第一篇：不等式的證明練習(xí)

不等式的證明練習(xí)

111??． a?bb?ca?c

112．設(shè)a、b?R，求證：log1(a?b)?a?b?1． 4421．已知a?b?c，求證：

1x2?x?13?． 3．設(shè)x?R，求證：?22x?12

4．設(shè)n?N*，求證：

1112(n?1?1)?1??????2n． 23n

5．設(shè)a、b、c、分別是△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊，求證：

abc??． 1?a1?b1?c

226．若x2?y2?1，求證：x?2xy?y?2．

a2b2

??(a?b)2． 7．若0＜x＜1，求證：x1?x

4?5． 8．設(shè)x?(0,?)，求證：sinx?sinx

9．已知：x?y?z?0，xy?yz?zx?0，xyz?0．

求證：x?0，y?0，z?0．

參考答案

111(a?a)2?(b?c)2?(c?a)2

1．????0． a?bb?ca?c2(a?b)(b?c)(a?c)

2．log1（2111?)?log2??log221?a?b?a?b?1． 1aba?b4442

3．用判別式法證明．

122???2(k?1?k)及 kk?kk?1?k

222???2(k?k?1)，再由不等式的同向可加性即得． k?k?1kk?k

ababa?b11c?????1??1??5．． 1?a1?b1?a?b1?a?b1?a?b1?a?b1?c1?c

?x?rcos??0???2??6．換元? ??0???1??即可得證． y?rsin????

?a2b2?1?x2x2227．??[x?(1?x)]?a?b?a?b?a2?b2?2ab?(a?b)2． ?x1?x?x1?x?

13)??2?3?5． 8．(sinx?sinxsinx4．由

9．用反證法，假設(shè)結(jié)論不成立，由xyz＞0知x、y、z中應(yīng)有兩個負(fù)數(shù)，一個正數(shù)，不妨設(shè)x＞0，y＜0，z＜0．由已知條件，得：

x＞－（y＋x）＞0，yz＞－x（y＋z）＞0，xyz?x(y?z)2，2即yz?(y?z)，z232亦即(y?)?z?0，矛盾． 24

第二篇：不等式的證明練習(xí)

不等式的證明練習(xí)

A級

一、選擇題 1.2+7與3+6的大小關(guān)系是()A.2+≥+B.2+7≤3+6 C.2+>+6D.2+7<3+ 6

3332.設(shè)a、b、c∈R且a、b、c不全為0，則不等式a+b+c≥3abc成立的一個充要條件是

()

A.a、b、c全為正數(shù)B.a、b、c全為非負(fù)實數(shù)

C.a+b+c≥0D.a+b+c>0

3.若實數(shù)ab滿足0

A.2B.a+bC.2abD.a

4.設(shè)實數(shù)a、b滿足a+b＝3,則2+2的最小值是()

A.6B.42C.22D.26

5.已知a>0且a≠1，M＝loga，N＝loga則M與N的大小關(guān)系是()

A.M

C.M>ND.不確定隨a的變化而變化

二、填空題

226.已知x+y＝4，則2x+3y的取值范圍為.(a3?1)(a2?1)ab

ba

7.若不等式a+b>2成立，則a與b滿足的條件是.8.b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克糖(m>0)，則糖水就變甜了，試根據(jù)事實提煉一個不等式.三、解答題

(a?b)2a?b(a?b)

29.已知a>b>0.求證：8a<2-ab<8b.10.已知a,b,c∈(0,1).求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能都大于4.AA級

一、選擇題

1.已知下列不等式：

2+①x+3>2x(x∈R)

553223②a+b≥ab+ab(a,b∈R)

22③a+b≥2(a-b-1)

其中正確的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3+2.設(shè)x,y∈R，且xy-(x+y)＝1,則()

A.x+y≥2(2+1)B.xy≤+

12C.x+y≤(2+1)D.xy≥2(2+1)

11a?23.設(shè)M＝a+(2

A.M>NB.M＝NC.M

1+

4.設(shè)a,b,c∈R，則3個數(shù)a+b,b+c,c+a()

A.都大于2B.都小于

2C.至少有一個不大于2D.至少有一個不小于2

5.為適應(yīng)社會發(fā)展的需要，國家決定降低某種存款的利息，現(xiàn)有四種降息方案： 方案Ⅰ先降息p%，再降息q%(其中p、q>0且p≠q)方案Ⅱ先降息q%，后降息p%

p?qp?q

方案Ⅲ先降息2%，后降息2%

方案Ⅳ一次降息(p+q)%

在上述四種方案中，降息最少的是()

A.方案ⅠB.方案ⅡC.方案ⅢD.方案Ⅳ

二、填空題

x

6.實數(shù)y＝x-y，則x的取值范圍是.a?b

7.若a>b>c>1，p＝2(2-ab)

a?b?c

3θ＝3(-abc)，則p與θ中的較小者是.11k

8.若a>b>c，則不等式a?b+b?c≥a?c成立的最大的k值為.三、解答題

cab

39.已知：a≥0，b≥0，c≥0.求證：a?b+b?c+c?a≥

2111111

110.證明：n?1(1+3+?+2n?1)>n(2+4+?+2n)(n≥2)

【素質(zhì)優(yōu)化訓(xùn)練】

一、選擇題

11(x?)6?(x6?6)

11(x?)3?(x3?3)

xx，則()1.若x>0，f(x)＝

A.f(x)≥10B.f(x)≤2C.f(x)≥8D.f(x)≥6

+

2.設(shè)a,b,c∈R，P＝a+b-c，Q＝b+c-a，R＝c+a-b，則“PQR>0”是“P、Q、R”同時大于零的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件 C.充分且必要條件D.即不充分也不必要

+

3.已知a,b∈R，則下列各式中成立的是()

222a2b(a+b)

A.cosθ·lga+sinθ·lgblg

C.a

cos2?

·b

sin2?

＝a+bD.a

cos2?

·b

sin2?

>a+b

aaa

4.設(shè)a1>a2>a3>?>a2000>a2001，且m＝a1?a2+a2?a3+?+a2000?a2001，n＝

4?106

a1?a2001，則m與n的大小關(guān)系是()

A.mnC.m≤nD.m≥n

5.連結(jié)直角三角形的直角頂點與斜邊的兩個三等分點所得的兩條線段長分別為sinα

?

和cosα(0<α<2)，則斜邊的長為()

4A.B.C.3D.5二、填空題

n2

5m?

16.已知m，n∈R，則36?16-n+3(用“≥”或“≤”號連接).11

27.若x-1＝2(y-1)＝3(Z-2)，則S＝x+y+z的最小值為.6m

8.設(shè)三角形三邊長為3，4，5，P是三角形內(nèi)的一點，則P到達(dá)這個三角形三邊距離乘積的最大值是.三、解答題

x2?111

29.已知a∈(-1,1)，求證ax?2x?a的值不可能在a?1與a?1之間.10.已知二次函數(shù)y＝ax+2bx+c，其中a>b>c，且a+b+c＝0.(1)求證：此函數(shù)的圖像與x軸交于相異的兩個點.(2)設(shè)函數(shù)圖像截x軸所得線段的長為l，求證：

2222

1.設(shè)m+n＝a,x+y＝b.(其中a、b是不相等的正整數(shù))，則mx+ny的最大值是()

a2?b2a?babA.2B.abC.a?bD.2.已知0

b

a

a

b,log

1b

a的大小關(guān)系是.222

23.設(shè)x,y∈R，且x+y≤1，求證｜x+2xy-y｜≤2.+3

34.已知p,q∈R且p+q＝2,求證：p+q≤2.參考答案

A級

1.D 2.A 3.B 4.B 5.D

a?ma

6.［-2,2］ 7.ab>0且a≠b 8.b?m>b

(a?b)2a?b[(a?b)(a?)]2(a?)2

8a-(2-)＝28a9.證明：-＝

(a?b)2a?b)2?4a]

8a,∵a>b>0,∴a?b<2a,∴(a?b)<4a，∴

(a?b)2a?b

8a(a?b)-4a<0,又(a?b)>0,8a>0,∴-(2-ab)<0，即(a?b)2a?b(a?b)2a?b

8a<2-ab.同理可證：8a>2-ab,∴原不等式成立.111

110.證明：假設(shè)三個式子同時大于4，即(1-a)b>4,(1-b)c>4,(1-c)a>4,三式相乘

1a?1?a132

2得：(1-a)a·(1-b)·b·(1-c)·c>4 ①，又因為0

同理0

盾，所以假設(shè)不成立，故原命題成立.AA級

1.C 2.A 3.A 4.D 5.C

6.(-∞，0)∪［4，+∞］ 7.P 8.4caba?b?ca?b?ca?b?c

9.證明：∵a?b+b?c+c?a＝a?b+b?c+c?a-3＝

1111111

(a+b+c)(a?b+b?c+c?a)-3＝2［(a+b)+(b+c)+(c+a)］［a?b+b?c+c?a］-3

3?3

(a?b)(b?c)(c?a)

≥2·3cab3

a?b+b?c+c?a≥2成立.11193

??

a?bb?cc?a-3＝2-3＝2，即

111(????)

111111111n10.證明：∵2＝2，3>4，5>6，??，2n?1>2n,又2>，111111n?1

將上述各式兩邊分別相加得1+3+5+?+2n?1>(2+4+?+2n)·n，∴1111111n?1(1+3+?+2n?1)>n(2+4+?+2n)

【素質(zhì)優(yōu)化訓(xùn)練】

1.D 2.C 3.A 4.C 5.D

5916

6.≤ 7.14 8.1

5x2?1122

9.證明：設(shè)y＝ax?2x?a，則(ay-1)x+2yx+ay-1＝0，若y≠a，由x∈R，得△≥

0.即4y-4(ay-1)≥0，∴［(1-a)y+1］［(1+a)y-1］≥0，因a∈(-1,1)，所以1-a>0,1+a>0

11111111

且a?1>a?1，所以y≤a?1或y≥a?1，若y＝a，由a?(a?1, a?1),原命題也

正確.綜上所述，原命題成立.22

10.證明：(1)令ax+2bx+c＝0，則Δ＝4b-4ac，由a+b+c＝0且a>b>c，∴a>0,c<0,∴ac<0，故Δ>0，即函數(shù)的圖像與x軸交于相異的兩點.(2)設(shè)函數(shù)圖像截x軸于A、B兩點，4b24(?a?c)24c2bcc22

a2其坐標(biāo)為x1,x2，則x1+x2＝-a,x1x2＝a,∴l(xiāng)＝a-4·a＝-a＝4

ccc13bbc22

［(a)+a+1］＝4［(a+2)+4］，又a+b+c＝0且a>b>c,∴｜a｜<1，即-1

＝a＝-1-a∈(-2,0),∴3

1.B2.logb>loga>log>log

2222

3.證明：設(shè)x＝rcosθ,y＝rsinθ，且｜r｜≤1,則｜x+2xy-y｜＝r｜cosθ+2cosθ

a

b

1a

b

1b

a

?

222

sinθ-sinθ｜＝r｜cos2θ+sin2θ｜＝2r｜sin(2θ+4)｜≤2

4.證明：假設(shè)p+q>2，則(p+q)>8,∴p+q+3pq+3pq>8，又p+q＝2,∴pq(p+q)>2＝p+q,2222

又p+q>0，∴pq>p-pq+q?(p-q)<0，這與(p-q)≥相矛盾，故假設(shè)不成立，∴p+q≤2.

第三篇：不等式證明

不等式證明

1.比較法：

比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它可分為作差法、作商法

（1）作差比較：

①理論依據(jù)a-b>0

a>b;a-b=0

a=b;a-b<0

a

⑴作差：對要比較大小的兩個數(shù)（或式）作差。

⑵變形：對差進(jìn)行因式分解或配方成幾個數(shù)（或式）的完全平方和。⑶判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號。

注意：若兩個正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小。（2）作商法：①要證A>B(B>0),只要證

;要證A0)，只要證

②證明步驟：作商→變形→判斷與1的關(guān)系 常用變形方法：一是配方法，二是分解因式

2.綜合法：所謂綜合法，就是從題設(shè)條件和已經(jīng)證明過的基本不等式和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，可簡稱為由因?qū)Ч?。常見的基本不等式?｜a｜≥0, a2?b2?2ab，a?b?ab 2，a?b?a?b?a?b 分析法：從求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認(rèn)成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法叫分析法，分析法的思想是“執(zhí)果索因”：即從求證的不等式出發(fā)，探求使結(jié)論成立的充分條件，直至已成立的不等式。

基本步驟：要證??只需證??，只需證?? 4 分析綜合法

單純地應(yīng)用分析法證題并不多見，常常是在分析的過程中，又綜合條件、定理、常識等因素進(jìn)行探索，把分析與綜合結(jié)合起來，形成分析綜合法。反證法：先假設(shè)所要證明的不等式不成立，即要證的不等式的反面成立，如要證明不等式MN，由題設(shè)及其他性質(zhì)，推出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定M

具體放縮方式有公式放縮和利用某些函數(shù)的單調(diào)性放縮。常用的技巧有：舍去一些正項或負(fù)項；在和或積中換大（或換?。┠承╉?；擴(kuò)大（或縮小）分式的分子（或分母）等，放縮時要注意不等號的一致性。放縮法的方法有：

⑴添加或舍去一些項，如：a2?1?a；n(n?1)?n ⑵將分子或分母放大（或縮?。抢没静坏仁?，如：lg3?lg5?(n?(n?1)2⑷利用常用結(jié)論： n(n?1)?lg3?lg5)?lg15?lg16?lg4 2Ⅰ、k?1?k?1k?1?k?12k；

Ⅱ、1111； ???k2k(k?1)k?1k1111（程度大）???2k(k?1)kk?1kⅢ、12?k11111??(?)；（程度?。?k?1(k?1)(k?1)2k?1k?17 換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。如： 已知x2?y2?a2，可設(shè)x?acos?,y?asin?； 已知x2?y2?1，可設(shè)

x?rcos?,y?rsin?(0?r?1)；

x2y2已知2?2?1，可設(shè)x?acos?,y?bsin?；

abx2y2已知2?2?1，可設(shè)x?asec?,y?btan?；

ab8、判別式法：判別式法是根據(jù)已知或構(gòu)造出來的一元二次方程，一元二次不等式，二次函數(shù)的根、解集、函數(shù)的性質(zhì)等特征確定出其判別式所應(yīng)滿足的不等式，從而推出欲證的不等式的方法。

9、其它方法 最值法：恒成立

恒成立

構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式；

第四篇：不等式證明

§14不等式的證明

不等式在數(shù)學(xué)中占有重要地位，由于其證明的困難性和方法的多樣性，而成為競賽和高考的熱門題型.證明不等式就是對不等式的左右兩邊或條件與結(jié)論進(jìn)行代數(shù)變形和化歸，而變形的依據(jù)是不等式的性質(zhì)，不等式的性分類羅列如下： 不等式的性質(zhì)：a?b?a?b?0,a?b?a?b?0.這是不等式的定義，也是比較法的依據(jù).對一個不等式進(jìn)行變形的性質(zhì)：

（1）a?b?b?a（對稱性）

（2）a?b?a?c?b?c（加法保序性）

（3）a?b,c?0?ac?bc;a?b,c?0?ac?bc.（4）a?b?0?an?bn,na?nb(n?N*).對兩個以上不等式進(jìn)行運(yùn)算的性質(zhì).（1）a?b,b?c?a?c（傳遞性）.這是放縮法的依據(jù).（2）a?b,c?d?a?c?b?d.（3）a?b,c?d?a?c?b?d.（4）a?b?0,d?c?0,?含絕對值不等式的性質(zhì)：

（1）|x|?a(a?0)?x2?a2??a?x?a.（2）|x|?a(a?0)?x2?a2?x?a或x??a.（3）||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|（三角不等式）.（4）|a1?a2???an|?|a1|?|a2|???|an|.ab?,ad?bc.cd 證明不等式的常用方法有：比較法、放縮法、變量代換法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法、構(gòu)造函數(shù)方法等.當(dāng)然在證題過程中，?？伞坝梢?qū)Ч被颉皥?zhí)果索因”.前者我們稱之為綜合法；后者稱為分析法.綜合法和分析法是解決一切數(shù)學(xué)問題的常用策略，分析問題時，我們往往用分析法，而整理結(jié)果時多用綜合法，這兩者并非證明不等式的特有方法，只是在不等式證明中使用得更為突出而已.此外，具體地證明一個不等式時，可能交替使用多種方法.例題講解 1．a(chǎn),b,c?0,求證：ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6abc.a?b?c32．a(chǎn),b,c?0，求證：abc?(abc)

abc.a2?b2b2?c2c2?a2a3b3c3?????.3．：a,b,c?R,求證a?b?c?2c2a2bbccaab?

4．設(shè)a1,a2,?,an?N*，且各不相同，求證：1?????

12131aa3an?a1?2????..n2232n25．利用基本不等式證明a2?b2?c2?ab?bc?ca.446．已知a?b?1,a,b?0,求證：a?b?1.8

7．利用排序不等式證明Gn?An

8．證明：對于任意正整數(shù)R，有(1?

1n1n?1)?(1?).nn?11119．n為正整數(shù)，證明：n[(1?n)?1]?1??????n?(n?1)nn?1.23n

1n? 課后練習(xí)

1.選擇題

(1)方程x-y=105的正整數(shù)解有().（A）一組（B）二組

（C）三組

（D）四組

(2)在0,1,2,?，50這51個整數(shù)中，能同時被2，3，4整除的有（）.（A）3個（B）4個

（C）5個

（D）6個 2．填空題

（1）的個位數(shù)分別為_________及_________.4

5422(2)滿足不________.等式10?A?10的整數(shù)A的個數(shù)是x×10+1，則x的值(3)已知整數(shù)y被7除余數(shù)為5,那么y被7除時余數(shù)為________.(4)求出任何一組滿足方程x-51y=1的自然數(shù)解x和y_________.3.求三個正整數(shù)x、y、z滿足

23.4．在數(shù)列4，8，17，77，97，106，125，238中相鄰若干個數(shù)之和是3的倍數(shù)，而不是9的倍數(shù)的數(shù)組共有多少組？

5．求的整數(shù)解.6．求證可被37整除.7．求滿足條件的整數(shù)x，y的所有可能的值.8．已知直角三角形的兩直角邊長分別為l厘米、m厘米，斜邊長為n厘米，且l，m，n均為正整數(shù)，l為質(zhì)數(shù).證明：2（l+m+n）是完全平方數(shù).9.如果p、q、、都是整數(shù)，并且p＞1，q＞1，試求p+q的值.課后練習(xí)答案

1.D.C.2.(1)9及1.(2)9.(3)4.(4)原方程可變形為x=(7y+1)+2y(y-7),令y=7可得x=50.223.不妨設(shè)x?y?z,則,故x?3.又有故x?2.若x=2,則,故y?6.又有,故y?4.若y=4,則z=20.若y=5,則z=10.若y=6,則z無整數(shù)解.若x=3,類似可以確定3?y?4,y=3或4,z都不能是整數(shù).4.可仿例2解.5.分析：左邊三項直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方法.．．

略解：a2?b2?2ab,同理b2?c3?2bc,c2?a2?2ca；三式相加再除以2即得證.評述：（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項、連用等技巧.22xnx12x2如?????x1?x2???xn，可在不等式兩邊同時加上x2x3x1x2?x3???xn?x1.再如證(a?1)(b?1)(a?c)3(b?c)3?256a2b2c3(a,b,c?0)時，可連續(xù)使用基本不等式.a?b2a2?b2)?（2）基本不等式有各種變式

如(等.但其本質(zhì)特征不等式兩邊的次22數(shù)及系數(shù)是相等的.如上式左右兩邊次數(shù)均為2，系數(shù)和為1.6.8888≡8(mod37),∴8888333

3222

2≡8(mod37).2222

27777≡7(mod37),7777≡7(mod37),8888238+7=407,37|407,∴37|N.22

3+7777

3333

≡(8+7)(mod37),而

237.簡解:原方程變形為3x-(3y+7)x+3y-7y=0由關(guān)于x的二次方程有解的條件△?0及y為整數(shù)可得0?y?5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程僅有兩組解(4,5)、(5,4).8.∵l+m=n,∴l(xiāng)=(n+m)(n-m).∵l為質(zhì)數(shù),且n+m＞n-m＞0,∴n+m=l,n-m=1.于是2222l=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l+2l+1=(l+1).即2(l+m+1)是完全平方數(shù).222

229.易知p≠q,不妨設(shè)p＞q.令(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.=n,則m＞n由此可得不定方程

例題答案：

1.證明：?ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6abc

?a(b2?c2?2bc)?b(a2?c2?2ac)?c(a2?b2?2ab)

?a(b?c)2?b(c?a)2?c(a?b)2

?0

?ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6ab.c

評述：（1）本題所證不等式為對稱式（任意互換兩個字母，不等式不變），在因式分解或配方時，往往采用輪換技巧.再如證明a2?b2?c2?ab?bc?ca時，可將a2?b2

1?(ab?bc?ca)配方為[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]，亦可利用a2?b2?2ab，2b2?c2?2bc,c2?a2?2ca，3式相加證明.（2）本題亦可連用兩次基本不等式獲證.2.分析：顯然不等式兩邊為正，且是指數(shù)式，故嘗試用商較法.不等式關(guān)于a,b,c對稱，不妨a?b?c,則a?b,b?c,a?c?R?，且

ab,，bca都大于等于1.caabbcc(abc)a?b?c3?a2a?b?c3b2b?a?c3c2c?a?b3?aa?b3?aa?c3?bb?a3?bb?c3?cc?a3?cc?b3

a?b3a?()bb?()cb?c3a?()ca?c3?1.評述：（1）證明對稱不等式時，不妨假定n個字母的大小順序，可方便解題.（2）本題可作如下推廣：若ai?0(i?1,2,?,n),則a11a22?anaaan?(a1a2?an)a1?a2???ann.（3）本題還可用其他方法得證。因aabb?abba，同理bbcc?bccb,ccaa?caac，另aabbcc?aabbcc，4式相乘即得證.（4）設(shè)a?b?c?0,則lga?lgb?lgc.例3等價于alga?blgb?algb?blga,類似例4可證alga?blgb?clgc?algb?blgc?clga?algc?blgb?clga.事實上，一般地有排序不等式（排序原理）： 設(shè)有兩個有序數(shù)組a1?a2???an,b1?b2???bn，則a1b1?a2b2???anbn（順序和）

?a1bj1?a2bj2???anbjn（亂序和）?a1bn?a1bn?1???anb1（逆序和）

其中j1,j2,?,jn是1,2,?,n的任一排列.當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2???an或b1?b2???bn時等號成立.排序不等式應(yīng)用較為廣泛（其證明略），它的應(yīng)用技巧是將不等式兩邊轉(zhuǎn)化為兩個有序數(shù)組的積的形式.如a,b,c?R?時,a3?b3?c3?a2b?b2c?c2a?a2?a?b2?b?c2?c

a2b2c2111111?a?b?b?c?c?a;???a?b?c?a2??b2??c2??a2??b2??c2?bcabcaabc222.3.思路分析：中間式子中每項均為兩個式子的和，將它們拆開，再用排序不等式證明.111111??，則a2??b2??c2?（亂序和）cbacab111111?a2??b2??c2?（逆序和），同理a2??b2??c2?（亂序和）abccab111?a2??b2??c2?（逆序和）兩式相加再除以2，即得原式中第一個不等式.再考慮數(shù)abc111333??組a?b?c及，仿上可證第二個不等式.bcacab

222不妨設(shè)a?b?c,則a?b?c,4.分析：不等式右邊各項

ai1?a?；可理解為兩數(shù)之積，嘗試用排序不等式.i22ii設(shè)b1,b2,?,bn是a1,a2,?,an的重新排列，滿足b1?b2???bn，又1?111????.22223nanbna2a3b2b3.由于b1,b2,?bn是互不相同的正整數(shù)，?????b?????122222n2323nb3bnb11故b1?1,b2?2,?,bn?n.從而b1?2，原式得證.?????1????2222n23n所以a1?評述：排序不等式應(yīng)用廣泛，例如可證我們熟悉的基本不等式，a2?b2?a?b?b?a，a3?b3?c3?a2?b?b2?c?c2?a?a?ab?b?bc?c?ca?a?bc?b?ac?c?ab?3abc.5.思路分析：左邊三項直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方．．法.a2?b2?2ab,同理b2?c3?2bc,c2?a2?2ca；三式相加再除以2即得證.評述：（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項、連用等技巧.22xnx12x2如?????x1?x2???xn，可在不等式兩邊同時加上x2x3x1x2?x3???xn?x1.再如證(a?1)(b?1)(a?c)3(b?c)3?256a2b2c3(a,b,c?0)時，可連續(xù)使用基本不等式.a?b2a2?b2)?（2）基本不等式有各種變式

如(等.但其本質(zhì)特征不等式兩邊的次數(shù)及22系數(shù)是相等的.如上式左右兩邊次數(shù)均為2，系數(shù)和為1.6.思路分析：不等式左邊是a、b的4次式，右邊為常數(shù)式呢.44要證a?b?1，如何也轉(zhuǎn)化為a、b的4次811,即證a4?b4?(a?b)4.8833評述：（1）本題方法具有一定的普遍性.如已知x1?x2?x3?1,xi?0,求證：x1 ?x211133求證：x1x2?x2x3 ?x3?.右側(cè)的可理解為(x1?x2?x3).再如已知x1?x2?x3?0，3332+x3x1?0，此處可以把0理解為(x1?x2?x3)，當(dāng)然本題另有簡使證法.38（2）基本不等式實際上是均值不等式的特例.（一般地，對于n個正數(shù)a1,a2,?an)

調(diào)和平均Hn?n111????a1a2an 幾何平均Gn?na1?a2?an 算術(shù)平均An?a1?a2???an

n22a12?a2???an平方平均Qn?

2這四個平均值有以下關(guān)系：Hn?Gn?An?Qn，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2???an時成立.7.證明: 令bi?ai,(i?1,2,?,n)則b1b2?bn?1，故可取x1,x2,?xn?0，使得 Gnb1?

xxx1x,b2?2,?,bn?1?n?1,bn?n由排序不等式有： x2x3xnx1b1?b2???bn

=xx1x2????n（亂序和）x2x3x1111?x2????xn?（逆序和）x1x2xn ?x1?

=n，?aa?a2???ana1a2????n?n,即1?Gn.GnGnGnn111，?,各數(shù)利用算術(shù)平均大于等于幾何平均即可得，Gn?An.a1a2an 評述:對8.分析:原不等式等價于n?1(1?)?1?平均，而右邊為其算術(shù)平均.n?11nn1，故可設(shè)法使其左邊轉(zhuǎn)化為n個數(shù)的幾何n?111111n?21(1?)n?(1?)?(1?)?1?(1?)?(1?)?1??1?.n?1nnnnnn?1n?1??????????????n個n?1 評述:（1）利用均值不等式證明不等式的關(guān)鍵是通過分拆和轉(zhuǎn)化，使其兩邊與均值不等式形式相近.類似可證(1?1n?11n?2)?(1?).nn?1（2）本題亦可通過逐項展開并比較對應(yīng)項的大小而獲證，但較繁.9.證明:先證左邊不等式

111?????(1?n)?1?23n1111??????n123n ?(1?n)n?

n111(1?1)?(?1)?(?1)???(?1)123n ?(1?n)n?n34n?12?????23n?n1?n?(*)

nn[(1?n)?1]?1?2?1n1n1?111????23n

n 34n?1????23n?n2?3?4???n?1?nn?1.n23n ?（*）式成立，故原左邊不等式成立.其次證右邊不等式

?1111??????n?(n?1)?nn?1

23n1 ?n1?n?1n?(1??111111????)(1?)?(1?)???(1?)23n?n?11?23n n?1nn?112n?1????123n

（**）? n?1?nn?1

（**）式恰符合均值不等式，故原不等式右邊不等號成立.

第五篇：不等式的證明

學(xué)習(xí)資 料

教學(xué)目標(biāo)

（1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義；

（2）掌握用比較法、綜合法和分析法來證簡單的不等式；

（3）能靈活根據(jù)題目選擇適當(dāng)?shù)刈C明方法來證不等式；

（4）能用不等式證明的方法解決一些實際問題，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力；

（6）通過不等式證明，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力；

（7）通過組織學(xué)生對不等式證明方法的意義和應(yīng)用的參與，培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、善于思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣． 教學(xué)建議

（一）教材分析

1．知識結(jié)構(gòu)

2．重點、難點分析

重點：不等式證明的主要方法的意義和應(yīng)用；

難點：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的；

②綜合性問題選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法．

（1）不等式證明的意義

不等式的證明是要證明對于滿足條件的所有數(shù)都成立（或都不成立），而并非是帶入具體的數(shù)值去驗證式子是否成立．

（2）比較法證明不等式的分析

①在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法．

②證明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑．

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學(xué)習(xí)資 料

由于

種證法就是求差比較法．，因此，證明，可轉(zhuǎn)化為證明與之等價的 ．這

由于當(dāng) 時，因此，證明 可以轉(zhuǎn)化為證明與之等價的 定要注意 ．這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明不等式 的前提條件．

時，一

③求差比較法的基本步驟是：“作差——變形——斷號”．

其中，作差是依據(jù)，變形是手段，判斷符號才是目的．

變形的目的全在于判斷差的符號，而不必考慮差值是多少．

變形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，為此，有時把差變形為一個常數(shù)，或者變形為一個常數(shù)與一個或幾個數(shù)的平方和的形式．或者變形為一個分式，或者變形為幾個因式的積的形式等．

總之．能夠判斷出差的符號是正或負(fù)即可．

④作商比較法的基本步驟是：“作商——變形——判斷商式與1的大小關(guān)系”，需要注意的是，作商比較法一般用于不等號兩側(cè)的式子同號的不等式的證明．

（3）綜合法證明不等式的分析

①利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)推倒出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法．

②綜合法的思路是“由因?qū)Ч保簭囊阎牟坏仁匠霭l(fā)，通過一系列的推出變換，推倒出求證的不等式．

③綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：

? ．

（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結(jié)論）

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學(xué)習(xí)資 料

④利用綜合法由因?qū)ЧC明不等式，就要揭示出條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系，為此要著力分析已知與求證之間的差異和聯(lián)系、不等式左右兩端的差異和聯(lián)系，在分析所證不等式左右兩端的差異后，合理應(yīng)用已知條件，進(jìn)行有效的變換是證明不等式的關(guān)鍵．

（4）分析法證明不等式的分析

①從求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認(rèn)成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法．

有時，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個已知成立的不等式，只要這個推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立．這也是用分析法，注意應(yīng)強(qiáng)調(diào)“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據(jù)．

②分析法的思路是“執(zhí)果導(dǎo)因”：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的充分條件直至已成立的不等式．它與綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法．

③用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：

? ．

（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結(jié)論）

④分析法是教學(xué)中的一個難點，一是難在初學(xué)時不易理解它的本質(zhì)是從結(jié)論分析出使結(jié)論成立的“充分”條件，二是不易正確使用連接有關(guān)（分析推理）步驟的關(guān)鍵詞．如“為了證明”“只需證明”“即”以及“假定??成立”等．

⑤分析法是證明不等式時一種常用的基本方法．當(dāng)證明不知從何入手時，有時可以運(yùn)用分析法而獲得解決．特別對于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更是行之有效．

（5）關(guān)于分析法與綜合法

①分析法與綜合法是思維方向相反的兩種思考方法．

②在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件．即推理方向是：結(jié)論

已知．

綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題．即：已知 結(jié)論．

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學(xué)習(xí)資 料

③分析法的特點是：從“結(jié)論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實際上是要尋找結(jié)論的充分條件．

綜合法的特點是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實際上是要尋找已知的必要條件．

④各有其優(yōu)缺點：

從尋求解題思路來看：分析法是執(zhí)果索因，利于思考，方向明確，思路自然，有希望成功；綜合法由因?qū)Ч?，往往枝?jié)橫生，不容易達(dá)到所要證明的結(jié)論．

從書寫表達(dá)過程而論：分析法敘述繁鎖，文辭冗長；綜合法形式簡潔，條理清晰． 也就是說，分析法利于思考，綜合法宜于表達(dá)．

⑤一般來說，對于較復(fù)雜的不等式，直接運(yùn)用綜合法往往不易入手，用分析法來書寫又比較麻煩．因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經(jīng)常是結(jié)合在一起使用的．

（二）教法建議

①選擇例題和習(xí)題要注意層次性．

不等式證明的三種方法主要是通過例題來說明的．教師在教學(xué)中要注意例題安排要由易到難，由簡單到綜合，層層深入，啟發(fā)學(xué)生理解各種證法的意義和邏輯關(guān)系．教師選擇的訓(xùn)練題也要與所講解的例題的難易程度的層次相當(dāng)．

要堅持精講精練的原則．通過一題多法和多變挖掘各種方法的內(nèi)在聯(lián)系，對知識進(jìn)行拓展、延伸，使學(xué)生溝通知識，有效地提高解題能力．

②在教學(xué)過程中，應(yīng)通過精心設(shè)置的一個個問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動學(xué)生在課堂活動中積極參與．

通過學(xué)生參與教學(xué)活動，理解不等式證明方法的實質(zhì)和幾種證明方法的意義，通過訓(xùn)練積累經(jīng)驗，能夠總結(jié)出比較法的實質(zhì)是把實數(shù)的大小順序通過實數(shù)運(yùn)算變成一個數(shù)與0(或1)比較大?。粡?fù)雜的習(xí)題能夠利用綜合法發(fā)展條件向結(jié)論方向轉(zhuǎn)化，利用分析法能夠把結(jié)論向條件靠攏，最終達(dá)到結(jié)合點，從而解決問題．

③學(xué)生素質(zhì)較好的，教師可在教學(xué)中適當(dāng)增加反證法和用函數(shù)單調(diào)性來證明不等式的內(nèi)容，但內(nèi)容不易過多過難．

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學(xué)習(xí)資 料

第一課時 教學(xué)目標(biāo)

1．掌握證明不等式的方法——比較法；

2．熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟． 教學(xué)重點 比較法的意義和基本步驟.教學(xué)難點 常見的變形技巧.教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式.教學(xué)過程

（－）導(dǎo)入新課

（教師活動）教師提問：根據(jù)前一節(jié)學(xué)過的知識，我們?nèi)绾斡脤崝?shù)運(yùn)算來比較兩個實數(shù)

與 的大??？．

（學(xué)生活動）學(xué)生思考問題，找學(xué)生甲口答問題．

（學(xué)生甲回答：，，）

［點評］（待學(xué)生回答問題后）要比較兩個實數(shù) 與 的大小，只要考察 與 的差值的符號就可以了，這種證明不等式的方法稱為比較法．現(xiàn)在我們就來學(xué)習(xí)：用比較法證明不等式．（板書課題）

設(shè)計意圖：通過教師設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)的知識，引出用比較法證明不等式，導(dǎo)入本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識．

（二）新課講授

【嘗試探索，建立新知】

（教師活動）教師板書問題（證明不等式），寫出一道例題的題目

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學(xué)習(xí)資 料

[問題] 求證

教師引導(dǎo)學(xué)生分析、思考，研究不等式的證明．

（學(xué)生活動）學(xué)生研究證明不等式，嘗試完成問題．

（得出證明過程后）

［點評］

①通過確定差的符號，證明不等式的成立．這一方法，在前面比較兩個實數(shù)的大小、比較式子的大小、證明不等式性質(zhì)就已經(jīng)用過．

②通過求差將不等問題轉(zhuǎn)化為恒等問題，將兩個一般式子大小比較轉(zhuǎn)化為一個一般式子與0的大小比較，使問題簡化．

③理論依據(jù)是：

④由 要證明，知：要證明 只要證 ；這種證明不等式的方法通常叫做比較法．

設(shè)計意圖：幫助學(xué)生構(gòu)建用比較法證明不等式的知識體系，培養(yǎng)學(xué)生化歸的數(shù)學(xué)思想．

【例題示范，學(xué)會應(yīng)用】

（教師活動）教師板書例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會解題過程中的一些常用技巧，并點評．

例1 求證

（學(xué)生活動）學(xué)生在教師引導(dǎo)下，研究問題．與教師一道完成問題的論證．

［分析］由比較法證題的方法，先將不等式兩邊作差，得

將此式看作關(guān)于 的二次函數(shù)，由配方法易知函數(shù)的最小值大干零，從而使問題獲證．

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證明：∵

＝

＝，∴ ．

［點評］

①作差后是通過配方法對差式進(jìn)行恒等變形，確定差的符號．

②作差后，式于符號不易確定，配方后變形為一個完全平方式子與一個常數(shù)和的形式，使差式的符號易于確定．

③不等式兩邊的差的符號是正是負(fù)，一般需要利用不等式的性質(zhì)經(jīng)過變形后，才能判斷．

變形的目的全在于判斷差的符號，而不必考慮差的值是多少．至于怎樣變形，要靈活處理，例1介紹了變形的一種常用方法——配方法．

例2 已知都是正數(shù)，并且，求證：

［分析］這是分式不等式的證明題，依比較法證題將其作差，確定差的符號，應(yīng)通分，由分子、分母的值的符號推出差值的符合，從而得證．

證明：

＝

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＝ ．

因為 都是正數(shù)，且，所以

．

∴ ．

即：

[點評]

①作差后是通過通分法對差式進(jìn)行恒等變形，由分子、分母的值的符號推出差的符號．

②本例題介紹了對差變形，確定差值的符號的一種常用方法——通分法．

③例2的結(jié)論反映了分式的一個性質(zhì)（若都是正數(shù)．

1．當(dāng) 時，2．當(dāng) 時，．以后要記?。?/p>

設(shè)計意圖：鞏固用比較法證明不等式的知識，學(xué)會在用比較法證明不等式中，對差式變形的常用方法——配方法、通分法．

【課堂練習(xí)】

（教師活動）打出字幕（練習(xí)），要求學(xué)生獨立思考．完成練習(xí)；請甲、乙兩學(xué)生板演；巡視學(xué)生的解題情況，對正確的證法給予肯定和鼓勵，對偏差點撥和糾正；點評練習(xí)中存在的問題．

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學(xué)習(xí)資 料

[字幕]

練習(xí)：1．求證

2．已知，，d都是正數(shù)，且，求證

（學(xué)生活動）在筆記本上完成練習(xí)，甲、乙兩位同學(xué)板演．

設(shè)計意圖，掌握用比較法證明不等式，并會靈活運(yùn)用配方法和通分法變形差式，確定差式符號．反饋課堂教學(xué)效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué)．

【分析歸納、小結(jié)解法】

（教學(xué)活動）分析歸納例題和練習(xí)的解題過程，小結(jié)用比較法證明不等式的解題方法．

（學(xué)生活動）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記．

比較法是證明不等式的一種最基本、重要的方法．用比較法證明不等式的步驟是：作差、變形、判斷符號．要靈活掌握配方法和通分法對差式進(jìn)行恒等變形．

設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的方法．

（三）小結(jié)

（教師活動）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識．

（學(xué)生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記．

本節(jié)課學(xué)習(xí)了用比較法證明不等式，用比較法證明不等式的步驟中，作差是依據(jù)，變形是手段，判斷符號才是目的．掌握求差后對差式變形的常用方法：配方法和通分法．并在下節(jié)課繼續(xù)學(xué)習(xí)對差式變形的常用方法．

設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識．

（四）布置作業(yè)

1．課本作業(yè)：P16．1，2，3．

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學(xué)習(xí)資 料

2．思考題：已知，求證：

3．研究性題：設(shè)，都是正數(shù)，且，求證：

設(shè)計意圖，課本作業(yè)供學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識；思考題供學(xué)有余力的學(xué)生完成，培養(yǎng)其靈活掌握用比較法證明不等式的能力；研究性題是為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識．

（五）課后點評

1．本節(jié)課是用比較法證明不等式的第一節(jié)課，在導(dǎo)入新課時，教師提出問題，讓學(xué)生回憶所學(xué)知識中，是如何比較兩個實數(shù)大小的，從而引入用比較法證明不等式．這樣處理合情合理，順理成章．

2．在建立新知過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生分析研究證明不等式，使學(xué)生在嘗試探索過程中形成用比較法證明不等式的感性認(rèn)識．

3．例1，例2兩道題主要目的在于讓學(xué)生歸綱、總結(jié)，求差后對差式變形、并判斷符號的方法，以及求差比較法的步驟．在這里如何對差式變形是難點，應(yīng)著重解決．首先讓學(xué)生明確變形目的，減少變形的盲目性；其次是總結(jié)變形時常用方法，有利于難點的突破．

4．本節(jié)課采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，學(xué)生獲取知識必須通過學(xué)生自己一系列思維活動完成．教師通過啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，培養(yǎng)學(xué)生思維靈活、嚴(yán)謹(jǐn)、深刻等良好思維品質(zhì)．

作業(yè)答實

思考題： 又，獲證．，研究性題：

．

所以，以上資料均從網(wǎng)絡(luò)收集而來