第一篇：不等式知識點(diǎn)總結(jié)

感受生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式和一元一次不等式的意義，下面是小編幫大家整理的不等式知識點(diǎn)總結(jié)，希望大家喜歡。

不等式：①用符號〉，=，〈號連接的式子叫不等式。②不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號的方向不變。③不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數(shù)，不等號方向不變。④不等式的兩邊都乘以或除以同一個負(fù)數(shù)，不等號方向相反。

不等式的解集：①能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。②一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。③求不等式解集的過程叫做解不等式。

一元一次不等式：左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式組：①關(guān)于同一個未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組。②一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集。③求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。

一元一次不等式的符號方向：

在一元一次不等式中，不像等式那樣，等號是不變的，他是隨著你加或乘的運(yùn)算改變。

在不等式中，如果加上同一個數(shù)(或加上一個正數(shù))，不等式符號不改向;例如：AB,A+CB+C

在不等式中，如果減去同一個數(shù)(或加上一個負(fù)數(shù))，不等式符號不改向;例如：AB，A-CB-C

在不等式中，如果乘以同一個正數(shù)，不等號不改向;例如：AB，A*CB*C(C0)

在不等式中，如果乘以同一個負(fù)數(shù)，不等號改向;例如：AB，A*C

如果不等式乘以0，那么不等號改為等號

所以在題目中，要求出乘以的數(shù)，那么就要看看題中是否出現(xiàn)一元一次不等式，如果出現(xiàn)了，那么不等式乘以的數(shù)就不等為0，否則不等式不成立。

第二篇：不等式知識點(diǎn)

不等式

一．知識點(diǎn)：

1．不等式的性質(zhì)：

2．不等式的解法：

（一）整式不等式的解法；

（二）分式不等式的解法；

（三）指對不等式的解法； 重點(diǎn)：含參二次不等式的解法；

3．不等式的證明：（1）作差變形；（2）分析法

4．均值不等式：（一正二定三等）

題型1：題型2：題型3：題型4：

5．線性規(guī)劃：

二．典型題：

1．已知二次函數(shù)零點(diǎn)分布，求參數(shù)范圍問題；

2．恒成立問題的解法；

3．均值不等式的應(yīng)用；

1．已知二次函數(shù)零點(diǎn)分布，求參數(shù)范圍問題；

2．恒成立問題的解法；

3．線性規(guī)劃問題的講解方式；

4．遞推式問題：相鄰項(xiàng)的關(guān)系較復(fù)雜，隔項(xiàng)或相鄰多項(xiàng)的關(guān)系會簡單。

5．均值不等式的幾種常見題型；

6．變形種類：

第三篇：高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)_第六章不等式

高中數(shù)學(xué)第六章-不等式

考試內(nèi)容：

不等式．不等式的基本性質(zhì)．不等式的證明．不等式的解法．含絕對值的不等式． 考試要求：

（1）理解不等式的性質(zhì)及其證明．

（2）掌握兩個（不擴(kuò)展到三個）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單的應(yīng)用．

（3）掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式．

（4）掌握簡單不等式的解法．

（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│

§06.不 等 式知識要點(diǎn)

1.不等式的基本概念

（1）不等（等）號的定義：a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b.（2）不等式的分類：絕對不等式；條件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式與異向不等式.（4）同解不等式與不等式的同解變形.2.不等式的基本性質(zhì)

（1）a?b?b?a（對稱性）

（2）a?b,b?c?a?c（傳遞性）

（3）a?b?a?c?b?c（加法單調(diào)性）

（4）a?b,c?d?a?c?b?d（同向不等式相加）

（5）a?b,c?d?a?c?b?d（異向不等式相減）

（6）a.?b,c?0?ac?bc

（7）a?b,c?0?ac?bc（乘法單調(diào)性）

（8）a?b?0,c?d?0?ac?bd（同向不等式相乘）

(9)a?b?0,0?c?d?ab?cd（異向不等式相除）

(10)a?b,ab?0?11（倒數(shù)關(guān)系）?ab

（11）a?b?0?an?bn(n?Z,且n?1)（平方法則）

（12）a?b?0?a?(n?Z,且n?1)（開方法則）

3.幾個重要不等式

（1）若a?R,則|a|?0,a2?0

（2）若a、b?R?,則a2?b2?2ab(或a2?b2?2|ab|?2ab)（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）

（3）如果a,b都是正數(shù)，那么

a?b.（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）

2極值定理：若x,y?R?,x?y?S,xy?P,則：

1如果P是定值, 那么當(dāng)x=y時，S的值最?。弧?/p>

2如果S是定值, 那么當(dāng)x=y時，P的值最大.○

利用極值定理求最值的必要條件： 一正、二定、三相等

.(4)若a、b、c?R?,則a?b?c?a=b=c時取等號）

3ba(5)若ab?0,則??2（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）

ab

(6)a?0時，|x|?a?x2?a2?x??a或x?a;|x|?a?x2?a2??a?x?a

（7）若a、b?R,則||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|

4.幾個著名不等式

（1）平均不等式：如果a,b都是正數(shù)，那么

11?aba?b（當(dāng)僅當(dāng)2a=b時

取等號）即：平方平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均（a、b為正數(shù)）： 2222a?ba?ba?ba?b22特別地，ab?(（當(dāng)a = b時，()?)??ab）222

2a2?b2?c2?a??b?c????(a,b,c?R,a?b?c時取等)33??

22?...?an??冪平均不等式：a12?a221(a1?a2?...?an)2 n

注：例如：(ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2).1111111常用不等式的放縮法：①???2???(n?2)

nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n

????n?1)

（2）柯西不等式： 若a1,a2,a3,?,an?R,b1,b2,b3?,bn?R;則

（a1b1?a2b2?a3b3???anbn)?aaaa1?2?3???n時取等號b1b2b3bn22(a12?a22?a32???an)(b122?b22?b32??bn)

（3）琴生不等式（特例）與凸函數(shù)、凹函數(shù)

若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對于定義域中任意兩點(diǎn)x1,x2(x1?x2),有 f(x1?x2f(x1)?f(x2))?或22f(x1?x2f(x1)?f(x2))?.2

2則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).5.不等式證明的幾種常用方法

比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根軸法）.步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解.特例① 一元一次不等式ax>b解的討論；

2②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的討論.（2）分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則

f(x)?0?f(x)g(x)?0;g(x)?f(x)g(x)?0 f(x)?0??g(x)?g(x)?0

（3）無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解

1?g(x)?0??定義域 ???f(x)?g(x)??f(x)?0?

○2?f(x)?0?f(x)?0○3f(x)?g(x)??g(x)?0或??g(x)?02???f(x)?[g(x)]?f(x)?0? f(x)?g(x)??g(x)?02??f(x)?[g(x)]

（4）.指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

af(x)?ag(x)(a?1)?f(x)?g(x);af(x)?ag(x)(0?a?1)?f(x)?g(x)af(x)?b(a?0,b?0)?f(x)?lga?lgb

（5）對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(a?1)??g(x)?0;

?f(x)?g(x)??f(x)?0? logaf(x)?logag(x)(0?a?1)??g(x)?0?f(x)?g(x)?

（6）含絕對值不等式

1應(yīng)用分類討論思想去絕對值；○2應(yīng)用數(shù)形思想； ○

3應(yīng)用化歸思想等價轉(zhuǎn)化 ○

g(x)?0|f(x)|?g(x)????g(x)?f(x)?g(x)? g(x)?0|f(x)|?g(x)?g(x)?0(f(x),g(x)不同時為0)或??f(x)??g(x)或f(x)?g(x)?

注：常用不等式的解法舉例（x為正數(shù)）：

①x(1?x)2?1124

?2x(1?x)(1?x)?()3?22327

22x2(1?x2)(1?x2)1234②y?x(1?x)?y??()??y?223272

類似于y?sinxcosx?sinx(1?sinx)，③|x?1|?|x|?|1|(x與1同號，故取等)?2 22

xxx

第四篇：不等式知識點(diǎn)整理

不等式知識點(diǎn)整理

一、不等關(guān)系：

1．實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系：

a?b?a?b?0；

a?b?a?b?0；

a?b?a?b?0.2．不等式的性質(zhì)：

（1）a?b?b?a（自反性）

（2）a?b,b?c?a?c（傳遞性）

（3）a?b?a?c?b?c（可加性）

（4）a?b,c?0?ac?bc；

a?b,c?0?ac?bc（可乘性）

（5）a?b,c?d?a?c?b?d（同向加法）

（6）a?b?0,c?d?0?ac?bd；（同向乘法）

（7）a?b?0,n?N,n?1?an?bn,a?。（同向乘方）

3．常用的基本不等式和重要的不等式

（1）a?R,a2?0,a?0，當(dāng)且僅當(dāng)a?0取“=”.（2）a,b?R,則a2?b2?2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“=”）

（3）a,b?R?，則a?b?2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“=”）a?

b注：——集幾何平均數(shù).2a2?b2a?b2?()（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“=”（4））22

a2?b2?c2a?b?c2?()（當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c時取“=”（5））3

3ab（6）(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2（當(dāng)且僅當(dāng)?時取“=”）（柯西不等式）cd4、最值定理：設(shè)x,y?0,由x?y?

（1）如積xy?P為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)x?y時x?

y有最小值

S（2）如和x?y?S為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)x?y時x?y有最大值()2.2即：積定和最小，和定積最大.注：運(yùn)用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等.5．含絕對值的不等式性質(zhì)： a?b?a?b?a?b（注意等號成立的情況）.二、不等式的證明方法

1．比較法

（1）作差比較法：作差——變形（通分、因式分解等）——判別符號；

（2）作商比較法：作商——變形（化為冪的形式等）——與1比大小.（分母要為正的）

2．綜合法——由因?qū)Чㄓ汕懊娼Y(jié)論）

3．分析法——執(zhí)果索因

注：（1）一般地常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法；

（2）還可以用放縮法、換元法等綜合證明不等式.三、解不等式

??b?b?1．一元一次不等式 ax?b(a?0)（1）a?0,?xx?? ；（2）a?0,?xx??.a?a???

2．一元二次不等式 ax2?bx?c?0,(a?0)

（1）步驟：一看開口方向（a的符號），二看判別式 ??b2?4ac的符號，三看方程的根寫解集.（2）重要結(jié)論：ax2?bx?c?0(a?0)解集為R（即ax2?bx?c?0對x?R恒成立），則a?0,??0.（注：若二次函數(shù)系數(shù)含參數(shù)且未指明不為零時，需驗(yàn)證a?0）.3．絕對值不等式

a?0?a（1）零點(diǎn)分段討論?a?? ??aa?0

（2）轉(zhuǎn)化法：f(x)?g(x)?f(x)?g(x)或f(x)??g(x)f(x)?g(x)??g(x)?f(x)?g(x)

（3）數(shù)形結(jié)合4．高次不等式、分式不等式——序軸標(biāo)根法 P(x)?0或P(x)Q(x)?0（移項(xiàng)，一邊化為0，不要輕易去分步驟：①形式：Q(x)

母）；

②因式分解，化為積的形式（x系數(shù)符號>0——標(biāo)準(zhǔn)式）； ③序軸標(biāo)根；

④寫出解集.5．注意含參數(shù)的不等式的解的討論.．．．．．．．．．．．．．．．．

四、一個有用的結(jié)論 關(guān)于函數(shù)y?x?p x

pp?x?

0時x???

在(0、xx

[

上是減函數(shù)；在（??、[??)上是增函數(shù).1．p?0時，當(dāng)x?

0時x?

（0，??）2．p?0時，在???，上為增函數(shù).0?、

第五篇：不等式知識點(diǎn)不等式基礎(chǔ)知識

不等式的知識要點(diǎn)

1.不等式的基本概念

不等（等）號的定義：a?b（1）

（2）

（3）

（4）?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b.不等式的分類：絕對不等式；條件不等式；矛盾不等式.同向不等式與異向不等式.同解不等式與不等式的同解變形.2.不等式的基本性質(zhì)

（1）a

（2）a

（3）a

（4）a

（5）a?b?b?a（對稱性）?b,b?c?a?c（傳遞性）?b?a?c?b?c（加法單調(diào)性）?b,c?d?a?c?b?d（同向不等式相加）?b,c?d?a?c?b?d（異向不等式相減）

（6）a.?

（7）a

（8）ab,c?0?ac?bc ?b,c?0?ac?bc（乘法單調(diào)性）?b?0,c?d?0?ac?bd（同向不等式相乘）

ab（異向不等式相除）?cd(9)a?b?0,0?c?d?

(10)a?b,ab?0?

（11）a

（12）a11（倒數(shù)關(guān)系）?ab?b?0?an?bn(n?Z,且n?1)（平方法則）?b?0??(n?Z,且n?1)（開方法則）

3.幾個重要不等式

（1）若a?R,則|a|?0,a2?0

（2）若a、b?R?,則a2?b2?2ab(或a2?b2?2|ab|?2ab)（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）

（3）如果a,b都是正數(shù)，那么

極值定理：若x,y?R?a?b（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）.2,x?y?S,xy?P,則：

1如果P是定值, 那么當(dāng)x=y時，S的值最??；○2如果S是定值, 那么當(dāng)x=y時，P的值最大.○

利用極值定理求最值的必要條件： 一正、二定、三相等

.(4)若a、b、c?R?,則a?b?c?a=b=c時取等號）

3ba(5)若ab?0,則??2（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）

ab

(6)a?0時，|x|?a?x2?a2?x??a或x?a;

（7）若a、b?R,則||

4.幾個著名不等式

（1）平均不等式：如果a,b都是正數(shù)，那么

|x|?a?x2?a2??a?x?a a|?|b||?|a?b|?|a|?|b| a?b（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）22?ab

（2）柯西不等式： 若a1,a2,a3,?,an?R,b1,b2,b3?,bn?R;則 222222222（a1b1?a2b2?a3b3???anbn)?(a1?a2?a3???an)(b1?b2?b3??bn)aaaa1?2?3???n時取等號b1b2b3bn

（3）琴生不等式（特例）與凸函數(shù)、凹函數(shù)

若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對于定義域中任意兩點(diǎn)x1,x2(x1?x2),有

f(x1?x2f(x1)?f(x2))?或22f(x1?x2f(x1)?f(x2))?.2

2則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).5.不等式證明的幾種常用方法

比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根軸法）.步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解.特例① 一元一次不等式ax>b解的討論；

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的討論.（2）分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則 2

f(x)?0?f(x)g(x)?0;g(x)?f(x)g(x)?0 f(x)?0??g(x)?g(x)?0

（3）無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解

1?f(x)?0? ???定義域?g(x)?0??f(x)?g(x)?

?f(x)?03?f(x)?0○f(x)?g(x)??g(x)?0或??g(x)?02???f(x)?[g(x)] ○2?f(x)?0 ?f(x)?g(x)??g(x)?02??f(x)?[g(x)]

（4）.指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

af(x)?ag(x)(a?1)?f(x)?g(x);af(x)?ag(x)(0?a?1)?f(x)?g(x)af(x)?b(a?0,b?0)?f(x)?lga?lgb

（5）對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(a?1)??g(x)?0;

?f(x)?g(x)?

（6）含絕對值不等式

1應(yīng)用分類討論思想去絕對值；○2應(yīng)用數(shù)形思想； ○

3應(yīng)用化歸思想等價轉(zhuǎn)化 ○?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(0?a?1)??g(x)?0?f(x)?g(x)?

g(x)?0|f(x)|?g(x)????g(x)?f(x)?g(x)?g(x)?0|f(x)|?g(x)?g(x)?0(f(x),g(x)不同時為0)或??f(x)??g(x)或f(x)?g(x)?