第一篇：分類思想

數(shù)學(xué)分類思想

1.定義

分類思想是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將數(shù)學(xué)研究對(duì)象分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。分類以比較為基礎(chǔ)，比較是分類的前提，分類是比較的結(jié)果

2.運(yùn)用范圍

①涉及的數(shù)學(xué)概念是分類定義的；

②運(yùn)用的數(shù)學(xué)定理、公式或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類給出的； ③求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)論有多種情況或多種可能；

④數(shù)學(xué)問(wèn)題中含有參變量，這些參變量的取值會(huì)導(dǎo)致不同結(jié)果的。應(yīng)用分類討論，往往能使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

分類的過(guò)程，注意培養(yǎng)學(xué)生思考的周密性，條理性以及學(xué)生研究問(wèn)題和探索規(guī)律的能力。

3.分類思想的思維過(guò)程

第一，要明確是否需要分類討論；

引起分類討論的原因：

① 概念本身是分類定義的，如絕對(duì)值、點(diǎn)（直線、圓）與圓的位置關(guān)系和兩圓相切等概念的分類；

② 某些公式、定理、性質(zhì)、法則的條件和范圍有限制；

③ 含有字母系數(shù)的問(wèn)題，需要對(duì)該字母不同取值范圍進(jìn)行討論；

④ 題設(shè)的數(shù)量大小或關(guān)系確定，而圖形的位置或形狀不確定；

⑤ 題目條件和結(jié)論不唯一

第二，確定分類的對(duì)象；

第三，確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理分類；（厘清分類的界限，選擇分類標(biāo)準(zhǔn)，并做到不重復(fù)不遺漏。

第四，逐類逐級(jí)分類討論； 第五，綜合、歸納結(jié)論.4.小學(xué)數(shù)學(xué)中分類討論思想的應(yīng)用

5.教學(xué)中對(duì)于學(xué)生分類思想的培養(yǎng)

①逐步，逐年級(jí)滲透分類思想，養(yǎng)成分類的意識(shí)

利用學(xué)生在生活中所具有的分類意識(shí)，在教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)分類思想的滲透，挖掘教材提供的機(jī)會(huì)，把握滲透的契機(jī)。一方面是一般物體的分類，如柜臺(tái)上的商品、文具等；另一方面要注意從數(shù)學(xué)的角度分類，如立體圖形、平面圖形、數(shù)的認(rèn)識(shí)和運(yùn)算等。同時(shí)注意滲透集合的思想，就是說(shuō)當(dāng)把某些屬性相同的物體放在一起，作為一個(gè)整體，就可以看作一個(gè)集合。在三大領(lǐng)導(dǎo)知識(shí)的教學(xué)中注意經(jīng)常性地滲透分類思想和集合思想，如平面圖形和立體圖形的分類、數(shù)的分類。注意從數(shù)學(xué)思維和解決問(wèn)題的方法上滲透分類思想，如排列組合、概率的計(jì)算、抽屜原理等問(wèn)題經(jīng)常運(yùn)用分類討論思想解決。在統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)的教學(xué)中，滲透分類的思想。

②滲透學(xué)習(xí)分類方法，增強(qiáng)思維的縝密性

應(yīng)讓學(xué)生了解，所謂分類就是選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，根據(jù)對(duì)象的屬性，不重復(fù)、不遺漏地劃分為若干類，而后對(duì)每一子類的問(wèn)題加以解答。

例如，用 1、2、3 三個(gè)數(shù)字卡片可以排成幾個(gè)三位數(shù)，讓學(xué)生做一做，排一排。有的學(xué)生很快排出來(lái)了，但有些學(xué)生卻排不完整。這時(shí)教師要指導(dǎo)學(xué)生分類討論，首先確定百位上的數(shù)字是1時(shí)，有哪幾個(gè)三位數(shù)?(123、132)，百位上的數(shù)字是2時(shí)，有哪幾個(gè)三位數(shù)?（213、231)，百位上的數(shù)字是3時(shí)，有哪幾個(gè)三位數(shù)?（312、321)。

③引導(dǎo)學(xué)生分類討論，提高合理解題的能力

一般來(lái)講，利用分類討論思想和方法解決的問(wèn)題有兩大類：其一是涉及代數(shù)式或函數(shù)或方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問(wèn)題；其二是根據(jù)幾何圖形的點(diǎn)和線出現(xiàn)不同位置的情況，逐一討論解決問(wèn)題

④注意有關(guān)數(shù)學(xué)規(guī)律在一般條件下的適用性和特殊條件下的不適用性。也就是說(shuō)有些數(shù)學(xué)規(guī)律在一般情況下成立，在特殊情況下不成立；

6.總結(jié)：所謂數(shù)學(xué)分類討論方法，就是將數(shù)學(xué)對(duì)象分成幾類，分別進(jìn)行討論來(lái)解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)方法，具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性。需要根據(jù)學(xué)生的年齡特征，學(xué)生在學(xué)習(xí)的各階段的認(rèn)知水平，逐步滲透，螺旋上升，不斷的豐富自身的內(nèi)涵，從而達(dá)到利用數(shù)學(xué)分類討論方法來(lái)解決問(wèn)題的目的。

補(bǔ)充如何滲透分類思想：

1.結(jié)合圖形教學(xué)滲透分類思想

如根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進(jìn)行分類，如三角形按角分類，則有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。如果按邊的長(zhǎng)短關(guān)系分類，三角形可分為：不等邊三角形和等邊三角形，等邊三角形又可分為正三角形和等腰三角形。教學(xué)時(shí)，我們就要追問(wèn)學(xué)生：你為什么要這么分？分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？你比較了物體圖形的哪些特征？從而使學(xué)生明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，掌 握概念的本質(zhì)。

2.結(jié)合概念教學(xué)滲透分類思想

如，在教學(xué)“方程的意義” 一課時(shí)，學(xué)生對(duì)方程意義的理解，就要通過(guò)式子的二次分類建構(gòu)，對(duì)“相等關(guān)系”、“含有未知數(shù)”的理解，從而把握方程的本質(zhì)屬性。教學(xué)時(shí)，先出示：180＋□＝300，180＋x＝300，180＋x＞300，180＋x＜300，50×2=100，5×m=85，（）-150=300，500-150＞300，50+3a等，接著，老師引導(dǎo)學(xué)生把以上式子進(jìn)行分類，通過(guò)分類讓學(xué)生在比較中歸納出方程是含有未知數(shù)的等式。學(xué)生可按照式子中有無(wú)等號(hào)可分為：有等號(hào)的式子和不含有等號(hào)的式子；按照式子中是否含有未知數(shù)又可分為：含有未知數(shù)和不含有未知數(shù)的等式。并將含有未知數(shù)的式子按照式子中是否有等號(hào)，又可以分成兩類：有含有未知數(shù)的等式和有含有未知數(shù)的式子。此時(shí)，滿足方程的二要素便很清楚了：含有 未知數(shù)、等式。從而認(rèn)識(shí)方程的本質(zhì)屬性。3.結(jié)合“解決問(wèn)題”教學(xué)滲透分類思想。

在解決問(wèn)題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)合理的分類，有利于幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，歸納解題方法，從而培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力。如，在教學(xué)“行程問(wèn)題”的整理與復(fù)習(xí)課時(shí)，師用多媒

體演示，分別演示了四種典型行程問(wèn)題：即兩地相向而行、兩地相背而行、同地點(diǎn)相背而行、同地點(diǎn)同方向前進(jìn)（追及問(wèn)題)，通過(guò)學(xué)生的語(yǔ)言敘述，體驗(yàn)題目中關(guān)鍵字的重要作用，要求他們獨(dú)立進(jìn)行解答，然后引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)比、觀察、分析把它們分類，結(jié)果學(xué)生出現(xiàn)了不同的分類標(biāo)準(zhǔn)：根據(jù)出發(fā)地點(diǎn)是否相同，根據(jù)出發(fā)方向是否一致，根據(jù)是否相遇，根據(jù)解題方法等，再通過(guò)交流互動(dòng)，學(xué)生了解行程問(wèn)題分類與各類解題方法。這時(shí)，師追問(wèn)：以后再遇到類似繁雜的行程問(wèn)題時(shí)怎么辦？學(xué)生想到了可以通過(guò)分類，把題目按自己的標(biāo)準(zhǔn)“對(duì)號(hào)入座”，從而尋求正確的解題方法。

4.結(jié)合“統(tǒng)計(jì)與概率”教學(xué)滲透分類思想。

學(xué)生在日常生活中都會(huì)積累一定的分類知識(shí)。如對(duì)書籍的分類，水果分類等，我們可以利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中來(lái)，在“統(tǒng)計(jì)與概率”教學(xué)中往往要滲透數(shù)學(xué)分類思想，而且分類思想還是概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的重要基礎(chǔ)。如，在教學(xué)“購(gòu)買水果” 一課時(shí)，師： “六 ·一”兒童節(jié)就要到了，舉辦班級(jí)聯(lián)歡會(huì)與慶“六 ·一” 活動(dòng)，班級(jí)要買一些水果，現(xiàn)在市場(chǎng)上蘋果、梨、香蕉、桃子這四種水果最多，我們就在這四種水果中選擇，應(yīng)該怎樣購(gòu)買呢？同學(xué)們自己獨(dú)立思考，然后在小組內(nèi)交流。生：先要調(diào)查我們班的每一位同學(xué)喜歡吃哪一種水果，再按自己最愛(ài)吃的水果進(jìn)行分類，在此基礎(chǔ)上才能統(tǒng)計(jì)各種水果數(shù)量。

5.結(jié)合“數(shù)學(xué)廣角”教學(xué)滲透分類思想

在“數(shù)學(xué)廣角” 教材內(nèi)容，蘊(yùn)含許多數(shù)學(xué)思想與方法，教學(xué)時(shí)應(yīng)做到有機(jī)滲透。如，一位教師在教學(xué)“數(shù)學(xué)廣角—— — 植樹問(wèn)題” 一節(jié)課時(shí)，當(dāng)學(xué)生掌握了“在20米長(zhǎng)的公路一邊植樹，每隔5米栽一棵，兩端要栽，一共要栽幾棵樹？ ”再引導(dǎo)學(xué)生探究“只栽一端” 和“兩端都不栽”的情況。讓學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考，并把表格填完整。這樣通過(guò)表格，幫助學(xué)生建立分類思想的意識(shí)。然后引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真思考，你發(fā)現(xiàn)了什么？最后指名匯報(bào)，使學(xué)生感悟到棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系：

兩端都栽: 栽樹棵數(shù)=間隔數(shù)+1 只栽一端: 栽樹棵數(shù)=間隔數(shù) 兩端都不栽:栽樹棵數(shù)=間隔數(shù)-1 這樣，讓學(xué)生通過(guò)自己的觀察、猜測(cè)、驗(yàn)證、分類這一系列的活動(dòng)經(jīng)歷，感悟數(shù)學(xué)規(guī)律。得出各類的解題模式，歸納出解決此類問(wèn)題的一套有效方法。6.結(jié)合“整理與復(fù)習(xí)”教學(xué)滲透分類思想。

如，教學(xué)“長(zhǎng)方形、正方形周長(zhǎng)與面積的整理復(fù)習(xí)”時(shí)，課前布置學(xué)生將這一單元內(nèi)容自己進(jìn)行整理，并提出具體的整理要求，然后放手讓學(xué)生進(jìn)行整理，構(gòu)建比較合理的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。

設(shè)計(jì)一堂課

7.分類思想的教學(xué)策略

1.用分類思想引入新知識(shí)和新概念（1）用分類活動(dòng)引入新知識(shí)

如在 “認(rèn)識(shí)三角形和四邊形” 時(shí)，可以出示點(diǎn)子圖，根據(jù)圖形是否為封閉圖形分為封閉和不封閉圖形。在封閉圖形中，根據(jù)圖形有幾條線段圍成，分為三角形、四邊形、五邊形三類。在學(xué)生完成點(diǎn)子圖上的三角形和四邊形后，又根據(jù)三角形是否有一個(gè)直角再分為兩類。

（2）用分類思想引入新概念

如在引入平行線的概念時(shí)，不少教師是通過(guò)日常生活中的具體事例介紹，再經(jīng)抽象概括形成 “平行線”的概念。可是，實(shí)際生活上見(jiàn)到的都不可能是嚴(yán)格定義上的平行直線，可能是射線，或者是平行線上的兩條線段。因此，我們也可以通過(guò)讓學(xué)生將同一平面內(nèi)兩條線段的關(guān)系進(jìn)行分類，得到有交點(diǎn)和沒(méi)有交點(diǎn)兩種情況，然后再將沒(méi)有交點(diǎn)的進(jìn)行分類，得到適當(dāng)延長(zhǎng)后就會(huì)有交點(diǎn)的，和無(wú)論怎么延長(zhǎng)后都沒(méi)有交點(diǎn)。然后讓學(xué)生想象每幅圖中的兩條線段向兩方無(wú)限延長(zhǎng)，成為兩條直線的情況，從而認(rèn)識(shí)同一平面內(nèi)的兩條直線只有有交點(diǎn)和沒(méi)有交點(diǎn)兩種位置關(guān)系。（3）引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注分類的依據(jù)

在引入概念時(shí)，教師應(yīng)適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生思考為什么要這樣分類，怎樣分類更合理。例如 “三角形分類” 的教學(xué)，應(yīng)該將重點(diǎn)集中于“為什么要這樣的分類” “怎樣分類較為

合理”，而不應(yīng)在 “角的度量” 等實(shí)踐活動(dòng)上花費(fèi)過(guò)多的時(shí)間和精力。教師可首先對(duì)角的分類情況作出回顧，特別要提醒：在各種角中直角是較為特殊的，而后引導(dǎo)學(xué)生思考三角形分類和角的分類有什么不同？ 能否參照角的分類去進(jìn)行？ 并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這樣一種分類方法的合理性作出具體分析： 第一，是否存在交叉重復(fù)的情況，即如一個(gè)三角形既是直角三角形，同時(shí)又是銳角三角形？ 第二，分類是否有遺漏，是否可能存在這樣一個(gè)三角形，它既不是直角，也不是銳角或鈍角三角形？ 2.用分類思想歸納整理知識(shí)

在小學(xué)階段，學(xué)生需要掌握的內(nèi)容，根據(jù)數(shù)學(xué)分類的方法常有以下幾種:1）根據(jù)數(shù)量特征和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分類。如整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的分類，運(yùn)算法則的分類，等等。2）根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進(jìn)行分類。如三角形按角分類,有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。如果以邊的長(zhǎng)短關(guān)系分類，三角形可分為不等邊三角形和等邊三角形;等邊三

角形又可分為正三角形和等腰三角形。3）.根據(jù)解決問(wèn)題的探索方向進(jìn)行分類。如:直線行程問(wèn)題和環(huán)行行程問(wèn)題,可以看出他們?cè)诮鉀Q問(wèn)題的方法上有相似性。3.用分類思想解題

如2、3、4 能排多少個(gè)數(shù)字，根據(jù)數(shù)位的分類排列，就不會(huì)有遺漏。4.通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐和合作交流滲透分類思想

新課程強(qiáng)調(diào)動(dòng)手實(shí)踐、自主探索和合作交流的學(xué)習(xí)方式，對(duì)于分類思想的教學(xué)同樣也需要聯(lián)系學(xué)生的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)調(diào)通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐和合作交流來(lái)讓學(xué)生親身體會(huì)為什么要分類和新程中關(guān)于分類的方法，即“同一標(biāo)準(zhǔn)下的一致性，不同標(biāo)準(zhǔn)下的多樣性”。如吳正憲老師教學(xué)二年級(jí) 《搭配問(wèn)題》 一課中，首先聯(lián)系學(xué)生穿衣搭配的情境，讓學(xué)生在多層次的活動(dòng)中體驗(yàn)無(wú)序之亂，從讀中悟序，然后通過(guò)學(xué)生之間合作交流，學(xué)生演示和教師演示，用符合表示，等等，讓學(xué)生體會(huì)在分類的過(guò)程是否可能出現(xiàn)交叉重復(fù)的情況，是否 有遺漏，使分類思想的滲透潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲。4.引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)的量性特征進(jìn)行分類

南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)哲學(xué)教授鄭毓信認(rèn)為，因?yàn)閿?shù)學(xué)抽象的特殊性，決定了在數(shù)學(xué)分類中我們所關(guān)注的只是對(duì)象的量性特征即數(shù)量關(guān)系和空間形式等，而完全不去考慮它們質(zhì)的內(nèi)容。

第二篇：團(tuán)市委深化青年思想分類引導(dǎo)工作

團(tuán)市委深化青年思想分類引導(dǎo)工作

為進(jìn)一步加強(qiáng)全市青少年思想道德建設(shè)，提高青少年思想道德素質(zhì)，引導(dǎo)和幫助青年樹立正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀，打下科學(xué)理論的基礎(chǔ)，確立為建設(shè)有中國(guó)特色社會(huì)主義而奮斗的政治方向，更好地團(tuán)結(jié)和凝聚遼源青年為遼源經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展提供動(dòng)力支持，團(tuán)市委積極探索青年思想引導(dǎo)新方式，深化青年思想分類引導(dǎo)工作。

“分類引導(dǎo)青年”，指的是根據(jù)不同類別青年群體在職業(yè)背景和思想意識(shí)方面的顯著差異，將思想引導(dǎo)工作具體化地落實(shí)到不同特點(diǎn)的青年群體身上，增強(qiáng)引導(dǎo)青年工作的針對(duì)性和實(shí)效性。團(tuán)市委結(jié)合遼源各類青年群體現(xiàn)狀特點(diǎn)，確定遼源市共有企業(yè)青年、進(jìn)城務(wù)工青年、農(nóng)村青年、大中專院校青年四類青年群體，根據(jù)實(shí)際情況，選取東北襪業(yè)園等16家非公企業(yè)作為進(jìn)城務(wù)工青年思想引導(dǎo)試點(diǎn)，采取“企業(yè)編寫、縣（區(qū)）團(tuán)委協(xié)調(diào)、團(tuán)市委統(tǒng)一審核”的模式統(tǒng)一編寫進(jìn)城務(wù)工青年思想引導(dǎo)大綱，強(qiáng)化對(duì)進(jìn)城務(wù)工青年的思想引導(dǎo)；選取東豐縣作為農(nóng)村青年思想引導(dǎo)試點(diǎn)，采取“鄉(xiāng)鎮(zhèn)分散編寫、團(tuán)縣委集中匯總、團(tuán)市委審核”的模式編寫農(nóng)村青年思想大綱。試點(diǎn)工作完成后，團(tuán)市委將面向全市各類青年群體全面開展分類引導(dǎo)青年思想工作。

第三篇：分類討論思想與初中數(shù)學(xué)教學(xué)

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專業(yè)論文

分類討論思想與初中數(shù)學(xué)教學(xué)

分類討論思想與初中數(shù)學(xué)教學(xué)

摘 要：數(shù)學(xué)中的分類討論思想是一種比較重要的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)加強(qiáng)數(shù)學(xué)分類討論思想的訓(xùn)練，有利于提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、縝密性、科學(xué)性，這種優(yōu)良的思維品質(zhì)對(duì)學(xué)生的未來(lái)必將產(chǎn)生深刻和久遠(yuǎn)的影響。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) ；分類討論

新課標(biāo)指出：“通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來(lái)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)（包括數(shù)學(xué)事實(shí)、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能”。初中階段常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想包括：函數(shù)與方程思想，化歸思楊，分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等。其中分類討論思想是初中數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)、最重要的一種數(shù)學(xué)思想，它貫穿于整個(gè)初中數(shù)學(xué)，它有利于考查學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和靈活運(yùn)用能力。

一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題是否要分類及如何分類，這種經(jīng)驗(yàn)的積累是十分重要的。一般情況下，分類討論一般應(yīng)遵循以下的原則：

1、同一性原則。分類應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，即每次分類不能同時(shí)使用幾個(gè)不同的分類根據(jù)。例如：有些同學(xué)把三角形分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、不等邊三角形、等腰三角形。這個(gè)分類就不正確了，因?yàn)檫@個(gè)分類同時(shí)使用了按邊和按角兩個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)。

2、相稱性原則。分類應(yīng)當(dāng)相稱，即劃分后子項(xiàng)外延的總和，應(yīng)當(dāng)與母項(xiàng)的外延相等。

3、互斥性原則。分類后的每個(gè)子項(xiàng)應(yīng)當(dāng)互不相容，即做到各子項(xiàng)相互排斥，也就是分類后不能有一些事物既屬于這個(gè)子項(xiàng)，又屬于另一個(gè)子項(xiàng)。

4、層次性原則。分類有一次分類和多次分類之分。一次分類是對(duì)被討論對(duì)象只分類一次；多次分類是把分類后所得的子項(xiàng)作為母項(xiàng)，再進(jìn)行分類，直至滿足需要為止。

一般來(lái)說(shuō)，教師在教學(xué)活動(dòng)中可按以下三個(gè)步驟引導(dǎo)學(xué)生建立分類討論的思想，學(xué)會(huì)分類方法，揭示分類討論思想的本質(zhì)，自覺(jué)合理的運(yùn)用分類討論的思想解決相應(yīng)數(shù)學(xué)問(wèn)題，形成能力。

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專業(yè)論文 有意識(shí)地分階段滲透分類討論思想

啟發(fā)誘導(dǎo)，適時(shí)揭示分類討論思想的本質(zhì)

這道題勢(shì)必要考慮圖像的開口方向，又要考慮對(duì)稱軸和頂點(diǎn)的位置。要對(duì)字母a和m分類。怎么分，則應(yīng)由學(xué)生討論，互相補(bǔ)充，互相評(píng)價(jià)，逐步完善。

例3 初中課本第四冊(cè)證明圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。

在幾何中，常常由于圖形的的形狀、位置的不同而要進(jìn)行分類討論。這是課本第一次正式的采用分類的方法證明幾何定理的。為什么要根據(jù)圓心相對(duì)于圓周角的位置分成三種情況（如上圖）去證，要在學(xué)生畫圖、測(cè)量、分析、討論后形成思路。決不能在這些活動(dòng)之前給出分類證明，否則就失去了從一般到特殊，從特殊到一般的思維過(guò)程，無(wú)法體會(huì)分類證明的目的和優(yōu)點(diǎn)。創(chuàng)設(shè)情境，深化提高，使學(xué)生自覺(jué)應(yīng)用分類討論思想

在初中數(shù)學(xué)中，若涉及到以下幾個(gè)方面，往往需要進(jìn)行分類討論：

分析：該題是含有字母的方程，根據(jù)題目的要求，以下三種情況可使方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根：

化得的整式方程為一次方程，則只有一解（且這個(gè)根不能是增根）；

2）化得的整式方程為一元二次方程且判別式為零，則只有一解（且這個(gè)根不能是增根）

3）化得的整式方程為一元二次方程且判別式大于零，解得的兩根中需有一根 為增根。

在幾何中由于圖形的形狀、位置的不同，條件的不確定，常常需要分類討論。如這道例題。在實(shí)際教學(xué)中可以碰到很多這種習(xí)題。如：

等腰三角形的兩邊為4，6，求該三角形的周長(zhǎng)？

總之，數(shù)學(xué)中的分類討論思想是一種比較重要的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)加強(qiáng)數(shù)學(xué)分類討論思想的訓(xùn)練，有利于提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、縝密性、科學(xué)性，這種優(yōu)良的思維品質(zhì)對(duì)學(xué)生的未來(lái)必將產(chǎn)生深刻和久遠(yuǎn)的影響。

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第四篇：初中數(shù)學(xué)教材中分類思想的探討

初中數(shù)學(xué)教材中分類思想的探討

亭湖區(qū)黃尖初級(jí)中學(xué)郵編：224049

內(nèi)容提要: 中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí), 常常會(huì)運(yùn)用到一些數(shù)學(xué)思想, 分類討論的思想方法在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著廣泛應(yīng)用.在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的分類思想的應(yīng)用, 數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)和運(yùn)算法則進(jìn)行分類,圖形的位置的變化而進(jìn)行的分類, 定理證明中的分類討論, 我們要把掌握分類思想,作為一項(xiàng)教學(xué)目標(biāo)納入教學(xué)過(guò)程,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力,在教學(xué)中要遵循循序漸進(jìn),適時(shí)滲透,逐步深化的原則,初始階段,可從學(xué)習(xí)熟知的數(shù)學(xué)分類入手,逐步提高.關(guān)鍵詞: 數(shù)學(xué)思想, 分類討論思想, 概念的分類, 數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)和運(yùn)算法則的分類, 圖形位置變化的分類, 定理證明中的分類討論, 運(yùn)用分類思想,解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們常常會(huì)運(yùn)用到一些數(shù)學(xué)思想，而數(shù)學(xué)思想是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識(shí)之中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果，它是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。首先，數(shù)學(xué)思想比一般的數(shù)學(xué)概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具體、更豐富，而前者比后者更本質(zhì)、更深刻；其次，數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、數(shù)學(xué)方法三者密不可分：如果人們站在某個(gè)位置、從某個(gè)角度并運(yùn)用數(shù)學(xué)去觀察和思考問(wèn)題，那么數(shù)學(xué)思想也就成了一種觀點(diǎn)。而對(duì)于數(shù)學(xué)方法來(lái)說(shuō)，思想是其相應(yīng)的方法的精神實(shí)質(zhì)和理-1-

論基礎(chǔ)，方法則是實(shí)施有關(guān)思想的技術(shù)手段。數(shù)學(xué)思想是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本想法，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。

在初中階段對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)將統(tǒng)領(lǐng)知識(shí)的數(shù)學(xué)思想和方法概括出來(lái)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的應(yīng)用意識(shí)，從而令學(xué)生更透徹地理解所學(xué)的知識(shí)，提高獨(dú)立分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。這是鍛煉學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)這種能力的重要途徑。

素質(zhì)教育的主要任務(wù)不僅是發(fā)展學(xué)生的智力，培養(yǎng)學(xué)生的能力，還要培養(yǎng)非智力因素和辯證唯物主義等思想，從根本上講就是要全面提高學(xué)生的“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)。而數(shù)學(xué)思想方法就是增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念，形成“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，樹立創(chuàng)新意識(shí)的關(guān)鍵，她能使學(xué)生在未來(lái)的生活和工作中終生受益。新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為掌握好數(shù)學(xué)思想方法，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)，使學(xué)生具有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的必要條件。掌握好數(shù)學(xué)思想方法可以使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)更容易理解和記憶，如果把數(shù)學(xué)思想方法學(xué)好了，在數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下運(yùn)用數(shù)學(xué)方法駕馭數(shù)學(xué)知識(shí)，就能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更加容易，并能將所學(xué)到的知識(shí)和方法運(yùn)用于今后的工作和生活之中。

初中數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法很多，最基本的數(shù)學(xué)思想方法有：化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想、函數(shù)思想等。在這些基本思想方法中，分類討論的思想由于初中學(xué)生認(rèn)知能力、思維習(xí)慣、知識(shí)水平和教學(xué)內(nèi)容的限制，學(xué)生在運(yùn)用的過(guò)程中感覺(jué)到特別困難，但分類思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中又有著極其廣泛的應(yīng)用，有必要對(duì)其特別加以重視，下面我們就一同來(lái)看一看這種數(shù)學(xué)思想方法在初中

數(shù)學(xué)教材應(yīng)用，以更好地利用數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)提高學(xué)生的素質(zhì)，使學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)、生活中運(yùn)用這種數(shù)學(xué)思想方法，來(lái)解決實(shí)踐中遇到的各種問(wèn)題。

數(shù)學(xué)分類思想是在研究與解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的異同點(diǎn),將對(duì)象分為不同種類,然后逐類進(jìn)行研究與解決,從而達(dá)到研究與解決問(wèn)題的目的的一種思想方法。分類思想的掌握對(duì)研究和解決問(wèn)題十分有益，因此是科學(xué)研究中最常用，最基本的思想方法之

一。它有利于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維的條理性、縝密性、靈活性，使學(xué)生學(xué)會(huì)完整地考慮問(wèn)題、化整為零地解決問(wèn)題。

應(yīng)用分類討論思想解決問(wèn)題，必須保證分類科學(xué)、統(tǒng)一，不重復(fù)，不遺漏，并力求最簡(jiǎn)捷。

分類思想有三個(gè)明顯特點(diǎn)，一是對(duì)什么東西分類，即確定分類的對(duì)象；二是按什么標(biāo)準(zhǔn)分類，即選擇分類的標(biāo)準(zhǔn)；三是分成哪幾類，即確定分類的結(jié)果。通過(guò)正確的分類，可以使復(fù)雜的問(wèn)題得到清晰、完整、嚴(yán)密的解答。就分類討論的思想方法在初中數(shù)學(xué)教材中的應(yīng)用，大致可以分成下面四種類型。

一、數(shù)學(xué)概念中的分類思想的應(yīng)用

1、實(shí)數(shù)的分類：實(shí)數(shù)按定義可以分為有理數(shù)與無(wú)理數(shù)；而按大小又可分為正實(shí)數(shù)、0、負(fù)實(shí)數(shù)。在實(shí)數(shù)的應(yīng)用中時(shí)常需要就實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論。

2、角的分類，小于180的角按大小可分成銳角、直角、鈍角等

3、三角形的分類：在三角形中按角的大小進(jìn)行分類可以分為銳

角三角形、直角三角形，鈍三角形；而按邊的相等數(shù)來(lái)分又可以分成：

（1）三條邊都不相等，即一般三角形；（2）有兩邊相等，即等腰三角形；（3）有三條邊相等，即等邊三角形。在三角形中又以等腰三角形中的分類討論的題型最多。

4、四邊形的分類：在四邊形中按邊的平行關(guān)系可分為：①兩組

對(duì)邊都不平行，即一般四邊形；②只有一組對(duì)邊平行，即梯形③兩組對(duì)邊分別平行，即平行四邊形，而平行四邊形中又可分為一般平行四邊形和特殊平行四邊形：矩形、菱形、正方形等。

5、方程的分類，方程按未知數(shù)的個(gè)數(shù)可分成一元方程、二元方程、多元方程；按未知項(xiàng)的次數(shù)可分為一次方程、二次方程、高次方程等。在方程中常常對(duì)未知數(shù)前面的字母系數(shù)的取值分類討論。

6、函數(shù)的分類，初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)可分成正比例函數(shù)、一次函

數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等。

二、根據(jù)數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)和運(yùn)算法則進(jìn)行分類

?a當(dāng)a?0時(shí)

1、絕對(duì)值的化簡(jiǎn)a???0當(dāng)a?0時(shí)

??a當(dāng)a?0時(shí)?

2、二次根式的化簡(jiǎn)?a當(dāng)a?0時(shí)?a2?a??0當(dāng)a?0時(shí) ??a當(dāng)a?0時(shí)?

23、一元二次方程根的判別式，一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0),當(dāng)△=b-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=b-4ac=0時(shí)，2

2方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=b-4ac<0時(shí),方程無(wú)實(shí)根。

4、函數(shù)的增減性，（1）在一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）中，如果k>0，那么y的值隨x值的增大而增大；如果k<0，那么y的值隨x值的增大而減小。

（2）在反比例函數(shù)y=k／x（k為常數(shù)，且k≠0）中，當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支分別在第一、三象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x 增大而減??；當(dāng)k<0時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支分別在第二、四象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x 增大而增大。

5、不等式的性質(zhì)

不等式的性質(zhì)2不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。

根據(jù)不等式這個(gè)性質(zhì)在不等式的兩邊都乘或除以一個(gè)數(shù)時(shí)需要考慮到這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)。

三、根據(jù)圖形的位置的變化而進(jìn)行的分類

1、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系①點(diǎn)在直線上②點(diǎn)在直線外

2、直線與直線的位置關(guān)系：在同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系有①相交②平行。直線與直線的位置關(guān)系中分類討論的題型并不多見(jiàn)，但它本身就是一種分類。

3、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系①點(diǎn)在圓外②點(diǎn)在圓上③點(diǎn)在圓內(nèi)。

4、直線與圓的位置關(guān)系①相離②相切③相交。

5、圓與圓的位置關(guān)系①外離②外切③相交④內(nèi)切⑤內(nèi)含

四、定理證明中的分類討論

圓周角定理證明中的分類，分三種情況進(jìn)行討論。①圓心在角的一邊上；②圓心在角的內(nèi)部；③圓心在角的外部。

通過(guò)上述問(wèn)題的討論,分類討論的思想方法在初中數(shù)學(xué)教材中有著廣泛的應(yīng)用。在運(yùn)用分類思想解題時(shí)主要步驟有：①分析題目中的已知條件，明確所要討論的對(duì)象，確定所要討論對(duì)象的全體；②確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，做到不重不漏,并力求最簡(jiǎn)；③對(duì)所分類型進(jìn)行逐級(jí)討論、求解；④歸納小結(jié)，得出最后的結(jié)論。

當(dāng)然課本中分類討論題型很多，在具體的題目中也許多類型，例如在三角形相似中由于對(duì)應(yīng)關(guān)系的不明確也可以進(jìn)行分類討論，在圖形運(yùn)動(dòng)中的題目也會(huì)有分類討論，在中考綜合題中也會(huì)穿插著許多分類討論的題目，因此有必要在今后的學(xué)習(xí)和教學(xué)的過(guò)程中，根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求,我們要把掌握分類思想,作為一項(xiàng)教學(xué)目標(biāo)納入教學(xué)過(guò)程,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力,在教學(xué)中要遵循循序漸進(jìn),適時(shí)滲透,逐步深化的原則,初始階段,可從學(xué)習(xí)熟知的數(shù)學(xué)分類入手,逐步提高.當(dāng)學(xué)生初步理解一些數(shù)學(xué)分類方法后,適時(shí)做好深化、歸納工作，可設(shè)計(jì)一些含有分類思想的習(xí)題，通過(guò)專項(xiàng)訓(xùn)練，幫助學(xué)生總結(jié)一些常見(jiàn)的分類方法，逐步強(qiáng)化分類意識(shí)，養(yǎng)成善于分類的思維習(xí)慣，便于學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)過(guò)程中能正確地運(yùn)用這種思想方法解決好數(shù)學(xué)問(wèn)題，并能使復(fù)雜的問(wèn)題得到清晰、完整、嚴(yán)密的解答，這樣才能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

第五篇：全面剖析初中數(shù)學(xué)分類討論思想教學(xué)

全面剖析初中數(shù)學(xué)分類討論思想教學(xué)

[摘 要] 數(shù)學(xué)思想是中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要模塊，貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系始終.數(shù)學(xué)思想能夠反映人分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的意識(shí)和思維邏輯，其是從大量復(fù)雜的數(shù)學(xué)信息中總結(jié)出的系統(tǒng)化的知識(shí)結(jié)構(gòu)和解決問(wèn)題的策略、關(guān)鍵.中小學(xué)數(shù)學(xué)教育重點(diǎn)要求學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)思想包括數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、函數(shù)思想以及分類討論思想等.本文針對(duì)分類討論思想進(jìn)行論述.[關(guān)鍵詞] 分類討論；價(jià)值；誤區(qū)；應(yīng)用

分類討論思想始于《九章算術(shù)》中對(duì)“盈虧問(wèn)題”的探討，該思想常常被運(yùn)用于解決開放型數(shù)學(xué)問(wèn)題，即解決思路不唯一的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生需根據(jù)問(wèn)題所給的具體條件對(duì)問(wèn)題中可能出現(xiàn)的所有情況逐一分析，再根據(jù)所學(xué)知識(shí)和邏輯思維判斷，將問(wèn)題條件劃分為多個(gè)更加單一的細(xì)化條件，將大問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多個(gè)小問(wèn)題后逐一解決，最后進(jìn)行綜合分析，得出一個(gè)或多個(gè)答案.但在實(shí)際教學(xué)中，很多教師對(duì)數(shù)學(xué)思想教學(xué)的重視程度不夠，原因在于其不了解數(shù)學(xué)思想對(duì)學(xué)生思維及分析能力發(fā)展的重要性，導(dǎo)致數(shù)學(xué)課堂出現(xiàn)諸多數(shù)學(xué)思想教學(xué)誤區(qū).下面，筆者將以數(shù)學(xué)思想中的分類討論思想為例，從其教學(xué)價(jià)值、教學(xué)誤區(qū)以及教學(xué)應(yīng)用三方面來(lái)談一談初中數(shù)學(xué)思想的高效教學(xué)策略.分類討論思想的教學(xué)價(jià)值

1.形成分類思考意識(shí)，掌握信息分類方法

隨著信息時(shí)代的快速發(fā)展，人們每天主動(dòng)或被動(dòng)接受的信息量與日俱增，想要不被雜亂的信息所困擾，就需自身具備對(duì)信息進(jìn)行分類處理的能力.分類討論雖為數(shù)學(xué)思想，但在運(yùn)用該思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，也能有效鍛煉學(xué)生分類處理信息的能力，養(yǎng)成對(duì)各種信息進(jìn)行分類的良好習(xí)慣，這樣便能輕松應(yīng)對(duì)日常學(xué)習(xí)和生活中對(duì)繁雜信息的處理問(wèn)題，提高學(xué)習(xí)和工作效率.教師在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分類討論思想解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先為學(xué)生介紹高效的分類技巧，即根據(jù)實(shí)際情況或已知條件自主制定分類標(biāo)準(zhǔn)，并針對(duì)各類信息做對(duì)應(yīng)的分析和總結(jié).2.培養(yǎng)思維發(fā)散意識(shí)，鍛煉一題多解能力

思維定式是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的不利影響.傳統(tǒng)的以教師講解為主的數(shù)學(xué)課堂，嚴(yán)重制約了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的自主思考方向，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)同類題型產(chǎn)生定向思維，以單一的角度看問(wèn)題，從而在面對(duì)新題型或變式問(wèn)題時(shí)不知變通，無(wú)從下手.教師應(yīng)當(dāng)摒棄傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂教師主講而學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)的課堂模式，設(shè)計(jì)更多開放型問(wèn)題供學(xué)生自主思考、合作學(xué)習(xí)，促使學(xué)生解決問(wèn)題的角度更加具體、全面，這樣有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維意識(shí)和一題多解意識(shí)，從而更加全面、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乜紤]問(wèn)題.3.科學(xué)建構(gòu)知識(shí)體系，形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)

初中是學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)從打牢基礎(chǔ)到能力提升過(guò)渡的關(guān)鍵階段.系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)目標(biāo)要求學(xué)生具備對(duì)不同知識(shí)進(jìn)行分類、概括、總結(jié)的能力，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的自主消化，提升自主學(xué)習(xí)能力和思考能力.分類討論思想的滲透有助于學(xué)生養(yǎng)成對(duì)不同信息進(jìn)行分類的良好習(xí)慣，在個(gè)人數(shù)學(xué)知識(shí)體系的建構(gòu)中，能夠?⒏叢?、繁多掉[?識(shí)點(diǎn)歸類理解，從而大大提高學(xué)習(xí)新知和理解記憶的效率.教師應(yīng)當(dāng)注重引導(dǎo)學(xué)生理解各模塊知識(shí)之間的聯(lián)系，從而促使學(xué)生從知識(shí)之間的區(qū)別與聯(lián)系這一方面來(lái)進(jìn)行知識(shí)的分類匯總，形成一張更加趨于完整和實(shí)用的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，便于學(xué)生搜索知識(shí)點(diǎn)及綜合運(yùn)用.分類討論思想的教學(xué)誤區(qū)

1.理念陳舊，缺少創(chuàng)新

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，教學(xué)應(yīng)當(dāng)符合學(xué)生的個(gè)性發(fā)展要求.隨著中小學(xué)教育的不斷發(fā)展，學(xué)生的個(gè)性發(fā)展要求也在不斷地提升，傳統(tǒng)模式的“教與學(xué)”課堂已經(jīng)不符合對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng).但在實(shí)際教學(xué)中，部分教師仍然秉持陳舊的教學(xué)理念，忽略學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性，往往為了解題而解題，無(wú)法看到數(shù)學(xué)問(wèn)題背后對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法的引導(dǎo)，這樣的陳舊觀念無(wú)法促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行更加深入的思考.教師應(yīng)當(dāng)創(chuàng)新教學(xué)模式，如可以將分類討論思想作為教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)，設(shè)計(jì)更多開放式的數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生自主思考，體現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性，有效培養(yǎng)學(xué)生的分類討論思維.2.被動(dòng)學(xué)習(xí)，效率低下

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式除了教學(xué)理念陳舊，影響學(xué)生的個(gè)性發(fā)展而外，被動(dòng)學(xué)習(xí)也使得學(xué)生探索數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣和熱情消磨殆盡.學(xué)生處于被動(dòng)學(xué)習(xí)的狀態(tài)時(shí)，無(wú)法主動(dòng)探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，數(shù)學(xué)思維得不到有效運(yùn)用，這樣即使學(xué)生了解分類討論等數(shù)學(xué)思想，也同樣無(wú)法將其準(zhǔn)確運(yùn)用于數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中，無(wú)法自主建立起知識(shí)之間的相互聯(lián)系，從而無(wú)法實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維和解決問(wèn)題能力的有效提升.3.應(yīng)試教育，能力不足

應(yīng)試教育是當(dāng)下中小學(xué)數(shù)學(xué)教育普遍存在的一個(gè)教學(xué)誤區(qū)，面對(duì)升學(xué)壓力和緊湊的課堂時(shí)間，教師往往會(huì)選擇“題海戰(zhàn)術(shù)”，要求學(xué)生通過(guò)練習(xí)大量的數(shù)學(xué)題型來(lái)形成思維習(xí)慣.表面上看，其同樣是以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維為目的，但實(shí)際上卻是一味地通過(guò)練題來(lái)強(qiáng)迫學(xué)生在數(shù)學(xué)思維上達(dá)到熟能生巧的一種十分刻板的教學(xué)模式，并且頻繁使用分?jǐn)?shù)來(lái)衡量學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力，這一做法不利于學(xué)生真正掌握和學(xué)會(huì)運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想，甚至還會(huì)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性造成反作用，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.分類討論思想的教學(xué)應(yīng)用

分類討論思想可運(yùn)用于解決不同知識(shí)模塊的數(shù)學(xué)問(wèn)題，筆者選擇了以下四個(gè)方面的分類討論思想教學(xué)應(yīng)用實(shí)例加以闡述.1.絕對(duì)值運(yùn)算

解決含有絕對(duì)值的問(wèn)題時(shí)，有時(shí)需要應(yīng)用分類討論思想.做題的過(guò)程中，我們要善于分析問(wèn)題，要考慮到絕對(duì)值具有非負(fù)性.例如，筆者在講解含絕對(duì)值符號(hào)的加減運(yùn)算時(shí)，給出了這樣一道簡(jiǎn)單的例題：要使x+1-x=1，變量x應(yīng)當(dāng)滿足什么條件？

這道例題出現(xiàn)了兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，因此筆者引導(dǎo)學(xué)生將兩個(gè)含絕對(duì)值符號(hào)的式子分開討論，于是有x+10四種情況，這四種情況經(jīng)過(guò)一定的整合，最終將數(shù)軸分為了三段，即x0這三種情況，最后得出只有當(dāng)x>0或x=0時(shí)，等式才成立，于是得出“當(dāng)x≥0時(shí)，等式成立”的結(jié)論.2.與方程有關(guān)的問(wèn)題

在解一元二次方程時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)題中某項(xiàng)系數(shù)未知的情況，而根據(jù)一元二次方程的定義和實(shí)根的判別方法，應(yīng)當(dāng)運(yùn)用根的判別式來(lái)判斷未知參數(shù)在什么范圍下才能滿足方程是否有實(shí)數(shù)根的條件.例如，教學(xué)“一元二次方程”時(shí)，筆者給出了這樣一道例題：已知方程a2x2+2（a-1）x+1=0有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.在這道例題中，a是二次項(xiàng)和一次項(xiàng)系數(shù)中的未知參數(shù)，根據(jù)一元二次方程根的判別式，要想使方程有實(shí)數(shù)根，則Δ≥0，即[2（a-1）]2-4a2≥0，解得a≤.本題還應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)注意的是，題中未指明該方程是一元二次方程，因此當(dāng)a=0時(shí)，該方程就變成一個(gè)一元一次方程，經(jīng)檢驗(yàn)，這樣的情況顯然是合理的，因此應(yīng)當(dāng)放入分類討論中（即分a=0和a≠0兩種情況進(jìn)行討論），實(shí)現(xiàn)該題的完整解答.3.函數(shù)問(wèn)題

分類討論問(wèn)題在函數(shù)中的應(yīng)用甚為頻繁，函數(shù)的種類也十分繁多，尤其是當(dāng)具體問(wèn)題中并未指出函數(shù)類別時(shí)，更應(yīng)當(dāng)對(duì)函數(shù)的不同類別進(jìn)行分類討論.例如，講解函數(shù)圖像的有關(guān)知識(shí)時(shí)，筆者給出了這樣一道例題：求函數(shù)y=（k-1）x2-kx+1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).與上一道例題相似，題中并未給出函數(shù)的具體類型，因此教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用發(fā)散思維，對(duì)可能的函數(shù)類型進(jìn)行分類?論.例如，k=1和k≠1是一次函數(shù)和二次函數(shù)的區(qū)別；當(dāng)k≠1時(shí)，k2-4（k-1）≥0或k2-4（k-1）<0是函數(shù)與x軸是否有交點(diǎn)的區(qū)別.針對(duì)討論情況較多的問(wèn)題，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生理清思路，防止思維混亂，促使問(wèn)題解決得更加有條理.4.幾何問(wèn)題

幾何圖形具有多變的特點(diǎn)，其使得分類討論思想在幾何問(wèn)題中的運(yùn)用非常頻繁，需要學(xué)生根據(jù)圖形的形狀、位置以及關(guān)系等方面的條件來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理地分類討論.例如，筆者在講授有關(guān)三角形各邊長(zhǎng)度的問(wèn)題時(shí)，曾給出這樣一道例題：在△ABC中，AB=6，AC=2，BC邊上的高AD=3，求BC的長(zhǎng).這道題并未給出具體的三角形圖形，因此學(xué)生可運(yùn)用空間想象能力將三角形分為點(diǎn)D在BC邊上和在BC邊的延長(zhǎng)線上兩種情況，然后分別求出這兩種情況下BC邊的長(zhǎng)，再進(jìn)行判斷.總之，每一種數(shù)學(xué)思想對(duì)學(xué)生的思維能力都有不同角度的提升作用，分類討論思想則注重對(duì)學(xué)生思維邏輯嚴(yán)密性進(jìn)行鍛煉.教師首先應(yīng)當(dāng)對(duì)數(shù)學(xué)思想教學(xué)引起足夠的重視，在引導(dǎo)學(xué)生解決各類數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地滲透分類討論思想在數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用，結(jié)合學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度和認(rèn)知水平，設(shè)計(jì)更多符合學(xué)生思維能力提升要求的開放題型，通過(guò)階梯型難度的設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)地提升分類討論思想的運(yùn)用能力，養(yǎng)成良好的發(fā)散思維習(xí)慣，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).