第一篇：數(shù)學(xué)常用不等式

一：一些重要恒等式

1：

2：

3：

4：

5：三角中的等式（在大學(xué)中很有用）

6:歐拉等式二重要不等式 1:絕對(duì)值不等式

(e是自然對(duì)數(shù)的底，i是虛根單位）

(別看簡(jiǎn)單，常用)

2：伯努利不等式

(xi符號(hào)相同且大于-1)

特例 :3：柯西不等式

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立

4:

5：

6:切比雪夫不等式

若，則

若，則三：常見的放縮(均用數(shù)學(xué)歸納法證)

1：

2：

3： 4：

5：

6：對(duì)數(shù)不等式（重要）

7：8:均值不等式我不說了（絕對(duì)的重點(diǎn)）

9：四：一些重要極限重要的等價(jià)量(書上有，但這些重要極限需熟背如流)

第二篇：七年級(jí)數(shù)學(xué)不等式課件

教學(xué)目標(biāo):

通過對(duì)具體實(shí)例的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠了解生活中的不等量關(guān)系，理解不等式的概念，知道什么是不等式的解，為以后學(xué)習(xí)不等式的解法奠定基礎(chǔ).知識(shí)與能力:

1.通過對(duì)具體事例的分析和探索，得到生活中不等量的關(guān)系.2.通過理解得到不等式的概念，從而使學(xué)生經(jīng)歷實(shí)際問題中數(shù)量的分析、抽象過程，體會(huì)現(xiàn)實(shí)中有各種各樣錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系.3.了解不等式的意義，知道不等式是用來刻畫生活中的數(shù)量關(guān)系的.4.知道什么是不等式的解.過程與方法:

1.引導(dǎo)學(xué)生分析具體事例，從對(duì)具體事例的分析中得到不等量關(guān)系.2.引導(dǎo)并幫助學(xué)生列出不等式，分析不等式的成立條件.3.通過分析、抽象得到不等式的概念和不等式的解的概念.4.通過習(xí)題鞏固和加深對(duì)概念的理解.情感、態(tài)度與價(jià)值觀:

1.通過學(xué)生的分析和抽象過程使他們體會(huì)現(xiàn)實(shí)中錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，然后從而培養(yǎng)其抽象思維能力.2.通過分組討論學(xué)習(xí)，體會(huì)在解決具體問題的過程中與他人合作的重要性，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)體協(xié)作精神，使學(xué)生獲得合作交流的學(xué)習(xí)方式.3.通過聯(lián)系與發(fā)展、對(duì)立與統(tǒng)一的思考方法對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義教育.4.通過創(chuàng)設(shè)問題串，讓學(xué)生仔細(xì)觀察、對(duì)比、歸納、整理，嘗試對(duì)有理數(shù)進(jìn)行分類，然后體驗(yàn)教學(xué)活動(dòng)充滿著探索性和創(chuàng)造性.教學(xué)重、難點(diǎn)及教學(xué)突破

重點(diǎn):不等式的概念和不等式的解的概念.難點(diǎn):對(duì)文字表述的數(shù)量關(guān)系能列出不等式.教學(xué)突破:由于學(xué)生在以前已經(jīng)對(duì)數(shù)量的大小關(guān)系和含數(shù)字的不等式有所了解，但還沒有接觸過含未知數(shù)的不等式，在學(xué)生分析問題的時(shí)候注意引入現(xiàn)實(shí)中大量存在的數(shù)量間的不等關(guān)系，研究它們的變化規(guī)律，使學(xué)生知道用不等式解決實(shí)際問題的方便之處.在本節(jié)的教學(xué)中能夠在組織學(xué)生討論的過程中適當(dāng)?shù)貪B透變量的知識(shí)，讓學(xué)生感受其中的函數(shù)思想，并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不等式的解與方程的解之間的區(qū)別.在處理本節(jié)難點(diǎn)時(shí)指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)有理數(shù)和代數(shù)式的知識(shí)，準(zhǔn)確“譯出”不等式.教學(xué)過程：

一.研究問題：

世紀(jì)公園的票價(jià)是:每人5元,一次購(gòu)票滿30張可少收1元.某班有27名少先隊(duì)員去世公園進(jìn)行活動(dòng).當(dāng)領(lǐng)隊(duì)王小華準(zhǔn)備好了零錢到售票處買了27張票時(shí),愛動(dòng)腦的李敏同紀(jì)學(xué)喊住了王小華,提議買30張票.但有的同學(xué)不明白.明明只有27個(gè)人,買30張票,豈不浪費(fèi)嗎?

那么,究竟李敏的提議對(duì)不對(duì)呢?是不是真的浪費(fèi)呢

二.新課探究：

分析上面的問題:設(shè)有x人要進(jìn)世紀(jì)公園,①若x≥30，應(yīng)該如何買票?②若x<30,則又該如何買票呢?

結(jié)論：至少要有多少人進(jìn)公園時(shí)，買30張票才合算?

概括：

1、不等式的定義：表示不等關(guān)系的式子,叫做不等式.不等式用符號(hào)>,<,≥,≤.2、不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值,叫做不等式的解.3、不等式的分類：⑴恒不等式：-7<-5,3+4>1+4,a+2>a+1.⑵條件不等式：x+3>6,a+2>3,y-3>-5.三、基礎(chǔ)訓(xùn)練.例

1、用不等式表示：⑴a是正數(shù);⑵b不是負(fù)數(shù);⑶c是非負(fù)數(shù);⑷x的平方是非負(fù)數(shù);⑸x的一半小于-1;⑹y與4的和不小于3.注：⑴不等式表示代數(shù)式之間的不相等關(guān)系，與方程表示相等關(guān)系相對(duì)應(yīng);

⑵研究不等關(guān)系列不等式的重點(diǎn)是抓關(guān)鍵詞，弄清不等關(guān)系.例

2、用不等式表示：⑴a與1的和是正數(shù);⑵x的2倍與y的3倍的差是非負(fù)數(shù);⑶x的2倍與1的和大于—1;⑷a的一半與4的差的絕對(duì)值不小于a.例

3、當(dāng)x=2時(shí)，不等式x-1<2成立嗎?當(dāng)x=3呢?當(dāng)x=4呢?

注：⑴檢驗(yàn)字母的值能否使不等式成立，只要代入不等式的左右兩邊，如果符合不等號(hào)所表示的關(guān)系，就成立，否則就不成立.⑵代入法是檢驗(yàn)不等式的解的重要方法.學(xué)生練習(xí)：課本P42練習(xí)1、2、3.四、能力拓展

學(xué)校組織學(xué)生觀看電影，某電影院票價(jià)每張12元，50人以上(含50人)的團(tuán)體票可享受8折優(yōu)惠，現(xiàn)有45名學(xué)生一起到電影院看電影，為享受8折優(yōu)惠，必須按50人購(gòu)團(tuán)體票.⑴請(qǐng)問他們購(gòu)買團(tuán)體票是否比不打折而按45人購(gòu)票便宜;

⑵若學(xué)生到該電影院人數(shù)不足50人，應(yīng)至少有多少人買團(tuán)體票比不打折而按實(shí)際人數(shù)購(gòu)票便宜.解：⑴按實(shí)際45人購(gòu)票需付錢_________ 元，然后如果按50人購(gòu)買團(tuán)體票則需付錢50×12×80%=480元，所以購(gòu)買團(tuán)體票便宜.⑵設(shè)有x人到電影院觀看電影，當(dāng)x_____時(shí)，按實(shí)際人數(shù)買票______張，需付款_______元，而按團(tuán)體票購(gòu)票需付款________元，如果買團(tuán)體票合算，那么應(yīng)有不等式________________，由①得，當(dāng)x=45時(shí)，上式成立，讓我們?cè)偃∫恍?shù)據(jù)試一試，將結(jié)果填入下表：

x12x比較480與12x的大小48<12x成立嗎?

由上表可見，至少要__________人時(shí)進(jìn)電影院，購(gòu)團(tuán)體票才合算.五、小結(jié):

⑴不等式的定義，不等式的解.⑵對(duì)實(shí)際問題中探索得到的不等式的解，然后不僅要滿足數(shù)學(xué)式子，而且要注意實(shí)際意義.六、作業(yè)課本P42習(xí)題8.1第1、2、3題.補(bǔ)充題：

1.用不等式表示：

(1)與1的和是正數(shù);(2)的與的的差是非負(fù)數(shù);

(3)的2倍與1的和大于3;(4)的一半與4的差的絕對(duì)值不小于.(5)的2倍減去1不小于與3的和;(6)與的平方和是非負(fù)數(shù);

(7)的2倍加上3的和大于-2且小于4;(8)減去5的差的絕對(duì)值不大于

2.小李和小張決定把省下的零用錢存起來.這個(gè)月小李存了168元，然后小張存了85元.下個(gè)月開始小李每月存16元，小張每月存25元.問幾個(gè)月后小張的存款數(shù)能超過小李?(試根據(jù)題意列出不等式，并參照教科書中問題1的探索，找出所列不等式的解)

3.某公司在甲、乙兩座倉庫分別有農(nóng)用車12輛和6輛，現(xiàn)需要調(diào)往A縣10輛，調(diào)往B縣8輛，已知從甲倉庫調(diào)運(yùn)一輛農(nóng)用車到A縣和B縣的運(yùn)費(fèi)分別為40元和80元，然后從乙倉庫調(diào)運(yùn)一輛農(nóng)用車到A縣和B縣的運(yùn)費(fèi)分別為30元和50元，(1)設(shè)從乙倉庫調(diào)往A縣農(nóng)用車輛，用含的代數(shù)式表示總運(yùn)費(fèi)W元;(2)請(qǐng)你用嘗試的方法，探求總運(yùn)費(fèi)不超過900元，共有幾種調(diào)運(yùn)方案?你能否求出總運(yùn)費(fèi)最低的調(diào)運(yùn)方案.

第三篇：高三數(shù)學(xué)均值不等式

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3.2 均值不等式 教案

教學(xué)目標(biāo)：

推導(dǎo)并掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這個(gè)重要定理.利用均值定理求極值.了解均值不等式在證明不等式中的簡(jiǎn)單應(yīng)用

教學(xué)重點(diǎn)：

推導(dǎo)并掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這個(gè)重要定理

利用均值定理求極值

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)：

1、復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)定理及其推論

1：a>b2：3：a>b(1)：a+b>c(2)：

4、若(1)、若(2)、若(3)、若23?a?ⅱ）a2?b2?2ab和a?b

2?ab成立的條件是不同的：前者只要求a,b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a,bⅲ）3以長(zhǎng)為a+b的線段為直徑作圓，在直徑AB上取點(diǎn)C，使C作垂直于直徑

2AB的弦DD′,那么CD?CA?CB，即CD?ab

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這個(gè)圓的半徑為a?ba?b?ab，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓，顯然，它不小于CD，即2

2心重合；即a=b應(yīng)用例題：

例

1、已知a、b、c∈R，求證：

不等式的左邊是根式，而右邊是整式，應(yīng)設(shè)法通過適當(dāng)?shù)姆趴s變換將左邊各根式的被開方式轉(zhuǎn)化為完全平方式，再利用不等式的性質(zhì)證得原命題。

例

2、若

a,例3證明：∵222∴a?b?c?ab?bc?ca 例

4、已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證：(ab?cd)(ac?bd)?4abcd

分析：此題要求學(xué)生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運(yùn)用，同時(shí)證明：∵a,b,c,d都是正數(shù)，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞

得ab?cdac?bd?

?0,??0.2

2由不等式的性質(zhì)定理4的推論1，得

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?(ab?cd)(ac?bd)?abcd.4即(ab?cd)(ac?bd)?4abcd

歸納小結(jié)

定理：如果a,b是正數(shù)，那么a?b?ab(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“?”號(hào)).22、利用均值定理求最值應(yīng)注意：“正”，“定”，“等”，靈活的配湊是解題的關(guān)鍵。鞏固練習(xí)

P71 練習(xí)A，P72 練習(xí)B。

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第四篇：2013高考數(shù)學(xué)均值不等式專題

均值不等式歸納總結(jié)

ab?(a?b

2)?2a?b

222(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)等號(hào)成立）

(1)當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．

(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”.(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有廣泛的應(yīng)用.應(yīng)用一：求最值

例：求下列函數(shù)的值域

1（1）y＝3x 2（2）y＝x2xx

211解：(1)y＝3x 2 ≥2x 213x· 2＝6∴值域?yàn)?，+∞）2x 2

1(2)當(dāng)x＞0時(shí)，y＝x＋ ≥x1x＝2； x

1x·－2 x11當(dāng)x＜0時(shí)，y＝x＋ = －（－ x－）≤－2xx

∴值域?yàn)椋ǎ?，?]∪[2，+∞）解題技巧

技巧一：湊項(xiàng)

例:已知x?，求函數(shù)y?4x?2?4514x?5的最大值。

4x?5解：因4x?5?0，所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又(4x?2)對(duì)4x?2要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，?x?

54,?5?4x?0不是常數(shù)，所以，?y?4x?2?

11????5?4x?4x?55?4x?1???2?3?1??3? ?1。當(dāng)且僅當(dāng)5?4x?5?4x，即x?1時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x?1時(shí)，ymax

評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)

例1.當(dāng)時(shí)，求y?x(8?2x)的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8為定值，故只需將y?x(8?2x)湊上一個(gè)系數(shù)即可。

當(dāng)，即x＝2時(shí)取等號(hào)當(dāng)x＝2時(shí)，y?x(8?2x)的最大值為8。

評(píng)注：本題無法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設(shè)0?

x?

32，求函數(shù)y?4x(3?2x)的最大值。

2x?3?2x?9

解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2????

222??

當(dāng)且僅當(dāng)2x?3?2x,即x?技巧三： 分離常數(shù) 例3.求y?

x?7x?10

x?

1?3?

??0,?時(shí)等號(hào)成立。4?2?

(x??1)的值域。

解析一：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項(xiàng)，再將其分離。

當(dāng),即

時(shí),y?5?9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1

時(shí)取“＝”號(hào)）。

技巧四：換元法

解析二：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值。

y?

(t?1)?7(t?1）+10

t

=

t?5t?

4t

?t?4t?5

5?9（當(dāng)t=2

當(dāng),即t=時(shí),y?即x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）。

Ag(x)

評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為y?mg(x)?或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不等式來求最值。

?B(A?0,B?0)，g(x)恒正

技巧五：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，結(jié)合函數(shù)f(x)?的單調(diào)性。

例：求函數(shù)y?因t?0,t?

x?

ax

x?52的值域。

?t(t?

2)，則y?

1t

??t?

1t

(t?2)

?1，但t?1t

1t

解得t??1不在區(qū)間?2,???，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。

因?yàn)閥?t?在區(qū)間?1,???單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間?2,???為單調(diào)遞增函數(shù)，故

y?

52。

5?所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?,???。?

?2

?

技巧六：整體代換 例：已知x?0,y?0，且解：?x?0,y?0,1?9

x

1x

?

9y

?1，求x?y的最小值。

?16。

?19?y9x

?10?6?10?16?1，?x?y??x?y??????

xyxyy??

當(dāng)且僅當(dāng)

yx

?

9xy

時(shí)，上式等號(hào)成立，又

1x

?

9y

?1，可得x?4,y?12

時(shí)，?x?y?min

變式：（1）若x,y?R?且2x?y?1，求1?1的最小值

x

y

(2)已知a,b,x,y?R?且a?b

x

y

?1，求x?y的最小值

技巧七：消元法

已知a，b為正實(shí)數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y 的最小值.ab

分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個(gè)途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對(duì)本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對(duì)本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不

等式的途徑進(jìn)行。

30－2b30－2b－2 b 2＋30b

法一：a，ab ·b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15

－2t 2＋34t－311616

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t ≥

ttt

t＝8

t

∴ ab≤18∴ y≥當(dāng)且僅當(dāng)t＝4，即b＝3，a＝6時(shí)，等號(hào)成立。

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab∴ 30－ab≥ ab

令u則u2＋22 u－30≤0，－2 ≤u≤32

≤2，ab≤18，∴y≥

18點(diǎn)評(píng)：①本題考查不等式

a?b2

?

ab（a,b?R）的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；

?

②如何由已知不等式ab?a?2b?30（a,b?R?）出發(fā)求得ab的范圍，關(guān)鍵是尋找到

a?b與ab

之間的關(guān)系，由此想到不等式

a?b

2?

ab（a,b?R），這樣將已知條件轉(zhuǎn)

?

換為含ab的不等式，進(jìn)而解得ab的范圍.技巧八：平方法

已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W3x ＋2y 的最值.解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，很簡(jiǎn)單

3x 2y2 3x）22y）2 x＋2y ＝25解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。

W＞0，W2＝3x＋2y＋3x ·y ＝10＋23x y ≤10＋3x)2·y)2

a＋b

a 2＋b 2，本題

＝10＋(3x＋2y)＝20 ∴ W20 ＝5變式:

求函數(shù)y?

y?2

?x?

52)的最大值。

解析：注意到2x?1與5?2x的和為定值。

?4??4?(2x?1)?(5?2x)?8

y?2

又y?

0，所以0?32

當(dāng)且僅當(dāng)2x?1=5?2x，即x?

時(shí)取等號(hào)。

故ymax

?

評(píng)注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。

總之，我們利用均值不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式

1．已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a2

?b?c

?ab?bc?ca

2.正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 3.已知a、b、c?R?，且a?b?c?1。求證：??

??1??1?

?1???1???1??8 ?a??b??c?

1分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個(gè)“

2”連乘，又1?1?1?a?b?c?a

a

a

a，可由此變形入手。

?b?ca

?a

11?a

a?b?c?1。

解：b、c?R?，?a、??1?

a

a。

同理1?1?

b

b

?1?c

c

上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得

1?1??1??1?a?b?c?。當(dāng)且僅當(dāng)?1?1?1??8??????

3abc?a??b??c?

時(shí)取等號(hào)。

應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題 例：已知x?0,y?0且

1x?9y

?1，求使不等式x?y?m恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。

9xky

?1

解：令x?y?k,x?0,y?0,1x

?

9y

?1，?

x?ykx

?

9x?9yky

?1.?

10k

?

ykx

?

?1?

10k

?2?

3k

。?k

?16，m????,16?

應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用： 例：若a

?b?1,P?

lga?lgb,Q?

(lga?lgb),R?lg（a?b2)，則P,Q,R的大小關(guān)系

是.分析：∵a

Q?

?b?1 ∴l(xiāng)ga?0,lgb?0

（lga?lgb)?

a?b2)?lg

lga?lgb?p

lgab?Q

R?lg(ab?

∴R>Q>P。

練習(xí)．1.求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時(shí)，x 的值.（1）y?

x?3x?1

x,(x?0)（2）y?2x?

1x?3,x?3

(3)y?2sinx?2．已知0?

1sinx,x?(0,?)（4）y?sinx?

2sinx,x?(0,?)

x?

x?

1，求函數(shù)y?的最大值.；3．0?，求函數(shù)y?的最大值.3.若實(shí)數(shù)滿足a?b?2，則3a4.若log4x?log4

y?2，求

?3

b

1x

?

1y的最小值.并求x,y的值.5.已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x 2＋ ＝1，求1＋y 2 的最大值.26.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值.7.若直角三角形周長(zhǎng)為1，求它的面積最大值.y 2

第五篇：人教版數(shù)學(xué)不等式解讀

人教版數(shù)學(xué)不等式解讀

課程目標(biāo)：不等關(guān)系與相等關(guān)系都是客觀事物的基本數(shù)量關(guān)系，是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容。建立不等觀念、處理不等關(guān)系與處理等量問題是同樣重要的。在本模塊中，學(xué)生將通過具體情境，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，理解不等式（組）對(duì)于刻畫不等關(guān)系的意義和價(jià)值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解決一些實(shí)際問題；能用二元一次不等式組表示平面區(qū)域，并嘗試解決一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問題；認(rèn)識(shí)基本不等式及其簡(jiǎn)單應(yīng)用；體會(huì)不等式、方程及函數(shù)之間的聯(lián)系。

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)

大綱教材中，一元二次不等式安排在集合之后、簡(jiǎn)易邏輯之前，作為初中一元一次不等式的自然延伸和新高一的起步內(nèi)容之一，而課標(biāo)教材把一元二次不等式安排在模塊5，根據(jù)浙江省高中新課程實(shí)施意見，應(yīng)在高二（上）學(xué)習(xí)；二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題從大綱教材解析幾何部分的一個(gè)單元移到模塊5；刪除一元高次、分式不等式，把絕對(duì)值不等式移到選修4－5，把不等式證明也移到選修4－

5、1－2（文）、2－2（理）。

二、教學(xué)要求──立足基礎(chǔ)、螺旋上升，促進(jìn)主動(dòng)學(xué)習(xí)、激勵(lì)自主發(fā)展

1．基本要求

（1）了解不等式（組）的實(shí)際背景。

（2）理解不等式（組）對(duì)于刻畫不等關(guān)系的意義和價(jià)值。

（3）會(huì)用不等式（組）表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系，能用不等式（組）研

究含有不等關(guān)系的實(shí)際問題。

（4）了解不等式一些基本的性質(zhì)。

（5）了解從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程，理解一元二次

不等式的概念。

（6）理解并掌握一元二次不等式、二次函數(shù)及一元二次方程之間的關(guān)系。

（7）理解并掌握解一元二次不等式的過程。

（8）會(huì)求一元二次不等式的解集。

（9）掌握求解一元二次不等式的程序框圖及隱含的算法思想。

（10）了解從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式（組）模型的過程。

（11）理解二元一次不等式（組）及其解集的概念。

（12）了解二元一次不等式的幾何意義，理解（區(qū)域）邊界的概念及其實(shí)、虛線的含義。

（13）會(huì)用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域。

（14）了解線性約束條件、目標(biāo)函數(shù)、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)劃、可行域、可行解、最優(yōu)解的概念。

（15）掌握簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問題的解法。

（16）了解基本不等式的代數(shù)、幾何背景及其證明過程。

（17）理解算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)的概念。

（18）會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（小）值問題。

（19）通過基本不等式的實(shí)際應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

2．發(fā)展要求

（1）理解并掌握不等式的基本性質(zhì)。

（2）體會(huì)不等式的基本性質(zhì)在不等式證明中所起的作用。

（3）一元二次不等式解法及應(yīng)用。

（4）能把一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成二元線性規(guī)劃問題并加以解決。

（5）掌握基本不等式應(yīng)用及其使用的條件。

三、課標(biāo)教材特點(diǎn)分析

1．教學(xué)內(nèi)容

通過前后移動(dòng)、左右拆分等動(dòng)作試圖把體現(xiàn)和刻畫不等關(guān)系的意義、價(jià)

值、方法和思想的有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了一次整編，使得內(nèi)容上 “形式的大拼盤”在不等關(guān)系和不等思想這個(gè)層次上得到“實(shí)質(zhì)性的統(tǒng)一”。從多角度（實(shí)際背景、幾何意義、代數(shù)算理、不等思想等）體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)基礎(chǔ)性、發(fā)展性、應(yīng)用性和思想性的要求。

2．教學(xué)要求

（1）在解不等式方面，課標(biāo)教材有二個(gè)特點(diǎn)：基本要求進(jìn)一步降低、重視直觀合情推理。在大綱教材刪除指、對(duì)數(shù)不等式和根式不等式之后又刪除了一元高次不等式、分式不等式，絕對(duì)值不等式移到選修4－5（選修IB之一，不作高考要求）；在課標(biāo)教材的例題中，解一元二次不等式前都是先研究相應(yīng)的一元二次方程的根、二次函數(shù)的圖象，這是大綱教材所不及的。

（2）在不等式證明方面采取分步到位、螺旋上升的策略，但現(xiàn)階段浙

江省高考對(duì)不等式證明的要求是降低的。雖然在選修1－2（文）、2－2（理）的推理與證明中提出用綜合法與分析法是選修IA之一，作為浙江高考要求；但選修4－5中不等式選講中不等式證明的常用方法及柯西、排序、均值不等式及其應(yīng)用，還介紹了數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式，這些內(nèi)容是選修IB之一，不作為浙江高考要求。另外，基本不等式只要求了解其代數(shù)、幾何背景及證明過程，應(yīng)用上只要求用于求簡(jiǎn)單的最值問題。

3．教學(xué)意義

數(shù)學(xué)是思維的體操，不等式作為大綱教材的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，在培養(yǎng)學(xué)

生演繹推理能力方面起到重要作用，但大綱教材在推理的技巧性和嚴(yán)密性上多層次人為的過度強(qiáng)調(diào)，在演繹推理難度上不斷提升，往往使得學(xué)生成為思維的機(jī)器，而不是思維的主人。課標(biāo)教材強(qiáng)調(diào)合情推理和演繹推理并重，強(qiáng)調(diào)不等式的背景和實(shí)際應(yīng)用，把不等式作為刻畫現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的數(shù)學(xué)工具，作為描述優(yōu)化問題的一種數(shù)學(xué)模型，而不是從數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)的純理論，使思維成為自然的可能，將使學(xué)生成為思維的主人。

練；強(qiáng)調(diào)學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的形成過程，淡化一些技巧性的要求；強(qiáng)調(diào)

利用圖象的直觀性和合情推理，淡化純演繹推理。

3.1不等關(guān)系與不等式

這一節(jié)讓學(xué)生從大文化和實(shí)際背景認(rèn)識(shí)不等關(guān)系的普遍性，如章頭圖及其說 明詩：“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”（這首蘇東坡的《題西林壁》的后二句大家更熟悉：不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中）；具體要求也和原教材有很大的不同，原教材作為研究不等式的理論基礎(chǔ)，先結(jié)出實(shí)數(shù)大小比較的基本原理，再歸結(jié)出五大定理和幾個(gè)推論，部分還結(jié)出了證明。而課標(biāo)教材也先結(jié)出實(shí)數(shù)大小比較的基本原理，但把五大定理和幾個(gè)推論整理為不等式的八大性質(zhì)，并只作一些簡(jiǎn)要的說明，并強(qiáng)調(diào)這些關(guān)于不等式的事實(shí)和性質(zhì)是解決不等式問題的依據(jù)，所以在教學(xué)中，我們不必在這些性質(zhì)的證明中化過多的時(shí)間，而應(yīng)該著眼于通過實(shí)際背景、幾何意義、具體例子來說明這些性質(zhì)的合理性，對(duì)一些不等式的推斷作一些分析驗(yàn)證；在此過程中更要重視學(xué)生的參與，師生在實(shí)際背景、幾何意義、具體例子的共同作用下接受合情推理及其結(jié)論，盡可能減少學(xué)習(xí)過程中被迫無奈的成分（包括教師作為成人已具有的，而學(xué)生未具備的文化背景和經(jīng)驗(yàn)）。另外，我個(gè)人認(rèn)為引入不等關(guān)系和性質(zhì)的實(shí)際背景、具體例子和性質(zhì)本身都可以根據(jù)實(shí)際情況（當(dāng)?shù)貙W(xué)生情況和我省模塊1－4－5－2－3的現(xiàn)實(shí)）作一些必要的調(diào)整，如問題1的內(nèi)容（點(diǎn)到平面的距離）、章頭圖的形式（人教A版用熔巖峰嶺圖、上海教材用城市道路和高樓圖）、八條性質(zhì)的設(shè)置（如減對(duì)稱性，增倒數(shù)性質(zhì)）。

3.2一元二次不等式及其解法

在大綱教材中，集合和邏輯聯(lián)結(jié)詞之后簡(jiǎn)易邏輯和函數(shù)之前安排了借助二次 函數(shù)解決二次不等式有關(guān)問題，究其用意，一是讓使學(xué)生進(jìn)一步完善二次函數(shù)這一中學(xué)里最重要的函數(shù)的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，并在理解抽象的函數(shù)概念時(shí)有一個(gè)具體的函數(shù)模型；二是鞏固有關(guān)集合的基本概念；三是鞏固并熟悉使用“或”、“且”二個(gè)邏輯聯(lián)結(jié)詞，并為學(xué)習(xí)“簡(jiǎn)易邏輯”打好基礎(chǔ)；四是為下一章研究某些函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性作準(zhǔn)備。課標(biāo)教材為了防止師生在學(xué)習(xí)集合和函數(shù)概念時(shí)，借助二次不等式對(duì)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等細(xì)小問題進(jìn)行大量繁瑣的所謂重點(diǎn)訓(xùn)練，而忽視對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)的理解、忽視對(duì)函數(shù)性質(zhì)的討論、忽視函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，故課標(biāo)教材采取了釜底抽薪的方法，把二次不等式放到必修5。但已經(jīng)參與實(shí)驗(yàn)的教師中，特別是在一些多次使用傳統(tǒng)教材的教師中，有許多人對(duì)此提出質(zhì)疑，我認(rèn)為這主要是受使用大綱教材（把二次不等式放在集合與函數(shù)之

間）的經(jīng)驗(yàn)和習(xí)慣性的影響。對(duì)此，我有二個(gè)建議：部分現(xiàn)階段一時(shí)難以適應(yīng)的老教師，在盡可能實(shí)現(xiàn)課標(biāo)教材設(shè)計(jì)意圖的情況下可以暫時(shí)沿用以往的辦法來處理；學(xué)生數(shù)學(xué)基本能力和思想（主要是本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)過程中的蘊(yùn)含的有關(guān)能力，如實(shí)際背景抽象出數(shù)學(xué)模型的能力、數(shù)形結(jié)合的能力、從直觀到理性和從特殊到一般的認(rèn)識(shí)能力）較好的班級(jí)也可以暫時(shí)沿用以往的辦法來處理。但我們應(yīng)努力改變這種情況。

人教A版先通過一個(gè)上網(wǎng)費(fèi)用問題引入一元二次不等式的概念，讓學(xué)生了解 從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程，理解一元二次不等式的概念。然后借助具體二次函數(shù)的圖象研究二次函數(shù)的零點(diǎn)和一元二次方程根的關(guān)系，并觀察當(dāng)一點(diǎn)P在二次函數(shù)圖象上移動(dòng)（即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x變化）時(shí)，其縱坐標(biāo)y有什么變化？進(jìn)而歸納出一般一元二次不等式的解法，最后讓學(xué)生自主完成求解一般一元二次不等式的過程的程序框圖。從實(shí)際背景到數(shù)學(xué)模型，從直觀感受到理性認(rèn)識(shí)，從特殊到一般，這種處理符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有助于學(xué)生認(rèn)清知識(shí)的形成過程，加深對(duì)知識(shí)的理解，更重要的是在此過程中學(xué)生能有體驗(yàn)的感受，往往使學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的思想方法。故教學(xué)中要重體驗(yàn)淡模式、重應(yīng)用淡技巧、重背景控難度?？傊匾暲斫獠⒄莆战庖辉尾坏仁降倪^程，突出數(shù)形結(jié)合的思想，理解二次函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系，達(dá)到求一元二次不等式的解集的基本要求即可，相關(guān)內(nèi)容在選修4－5中將進(jìn)一步討論。

3.3二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題

不等關(guān)系在日常生活、現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、科學(xué)實(shí)驗(yàn)中大量存在，如上網(wǎng)時(shí)間費(fèi)用、剎車距離與車速關(guān)系、資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題。不等式是用來刻畫不等關(guān)系的優(yōu)化工具，二元一次不等式（組）刻畫區(qū)域的準(zhǔn)確性和可活動(dòng)性使之成為解決二元線性規(guī)劃問題的有效工具。本節(jié)安排了線性規(guī)劃及其實(shí)習(xí)作業(yè)內(nèi)容，教學(xué)中要立足于實(shí)際問題是數(shù)學(xué)問題的源泉，解決實(shí)際問題是數(shù)學(xué)研究的主要目的之一；同時(shí)，由于浙江省先安排上模塊5，后上模塊2，故高一教學(xué)時(shí)應(yīng)作適當(dāng)調(diào)整，一種是把整節(jié)切割到直線方程之后，另一種是適當(dāng)補(bǔ)充直線方程有關(guān)內(nèi)容（如傾斜角、斜率等），我傾向選擇后一種方案（主要基于二點(diǎn)理由：傾斜角、斜率比較直觀，三角函數(shù)已學(xué)），主要理由是遵循教材設(shè)計(jì)意圖（不等關(guān)系）；另外，多元條件極值是有一定難度的，教學(xué)中不應(yīng)再過多展開，要讓學(xué)生通過自主研究理解掌握基本解法即可，如可讓學(xué)生自主探究完成二元一次不等式表示的平面區(qū)域（象探究一元二次不等式的解法一樣，經(jīng)歷觀察、嘗試、思考等探究的過程）；最后，要幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從實(shí)際問題中抽象出二元一次不等式（組），這是本節(jié)的難點(diǎn)。

3.4基本不等式：ab?a?b

首先，我們應(yīng)明確，本節(jié)的重點(diǎn)是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，從 不同角度探索它的證明過程（證明意識(shí)的培養(yǎng)），難點(diǎn)是利用之求最大（?。┲?，一般不等式證明不是本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，選修1－2（文）、2－2（理）、4－5中將會(huì)繼續(xù)研究；其次，基本不等式只限于二元；第三，教學(xué)中應(yīng)突出用基本不等式解決簡(jiǎn)單問題，特別是實(shí)際問題（如周長(zhǎng)、面積、造價(jià)等）的最大（?。┲?；第四，不要有意設(shè)置一些特殊問題去強(qiáng)調(diào)所謂“一正、二定、三相等”。