第一篇：高考數(shù)學(xué)第九章數(shù)列第63課等差等比數(shù)列的綜合問題教案

等差、等比數(shù)列的綜合問題

一、教學(xué)目標(biāo)

1.掌握等差、等比數(shù)列的性質(zhì)；

2.能用類比的思想來研究等差、等比數(shù)列，體會它們的區(qū)別和聯(lián)系；

3.理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與二次函數(shù)的關(guān)系；掌握求等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的基本方法。

二、基礎(chǔ)知識回顧與梳理

1、已知?an?是公差為d的等差數(shù)列，下列命題是否正確？

①a2,a4,...a12是等差數(shù)列 ；②an,an?1,...a1是等差數(shù)列；③ca1,ca2,...can（c為常數(shù)）是等差數(shù)列． 【教學(xué)建議】本題選自書本第35頁習(xí)題，主要復(fù)習(xí)等差數(shù)列的概念，讓學(xué)生學(xué)會用定義判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列．

2、設(shè)?an?是等比數(shù)列，下列命題正確嗎？

2①an是等比數(shù)列； ②?anan?1?是等比數(shù)列；③????1??是等比數(shù)列； ④?lgan?是等比數(shù)列； a?n?⑤?an?an?1?是等比數(shù)列．

【教學(xué)建議】本題選自課本第60頁習(xí)題，提問學(xué)生：如何判斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列，學(xué)會用定義判斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列，第⑤小題學(xué)生容易忽略等比數(shù)列各項(xiàng)不能為零．

3、下列說法是否正確？

①1與4的等比中項(xiàng)是2； ②等比數(shù)列?an?中a1?1,a5?4，則a3?2；

【教學(xué)建議】本題考察等比中項(xiàng)的概念，學(xué)生可能在概念上犯錯，教師在講解時(shí)不需要避免學(xué)生出錯，讓學(xué)生暴露問題，老師進(jìn)一步理清概念．

4、數(shù)列1,x,x2,...xn?1的前n項(xiàng)和Sn?_________．

【教學(xué)建議】本題選自書本第56頁習(xí)題，等比數(shù)列求和學(xué)生使用時(shí)很容易忘記討論q?1，主要讓學(xué)生加深印象，對等比數(shù)列求和一定要考慮q?1的特殊情形，進(jìn)一步練習(xí)：等比數(shù)列?an?中，S3?3a3，則公比q?______，說明一些特殊情況下可以回避用求和公式，避免討論．

三、診斷練習(xí)

1、教學(xué)處理：數(shù)列小題解法較多，要重視學(xué)生自己思路解法。課前學(xué)生自主完成，黑板板演，老師點(diǎn)評 學(xué)生思路方法，比較多種解法，比較優(yōu)劣，歸納總結(jié)．

2、診斷練習(xí)點(diǎn)評

題1：在等差數(shù)列?an?中，若S15?90，則a8=______________.【分析與點(diǎn)評】提出問題：條件S15?90如何使用，引導(dǎo)學(xué)生思考用等差數(shù)列求和公式的兩種表示形式來翻譯條件，歸納思路：（1）完全化歸為基本量表示，S15?15a1?尋求Sn和an的關(guān)系，S15?15?14d?90，化簡得a8?a1?7d?6；（2）215(a1?a15)?90，利用性質(zhì)2a8?a1?a15，解得a8?6．

2題2：公比不為1的等比數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，且?3a,若a1?1，則S4＝________.a2,a3成等差數(shù)列，1?答案為：?20

【分析與點(diǎn)評】（1）等差等比數(shù)列的計(jì)算強(qiáng)調(diào)基本量的運(yùn)算：化歸為a1,d(q)的計(jì)算；（2）本題“遞增”是關(guān)鍵，學(xué)生容易得到a1?1,a3?4?q2?4?q?2，代入公式求解；也可以得到

a1?a3?4,a1?a3?5?q2?4?q?2．

題3：等比數(shù)列?an?的各項(xiàng)均為正數(shù),且a1a5?4,則log2a1?log2a2?log2a3?log2a4?log2a5?.第3題答案為：5

題4：：等差數(shù)列{an}的公差是2，若a2,a4,a8成等比數(shù)列，則{an}的前n項(xiàng)和Sn?第4題答案為：Sn?_______ n(a1?an)?n(n?1)2

3、要點(diǎn)歸納

（1）強(qiáng)化等差（比）數(shù)列的重要性質(zhì)，對于下標(biāo)和相等，等差（比）子數(shù)列的性質(zhì)不同，要注意區(qū)別；（2）等差（比）數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)也不同，特別注意有關(guān)等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn取最值問題，如“診斷練習(xí)”第3題；

（3）要重視等差（比）數(shù)列的性質(zhì)在解題中的運(yùn)用．

四、范例導(dǎo)析

?例

1、數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，若a1?2且Sn?Sn?1?2nn?2,n?N

??(1)求Sn；

(2)是否存在等比數(shù)列?bn?滿足b1?a1,b2?a3,b3?a9？若存在，求出數(shù)列?bn?的通項(xiàng)公式；若不存在，說明理由.【教學(xué)處理】讓學(xué)生板演，了解學(xué)生讀題后的第一想法，加以點(diǎn)評總結(jié)，同時(shí)規(guī)范學(xué)生的書寫 【引導(dǎo)分析與精講建議】

1、第1問強(qiáng)調(diào)等差數(shù)列的證明,注意n?1的驗(yàn)證；

2、第2問注重等差等比數(shù)列基本量的計(jì)算.?解析:(1)因?yàn)镾n?Sn?1?2nn?2,n?N，??所以有Sn?Sn?1?2n對n?2,n?N?成立.即an?2n對n?2,n?N?成立，又a1?S1?2?1，所以an?2n對n?N成立.所以an?1?an?2a對n?N成立，所以?an?是等差數(shù)列，所以有Sn?(2)存在.由(1)知，an?2n對n?N成立，所以有a3?6,a9?18,又a1?2，所以有b1?2，b2?6,b3?18,則???a1?an?n?n2?n,n?N?.2b2b3??3，b1b2所以存在以b1?2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列?bn?.練習(xí):（1）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S10?100，S100?10，求S110；（2）已知等比數(shù)列{an}中，a1?a2?a3?7，a1a2a3?8，求an。

變式題：等差數(shù)列?an?的前m項(xiàng)和Sm?30,前2m項(xiàng)和S2m?100,求前3m項(xiàng)和S3m [點(diǎn)評]：這里變式題起到鞏固知識的作用，引導(dǎo)學(xué)生用多種思路來求解． 例2：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.(Ⅰ)若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,滿足2a1式;(Ⅱ)是否存在等差數(shù)列{an},使對任意n?N*都有an?Sn?2n2(n?1)?若存在,請求出所有滿足條件的等差數(shù)列;若不存在,請說明理由.第2題答案為：

解:(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列

?a3?3a2, a3?2是a2,a4的等差中項(xiàng),求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公?an?的首項(xiàng)為a1,公比為q，?a1(2?q2)?3a1q,(1)?2a1?a3?3a2,依題意,有?即?32a?a?2(a?2).43?2?a1(q?q)?2a1q?4.(2)由(1)得 q2?3q?2?0,解得q?1或q當(dāng)q當(dāng)q?2.?1時(shí),不合題意舍;?2時(shí),代入(2)得a1?2,所以,an?2?2n?1?2n

(Ⅱ)假設(shè)存在滿足條件的數(shù)列{an},設(shè)此數(shù)列的公差為d,則

[a1?(n?1)d][a1n?n(n?1)d]?2n2(n?1),得 2d22331n?(a1d?d2)n?(a12?a1d?d2)?2n2?2n對n?N*恒成立, 2222?d2?2?2,??32則?a1d?d?2，2?12?23a?ad?d?0,?1212?解得??d?2,?d??2,或?此時(shí)an?2n,或an??2n.a?2,a??2.?1?12故存在等差數(shù)列{an},使對任意n?N*都有an?Sn?2n(n?1).其中an?2n, 或an??2n

例

3、已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1?1，公差d?0，且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是等比數(shù)列{bn}的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)．

(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列?cn?對n?N均有?cc1c2????n?an?1成立，求c1?c2???c2015． b1b2bn11?an.22備用題：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an滿足Sn?(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)f?x??log3x,bn?f?a1??f?a2??????f?an?，Tn?(3)若cn?an?f?an?，求?cn?的前n項(xiàng)和Un.111??????，求T2015； b1b2bn【教學(xué)處理】第（1）題，可由學(xué)生自行解答；第（2）題教師可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察和思考，教師點(diǎn)評時(shí)要側(cè)重學(xué)生解題方法，注意運(yùn)用函數(shù)的思想，注意對n?1時(shí)情況的關(guān)注，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的思維和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。【引導(dǎo)分析與精講建議】

（1）用方程思想求出首項(xiàng)和公差公比是解決問題的基礎(chǔ)；

（2）對于等差等比綜合問題學(xué)生會有困難，要引導(dǎo)學(xué)生抓住關(guān)鍵，注意等比數(shù)列證明方法；

（3）用函數(shù)的思想是解決第（2）題的關(guān)鍵所在，解題中要注意培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，對表達(dá)中字母n的取值范圍加以重視，注意對n?1時(shí)情況的關(guān)注。

五、解題反思

解決等差（比）數(shù)列的問題時(shí)，通?？紤]兩類方法：①基本量法，即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化成關(guān)于a1和d?q?的方程；②運(yùn)用等差（比）數(shù)列的性質(zhì)（如下標(biāo)和的性質(zhì)、子數(shù)列的性質(zhì)、和的性質(zhì)）．

第二篇：等差、等比數(shù)列問題

等差等比數(shù)列問題

一、等差數(shù)列、等比數(shù)列基本數(shù)列問題

1．等差數(shù)列?an?，s6?36，sn?6?144，sn?324，求n的值

1）an?2an?1?1；2）an?2an?1?n?1；3）an?2an?1?n2?n?1； 4）an?2an?1?2n；5）an?2an?1?3n

1）sn?2an?1；2）sn?22n?1?n?1；3）sn?2an?1?n2?n?1； 4）sn?2an?1?2n；5）sn?2an?1?3n 2．已知數(shù)列，a?an?滿足：a＝m（m為正整數(shù)）

anA7n?5

2．已知兩個(gè)等差數(shù)列?an?和?bn?的前n項(xiàng)和分別為An,Bn，且n?，則使得為整數(shù)

bnn?3Bn的的正整數(shù)n個(gè)數(shù)為：

3．已知等差數(shù)列?an?，a1?a3?a5???a99?36，公差d??2，求s100的值。

4、已知等差數(shù)列?an?的第2項(xiàng)為8，前10項(xiàng)和為185。1）求?an?的通項(xiàng)公式；2）若數(shù)列依次取出a2,a4,a8,?,a2n

n?1

?an?中

?an當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)

?n，若a6＝1，則m所有??2

當(dāng)an為奇數(shù)時(shí)??3an?1

?得到新數(shù)列?bn?，求數(shù)列?bn?的通項(xiàng)公式。

可能的取值為

四、數(shù)列與其它

1.已知數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式an?n??n?N??，則數(shù)列?an?的前30項(xiàng)中，最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別

n?是

2．已知數(shù)列?an?是遞增數(shù)列，且an?n2??n，則實(shí)數(shù)3.（Ⅰ）設(shè)

4．設(shè)等比數(shù)列?an?的公比為q（q>0），它的前n項(xiàng)和為40，前2n項(xiàng)和為3280，且前前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為27，求數(shù)列的第前2n項(xiàng)。

5．已知數(shù)列?an?的首項(xiàng)為23，公差為整數(shù)，且前6項(xiàng)為正，從第7項(xiàng)起為負(fù)數(shù)，求Sn的最大值。

?范圍是

an為正整數(shù)，6．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且a1

數(shù)列{ban}是公比為64的等比數(shù)列，b2S2?64.（1）求an,bn；（2）求證1?1???1?3.S1S2Sn

4二、數(shù)列思想問題

1．?dāng)?shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn，又bn2．求和sn?

?3,b1?1，a1,a2,??,an是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列（n?4），且公差d?0，若將此數(shù)列刪

a1的數(shù)值；②求n的所有可d

去某一項(xiàng)得到的數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列：①當(dāng)n =4時(shí)，求

能值；

（Ⅱ）求證：對于一個(gè)給定的正整數(shù)n(n≥4)，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差都不為零的等差數(shù)列

?an

b1,b2,??,bn，其中任意三項(xiàng)（按原來順序）都不能組成等比數(shù)列．，求?bn?的前n項(xiàng)和

123n?2?3???n aaaa

3．等差數(shù)列?an?和等比?bn?，求數(shù)列?an?bn?的前n項(xiàng)和 4．1?1?1???

1*2

2*3

3*4

?n?1??n 12?13?24?3

??????

n*n?11*22*33*4n*n?15．已知數(shù)列?an?滿足a1?2a2?3a3???nan?n?n?1?，求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式

三、復(fù)合數(shù)列問題

1、已知數(shù)列?an?滿足下列條件，且a1?1，求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式

第三篇：等差等比數(shù)列綜合練習(xí)題

等差數(shù)列等比數(shù)列綜合練習(xí)題

一．選擇題

1.已知an?1?an?3?0，則數(shù)列?an?是（）

A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列 C.常數(shù)列 D.擺動數(shù)列 2.等比數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1?8，公比q?，那么它的前5項(xiàng)的和S5的值是（）A．31333537

B．

C．

D． 2222123.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S7=35，則a4=()A.8 B.7

C.6

D.5 4.等差數(shù)列{an}中，a1?3a8?a15?120,則2a9?a10?（）A．24 B．22

C．20

D．-8 5.數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式為an?3n2?28n，則數(shù)列?an?各項(xiàng)中最小項(xiàng)是（）A.b7?a7,則b6b8?（）A.2

B.4

C.8

D.16 10.已知等差數(shù)列?an?中, an?0,若m?1且am?1?am?1?am2?0,S2m?1?38,則m等于

A.38

B.20

C.10

D.9 11.已知sn是等差數(shù)列?an?(n?N*)的前n項(xiàng)和,且s6?s7?s5,下列結(jié)論中不正確的是（）A.d<0

B.s11?0

C.s12?0

D.s13?0 12.等差數(shù)列{an}中，a1，a2，a4恰好成等比數(shù)列，則

a4的值是（）a1 A．1

B．2

C．3

D．4

二．填空題

13．已知{an}為等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，則a75＝________ 14.在等比數(shù)列{an}中，a2?a8?16，則a5=__________ 15．在等差數(shù)列{an}中，若a7＝m，a14＝n，則a21＝__________ 16.若數(shù)列?xn?滿足lgxn?1?1?lgxn?n?N??,且x1?x2???x100?100,則lg?x101?x102???x200??________ 17.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a3+a17=10,則S19的值_________ 18.已知等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，則前9項(xiàng)之和等于_________

三.解答題

19.設(shè)三個(gè)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，其和為6，又a，b，c?1成等比數(shù)列，求此三個(gè)數(shù).20.已知數(shù)列?an?中，a1?1,an?2an?1?3，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.2an??s?5n?3n,求它的前3項(xiàng)，并求它21.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是n的通項(xiàng)公式.22.已知等比數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和記為Sn,，S10=10，

S30=70，求S40

第四篇：等差、等比數(shù)列子數(shù)列性質(zhì)的探究

等差、等比數(shù)列的子數(shù)列探究

【教學(xué)目標(biāo)】

經(jīng)歷等差數(shù)列與等比數(shù)列子數(shù)列的性質(zhì)的研究過程，體驗(yàn)“歸納——猜想——論證”的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的科學(xué)方法；體會從特殊到一般、類比等數(shù)學(xué)思想，獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與研究的樂趣。

【教學(xué)重點(diǎn)】

歸納-猜想-論證、從特殊到一般、類比等數(shù)學(xué)思想方法的體驗(yàn)與認(rèn)識。

【教學(xué)難點(diǎn)】

“歸納——猜想——論證”等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的習(xí)得。

【教材分析】

前段時(shí)間，高三學(xué)生已經(jīng)進(jìn)行了數(shù)列的系統(tǒng)復(fù)習(xí)，掌握了等差、等比數(shù)列的定義與應(yīng)用；學(xué)習(xí)了解決數(shù)列問題的“基本量法”、“類比”、“歸納、猜想、論證”等數(shù)學(xué)思想方法，本課主要通過等差、等比子數(shù)列的研究，強(qiáng)化數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，加深對于數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，規(guī)范解決數(shù)學(xué)問題的基本方法與要求，獲得數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的新的體會。

【學(xué)情分析】

從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)看，學(xué)生已經(jīng)對于等差、等比數(shù)列有了較好的理解與認(rèn)識，也能夠開展對于數(shù)學(xué)新問題的學(xué)習(xí)與研究能力；從學(xué)生的思維發(fā)展看，高三學(xué)生已經(jīng)具備了一定的研究與學(xué)習(xí)有關(guān)新概念與新問題的能力。

【問題提出】

在數(shù)列研究的過程中，等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩個(gè)十分重要的數(shù)列；我們已經(jīng)研究了等差數(shù)列與等比數(shù)列的一些性質(zhì)，這兩節(jié)課，我們將研究了從等差及等比數(shù)列中取出部分的項(xiàng)，按原來的順序組成的一個(gè)“子數(shù)列”所具有的性質(zhì)；研究這些數(shù)列的的一般特征與規(guī)律。

觀察下列數(shù)列，試寫出一個(gè)符合前4項(xiàng)的通項(xiàng)公式，指出它們具有什么性質(zhì)？

（1）1,2,3,4,...；

（2）2,4,6,8,...；

（3）1,3,5,7,...；

（4）1,2,4,8,...（4）5,9,13,17,...（5）2,5,8,11,...（6）1,4,16,64,...（7）5,20,80,320,...（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過從特殊到一般的歸納與猜測，獲得各數(shù)列的通項(xiàng)公式；指出其一般特性；體驗(yàn)通項(xiàng)公式的猁過程，逐步獲得子數(shù)列的概念。）

【問題探究】

1）教師提問：觀察上述數(shù)列，從數(shù)列的項(xiàng)來看，他們間存在什么聯(lián)系嗎？

2）形成子數(shù)列定義：給定無窮數(shù)列?an?，數(shù)列?an?中任取無窮多項(xiàng)，不改變它們在原來數(shù)列中的先后次序，得到新的數(shù)列ak1,ak2,ak3,...,ak,...(k...1?k2?k3? n

?kn?...,k1,k2,k3,kn?N?)稱為數(shù)列?an?的一個(gè)子數(shù)列。

3）指出上述數(shù)列中子數(shù)列關(guān)系。

結(jié)論：任何一個(gè)無窮數(shù)列都存在無窮多個(gè)子數(shù)列。

問題

一、數(shù)列?an?是無窮等差數(shù)列，問：數(shù)列?an?是否存在等差的子數(shù)列？ 研究：

1、設(shè)an?a(a為常數(shù)），則任取一些項(xiàng)組成的數(shù)列都是等差子數(shù)列。

2、an?n中有子數(shù)列bn?2n?1,bn?2n,bn?5n等。

3、an?

1n?1中有子數(shù)列bn?3n?1,bn?n?等 2224、數(shù)列?an?是等差數(shù)列，若k1?k2?k3?...?kn?...，k1,k2,k3,kn?N?)，當(dāng)ak1?t，且m的等差數(shù)列時(shí)，ak1,ak2,ak3,...,ak是數(shù)列?an?的一個(gè)首項(xiàng)為t，k1,k2,k3,...nk,是公差為,...,...n公差為md的等差子數(shù)列。證明：略。

方法小結(jié)：

（1）只要首項(xiàng)不同，公差不同就可以確定不同的等差子數(shù)列。

（2）從具體的例子中小結(jié)出如何尋找等差子數(shù)列，以及子數(shù)列的公差和原數(shù)列的公差之間的關(guān)系，從而得出結(jié)論：

1）2）

等差數(shù)列中下標(biāo)成等差數(shù)列（公差為k）的項(xiàng)仍然成等差數(shù)列。新的等差數(shù)列的公差等于原等差數(shù)列的公差的k倍。

（設(shè)計(jì)意圖：研究問題的1以及2，在前面已經(jīng)解決過，只是讓學(xué)生通過復(fù)習(xí)，加深對于子數(shù)列的理

解；問題3的解決，是為歸納猜想作必要的準(zhǔn)備；問題的證明，是為了規(guī)范學(xué)生的表達(dá)形式。）

問題

二、數(shù)列?an?是等比數(shù)列，問：數(shù)列?an?是否存在等比的子數(shù)列？

1、設(shè)an?a(a為常數(shù)），則任取一些項(xiàng)組成的數(shù)列都是等比子數(shù)列。

2、an?2n中有子數(shù)列bn?22n?1和bn?25n等。

3、an?2?()

n?

1中有子數(shù)列bn?2?()等。

n4、數(shù)列?an?是等比數(shù)列，若k1?k2?k3?...?kn?...，k1,k2,k3,kn?N?)，當(dāng)ak1?t，且m的等差數(shù)列時(shí)，ak1,ak2,ak3,...,akn,...是數(shù)列?an?的一個(gè)首項(xiàng)為t，k1,k2,k3,...nk,是公差為,...公比為qk的等比子數(shù)列。

證明結(jié)論：設(shè)?an?是等比數(shù)列，q是公比，若am,an為常數(shù)時(shí)，an

?qn?m，當(dāng)n?m?kam

an

?qn?m?qk也是常數(shù)。am

方法小結(jié)：

（1）只要首項(xiàng)不同，公比不同就可以確定不同的等比子數(shù)列。

（2）從具體的例子中小結(jié)出如何尋找等比子數(shù)列，以及子數(shù)列的公比和原數(shù)列的公比之間的關(guān)系，從而得出結(jié)論： 1）

等比數(shù)列中下標(biāo)成等差數(shù)列（公差為k）的項(xiàng)仍然成等比數(shù)列。

2）法。）

新的等比數(shù)列的公比等于qk。

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)習(xí)類比的數(shù)學(xué)思想方法；進(jìn)一步體會從特殊到一般，歸納——猜想——論證的數(shù)學(xué)思想方問題

三、數(shù)列?an?是等差數(shù)列，問：數(shù)列?an?是否存在等比的子數(shù)列？

1、若an=n，求數(shù)列?an?的等比子數(shù)列？ 子數(shù)列bn=

2n?

1和bn=

3n?1

等。

（自然數(shù)列是學(xué)生最容易想到的，除了自然數(shù)列之外，其他的數(shù)列不容易想到）

2、給出一個(gè)例子一起研究。

例題1：已知：等差數(shù)列?an?，且an?3n?1。問：等差數(shù)列?an?中是否存在等比子數(shù)列?cn?？（1）寫出?an?的一些項(xiàng)：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，?，學(xué)生嘗試后找出結(jié)果有：

①2，8，32，128，512，?，2?4n?1;②2,14,98,686,4802, ?，2?7

n?

1;③2,20,200,2000, ?，2?10n?1;④5,20,80,320, ?，5?4n?1;⑤2,26,338, ?，2?13n?1

（2）猜想：①cn?2?4n?1；②cn?2?7n?1；③cn?2?10n?1；④cn?5?4n?1；⑤

cn?2?13n?1

（3）提問：這些猜想是否正確呢？

我們可以從兩個(gè)方面進(jìn)行思考：通過演繹推理證明猜想為真，或者找出反例說明此猜想為假，從而否定或修正此猜想。（4）學(xué)生分組證明猜想

分析：2?4∵2?

4n?1

n?1的項(xiàng)被3除余2，從而得出利用二項(xiàng)式定理證明的方法。

證1：（用二項(xiàng)式定理）

?2?(3?1)n?1?2?(3k?1)?6k?2(k?N)，即2?4n?1除以3余2，∴?cn?是?an?的子數(shù)列。

分析 ：由前面幾項(xiàng)符合推廣到無窮項(xiàng)都符合，從而得出利用數(shù)學(xué)歸納法證明的方法。證2：（數(shù)學(xué)歸納法）

① 當(dāng)n=1時(shí)，c1?2?3?1?1?a1

② 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ck?22k?1?3m?1?am(m?N)，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，ck?1?

22(k?1)?1?22k?1?4?22k?1?4?(3m?1)?3?(4m?1)?1?a4m?1.由①、②得?cn?是?an?的子數(shù)列。

n?1n?

1c?2?7?2?(6?1)?3k?2,k?N;n（5）同理證明

cn?2?10n?1?2?(9?1)n?1?3k?2,k?N,cn?5?4n?1?5?(3?1)n?1?3k?2，k?N;cn?2?13n?1?2?(12?1)n?1?3k?2,k?N.（6）引申：讓學(xué)生找規(guī)律——以an中任一項(xiàng)為首項(xiàng)，以3k?1(k?N)為公比的等比數(shù)列均是該等差

數(shù)列的等比子數(shù)列

（7）小結(jié)：歸納法是從特殊到一般的推理方法，而由此所作出的猜想是需要進(jìn)一步證明的。從歸納猜

想到論證的思維方法是我們研究數(shù)學(xué)問題常用的方法。

（8）思考：對給定的等差數(shù)列可以構(gòu)造出等比數(shù)列，不確定的等差數(shù)列中是否存在等比數(shù)列？

【方法總結(jié)】

1、“歸納——猜想——論證”是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法，從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，是研究數(shù)學(xué)問題的常用方法；

2、研究性學(xué)習(xí)，是數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的重要手段；

3、合作學(xué)習(xí)方式，是研究性學(xué)習(xí)的有效途徑。

【方法應(yīng)用】

思考

1、等比數(shù)列是否存在等差子數(shù)列？請舉例說明，并研究一般規(guī)律。

思考2： 已知：數(shù)列?an?是首項(xiàng)a1?2,公差是d的等差數(shù)列。數(shù)列?bn?是等比數(shù)列，且

b1?a1,b2?a2。問：是否存在自然數(shù)d，使得數(shù)列?bn?是數(shù)列?an?的子數(shù)列？如存在，試求出d的一

切可能值。

思考

3、數(shù)列?an?是等比數(shù)列，問：數(shù)列?an?是否存在等差的子數(shù)列？ 分析：先取d=1，2，3，4，5，6。發(fā)現(xiàn)當(dāng)d是奇數(shù)時(shí)，不可能?！遖2是奇數(shù)，∴公比

a2an?

1為分?jǐn)?shù)，則bn?2?(2)從第三項(xiàng)開始就不是自然數(shù)

2取d=2，?an?：2，4，6，8，?，?bn?：2，4，8，16，?，an?2n,bn?2n,?2n是偶數(shù)，∴d=2時(shí)，數(shù)列?bn?是數(shù)列?an?的子數(shù)列，取d=4，?an?：2，6，10，14，18，?，?bn?：2，6，18，54，?，an?4n?2,bn?2?3n?1?2?(4?1)n?1?2?(4k?1)?4?2k?2(k?N)，∴d=4時(shí)，數(shù)列?bn?是數(shù)列?an?的子數(shù)列。同理d=6時(shí)，數(shù)列?bn?也是數(shù)列?an?的子數(shù)列。由此猜想當(dāng)d?2m(m?N)時(shí)，數(shù)列?bn?是數(shù)列?an?的子數(shù)列?？梢杂枚?xiàng)式定理或數(shù)學(xué)歸納法證明。

證1：（用二項(xiàng)式定理）在?an?中，a1?2,d?2m,an2?(n?1)?2m.在?bn?中，b1=2，b2?2?2m,q?

則2?(m?1)

k?1

2?2m

?1?m,bn?2?(1?m)n?1。令bk?an(k?3), 2

1k?2

=2?(n?1)?2m.(m?1)k?1?1?(n?1)?m,mk?1?Ck??? ?1?m

?2k?21k?3?2

an?中的Ckk??Ck???Ckk?1?m?1?1?(n?1)?m，可解出n?1?m?1?m1?N,即bk為?

某一項(xiàng)。

證2：（數(shù)學(xué)歸納法）①當(dāng)n=1時(shí)，b1?a1；②假設(shè)bk是?an?的第p項(xiàng)，即

2?(m?1)k?1?2?2m(p?1),則bk?1?bk(m?1)??2?2m(p?1)?(m?1)=2+

2m?m(p?1)?p?1?1?即bk?1是?an?中的第m（p-1）+p+1項(xiàng)。由①、②得，數(shù)列?bn?是數(shù)列?an?的子

數(shù)列。

第五篇：等差與等比數(shù)列綜合專題練習(xí)題

1．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列，若

值時(shí)，n＝()A．11a＜－1，且它的前n項(xiàng)和Sn有最大值，那么當(dāng)Sn取得最小正a10

anB．17C．19D．21 2.已知公差大于0的等差數(shù)列{

求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an． }滿足a2a4＋a4a6＋a6a2＝1，a2，a4，a8依次成等比數(shù)列，3.已知△ABC中，三內(nèi)角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，邊a、b、c依次成等比數(shù)列．求證：△ABC是等邊三角形．

4.設(shè)無窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．是否存在實(shí)數(shù)k，使4Sn＝(k＋an)2對一切正整數(shù)n成立？若存在，求出k的值，并求相應(yīng)數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，說明理由．

答：存在k＝0，an＝0或k＝1，an＝2n－1適合題意．

5.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，Sn=nan﹣2n(n﹣1)，(n∈N*)(Ⅰ)求證數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并寫出通項(xiàng)公式；(Ⅱ)是否存在自然數(shù)n，使得S1?S22?S3

3???Sn

n?400?

若存在，求出n的值；若不存在，說明理由；

6．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝55，S20＝210.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

a(2)設(shè)bnm、k(k>m≥2，m，k∈N*)，使得b1、bm、bk成等比數(shù)列？若存在，an＋1

求出所有符合條件的m、k的值；若不存在，請說明理由．

?2a1＋9d＝11?a1＝1，??解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，即?，解得?所以an＝a1＋(n－1)d???2a1＋19d＝21?d＝1.**2＝n(n∈N)．(2)假設(shè)存在m、k(k>m≥2，m，k∈N)，使得b1、bm、bk成等比數(shù)列，則bm＝

an1mkm21kb1bk.因?yàn)閎n＝，所以b1＝，bm＝，bk＝所以(＝×.整理，22k＋1an＋1n＋1m＋1k＋1m＋1

2m2

得k＝－m＋2m＋1

以下給出求m、k的方法：因?yàn)閗>0，所以－m2＋2m＋1>0，解得1－2

已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)＝3x2－2x,.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n，Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y＝f(x)的圖象上

3m(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得Tn<對所20anan＋1

有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m.17．已知點(diǎn)(1是函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為f(n)3

－c，數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和Sn滿足Sn－Sn－1Sn＋Sn＋1(n≥2)．(1)求數(shù)列{an}

11000和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{前n項(xiàng)和為Tn，問Tn>n是多少？ 2009bnbn＋1

8.已知定義域?yàn)镽的二次函數(shù)f(x)的最小值為0，且有f(1＋x)＝f(1－x)，直線g(x)＝4(x－1)的圖象被f(x)的圖象截得的弦長為4，數(shù)列{an}滿足a1＝2，(an＋1－an)g(an)＋f(an)＝0

*(n∈N)．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)bn＝3f(an)－g(an＋1),求數(shù)列{bn}的最值及相應(yīng)的n.