第一篇：運(yùn)動(dòng)學(xué)——追及與相遇問題

●“運(yùn)動(dòng)學(xué)”中的追及和相遇問題

1、“勻加速直線運(yùn)動(dòng)”追“勻速直線運(yùn)動(dòng)”：何時(shí)相距最遠(yuǎn)、何時(shí)相遇

2、“勻速直線運(yùn)動(dòng)”追“勻加速直線運(yùn)動(dòng)”：

處理方法：求出“速度相等”時(shí)的時(shí)間t，再求出各自的位移，然后利用“位移關(guān)系”討論。

3、“勻速直線運(yùn)動(dòng)”追“勻減速直線運(yùn)動(dòng)”

三種情況：追上時(shí)仍在運(yùn)動(dòng)、追上時(shí)剛好停止、追上早已停止

處理方法：求出“勻減速物體速度減到0”的時(shí)間t，再求出各自的位移，然后利用“位移關(guān)系”討論。

例：A、B兩物體相距s=7m，A正以VA=4m/s向右勻速運(yùn)動(dòng)，而B此時(shí)做VB=10m/s、a=2m/s2的減速運(yùn)動(dòng)，問從此時(shí)開始經(jīng)多少時(shí)間A追上B。

4、“勻減速直線運(yùn)動(dòng)”追“勻速直線運(yùn)動(dòng)”

處理方法：求出“速度相等”時(shí)的時(shí)間t，再求出各自的位移，然后利用“位移關(guān)系”討論

例：汽車正以10m/s的速度在平直公路上前進(jìn)，突然發(fā)現(xiàn)正前方有一輛自行車以4m/s 的速度做同方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，汽車立即關(guān)閉油門做加速度大小為 6 m/s2的勻減速運(yùn)動(dòng)，汽車恰好不碰上自行車、求關(guān)閉油門時(shí)汽車離自行車多遠(yuǎn)？

練：經(jīng)檢測(cè)汽車A的制動(dòng)性能：以標(biāo)準(zhǔn)速度20m/s在平直公路上行使時(shí)，制動(dòng)后40s停下來?，F(xiàn)A在平直公路上以20m/s的速度行使發(fā)現(xiàn)前方180m處有一貨車B以6m/s的速度同向勻速行使，司機(jī)立即制動(dòng)，能否發(fā)生撞車事故？

第二篇：應(yīng)用題--行程問題(相遇,追及問題)

列方程解應(yīng)用題之

行程問題

教學(xué)目的

1.知識(shí)與能力: 使學(xué)生會(huì)分析不同類型的相遇及追及問題中的相等關(guān)系，列出一元一次方程解簡(jiǎn)單的應(yīng)用題。

2.過程與方法: 使學(xué)生加強(qiáng)了解列一元一次方程解應(yīng)用題的方法步驟。

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀: 通過小組合作，加強(qiáng)同學(xué)們之間的交流以及團(tuán)結(jié)互助的精神。

教學(xué)重點(diǎn)

利用路程、速度、時(shí)間的關(guān)系，根據(jù)相遇及追及問題中的等量關(guān)系，列出一元一次方程。

教學(xué)難點(diǎn)

尋找相遇及追及問題中的等量關(guān)系。教學(xué)過程

一、導(dǎo)入

想一想回答下面的問題：

1、A、B兩車分別從相距S千米的甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，兩車會(huì)相遇嗎？

2、如果兩車相遇，則相遇時(shí)兩車所走的路程與甲、乙兩地的距離有什么關(guān)系？

3、如果兩車同向而行，B車先出發(fā)a小時(shí)，在什么情況下兩車能相遇？為什么？

4、如果A車能追上B車，你能畫出線段圖嗎？

二、例題1

A、B兩車分別?？吭谙嗑?40千米的甲、乙兩地，A車每小時(shí)行50千米，B車每小時(shí)行30千米。若兩車同時(shí)相向而行，請(qǐng)問B車行了多長(zhǎng)時(shí)間后與A車相遇？

三、練習(xí)1（1）挖一條長(zhǎng)2200m 的水渠，由甲、乙兩隊(duì)從兩頭同時(shí)施工。甲隊(duì)每天挖 130m，乙隊(duì)每天挖90m，挖好水渠需要幾天?

（2）A、B兩車分別?？吭谙嗑?15千米的甲、乙兩地，A車每小時(shí)行50千米，B車每小時(shí)行30千米，A車出發(fā)1.5小時(shí)后B車再出發(fā)。

若兩車相向而行，請(qǐng)問B車行了多長(zhǎng)時(shí)間后與A車相遇？

四、例題2

小明每天早上要在7:50之前趕到距離家1000米的學(xué)校上學(xué)，一天，小明以80米/分的速度出發(fā)，5分后，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)他忘了帶語文書，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上他。

（1）爸爸追上小明用了多少時(shí)間？（2）追上小明時(shí)，距離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？

五、練習(xí)2（3）A、B兩車分別?？吭谙嗑?15千米的甲、乙兩地，A車每小時(shí)行50千米，B車每小時(shí)行30千米，A車出發(fā)1.5小時(shí)后B車再出發(fā)。

若兩車同向而行（B車在A車前面），請(qǐng)問B車行了多長(zhǎng)時(shí)間后被A車追上？

（4）小王、叔叔在400米長(zhǎng)的環(huán)形跑道上練習(xí)跑步，小王每秒跑5米，叔叔每秒跑7.5米。（1）若兩人同時(shí)同地反向出發(fā)，多長(zhǎng)時(shí)間兩人首次相遇？（2）若兩人同時(shí)同地同向出發(fā)，多長(zhǎng)時(shí)間兩人首次相遇？

六、歸納總結(jié)

1、如何區(qū)分相遇問題和追及問題？

2、解行程問題有何訣竅？相遇：相等關(guān)系：A車路程+B車路程=相距路程 追及：B車路程=A車先路程+A車后行路程 或B車路程=A車路程+相距路程

3、在列一元一次方程解行程問題時(shí),我們常畫出線段圖來分析數(shù)量關(guān)系。用線段圖來分析數(shù)量關(guān)系能夠幫助我們更好的理解題意，找到適合題意的等量關(guān)系式，設(shè)出適合的未知數(shù),列出方程。正確地作出線段圖分析數(shù)量關(guān)系，能使我們分析問題和解問題的能力得到提高。

七、作業(yè)布置

導(dǎo)學(xué)案106-108練習(xí)。

第三篇：高三物理教案 追及與相遇問題復(fù)習(xí)

高三物理教案 追及與相遇問題復(fù)習(xí)

一、相遇

指兩物體分別從相距x的兩地運(yùn)動(dòng)到同一位置,它的特點(diǎn)是:兩物體運(yùn)動(dòng)的位移的矢量和等于x,分析時(shí)要注意:

⑴、兩物體是否同時(shí)開始運(yùn)動(dòng),兩物體運(yùn)動(dòng)至相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間可建立某種關(guān)系;

⑵、兩物體各做什么形式的運(yùn)動(dòng);

⑶、由兩者的時(shí)間關(guān)系,根據(jù)兩者的運(yùn)動(dòng)形式建立位移的矢量方程。

【例1】1999年5月11日《北京晚報(bào)》報(bào)道了一位青年奮勇接住一個(gè)從15層高樓窗口落下的孩子的事跡。設(shè)每層樓高是2.8m,這位青年所在的地方離高樓的水平距離為12m,這位青年以6m/s的速度勻速?zèng)_到樓窗口下方,請(qǐng)你估算出他要接住小孩至多允許他有的反應(yīng)時(shí)間(反應(yīng)時(shí)間指人從發(fā)現(xiàn)情況到采取相應(yīng)行動(dòng)經(jīng)過的時(shí)間)。(g取10m/s2)【答案】0.8s

【針對(duì)練習(xí)1】一人站在離公路h=50m遠(yuǎn)處,如圖所示,公路上有一輛汽車以v1=10m/s的速度行駛,當(dāng)汽車到A點(diǎn)與在B點(diǎn)的人相距d=200m時(shí),人以v2=3m/s的平均速度奔跑,為了使人跑到公路上恰與汽車相遇,則此人應(yīng)該朝哪個(gè)方向跑?

【答案】此人要朝與AB連線夾角=arcsin(5/6)的方向跑

二、追及

指兩物體同向運(yùn)動(dòng)而達(dá)到同一位置。找出兩者的時(shí)間關(guān)系、位移關(guān)系是解決追及問題的關(guān)鍵,同時(shí)追及物與被追及物的速度恰好相等時(shí)臨界條件,往往是解決問題的重要條件:

(1)類型一:一定能追上類

特點(diǎn):

①追擊者的速度最終能超過被追擊者的速度。

②追上之前有最大距離發(fā)生在兩者速度相等時(shí)。

【例2】一輛汽車在十字路口等綠燈,當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以3m/s2的加速度開使行駛,恰在這時(shí)一輛自行車在汽車前方相距18m的地方以6m/s的速度勻速行駛,則何時(shí)相距最遠(yuǎn)?最遠(yuǎn)間距是多少?何時(shí)相遇?相遇時(shí)汽車速度是多大?

【方法提煉】解決這類追擊問題的思路:

①根據(jù)對(duì)兩物體運(yùn)動(dòng)過程的分析,畫運(yùn)動(dòng)示意圖

②由運(yùn)動(dòng)示意圖中找兩物體間的位移關(guān)系,時(shí)間關(guān)系

③聯(lián)立方程求解,并對(duì)結(jié)果加以驗(yàn)證

【針對(duì)練習(xí)2】一輛執(zhí)勤的警車停在公路邊,當(dāng)警員發(fā)現(xiàn)從他旁邊駛過的貨車(以8m/s的速度勻速行駛)有違章行為時(shí),決定前去追趕,經(jīng)2.5s將警車發(fā)動(dòng)起來,以2m/s2的加速度勻加速追趕。求:①發(fā)現(xiàn)后經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間能追上違章貨車?②追上前,兩車最大間距是多少?

(2)、類型二:不一定能追上類 特點(diǎn):

①被追擊者的速度最終能超過追擊者的速度。

②兩者速度相等時(shí)如果還沒有追上,則追不上,且有最小距離。

【例3】一輛汽車在十字路口等綠燈,當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以3m/s2的加速度開使行駛,恰在這時(shí)一輛自行車在汽車后方相距20m的地方以6m/s的速度勻速行駛,則自行車能否追上汽車?若追不上,兩車間的最小間距是多少?

【針對(duì)練習(xí)3】例3中若汽車在自行車前方4m的地方,則自行車能否追上汽車?若能,兩車經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間相遇?

【答案】能追上。

設(shè)經(jīng)過t追上;則有x汽+x0=x自;

3t2/2+4=6t

得t=(623)/3s,二次相遇

第四篇：一元一次方程應(yīng)用題7相遇,追及問題)

一元一次方程應(yīng)用題7（相遇、追及問題）

執(zhí)筆人：彭再榮

審核人:鄒偉杰

教學(xué)目標(biāo)

1、利用路程、時(shí)間、速度三者之間的關(guān)系，借助化示意圖列一元一次方程解

以現(xiàn)實(shí)為背景的應(yīng)用題。

2、運(yùn)用畫圖直觀分析。探究發(fā)現(xiàn)，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，學(xué)生在輕松愉快的氣氛中掌握知識(shí)。

3、結(jié)合實(shí)際，創(chuàng)造活躍有趣的情景，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓他們?cè)诨顒?dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，樹立學(xué)習(xí)的信心。

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)： 通過分析題意，尋找等量關(guān)系，列方程。難點(diǎn)： 從不同的角度來找等量關(guān)系，列方程。學(xué)法指導(dǎo):自學(xué)啟導(dǎo)法

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)與練習(xí)

1、甲乙兩人從相距10千米的兩地相向而行，甲每小時(shí)走3千米，乙每小時(shí)走2千米，則______小時(shí)后兩人相遇。

2、甲乙兩人從相距10千米的兩地同向而行，甲在后面追乙，甲每小時(shí)走3千米，乙每小時(shí)走2千米，則______小時(shí)后甲追上乙。

二、例題分析

小明每天早上要在7：50之前趕到距家1000米的學(xué)校上學(xué)。一天，小明以80米/分的速度出發(fā)，5分鐘后，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)他 忘了帶語文書，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他。（1）爸爸追上小明用了多長(zhǎng)時(shí)間？

（2）追上小明時(shí)，距離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？

分析： 爸爸追上小明時(shí)，兩人的_________相等，爸爸所用時(shí)間比小明______ 可抓住等量關(guān)系_________ 解：

三、知識(shí)應(yīng)用：列方程解應(yīng)用題

米，兩人同時(shí)登上山頂。甲用多長(zhǎng)時(shí)間登山？這座山有多高？

相等關(guān)系：

1、甲乙兩人登一座山，甲每分鐘登高10米，并且先出發(fā)30分鐘，乙每分鐘登高152、電氣機(jī)車和磁懸浮列車從相距298千米的兩地同時(shí)出發(fā)相對(duì)而行，磁懸浮列車的速度比電氣機(jī)車速度的5倍還快20千米/小時(shí)，半小時(shí)后兩人相遇。兩車的速度各是多少？？

相等關(guān)系：

3、甲列車從A地開往B地，速度是60千米/小時(shí)，乙列車從B地開往A地，速度是90千米/小時(shí)。已知兩地相距300千米，兩車相遇的地方離A地多遠(yuǎn)？ 相等關(guān)系:

四、小結(jié)

相遇問題的相等關(guān)系：甲走路程+乙走路程=全程

追及問題的相等關(guān)系：追及路程=被追及路程+先走路程（相隔距離）

五、5分鐘測(cè)評(píng)

1、甲乙兩人騎自行車，同時(shí)從相距45千米的兩地相向而行，經(jīng)過兩小時(shí)兩人相遇，已知甲與乙每小時(shí)多走2.5千米。求兩人每小時(shí)各走多少千米？ 解：設(shè)乙每小時(shí)走x千米，則甲每小時(shí)走

千米

2、跑得快的馬每天走240里，跑的慢的馬每天走150里，慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？ 解：設(shè)

六、作業(yè)：

1、小兵和小明每天早晨堅(jiān)持跑步，小兵每秒跑4米，小明每秒跑6米。

（1）如果他們站在百米跑道的兩端同時(shí)相向起跑，那么幾秒后兩人相遇？

（2）如果小明站在百米跑道的起點(diǎn)處，小兵站在他前面10米，兩人同時(shí)同向起跑，幾秒后小明追上小兵？

2、運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的跑道一周長(zhǎng)400米，甲練習(xí)騎自行車，平均每分鐘騎350米，乙練習(xí)跑步，每分鐘跑250米，兩人從同一處同時(shí)出發(fā)反向而行，經(jīng)過多少時(shí)間首次相遇？又經(jīng)過多少時(shí)間再次相遇？

七：拓展題

1、一個(gè)自行車隊(duì)進(jìn)行訓(xùn)練，訓(xùn)練時(shí)所有的隊(duì)員都以35千米/小時(shí)的速度前進(jìn)。突然，一號(hào)隊(duì)員以45千米/小時(shí)的速度獨(dú)自行進(jìn)，行進(jìn)10千米后調(diào)轉(zhuǎn)車頭，仍以45千米/小時(shí)的速度往回騎，直到與其它隊(duì)員匯合。一號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)到與其它隊(duì)員匯合，經(jīng)過了多少時(shí)間？

2、A、B兩地相距480千米，一列慢車以60千米/小時(shí)的速度從A地開出，一列快車以65千米/小時(shí)的速度從B地開出.（1）若兩車同時(shí)開出，相向而行，多少時(shí)間相遇？

（2）若慢車先開出1小時(shí)，兩車同向而行，快車開出多少小時(shí)追上慢車?(3)若兩車同時(shí)開出，相背而行，多少時(shí)間后兩車相距620千米？

（4）若慢車先開出1小時(shí)，相向而行，慢車開出多少小時(shí)后兩車相距620千米？

3、甲騎自行車從A地到B地，乙騎自行車從B地到A地，兩人都勻速前進(jìn)。已知兩人在上午8時(shí)同時(shí)出發(fā)，到上午10時(shí)，兩人還相距36千米，到中午12時(shí)，兩人又相距36千米，求A、B兩地間的路程。

八、教學(xué)反思：

第五篇：小學(xué)奧數(shù)3-1-2 相遇與追及問題．教師版

相遇與追及問題

教學(xué)目標(biāo)

1、根據(jù)學(xué)習(xí)的“路程和＝速度和×

時(shí)間”繼續(xù)學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的直線上的相遇與追及問題

2、研究行程中復(fù)雜的相遇與追及問題

3、通過畫圖使較復(fù)雜的問題具體化、形象化，融合多種方法達(dá)到正確理解題目的目的4、培養(yǎng)學(xué)生的解決問題的能力

知識(shí)精講

一、相遇

甲從A地到B地，乙從B地到A地，然后兩人在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是甲和乙一起走了A,B之間這段路程，如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么

相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇時(shí)間+乙的速度×相遇時(shí)間

＝（甲的速度+乙的速度）×相遇時(shí)間

＝速度和×相遇時(shí)間.一般地，相遇問題的關(guān)系式為：速度和×相遇時(shí)間=路程和，即

二、追及

有兩個(gè)人同時(shí)行走，一個(gè)走得快，一個(gè)走得慢，當(dāng)走得慢的在前，走得快的過了一些時(shí)間就能追上他.這就產(chǎn)生了“追及問題”.實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時(shí)間內(nèi)，比走得慢的人多走的路程，也就是要計(jì)算兩人走的路程之差（追及路程）.如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同的時(shí)間（追及時(shí)間）內(nèi)：

追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及時(shí)間-乙的速度×追及時(shí)間

＝（甲的速度-乙的速度）×追及時(shí)間

＝速度差×追及時(shí)間.一般地，追擊問題有這樣的數(shù)量關(guān)系：追及路程=速度差×追及時(shí)間，即

例如：假設(shè)甲乙兩人站在100米的跑道上，甲位于起點(diǎn)(0米)處，乙位于中間5米處，經(jīng)過時(shí)間t后甲乙同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)，甲乙的速度分別為和，那么我們可以看到經(jīng)過時(shí)間t后，甲比乙多跑了5米，或者可以說，在時(shí)間t內(nèi)甲的路程比乙的路程多5米，甲用了時(shí)間t追了乙5米

三、在研究追及和相遇問題時(shí)，一般都隱含以下兩種條件：

(1)在整個(gè)被研究的運(yùn)動(dòng)過程中，2個(gè)物體所運(yùn)行的時(shí)間相同

(2)在整個(gè)運(yùn)行過程中，2個(gè)物體所走的是同一路徑。

例題精講

模塊一、直線上的相遇問題

【例

1】

一輛客車與一輛貨車同時(shí)從甲、乙兩個(gè)城市相對(duì)開出，客車每小時(shí)行46千米，貨車每小時(shí)行48千米。3.5小時(shí)兩車相遇。甲、乙兩個(gè)城市的路程是多少千米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

本題是簡(jiǎn)單的相遇問題，根據(jù)相遇路程等于速度和乘以相遇時(shí)間得到甲乙兩地路程為：（46+48）×3.5=94×3.5=329（千米）．

【答案】329千米

【鞏固】

兩地間的路程有255千米，兩輛汽車同時(shí)從兩地相對(duì)開出，甲車每小時(shí)行45千米，乙車每小時(shí)行40千米。甲、乙兩車相遇時(shí)，各行了多少千米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

根據(jù)相遇公式知道相遇時(shí)間是：255÷（45+40）=255÷85=3（小時(shí)），所以甲走的路程為：45×3=135（千米），乙走的路程為：40×3=120（千米）.【答案】甲走的路程為135千米，乙走的路程為120千米

【鞏固】

聰聰和明明同時(shí)從各自的家相對(duì)出發(fā)，明明每分鐘走20米，聰聰騎著腳踏車每分鐘比明明快42米，經(jīng)過20分鐘后兩人相遇，你知道聰聰家和明明家的距離嗎？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

方法一：由題意知聰聰?shù)乃俣仁牵?米/分)，兩家的距離明明走過的路程聰聰走

過的路程(米)，請(qǐng)教師畫圖幫助學(xué)生理解分析．

注意利用乘法分配律的反向應(yīng)用就可以得到公式：．對(duì)于剛剛學(xué)習(xí)奧數(shù)的孩子，注意引導(dǎo)他們認(rèn)識(shí)、理解及應(yīng)用公式．

方法二：直接利用公式：(米)．

【答案】米

【例

2】

大頭兒子的家距離學(xué)校3000米，小頭爸爸從家去學(xué)校接大頭兒子放學(xué)，大頭兒子從學(xué)?；丶遥麄兺瑫r(shí)出發(fā)，小頭爸爸每分鐘比大頭兒子多走24米，50分鐘后兩人相遇，那么大頭兒子的速度是每分鐘走多少米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

大頭兒子和小頭爸爸的速度和：(米/分鐘)，小頭爸爸的速度：(米/分鐘)，大頭兒子的速度：(米/分鐘)．

【答案】大頭兒子的速度為米/分鐘

【例

3】、兩地相距米，包子從地到地需要秒，菠蘿從地到地需要秒，現(xiàn)在包子和菠蘿從、兩地同時(shí)相對(duì)而行，相遇時(shí)包子與地的距離是多少米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

包子的速度：(米／秒)，菠蘿的速度：(米／秒)，相遇的時(shí)間：(秒)，包子距地的距離：(米)．

【答案】包子距地的距離是米

【鞏固】

甲、乙兩車分別從相距千米的、兩城同時(shí)出發(fā)，相對(duì)而行，已知甲車到達(dá)城需小時(shí)，乙車到達(dá)城需小時(shí)，問：兩車出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間相遇？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

要求兩車的相遇時(shí)間，則必須知道它們各自的速度，甲車的速度是（千米／時(shí)），乙車的速度是（千米／時(shí)），則相遇時(shí)間是（小時(shí)）．

【答案】相遇時(shí)間是小時(shí)

【例

4】

甲、乙兩輛汽車分別從、兩地出發(fā)相對(duì)而行，甲車先行小時(shí)，甲車每小時(shí)行千米，乙車每小時(shí)行千米，小時(shí)相遇，求、兩地間的距離．

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

這題不同的是兩車不“同時(shí)”．

（法）求、兩地間的路程就是求甲、乙兩車所行的路程和．這樣可以充分別求出甲車、乙車所行的路程，再把兩部分合起來．（千米），（千米），（千米）．

（法）還可以先求出甲、乙兩車小時(shí)所行的路程和，再加上甲車小時(shí)所行的路程．

（千米），（千米）．

【答案】千米

【鞏固】

甲、乙兩列火車從相距千米的兩地相向而行，甲車每小時(shí)行千米，乙車每小時(shí)行千米，乙車先出發(fā)小時(shí)后，甲車才出發(fā)．甲車行幾小時(shí)后與乙車相遇？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

甲、乙兩車出發(fā)時(shí)間有先有后，乙車先出發(fā)小時(shí)，這段時(shí)間甲車沒有行駛，那么乙車這小時(shí)所行的路程不是甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行的路程，所以要先求出甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行的時(shí)間．乙車先行駛路程：(千米)，甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行路程：(千米)，甲、乙兩車速度和：(千米／時(shí))，甲車行的時(shí)間：(小時(shí))．

【答案】小時(shí)

【鞏固】

甲、乙兩列火車從相距千米的兩地相向而行，甲車每小時(shí)行千米，乙車每小時(shí)行千米，乙車先出發(fā)小時(shí)后，甲車才出發(fā)．甲車行幾小時(shí)后與乙車相遇？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

甲、乙兩車出發(fā)時(shí)間有先有后，乙車先出發(fā)小時(shí)，這段時(shí)間甲車沒有行駛，那么乙車這小時(shí)所行的路程不是甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行的路程，所以要先求出甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行的時(shí)間．乙車先行駛路程：(千米)，甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行路：(千米)，甲、乙兩車速度和：(千米)，與乙車相遇時(shí)甲車行的時(shí)間為：(小時(shí))．

【答案】小時(shí)

【鞏固】

媽媽從家出發(fā)到學(xué)校去接小紅，媽媽每分鐘走米．媽媽走了分鐘后，小紅從學(xué)校出發(fā)，小紅每分鐘走米．再經(jīng)過分鐘媽媽和小紅相遇．從小紅家到學(xué)校有多少米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

媽媽先走了分鐘，就是先走了（米）．分鐘后媽媽和小紅相遇，也就是說媽媽和小紅共同走了分鐘，這一段的路程為：（米），這樣?jì)寢屜茸叩哪且欢温烦?，加上后來媽媽和小紅走的這一段路程，就是小紅家到學(xué)校的距離．即（米）．

【答案】米

【鞏固】

甲乙兩座城市相距千米，貨車和客車從兩城同時(shí)出發(fā)，相向而行．貨車每小時(shí)行千米，客車每小時(shí)行千米．客車在行駛中因故耽誤小時(shí)，然后繼續(xù)向前行駛與貨車相遇．問相遇時(shí)客車、貨車各行駛多少千米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

因?yàn)榭蛙囋谛旭傊械⒄`小時(shí)，而貨車沒有停止繼續(xù)前行，也就是說，貨車比客車多走小時(shí)．如果從總路程中把貨車單獨(dú)行駛小時(shí)的路程減去，然后根據(jù)余下的就是客車和貨車共同走過的．再求出貨車和客車每小時(shí)所走的速度和，就可以求出相遇時(shí)間．然后根據(jù)路程＝速度×?xí)r間，可以分別求出客車和貨車在相遇時(shí)各自行駛的路程．相遇時(shí)間：（小時(shí)）相遇時(shí)客車行駛的路程:(千米)相遇時(shí)貨車行駛的路程：（千米）．

【答案】千米

【鞏固】

甲、乙兩列火車從相距千米的兩個(gè)城市對(duì)面開來，甲列火車每小時(shí)行千米，乙列火車每小時(shí)行千米，甲列火車先開出小時(shí)后，乙列火車才開出，問乙列火車行幾小時(shí)后與甲列火車相遇？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

(小時(shí))．

【答案】小時(shí)

【例

5】

甲、乙兩輛汽車分別從、兩地出發(fā)相向而行，甲車先行3小時(shí)后乙車從地出發(fā)，乙車出發(fā)小時(shí)后兩車還相距千米．甲車每小時(shí)行千米，乙車每小時(shí)行千米．求、兩地間相距多少千米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

題目中寫的“還”相距千米指的就是最簡(jiǎn)單的情況。畫線段圖如下：

由圖中可以看出，甲行駛了(小時(shí))，行駛距離為：(千米)；乙行駛了小時(shí)，行駛距離為：(千米)，此時(shí)兩車還相距千米，所以、兩地間相距：

(千米)

也可以這樣做：兩車小時(shí)一共行駛：(千米)，、兩地間相距：

(千米)，所以，、兩地間相距千米．

【答案】、兩地間相距千米

【鞏固】

甲、乙兩輛汽車從A、B兩地同時(shí)相向開出，出發(fā)后2小時(shí)，兩車相距141公里；出發(fā)后5小時(shí)，兩車相遇。A、B兩地相距______

公里。

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試

【解析】

5-2=3小時(shí)，兩車合走141千米，速度和=141÷3=47千米/小時(shí)，故AB相距47×5=235千米。

【答案】、兩地間相距235千米

【例

6】

甲、乙二人分別從東、西兩鎮(zhèn)同時(shí)出發(fā)相向而行．出發(fā)小時(shí)后，兩人相距千米；出發(fā)小時(shí)后，兩人還相距千米．問出發(fā)多少小時(shí)后兩人相遇？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

根據(jù)小時(shí)后相距千米，小時(shí)后相距千米，可以求出甲、乙二人小時(shí)行的路程和為千米，即可求出兩人的速度和：（千米），根據(jù)相遇問題的解題規(guī)律；相隔距離÷速度和=相遇時(shí)間，可以求出行千米需要：（小時(shí)）．

【答案】小時(shí)

【例

7】

兩列城鐵從兩城同時(shí)相對(duì)開出，一列城鐵每小時(shí)走千米，另一列城鐵每小時(shí)走千米，在途中每列車先后各停車次，每次停車分鐘，經(jīng)過小時(shí)兩車相遇，求兩城的距離？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

每列車停車時(shí)間：（分）=（小時(shí)），兩列車停車時(shí)間共小時(shí)，共同行駛時(shí)間：小時(shí)，速度和：（千米），兩城距離：（千米）．

【答案】千米

【例

8】

南轅與北轍兩位先生對(duì)于自己的目的地s城的方向各執(zhí)一詞，于是兩人都按照自己的想法駕車同時(shí)分別往南和往北駛?cè)?，二人的速度分別為50千米/時(shí)，60千米/時(shí)，那么北轍先生出發(fā)5小時(shí)他們相距多少千米?．

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

兩人雖然不是相對(duì)而行，但是仍合力完成了路程，（50+60）×5=550（千米）．

【答案】550千米

【鞏固】

南轅與北轍兩位先生對(duì)于自己的目的地城的方向各執(zhí)一詞，于是兩人都按照自己的想法駕車同時(shí)分別往南和往北駛?cè)?，二人的速度分別為千米/時(shí)，千米/時(shí)，那么北轍先生出發(fā)小時(shí)他們相距多少千米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

兩人雖然不是相對(duì)而行，但是仍合力完成了路程，（千米）．

【答案】千米

【鞏固】

兩列火車從相距千米的兩城背向而行，甲列車每小時(shí)行千米，乙列車每小時(shí)行千米，小時(shí)后，甲、乙兩車相距多少千米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

因?yàn)槭潜诚蚨校悦窟^1小時(shí),兩車就多相距(千米),則小時(shí)后兩車相距是：（千米）．

【答案】千米

【鞏固】

兩列火車從相距千米的兩城背向而行，甲列車每小時(shí)行千米，乙列車每小時(shí)行千米，小時(shí)后，甲、乙兩車相距多少千米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

因?yàn)槭潜诚蚨?，所以兩車小時(shí)后的距離是：（千米）。

【答案】千米

【例

9】

兩地相距3300米，甲、乙二人同時(shí)從兩地相對(duì)而行，甲每分鐘行82米，乙每分鐘行83米，已經(jīng)行了15分鐘，還要行多少分鐘兩人可以相遇？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

根據(jù)題意列綜合算式得到：（分鐘），所以兩個(gè)人還需要5分鐘相遇。

【答案】5分鐘

【鞏固】

兩地相距400千米，兩輛汽車同時(shí)從兩地相對(duì)開出，甲車每小時(shí)行40千米，乙車每小時(shí)比甲車多行5千米，4小時(shí)后兩車相遇了嗎？為什么？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

(千米)，(千米)，340千米<400千米，因?yàn)閮绍?小時(shí)共行340千米，所以4小時(shí)后兩車沒有相遇．

【答案】沒有相遇

【鞏固】

孫悟空在花果山，豬八戒在高老莊，花果山和高老莊中間有條流沙河，一天，他們約好在流沙河見面，孫悟空的速度是200千米／小時(shí)．豬八戒的速度是150千米／小時(shí)，他們同時(shí)出發(fā)2小時(shí)后還相距500千米，則花果山和高老莊之間的距離是多少千米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

注意：“還相距”與“相距”的區(qū)別．建議教師畫線段圖．可以先求出2小時(shí)孫悟空和豬八戒走的路程：

(千米)，又因?yàn)檫€差500米，所以花果山和高老莊之間的距離：(千米)．

【答案】千米

【鞏固】

兩列貨車從相距450千米的兩個(gè)城市相向開出，甲貨車每小時(shí)行38千米，乙貨車每小時(shí)行40千米，同時(shí)行駛4小時(shí)后，還相差多少千米沒有相遇？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

所求問題＝全程－小時(shí)行駛的路程和．路程和：（千米），（千米）．

【答案】千米

【鞏固】

甲乙兩人分別以每小時(shí)6千米，每小時(shí)4千米的速度從相距30千米的兩地向?qū)Ψ降某霭l(fā)地前進(jìn)．當(dāng)兩人之間的距離是10千米時(shí)，他們走了___________小時(shí)．

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，一試

【解析】

有兩種情況，一種是甲乙兩人一共走了(千米)，一種是甲乙兩人一共走了(千米)，所以有兩種答案：(小時(shí))或(小時(shí))

【答案】

【鞏固】

一輛公共汽車和一輛小轎車同時(shí)從相距千米的兩地相向而行，公共汽車每小時(shí)行千米，小轎車每小時(shí)行千米，問幾小時(shí)后兩車相距千米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

兩車在相距千米的兩地相向而行，距離逐漸縮短，在相遇前某一時(shí)刻兩車相距千米，這時(shí)兩車共行的路程應(yīng)為（）千米．即(小時(shí))．需要注意的是當(dāng)兩車相遇后繼續(xù)行駛時(shí)，兩車之間的距離又從零逐漸增大，到某一時(shí)刻，兩車再一次相距千米．這時(shí)兩車共行的路程為千米，即（小時(shí))．

【答案】小時(shí)

【鞏固】

兩列火車從相距千米的兩城相向而行，甲列車每小時(shí)行千米，乙列車每小時(shí)行千米，小時(shí)后，甲、乙兩車還相距多少千米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

兩車的相距路程減去小時(shí)兩車共行的路程，就得到了兩車還相距的路程：（千米）．

【答案】千米

【例

10】

甲、乙兩地相距

240

千米，一列慢車從甲地出發(fā)，每小時(shí)行

60千米．同時(shí)一列快車從乙地出發(fā)，每小時(shí)行

90千米．兩車同向行駛，快車在慢車后面，經(jīng)過多少小時(shí)快車可以追上慢車？（火車長(zhǎng)度忽略不計(jì)）

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

追及路程即為兩地距離240千米，速度差（千米），所以追及時(shí)間（小時(shí)）

【答案】小時(shí)

【例

11】

小強(qiáng)每分鐘走米，小季每分鐘走米，兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)背向走了分鐘，小強(qiáng)掉頭去追小季，追上小季時(shí)小強(qiáng)共走了多少米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

小強(qiáng)走的時(shí)間是兩部分，一部分是和小季背向走的時(shí)間，另一部分是小季追他的時(shí)間，要求追及時(shí)間，就要求出他們的路程差．路程差是兩人相背運(yùn)動(dòng)的總路程：(米)追及時(shí)間為：(分鐘)小強(qiáng)走的總路程為：(米)

【答案】米

【例

12】

甲、乙兩輛汽車同時(shí)從地出發(fā)去地，甲車每小時(shí)行千米，乙車每小時(shí)行千米．途中甲車出故障停車修理了小時(shí)，結(jié)果甲車比乙車遲到小時(shí)到達(dá)地．、兩地間的路程是多少？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

由于甲車在途中停車小時(shí)，比乙車遲到小時(shí)，說明行這段路程甲車比乙車少用小時(shí)．可理解成甲車在途中停車小時(shí)，兩車同時(shí)到達(dá)，也就是乙車比甲車先行小時(shí)，兩車同時(shí)到達(dá)地，所以，也可以用追及問題的數(shù)量關(guān)系來解答．即：行這段路程甲車比乙車少用的時(shí)間是：(小時(shí))，乙車小時(shí)行的路程是：(千米)，甲車每小時(shí)比乙車多行的路程是：(千米)，甲車所需的時(shí)間是：(小時(shí))，、兩地間的路程是：(千米)．

【答案】千米

【例

13】

小張和小王早晨8時(shí)整從甲地出發(fā)去乙地，小張開車，速度是每小時(shí)60千米。小王步行，速度為每小時(shí)4千米。如果小張到達(dá)乙地后停留1小時(shí)立即沿原路返回，恰好在10時(shí)整遇到正在前往乙地的小王。那么甲、乙兩地之間的距離是_______千米。

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級(jí)，初試

【解析】

根據(jù)分析得：（千米）.【答案】千米

【例

14】

小明的家住學(xué)校的南邊，小芳的家在學(xué)校的北邊，兩家之間的路程是1410米，每天上學(xué)時(shí)，如果小明比小芳提前3分鐘出發(fā)，兩人可以同時(shí)到校．已知小明的速度是70米/分鐘，小芳的速度是80米/分鐘，求小明家距離學(xué)校有多遠(yuǎn)？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

小明比小芳提前3分鐘出發(fā)，則多走（米）．兩家之間的所剩路程是（米），兩人的速度和是（米），所剩路程需：（分鐘）走完．小明家距離學(xué)校（米）．

【答案】米

【鞏固】

學(xué)校和部隊(duì)駐地相距千米，小宇和小宙由學(xué)校騎車去部隊(duì)駐地，小宇每小時(shí)行千米，小宙每小時(shí)行千米．當(dāng)小宇走了千米后，小宙才出發(fā)．當(dāng)小宙追上小宇時(shí)，距部隊(duì)駐地還有多少千米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

追及時(shí)間為：(小時(shí))，此時(shí)距部隊(duì)駐地還有：(千米)．

【答案】千米

【例

15】

甲、乙兩列火車同時(shí)從地開往地，甲車小時(shí)可以到達(dá)，乙車每小時(shí)比甲車多行千米，比甲車提前小時(shí)到達(dá)．求、兩地間的距離．

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

這道題的路程差比較隱蔽，需要仔細(xì)分析題意，乙到達(dá)時(shí)，甲車離終點(diǎn)還有兩小時(shí)的路程，因此路程差是甲車兩小時(shí)的路程．

方法一：如圖：

甲車小時(shí)可以到達(dá)，乙車比甲車提前小時(shí)到達(dá)，因此，乙車到達(dá)時(shí)用了：(小時(shí))，此時(shí)路程差為：(千米)，此時(shí)路程差就是甲車小時(shí)的路程，所以甲車速度為：(千米/小時(shí))，、兩地間的距離：(千米)

方法二：如圖：

假設(shè)兩車都行了小時(shí)，則甲車剛好到達(dá)，乙車則超出了：(千米)，這段路程正好是乙車小時(shí)走的，因此乙車速度：(千米/小時(shí))，乙車到達(dá)時(shí)用了：(小時(shí))，、兩地間的距離：(千米)

【答案】千米

【例

16】

軍事演習(xí)中，“我”海軍英雄艦追及“敵”軍艦，追到A島時(shí)，“敵”艦已在10分鐘前逃離，“敵”艦每分鐘行駛1000米，“我”海軍英雄艦每分鐘行駛1470米，在距離“敵”艦600米處可開炮射擊，問“我”海軍英雄艦從A島出發(fā)經(jīng)過多少分鐘可射擊敵艦？

【解析】

“我”艦追到A島時(shí)，“敵”艦已逃離10分鐘了，因此，在A島時(shí)，“我”艦與“敵”艦的距離為10000米（=1000×10）.又因?yàn)椤拔摇迸炘诰嚯x“敵”艦600米處即可開炮射擊，即“我”艦只要追上“敵”艦9400（=10000米-600米）即可開炮射擊.所以，在這個(gè)問題中，不妨把9400當(dāng)作路程差，根據(jù)公式求得追及時(shí)間.（1000×10-600）÷（1470-1000）=（10000-600）÷470=9400÷470=20（分鐘），經(jīng)過20分鐘可開炮射擊“敵”艦.【答案】20分鐘

【鞏固】

在一條筆直的高速公路上，前面一輛汽車以千米/小時(shí)的速度行駛，后面一輛汽車以千米/小時(shí)的速度行駛．后面的汽車剎車突然失控，向前沖去(車速不變)．在它鳴笛示警后秒鐘撞上了前面的汽車．在這輛車?guó)Q笛時(shí)兩車相距多少米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【關(guān)鍵詞】走美杯

【解析】

這是一道“追及問題”．根據(jù)追及問題的公式，追及時(shí)間路程差時(shí)間差．由題意知，追及時(shí)間為秒鐘，也就是小時(shí)，兩車相距距離為路程差，速度差為(千米/時(shí))，也就是米/時(shí)，所以路程差為：(米)，所以，在這輛車?guó)Q笛時(shí)兩車相距米．

【答案】米

【例

17】

甲車每小時(shí)行40千米，乙車每小時(shí)行60千米。兩車分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，相遇后3時(shí)，甲車到達(dá)B地。求A，B兩地的距離。

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

相遇后甲行駛了40×3=120千米，即相遇前乙行駛了120千米，說明甲乙二人的相遇時(shí)間是120÷60=2小時(shí)，則兩地相距（40+60）×2=200千米．

【答案】200千米

【鞏固】

甲、乙二人同時(shí)從地去地，甲每分鐘行米，乙每分鐘行米，乙到達(dá)地后立即返回，并與甲相遇，相遇時(shí)，甲還需行分鐘才能到達(dá)地，、兩地相距多少米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

相遇時(shí)甲走了距離減去(米)，乙走了距離加上米，乙比甲多走了米，這個(gè)路程差需要(分鐘)才能達(dá)到，這分鐘兩人一共行走了

米．所以距離為米．

【答案】米

【例

18】

甲乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)相向開出，4小時(shí)后兩車相遇，然后各自繼續(xù)行駛3小時(shí)，此時(shí)甲車距B地10千米，乙車距A地80千米．問：甲車到達(dá)B地時(shí)，乙車還要經(jīng)過多少時(shí)間才能到達(dá)A地?

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

由4時(shí)兩車相遇知，4時(shí)兩車共行A，B間的一個(gè)單程．相遇后又行3時(shí)，剩下的路程之和10＋80＝90（千米）應(yīng)是兩車共行4－3＝1（時(shí)）的路程．所以A，B兩地的距離是（10＋80）÷（4－3）×4＝360（千米）。因?yàn)?時(shí)甲車比乙車共多行80－10＝70（千米），所以甲車每時(shí)比乙車多行

70÷7＝10（千米），又因?yàn)閮绍嚸繒r(shí)共行90千米，所以每時(shí)甲車行

50千米，乙車行40千米．行一個(gè)單程，乙車比甲車多用360÷40－360÷50＝9－7．2＝1．8（時(shí)）＝1時(shí)48分．

【答案】1時(shí)48分

【例

19】

小紅和小強(qiáng)同時(shí)從家里出發(fā)相向而行。小紅每分鐘走52米，小強(qiáng)每分鐘走70米，二人在途中的A處相遇。若小紅提前4分鐘出發(fā)，但速度不變，小強(qiáng)每分鐘走90米，則兩人仍在A處相遇。小紅和小強(qiáng)的家相距多遠(yuǎn)?

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

因?yàn)樾〖t的速度不變，相遇地點(diǎn)不變，所以小紅兩次走的時(shí)間相同，推知小強(qiáng)第二次比第一次少走4分。由（70×4）÷（90-70）=14（分），推知小強(qiáng)第二次走了14分，第一次走了18分，兩人的家相距（52+70）×18=2196（米）．

【答案】2196米

【鞏固】

小明每天早晨按時(shí)從家出發(fā)上學(xué)，李大爺每天早晨也定時(shí)出門散步，兩人相向而行，小明每分鐘行米，李大爺每分鐘行米，他們每天都在同一時(shí)刻相遇．有一天小明提前出門，因此比平時(shí)早分鐘與李大爺相遇，這天小明比平時(shí)提前多少分鐘出門？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

因?yàn)樘崆胺昼娤嘤?，說明李大爺出門時(shí)，小明已經(jīng)比平時(shí)多走了兩人分鐘合走的路，即多走了（米），所以小明比平時(shí)早出門（分）．

【答案】分

【例

20】

小明和小軍分別從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。若兩人按原定速度前進(jìn)，則4時(shí)相遇；若兩人各自都比原定速度多1千米／時(shí)，則3時(shí)相遇。甲、乙兩地相距多少千米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

24千米。每時(shí)多走1千米，兩人3時(shí)共多走6千米，這6千米相當(dāng)于兩人按原定速度1時(shí)走的距離。所以甲、乙兩地相距6×4＝24（千米）。

【答案】24千米

【鞏固】

甲、乙兩車從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。如果甲車提前一段時(shí)間出發(fā)，那么兩車將提前30分相遇。已知甲車速度是60千米／時(shí)，乙車速度是40千米／時(shí)。問：甲車提前了多少分出發(fā)？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

50分。因?yàn)樘崆?0分相遇，甲車應(yīng)提前走了(千米)，所以甲車提前出發(fā)（時(shí)）

【答案】50分

【例

21】

甲、乙兩人分別從相距260千米的A、B兩地同時(shí)沿筆直的公路乘車相向而行，各自前往B地、A地。甲每小時(shí)行32千米，乙每小時(shí)行48千米。甲、乙各有一個(gè)對(duì)講機(jī)，當(dāng)他們之間的距離小于20千米時(shí)，兩人可用對(duì)講機(jī)聯(lián)絡(luò)。問：

(1)兩人出發(fā)后多久可以開始用對(duì)講機(jī)聯(lián)絡(luò)?

(2)他們用對(duì)講機(jī)聯(lián)絡(luò)后，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間相遇?

(3)他們可用對(duì)講機(jī)聯(lián)絡(luò)多長(zhǎng)時(shí)間?

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試

【解析】

(1)(260-20)÷(32+48)=3(小時(shí))。

(2)20÷(32+48)=0.25(小時(shí))。

(3)從甲、乙相遇到他們第二次相距20千米也用0.25小時(shí)．所以他們一共可用對(duì)講機(jī)聯(lián)絡(luò)

0.25+0.25=0.5(小時(shí))。

【答案】(1)

3小時(shí)

(2)

0.25小時(shí)

(3)

0.5小時(shí)

模塊二、直線上的追及問題

【例

22】

小明步行上學(xué)，每分鐘行70米．離家12分鐘后，爸爸發(fā)現(xiàn)小明的明具盒忘在家中，爸爸帶著明具盒，立即騎自行車以每分鐘280米的速度去追小明．問爸爸出發(fā)幾分鐘后追上小明？當(dāng)爸爸追上小明時(shí)他們離家多遠(yuǎn)？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

當(dāng)爸爸開始追小明時(shí)，小明已經(jīng)離家：(米)，即爸爸要追及的路程為840米,也就是爸爸與小明的距離是840米，我們把這個(gè)距離叫做“路程差”，爸爸出發(fā)后，兩人同時(shí)走，每過1分，他們之間的距離就縮短(米)，也就是爸爸與小明的速度差為

(米/分),爸爸追及的時(shí)間：(分鐘)．當(dāng)爸爸追上小明時(shí)，小明已經(jīng)出發(fā)(分鐘)，此時(shí)離家的距離是：(米)

【答案】米

【鞏固】

哥哥和弟弟在同一所學(xué)校讀書．哥哥每分鐘走65米，弟弟每分鐘走40米，有一天弟弟先走5分鐘后，哥哥才從家出發(fā)，當(dāng)?shù)艿艿竭_(dá)學(xué)校時(shí)哥哥正好追上弟弟也到達(dá)學(xué)校，問他們家離學(xué)校有多遠(yuǎn)?

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

哥哥出發(fā)的時(shí)候弟弟走了：（米），哥哥追弟弟的追及時(shí)間為：（分鐘），所以家離學(xué)校的距離為：（米）.【答案】米

【鞏固】

小明以每分鐘50米的速度從學(xué)校步行回家，12分鐘后小強(qiáng)從學(xué)校出發(fā)騎自行車去追小明，結(jié)果在距學(xué)校1000米處追上小明，求小強(qiáng)騎自行車的速度.【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

小強(qiáng)出發(fā)的時(shí)候小明走了（米），被小強(qiáng)追上時(shí)小明又走了：（分鐘），說明小強(qiáng)8分鐘走了1000米，所以小強(qiáng)的速度為：（米/分鐘）.【答案】米/分鐘

【鞏固】

小聰和小明從學(xué)校到相距米的電影院去看電影．小聰每分鐘行米，他出發(fā)后分鐘小明才出發(fā)，結(jié)果倆人同時(shí)到達(dá)影院，小明每分鐘行多少米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

要求小明每分鐘走多少米，就要先求小明所走的路程(已知)和小明所用的時(shí)間；要求小明所用的時(shí)間，就要先求小聰所用的時(shí)間，小聰所用的時(shí)間是：(分鐘)，小明所用的時(shí)間是：(分鐘)，小明每分鐘走的米數(shù)是：(米)．

【答案】米

【鞏固】

一輛慢車從甲地開往乙地，每小時(shí)行千米，開出小時(shí)后，一輛快車以每小時(shí)千米的速度也從甲地開往乙地．在甲乙兩地的中點(diǎn)處快車追上慢車，甲乙兩地相距多少千米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

慢車先行的路程是：(千米)，快車每小時(shí)追上慢車的千米數(shù)是：(千米)，追及的時(shí)間是：(小時(shí))，快車行至中點(diǎn)所行的路程是：(千米)，甲乙兩地間的路程是：(千米)．

【答案】千米

【鞏固】

六年級(jí)同學(xué)從學(xué)校出發(fā)到公園春游，每分鐘走米，分鐘以后，學(xué)校有急事要通知學(xué)生，派李老師騎自行車從學(xué)校出發(fā)分鐘追上同學(xué)們，李老師每分鐘要行多少米才可以準(zhǔn)時(shí)追上同學(xué)們？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

同學(xué)們分鐘走（米），即路程差．然后根據(jù)速度差＝路程差÷追及時(shí)間，可以求出李老師和同學(xué)們的速度差，又知道同學(xué)們的速度是每分鐘米，就可以得出李老師的速度．即（米）．

【答案】米

【例

23】

下午放學(xué)時(shí)，弟弟以每分鐘40米的速度步行回家.5分鐘后，哥哥以每分鐘60米的速度也從學(xué)校步行回家，哥哥出發(fā)后，經(jīng)過幾分鐘可以追上弟弟？（假定從學(xué)校到家有足夠遠(yuǎn)，即哥哥追上弟弟時(shí)，仍沒有回到家）.【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

若經(jīng)過5分鐘，弟弟已到了A地，此時(shí)弟弟已走了40×5=200（米）；哥哥每分鐘比弟弟多走20米，幾分鐘可以追上這200米呢？40×5÷（60-40）=200÷20=10（分鐘），哥哥10分鐘可以追上弟弟.【答案】10分鐘

【鞏固】

甲、乙二人都要從北京去天津，甲行駛10千米后乙才開始出發(fā)，甲每小時(shí)行駛15千米，乙每小時(shí)行駛10千米，問：乙經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間能追上甲？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

出發(fā)時(shí)甲、乙二人相距10千米，以后兩人的距離每小時(shí)都縮短15-10＝5（千米），即兩人的速度的差（簡(jiǎn)稱速度差），所以10千米里有幾個(gè)5千米就是幾小時(shí)能追上.10÷（15-10）＝10÷5＝2（小時(shí)），還需要2個(gè)小時(shí)。

【答案】2個(gè)小時(shí)

【鞏固】

解放軍某部先遣隊(duì)，從營(yíng)地出發(fā)，以每小時(shí)6千米的速度向某地前進(jìn)，12小時(shí)后，部隊(duì)有急事，派通訊員騎摩托車以每小時(shí)78千米的速度前去聯(lián)絡(luò)，問多少時(shí)間后，通訊員能趕上先遣隊(duì)？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

(小時(shí))．

【答案】小時(shí)

【鞏固】

甲地和乙地相距千米，平平和兵兵由甲地騎車去乙地，平平每小時(shí)行千米，兵兵每小時(shí)行千米，當(dāng)平平走了千米后，兵兵才出發(fā)，當(dāng)兵兵追上平平時(shí)，距乙地還有多少千米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

平平走了千米后，兵兵才出發(fā)，這千米就是平平和兵兵相距的路程．由于兵兵每小時(shí)比平平多走(千米)，要求兵兵幾小時(shí)可以追上千米，也就是求千米里包含著幾個(gè)千米，用(小時(shí))．因?yàn)榧椎睾鸵业叵嗑嗲?，兵兵每小時(shí)行千米，小時(shí)走了(千米)，所以兵兵追上平平時(shí)，距乙地還有(千米)

【答案】千米

【例

24】

甲、乙兩架飛機(jī)同時(shí)從一個(gè)機(jī)場(chǎng)起飛，向同一方向飛行，甲機(jī)每小時(shí)行千米，乙機(jī)每小時(shí)行千米，飛行小時(shí)后它們相隔多少千米？這時(shí)候甲機(jī)提高速度用小時(shí)追上乙機(jī)，甲機(jī)每小時(shí)要飛行多少千米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

①小時(shí)后相差多少千米：（千米）．②甲機(jī)提高速度后每小時(shí)飛行多少千米：（千米）．

【答案】千米

【例

25】

王芳和李華放學(xué)后，一起步行去體校參加排球訓(xùn)練，王芳每分鐘走米，李華每分鐘走米，出發(fā)分鐘后，王芳返回學(xué)校取運(yùn)動(dòng)服，在學(xué)校又耽誤了分鐘，然后追趕李華．求多少分鐘后追上李華？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

已知二人出發(fā)分鐘后，王芳返回學(xué)校取運(yùn)動(dòng)服，這樣用去了分鐘，在學(xué)校又耽誤了分鐘，王芳一共耽誤了(分鐘)．李華在這段時(shí)間比王芳多走：(米)，速度差為：(米/秒)，王芳追上李華的時(shí)間是：(分鐘)

【答案】分鐘

【鞏固】

小王、小李共同整理報(bào)紙，小王每分鐘整理份，小李每分鐘整理份，小王遲到了分鐘，當(dāng)小王、小李整理同樣多份的報(bào)紙時(shí)，正好完成了這批任務(wù)．一共有多少份報(bào)紙？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

本題可用追及問題思路解題，類比如下：路程差：小王遲到分鐘這段時(shí)間，小李整理報(bào)紙的份數(shù)（份），速度差：（份/分鐘）．此時(shí)可求兩人整理同樣多份報(bào)紙時(shí)，小王所用時(shí)間，即追及時(shí)間是（分鐘）．共整理報(bào)紙：（份）

【答案】份

【鞏固】

甲、乙兩車同時(shí)從地向地開出，甲每小時(shí)行千米，乙每小時(shí)行千米，開出小時(shí)后，甲車因有緊急任務(wù)返回地；到達(dá)地后又立即向地開出追乙車，當(dāng)甲車追上乙車時(shí)，兩車正好都到達(dá)地，求、兩地的路程．

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

根據(jù)題意畫出線段圖：

從圖中可以看出，當(dāng)甲開始追乙的時(shí)候兩車的路程差正好是乙車已經(jīng)行駛的小時(shí)的路程，那么根據(jù)追及路程和速度差可以求出追及時(shí)間，而追及時(shí)間正好是甲車從地到地所用的時(shí)間，由此可以求出、兩地的路程,追及路程為：(千米),追及時(shí)間為：(小時(shí)),、兩地的路程為：(千米).【答案】千米

【鞏固】

小李騎自行車每小時(shí)行千米，小王騎自行車每小時(shí)行千米．小李出發(fā)后小時(shí)，小王在小李的出發(fā)地點(diǎn)前面千米處出發(fā)，小李幾小時(shí)可以追上小王？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

小李小時(shí)走：（千米），又知小王在小李的出發(fā)地點(diǎn)前面千米處出發(fā)，則知道兩人的路程差是（千米）．每小時(shí)小王追上小李（千米），則千米里面有幾個(gè)千米，則追及時(shí)間就是幾小時(shí)，即：（小時(shí)）．

【答案】小時(shí)

【例

1】

甲、乙兩車同時(shí)從A城市出發(fā)駛向距離300千米遠(yuǎn)的B城市．已知甲車比乙車晚出發(fā)1個(gè)小時(shí)，但提前1個(gè)小時(shí)到達(dá)B城市．那么，甲車在距離B城市________千米處追上乙車．

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵詞】迎春杯，五年級(jí)，初試

【解析】

根據(jù)題意，甲車比乙車晚出發(fā)１個(gè)小時(shí)，結(jié)果還比乙提前１個(gè)小時(shí)到達(dá)，則在行駛３００千米的時(shí)間內(nèi)，甲比乙多行了乙２個(gè)小時(shí)的路程；現(xiàn)在，甲要比乙多行乙１個(gè)小時(shí)的路程，甲只需行駛３００÷２＝１５０千米。

【答案】１５０千米

【例

26】

兩地相距米，甲、乙二人同時(shí)、同地向同一方向行走，甲每分鐘走米，乙每分鐘走米，當(dāng)乙到達(dá)目標(biāo)后，立即返回，與甲相遇，從出發(fā)到相遇共經(jīng)過多少分鐘？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

甲、乙二人開始是同向行走，乙走得快，先到達(dá)目標(biāo)．當(dāng)乙返回時(shí)運(yùn)動(dòng)的方向變成了同時(shí)相對(duì)而行，把相同方向行走時(shí)乙用的時(shí)間和返回時(shí)相對(duì)而行的時(shí)間相加，就是共同經(jīng)過的時(shí)

乙到達(dá)目標(biāo)時(shí)所用時(shí)間：(分鐘)，甲分鐘走的路程：(米)，甲距目標(biāo)還有：(米)，相遇時(shí)間：(分鐘)，共用時(shí)間：(分鐘)．

【答案】分鐘

【鞏固】

八戒和悟空兩家相距千米，兩人同時(shí)騎車，從家出發(fā)相對(duì)而行，悟空每小時(shí)行千米，八戒每小時(shí)行千米．兩人相遇時(shí)，悟空和八戒各行了多少千米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

要求他們各行了多少千米，那么就必須知道他們行駛的時(shí)間：（小時(shí)）．悟空：（千米），八戒：（千米）．

【答案】千米

【例

27】

龜、兔進(jìn)行1000米的賽跑．小兔斜眼瞅瞅?yàn)觚?，心想：“我小兔每分鐘能?00米，而你烏龜每分鐘只能跑10米，哪是我的對(duì)手．”比賽開始后，當(dāng)小兔跑到全程的一半時(shí)，發(fā)現(xiàn)把烏龜甩得老遠(yuǎn)，便毫不介意地躺在旁邊睡著了．當(dāng)烏龜跑到距終點(diǎn)還有40米時(shí)，小兔醒了，拔腿就跑．請(qǐng)同學(xué)們解答兩個(gè)問題：

它們誰勝利了？為什么？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

⑴

烏龜勝利了．因?yàn)橥米有褋頃r(shí)，烏龜離終點(diǎn)只有40米，烏龜需要(分鐘)就能到達(dá)終點(diǎn)，而兔子離終點(diǎn)還有500米，需要(分鐘)才能到達(dá)，所以烏龜勝利了．

⑵

烏龜跑到終點(diǎn)還要(分鐘)，而小兔跑到終點(diǎn)還要(分鐘)，慢1分鐘．當(dāng)勝利者烏龜跑到終點(diǎn)時(shí)，小兔離終點(diǎn)還有：(米)．

【答案】米

【鞏固】

上一次龜兔賽跑兔子輸?shù)煤懿环?，于是向?yàn)觚斣俅蜗聭?zhàn)書，比賽之前，為了表示它的大度，它讓烏龜先跑10分鐘，但是兔子不知道烏龜經(jīng)過鍛煉，速度已經(jīng)提高到5倍，那么這一次誰將獲得勝利呢？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

由烏龜速度提高到5倍，可知烏龜現(xiàn)在的速度為(米/分)，烏龜先跑10分鐘，即兔子開始跑時(shí)，烏龜已經(jīng)跑了(米)，還剩(米)，需要(分鐘)就可以到達(dá)終點(diǎn)，而兔子到達(dá)終點(diǎn)需要的時(shí)間是：(分鐘)，所以，兔子和烏龜同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)．

【答案】分鐘

【例

28】

甲、乙兩車分別從、兩地出發(fā)，同向而行，乙車在前，甲車在后．已知甲車比乙車提前出發(fā)小時(shí)，甲車的速度是千米/小時(shí)，乙車每小時(shí)行千米．甲車出發(fā)小時(shí)后追上乙車，求、兩地間的距離．

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

由已知可求出甲、乙兩車的追及時(shí)間，利用追及問題的公式求解．追及時(shí)間為：(小時(shí)),追及路程為：(千米),、兩地間的距離為：(千米)

【答案】千米

【鞏固】

一輛汽車和一輛摩托車同時(shí)從甲、乙兩地出發(fā)，向同一個(gè)方向前進(jìn)，摩托車在前，每小時(shí)行千米，汽車在后，每小時(shí)行千米，經(jīng)過小時(shí)汽車追上摩托車，甲乙兩地相距多少千米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

方法一：根據(jù)題意，畫出線段示意圖：

從圖中可知，甲、乙兩地間的距離就是汽車與摩托車所行的路程差．先求出汽車追上摩托車時(shí)，兩車分別行駛的路程，再求出兩地的路程，即(千米)方法二：先求出汽車每小時(shí)比摩托車多行駛的路程(速度差)，再求出兩地相距的路程，即：(千米)

【答案】千米

【例

29】

小紅和小藍(lán)練習(xí)跑步，若小紅讓小藍(lán)先跑20米，則小紅跑5秒鐘就可追上小藍(lán)；若小紅讓小藍(lán)先跑4秒鐘，則小紅跑6秒鐘就能追上小藍(lán)．小紅、小藍(lán)二人的速度各是多少？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

小紅讓小藍(lán)先跑20米，則20米就是小紅、小藍(lán)二人的路程差，小紅跑5秒鐘追上小藍(lán)，5秒就是追及時(shí)間，據(jù)此可求出他們的速度差為(米/秒)；若小紅讓小藍(lán)先跑4秒，則小紅6秒可追上小藍(lán)，在這個(gè)過程中，追及時(shí)間為6秒，根據(jù)上一個(gè)條件，由追及差和追及時(shí)間可求出在這個(gè)過程中的路程差，這個(gè)路程差即是小藍(lán)4秒鐘所行的路程，路程差就等于(米)，也即小藍(lán)在4秒內(nèi)跑了24米，所以可求出小藍(lán)的速度，也可求出小紅的速度．綜合列式計(jì)算如下：小藍(lán)的速度為：(米/秒)，小紅的速度為：(米/秒)

【答案】小藍(lán)的速度為米/秒，小紅的速度為米/秒

【鞏固】

甲、乙二人練習(xí)跑步，若甲讓乙先跑10米，則甲跑5秒鐘可追上乙；若甲讓乙先跑2秒鐘，則甲跑4秒鐘就能追上乙．問：甲、乙二人的速度各是多少？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

若甲讓乙先跑10米，則10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及時(shí)間，據(jù)此可求出他們的速度差為(米/秒)；若甲讓乙先跑2秒，則甲跑4秒可追上乙，在這個(gè)過程中，追及時(shí)間為4秒，因此路程差就等于(米)，也即乙在2秒內(nèi)跑了8米，所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度．綜合列式計(jì)算如下：乙的速度為：(米/秒)，甲的速度為：(米/秒)

【答案】米/秒

【鞏固】

甲、乙二人沿著同一條米的跑道賽跑，甲由起跑線上起跑，乙在甲后米處起跑，當(dāng)甲離終點(diǎn)還有米時(shí)，乙追上甲，那么當(dāng)乙跑到終點(diǎn)時(shí)，甲離終點(diǎn)還有多少米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

甲、乙兩人的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，所以，甲的路程甲的速度乙的路程乙的速度，而甲、乙的速度都不變，所以，乙的路程變?yōu)樵瓉淼膸妆?，甲的路程也變?yōu)樵瓉淼膸妆?/p>

由圖可知，甲跑(米)，乙跑(米)，所以當(dāng)乙跑(米)時(shí)，甲跑：(米)，即當(dāng)乙跑到終點(diǎn)時(shí)，甲離終點(diǎn)還有(米)

【答案】米

【例

30】

甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地沿相同的方向行駛。甲車如果每小時(shí)行駛60千米，則5小時(shí)可追上前方的乙車；如果每小時(shí)行駛70千米，則3小時(shí)可追上前方的乙車。由上可知，乙車每小時(shí)行駛_____千米(假設(shè)乙車的行駛速度保持不變)。

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試

【解析】

利用追及路程一樣有，5×(60-乙速)=3×(70-乙速)，解得乙速=45千米/小時(shí)

【答案】45千米/小時(shí)

【例

31】

劉老師騎電動(dòng)車從學(xué)校到韓丁家家訪，以10千米/時(shí)的速度行進(jìn)，下午1點(diǎn)到；以15千米/時(shí)的速度行進(jìn)，上午11點(diǎn)到.如果希望中午12點(diǎn)到，那么應(yīng)以怎樣的速度行進(jìn)？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

這道題沒有出發(fā)時(shí)間，沒有學(xué)校到韓丁家的距離，也就是說既沒有時(shí)間又沒有路程，似乎無法求速度.這就需要通過已知條件，求出時(shí)間和路程.假設(shè)有A，B兩人同時(shí)從學(xué)校出發(fā)到韓丁家，A每小時(shí)行10千米，下午1點(diǎn)到；B每小時(shí)行15千米，上午11點(diǎn)到.B到韓丁家時(shí)，A距韓丁家還有10×2=20（千米），這20千米是B從學(xué)校到韓丁家這段時(shí)間B比A多行的路程.因?yàn)锽比A每小時(shí)多行15-10=5（千米），所以B從學(xué)校到韓丁家所用的時(shí)間是20÷（15-10）=4（時(shí)）.由此知，A，B是上午7點(diǎn)出發(fā)的，學(xué)校離韓丁家的距離是15×4=60（千米）.劉老師要想中午12點(diǎn)到，即想（12-7=）5時(shí)行60千米，劉老師騎車的速度應(yīng)為60÷（12-7）=12（千米/時(shí)）．

【答案】12千米/時(shí)

【鞏固】

王新從教室去圖書館還書，如果每分鐘走70米，能在圖書館閉館前2分鐘到達(dá)，如果每分鐘走50米，就要超過閉館時(shí)間2分鐘，求教室到圖書館的路程有多遠(yuǎn)？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

設(shè)從教室去圖書館閉館時(shí)所用時(shí)間是x分鐘

（米）

答：教室到圖書館的路程有700米．

【答案】700米

【例

32】

甲、乙二人分別從山頂和山腳同時(shí)出發(fā)，沿同一山道行進(jìn)。兩人的上山速度都是米/分，下山的速度都是米/分。甲到達(dá)山腳立即返回，乙到達(dá)山頂休息分鐘后返回，兩人在距山頂米處再次相遇。山道長(zhǎng)

米。

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵詞】第六屆，走美杯，決賽

【解析】

甲、乙兩人相遇后如果甲繼續(xù)行走（分鐘）后可以返回山頂，如果乙不休息，那么這個(gè)時(shí)候乙應(yīng)該到達(dá)山腳，所以這個(gè)時(shí)候乙還需要分鐘到達(dá)山腳，也就是距離山腳還有（米），所以山頂?shù)缴侥_的距離為（米）。

【答案】米

【鞏固】

小張和小王早晨點(diǎn)整同時(shí)從甲地出發(fā)去乙地，小張開車，速度是每小時(shí)千米．小王步行，速度為每小時(shí)千米．如果小張到達(dá)乙地后停留小時(shí)立即沿原路返回，恰好在點(diǎn)整遇到正在前往乙地的小王．那么甲、乙兩地之間的距離是

千米．

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】北京市，迎春杯

【解析】

因?yàn)樾埡托⊥跸嘤鰰r(shí)恰好經(jīng)過了兩個(gè)甲地到乙地的距離，而這個(gè)過程中小張開車個(gè)小時(shí)，小王步行個(gè)小時(shí)，他們一共所走的路程是：(千米)，所以甲、乙兩地之間的距離是：(千米)．

【答案】千米

【例

33】

如下圖，某城市東西路與南北路交會(huì)于路口．甲在路口南邊560米的點(diǎn)，乙在路口．甲向北，乙向東同時(shí)勻速行走．4分鐘后二人距的距離相等．再繼續(xù)行走24分鐘后，二人距的距離恰又相等．問：甲、乙二人的速度各是多少？

1.【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵詞】明心奧數(shù)挑戰(zhàn)賽

【解析】

本題總共有兩次距離相等，第一次：甲到的距離正好就是乙從出發(fā)走的路程．那么甲、乙兩人共走了560米，走了4分鐘，兩人的速度和為：

(米/分)。第二次：兩人距的距離又相等，只能是甲、乙走過了點(diǎn)，且在點(diǎn)以北走的路程乙走的總路程．那么，從第二次甲比乙共多走了560米，共走了(分鐘)，兩人的速度差：(米/分)，甲速乙速，顯然甲速要比乙速要快；甲速乙速，解這個(gè)和差問題，甲速(米/分)，乙速(米/分)．

【答案】甲速米/分，乙速米/分

【例

34】

早晨，小張騎車從甲地出發(fā)去乙地．下午1點(diǎn)，小王開車也從甲地出發(fā)，前往乙地．下午2點(diǎn)時(shí)兩人之間的距離是15千米．下午3點(diǎn)時(shí)，兩人之間的距離還是15千米．下午4點(diǎn)時(shí)小王到達(dá)乙地，晚上7點(diǎn)小張到達(dá)乙地．小張是早晨_________出發(fā)．

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】走美杯，初賽

【解析】

由“下午2點(diǎn)時(shí)兩人之間的距離是l5千米．下午3點(diǎn)時(shí)，兩人之間的距離還是l5千米”可知：兩人的速度差是每小時(shí)30千米，由3點(diǎn)開始計(jì)算，我們知：小王再有一小時(shí)就可走完全程，在這一小時(shí)當(dāng)中，小王比小張多走30千米，那小張3小時(shí)多走千米，故小張的速度是15千米/小時(shí)，小王的速度是45千米/小時(shí)．全程是(千米)，(小時(shí))，即上午10點(diǎn)出發(fā)．

【答案】10點(diǎn)

【例

35】

甲、乙二人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，如果兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；如果兩人相向而行，6分鐘可相遇，又已知乙每分鐘行50米，求A、B兩地的距離.【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

先畫圖如下：

若設(shè)甲、乙二人相遇地點(diǎn)為C，甲追及乙的地點(diǎn)為D，則由題意可知甲從A到C用6分鐘.而從A到D則用26分鐘，因此，甲走C到D之間的路程時(shí)，所用時(shí)間應(yīng)為：（26-6）=20（分）。同時(shí)，由上圖可知，C、D間的路程等于BC加BD.即等于乙在6分鐘內(nèi)所走的路程與在26分鐘內(nèi)所走的路程之和，為50×（26＋6）=1600（米）.所以，甲的速度為1600÷20＝80（米/分），由此可求出A、B間的距離。50×（26+6）÷（26-6）=50×32÷20＝80（米/分），（80+50）×6＝130×6=780（米）

【答案】780米

【鞏固】

小葉子上學(xué)時(shí)騎車，回家時(shí)步行，路上共用分鐘，如果往返都步行，則全程需要分鐘，求往返都騎車所需的時(shí)間是多少？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

一個(gè)單程步行比騎車多用（分鐘），騎車單程（分鐘），往返騎車的時(shí)間（分鐘）．

【答案】分鐘

【例

36】

從甲城到乙城的鐵路線上每隔10千米有一個(gè)小車站。一列慢車上午9點(diǎn)以45千米／時(shí)的速度由甲城開往乙城，另一列快車上午9點(diǎn)30分以60千米／時(shí)的速度也由甲城開往乙城。鐵路部門規(guī)定，同方向前進(jìn)的兩列火車之間相距不能少于8千米。問：這列慢車最遲應(yīng)該在距甲城多遠(yuǎn)的小車站停車讓快車超過？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

60千米。解：快車距離慢車8千米需要(時(shí))。此時(shí)慢車距甲城（千米）。所以慢車應(yīng)在距甲城60千米的小車站停車。

【答案】60千米

模塊三、終（中）點(diǎn)問題

【例

37】

夏夏和冬冬同時(shí)從兩地相向而行，夏夏每分鐘行50米，冬冬每分鐘行60米，兩人在距兩地中點(diǎn)50米處相遇，求兩地的距離是多少米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

根據(jù)題意，畫線段圖如下：

從圖中可以看出(可讓學(xué)生先判斷相遇點(diǎn)在中點(diǎn)哪一側(cè)，為什么？)，因?yàn)橄南牡乃俣缺榷?，所以相遇點(diǎn)一定在中點(diǎn)偏向夏夏的這一邊50米，由圖可以得出：夏夏所行路程全程一半50米，冬冬所行路程全程一半米

；所以兩人相遇時(shí)，冬冬比夏夏多走了(米)，冬冬比夏夏每分鐘多走10米，所以兩人從出發(fā)到相遇共走了10分鐘，兩地的距離：(米)．

【答案】米

【鞏固】

甲、乙兩車同時(shí)從A，B兩地相向而行，它們相遇時(shí)距A，B兩地中心處8千米，已知甲車速度是乙車的1.2倍，求A，B兩地的距離。

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

176千米。提示：甲、乙的速度比為，相遇時(shí)甲走了全程的。

【答案】176千米

【鞏固】

甲乙二人同時(shí)分別自A、B兩地出發(fā)相向而行，相遇之地距A、B中點(diǎn)300米，已知甲每分鐘行100米，乙每分鐘行70米，求A地至B地的距離.【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

相遇時(shí)甲比乙多行（米），相遇時(shí)共用了（分），A、B兩地之間的距離為（米）.【答案】米

【鞏固】

王老師從甲地到乙地，每小時(shí)步行5千米，張老師從乙地到甲地，每小時(shí)步行4千米．兩人同時(shí)出發(fā)，然后在離甲、乙兩地的中點(diǎn)1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離．

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

畫一張示意圖(可讓學(xué)生先判斷相遇點(diǎn)在中點(diǎn)哪一側(cè)，為什么？)

離中點(diǎn)1千米的地方是點(diǎn)，從圖上可以看出，王老師走了兩地距離的一半多1千米，張老師走了兩地距離的一半少1千米．從出發(fā)到相遇，王老師比張老師多走了2千米，王老師比張老師每小時(shí)多走千米，從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間是(小時(shí))。因此，甲、乙兩地的距離是(千米)．

【答案】千米

【鞏固】

蠟筆小新從家出發(fā)去超市找媽媽，小新媽媽從超市回家，他們同時(shí)出發(fā)，小新每分鐘走米，小新媽媽每分鐘走米，他們?cè)陔x中點(diǎn)米的地方相遇了，求小新家到超市的距離是多少米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

路程差：(米)，速度差：(米／分鐘)，相遇所用的時(shí)間：(分鐘)，家到超市的距離：(米)．

【答案】米

【鞏固】

李明和王亮同時(shí)分別從兩地騎車相向而行，李明每小時(shí)行千米，王亮每小時(shí)行千米，兩人相遇時(shí)距全程中點(diǎn)千米．問全程長(zhǎng)多少千米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

李明走了全程的一半多千米，王亮走了全程的一半少千米，李明比王亮實(shí)際多走了(千米)．由已知李明每小時(shí)比王亮多走(千米)，李明比王亮多行千米需要(小時(shí))，這就是兩人的相遇時(shí)間，有了相遇時(shí)間，全程是：(千米)．

【答案】千米

【鞏固】

樹葉和月亮同時(shí)分別從兩地騎車相向而行，樹葉每小時(shí)行千米，月亮每小時(shí)行千米，兩人相遇時(shí)距全程中點(diǎn)千米．問全程長(zhǎng)多少千米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

樹葉走了全程的一半多千米，月亮走了全程的一半少千米，樹葉比月亮實(shí)際多走了(千米)．已知樹葉每小時(shí)比月亮多走(千米)，那么樹葉比月亮多行千米需要(小時(shí))，這就是兩人的相遇時(shí)間，有了相遇時(shí)間，全程就容易求了．全程：(千米)．

【答案】千米

【鞏固】

夏夏和冬冬同時(shí)從兩地相向而行，兩地相距1100米，夏夏每分鐘行50米，冬冬每分鐘行60米，問兩人在距兩地中點(diǎn)多遠(yuǎn)處相遇？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

兩個(gè)人的相遇時(shí)間為：（分鐘），所以相遇時(shí)東東走了：（米），兩個(gè)人距離中點(diǎn)距離為：（米）

【答案】米

【例

38】

甲、乙兩人同時(shí)從兩地相向而行．甲每小時(shí)行千米，乙每小時(shí)行千米．兩人相遇時(shí)乙比甲少行千米．兩地相距多少千米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

乙每小時(shí)比甲少行：(千米)，由題意知，“兩人相遇時(shí)乙比甲少行千米”，說明兩人行駛的時(shí)間為：(小時(shí))，已知速度和與相遇時(shí)間，可求路程．兩地相距為：(千米)．

【答案】千米

【例

39】

小新和正南二人同時(shí)從學(xué)校和家出發(fā)，相向而行，小新騎車他的三輪車每分鐘行100米，5分鐘后小新已超過中點(diǎn)50米，這時(shí)二人還相距30米，正南每分鐘行多少米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

5分鐘后小新比正南多走了（米），所以每分鐘多走：（米），所以正南每分鐘走：（米/分）

【答案】米/分

【例

40】

甲、乙兩列火車同時(shí)從東西兩鎮(zhèn)之間的地出發(fā)向東西兩鎮(zhèn)反向而行，它們分別到達(dá)東西兩鎮(zhèn)后，再以同樣的速度返回，已知甲每小時(shí)行60千米，乙每小時(shí)行70千米，相遇時(shí)甲比乙少行120千米，東西兩鎮(zhèn)之間的路程是多少千米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

建議教師幫助學(xué)生畫圖分析．

從出發(fā)到甲、乙兩列火車相遇，兩列火車共同行駛了2個(gè)全程．已知甲比乙少行120千米，甲每小時(shí)比乙少行(千米)，(小時(shí))，說明相遇時(shí)，兩輛車共同行駛了12小時(shí)．

那么兩輛車共同行駛1個(gè)全程需要6小時(shí)，東西兩鎮(zhèn)之間的路程是(千米)．

【答案】千米

【例

41】

甲、乙二人從，兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲每分鐘行80米，乙每分鐘行70米，出發(fā)一段時(shí)間后，二人在距中點(diǎn)60米處相遇．如果甲晚出發(fā)一會(huì)兒，那么二人在距中點(diǎn)220米處相遇．甲晚出發(fā)了多少分鐘？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

同時(shí)出發(fā)，相遇時(shí)甲多走(米)，相遇時(shí)間為(分)，因此甲、乙兩地距離為(米)．當(dāng)甲晚出發(fā)一會(huì)兒時(shí)，兩人各用時(shí)間分別為乙用時(shí)：(分)，甲用時(shí)：(分)，所以甲比乙晚出發(fā)(分)．

【答案】分鐘

【例

42】

甲、乙二人同時(shí)從學(xué)校出發(fā)到少年宮去，已知學(xué)校到少年宮的距離是2400米．甲到少年宮后立即返回學(xué)校，在距離少年宮300米處遇到乙，此時(shí)他們離開學(xué)校已經(jīng)30分鐘．問：甲、乙每分鐘各走多少米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

根據(jù)題意，畫線段圖如下：

方法一：30分鐘內(nèi)，二人的路程和(米)，因此速度和為：(米/分)；又知道30分鐘甲的路程為：(米)，所以甲速度為：

(米/分)，則乙速度為：(米/分)．

方法二：30分鐘內(nèi)，甲的路程為(米)，乙走的路程為：(米)，因此甲的速度為：(米/分)，乙的速度為：(米/分)．

【答案】米/分

【例

43】

一輛汽車和一輛摩托車同時(shí)從甲乙兩地相對(duì)開出，摩托車每小時(shí)行千米．汽車每小時(shí)行千米．兩車相遇后又以原來的速度繼續(xù)前進(jìn)，摩托車到乙地立即返回．汽車到甲地立即返回．兩車在距離中點(diǎn)千米的地方再次相遇，那么甲乙兩地的路程是多少千米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

第二次相遇距中點(diǎn)千米，說明兩車共有(千米)的路程差，由此可知兩車共行駛了：(小時(shí))．又因?yàn)榈诙蜗嘤鰞绍嚬沧吡巳齻€(gè)全程，所以走一個(gè)全程用(小時(shí))．這樣可以求出甲乙兩地的路程是：(千米)．

【答案】千米

模塊四、行程間的倍比關(guān)系

【例

44】

甲、乙兩車分別同時(shí)從、兩地相對(duì)開出，第一次在離地95千米處相遇．相遇后繼續(xù)前進(jìn)到達(dá)目的地后又立刻返回，第二次在離地25千米處相遇．求、兩地間的距離．

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

畫線段示意圖(實(shí)線表示甲車行進(jìn)的路線，虛線表示乙車行進(jìn)的路線)

可以發(fā)現(xiàn)第一次相遇意味著兩車行了一個(gè)、兩地間距離，第二次相遇意味著兩車共行了三個(gè)、兩地間的距離．當(dāng)甲、乙兩車共行了一個(gè)、兩地間的距離時(shí)，甲車行了95千米，當(dāng)它們共行三個(gè)、兩地間的距離時(shí)，甲車就行了3個(gè)95千米，即(千米)，而這285千米比一個(gè)、兩地間的距離多25千米，可得：(千米)．

【答案】千米

【鞏固】

甲、乙兩車分別同時(shí)從、兩地相對(duì)開出，第一次在離地90千米處相遇．相遇后繼續(xù)前進(jìn)到達(dá)目的地后又立刻返回，第二次在離地30千米處相遇．求、兩地間的距離？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

第一次相遇意味著兩車行了一個(gè)、兩地間距離，第二次相遇意味著兩車共行了三個(gè)、兩地間的距離．當(dāng)甲、乙兩車共行了一個(gè)、兩地間的距離時(shí)，甲車行了90千米，當(dāng)它們共行三個(gè)、兩地間的距離時(shí)，甲車就行了3個(gè)90千米，即（千米），而這270千米比一個(gè)、兩地間的距離多30千米，可得：

(千米)．

【答案】

千米

【鞏固】

如圖，、是一條道路的兩端點(diǎn)，亮亮在點(diǎn)，明明在點(diǎn)，兩人同時(shí)出發(fā)，相向而行．他們?cè)陔x點(diǎn)米的點(diǎn)第一次相遇．亮亮到達(dá)點(diǎn)后返回點(diǎn)，明明到達(dá)點(diǎn)后返回點(diǎn)，兩人在離點(diǎn)米的點(diǎn)第二次相遇．整個(gè)過程中，兩人各自的速度都保持不變．求、間的距離．要求寫出關(guān)鍵的推理過程．

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵詞】中環(huán)杯

【解析】

第一次相遇，兩人共走了一個(gè)全程，其中亮亮走了米，從開始到第二次相遇，兩人共走了三個(gè)全程，則亮亮走了(米)．亮亮共走的路程為一個(gè)全程多米，所以道路長(zhǎng)（米）．

【答案】米

【鞏固】

甲、乙兩車分別同時(shí)從、兩地相對(duì)開出，第一次在離地千米處相遇．相遇后繼續(xù)前進(jìn)到達(dá)目的地后又立刻返回，第二次在離地千米處相遇．求、兩地間的距離？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

第一次相遇意味著兩車行了一個(gè)、兩地間距離，第二次相遇意味著兩車共行了三個(gè)、兩地間的距離．當(dāng)甲、乙兩車共行了一個(gè)、兩地間的距離時(shí)，甲車行了千米，當(dāng)它們共行三個(gè)、兩地間的距離時(shí)，甲車就行了3個(gè)80千米，即（千米），而這240千米比一個(gè)、兩地間的距離多20千米，可得：(千米)．

【答案】千米

【鞏固】

甲、乙二人同時(shí)分別從、兩地出發(fā)，相向勻速而行．甲到達(dá)地后立即往回走，乙到達(dá)地后也立即往回走．已知他們第一次相遇在離，中點(diǎn)2千米處靠一側(cè)，第二次相遇在離地4千米處．、兩地相距多少千米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵詞】走美杯，初賽

【解析】

如圖所示，兩人第一次相遇，合走一個(gè)全程，兩人第二次相遇，合走三個(gè)全程．而兩人速度不變，這說明第二次相遇所用的時(shí)間是第一次相遇所用時(shí)間的3倍．因此，甲在第二次相遇所走的路程是第一次相遇所走路程的3倍．第一次相遇時(shí)，甲走了半全程多2千米，那么，第二次相遇時(shí)，他應(yīng)該走了3個(gè)半個(gè)全程多6千米，而實(shí)際他走了2個(gè)全程差4千米，即4個(gè)半個(gè)全程差4千米．因此，半個(gè)全程長(zhǎng)(千米)，、兩地相距(千米)．

【答案】千米

【例

45】

甲、乙兩輛汽車同時(shí)分別從、兩地相對(duì)開出，甲車每小時(shí)行千米，乙車每小時(shí)行千米．甲、乙兩車第一次相遇后繼續(xù)前進(jìn)，甲、乙兩車各自到達(dá)、兩地后，立即按原路原速返回．兩車從開始到第二次相遇共用小時(shí)．求、兩地的距離？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

甲、乙兩車從出發(fā)到第一次相遇共同行完一個(gè)間的路程，第一次相遇后繼續(xù)前進(jìn)，各自到、兩地后，又共同行完一個(gè)間的路程．當(dāng)甲、乙兩車第二次相遇時(shí)，又共同行完一個(gè)間的路程．因此，甲、乙兩車從開始到第二次相遇共行個(gè)間的路程．甲、乙速度和：(千米)，個(gè)間路程：(千米)，、相距：(千米)．

【答案】千米

【例

46】

上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他．然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時(shí)候，離家恰好是8千米，這時(shí)是幾點(diǎn)幾分？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

畫一張簡(jiǎn)單的示意圖：

圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明騎了(千米)．而爸爸騎的距離是

(千米)．

這就可以知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的倍．按照這個(gè)倍數(shù)計(jì)算，小明騎8千米，爸爸可以騎行(千米)．但事實(shí)上，爸爸少用了8分鐘，騎行了(千米)，少騎行(千米)．摩托車的速度是(千米/分)，爸爸騎行16千米需要16分鐘．(分鐘)．所以這時(shí)是8點(diǎn)32分．

【答案】8點(diǎn)32分

【鞏固】

自行車隊(duì)出發(fā)12分鐘后，通信員騎摩托車去追他們，在距出發(fā)點(diǎn)9千米處追上了自行車隊(duì)，然后通信員立即返回出發(fā)點(diǎn)；隨后又返回去追自行車隊(duì)，再追上時(shí)恰好離出發(fā)點(diǎn)18千米，求自行車隊(duì)和摩托車的速度．

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

在第一次追上自行車隊(duì)與第二次追上自行車隊(duì)之間，摩托車所走的路程為()千米，而自行車所走的路程為()千米，所以，摩托車的速度是自行車速度的3倍()；摩托車與自行車的速度差是自行車速度的2倍，再根據(jù)第一次摩托車開始追自行車隊(duì)時(shí)，車隊(duì)已出發(fā)了12分鐘，也即第一次追及的路程差等于自行車在12分鐘內(nèi)所走的路程，所以追及時(shí)間等于(分鐘)；聯(lián)系摩托車在距出發(fā)點(diǎn)9千米的地方追上自行車隊(duì)可知：摩托車在6分鐘內(nèi)走了9千米的路程，于是摩托車和自行車的速度都可求出了．列式為：倍，(分鐘)，摩托車的速度為：(千米/分鐘)，自行車的速度為：(千米/分鐘)

【答案】摩托車的速度為千米/分鐘，自行車的速度為千米/分鐘

【例

47】

甲、乙兩車同時(shí)從兩地相向而行，2.5時(shí)后相遇。已知甲車速度是乙車速度的，相遇時(shí)乙車比甲車多走千米，求兩車的速度。

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

甲車48千米／時(shí)，乙車64千米／時(shí)。提示：先求出兩地的距離。

【答案】甲車48千米／時(shí)，乙車64千米／時(shí)

【例

48】

楊平每天早晨按時(shí)從家出發(fā)步行上學(xué)，李大爺每天早晨也定時(shí)出門散步，兩人相向而行，楊平步行每分行60米，李大爺步行每分行40米，他們每天都準(zhǔn)時(shí)在途中相遇。有一天楊平提前出門，因此比平時(shí)早9分與李大爺相遇，楊平比平時(shí)早出門多少分？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

15分。因?yàn)槔畲鬆敵鲩T時(shí)楊平已經(jīng)比平時(shí)多走了9×（60＋40）＝900（米），所以楊平比平時(shí)早出門900÷60＝15（分）。

【答案】15分

【例

49】

甲、乙兩地之間有一條公路．李明從甲地出發(fā)步行去乙地，同時(shí)張平從乙地出發(fā)騎摩托車去甲地，80分鐘后兩人在途中相遇．張平到達(dá)甲地后馬上折回往乙地，在第一次相遇后又經(jīng)過20分鐘在途中追上李明．張平到達(dá)乙地后又馬上折回往甲地，這樣一直下去．問：當(dāng)李明到達(dá)乙地時(shí)，張平共追上李明多少次？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

我們希望知道二人的速度，或至少是二人各自走完全程的時(shí)間，進(jìn)而確定整個(gè)過程的進(jìn)展，并得到答案．但知道這些并不夠．應(yīng)先分析什么是“追上”．如圖，當(dāng)兩人經(jīng)過80分鐘相遇時(shí)，兩人所走的路程之和恰是甲乙兩地指間的距離，因此兩人才能相遇．如圖所示：

第一次追上就是張平比李明多走了一個(gè)甲、乙兩地距離．這用了分鐘．以此類推，第二次相遇的情況從圖上可以看出來，使張平比李明多走了3個(gè)甲、乙之間距離；第三次相遇，是張平比李明多走了5個(gè)甲乙之間距離……所以，知道了張平的速度是李明的幾倍，也就知道在李明走完一個(gè)甲乙之間距離的時(shí)候，張平走了幾個(gè)甲乙之間距離，他比李明多走了幾個(gè)．這樣就可求出當(dāng)李明到達(dá)乙地時(shí)，張平追上了他幾次．是兩人相遇地點(diǎn)，是張平第一次追上李明的地點(diǎn)．要分析如何求出兩人速度的倍數(shù)關(guān)系．在從相遇到第一次追上這20分鐘內(nèi)，張平從走到再走到，即．也就是，是李明相遇前的路程，即李明80分鐘走的；是李明第一次被追上時(shí)已走的路程，即他分鐘走的．因此，張平20分鐘走的路程，是李明分鐘走的，也就是說，張平的速度是李明的9倍．當(dāng)李明從甲到乙時(shí)，張平走了9個(gè)這樣的距離，即比李明多走了8個(gè)從甲到乙的距離．比李明多走1個(gè)時(shí)，張平第一次追上李明；多走3個(gè)時(shí)，第二次追上；多走5個(gè)時(shí)，第三次追上；多走7個(gè)時(shí)，第四次追上．綜上所述，在李明從甲到乙的過程中，一共被張平追上4次．

【答案】追上4次

【例

50】

（這道題就是之前介紹過的蘇步青教授利用巧妙方法解決過的一個(gè)問題，當(dāng)時(shí)蘇步青教授在德國(guó)訪問，一位有名的德國(guó)數(shù)學(xué)家在電車上給他出了這道題）甲和乙分別從東西兩地同時(shí)出發(fā)，相對(duì)而行，兩地相距里，甲每小時(shí)走里，乙每小時(shí)走里．如果甲帶一只狗，和甲同時(shí)出發(fā)，狗以每小時(shí)里的速度向乙奔去，遇到乙后即回頭向甲奔去，遇到甲后又回頭向乙奔去，直到甲乙兩人相遇時(shí)狗才停?。@只狗共跑了多少里路？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

只從狗本身考慮，光知道速度，無法確定跑的時(shí)間．但換個(gè)角度，狗在甲乙之間來回奔跑，狗從開始到停止跑的時(shí)間與甲乙二人相遇時(shí)間相同．由此便能求出答案．狗一共跑了（小時(shí)）所以狗跑的距離為（千米）

注：有時(shí)我們遇到的應(yīng)用題往往無法用直接的方法列式解決，甚至看起來好像條件不足．這個(gè)時(shí)候我們就需要停下來問問自己：是否應(yīng)該換個(gè)角度思考？嘗試這樣思考，一方面能讓我們對(duì)一些原本無法解答的題目豁然開朗，更可以讓自己的頭腦在鍛煉中變得越來越聰明．

【答案】千米

【鞏固】

某邊防站甲、乙兩哨所相距

15千米。一天，兩個(gè)哨所的巡邏隊(duì)同時(shí)從各自的哨所出發(fā)相向而行，他們的速度分別為4.5千米／時(shí)和5.5千米／時(shí)。乙隊(duì)出發(fā)時(shí)，他們帶的一只軍犬同時(shí)向甲哨所方向跑去，遇到甲隊(duì)時(shí)立即轉(zhuǎn)身往回跑，遇到乙隊(duì)又立即轉(zhuǎn)身向甲哨所方向跑去……這只軍犬就這樣不停地以20千米／時(shí)的速度在甲、乙兩隊(duì)之間奔跑，直到兩隊(duì)會(huì)合為止。問：這只軍犬來回共跑了多少路？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

30千米。提示：軍犬的速度為20千米/時(shí)，它跑的時(shí)間等于甲、乙兩隊(duì)從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間。

【答案】30千米

【鞏固】

A、B兩地相距480千米，甲、乙兩車同時(shí)從兩站相對(duì)出發(fā)，甲車每小時(shí)行35千米，乙車每小時(shí)行45千米，一只燕子以每小時(shí)行50千米的速度和甲車同時(shí)出發(fā)向乙車飛去，遇到乙車又折回向甲車返飛去，遇到甲車又返飛向乙車，這樣一直飛下去，燕子飛了多少千米兩車才能相遇？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

由燕子和兩車同時(shí)開始飛行和同時(shí)停止，故燕子飛行的時(shí)間和兩車相遇的時(shí)間相等，480÷（35+45）=6小時(shí)。燕子飛行的路程：50

×6=300千米

【答案】300千米

【鞏固】

小新和阿呆各騎一輛自行車從相距32千米的兩個(gè)地方沿直線相向而行，在他們同時(shí)出發(fā)的那一瞬間，一輛自行車把上的一只小鳥開始向另一輛自行車徑直飛去，它一到達(dá)另一輛自行車的車把，就立即轉(zhuǎn)向往回飛行，這只小鳥如此在兩輛自行車的車把之間來回飛行，直到小新和阿呆相遇為止.如果小新每小時(shí)行駛17千米，阿呆每小時(shí)行駛15千米，小鳥每小時(shí)飛行24千米，那么小鳥總共飛行了多少千米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

由小鳥和兩車同時(shí)開始飛行和同時(shí)停止，故小鳥飛行的時(shí)間和兩車相遇的時(shí)間相等，32÷（17+15）=1小時(shí)。燕子飛行的路程：24×1=24（千米）.【答案】24千米

【鞏固】

在一次宴會(huì)上，一位客人給著名的數(shù)學(xué)大師、“計(jì)算機(jī)之父”馮·諾伊曼先生出了一個(gè)蜜蜂問題：兩列火車相距英里，在同一軌道上相向行駛，速度都是每小時(shí)英里．火車的前端有一只蜜蜂以每小時(shí)英里的速度飛向火車，遇到火車以后．立即回頭以同樣的速度飛向火車，遇到火車后，又回頭飛向火車，速度始終保持不變，如此下去，直到兩列火車相遇時(shí)才停止．假設(shè)蜜蜂回頭轉(zhuǎn)身的時(shí)間忽略不計(jì)，那么，這只蜜蜂一共飛了多少英里的路？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

因?yàn)閮闪谢疖囅嗑嘤⒗铮悦啃r(shí)英里的速度相向而行．所以，他們相遇時(shí)所經(jīng)過的時(shí)間是小時(shí)，而蜜蜂在這段時(shí)間內(nèi)，不停地在兩列火車之間往返飛行，蜜蜂飛行的全部時(shí)間正好是兩行火車相遇的時(shí)間，所以，蜜蜂在這小時(shí)內(nèi)，正好飛行了英里．

【答案】英里

【鞏固】

阿呆和阿瓜同時(shí)從距離千米的兩地相向而行，阿呆每小時(shí)走千米，阿瓜每小時(shí)走千米．

阿瓜帶著一只小狗，狗每小時(shí)走千米．這只狗同阿瓜一道出發(fā)碰到阿呆的時(shí)候，它就掉頭朝阿瓜這邊走，碰到阿瓜時(shí)又朝阿呆那邊走，直到兩人相遇，問這只小狗一共走了多少千米？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

阿呆和阿瓜兩人相遇時(shí)間為：(小時(shí))，狗共跑路程為：(千米)．

【答案】千米

【例

51】

甲、乙兩人分別從相距

35.8千米的兩地出發(fā)，相向而行．甲每小時(shí)行

千米，但每行

分鐘就休息

分鐘；乙每小時(shí)行

千米，則經(jīng)過________小時(shí)________分的時(shí)候兩人相遇．

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

經(jīng)過

小時(shí)

分鐘的時(shí)候，甲實(shí)際行了

小時(shí)，行了

4×2=8千米，乙則行了千米，兩人還相距

35.8－27－8=0.8千米，此時(shí)甲開始休息，乙再行

0.8÷12×60=4分鐘就能與甲相遇．所以經(jīng)過

小時(shí)

分的時(shí)候兩人相遇．

【答案】2

小時(shí)

分

【例

52】

一個(gè)圓的圓周長(zhǎng)為米，兩只螞蟻從一條直徑的兩端同時(shí)出發(fā)沿圓周相向爬行．這兩只螞蟻每秒鐘分別爬行厘米和厘米，在運(yùn)動(dòng)過程中它們不斷地調(diào)頭．如果把出發(fā)算作第零次調(diào)頭，那么相鄰兩次調(diào)頭的時(shí)間間隔順次是1秒、3秒、5秒、……，即是一個(gè)由連續(xù)奇數(shù)組成的數(shù)列．問它們相遇時(shí)，已爬行的時(shí)間是多少秒？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】4星

【題型】解答

【解析】

(法1)找路程規(guī)律．通過處理，找出每次爬行縮小的距離關(guān)系規(guī)律．兩只螞蟻相距米厘米，相向爬行1秒距離縮小(厘米)．如果不調(diào)頭，需要(秒)相遇；

第1輪爬行1秒，假設(shè)向上半圓方向爬，距離縮小厘米；

第2輪爬行3秒，調(diào)頭向下半圓方向爬，距離縮小厘米；

第3輪爬行5秒，調(diào)頭向上半圓方向爬，距離縮小厘米；……

每爬行1輪距離縮小厘米，所以爬行7輪后相遇，時(shí)間是(秒)．

(法2)對(duì)于這種不斷改變前進(jìn)方向的問題，可以先看簡(jiǎn)單的情況：

在一條直線上，如上面的圖形，一只螞蟻先從點(diǎn)出發(fā)向右走，然后按照經(jīng)過1秒、3秒……改變方向．由于它的速度沒有變化，可以認(rèn)為螞蟻每秒鐘走一格．

第一次改變方向時(shí)，它到，走1格，格；

第二次改變方向時(shí)，它到，走3格，格；

第三次改變方向時(shí)，它到，走5格，格；

第四次改變方向時(shí)，它到，走7格，格；

第五次改變方向時(shí)，它到，走9格，格．

不難發(fā)現(xiàn)，小螞蟻的活動(dòng)范圍在不斷擴(kuò)大，每次離點(diǎn)都遠(yuǎn)了一格．當(dāng)兩只螞蟻活動(dòng)范圍重合時(shí)，也就是它們相遇的時(shí)候．

另外從上面的分析可以知道，每一次改變方向時(shí)，兩只螞蟻都在出發(fā)點(diǎn)的同一側(cè)．這樣，通過相遇問題，可以求出它們改變方向的次數(shù)，進(jìn)而求出總時(shí)間．

由于每一次改變方向時(shí)，兩只螞蟻之間的距離都縮短厘米．

所以，到相遇時(shí)，它們已改變方向：次，也就是在第7次要改變方向時(shí)，兩只螞蟻相遇，用時(shí)：(秒)．

【答案】秒

【鞏固】

老師教同學(xué)們做游戲：在一個(gè)周長(zhǎng)為114米的圓形跑道上，兩個(gè)同學(xué)從一條直徑的兩端同時(shí)出發(fā)沿圓周開始跑，1秒鐘后他們都調(diào)頭跑，再過3秒他們又調(diào)頭跑，依次照1、3、5……分別都調(diào)頭而跑，每秒兩人分別跑米和米，那么經(jīng)過幾秒，他們初次相遇？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

與例題的分析過程類似，可以知道，每跑1輪距離縮小米，由于兩個(gè)同學(xué)最開始相距57米，小于例題中的63米，而又大于54米，所以兩人在第七次掉頭后相遇，而且沒有走完第七次掉頭的13秒，相遇時(shí)比13秒少走了秒，所以他們初次相遇時(shí)經(jīng)過了秒．

【答案】秒

【例

53】

某條道路上，每隔900米有一個(gè)紅綠燈．所有的紅綠燈都按綠燈30秒、黃燈5秒、紅燈25秒的時(shí)間周期同時(shí)重復(fù)變換．一輛汽車通過第一個(gè)紅綠燈后，以每小時(shí)多少千米的速度行駛，可以在所有的紅綠燈路口都遇到綠燈？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

因?yàn)榧t綠燈變換的時(shí)間周期是（秒），所以要想讓汽車在所有的紅綠燈口都遇到綠燈，那么汽車通過第一個(gè)路口后，到下一個(gè)路口所花的時(shí)間必須是60秒．換句話說，只要60秒走900米，汽車就可以一路綠燈．因此，汽車應(yīng)以每小時(shí)（千米）的速度行駛．

【答案】千米

【例

54】

甲、乙二人從相距36千米的兩地相向而行。若甲先出發(fā)2時(shí)，則在乙動(dòng)身2.5時(shí)后兩人相遇；若乙先出發(fā)2時(shí)，則甲動(dòng)身3時(shí)后兩人相遇。求甲、乙二人的速度。

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

甲6千米／時(shí)，乙3.6千米／時(shí)。

提示：第一種情況，甲走4.5時(shí)，乙走2.5時(shí)共行一個(gè)單程，推知甲走9時(shí)乙走5時(shí)行兩個(gè)單程；第二種情況，甲走3時(shí)，乙走5時(shí)共行一個(gè)單程。所以甲走9-3＝6（時(shí)）行一個(gè)單程。

【答案】甲6千米／時(shí)，乙3.6千米／時(shí)

【例

55】

一條單線鐵路上有A，B，C，D，E五個(gè)車站，它們之間的路程如下圖所示（單位：千米）。甲、乙兩列火車分別從A，E兩站相對(duì)開出，甲車先開4分，每時(shí)行60千米，乙車每時(shí)行50千米，兩車只能在車站停車，互相讓道錯(cuò)車。兩車應(yīng)在哪一個(gè)車站會(huì)車（相遇），才能使停車等候的時(shí)間最短？先到的火車至少要停車多少時(shí)間？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

C或D；停車11分。甲車先開3分，行3千米。除去這3千米，全程為

48＋40＋10＋70－3＝165（千米）。

若兩車都不停車，則將在距站（千米）處相撞，正好位于C與D的中點(diǎn)。所以，無論是甲車在C站等候，還是乙車在D站等候，等候的時(shí)間都是甲、乙兩車各行5千米的時(shí)間和，為（時(shí)）（分）

【答案】C或D；停車11分

【例

56】

張濤坐在行駛的公共汽車上，忽然發(fā)現(xiàn)李梅正在向相反的方向步行，2分后汽車到站，張濤下車去追李梅。如果張濤的速度是李梅的2倍，是汽車速度的。那么張濤追上李梅要多少分？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

18分。設(shè)李梅的速度為a，則張濤的速度為2a，汽車的速度為8a。下車時(shí)，張濤與李梅的距離為（8a＋a）×2＝18a，張濤與李梅的速度差為2a－a＝a，追上李梅需要18a÷a＝18（分）。

【答案】追上李梅需要18分

【例

57】

甲、乙、丙三人同時(shí)從A向B跑，當(dāng)甲跑到B時(shí)，乙離B還有20米，丙離B還有40米；當(dāng)乙跑到B時(shí)，丙離B還有24米。問：

（1）

A，B相距多少米？

（2）如果丙從A跑到B用24秒，那么甲的速度是多少？

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

（1）120米；（2)

7.5米/秒。

（1）乙跑最后20米時(shí)，丙跑了40-24＝16（米），丙的速度是乙的。因?yàn)橐业綍r(shí)比丙多跑米，所以、相距（米）。

（2）甲跑米，丙跑（米），丙的速度是甲的。甲的速度是（米/秒）

【答案】（1）120米；（2)

7.5米/秒

【例

58】

快、中、慢三輛車同時(shí)同地出發(fā)，沿同一公路去追趕前面一騎車人，這三輛車分別用6分、10分、12分追上騎車人。已知快、慢車的速度分別為24千米／時(shí)和19千米／時(shí)，求中速車的速度。

【考點(diǎn)】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

20千米／時(shí)。提示：先由快、慢車的情況求出騎車人的速度。

【答案】20千米／時(shí)