第一篇：分類思想

數(shù)學分類思想

1.定義

分類思想是根據(jù)數(shù)學本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將數(shù)學研究對象分為不同種類的一種數(shù)學思想。分類以比較為基礎(chǔ)，比較是分類的前提，分類是比較的結(jié)果

2.運用范圍

①涉及的數(shù)學概念是分類定義的；

②運用的數(shù)學定理、公式或運算性質(zhì)、法則是分類給出的； ③求解的數(shù)學問題的結(jié)論有多種情況或多種可能；

④數(shù)學問題中含有參變量，這些參變量的取值會導致不同結(jié)果的。應(yīng)用分類討論，往往能使復雜的問題簡單化。

分類的過程，注意培養(yǎng)學生思考的周密性，條理性以及學生研究問題和探索規(guī)律的能力。

3.分類思想的思維過程

第一，要明確是否需要分類討論；

引起分類討論的原因：

① 概念本身是分類定義的，如絕對值、點（直線、圓）與圓的位置關(guān)系和兩圓相切等概念的分類；

② 某些公式、定理、性質(zhì)、法則的條件和范圍有限制；

③ 含有字母系數(shù)的問題，需要對該字母不同取值范圍進行討論；

④ 題設(shè)的數(shù)量大小或關(guān)系確定，而圖形的位置或形狀不確定；

⑤ 題目條件和結(jié)論不唯一

第二，確定分類的對象；

第三，確定分類的標準，進行合理分類；（厘清分類的界限，選擇分類標準，并做到不重復不遺漏。

第四，逐類逐級分類討論； 第五，綜合、歸納結(jié)論.4.小學數(shù)學中分類討論思想的應(yīng)用

5.教學中對于學生分類思想的培養(yǎng)

①逐步，逐年級滲透分類思想，養(yǎng)成分類的意識

利用學生在生活中所具有的分類意識，在教學中進行數(shù)學分類思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。一方面是一般物體的分類，如柜臺上的商品、文具等；另一方面要注意從數(shù)學的角度分類，如立體圖形、平面圖形、數(shù)的認識和運算等。同時注意滲透集合的思想，就是說當把某些屬性相同的物體放在一起，作為一個整體，就可以看作一個集合。在三大領(lǐng)導知識的教學中注意經(jīng)常性地滲透分類思想和集合思想，如平面圖形和立體圖形的分類、數(shù)的分類。注意從數(shù)學思維和解決問題的方法上滲透分類思想，如排列組合、概率的計算、抽屜原理等問題經(jīng)常運用分類討論思想解決。在統(tǒng)計與概率知識的教學中，滲透分類的思想。

②滲透學習分類方法，增強思維的縝密性

應(yīng)讓學生了解，所謂分類就是選取適當?shù)臉藴?，根?jù)對象的屬性，不重復、不遺漏地劃分為若干類，而后對每一子類的問題加以解答。

例如，用 1、2、3 三個數(shù)字卡片可以排成幾個三位數(shù)，讓學生做一做，排一排。有的學生很快排出來了，但有些學生卻排不完整。這時教師要指導學生分類討論，首先確定百位上的數(shù)字是1時，有哪幾個三位數(shù)?(123、132)，百位上的數(shù)字是2時，有哪幾個三位數(shù)?（213、231)，百位上的數(shù)字是3時，有哪幾個三位數(shù)?（312、321)。

③引導學生分類討論，提高合理解題的能力

一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：其一是涉及代數(shù)式或函數(shù)或方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題；其二是根據(jù)幾何圖形的點和線出現(xiàn)不同位置的情況，逐一討論解決問題

④注意有關(guān)數(shù)學規(guī)律在一般條件下的適用性和特殊條件下的不適用性。也就是說有些數(shù)學規(guī)律在一般情況下成立，在特殊情況下不成立；

6.總結(jié)：所謂數(shù)學分類討論方法，就是將數(shù)學對象分成幾類，分別進行討論來解決問題的一種數(shù)學方法，具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性。需要根據(jù)學生的年齡特征，學生在學習的各階段的認知水平，逐步滲透，螺旋上升，不斷的豐富自身的內(nèi)涵，從而達到利用數(shù)學分類討論方法來解決問題的目的。

補充如何滲透分類思想：

1.結(jié)合圖形教學滲透分類思想

如根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進行分類，如三角形按角分類，則有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。如果按邊的長短關(guān)系分類，三角形可分為：不等邊三角形和等邊三角形，等邊三角形又可分為正三角形和等腰三角形。教學時，我們就要追問學生：你為什么要這么分？分類的標準是什么？你比較了物體圖形的哪些特征？從而使學生明確分類的標準，掌 握概念的本質(zhì)。

2.結(jié)合概念教學滲透分類思想

如，在教學“方程的意義” 一課時，學生對方程意義的理解，就要通過式子的二次分類建構(gòu)，對“相等關(guān)系”、“含有未知數(shù)”的理解，從而把握方程的本質(zhì)屬性。教學時，先出示：180＋□＝300，180＋x＝300，180＋x＞300，180＋x＜300，50×2=100，5×m=85，（）-150=300，500-150＞300，50+3a等，接著，老師引導學生把以上式子進行分類，通過分類讓學生在比較中歸納出方程是含有未知數(shù)的等式。學生可按照式子中有無等號可分為：有等號的式子和不含有等號的式子；按照式子中是否含有未知數(shù)又可分為：含有未知數(shù)和不含有未知數(shù)的等式。并將含有未知數(shù)的式子按照式子中是否有等號，又可以分成兩類：有含有未知數(shù)的等式和有含有未知數(shù)的式子。此時，滿足方程的二要素便很清楚了：含有 未知數(shù)、等式。從而認識方程的本質(zhì)屬性。3.結(jié)合“解決問題”教學滲透分類思想。

在解決問題教學中，引導學生通過合理的分類，有利于幫助學生分析數(shù)量關(guān)系，歸納解題方法，從而培養(yǎng)學生解決問題的能力。如，在教學“行程問題”的整理與復習課時，師用多媒

體演示，分別演示了四種典型行程問題：即兩地相向而行、兩地相背而行、同地點相背而行、同地點同方向前進（追及問題)，通過學生的語言敘述，體驗題目中關(guān)鍵字的重要作用，要求他們獨立進行解答，然后引導學生通過對比、觀察、分析把它們分類，結(jié)果學生出現(xiàn)了不同的分類標準：根據(jù)出發(fā)地點是否相同，根據(jù)出發(fā)方向是否一致，根據(jù)是否相遇，根據(jù)解題方法等，再通過交流互動，學生了解行程問題分類與各類解題方法。這時，師追問：以后再遇到類似繁雜的行程問題時怎么辦？學生想到了可以通過分類，把題目按自己的標準“對號入座”，從而尋求正確的解題方法。

4.結(jié)合“統(tǒng)計與概率”教學滲透分類思想。

學生在日常生活中都會積累一定的分類知識。如對書籍的分類，水果分類等，我們可以利用學生的生活經(jīng)驗，把生活中的分類遷移到數(shù)學學習中來，在“統(tǒng)計與概率”教學中往往要滲透數(shù)學分類思想，而且分類思想還是概率與統(tǒng)計知識的重要基礎(chǔ)。如，在教學“購買水果” 一課時，師： “六 ·一”兒童節(jié)就要到了，舉辦班級聯(lián)歡會與慶“六 ·一” 活動，班級要買一些水果，現(xiàn)在市場上蘋果、梨、香蕉、桃子這四種水果最多，我們就在這四種水果中選擇，應(yīng)該怎樣購買呢？同學們自己獨立思考，然后在小組內(nèi)交流。生：先要調(diào)查我們班的每一位同學喜歡吃哪一種水果，再按自己最愛吃的水果進行分類，在此基礎(chǔ)上才能統(tǒng)計各種水果數(shù)量。

5.結(jié)合“數(shù)學廣角”教學滲透分類思想

在“數(shù)學廣角” 教材內(nèi)容，蘊含許多數(shù)學思想與方法，教學時應(yīng)做到有機滲透。如，一位教師在教學“數(shù)學廣角—— — 植樹問題” 一節(jié)課時，當學生掌握了“在20米長的公路一邊植樹，每隔5米栽一棵，兩端要栽，一共要栽幾棵樹？ ”再引導學生探究“只栽一端” 和“兩端都不栽”的情況。讓學生通過獨立思考，并把表格填完整。這樣通過表格，幫助學生建立分類思想的意識。然后引導學生認真思考，你發(fā)現(xiàn)了什么？最后指名匯報，使學生感悟到棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系：

兩端都栽: 栽樹棵數(shù)=間隔數(shù)+1 只栽一端: 栽樹棵數(shù)=間隔數(shù) 兩端都不栽:栽樹棵數(shù)=間隔數(shù)-1 這樣，讓學生通過自己的觀察、猜測、驗證、分類這一系列的活動經(jīng)歷，感悟數(shù)學規(guī)律。得出各類的解題模式，歸納出解決此類問題的一套有效方法。6.結(jié)合“整理與復習”教學滲透分類思想。

如，教學“長方形、正方形周長與面積的整理復習”時，課前布置學生將這一單元內(nèi)容自己進行整理，并提出具體的整理要求，然后放手讓學生進行整理，構(gòu)建比較合理的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。

設(shè)計一堂課

7.分類思想的教學策略

1.用分類思想引入新知識和新概念（1）用分類活動引入新知識

如在 “認識三角形和四邊形” 時，可以出示點子圖，根據(jù)圖形是否為封閉圖形分為封閉和不封閉圖形。在封閉圖形中，根據(jù)圖形有幾條線段圍成，分為三角形、四邊形、五邊形三類。在學生完成點子圖上的三角形和四邊形后，又根據(jù)三角形是否有一個直角再分為兩類。

（2）用分類思想引入新概念

如在引入平行線的概念時，不少教師是通過日常生活中的具體事例介紹，再經(jīng)抽象概括形成 “平行線”的概念?？墒牵瑢嶋H生活上見到的都不可能是嚴格定義上的平行直線，可能是射線，或者是平行線上的兩條線段。因此，我們也可以通過讓學生將同一平面內(nèi)兩條線段的關(guān)系進行分類，得到有交點和沒有交點兩種情況，然后再將沒有交點的進行分類，得到適當延長后就會有交點的，和無論怎么延長后都沒有交點。然后讓學生想象每幅圖中的兩條線段向兩方無限延長，成為兩條直線的情況，從而認識同一平面內(nèi)的兩條直線只有有交點和沒有交點兩種位置關(guān)系。（3）引導學生關(guān)注分類的依據(jù)

在引入概念時，教師應(yīng)適時地引導學生思考為什么要這樣分類，怎樣分類更合理。例如 “三角形分類” 的教學，應(yīng)該將重點集中于“為什么要這樣的分類” “怎樣分類較為

合理”，而不應(yīng)在 “角的度量” 等實踐活動上花費過多的時間和精力。教師可首先對角的分類情況作出回顧，特別要提醒：在各種角中直角是較為特殊的，而后引導學生思考三角形分類和角的分類有什么不同？ 能否參照角的分類去進行？ 并引導學生對這樣一種分類方法的合理性作出具體分析： 第一，是否存在交叉重復的情況，即如一個三角形既是直角三角形，同時又是銳角三角形？ 第二，分類是否有遺漏，是否可能存在這樣一個三角形，它既不是直角，也不是銳角或鈍角三角形？ 2.用分類思想歸納整理知識

在小學階段，學生需要掌握的內(nèi)容，根據(jù)數(shù)學分類的方法常有以下幾種:1）根據(jù)數(shù)量特征和數(shù)量關(guān)系進行分類。如整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的分類，運算法則的分類，等等。2）根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進行分類。如三角形按角分類,有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。如果以邊的長短關(guān)系分類，三角形可分為不等邊三角形和等邊三角形;等邊三

角形又可分為正三角形和等腰三角形。3）.根據(jù)解決問題的探索方向進行分類。如:直線行程問題和環(huán)行行程問題,可以看出他們在解決問題的方法上有相似性。3.用分類思想解題

如2、3、4 能排多少個數(shù)字，根據(jù)數(shù)位的分類排列，就不會有遺漏。4.通過動手實踐和合作交流滲透分類思想

新課程強調(diào)動手實踐、自主探索和合作交流的學習方式，對于分類思想的教學同樣也需要聯(lián)系學生的實際經(jīng)驗，強調(diào)通過動手實踐和合作交流來讓學生親身體會為什么要分類和新程中關(guān)于分類的方法，即“同一標準下的一致性，不同標準下的多樣性”。如吳正憲老師教學二年級 《搭配問題》 一課中，首先聯(lián)系學生穿衣搭配的情境，讓學生在多層次的活動中體驗無序之亂，從讀中悟序，然后通過學生之間合作交流，學生演示和教師演示，用符合表示，等等，讓學生體會在分類的過程是否可能出現(xiàn)交叉重復的情況，是否 有遺漏，使分類思想的滲透潤物細無聲。4.引導學生根據(jù)數(shù)學的量性特征進行分類

南京師范大學數(shù)學哲學教授鄭毓信認為，因為數(shù)學抽象的特殊性，決定了在數(shù)學分類中我們所關(guān)注的只是對象的量性特征即數(shù)量關(guān)系和空間形式等，而完全不去考慮它們質(zhì)的內(nèi)容。

第二篇：團市委深化青年思想分類引導工作

團市委深化青年思想分類引導工作

為進一步加強全市青少年思想道德建設(shè)，提高青少年思想道德素質(zhì)，引導和幫助青年樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀，打下科學理論的基礎(chǔ)，確立為建設(shè)有中國特色社會主義而奮斗的政治方向，更好地團結(jié)和凝聚遼源青年為遼源經(jīng)濟社會發(fā)展提供動力支持，團市委積極探索青年思想引導新方式，深化青年思想分類引導工作。

“分類引導青年”，指的是根據(jù)不同類別青年群體在職業(yè)背景和思想意識方面的顯著差異，將思想引導工作具體化地落實到不同特點的青年群體身上，增強引導青年工作的針對性和實效性。團市委結(jié)合遼源各類青年群體現(xiàn)狀特點，確定遼源市共有企業(yè)青年、進城務(wù)工青年、農(nóng)村青年、大中專院校青年四類青年群體，根據(jù)實際情況，選取東北襪業(yè)園等16家非公企業(yè)作為進城務(wù)工青年思想引導試點，采取“企業(yè)編寫、縣（區(qū)）團委協(xié)調(diào)、團市委統(tǒng)一審核”的模式統(tǒng)一編寫進城務(wù)工青年思想引導大綱，強化對進城務(wù)工青年的思想引導；選取東豐縣作為農(nóng)村青年思想引導試點，采取“鄉(xiāng)鎮(zhèn)分散編寫、團縣委集中匯總、團市委審核”的模式編寫農(nóng)村青年思想大綱。試點工作完成后，團市委將面向全市各類青年群體全面開展分類引導青年思想工作。

第三篇：分類討論思想與初中數(shù)學教學

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分類討論思想與初中數(shù)學教學

分類討論思想與初中數(shù)學教學

摘 要：數(shù)學中的分類討論思想是一種比較重要的數(shù)學思想，通過加強數(shù)學分類討論思想的訓練，有利于提高學生對學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生思維的條理性、縝密性、科學性，這種優(yōu)良的思維品質(zhì)對學生的未來必將產(chǎn)生深刻和久遠的影響。

關(guān)鍵詞：數(shù)學 ；分類討論

新課標指出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學學習，學生能夠獲得適應(yīng)未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學知識（包括數(shù)學事實、數(shù)學活動經(jīng)驗）以及基本的數(shù)學思想方法和必要的應(yīng)用技能”。初中階段常見的數(shù)學思想包括：函數(shù)與方程思想，化歸思楊，分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等。其中分類討論思想是初中數(shù)學中最常見、最重要的一種數(shù)學思想，它貫穿于整個初中數(shù)學，它有利于考查學生的綜合數(shù)學基礎(chǔ)知識和靈活運用能力。

一個數(shù)學問題是否要分類及如何分類，這種經(jīng)驗的積累是十分重要的。一般情況下，分類討論一般應(yīng)遵循以下的原則：

1、同一性原則。分類應(yīng)按同一標準進行，即每次分類不能同時使用幾個不同的分類根據(jù)。例如：有些同學把三角形分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、不等邊三角形、等腰三角形。這個分類就不正確了，因為這個分類同時使用了按邊和按角兩個分類標準。

2、相稱性原則。分類應(yīng)當相稱，即劃分后子項外延的總和，應(yīng)當與母項的外延相等。

3、互斥性原則。分類后的每個子項應(yīng)當互不相容，即做到各子項相互排斥，也就是分類后不能有一些事物既屬于這個子項，又屬于另一個子項。

4、層次性原則。分類有一次分類和多次分類之分。一次分類是對被討論對象只分類一次；多次分類是把分類后所得的子項作為母項，再進行分類，直至滿足需要為止。

一般來說，教師在教學活動中可按以下三個步驟引導學生建立分類討論的思想，學會分類方法，揭示分類討論思想的本質(zhì)，自覺合理的運用分類討論的思想解決相應(yīng)數(shù)學問題，形成能力。

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專業(yè)論文 有意識地分階段滲透分類討論思想

啟發(fā)誘導，適時揭示分類討論思想的本質(zhì)

這道題勢必要考慮圖像的開口方向，又要考慮對稱軸和頂點的位置。要對字母a和m分類。怎么分，則應(yīng)由學生討論，互相補充，互相評價，逐步完善。

例3 初中課本第四冊證明圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

在幾何中，常常由于圖形的的形狀、位置的不同而要進行分類討論。這是課本第一次正式的采用分類的方法證明幾何定理的。為什么要根據(jù)圓心相對于圓周角的位置分成三種情況（如上圖）去證，要在學生畫圖、測量、分析、討論后形成思路。決不能在這些活動之前給出分類證明，否則就失去了從一般到特殊，從特殊到一般的思維過程，無法體會分類證明的目的和優(yōu)點。創(chuàng)設(shè)情境，深化提高，使學生自覺應(yīng)用分類討論思想

在初中數(shù)學中，若涉及到以下幾個方面，往往需要進行分類討論：

分析：該題是含有字母的方程，根據(jù)題目的要求，以下三種情況可使方程只有一個實數(shù)根：

化得的整式方程為一次方程，則只有一解（且這個根不能是增根）；

2）化得的整式方程為一元二次方程且判別式為零，則只有一解（且這個根不能是增根）

3）化得的整式方程為一元二次方程且判別式大于零，解得的兩根中需有一根 為增根。

在幾何中由于圖形的形狀、位置的不同，條件的不確定，常常需要分類討論。如這道例題。在實際教學中可以碰到很多這種習題。如：

等腰三角形的兩邊為4，6，求該三角形的周長？

總之，數(shù)學中的分類討論思想是一種比較重要的數(shù)學思想，通過加強數(shù)學分類討論思想的訓練，有利于提高學生對學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生思維的條理性、縝密性、科學性，這種優(yōu)良的思維品質(zhì)對學生的未來必將產(chǎn)生深刻和久遠的影響。

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第四篇：初中數(shù)學教材中分類思想的探討

初中數(shù)學教材中分類思想的探討

亭湖區(qū)黃尖初級中學郵編：224049

內(nèi)容提要: 中學數(shù)學的學習, 常常會運用到一些數(shù)學思想, 分類討論的思想方法在初中數(shù)學學習中有著廣泛應(yīng)用.在數(shù)學概念教學中的分類思想的應(yīng)用, 數(shù)學定理、公式、性質(zhì)和運算法則進行分類,圖形的位置的變化而進行的分類, 定理證明中的分類討論, 我們要把掌握分類思想,作為一項教學目標納入教學過程,提高學生的數(shù)學思考能力,在教學中要遵循循序漸進,適時滲透,逐步深化的原則,初始階段,可從學習熟知的數(shù)學分類入手,逐步提高.關(guān)鍵詞: 數(shù)學思想, 分類討論思想, 概念的分類, 數(shù)學定理、公式、性質(zhì)和運算法則的分類, 圖形位置變化的分類, 定理證明中的分類討論, 運用分類思想,解決數(shù)學問題，提高數(shù)學素養(yǎng)

在中學數(shù)學的學習過程中，我們常常會運用到一些數(shù)學思想，而數(shù)學思想是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果，它是對數(shù)學事實與數(shù)學理論的本質(zhì)認識。首先，數(shù)學思想比一般的數(shù)學概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具體、更豐富，而前者比后者更本質(zhì)、更深刻；其次，數(shù)學思想、數(shù)學觀點、數(shù)學方法三者密不可分：如果人們站在某個位置、從某個角度并運用數(shù)學去觀察和思考問題，那么數(shù)學思想也就成了一種觀點。而對于數(shù)學方法來說，思想是其相應(yīng)的方法的精神實質(zhì)和理-1-

論基礎(chǔ)，方法則是實施有關(guān)思想的技術(shù)手段。數(shù)學思想是分析、處理和解決數(shù)學問題的根本想法，是對數(shù)學規(guī)律的理性認識。

在初中階段對數(shù)學知識學習過程中，應(yīng)將統(tǒng)領(lǐng)知識的數(shù)學思想和方法概括出來，增強學生對數(shù)學思想和方法的應(yīng)用意識，從而令學生更透徹地理解所學的知識，提高獨立分析問題、解決問題的能力。這是鍛煉學生學會學習這種能力的重要途徑。

素質(zhì)教育的主要任務(wù)不僅是發(fā)展學生的智力，培養(yǎng)學生的能力，還要培養(yǎng)非智力因素和辯證唯物主義等思想，從根本上講就是要全面提高學生的“數(shù)學素養(yǎng)”，培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識。而數(shù)學思想方法就是增強學生數(shù)學觀念，形成“數(shù)學素養(yǎng)”，樹立創(chuàng)新意識的關(guān)鍵，她能使學生在未來的生活和工作中終生受益。新的數(shù)學課程標準認為掌握好數(shù)學思想方法，是培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識，使學生具有一定的數(shù)學素養(yǎng)的必要條件。掌握好數(shù)學思想方法可以使學生對數(shù)學更容易理解和記憶，如果把數(shù)學思想方法學好了，在數(shù)學思想方法的指導下運用數(shù)學方法駕馭數(shù)學知識，就能培養(yǎng)學生的數(shù)學能力，使數(shù)學學習變得更加容易，并能將所學到的知識和方法運用于今后的工作和生活之中。

初中數(shù)學中蘊含的數(shù)學思想方法很多，最基本的數(shù)學思想方法有：化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想、函數(shù)思想等。在這些基本思想方法中，分類討論的思想由于初中學生認知能力、思維習慣、知識水平和教學內(nèi)容的限制，學生在運用的過程中感覺到特別困難，但分類思想在中學數(shù)學中又有著極其廣泛的應(yīng)用，有必要對其特別加以重視，下面我們就一同來看一看這種數(shù)學思想方法在初中

數(shù)學教材應(yīng)用，以更好地利用數(shù)學教學來提高學生的素質(zhì)，使學生在今后的學習、生活中運用這種數(shù)學思想方法，來解決實踐中遇到的各種問題。

數(shù)學分類思想是在研究與解決數(shù)學問題時,根據(jù)數(shù)學對象的本質(zhì)屬性的異同點,將對象分為不同種類,然后逐類進行研究與解決,從而達到研究與解決問題的目的的一種思想方法。分類思想的掌握對研究和解決問題十分有益，因此是科學研究中最常用，最基本的思想方法之

一。它有利于培養(yǎng)和發(fā)展學生思維的條理性、縝密性、靈活性，使學生學會完整地考慮問題、化整為零地解決問題。

應(yīng)用分類討論思想解決問題，必須保證分類科學、統(tǒng)一，不重復，不遺漏，并力求最簡捷。

分類思想有三個明顯特點，一是對什么東西分類，即確定分類的對象；二是按什么標準分類，即選擇分類的標準；三是分成哪幾類，即確定分類的結(jié)果。通過正確的分類，可以使復雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解答。就分類討論的思想方法在初中數(shù)學教材中的應(yīng)用，大致可以分成下面四種類型。

一、數(shù)學概念中的分類思想的應(yīng)用

1、實數(shù)的分類：實數(shù)按定義可以分為有理數(shù)與無理數(shù)；而按大小又可分為正實數(shù)、0、負實數(shù)。在實數(shù)的應(yīng)用中時常需要就實數(shù)的取值進行分類討論。

2、角的分類，小于180的角按大小可分成銳角、直角、鈍角等

3、三角形的分類：在三角形中按角的大小進行分類可以分為銳

角三角形、直角三角形，鈍三角形；而按邊的相等數(shù)來分又可以分成：

（1）三條邊都不相等，即一般三角形；（2）有兩邊相等，即等腰三角形；（3）有三條邊相等，即等邊三角形。在三角形中又以等腰三角形中的分類討論的題型最多。

4、四邊形的分類：在四邊形中按邊的平行關(guān)系可分為：①兩組

對邊都不平行，即一般四邊形；②只有一組對邊平行，即梯形③兩組對邊分別平行，即平行四邊形，而平行四邊形中又可分為一般平行四邊形和特殊平行四邊形：矩形、菱形、正方形等。

5、方程的分類，方程按未知數(shù)的個數(shù)可分成一元方程、二元方程、多元方程；按未知項的次數(shù)可分為一次方程、二次方程、高次方程等。在方程中常常對未知數(shù)前面的字母系數(shù)的取值分類討論。

6、函數(shù)的分類，初中數(shù)學中的函數(shù)可分成正比例函數(shù)、一次函

數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等。

二、根據(jù)數(shù)學定理、公式、性質(zhì)和運算法則進行分類

?a當a?0時

1、絕對值的化簡a???0當a?0時

??a當a?0時?

2、二次根式的化簡?a當a?0時?a2?a??0當a?0時 ??a當a?0時?

23、一元二次方程根的判別式，一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0),當△=b-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=b-4ac=0時，2

2方程有兩個相等的實數(shù)根；當△=b-4ac<0時,方程無實根。

4、函數(shù)的增減性，（1）在一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）中，如果k>0，那么y的值隨x值的增大而增大；如果k<0，那么y的值隨x值的增大而減小。

（2）在反比例函數(shù)y=k／x（k為常數(shù)，且k≠0）中，當k>0時，雙曲線的兩個分支分別在第一、三象限，在每一個象限內(nèi)，y隨x 增大而減小；當k<0時，雙曲線的兩個分支分別在第二、四象限，在每一個象限內(nèi)，y隨x 增大而增大。

5、不等式的性質(zhì)

不等式的性質(zhì)2不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變。

根據(jù)不等式這個性質(zhì)在不等式的兩邊都乘或除以一個數(shù)時需要考慮到這個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)。

三、根據(jù)圖形的位置的變化而進行的分類

1、點與直線的位置關(guān)系①點在直線上②點在直線外

2、直線與直線的位置關(guān)系：在同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系有①相交②平行。直線與直線的位置關(guān)系中分類討論的題型并不多見，但它本身就是一種分類。

3、點與圓的位置關(guān)系①點在圓外②點在圓上③點在圓內(nèi)。

4、直線與圓的位置關(guān)系①相離②相切③相交。

5、圓與圓的位置關(guān)系①外離②外切③相交④內(nèi)切⑤內(nèi)含

四、定理證明中的分類討論

圓周角定理證明中的分類，分三種情況進行討論。①圓心在角的一邊上；②圓心在角的內(nèi)部；③圓心在角的外部。

通過上述問題的討論,分類討論的思想方法在初中數(shù)學教材中有著廣泛的應(yīng)用。在運用分類思想解題時主要步驟有：①分析題目中的已知條件，明確所要討論的對象，確定所要討論對象的全體；②確定分類標準，正確進行合理分類，做到不重不漏,并力求最簡；③對所分類型進行逐級討論、求解；④歸納小結(jié)，得出最后的結(jié)論。

當然課本中分類討論題型很多，在具體的題目中也許多類型，例如在三角形相似中由于對應(yīng)關(guān)系的不明確也可以進行分類討論，在圖形運動中的題目也會有分類討論，在中考綜合題中也會穿插著許多分類討論的題目，因此有必要在今后的學習和教學的過程中，根據(jù)新課程標準的要求,我們要把掌握分類思想,作為一項教學目標納入教學過程,提高學生的數(shù)學思考能力,在教學中要遵循循序漸進,適時滲透,逐步深化的原則,初始階段,可從學習熟知的數(shù)學分類入手,逐步提高.當學生初步理解一些數(shù)學分類方法后,適時做好深化、歸納工作，可設(shè)計一些含有分類思想的習題，通過專項訓練，幫助學生總結(jié)一些常見的分類方法，逐步強化分類意識，養(yǎng)成善于分類的思維習慣，便于學生在以后的學習過程中能正確地運用這種思想方法解決好數(shù)學問題，并能使復雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解答，這樣才能提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。

第五篇：全面剖析初中數(shù)學分類討論思想教學

全面剖析初中數(shù)學分類討論思想教學

[摘 要] 數(shù)學思想是中小學數(shù)學教學的重要模塊，貫穿整個數(shù)學知識體系始終.數(shù)學思想能夠反映人分析和解決數(shù)學問題時的意識和思維邏輯，其是從大量復雜的數(shù)學信息中總結(jié)出的系統(tǒng)化的知識結(jié)構(gòu)和解決問題的策略、關(guān)鍵.中小學數(shù)學教育重點要求學生掌握的數(shù)學思想包括數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、函數(shù)思想以及分類討論思想等.本文針對分類討論思想進行論述.[關(guān)鍵詞] 分類討論；價值；誤區(qū)；應(yīng)用

分類討論思想始于《九章算術(shù)》中對“盈虧問題”的探討，該思想常常被運用于解決開放型數(shù)學問題，即解決思路不唯一的問題時，學生需根據(jù)問題所給的具體條件對問題中可能出現(xiàn)的所有情況逐一分析，再根據(jù)所學知識和邏輯思維判斷，將問題條件劃分為多個更加單一的細化條件，將大問題轉(zhuǎn)化為多個小問題后逐一解決，最后進行綜合分析，得出一個或多個答案.但在實際教學中，很多教師對數(shù)學思想教學的重視程度不夠，原因在于其不了解數(shù)學思想對學生思維及分析能力發(fā)展的重要性，導致數(shù)學課堂出現(xiàn)諸多數(shù)學思想教學誤區(qū).下面，筆者將以數(shù)學思想中的分類討論思想為例，從其教學價值、教學誤區(qū)以及教學應(yīng)用三方面來談一談初中數(shù)學思想的高效教學策略.分類討論思想的教學價值

1.形成分類思考意識，掌握信息分類方法

隨著信息時代的快速發(fā)展，人們每天主動或被動接受的信息量與日俱增，想要不被雜亂的信息所困擾，就需自身具備對信息進行分類處理的能力.分類討論雖為數(shù)學思想，但在運用該思想解決數(shù)學問題時，也能有效鍛煉學生分類處理信息的能力，養(yǎng)成對各種信息進行分類的良好習慣，這樣便能輕松應(yīng)對日常學習和生活中對繁雜信息的處理問題，提高學習和工作效率.教師在引導學生運用分類討論思想解決問題時，應(yīng)當首先為學生介紹高效的分類技巧，即根據(jù)實際情況或已知條件自主制定分類標準，并針對各類信息做對應(yīng)的分析和總結(jié).2.培養(yǎng)思維發(fā)散意識，鍛煉一題多解能力

思維定式是傳統(tǒng)的數(shù)學教學模式對學生數(shù)學思維的不利影響.傳統(tǒng)的以教師講解為主的數(shù)學課堂，嚴重制約了學生對數(shù)學問題的自主思考方向，導致學生對同類題型產(chǎn)生定向思維，以單一的角度看問題，從而在面對新題型或變式問題時不知變通，無從下手.教師應(yīng)當摒棄傳統(tǒng)數(shù)學課堂教師主講而學生被動學習的課堂模式，設(shè)計更多開放型問題供學生自主思考、合作學習，促使學生解決問題的角度更加具體、全面，這樣有助于培養(yǎng)學生的發(fā)散思維意識和一題多解意識，從而更加全面、嚴謹?shù)乜紤]問題.3.科學建構(gòu)知識體系，形成良好認知結(jié)構(gòu)

初中是學生數(shù)學知識學習從打牢基礎(chǔ)到能力提升過渡的關(guān)鍵階段.系統(tǒng)化的數(shù)學知識教學目標要求學生具備對不同知識進行分類、概括、總結(jié)的能力，從而實現(xiàn)對知識的自主消化，提升自主學習能力和思考能力.分類討論思想的滲透有助于學生養(yǎng)成對不同信息進行分類的良好習慣，在個人數(shù)學知識體系的建構(gòu)中，能夠?⒏叢?、繁多掉[?識點歸類理解，從而大大提高學習新知和理解記憶的效率.教師應(yīng)當注重引導學生理解各模塊知識之間的聯(lián)系，從而促使學生從知識之間的區(qū)別與聯(lián)系這一方面來進行知識的分類匯總，形成一張更加趨于完整和實用的知識網(wǎng)絡(luò)，便于學生搜索知識點及綜合運用.分類討論思想的教學誤區(qū)

1.理念陳舊，缺少創(chuàng)新

新課程標準指出，教學應(yīng)當符合學生的個性發(fā)展要求.隨著中小學教育的不斷發(fā)展，學生的個性發(fā)展要求也在不斷地提升，傳統(tǒng)模式的“教與學”課堂已經(jīng)不符合對學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng).但在實際教學中，部分教師仍然秉持陳舊的教學理念，忽略學生的學習主體性，往往為了解題而解題，無法看到數(shù)學問題背后對學生數(shù)學思維和數(shù)學方法的引導，這樣的陳舊觀念無法促使學生對數(shù)學問題進行更加深入的思考.教師應(yīng)當創(chuàng)新教學模式，如可以將分類討論思想作為教學關(guān)鍵點，設(shè)計更多開放式的數(shù)學問題，引導學生自主思考，體現(xiàn)學生的學習主體性，有效培養(yǎng)學生的分類討論思維.2.被動學習，效率低下

傳統(tǒng)數(shù)學課堂教學模式除了教學理念陳舊，影響學生的個性發(fā)展而外，被動學習也使得學生探索數(shù)學知識的興趣和熱情消磨殆盡.學生處于被動學習的狀態(tài)時，無法主動探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，數(shù)學思維得不到有效運用，這樣即使學生了解分類討論等數(shù)學思想，也同樣無法將其準確運用于數(shù)學問題的解決中，無法自主建立起知識之間的相互聯(lián)系，從而無法實現(xiàn)數(shù)學思維和解決問題能力的有效提升.3.應(yīng)試教育，能力不足

應(yīng)試教育是當下中小學數(shù)學教育普遍存在的一個教學誤區(qū)，面對升學壓力和緊湊的課堂時間，教師往往會選擇“題海戰(zhàn)術(shù)”，要求學生通過練習大量的數(shù)學題型來形成思維習慣.表面上看，其同樣是以鍛煉學生的數(shù)學思維為目的，但實際上卻是一味地通過練題來強迫學生在數(shù)學思維上達到熟能生巧的一種十分刻板的教學模式，并且頻繁使用分數(shù)來衡量學生的數(shù)學思維和數(shù)學能力，這一做法不利于學生真正掌握和學會運用這些數(shù)學思想，甚至還會對學生的學習積極性造成反作用，降低學生的學習效率.分類討論思想的教學應(yīng)用

分類討論思想可運用于解決不同知識模塊的數(shù)學問題，筆者選擇了以下四個方面的分類討論思想教學應(yīng)用實例加以闡述.1.絕對值運算

解決含有絕對值的問題時，有時需要應(yīng)用分類討論思想.做題的過程中，我們要善于分析問題，要考慮到絕對值具有非負性.例如，筆者在講解含絕對值符號的加減運算時，給出了這樣一道簡單的例題：要使x+1-x=1，變量x應(yīng)當滿足什么條件？

這道例題出現(xiàn)了兩個絕對值符號，因此筆者引導學生將兩個含絕對值符號的式子分開討論，于是有x+10四種情況，這四種情況經(jīng)過一定的整合，最終將數(shù)軸分為了三段，即x0這三種情況，最后得出只有當x>0或x=0時，等式才成立，于是得出“當x≥0時，等式成立”的結(jié)論.2.與方程有關(guān)的問題

在解一元二次方程時，往往會出現(xiàn)題中某項系數(shù)未知的情況，而根據(jù)一元二次方程的定義和實根的判別方法，應(yīng)當運用根的判別式來判斷未知參數(shù)在什么范圍下才能滿足方程是否有實數(shù)根的條件.例如，教學“一元二次方程”時，筆者給出了這樣一道例題：已知方程a2x2+2（a-1）x+1=0有實數(shù)根，求a的取值范圍.在這道例題中，a是二次項和一次項系數(shù)中的未知參數(shù)，根據(jù)一元二次方程根的判別式，要想使方程有實數(shù)根，則Δ≥0，即[2（a-1）]2-4a2≥0，解得a≤.本題還應(yīng)當重點注意的是，題中未指明該方程是一元二次方程，因此當a=0時，該方程就變成一個一元一次方程，經(jīng)檢驗，這樣的情況顯然是合理的，因此應(yīng)當放入分類討論中（即分a=0和a≠0兩種情況進行討論），實現(xiàn)該題的完整解答.3.函數(shù)問題

分類討論問題在函數(shù)中的應(yīng)用甚為頻繁，函數(shù)的種類也十分繁多，尤其是當具體問題中并未指出函數(shù)類別時，更應(yīng)當對函數(shù)的不同類別進行分類討論.例如，講解函數(shù)圖像的有關(guān)知識時，筆者給出了這樣一道例題：求函數(shù)y=（k-1）x2-kx+1與x軸的交點坐標.與上一道例題相似，題中并未給出函數(shù)的具體類型，因此教師應(yīng)當引導學生運用發(fā)散思維，對可能的函數(shù)類型進行分類?論.例如，k=1和k≠1是一次函數(shù)和二次函數(shù)的區(qū)別；當k≠1時，k2-4（k-1）≥0或k2-4（k-1）<0是函數(shù)與x軸是否有交點的區(qū)別.針對討論情況較多的問題，教師應(yīng)當引導學生理清思路，防止思維混亂，促使問題解決得更加有條理.4.幾何問題

幾何圖形具有多變的特點，其使得分類討論思想在幾何問題中的運用非常頻繁，需要學生根據(jù)圖形的形狀、位置以及關(guān)系等方面的條件來對問題進行合理地分類討論.例如，筆者在講授有關(guān)三角形各邊長度的問題時，曾給出這樣一道例題：在△ABC中，AB=6，AC=2，BC邊上的高AD=3，求BC的長.這道題并未給出具體的三角形圖形，因此學生可運用空間想象能力將三角形分為點D在BC邊上和在BC邊的延長線上兩種情況，然后分別求出這兩種情況下BC邊的長，再進行判斷.總之，每一種數(shù)學思想對學生的思維能力都有不同角度的提升作用，分類討論思想則注重對學生思維邏輯嚴密性進行鍛煉.教師首先應(yīng)當對數(shù)學思想教學引起足夠的重視，在引導學生解決各類數(shù)學問題時，教師應(yīng)當有意識地滲透分類討論思想在數(shù)學問題中的應(yīng)用，結(jié)合學生對知識的掌握程度和認知水平，設(shè)計更多符合學生思維能力提升要求的開放題型，通過階梯型難度的設(shè)置，引導學生循序漸進地提升分類討論思想的運用能力，養(yǎng)成良好的發(fā)散思維習慣，有效提升學生的數(shù)學素養(yǎng).