋?－1?

bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，bn＝n∈N*，且a1＝2.－

設(shè)cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，證明{cn}是等比數(shù)列

15.已知在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1＝2，點(diǎn)An(an，an＋1)在雙曲線y－x＝1上，數(shù)列{bn}中，點(diǎn)(bn，Tn)在直線y＝－x＋1上，其

中Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；