第一篇：初中數(shù)學(xué)教材中分類思想的探討

初中數(shù)學(xué)教材中分類思想的探討

亭湖區(qū)黃尖初級(jí)中學(xué)郵編：224049

內(nèi)容提要: 中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí), 常常會(huì)運(yùn)用到一些數(shù)學(xué)思想, 分類討論的思想方法在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著廣泛應(yīng)用.在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的分類思想的應(yīng)用, 數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)和運(yùn)算法則進(jìn)行分類,圖形的位置的變化而進(jìn)行的分類, 定理證明中的分類討論, 我們要把掌握分類思想,作為一項(xiàng)教學(xué)目標(biāo)納入教學(xué)過程,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力,在教學(xué)中要遵循循序漸進(jìn),適時(shí)滲透,逐步深化的原則,初始階段,可從學(xué)習(xí)熟知的數(shù)學(xué)分類入手,逐步提高.關(guān)鍵詞: 數(shù)學(xué)思想, 分類討論思想, 概念的分類, 數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)和運(yùn)算法則的分類, 圖形位置變化的分類, 定理證明中的分類討論, 運(yùn)用分類思想,解決數(shù)學(xué)問題，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，我們常常會(huì)運(yùn)用到一些數(shù)學(xué)思想，而數(shù)學(xué)思想是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識(shí)之中，經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果，它是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。首先，數(shù)學(xué)思想比一般的數(shù)學(xué)概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具體、更豐富，而前者比后者更本質(zhì)、更深刻；其次，數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、數(shù)學(xué)方法三者密不可分：如果人們站在某個(gè)位置、從某個(gè)角度并運(yùn)用數(shù)學(xué)去觀察和思考問題，那么數(shù)學(xué)思想也就成了一種觀點(diǎn)。而對(duì)于數(shù)學(xué)方法來說，思想是其相應(yīng)的方法的精神實(shí)質(zhì)和理-1-

論基礎(chǔ)，方法則是實(shí)施有關(guān)思想的技術(shù)手段。數(shù)學(xué)思想是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的根本想法，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。

在初中階段對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)將統(tǒng)領(lǐng)知識(shí)的數(shù)學(xué)思想和方法概括出來，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的應(yīng)用意識(shí)，從而令學(xué)生更透徹地理解所學(xué)的知識(shí)，提高獨(dú)立分析問題、解決問題的能力。這是鍛煉學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)這種能力的重要途徑。

素質(zhì)教育的主要任務(wù)不僅是發(fā)展學(xué)生的智力，培養(yǎng)學(xué)生的能力，還要培養(yǎng)非智力因素和辯證唯物主義等思想，從根本上講就是要全面提高學(xué)生的“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)。而數(shù)學(xué)思想方法就是增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念，形成“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，樹立創(chuàng)新意識(shí)的關(guān)鍵，她能使學(xué)生在未來的生活和工作中終生受益。新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為掌握好數(shù)學(xué)思想方法，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)，使學(xué)生具有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的必要條件。掌握好數(shù)學(xué)思想方法可以使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)更容易理解和記憶，如果把數(shù)學(xué)思想方法學(xué)好了，在數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下運(yùn)用數(shù)學(xué)方法駕馭數(shù)學(xué)知識(shí)，就能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更加容易，并能將所學(xué)到的知識(shí)和方法運(yùn)用于今后的工作和生活之中。

初中數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法很多，最基本的數(shù)學(xué)思想方法有：化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想、函數(shù)思想等。在這些基本思想方法中，分類討論的思想由于初中學(xué)生認(rèn)知能力、思維習(xí)慣、知識(shí)水平和教學(xué)內(nèi)容的限制，學(xué)生在運(yùn)用的過程中感覺到特別困難，但分類思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中又有著極其廣泛的應(yīng)用，有必要對(duì)其特別加以重視，下面我們就一同來看一看這種數(shù)學(xué)思想方法在初中

數(shù)學(xué)教材應(yīng)用，以更好地利用數(shù)學(xué)教學(xué)來提高學(xué)生的素質(zhì)，使學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)、生活中運(yùn)用這種數(shù)學(xué)思想方法，來解決實(shí)踐中遇到的各種問題。

數(shù)學(xué)分類思想是在研究與解決數(shù)學(xué)問題時(shí),根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的異同點(diǎn),將對(duì)象分為不同種類,然后逐類進(jìn)行研究與解決,從而達(dá)到研究與解決問題的目的的一種思想方法。分類思想的掌握對(duì)研究和解決問題十分有益，因此是科學(xué)研究中最常用，最基本的思想方法之

一。它有利于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維的條理性、縝密性、靈活性，使學(xué)生學(xué)會(huì)完整地考慮問題、化整為零地解決問題。

應(yīng)用分類討論思想解決問題，必須保證分類科學(xué)、統(tǒng)一，不重復(fù)，不遺漏，并力求最簡捷。

分類思想有三個(gè)明顯特點(diǎn)，一是對(duì)什么東西分類，即確定分類的對(duì)象；二是按什么標(biāo)準(zhǔn)分類，即選擇分類的標(biāo)準(zhǔn)；三是分成哪幾類，即確定分類的結(jié)果。通過正確的分類，可以使復(fù)雜的問題得到清晰、完整、嚴(yán)密的解答。就分類討論的思想方法在初中數(shù)學(xué)教材中的應(yīng)用，大致可以分成下面四種類型。

一、數(shù)學(xué)概念中的分類思想的應(yīng)用

1、實(shí)數(shù)的分類：實(shí)數(shù)按定義可以分為有理數(shù)與無理數(shù)；而按大小又可分為正實(shí)數(shù)、0、負(fù)實(shí)數(shù)。在實(shí)數(shù)的應(yīng)用中時(shí)常需要就實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論。

2、角的分類，小于180的角按大小可分成銳角、直角、鈍角等

3、三角形的分類：在三角形中按角的大小進(jìn)行分類可以分為銳

角三角形、直角三角形，鈍三角形；而按邊的相等數(shù)來分又可以分成：

（1）三條邊都不相等，即一般三角形；（2）有兩邊相等，即等腰三角形；（3）有三條邊相等，即等邊三角形。在三角形中又以等腰三角形中的分類討論的題型最多。

4、四邊形的分類：在四邊形中按邊的平行關(guān)系可分為：①兩組

對(duì)邊都不平行，即一般四邊形；②只有一組對(duì)邊平行，即梯形③兩組對(duì)邊分別平行，即平行四邊形，而平行四邊形中又可分為一般平行四邊形和特殊平行四邊形：矩形、菱形、正方形等。

5、方程的分類，方程按未知數(shù)的個(gè)數(shù)可分成一元方程、二元方程、多元方程；按未知項(xiàng)的次數(shù)可分為一次方程、二次方程、高次方程等。在方程中常常對(duì)未知數(shù)前面的字母系數(shù)的取值分類討論。

6、函數(shù)的分類，初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)可分成正比例函數(shù)、一次函

數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等。

二、根據(jù)數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)和運(yùn)算法則進(jìn)行分類

?a當(dāng)a?0時(shí)

1、絕對(duì)值的化簡a???0當(dāng)a?0時(shí)

??a當(dāng)a?0時(shí)?

2、二次根式的化簡?a當(dāng)a?0時(shí)?a2?a??0當(dāng)a?0時(shí) ??a當(dāng)a?0時(shí)?

23、一元二次方程根的判別式，一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0),當(dāng)△=b-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=b-4ac=0時(shí)，2

2方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=b-4ac<0時(shí),方程無實(shí)根。

4、函數(shù)的增減性，（1）在一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）中，如果k>0，那么y的值隨x值的增大而增大；如果k<0，那么y的值隨x值的增大而減小。

（2）在反比例函數(shù)y=k／x（k為常數(shù)，且k≠0）中，當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支分別在第一、三象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x 增大而減?。划?dāng)k<0時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支分別在第二、四象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x 增大而增大。

5、不等式的性質(zhì)

不等式的性質(zhì)2不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。

根據(jù)不等式這個(gè)性質(zhì)在不等式的兩邊都乘或除以一個(gè)數(shù)時(shí)需要考慮到這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)。

三、根據(jù)圖形的位置的變化而進(jìn)行的分類

1、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系①點(diǎn)在直線上②點(diǎn)在直線外

2、直線與直線的位置關(guān)系：在同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系有①相交②平行。直線與直線的位置關(guān)系中分類討論的題型并不多見，但它本身就是一種分類。

3、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系①點(diǎn)在圓外②點(diǎn)在圓上③點(diǎn)在圓內(nèi)。

4、直線與圓的位置關(guān)系①相離②相切③相交。

5、圓與圓的位置關(guān)系①外離②外切③相交④內(nèi)切⑤內(nèi)含

四、定理證明中的分類討論

圓周角定理證明中的分類，分三種情況進(jìn)行討論。①圓心在角的一邊上；②圓心在角的內(nèi)部；③圓心在角的外部。

通過上述問題的討論,分類討論的思想方法在初中數(shù)學(xué)教材中有著廣泛的應(yīng)用。在運(yùn)用分類思想解題時(shí)主要步驟有：①分析題目中的已知條件，明確所要討論的對(duì)象，確定所要討論對(duì)象的全體；②確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，做到不重不漏,并力求最簡；③對(duì)所分類型進(jìn)行逐級(jí)討論、求解；④歸納小結(jié)，得出最后的結(jié)論。

當(dāng)然課本中分類討論題型很多，在具體的題目中也許多類型，例如在三角形相似中由于對(duì)應(yīng)關(guān)系的不明確也可以進(jìn)行分類討論，在圖形運(yùn)動(dòng)中的題目也會(huì)有分類討論，在中考綜合題中也會(huì)穿插著許多分類討論的題目，因此有必要在今后的學(xué)習(xí)和教學(xué)的過程中，根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求,我們要把掌握分類思想,作為一項(xiàng)教學(xué)目標(biāo)納入教學(xué)過程,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力,在教學(xué)中要遵循循序漸進(jìn),適時(shí)滲透,逐步深化的原則,初始階段,可從學(xué)習(xí)熟知的數(shù)學(xué)分類入手,逐步提高.當(dāng)學(xué)生初步理解一些數(shù)學(xué)分類方法后,適時(shí)做好深化、歸納工作，可設(shè)計(jì)一些含有分類思想的習(xí)題，通過專項(xiàng)訓(xùn)練，幫助學(xué)生總結(jié)一些常見的分類方法，逐步強(qiáng)化分類意識(shí)，養(yǎng)成善于分類的思維習(xí)慣，便于學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)過程中能正確地運(yùn)用這種思想方法解決好數(shù)學(xué)問題，并能使復(fù)雜的問題得到清晰、完整、嚴(yán)密的解答，這樣才能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

第二篇：初中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)思想

初中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)思想

徐州市九里區(qū)九里中學(xué)朱黎生

摘要：天得一而清，地得一而寧，萬物得一而生，數(shù)學(xué)的美美在其統(tǒng)一性與簡單性?；瘹w思想、數(shù)形結(jié)合思想、整體思想、函數(shù)思想、對(duì)應(yīng)思想等不都是數(shù)學(xué)統(tǒng)一美的表現(xiàn)嗎？方程、函數(shù)、不等式之間是統(tǒng)一的，加、減、乘、除之間是統(tǒng)一的，減就是加，除就是乘。數(shù)與式之間是統(tǒng)一的，數(shù)與形之間是統(tǒng)一的。在數(shù)學(xué)統(tǒng)一美的統(tǒng)領(lǐng)下，各種數(shù)學(xué)思想各善其能。本文簡略探討了初中數(shù)學(xué)中的一些數(shù)學(xué)思想，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的目的所在，也是學(xué)生數(shù)學(xué)能力的體現(xiàn)。其實(shí)，每一種數(shù)學(xué)思想都可以寫厚厚的一本書，又豈是本文浮光掠影式的一帶而過。

在2006年常州市武進(jìn)區(qū)湖塘中學(xué)舉行的江蘇省青年教師優(yōu)質(zhì)課評(píng)比活動(dòng)中，鄭君威先生講了這樣一句話：“一堂如果沒有數(shù)學(xué)思想的滲透，那么它就是一堂沒有品位的課?！笔前?！一堂好課就像一杯清茶，要留有口齒生津的余香；就像馬致遠(yuǎn)的“枯藤老樹昏鴉，小橋流水人家，古道西風(fēng)瘦馬”一樣，要留給人無限的遐想。就像中國的水墨山水，寥寥數(shù)筆卻留給人大量的言外之意、畫外之音。莊子說：“大道無言、大音稀聲”；聽了一堂好課，在靜思冥想中，細(xì)細(xì)體會(huì)知識(shí)背后所蘊(yùn)含的思想，或許就會(huì)給我們帶來小小的快樂，一堂好課除了教給我們一些知識(shí)之外，最重要的是讓我們感受一些數(shù)學(xué)的思想。日本數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家米山國藏說：“學(xué)生在初中或高中所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)，在進(jìn)入社會(huì)后，幾乎沒有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用，因而這種作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，通常在出校門后不到一兩年就忘掉了，然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)思想方法，卻長期在他們的生活和工作中發(fā)揮著作用?！?/p>

那么初中數(shù)學(xué)教材中滲透了那些數(shù)學(xué)思想呢？

1、化歸思想

匈牙利著名數(shù)學(xué)家路莎·彼得在她的名著《無窮的玩藝》一書中對(duì)“化歸方法”作過描述：“如上所述的推理過程，對(duì)于數(shù)學(xué)家的思維過程來說是很典型的，他們往往不對(duì)問題進(jìn)行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉(zhuǎn)化為己經(jīng)能夠解決的問題。當(dāng)然，從陳舊的實(shí)用觀點(diǎn)來看，以下的一個(gè)比擬也許是十分可笑的，但這一比擬在數(shù)學(xué)家中卻是廣為流傳的：‘現(xiàn)有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴擺在你面前，當(dāng)你要燒水時(shí)，你應(yīng)當(dāng)怎么去做呢?‘往水壺里注滿水，點(diǎn)燃煤氣，然后把水壺放在煤氣灶上?！銓?duì)問題的回答是正確的。現(xiàn)把所說的問題稍作修改，即假設(shè)水壺里己經(jīng)裝滿了水，而所說問題中的其他情況都不變，試問，此時(shí)你應(yīng)該怎樣去做?’此時(shí)被問者一定會(huì)大聲而頗有把握地說：‘點(diǎn)燃煤氣，再把水壺放上去。’他確信這樣的回答是正確的，但是更完美的回答應(yīng)該是這樣的：‘只有物理學(xué)家才會(huì)按照剛才所說的辦法去做，而數(shù)學(xué)家卻會(huì)回答：‘只須把水壺中的水倒掉，問題就化歸為前面所說的問題了?！睆倪@段話可以看出，化歸方法已經(jīng)成為了數(shù)學(xué)家們最典型的思維模式了”。

所謂“化歸”，從字面上看，可理解為轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思。數(shù)學(xué)中把待解決的問題通過轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到一類己經(jīng)能解決或者比較容易解決的問題中去，最終獲得原問題的解答的一種手段和方法?；瘹w方法用框圖可直觀表示為：

其中，問題B常被稱作化歸目標(biāo)或方向，轉(zhuǎn)化的手段被稱為化歸途徑或化歸策

略。所以化歸包括三個(gè)基本要素，即化歸對(duì)象、化歸目標(biāo)和化歸策略。化歸的方

向是：由未知到已知，由復(fù)雜到簡單，由困難到容易。

初中數(shù)學(xué)處處都體現(xiàn)出轉(zhuǎn)化的思想，如化繁為簡、化難為易，化未知為己知，化多元為一元，化高次為低次等，是解決問題的一種最基本的思想。在具體內(nèi)容

上，有加減法的轉(zhuǎn)化，乘除法的轉(zhuǎn)化，乘方與開方的轉(zhuǎn)化，添輔助線，設(shè)輔助元

等等都是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的具體手段。轉(zhuǎn)化思想是一種思維策略的表現(xiàn)，即我們常說的換個(gè)角度想問題。它是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想，它要求我們能把握住問題的本

質(zhì)，能辨證地看待事物，能運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題解

決，把隱含的條件轉(zhuǎn)化為明顯的條件，把生疏的問題轉(zhuǎn)化為較熟知的問題解決。

嚴(yán)格說，初中的幾何證明只能是指出待證問題可以歸入哪個(gè)問題的證明或由哪個(gè)

已證的定理或結(jié)論來證明，實(shí)質(zhì)上是一種化歸過程。老老實(shí)實(shí)從公理、公設(shè)、定

義出發(fā)去證明每一個(gè)命題，既費(fèi)時(shí)，又沒有必要，對(duì)初中學(xué)生來說有的甚至是不

可能達(dá)到的。等價(jià)轉(zhuǎn)化本身是數(shù)學(xué)中的很重要的內(nèi)容，可以把較為深?yuàn)W的問題化

為較淺顯的問題，較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)頭腦的靈活也

體現(xiàn)在這種等價(jià)轉(zhuǎn)化上，能把原題改為一個(gè)新的題目且使兩題的已知條件及結(jié)論

本質(zhì)上相同，做到此很不簡單。

例1：有雞、兔若干只同籠，已知共有頭12個(gè)，腿36條，問雞、兔各多

少?此題解法較多，我們可以用化歸方法，若雞、兔同時(shí)抬起一半腿，則有腿18

條，比頭數(shù)多6，問題很快解決。

例2：如圖，正方形的邊長為a，求圖中陰影部分面積。

分析：圖形不規(guī)則，換一個(gè)角度看，知陰影部分是由4個(gè)以正方形的邊長為

直徑的半圓疊加再減去一個(gè)正方形而形成。

有些問題如果直接解決難以入手，不妨換一個(gè)方向、角度或觀點(diǎn)來考慮，或

許能使問題變得更清晰、更明朗，這就是轉(zhuǎn)化思想。

2、符號(hào)化、方程與函數(shù)思想

符號(hào)化思想，方程思想和函數(shù)思想本來是三個(gè)不同的思想，它們各有側(cè)重點(diǎn)，符號(hào)化偏重于形式化、結(jié)構(gòu)化。方程思想相對(duì)于算術(shù)法，偏重于關(guān)注問題中的等

量關(guān)系、構(gòu)造方程，由解方程而達(dá)到問題解決。函數(shù)思想則偏重于事物的運(yùn)動(dòng)變

化，尋求變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。但是，一方面，由于初中數(shù)學(xué)知識(shí)量畢竟有限，這三種思想的形成還有待學(xué)生在后繼學(xué)習(xí)中完成，另一方面，這三種思想存在著

有機(jī)的聯(lián)系，符號(hào)化是方程思想實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ)，而方程又可以看作是函數(shù)的特殊情

況，方程方法也是研究函數(shù)的有力工具。因此，這里把這三種思想方法放在一起。a、符號(hào)化思想

符號(hào)既可以表示數(shù)，又可以表示量；既可以表示未知數(shù)，又可以表示已知數(shù)；

既可表示常量，又可表示變量，還可以用符號(hào)表示運(yùn)算、表示關(guān)系、表示語句、表示圖形。如新教材第三章《 字母表示數(shù)》中的“ 擺火柴棒”的實(shí)驗(yàn)，就蘊(yùn)

涵著用字母表示數(shù)的思想，如能先讓學(xué)生在具體實(shí)驗(yàn)中計(jì)算一些具體的數(shù)值，啟發(fā)學(xué)生歸納出字母表示數(shù)的思想，認(rèn)識(shí)到字母表示數(shù)具有問題的一般性，就

便于問題的研究和解決，由此就可產(chǎn)生從算術(shù)到代數(shù)的認(rèn)識(shí)飛躍。學(xué)生領(lǐng)會(huì)了用

字母表示數(shù)的思想就可順利地進(jìn)行以下內(nèi)容的教學(xué)：（1）用字母表示問題（代

數(shù)式模仿、列代數(shù)式）；（2）用字母表示規(guī)律（運(yùn)算定律、計(jì)算公式、認(rèn)識(shí)

數(shù)式通性的思想）；（3）用字母表示數(shù)來解題（適應(yīng)字母式問題的能力）。b、方程思想

方程思想就是把問題轉(zhuǎn)化為利用方程或方程組求解。運(yùn)用方程思想解題在數(shù)

學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中均有廣泛的應(yīng)用。方程、函數(shù)、不等式關(guān)系緊密，是初

中階段數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容和考查熱點(diǎn)，尤其是二次函數(shù)與二次方程。不等式反映的是不等量的關(guān)系，往往也用等量關(guān)系(函數(shù)、方程)去解決問題。在中考中，用方

程思想求解的題目隨處可見。同時(shí)，方程思想也是解幾何計(jì)算題的重要策略。

c、函數(shù)思想

世界上一切事物都是處在運(yùn)動(dòng)、變化和發(fā)展的過程中，這就要求我們教學(xué)中

重視函數(shù)的思想方法的教學(xué)。雖然函數(shù)知識(shí)安排在初三學(xué)習(xí)但函數(shù)思想已經(jīng)滲透

到初一、二教材的各個(gè)內(nèi)容之中。因此，教學(xué)上要有意識(shí)、有計(jì)劃、有目的地培

養(yǎng)函思想方法。讓學(xué)生逐漸形成以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)去觀察事物，并借助函數(shù)關(guān)系思考

解決問題。

3、數(shù)形結(jié)合思想

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)教學(xué)中既有區(qū)別又有聯(lián)系的兩個(gè)對(duì)象。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，突出數(shù)形結(jié)合思想，有利于學(xué)生從不同的側(cè)面加深對(duì)問題的認(rèn)識(shí)和理解，提供解決問題的方法，也有利于培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力。例如初中代數(shù)中，正是借助于數(shù)形結(jié)合的載體------數(shù)軸，介紹數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，相反數(shù)，絕對(duì)值的定義，有理數(shù)大小比較的法則等，大大減少了學(xué)生學(xué)習(xí)這些知識(shí)的難度，因此數(shù)形結(jié)合的思想教學(xué)應(yīng)貫穿于整個(gè)教學(xué)的始終。

“數(shù)”與“形”是同一個(gè)事物的兩個(gè)方面，以形判數(shù)，以數(shù)論形的思想方法就是數(shù)形結(jié)合法。數(shù)量問題有時(shí)借助于圖形可以很直觀地解決，反之，圖形問題有時(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)量問題可以很方便的解答。有些同學(xué)重視定理、公式的計(jì)算，可是不重視數(shù)形的結(jié)合，因此，學(xué)不好數(shù)學(xué)。曲線、圖象等是研究方程、函數(shù)的手段，給人以深刻的感性認(rèn)識(shí)，有些難于計(jì)算或計(jì)算繁雜的題目只要畫一下圖形就一目了然，完全可以避免計(jì)算或減少計(jì)算量，尤其對(duì)于那些不要求運(yùn)算過程的標(biāo)準(zhǔn)化題目更為適用。指導(dǎo)學(xué)生要想到數(shù)形結(jié)合的方法，更重要的是如何恰當(dāng)?shù)剡x用圖形解決問題，不然就事倍功半。

例若x、y為正實(shí)數(shù)，且x?y?4,x2?1?y2?4的最小值是多少?

BE

解析：若能考慮到x2?1是以x、l為直角邊的直角三角形斜邊的長，y2?4是以y、2為直角邊的直角三角形斜邊的長，那么上述問題就變成了求兩條線段和的最值問題。

如圖，線段AB=4。P為AB上一動(dòng)點(diǎn)。設(shè)PA=x，PB=y。CA?AB,DB?AB

A B為垂足，且CA= 1，BD=2，則PC+PD=x2?1+y2?4。易知當(dāng)點(diǎn)P，C，D在同一條直線上時(shí)，PC+PD最小。作CE垂直DB的延長線于E。，易知EC =4ED =2十1 =3，故PC十PD =DC =32?42 =5故最小值為5。評(píng)析：此題難在對(duì)形如a2?b2的式子的理解，a2?b2表示以正數(shù)a，b

為直角邊的直角三角形的斜邊，看到這個(gè)式子應(yīng)立刻在頭腦中產(chǎn)生這個(gè)直角三角形，這當(dāng)然需要經(jīng)驗(yàn)的積累。有了這個(gè)直角三角形，解決問題便有了思路。

4、分類討論思想

嚴(yán)格說，“分類討論思想”不是數(shù)學(xué)所特有的，是自然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)研究中都用到的基本邏輯方法，由于它在數(shù)學(xué)中的重要性，這里把它作為數(shù)學(xué)思想方法提出來。初中數(shù)學(xué)中實(shí)數(shù)的分類、三角形的分類、方程的分類等等，都體現(xiàn)了這一思想。啟發(fā)學(xué)生按不同的情況去對(duì)同一對(duì)象進(jìn)行分類，幫助他們掌握好分類的方法原則，形成分類的思想。從具體的教法上看，如對(duì)初一有理數(shù)的加法教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、探究，將有理數(shù)的加法分為三類進(jìn)行研究，正確歸納出有理數(shù)加法法則，這樣學(xué)生不僅掌握了具體的“法則”，而且對(duì)“分類”有了深刻的認(rèn)識(shí)，那么在較為復(fù)雜的情況下，利用掌握好的分類的思想方法，正確地確定標(biāo)準(zhǔn)，不重不漏地進(jìn)行分類，從而使看問題更加全面。當(dāng)數(shù)量大小不確定，或圖形的位置、形狀不確定時(shí)，常?？梢赃\(yùn)用分類討論的思想來分析解決。

在進(jìn)行分類討論時(shí)，我們必須遵循以下原則：

1、分類原則——不重復(fù)、不遺漏。由于學(xué)生在思考問題時(shí)有時(shí)帶有片面性或缺乏條理性，所以在解決問題過程中，往往違背這個(gè)原則。實(shí)際上，在教材中定理證明、例題、習(xí)題中都采用了分類思想，只要同學(xué)們認(rèn)真鉆研教材，多思考，并注意解題后的回顧與總結(jié)，在分類時(shí)就會(huì)做到不重、不漏。

2、對(duì)復(fù)雜問題采用多級(jí)分類的方法討論，對(duì)一個(gè)復(fù)雜的問題有時(shí)進(jìn)行一級(jí)分類，很難將問題討論清楚，這時(shí)需要對(duì)其中一類或幾類再進(jìn)行分類，即多級(jí)分類。多級(jí)分類是一個(gè)難點(diǎn)，應(yīng)注意：(1)每一級(jí)分類一定要把握好分類標(biāo)準(zhǔn)。(2)每一級(jí)里,要始終如一地按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)討論，同時(shí)每一級(jí)都要以“不重不漏”為原則。

例：解關(guān)于x的方程：a-bx=4-3x

分析：應(yīng)根據(jù)除數(shù)不能為零進(jìn)行分類討論，同時(shí)，涉及a、b兩個(gè)字母，需進(jìn)行兩級(jí)分類討論。

解：a-bx=4-3x可整理為(b-3)x=a-

4a?4(1)當(dāng)b≠3時(shí)，方程有唯一解x= b?

3(2)當(dāng)b=3時(shí)，有兩種情況：

①a=4時(shí)，原方程的解是一切實(shí)數(shù),②a≠4時(shí),原方程無解。

5、整體思想

所謂整體思想，就是把所考察的對(duì)象，作為一個(gè)整體來對(duì)待，而這個(gè)整體是各要素按一定的思路組合成的有機(jī)統(tǒng)一體。從整體上去認(rèn)識(shí)問題，思考問題，是一種重要的思想方法，當(dāng)然，這并不排斥把事物分解的重要性。在初中數(shù)學(xué)中，這種整體思想的例子不少，是一種相當(dāng)重要的解題思想與策略。

例 ： 在一條平直公路的甲乙兩端，分別有A，B兩輛車同時(shí)勻速相向開出，在離甲端80km處兩車相遇，相遇后各自繼續(xù)駛向前方，到終端后又立即返回，結(jié)果在離乙端60km處兩車又迎面相遇，求甲乙兩點(diǎn)間公路的長。

分析：若用方程思想，所設(shè)的物理量較多，方程不好解。若將A，B兩車的運(yùn)動(dòng)過程視為一個(gè)整體如圖1所示，第一次相遇時(shí)，A，B兩車行駛的路程之和為一個(gè)全程，其中A車行駛了80km。到第二次相遇時(shí)，A，B兩車行駛的路程之和為三個(gè)全程，因兩車都勻速行駛，不難推出，此時(shí)A車應(yīng)行駛了3 × 80 = 240km。又由圖看出，A車實(shí)際行駛了一個(gè)全程加60km，故有

s+60=240km，s=180km。

面對(duì)紛繁復(fù)雜的過程，有時(shí)不必考慮細(xì)節(jié)，而是將若干個(gè)過程視為整體，通盤考慮，定能化繁為簡。

6、此外還有空間思想、對(duì)應(yīng)思想、概率思想等，不勝枚舉。

空間思想：如初一教材第一章《 豐富的圖形世界》 就需要學(xué)生通過不斷的觀察，在展開與折疊、切截等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中，認(rèn)識(shí)常見的基本幾何體及點(diǎn)、線、面等簡單的平面圖形，形成一定的空間思想，提高學(xué)生空間思維能力。在實(shí)際教學(xué)中，我充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，給予足夠的空間和時(shí)間，通過每個(gè)學(xué)生自己的動(dòng)手操作去體會(huì)新教材所安排的內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)新的問題。如在“面動(dòng)成體”這一知識(shí)點(diǎn)上，我讓學(xué)生去觀察、思考“面動(dòng)成體”的實(shí)例，并在課堂上充分發(fā)言進(jìn)行討論，有的學(xué)生提到了“某些高檔賓館的旋轉(zhuǎn)大門，面動(dòng)起來就成為圓柱體”?？臻g思想不同于數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)形結(jié)合強(qiáng)調(diào)的是代數(shù)與幾何之間的打通，而空間思想強(qiáng)調(diào)的是對(duì)空間點(diǎn)、線、面關(guān)系的直覺。初中幾何教材主要注重學(xué)生兩方面能力的培養(yǎng)：一是邏輯推理能力，二是空間想象能力。

對(duì)應(yīng)思想：對(duì)應(yīng)本質(zhì)上反映了兩個(gè)集合的元素與元素之間某種關(guān)系，當(dāng)兩個(gè)集合建立了某種對(duì)應(yīng)時(shí)，這兩個(gè)集合的元素和元素之間就發(fā)生了某種關(guān)系，運(yùn)用兩個(gè)集合元素和元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來處理數(shù)學(xué)問題的思想就是對(duì)應(yīng)思想。對(duì)應(yīng)思想在初一教材中最典型的例子就是實(shí)數(shù)集與數(shù)軸上的點(diǎn)集的對(duì)應(yīng)。函數(shù)和一元一次不等式（組）等章節(jié)中都存在著對(duì)應(yīng)思想，如研究一元一次不等式解法可通過與一元一次方程解法對(duì)比進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生容易掌握，當(dāng)研究一個(gè)集合的事物不方便時(shí)，可通過對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)化為研究另一集合的事物，以達(dá)到研究原集合事物的目的，因此，對(duì)應(yīng)思想架設(shè)了變難為易的橋梁。對(duì)應(yīng)思想與函數(shù)思想有相同之處，它更加注重事物與事物之間的類比。

概率思想：初一新教材出現(xiàn)了《可能性》的新增內(nèi)容，從學(xué)生喜聞樂見的摸球游戲開始，通過實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)有些事件發(fā)生的不確定性，并通過實(shí)例豐富對(duì)不確定事件的認(rèn)識(shí)。所以我們在教學(xué)過程中，要適當(dāng)滲透概率思想，使學(xué)生體會(huì)到事件發(fā)生的隨機(jī)性在日常生活中會(huì)經(jīng)常遇到，并對(duì)事件發(fā)生的可能性有較為深刻的認(rèn)識(shí)，為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)打下堅(jiān)定的基礎(chǔ)。

第三篇：分類討論思想與初中數(shù)學(xué)教學(xué)

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分類討論思想與初中數(shù)學(xué)教學(xué)

分類討論思想與初中數(shù)學(xué)教學(xué)

摘 要：數(shù)學(xué)中的分類討論思想是一種比較重要的數(shù)學(xué)思想，通過加強(qiáng)數(shù)學(xué)分類討論思想的訓(xùn)練，有利于提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、縝密性、科學(xué)性，這種優(yōu)良的思維品質(zhì)對(duì)學(xué)生的未來必將產(chǎn)生深刻和久遠(yuǎn)的影響。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) ；分類討論

新課標(biāo)指出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)（包括數(shù)學(xué)事實(shí)、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能”。初中階段常見的數(shù)學(xué)思想包括：函數(shù)與方程思想，化歸思楊，分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等。其中分類討論思想是初中數(shù)學(xué)中最常見、最重要的一種數(shù)學(xué)思想，它貫穿于整個(gè)初中數(shù)學(xué)，它有利于考查學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和靈活運(yùn)用能力。

一個(gè)數(shù)學(xué)問題是否要分類及如何分類，這種經(jīng)驗(yàn)的積累是十分重要的。一般情況下，分類討論一般應(yīng)遵循以下的原則：

1、同一性原則。分類應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，即每次分類不能同時(shí)使用幾個(gè)不同的分類根據(jù)。例如：有些同學(xué)把三角形分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、不等邊三角形、等腰三角形。這個(gè)分類就不正確了，因?yàn)檫@個(gè)分類同時(shí)使用了按邊和按角兩個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)。

2、相稱性原則。分類應(yīng)當(dāng)相稱，即劃分后子項(xiàng)外延的總和，應(yīng)當(dāng)與母項(xiàng)的外延相等。

3、互斥性原則。分類后的每個(gè)子項(xiàng)應(yīng)當(dāng)互不相容，即做到各子項(xiàng)相互排斥，也就是分類后不能有一些事物既屬于這個(gè)子項(xiàng)，又屬于另一個(gè)子項(xiàng)。

4、層次性原則。分類有一次分類和多次分類之分。一次分類是對(duì)被討論對(duì)象只分類一次；多次分類是把分類后所得的子項(xiàng)作為母項(xiàng)，再進(jìn)行分類，直至滿足需要為止。

一般來說，教師在教學(xué)活動(dòng)中可按以下三個(gè)步驟引導(dǎo)學(xué)生建立分類討論的思想，學(xué)會(huì)分類方法，揭示分類討論思想的本質(zhì)，自覺合理的運(yùn)用分類討論的思想解決相應(yīng)數(shù)學(xué)問題，形成能力。

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專業(yè)論文 有意識(shí)地分階段滲透分類討論思想

啟發(fā)誘導(dǎo)，適時(shí)揭示分類討論思想的本質(zhì)

這道題勢必要考慮圖像的開口方向，又要考慮對(duì)稱軸和頂點(diǎn)的位置。要對(duì)字母a和m分類。怎么分，則應(yīng)由學(xué)生討論，互相補(bǔ)充，互相評(píng)價(jià)，逐步完善。

例3 初中課本第四冊證明圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。

在幾何中，常常由于圖形的的形狀、位置的不同而要進(jìn)行分類討論。這是課本第一次正式的采用分類的方法證明幾何定理的。為什么要根據(jù)圓心相對(duì)于圓周角的位置分成三種情況（如上圖）去證，要在學(xué)生畫圖、測量、分析、討論后形成思路。決不能在這些活動(dòng)之前給出分類證明，否則就失去了從一般到特殊，從特殊到一般的思維過程，無法體會(huì)分類證明的目的和優(yōu)點(diǎn)。創(chuàng)設(shè)情境，深化提高，使學(xué)生自覺應(yīng)用分類討論思想

在初中數(shù)學(xué)中，若涉及到以下幾個(gè)方面，往往需要進(jìn)行分類討論：

分析：該題是含有字母的方程，根據(jù)題目的要求，以下三種情況可使方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根：

化得的整式方程為一次方程，則只有一解（且這個(gè)根不能是增根）；

2）化得的整式方程為一元二次方程且判別式為零，則只有一解（且這個(gè)根不能是增根）

3）化得的整式方程為一元二次方程且判別式大于零，解得的兩根中需有一根 為增根。

在幾何中由于圖形的形狀、位置的不同，條件的不確定，常常需要分類討論。如這道例題。在實(shí)際教學(xué)中可以碰到很多這種習(xí)題。如：

等腰三角形的兩邊為4，6，求該三角形的周長？

總之，數(shù)學(xué)中的分類討論思想是一種比較重要的數(shù)學(xué)思想，通過加強(qiáng)數(shù)學(xué)分類討論思想的訓(xùn)練，有利于提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、縝密性、科學(xué)性，這種優(yōu)良的思維品質(zhì)對(duì)學(xué)生的未來必將產(chǎn)生深刻和久遠(yuǎn)的影響。

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第四篇：從一堂課談初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的分類思想

從一堂課談初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的“分類思想”

《直線與圓的位置關(guān)系》課例

教師在教學(xué)中對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法的滲透存在的一些問題。

近日，我有幸聆聽了王老師一堂課《直線與圓的位置關(guān)系》。聽了這節(jié)課后，我想從“如何在數(shù)學(xué)概念教學(xué)課中向?qū)W生滲透分類思想”談一些自己的想法。

在《直線與圓的位置關(guān)系》的教學(xué)中，王老師是這樣引入的：（1）師：請(qǐng)每一位同學(xué)任意畫一個(gè)圓和一條直線。

生：動(dòng)手畫圓和直線。

（2）師：收集并展示學(xué)生的作品。（用實(shí)物投影）

（3）師：拿出兩張學(xué)生作品（如右圖）。

問：這兩張圖有什么共同的特征？ 生（個(gè)答）：它們都有兩個(gè)交點(diǎn)。

（4）

師：拿出兩張學(xué)生作品（如左圖）。問：這兩張圖有什么共同的特征？ 生（個(gè)答）：它們都沒有交點(diǎn)。

（5）拿出兩張學(xué)生作品（如右圖）。問：這兩張圖有什么共同的特征？ 生（個(gè)答）：它們都只有一個(gè)交點(diǎn)。（6）師歸納直線與圓的三種位置關(guān)系。

（7）師：你能舉一些生活中直線與圓的位置關(guān)系的具體例子嗎？

生1：太陽從地平線升起的過程。生2：筷子擺放在碗上。生3：球放在桌面上?！?/p>

王老師想通過這個(gè)概念教學(xué)向?qū)W生滲透分類思想，但是在實(shí)際操作過程中卻沒有達(dá)到預(yù)想的效果。反思整個(gè)引入的過程，我認(rèn)為最關(guān)鍵的是忽視了學(xué)生的“經(jīng)歷”。其主要表現(xiàn)如下：

一、忽視學(xué)生從現(xiàn)實(shí)生活中的具體事物抽象出數(shù)學(xué)圖形的過程?！皵?shù)學(xué)來自于生活”，提倡生活數(shù)學(xué)是新課標(biāo)的一項(xiàng)重要內(nèi)容。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，其中就包括學(xué)習(xí)抽象和概括的能力。數(shù)學(xué)應(yīng)該是來源于生活的。在向?qū)W生滲透分類思想的過程中，筆者認(rèn)為最關(guān)鍵的是“為什么分類”，“你怎么想到要用分類思想的”。由此，筆者不禁想：是否將王老師的教學(xué)過程稍加調(diào)整。具體操作如下：

（1）展示現(xiàn)實(shí)生活中一些直線與圓的位置關(guān)系的具體事例，如太陽從海平面上升，動(dòng)車在軌道上行駛等等。

（2）通過具體例子，提示學(xué)生以數(shù)學(xué)的眼光去看問題，從中抽象概括出它們都是涉及到直線與圓的位置關(guān)系的。

這樣的設(shè)計(jì)可以讓學(xué)生感受到：由于實(shí)際生活的需要，我們經(jīng)常要對(duì)事物進(jìn)行分類。這樣就解決了教師向?qū)W生滲透分類思想時(shí)“為什么要分”的問題。

二、忽視學(xué)生對(duì)分類標(biāo)準(zhǔn)探討、確定的過程。

王老師的（2）（3）（4）（5）四步是解決“如何分”的問題。筆者認(rèn)為：王老師有意識(shí)地讓學(xué)生動(dòng)手（每一位同學(xué)任意畫一個(gè)圓和一條直線），但是這種動(dòng)手卻是一種機(jī)械的動(dòng)手，沒有深度可言。教師在向?qū)W生滲透分類思想中重要的一項(xiàng)內(nèi)容就是要讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何尋找分類的標(biāo)準(zhǔn)，即“怎么分”。區(qū)分的標(biāo)準(zhǔn)不應(yīng)該是老師直接給出的，而是由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)并進(jìn)行歸納的。

直線與圓的位置關(guān)系分類的標(biāo)準(zhǔn)是交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。王老師的做法是：自己將這些圖形進(jìn)行分類，然后讓學(xué)生去說明每一類的特征。因此，（3）（4）（5）三步的做法就失去了探索的意義。是否可以對(duì)這三步也進(jìn)行調(diào)整。直接向?qū)W生拋出問題：“這么多圖形，你能不能給它們進(jìn)行分類？并說說你分類的標(biāo)準(zhǔn)?！比缓笞寣W(xué)生自己討論，得出分類標(biāo)準(zhǔn)，然后上臺(tái)展示。通過這樣的活動(dòng)，可以讓學(xué)生經(jīng)歷“標(biāo)準(zhǔn)”產(chǎn)生的過程。而且學(xué)生通過探索逐漸學(xué)會(huì)如何尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，這樣也可以為結(jié)論的記憶帶來幫助。反思：

出現(xiàn)這種問題的原因。

分類思想的滲透分為三步：“為什么分”----“怎么分”----“分的結(jié)果如何”。我們老師在課堂上，往往只重視“分的結(jié)果”，過多地要求學(xué)生記憶結(jié)果，而忽略了過程。對(duì)于“怎么分”“為什么分”簡單帶過，甚至出現(xiàn)根本不提“為什么分”。不僅僅是王老師，在我們平時(shí)聽的很多公開課和隨堂課中，上課教師也經(jīng)常出現(xiàn)上述的問題。我認(rèn)為出現(xiàn)這些問題的原因有以下幾點(diǎn)：

1、教師沒有很好地理解新課程理念。

新課程理念的核心是“素質(zhì)教育”，要培養(yǎng)學(xué)生的能力。這就要求學(xué)生在教學(xué)中要處于主體地位，而教師處于主導(dǎo)地位。但是還有一部分教師對(duì)這句話的理解只停留在表面。以為讓學(xué)生動(dòng)動(dòng)手，有個(gè)合作學(xué)習(xí)就是以學(xué)生為主體了。其實(shí)不然，真正以學(xué)生為主體不是看學(xué)生是否“動(dòng)手了”是否“討論了”，而是要看學(xué)生的思維是否被調(diào)動(dòng)起來，積極主動(dòng)地提出問題，解決問題。

2、教師對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)理解不到位，自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)有待提高。

“我有一桶水，才能給你一杯水”。教師自身的數(shù)學(xué)基本功和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，直接影響到他對(duì)學(xué)生的指導(dǎo)?？纯次覀冎車€有不少教師對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)還沒有很明確的認(rèn)識(shí)?！俺橄蟾爬ā保盎睘楹啞?，“分類討論”，“數(shù)形結(jié)合”… 是不是每一位老師都能在教材中很清楚地找到它們的位置，在合適的時(shí)候向?qū)W生滲透呢？ 各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，高等數(shù)學(xué)對(duì)初中數(shù)學(xué)的指導(dǎo)…每一位教師是否都清楚呢？如果教師自己都不清楚，怎么來指導(dǎo)我們的孩子呢？

3、應(yīng)試教育的后遺癥，社會(huì)環(huán)境的影響，讓我們的老師只重結(jié)果，不重過程。

由于受以前應(yīng)試教育的影響，很多教師到現(xiàn)在還是會(huì)不自覺地“只重視結(jié)果，不重視過程”。長此以往，我們的孩子也是如此。很多孩子在預(yù)習(xí)或者學(xué)習(xí)的時(shí)候往往只看到書上的結(jié)果，很少有孩子去考慮這個(gè)結(jié)果是怎么來的。當(dāng)然，這和我們周圍的環(huán)境也有關(guān)系?，F(xiàn)在的社會(huì)是一個(gè)功利的社會(huì)，很多情況下大家都只注重“結(jié)果”，沒有去看“過程”。但是作為一位教師，作為祖國將來的棟梁的我們的孩子，絕對(duì)不能受這個(gè)環(huán)境的影響，做學(xué)問一定要扎扎實(shí)實(shí)靜下心來。建議： 太大太空洞。找一些細(xì)小的，可以完成的措施。

針對(duì)上述種種原因，我也想談?wù)勛约旱囊恍┎怀墒斓慕ㄗh，以供大家參考：

1、認(rèn)真地去解讀新課程標(biāo)準(zhǔn)，感受新課程理念。

每次聽評(píng)課都會(huì)有老師把新課程標(biāo)準(zhǔn)、新課程理念拿出來當(dāng)作參考。但是真正認(rèn)真研究過新課標(biāo)、新課程理念的教師卻不多。很多教師對(duì)它們都只是一知半解，只見一斑。是否組織教師集中學(xué)習(xí)新課標(biāo)，讓每位教師都能更好地理解新課標(biāo)和新課程理念。

2、提高自身素養(yǎng)，提高理論知識(shí)。

要提高教師自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和理論知識(shí)可以通過以下一些途徑。（1）多讀書，讀好書。不僅要讀專業(yè)方面的書，還要看教育學(xué)、人物傳記、古典文學(xué)、小說等等各個(gè)方面的書籍，提高自身素養(yǎng)。（2）有機(jī)會(huì)多聽專家報(bào)告和講座。每一位專家都有自己獨(dú)到的見解和想法，聽專家的報(bào)告和講座，可以讓我們“站在巨人的肩上”，看得更遠(yuǎn)。（3）多和別人交流，博取眾家之長?！叭诵校赜形?guī)煛?。哲學(xué)告訴我們：看待事物要從不同的角度去觀察。而我們每個(gè)人看待問題都不可能面面俱到，與同伴交流，可以讓我們從不同的角度看事物，從而增加我們對(duì)某一事物或問題的理解。

3、不急功近利，沉下心來做學(xué)問。

作為人民教師，我們不僅僅是教學(xué)生，讓他們掌握基本知識(shí)和基本技能，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的能力。所以，我們不能只看眼前，只盯著學(xué)生的成績，要關(guān)注學(xué)生的發(fā)展，將來能力的培養(yǎng)。不要想著自己如何“一夜成名”，要扎扎實(shí)實(shí)地打好基本功，靜下心來想想培養(yǎng)學(xué)生能力的一些好方法。

第五篇：全面剖析初中數(shù)學(xué)分類討論思想教學(xué)

全面剖析初中數(shù)學(xué)分類討論思想教學(xué)

[摘 要] 數(shù)學(xué)思想是中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要模塊，貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系始終.數(shù)學(xué)思想能夠反映人分析和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)的意識(shí)和思維邏輯，其是從大量復(fù)雜的數(shù)學(xué)信息中總結(jié)出的系統(tǒng)化的知識(shí)結(jié)構(gòu)和解決問題的策略、關(guān)鍵.中小學(xué)數(shù)學(xué)教育重點(diǎn)要求學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)思想包括數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、函數(shù)思想以及分類討論思想等.本文針對(duì)分類討論思想進(jìn)行論述.[關(guān)鍵詞] 分類討論；價(jià)值；誤區(qū)；應(yīng)用

分類討論思想始于《九章算術(shù)》中對(duì)“盈虧問題”的探討，該思想常常被運(yùn)用于解決開放型數(shù)學(xué)問題，即解決思路不唯一的問題時(shí)，學(xué)生需根據(jù)問題所給的具體條件對(duì)問題中可能出現(xiàn)的所有情況逐一分析，再根據(jù)所學(xué)知識(shí)和邏輯思維判斷，將問題條件劃分為多個(gè)更加單一的細(xì)化條件，將大問題轉(zhuǎn)化為多個(gè)小問題后逐一解決，最后進(jìn)行綜合分析，得出一個(gè)或多個(gè)答案.但在實(shí)際教學(xué)中，很多教師對(duì)數(shù)學(xué)思想教學(xué)的重視程度不夠，原因在于其不了解數(shù)學(xué)思想對(duì)學(xué)生思維及分析能力發(fā)展的重要性，導(dǎo)致數(shù)學(xué)課堂出現(xiàn)諸多數(shù)學(xué)思想教學(xué)誤區(qū).下面，筆者將以數(shù)學(xué)思想中的分類討論思想為例，從其教學(xué)價(jià)值、教學(xué)誤區(qū)以及教學(xué)應(yīng)用三方面來談一談初中數(shù)學(xué)思想的高效教學(xué)策略.分類討論思想的教學(xué)價(jià)值

1.形成分類思考意識(shí)，掌握信息分類方法

隨著信息時(shí)代的快速發(fā)展，人們每天主動(dòng)或被動(dòng)接受的信息量與日俱增，想要不被雜亂的信息所困擾，就需自身具備對(duì)信息進(jìn)行分類處理的能力.分類討論雖為數(shù)學(xué)思想，但在運(yùn)用該思想解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，也能有效鍛煉學(xué)生分類處理信息的能力，養(yǎng)成對(duì)各種信息進(jìn)行分類的良好習(xí)慣，這樣便能輕松應(yīng)對(duì)日常學(xué)習(xí)和生活中對(duì)繁雜信息的處理問題，提高學(xué)習(xí)和工作效率.教師在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分類討論思想解決問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先為學(xué)生介紹高效的分類技巧，即根據(jù)實(shí)際情況或已知條件自主制定分類標(biāo)準(zhǔn)，并針對(duì)各類信息做對(duì)應(yīng)的分析和總結(jié).2.培養(yǎng)思維發(fā)散意識(shí)，鍛煉一題多解能力

思維定式是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的不利影響.傳統(tǒng)的以教師講解為主的數(shù)學(xué)課堂，嚴(yán)重制約了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的自主思考方向，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)同類題型產(chǎn)生定向思維，以單一的角度看問題，從而在面對(duì)新題型或變式問題時(shí)不知變通，無從下手.教師應(yīng)當(dāng)摒棄傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂教師主講而學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)的課堂模式，設(shè)計(jì)更多開放型問題供學(xué)生自主思考、合作學(xué)習(xí)，促使學(xué)生解決問題的角度更加具體、全面，這樣有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維意識(shí)和一題多解意識(shí)，從而更加全面、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乜紤]問題.3.科學(xué)建構(gòu)知識(shí)體系，形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)

初中是學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)從打牢基礎(chǔ)到能力提升過渡的關(guān)鍵階段.系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)目標(biāo)要求學(xué)生具備對(duì)不同知識(shí)進(jìn)行分類、概括、總結(jié)的能力，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的自主消化，提升自主學(xué)習(xí)能力和思考能力.分類討論思想的滲透有助于學(xué)生養(yǎng)成對(duì)不同信息進(jìn)行分類的良好習(xí)慣，在個(gè)人數(shù)學(xué)知識(shí)體系的建構(gòu)中，能夠?⒏叢?、繁多掉[?識(shí)點(diǎn)歸類理解，從而大大提高學(xué)習(xí)新知和理解記憶的效率.教師應(yīng)當(dāng)注重引導(dǎo)學(xué)生理解各模塊知識(shí)之間的聯(lián)系，從而促使學(xué)生從知識(shí)之間的區(qū)別與聯(lián)系這一方面來進(jìn)行知識(shí)的分類匯總，形成一張更加趨于完整和實(shí)用的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，便于學(xué)生搜索知識(shí)點(diǎn)及綜合運(yùn)用.分類討論思想的教學(xué)誤區(qū)

1.理念陳舊，缺少創(chuàng)新

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，教學(xué)應(yīng)當(dāng)符合學(xué)生的個(gè)性發(fā)展要求.隨著中小學(xué)教育的不斷發(fā)展，學(xué)生的個(gè)性發(fā)展要求也在不斷地提升，傳統(tǒng)模式的“教與學(xué)”課堂已經(jīng)不符合對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng).但在實(shí)際教學(xué)中，部分教師仍然秉持陳舊的教學(xué)理念，忽略學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性，往往為了解題而解題，無法看到數(shù)學(xué)問題背后對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法的引導(dǎo)，這樣的陳舊觀念無法促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行更加深入的思考.教師應(yīng)當(dāng)創(chuàng)新教學(xué)模式，如可以將分類討論思想作為教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)，設(shè)計(jì)更多開放式的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生自主思考，體現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性，有效培養(yǎng)學(xué)生的分類討論思維.2.被動(dòng)學(xué)習(xí)，效率低下

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式除了教學(xué)理念陳舊，影響學(xué)生的個(gè)性發(fā)展而外，被動(dòng)學(xué)習(xí)也使得學(xué)生探索數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣和熱情消磨殆盡.學(xué)生處于被動(dòng)學(xué)習(xí)的狀態(tài)時(shí)，無法主動(dòng)探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)思維得不到有效運(yùn)用，這樣即使學(xué)生了解分類討論等數(shù)學(xué)思想，也同樣無法將其準(zhǔn)確運(yùn)用于數(shù)學(xué)問題的解決中，無法自主建立起知識(shí)之間的相互聯(lián)系，從而無法實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維和解決問題能力的有效提升.3.應(yīng)試教育，能力不足

應(yīng)試教育是當(dāng)下中小學(xué)數(shù)學(xué)教育普遍存在的一個(gè)教學(xué)誤區(qū)，面對(duì)升學(xué)壓力和緊湊的課堂時(shí)間，教師往往會(huì)選擇“題海戰(zhàn)術(shù)”，要求學(xué)生通過練習(xí)大量的數(shù)學(xué)題型來形成思維習(xí)慣.表面上看，其同樣是以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維為目的，但實(shí)際上卻是一味地通過練題來強(qiáng)迫學(xué)生在數(shù)學(xué)思維上達(dá)到熟能生巧的一種十分刻板的教學(xué)模式，并且頻繁使用分?jǐn)?shù)來衡量學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力，這一做法不利于學(xué)生真正掌握和學(xué)會(huì)運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想，甚至還會(huì)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性造成反作用，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.分類討論思想的教學(xué)應(yīng)用

分類討論思想可運(yùn)用于解決不同知識(shí)模塊的數(shù)學(xué)問題，筆者選擇了以下四個(gè)方面的分類討論思想教學(xué)應(yīng)用實(shí)例加以闡述.1.絕對(duì)值運(yùn)算

解決含有絕對(duì)值的問題時(shí)，有時(shí)需要應(yīng)用分類討論思想.做題的過程中，我們要善于分析問題，要考慮到絕對(duì)值具有非負(fù)性.例如，筆者在講解含絕對(duì)值符號(hào)的加減運(yùn)算時(shí)，給出了這樣一道簡單的例題：要使x+1-x=1，變量x應(yīng)當(dāng)滿足什么條件？

這道例題出現(xiàn)了兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，因此筆者引導(dǎo)學(xué)生將兩個(gè)含絕對(duì)值符號(hào)的式子分開討論，于是有x+10四種情況，這四種情況經(jīng)過一定的整合，最終將數(shù)軸分為了三段，即x0這三種情況，最后得出只有當(dāng)x>0或x=0時(shí)，等式才成立，于是得出“當(dāng)x≥0時(shí)，等式成立”的結(jié)論.2.與方程有關(guān)的問題

在解一元二次方程時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)題中某項(xiàng)系數(shù)未知的情況，而根據(jù)一元二次方程的定義和實(shí)根的判別方法，應(yīng)當(dāng)運(yùn)用根的判別式來判斷未知參數(shù)在什么范圍下才能滿足方程是否有實(shí)數(shù)根的條件.例如，教學(xué)“一元二次方程”時(shí)，筆者給出了這樣一道例題：已知方程a2x2+2（a-1）x+1=0有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.在這道例題中，a是二次項(xiàng)和一次項(xiàng)系數(shù)中的未知參數(shù)，根據(jù)一元二次方程根的判別式，要想使方程有實(shí)數(shù)根，則Δ≥0，即[2（a-1）]2-4a2≥0，解得a≤.本題還應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)注意的是，題中未指明該方程是一元二次方程，因此當(dāng)a=0時(shí)，該方程就變成一個(gè)一元一次方程，經(jīng)檢驗(yàn)，這樣的情況顯然是合理的，因此應(yīng)當(dāng)放入分類討論中（即分a=0和a≠0兩種情況進(jìn)行討論），實(shí)現(xiàn)該題的完整解答.3.函數(shù)問題

分類討論問題在函數(shù)中的應(yīng)用甚為頻繁，函數(shù)的種類也十分繁多，尤其是當(dāng)具體問題中并未指出函數(shù)類別時(shí)，更應(yīng)當(dāng)對(duì)函數(shù)的不同類別進(jìn)行分類討論.例如，講解函數(shù)圖像的有關(guān)知識(shí)時(shí)，筆者給出了這樣一道例題：求函數(shù)y=（k-1）x2-kx+1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).與上一道例題相似，題中并未給出函數(shù)的具體類型，因此教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用發(fā)散思維，對(duì)可能的函數(shù)類型進(jìn)行分類?論.例如，k=1和k≠1是一次函數(shù)和二次函數(shù)的區(qū)別；當(dāng)k≠1時(shí)，k2-4（k-1）≥0或k2-4（k-1）<0是函數(shù)與x軸是否有交點(diǎn)的區(qū)別.針對(duì)討論情況較多的問題，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生理清思路，防止思維混亂，促使問題解決得更加有條理.4.幾何問題

幾何圖形具有多變的特點(diǎn)，其使得分類討論思想在幾何問題中的運(yùn)用非常頻繁，需要學(xué)生根據(jù)圖形的形狀、位置以及關(guān)系等方面的條件來對(duì)問題進(jìn)行合理地分類討論.例如，筆者在講授有關(guān)三角形各邊長度的問題時(shí)，曾給出這樣一道例題：在△ABC中，AB=6，AC=2，BC邊上的高AD=3，求BC的長.這道題并未給出具體的三角形圖形，因此學(xué)生可運(yùn)用空間想象能力將三角形分為點(diǎn)D在BC邊上和在BC邊的延長線上兩種情況，然后分別求出這兩種情況下BC邊的長，再進(jìn)行判斷.總之，每一種數(shù)學(xué)思想對(duì)學(xué)生的思維能力都有不同角度的提升作用，分類討論思想則注重對(duì)學(xué)生思維邏輯嚴(yán)密性進(jìn)行鍛煉.教師首先應(yīng)當(dāng)對(duì)數(shù)學(xué)思想教學(xué)引起足夠的重視，在引導(dǎo)學(xué)生解決各類數(shù)學(xué)問題時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地滲透分類討論思想在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用，結(jié)合學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度和認(rèn)知水平，設(shè)計(jì)更多符合學(xué)生思維能力提升要求的開放題型，通過階梯型難度的設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)地提升分類討論思想的運(yùn)用能力，養(yǎng)成良好的發(fā)散思維習(xí)慣，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).