第一篇：高二數(shù)學(xué)學(xué)案---不等式不等式基本性質(zhì)(續(xù)完)-高二數(shù)學(xué)學(xué)案_118_411

第二教時

教材：不等式基本性質(zhì)（續(xù)完）

目的：繼續(xù)學(xué)習(xí)不等式的基本性質(zhì)，并能用前面的性質(zhì)進行論證，從而讓學(xué)生清楚事物內(nèi)部是具有固有規(guī)律的。過程：

一、復(fù)習(xí)：不等式的基本概念，充要條件，基本性質(zhì)1、2

二、1．性質(zhì)3：如果a?b，那么a?c?b?c（加法單調(diào)性）反之亦然 證：∵(a?c)?(b?c)?a?b?0 ∴a?c?b?c

從而可得移項法則：a?b?c?a?b?(?b)?c?(?b)?a?c?b 推論：如果a?b且c?d，那么a?c?b?d（相加法則）證：a?b?a?c?b?c?c?d?b?c?b?d??a?c?b?d

?推論：如果a?b且c?d，那么a?c?b?d（相減法則）

證：∵c?d ∴?c??d ?a?b??c??d?a?c?b?d

?或證：(a?c)?(b?d)?(a?b)?(c?d)

?a?b?a?b?0??c?d ?c?d?0??上式>0 ………

?2．性質(zhì)4：如果a?b且c?0, 那么ac?bc；

如果a?b且c?0那么ac?bc（乘法單調(diào)性）證：ac?bc?(a?b)c ∵a?b ∴a?b?0

根據(jù)同號相乘得正，異號相乘得負(fù)，得：

c?0時(a?b)c?0即：ac?bc

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c?0時(a?b)c?0即：ac?bc

推論1 如果a?b?0且c?d?0，那么ac?bd（相乘法則）

證：a?b,c?0?ac?bc?c?d,b?0?bc?bd??ac?bd

?推論1’（補充）如果a?b?0且0?c?d，那么

a?bcd（相除法則）

1?證：∵d?c?0 ∴abc?1d?0???

a?b?0??c?d推論2 如果a?b?0, 那么an?bn(n?N且n?1)3．性質(zhì)5：如果a?b?0，那么na?nb(n?N且n?1)證：（反證法）假設(shè)na?nb

nn則：若

a?b?a?ba?bn這都與矛盾 ∴na?nba?nb?a?b

三、小結(jié)：五個性質(zhì)及其推論 口答P8 練習(xí)1、2習(xí)題6.1 4

四、作業(yè) P8 練習(xí)3習(xí)題6.1 5、6

五、供選用的例題（或作業(yè)）

1．已知a?b?0，c?d?0，e?0，求證：

e?ea?cb?d

證：a?b?0?11?eec?d?0??a?c?b?d?0?

?a?c?b?d????e?0??a?cb?d2．若a,b?R，求不等式a?b,11a?b同時成立的條件

1解：a?1b?b?aab?0????ab?0

a?b?b?a?0??

3．設(shè)a,b,c?R，a?b?c?0,abc?0 求證

1a?1b?1c?0

證：∵a?b?c?0 ∴a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc?0 又∵abc?0 ∴a2?b2?c2>0 ∴ab?ac?bc?0 ∵∴1a1a??1b1b??1c1c?ab?bc?caabc abc?0 ∴ab?ac?bc?0

?0

1a4．a(chǎn)b?0,|a|?|b| 比較解：1a與

1b的大小

?1b?b?aab 當(dāng)a?0,b?0時∵|a|?|b|即a?b

b?aab?0 b?a?0 ab?0 ∴當(dāng)a?0,b?0時∵|a|?|b|即a?b

b?a?0 ∴

1a<

b1 ab?0 ∴

bab?aab?0 ∴

1a>

b15．若a,b?0 求證：解：ba?1?b?aa?0?1?b?a

∵a?0 ∴b?a?0 ∴a?b

∴

b?aa?ba?1?0b?a?b?a?0 ∵a?0 ∴

?ba?1

6．若a?b?0,c?d?0 求證：證：∵0?sin??1 ?>1 ∴l(xiāng)oglogsin??a?c?logsin?b?d

sin???0

又∵a?b?0,?c??d?0 ∴a?c?b?d ∴1a?c?1b?d ∴原式成立

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第二篇：高二數(shù)學(xué)不等式的證明

高二數(shù)學(xué)不等式的證明(二)

[本周學(xué)習(xí)內(nèi)容]不等式證明中的綜合證明方法：

1.換元法：通過適當(dāng)?shù)膿Q元，使問題簡單化，常用的有三角換元和代數(shù)換元。

2.放縮法：理論依據(jù)：a>b,b>ca.c，找到不等號的兩邊的中間量，從而使不等式成立。

3.反證法：理論依據(jù)：命題“p”與命題“非p”一真、一假，證明格式

[反證]：假設(shè)結(jié)論“p”錯誤，“非p”正確，開始倒推，推導(dǎo)出矛盾(與定義，定理、已知等等矛盾)，從而得 到假設(shè)不正確，原命題正確。

4.數(shù)學(xué)歸納法：這是一種利用遞推關(guān)系證明與非零自然數(shù)有關(guān)的命題，可以是等式、不等式、命題。

證明格式：

(1)當(dāng)n=n0時，命題成立；

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立；

則當(dāng)n=k+1時，證明出命題也成立。

由(1)(2)知：原命題都成立。

[本周教學(xué)例題]

一、換元法：

1.三角換元：

例1.求證：

證一：(綜合法)

即：

證二：(換元法)∵-1≤x≤1 ∴令x=cos,[0,π]

則

∵-1≤sin2≤1

例2.已知x>0，y>0，2x+y=1，求證：

分析：由于條件給出了x>0，y>0，2x+y=1，故如何使用2x+y=1這一特點是解決問題的重要環(huán)節(jié)。由本題中x>0，y>0,2x+y=1的條件也可用三角代換。

證一：

證二：由x>0,y>0，2x+y=1，可設(shè)

則

例3.若x2+y2≤1，求證：

證：設(shè)

則

例4.若x>1，y>1，求證：

證：設(shè)

則

例5.已知：a>1,b>0，a-b=1，求證：

證：∵a>1,b>0,a-b=1，∴不妨設(shè)

則

小結(jié)：若0≤x≤1，則可令

若x2+y2=1，則可令x=cos，y=sin(0≤θ<2π)

若x2-y2=1，則可令x=sec,y=tan(0≤θ<2π)

若x≥1，則可令

2.代數(shù)換元：，若xR，則可令

例6：證明：若a>0，則

證：設(shè)

則

即

∴原式成立

小結(jié)：還有諸如“均值換元”“設(shè)差換元”的方法。

二、放縮法：

例7.若a,b,c,dR+，求證：

證：記

∵a,b,c,dR+

∴1

例8.當(dāng)n>2時，求證：logn(n-1)logn(n+1)<1

證：∵n>2 ∴l(xiāng)ogn(n-1)>0，logn(n+1)>0

∴n>2時，logn(n-1)logn(n+1)<1

例9.求證：

證：

三.反證法

例10.設(shè)0

證：設(shè)

則三式相乘： ①

又∵0

同理：

以上三式相乘：

∴原式成立

與①矛盾

例11.已知a+b+c+>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a,b,c>0

證：設(shè)a<0，∵abc>0，∴bc<0

又由a+b+c>0，則b+c=-a>0

∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0 與題設(shè)矛盾

又：若a=0，則與abc>0矛盾，∴必有a>0

同理可證：b>0，c>0

四.構(gòu)造法：

1.構(gòu)造函數(shù)法

例12.已知x>0，求證：

證：構(gòu)造函數(shù)

由

顯然

∴上式>0

∴f(x)在 上單調(diào)遞增，∴左邊

例13.求證：

證：設(shè)

用定義法可證：f(t)在上單調(diào)遞增，令：3≤t1

例14.已知實數(shù)a,b,c，滿足a+b+c=0和abc=2，求證：a,b,c中至少有一個不小于2。

證：由題設(shè)：顯然a,b,c中必有一個正數(shù)，不妨設(shè)a>0

則有兩個實根。

例15.求證：

證：設(shè)

當(dāng)y=1時，命題顯然成立，當(dāng)y≠1時，△=(y+1)2-4(y-1)2=(3y-1)(y-3)≥0

綜上所述，原式成立。(此法也稱判別式法)

例16.已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均為正，求證：xy≥ac+bd

證一：(分析法)∵a,b,c,d,x,y都是正數(shù)

∴要證：(xy)≥ac+bd

只需證

即：(a2+b2)(c2+d2)≥a2c2+b2d2+2abcd

展開得：a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd

即：a2d2+b2c2≥2abcd

由基本不等式，顯然成立

∴xy≥ac+bd

證二：(綜合法)

證三：(三角代換法)

∵x2=a2+b2，∴不妨設(shè)

y2=c2+d

2五.數(shù)學(xué)歸納法：

例17.求證：設(shè)nN，n≥2，求證：

分析：關(guān)于自然數(shù)的不等式?？捎脭?shù)學(xué)歸納法進行證明。

證：當(dāng)n=2時，左邊，易得：左邊>右邊。

當(dāng)n=k時，命題成立，即：成立。

當(dāng)n=k+1時，左邊

又

；且4(k+1)2>(2k+3)(2k+1)；

于是可得：

即當(dāng)n=k+1時，命題也成立；

綜上所述，該命題對所有的自然數(shù)n≥2均成立。

[本周參考練習(xí)]

證明下列不等式：

1.提示：令，則(y-1)x2+(y+1)x+(y-1)x=0用△法，分情況討論。

2.已知關(guān)于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0(aR)，對任意實數(shù)x恒成立，求證：

提示：分

3.若x>0，y>0，x+y=1，則

提示：左邊

令t=xy，則

在 上單調(diào)遞減

4.已知|a|≤1，|b|≤1，求證：，提示：用三角換元。

5.設(shè)x>0，y>0，求證：a

放縮法

6.若a>b>c，則

10.左邊

11.求證：高二數(shù)學(xué)不等式的應(yīng)用

三.關(guān)于不等式的應(yīng)用：

不等式的應(yīng)用主要圍繞著以下幾個方面進行：

1.會應(yīng)用不等式的證明技巧解有關(guān)不等式的應(yīng)用題：利用不等式求函數(shù)的定義域、值域；求函數(shù)的最值；討論方程的根的問題。

(求極值的一個基本特點：和一定，一般高，乘積撥了尖；積不變，兩頭齊，和值得最低。)在使用時，要注意以下三個方面：“正數(shù)”、“定值”、“等號”出現(xiàn)的條件和成立的要求，其中“構(gòu)造定值”的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用在極值使用中有著相當(dāng)重要的作用。

2.會把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題進而建立數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力和運用數(shù)學(xué)的意識。

3.通過不等式應(yīng)用問題的學(xué)習(xí)，進一步激發(fā)學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣。

四、不等式的應(yīng)用問題舉例：

例10.已知a、b為正數(shù)，且a+b=1，求

最大值。

分析：在一定的條件限制下出現(xiàn)的最值問題，在變式的過程中，如何減少變形產(chǎn)生的錯誤也是必不可少的一個環(huán)節(jié)。

解：由可得；

小結(jié)：如果本題采用

兩式相加而得：號是否取到，這是在求極值時必須堅持的一個原則。

；則出現(xiàn)了錯誤：“=”

例11.求函數(shù)的最小值。

分析：變形再利用平均值不等式是解決問題的關(guān)鍵。

解：

即f(x)最小值為-1

此類問題是不等式求極值的基本問題；但如果再改變x的取值范圍(當(dāng)取子集時)，要則要借助于函數(shù)的基本性質(zhì)解決問題了。

例12.若4a2+3b2=4，試求y=(2a2+1)(b2+2)的最大值。的某一個

分析：在解決此類問題時，如何把4a2+3b2=4拆分成與(2a2+1),(b2+2)兩個式子的代數(shù)和則是本問題的關(guān)鍵。

解：

當(dāng)且僅當(dāng)：4a2+2=3b2+6，即

時取等號，y的最大值為8。

小結(jié)：此問題還有其它不同的解法，如三角換元法；消元轉(zhuǎn)化法等等。但無論使用如何種廣泛，都必須注意公式中的三個運用條件(一正，二定，三等號)

例13.已知x.y>0，且x·y=1，求的最小值及此時的x、y的值。

分析：考查分式的最值時，往往需要把分式拆成若干項，然后變形使用平均值不等式求解。

解：∵x>y>0 ∴x-y>0

又∵x·y=1，也即：；當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。

也即；時，取等號。

例14.設(shè)x，y，z∈R+，x+y+z=1，求證：的最小值。

分析：此類問題的關(guān)鍵是如何使用平均值不等式，兩條途徑1.利用進而進行類加。

2.另一個途徑是直接進行1的構(gòu)造與轉(zhuǎn)化。但無論如何需要注意的是驗證“=”號成立。本題使用1的構(gòu)造代入。

解：∵x，y，z∈R+，且x+y+z=1

當(dāng)且僅當(dāng)時，取“=”號，的最小值為9。

小結(jié)：本題如果采用三式類加，得到：，由x，y，z∈R+，且x+y+z=1得：

。進而言之，的最小值為5，則出現(xiàn)了一個錯誤的結(jié)果，其關(guān)鍵在于三個“=”號是否同時成立。

例15.已知a>0,a2-2ab+c2=0，bc>a2，試比較 a，b，c的大小。

分析：此問題只給出了幾何簡單的不等式關(guān)系，故要判斷大小必須在這幾個不等式中進行變形分析才可解決問題。

解：由a2-2ab+c2=0可得，a2+c2=2ab≥2ac

又∵a>0,∴b≥c,(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時，取等號)再由：bc>a2可知，b>c,b>a再由原式變形為：a2-2ab+b2+c2-b2=0得：b2≥c2，結(jié)合：b>c可得：b>c>0

又由b>a可得：2ab>2a2，綜上所述，可得：b>c>a

小結(jié)：本題中熟練掌握不等式的基本性質(zhì)和變形是解決問題的關(guān)鍵。

例16.某村計劃建造一個室內(nèi)面積為800m2的矩形蔬菜溫室。在溫室內(nèi)，沿左，右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地。當(dāng)矩形溫室的邊長各為多少時？蔬菜的種植面積最大。最大種植面積是多少？

分析：如何把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，是應(yīng)用不等式等基礎(chǔ)知識和方法解決實際問題的基本能力。

解：設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長為am，后側(cè)邊長為bm，則ab=800

蔬菜的種植面積S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b)

所以

當(dāng)a=2b，即a=40(m),b=20(m)時，=648(m2)

答：當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長為40m，后側(cè)邊長為20m時，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積為648m2.例17.某企業(yè)2003年的純利潤為500萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降，若不能進行技術(shù)改造，預(yù)測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進行技術(shù)改造，預(yù)測在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年(今年為第一年)的利潤為

(Ⅰ)設(shè)從今年起的前n年，若該企業(yè)不進行技術(shù)改造的累計純利潤為An萬元，進行技術(shù)改造后的累計純利潤為Bn萬元(須扣除技術(shù)改造資金)，求An、Bn的表達式；

(Ⅱ)依上述預(yù)測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤？

分析：數(shù)學(xué)建模是解決應(yīng)用問題的一個基本要求，本問題對建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式的基礎(chǔ)知識，運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力都有著較高的要求。

解：(Ⅰ)依題設(shè)，An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2；

(Ⅱ)

因為函數(shù)上為增函數(shù)，當(dāng)1≤n≤3時，當(dāng)n≥4時，∴僅當(dāng)n≥4時，Bn>An。

答：至少經(jīng)過4年，該企業(yè)進行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤。

小結(jié)：如何進行數(shù)學(xué)建模最基本的一個方面就是如何把一個實際中的相關(guān)因素進行分析，通過文字說明轉(zhuǎn)化為等量關(guān)系或者是相互關(guān)系，再把文字關(guān)系處理為數(shù)學(xué)關(guān)系。

五、本周參考練習(xí)

1.已知a>0 ,b>0,a+b=1，證明：

2.如果△ABC的三內(nèi)角滿足關(guān)系式：sin2A+sin2B=sin2C，求證：

3.已知a、b、c分別為一個三角形的三邊之長，求證：

4.已知x，y是正數(shù)，a，b是正常數(shù)，且滿足：，求證：

5.已知a，b，c∈R+，求證：

6.已知a>0，求的最值。(答最小值為)

7.證明：通過水管放水，當(dāng)流速相等時，如果水管截面(指橫截面)的周長相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大。

8.某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x，y(單位：m)的矩形。上部是等腰直角三角形，要求框架圍成的總面積8m2，問x、y分別為多少(精確到0.001m)時用料最省？

(答：當(dāng)x為2.34m，y為2.828m時，用料最省。)高二數(shù)學(xué)練習(xí)三

1.xR，那么(1-|x|)(1+x)>0的一個充分不必要條件是()

A.|x|<1

B.x<1

C.|x|>1

D.x<-1或|x|<1

2.已知實數(shù)a，b，c滿足：a+b+c=0，abc>0，則：的值()

A.一定是正數(shù)

B.一定是負(fù)數(shù)

C.可能是0

D.無法確定

3.已知a,b,c是△ABC的三邊，那么方程a2x2-(a2-b2+c2)x+c2=0（）

A.有兩個不相等的實根

B.有兩個相等的實根

C.沒有實數(shù)根

D.要依a，b，c的具體取值確定

4.設(shè)0

A.C.5.設(shè)a,bR+，則A，B的大小關(guān)系是（）

B.D.A.A≥B

B.A≤B

C.A>B

D.A

6.若實數(shù)m，n，x，y滿足m2+n2=a，x2+y2=b，則mx+ny的最大值是（）

A.B.C.D.7.設(shè)a，b，cR+，則三個數(shù)

A.都大于2

B.都小于2

（）

C.至少有一個不大于2

D.至少有一個不小于2

8.若a，bR+，滿足a+b+3=ab，則

9.設(shè)a>0,b>0.c>0，a+b+c=1，則的取值范圍是_____ 的最大值為_____

10.使不等式

答案：

1.A 2.B 3.C 4.D 5.C 6.B

7.D 8.9.10.a>b>0且a-b>1

都成立的a與b的關(guān)系是_____

第三篇：基本不等式復(fù)習(xí)學(xué)案

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)案第六章 不等式、推理與證明姓名：班級：主備人：趙鎖恩

第四節(jié)

A.1B.3C.5D.7

基本不等式

三.基本不等式的應(yīng)用

10.（2011.日照質(zhì)檢）已知正數(shù)a,b,c滿足a?2b?c?1，則

一.基本不等式成立的條件

1.（2011.茂名期末）下列結(jié)論中，正確的序號有：（1）x?

??的最小值為_____ abc

11111.（2012.白山一摸）函數(shù)y?loga(x?3)?1(a?0,且a?1)的圖象恒過定點A，若定點A?2 ；（2）當(dāng)x?0x?（3）當(dāng)x?0且x?1時，lgx??2；?2xx

lgx（4）當(dāng)x?(0,?)時，sinx?4sinx?4；（5）x2?5x2?4?2 ；（6）2x

?12x?2 二.利用基本不等式求最值

2.（2009.湖南）若x?0，則x?2

x的最小值為________

3.（2011.重慶）函數(shù)f(x)?x?

x?2

(x?2)在x?a處取最小值，則a?_______ 4.（2012.九江模擬）函數(shù)f(x)?x2

?2x?1x2

?2x?1,x?(0,3)，則（）A.f(x)有最大值7

4B.f(x)有最小值?1

C.f(x)有最大值1D.f(x)有最小值1

5.（2009.重慶）已知a?0,b?0，則

1a?1

b

?2ab的最小值是（）A.2B.22C.4D.5

6.（2013.福建）若2x

?2y

?1，則x?y的取值范圍是（）

A.[0,2]B.[?2,0]C.[?2,??)D.(??,?2]

7.（2011.天津）已知log2a?loga

b

2b?1，則3?9的最小值是______

8.（2011.浙江）若正實數(shù)x,y滿足x,y滿足x2?y2

?xy?1，則x?y的最大值是______

9.（2012.韶關(guān)一摸）當(dāng)點(x,y)在直線x?3y?2?0上移動時，表達式3x

?27y

?1的最小值為（）

十年磨劍為一搏，六月試鋒現(xiàn)真我。在直線mx?ny?1?0，其中mn?0，則1m?2

n的最小值為______

12.(2010山東)若對任意x?0,xx2?3x?1

?a恒成立，則a的取值范圍是__________________ 13.（2012.大連二模）已知x?0,y?0，且

2x?1

y

?1，若x?2y?m2?2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A.m?4或m??2B.m?2或m??4C.?2?m?4D.?4?m?2

14.（2012長春模擬）已知M是?ABC內(nèi)的一點，且??2,?BAC?30?,若?MBC,?MCA,?MAB的面積分別為

114

2，x，y，則x?y的最小值為______

15.（2012.煙臺二模）設(shè)a,b?R，則“a?b?1”是“4ab?1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

16.（2008.浙江）已知a?0,b?0，且a?b?2，則（）

A.ab?

1B.ab?12222

C.a?b?3

D.a

?b2?2

17.（2010.安徽）若a?0,b?0，且a?b?2，則下列不等式對一切滿足條件的a,b恒成立的是__________________（寫出所有正確命題的序號）（1）ab?1（2）a?b?（3）a

?b2?2（4）a3?b3?3（5）1a

?1b

?2

把奮斗留在今天，把結(jié)果留給命運。

第四篇：1.1.2不等式的基本性質(zhì)導(dǎo)學(xué)案

蘭州新區(qū)永登縣第五中學(xué)高二數(shù)學(xué)（文）導(dǎo)學(xué)案

班級：小組名稱：姓名：得分：

導(dǎo)學(xué)案 §1.1.2不等式的基本性質(zhì)

設(shè)計人：薛東梅審核人：梁國棟、趙珍

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．了解兩個正數(shù)的算術(shù)平均與幾何平均；2．理解定理1和定理2；3．掌握利用基本不等式求一些函數(shù)的最值及解決實際的應(yīng)用問題。學(xué)習(xí)重點：對兩個定理的理解

學(xué)習(xí)難點：應(yīng)用基本不等式求最值問題

學(xué)習(xí)方法：六動感悟法（讀，想，記，思，練，悟）

一、自學(xué)評價 1．定理1：

2．定理2：（基本不等式）

3．如果a,b都是正數(shù)，我們就稱為a,b的為a,b的，于是，基本不等式可以表述為：思考：利用基本不等式

a?b

?ab求最值的條件？

注意：利用基本不等式求最值的方法與步驟：（1）變正：通過提取“負(fù)號”變?yōu)檎龜?shù)；

（2）湊定：利用拆項、添項的方法，湊出“和”或“乘積”為定值；（3）求最值：利用基本不等式求出最值；（4）驗相等：驗證等號能否成立；（5）結(jié)論：得出最大值或最小值。

4．已知x，yyx

x?y

?

2二、檢測交流

1．用籬笆圍一個面積為100m2的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？

2．一段長為36m的籬笆圍城一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積時多少？

三、拓展探究

1．設(shè)a，b?R2ab

?，且a?b，求證a?b

?ab

2．當(dāng)x>0時，x?1x存在最值，最值為x<0時，x?1

x

存在最

3．設(shè)x,y為正數(shù)，求(x?y)(1?4

xy)的最小值

4．已知x?54，求函數(shù)y?4x?2?14x?5的最值

5．猜想對于3個正數(shù)a,b,c,a?b?c3

?abc成立嗎？

第五篇：七年級數(shù)學(xué)不等式基本性質(zhì)說課稿

七年級數(shù)學(xué)不等式基本性質(zhì)說課稿

我今天說課的題目是《不等式的基本性質(zhì)》，主要分四塊內(nèi)容進行說課：教材分析；教學(xué)方法的選擇；學(xué)法指導(dǎo)；教學(xué)流程。

一、教材分析：

1．教材的地位和作用

本節(jié)課的內(nèi)容是選自人教版義務(wù)課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書七年級下第九章第一節(jié)第二課時《不等式的基本性質(zhì)》，這是繼方程后的又一種代數(shù)形式，繼承了方程的有關(guān)思想，并實現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點和難點，對進一步學(xué)習(xí)一次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用有著及其重大的作用。

2．教學(xué)目標(biāo)的確定

教學(xué)目標(biāo)分為三個層次的目標(biāo)：

⑴知識目標(biāo)：主要是理解并掌握不等式的三個基本性質(zhì)。

⑵能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生利用類比的思想來探索新知的能力，擴充和完善不等式的性質(zhì)的能力。

⑶情感目標(biāo)：讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的猜想與歸納的思維方式，體會類比思想和獲得成功的喜悅。

3．教學(xué)重點和難點

不等式的三個基本性質(zhì)是本節(jié)課的中心，是學(xué)生必須掌握的內(nèi)容，所以我確定本節(jié)的教學(xué)重點是不等式三個基本性質(zhì)的學(xué)習(xí)以及用不等式的性質(zhì)解不等式。本節(jié)課的難點是用不等式的性質(zhì)化簡。

二、教學(xué)方法、教學(xué)手段的選擇：

本節(jié)課在性質(zhì)講解中我采取探索式教學(xué)方法，即采取觀察猜測---直觀驗證---托盤實驗---得出性質(zhì)。使學(xué)生主動參與提出問題和探索問題的過程，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍學(xué)生的思維。為了突破學(xué)生對不等式性質(zhì)應(yīng)用的困難，采取了類比操作化抽象為具體的方法來設(shè)置教學(xué)。整節(jié)課采取精講多練、講練結(jié)合的方法來落實知識點。

三、學(xué)法指導(dǎo)：

鑒于七年級的學(xué)生理解能力和邏輯推理能力還比較薄弱，應(yīng)以激勵的原則進行有效的教學(xué)。鼓勵學(xué)生一種類型的題多練，并及時引導(dǎo)學(xué)生用小結(jié)方法，克服思維定勢。

例題講解采取數(shù)形結(jié)合的方法，使學(xué)生樹立“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想。充分復(fù)習(xí)舊知識，使獲取新知識的過程成為水到渠成，增強學(xué)生學(xué)習(xí)的成就感及自信心，從而培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣。

四、（主要環(huán)節(jié)）教學(xué)流程：

1．創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)引入

等式的基本性質(zhì)是什么？

學(xué)生活動：獨立思考，指名回答．

教師活動：注意強調(diào)等式兩邊都乘以或除以（除數(shù)不為0）同一個數(shù)，所得結(jié)果仍是等式．

請同學(xué)們繼續(xù)觀察習(xí)題：

觀察:用“<”或“>”填空,并找一找其中的規(guī)律.

(1)5>3,52____32,5－2____3－2;

(2)–1<3,-12____32,-1－3____3－3;

(3)6＞2,6×5____2×5,6×(-5)____2×(-5);

(4)–2<3,(-2)×6____3×6,(-2)×(-6)____3×(-6)

學(xué)生活動：觀察思考，兩個（或幾個）學(xué)生回答問題，由其他學(xué)生判斷正誤．

【教法說明】設(shè)置上述習(xí)題是為了溫故而知新，為學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容提供必要的知識準(zhǔn)備．

不等式有哪些基本性質(zhì)呢？研究時要與等式的性質(zhì)進行對比，大家知道，等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式（實質(zhì)是移項法則），請同學(xué)們觀察①②題，并猜想出不等式的性質(zhì)．

學(xué)生活動：觀察思考，猜想出不等式的性質(zhì)．

教師活動：及時糾正學(xué)生敘述中出現(xiàn)的問題，特別強調(diào)指出：“仍是不等式”包括兩種情況，說法不確切，一定要改為“不等號的方向不

變或者不等號的方向改變．”

師生活動：師生共同敘述不等式的性質(zhì)，同時教師板書．

不等式基本性質(zhì)1不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變．

對比等式兩邊都乘（或除以）同一個數(shù)的性質(zhì)（強調(diào)所乘的數(shù)可正、可負(fù)、也可為0）請大家思考，不等式類似的性質(zhì)會怎樣？

學(xué)生活動：觀察③④題，并將題中的5換成2，－5換成一2，按題的要求再做一遍，并猜想討論出結(jié)論．

【教法說明】觀察時，引導(dǎo)學(xué)生注意不等號的方向，用彩色粉筆標(biāo)出來，并設(shè)疑“原因何在？”兩邊都乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)呢？為什么？

師生活動：由學(xué)生概括總結(jié)不等式的其他性質(zhì)，同時教師板書．

不等式基本性質(zhì)2不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變．

不等式基本性質(zhì)3不等式兩邊都乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．

師生活動：將不等式－2＜3兩邊都加上7，－9，兩邊都乘3，－3試一試，進一步驗證上面得出的三條結(jié)論．

學(xué)生活動：看課本第124頁有關(guān)不等式性質(zhì)的敘述，理解字句并默記．

強調(diào)：要特別注意不等式基本性質(zhì)3．

實質(zhì)：不等式的三條基本性質(zhì)實質(zhì)上是對不等式兩邊進行“＋”、“－”、“×”、“÷”四則運算，當(dāng)進行“＋”、“－”法時，不等號方向不變；當(dāng)乘（或除以）同一個正數(shù)時，不等號方向不變；只有當(dāng)乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)時，不等號的方向才改變．

學(xué)生活動：思考、同桌討論．

歸納：只有乘（或除以）負(fù)數(shù)時不同，此外都類似．

(1)如果x-5>4，那么兩邊都可得到x>9

(2)如果在-7<8的兩邊都加上9可得到

(3)如果在5>-2的兩邊都加上a2可得到

(4)如果在-3>-4的兩邊都乘以7可得到

(5)如果在8>0的兩邊都乘以8可得到

師生活動：學(xué)生思考出答案，教師訂正，并強調(diào)不等式性質(zhì)的應(yīng)用．

2．嘗試反饋，鞏固知識

請學(xué)生先根據(jù)自己的理解，解答下面習(xí)題．

&;%61558;例1利用不等式的性質(zhì)解下列不等式并用數(shù)軸表示解集．

&;%61558;(1)x-7＞26(2)-4x≥3

學(xué)生活動：學(xué)生獨立思考完成，然后一個（或幾個）學(xué)生回答結(jié)果．

教師板書

【教法說明】解題時要引導(dǎo)學(xué)生與解一元一次方程的思路進行對比，并將原題與或?qū)φ?，看用哪條性質(zhì)能達到題目要求，要強調(diào)每步的理論依據(jù)，尤其要注意不等式基本性質(zhì)3與基本性質(zhì)2的區(qū)別，解題時書寫要規(guī)范．

【教法說明】要讓學(xué)生明白推理要有依據(jù)，以后作類似的練習(xí)時，都寫出根據(jù)，逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力．

（四）總結(jié)、擴展

本節(jié)重點：

（1）掌握不等式的三條基本性質(zhì)，尤其是性質(zhì)3．

（2）能正確應(yīng)用性質(zhì)對不等式進行變形．

（五）課外思考

對比不等式性質(zhì)與等式性質(zhì)的異同點．

八、布置作業(yè)