第一篇：不等式的性質(zhì)教案

不等式性質(zhì)教案

西南大學(xué)2010級(jí)4班 孫丹 【課標(biāo)要求】

1．不等關(guān)系

通過具體情境，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系；

2不等式的性質(zhì)

了解不等式的性質(zhì)，并會(huì)用其證明不等式；

【教學(xué)重難點(diǎn)】

1、教學(xué)重點(diǎn)：掌握不等式性質(zhì)的三條公理，并運(yùn)用公理進(jìn)行比較大小。

2、教學(xué)難點(diǎn)：正確運(yùn)用不等式的三條公理進(jìn)行不等式變形。

【教學(xué)目標(biāo)】

1、探索并掌握不等式的基本性質(zhì)；

2、會(huì)用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單化簡(jiǎn)。

【教學(xué)方法】

通過觀察、分析、討論，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出不等式的三條公理，從具體上升到理論，再由理論指導(dǎo)具體的練習(xí)，從而加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握。【命題走向】

不等式歷來是高考的重點(diǎn)內(nèi)容。對(duì)于本將來講，考察有關(guān)不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法，而且還考察邏輯推理能力、分析問題、解決問題的能力。本將內(nèi)容在復(fù)習(xí)時(shí)，要在思想方法上下功夫.預(yù)測(cè)高考命題趨勢(shì)：

1．從題型上來看，選擇題、填空題都有可能考察，把不等式的性質(zhì)與函數(shù)、三角結(jié)合起來綜合考察不等式的性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性等，多以選擇題的形式出現(xiàn)，解答題以含參數(shù)的不等式的證明、求解為主；2．利用基本不等式解決像函數(shù)f(x)?x?

考察的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練。a,(a?0)的單調(diào)性或解決有關(guān)最值問題是x

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境 復(fù)習(xí)引入

（設(shè)計(jì)說明：設(shè)置以下習(xí)題是為了溫故而知新，為學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容提供必要的知識(shí)準(zhǔn)備．）問題：

1、什么是等式?等式的基本性質(zhì)是什么?

2、什么是不等式?

1．不等式的性質(zhì)比較兩實(shí)數(shù)大小的方法——求差比較法

公理： a?b?a?b?0；

a?b?a?b?0；

a?b?a?b?0。

性質(zhì)1：若a?b，則b?a；若b?a，則a?b．即a?b?b?a。

說明：把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向，稱為不等式的對(duì)稱性。性質(zhì)2：若a?b，且b?c，則a?c。

說明：此定理證明的主要依據(jù)是實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則及兩正數(shù)之和仍是正數(shù)，定理2稱不等式的傳遞性。

性質(zhì)3：若a?b，則a?c?b?c。

說明：（1）不等式的兩邊都加上同一個(gè)實(shí)數(shù)，所得不等式與原不等式同向；

（2）定理3的證明相當(dāng)于比較a?c與b?c的大小，采用的是求差比較法；

（3）定理3的逆命題也成立；

（4）不等式中任何一項(xiàng)改變符號(hào)后，可以把它從一邊移到另一邊。

推論1：不等式中的任意一項(xiàng)都可以把它的符號(hào)變成相反的符號(hào)后，從不等式的一邊移到另一邊。（移項(xiàng)法則）

推論2：若a?b,且c?d,則a?c?b?d。

說明：（1）推論2的證明連續(xù)兩次運(yùn)用定理3然后由定理2證出；（2）這一推論可以推廣到任意有限個(gè)同向不等式兩邊分別相加，即：兩個(gè)或者更多個(gè)同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；（3）同向不等式：兩個(gè)不等號(hào)方向相同的不等式；異向不等式：兩個(gè)不等號(hào)方向相反的不等式.定理4．如果a?b且c?0，那么ac?bc；如果a?b且c?0，那么ac?bc。推論1：如果a?b?0且c?d?0，那么ac?bd。

證明：∵a?b?0,c?0,?ac?bc，又∵c?d?0,b?0,?bc?bd，∴由傳遞性，有ac?bd，得證。

說明：（1）不等式兩端乘以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變；乘以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變；（2）兩邊都是正數(shù)的同向不等式的兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向；（3）推論1可以推廣到任意有限個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘。這就是說，兩個(gè)或者更多個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向。

nn推論2：如果a?b?0，那么a?b(n?N且n?1)。

推論3：如果a?b?0，那么a?b(n?N且n?1)?！镜淅馕觥?/p>

例1：應(yīng)用不等式的性質(zhì)，證明下列不等式：

（1）已知a>b，ab>0，求證：1/a>1/b；

（2）已知a>b，cb－d；

（3）已知a>b>0，0 b/d

證明：

（1）因?yàn)閍b>0，所以 1/ab>0又因?yàn)閍>b，所以 a.1/ab>b.1/ab即1/b>1/a因此 1/a>1/b

（2）因?yàn)閍>b，cb，－c>－d，根據(jù)性質(zhì)3的推論2，得a+(－c)>b+(－d)，即a－c>b－d.（3）因?yàn)?1/d>0 又因?yàn)閍>b>0，所以a.1/c>b.1/d即a/c>b/d

例2.已知a>b，不等式:（1）a2>b2；（2）1/a>1/b ；（3）1/(a-b)>1/a

成立的個(gè)數(shù)是（）

（A）0（B）1（C）2（D）

3答案：A

例3．設(shè)A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R，則A，B的大小關(guān)系是。

答案：A≥B

例4．（1）如果30

（2）若－3

答案：（1）18

（2）因?yàn)椋?

例5．若-π/2 ≤a＜b≤π/2，求(a +b)/2 ,(a-b)/2的取值范圍。

-π/2＜(a +b)/2＜π/2,-π/2 ≤(a-b)/2＜0

練習(xí)1已知函數(shù)f(x)= a x2-c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范圍。

解：因?yàn)閒(x)= a x2-c，所以f(1)= a-c,f(2)=4 a-c解得a=1/3[f(2)=-f(1)],c=1/3f(2)-4/3f（1）

所以f(3)=9a－c=8/3f(2)-5/3f(1)

因?yàn)?4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,所以8/3≤8/3f(2)≤40/3,5/3≤-5/3f(1)≤20/3

練習(xí)2已知－4≤a－b≤－1，－1≤4a－b≤5，求9a－b的取值范圍。

解：設(shè)9a－b=m(a－b)+n(4a－b)=(m+4n)a－(m+n)b，令m+4n=9，－(m+n)=－1，解得，m=-5/3,n=8/3

所以9a－b=-5/3(a－b)+8/3(4a－b)

由－4≤a－b≤－1，得 5/3≤-5/3(a-b)≤20/3

由－1≤4a－b≤5，得由－1≤4a－b≤5，得-8/3≤8/3(4a-b)≤40/3

以上兩式相加得－1≤9a－b≤20.五．【思維總結(jié)】

1．不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法。

（1）比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個(gè)步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細(xì)敘述：如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個(gè)變量的二次式，則考慮用判別式法證；

（2）綜合法是由因?qū)Ч?，而分析法是?zhí)果索因，兩法相互轉(zhuǎn)換，互相滲透，互為前提，充分運(yùn)用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開擴(kuò)視野。

2．不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法等。換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應(yīng)用換元法時(shí)，要注意代換的等價(jià)性。放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標(biāo)可以從要證的結(jié)論中考查。有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法.凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法.證明不等式時(shí)，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語(yǔ)言特點(diǎn).

第二篇：不等式的性質(zhì)教案

【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】

教學(xué)重點(diǎn)：掌握不等式的三條基本性質(zhì)，尤其是不等式的基本性質(zhì)3．

教學(xué)難點(diǎn)：正確應(yīng)用不等式的三條基本性質(zhì)進(jìn)行不等式變形．

【教學(xué)目標(biāo)】

1、探索并掌握不等式的基本性質(zhì)

2、會(huì)用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)

【教學(xué)方法】

通過觀察、分析、討論，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出不等式的三條基本性質(zhì)，從具體上升到理論，再由理論指導(dǎo)具體的練習(xí)，從而強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與掌握．

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境 復(fù)習(xí)引入

（設(shè)計(jì)說明：設(shè)置以下習(xí)題是為了溫故而知新，為學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容提供必要的知識(shí)準(zhǔn)備．）

問題：

1、什么是等式?等式的基本性質(zhì)是什么?

2、什么是不等式?

3、用“＞”或“＜”填空．

（1）3<7（2）2<3（3）2<3

3＋1 7＋1 2×5 3×5 2×(-1)3×(-1)

3-5 7-5 2÷2 3÷2 2×(-5)3×(-5)3＋a 7＋a 2÷(-2)3÷(-2)（教學(xué)說明： 復(fù)習(xí)等式的基本性質(zhì)后學(xué)生自然會(huì)聯(lián)想到，不等式是否有與等式相類似的性質(zhì)，從而引起學(xué)生的探究欲望.接著問題3為學(xué)生探究不等式的性質(zhì)提供了載體，通過觀察，尋找規(guī)律，得出不等式的性質(zhì).）

二、師生互動(dòng)，探索新知

1、不等式的基本性質(zhì)

問題1：觀察思考問題3，猜想出不等式的性質(zhì)

先讓學(xué)生獨(dú)立思考，后合作交流，通過充分討論，類比等式性質(zhì)得出不等式的性質(zhì).觀察時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生注意不等號(hào)的方向，通過（1）題學(xué)生容易得出不等式性質(zhì)1：

不等式基本性質(zhì)1 不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變．

比較（2）、（3）題，注意觀察不等號(hào)方向，并思考不等號(hào)方向的改變與什么有關(guān)?由學(xué)生概括總結(jié)，教師補(bǔ)充完善得出：

不等式基本性質(zhì)2 不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變．

不等式基本性質(zhì)3 不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．

問題2：將不等式－2＜6兩邊都加上7，－9，兩邊都乘3，－3試一試，進(jìn)一步驗(yàn)證上面得出的三條結(jié)論．

教師 強(qiáng)調(diào)指出：不等式的三條基本性質(zhì)實(shí)質(zhì)上是對(duì)不等式兩邊進(jìn)行“＋”、“－”、“×”、“÷”四則運(yùn)算，當(dāng)進(jìn)行“＋”、“－”法時(shí)，不等號(hào)方向不變；當(dāng)乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)時(shí)，不等號(hào)方向不變；只有當(dāng)乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向才改變．

問題3：嘗試用數(shù)學(xué)式子表示不等式的三條基本性質(zhì)．

學(xué)生思考出答案，教師訂正，最后得出：(1)如果a>b，那么a±c>b±c

(2)如果a>b，c>0那么ac>bc(或 >)

(3)如果a>b，c<0那么ac<)

問題4：不等式的基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)有哪些區(qū)別、聯(lián)系?

學(xué)生獨(dú)立思考、小組交流討論，師生歸納得出：

區(qū)別：等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不為0）時(shí)，結(jié)果仍相等；不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不為0）時(shí)，會(huì)出現(xiàn)兩種情況，若是正數(shù)，不等號(hào)方向不改變，若是負(fù)數(shù)不等號(hào)方向要改變，而且不等式兩邊同乘以0，結(jié)果相等.聯(lián)系：不等式性質(zhì)和等式性質(zhì)都討論的是兩邊都加上或減去同一個(gè)數(shù)的情況和兩邊都乘以或除以同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不為0）的情況，即研究“形式”一致.（教學(xué)說明：通過觀察具體數(shù)字運(yùn)算的大小比較，聯(lián)系已學(xué)過的等式的性質(zhì)，讓學(xué)生歸納出不等式的三條基本性質(zhì)，并分別用式子的形式表示它們.用式子表示是個(gè)抽象概括的過程，只有理解了相關(guān)內(nèi)容才會(huì)概括表示它們.研究不等式的基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)的區(qū)別與聯(lián)系可以幫助學(xué)生用類比的方法來記憶與學(xué)習(xí).）

2、不等式性質(zhì)的應(yīng)用

例1：利用不等式的性質(zhì)，把下列不等式化成“x>a” 或“x

(1)x-7>26;(2)3x<2x＋1;

(3)x>50;(4)-4x>3.解：（l）根據(jù)不等式基本性質(zhì)1，不等式的兩邊都加上7，不等號(hào)的方向不變． 得

x-7＋7>26 ＋7.x>33

（2）根據(jù)不等式基本性質(zhì)1，兩邊都減去2x，不等號(hào)的方向不變，得

3x-2x<2x＋1-2x

x<1

（3）根據(jù)不等式基本性質(zhì)2，兩邊都乘以，不等號(hào)的方向不變，得

x>75

（4）根據(jù)不等式基本性質(zhì)3，兩邊都除以－4，不等號(hào)的方向改變，得

x<-

(教學(xué)說明：這些不等式比較簡(jiǎn)單，可以利用不等式的性質(zhì)直接求解，從而加深對(duì)這些性質(zhì)的認(rèn)識(shí).教師板書（1）題解題過程．（2）（3）（4）題由學(xué)生在練習(xí)本上完成，指定三個(gè)學(xué)生板演，然后師生共同判斷板演是否正確．解題時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生與解一元一次方程的思路進(jìn)行對(duì)比，有助于加強(qiáng)知識(shí)之間的前后聯(lián)系，突出新知識(shí)的特點(diǎn)，并將原題與“x>a” 或“x

例2：三角形中任意兩邊之差與第三邊有什么大小關(guān)系? a b

師生共析:三角形的兩邊之和與第三邊有什么關(guān)系? c

三角形的任意兩邊之和大于第三邊，如圖，我們?cè)O(shè)三角形三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,那么用式子如何表示前面的結(jié)果? a ＋b>c, a＋c>b, b＋c>a

我們現(xiàn)在求的是兩邊之差與第三邊的關(guān)系，所以由不等式的性質(zhì)1將上式變形為：

由a ＋b>c得a>c-b, b>c-a.同理，由a＋c>b, b＋c>a可得c>b-a, b>a-c,c>a-b, a>b-c.這就是說，三角形中任意兩邊之差小于第三邊.(教學(xué)說明：此問題應(yīng)用不等式的性質(zhì)由“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”得出“三角形中任意兩邊之差小于第三邊”這個(gè)與已有結(jié)論等價(jià)的新結(jié)論.“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”對(duì)應(yīng)的是三個(gè)形式一樣的不等式，而不是一個(gè)不等式.由這三個(gè)不等式再推出“三角形中任意兩邊之差小于第三邊”.為了加深學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，可以通過測(cè)量的方法驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論.)

三、鞏固訓(xùn)練，熟練技能：

1、如果a>b，那么(1)a-3 b-3，(2)2a 2b

(3)-3a-3b，(4)a-b 0

(5)（6）(6)-b_____-a.2、在下列各題橫線上填入不等號(hào)，并說明是根據(jù)不等式的哪一條基本性質(zhì)．

（1）若a–3＜9，則a_____12；（2）若-a＜10，則a_____–10；

（3）若 a＞–1，則a_____–4；（4）若-a＞0，則a_____0．

3、利用不等式的性質(zhì)解下列不等式，并在數(shù)軸上表示解集

（解未知數(shù)為x的不等式，就是要使不等式逐步化為“x＞a”或“x＜a”的形式）

(1)x-1＜0；(2)x＞-x＋6；

(3)3x＞7；(4)-x＜-3.(教學(xué)說明：這些練習(xí)進(jìn)一步加深了學(xué)生對(duì)不等式性質(zhì)的理解，做此練習(xí)題時(shí)，應(yīng)讓學(xué)生注意觀察它們是應(yīng)用不等式的哪條性質(zhì)，是怎樣由已知變形得到的．注意應(yīng)用不等式性質(zhì)3時(shí)，不等號(hào)要改變方向．做第3題時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生與解一元一次方程的思路進(jìn)行對(duì)比，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到應(yīng)用不等式的性質(zhì)1變形，相當(dāng)于移項(xiàng).)

四、總結(jié)反思，情意發(fā)展

1、不等式的基本性質(zhì)是什么?如何用數(shù)學(xué)式子表示?

2、在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，你還有什么疑惑?

（教學(xué)說明：在師生共同回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，教師指出：在利用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形時(shí)，當(dāng)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)字母，字母代表什么數(shù)是問題的關(guān)鍵，這決定了是用不等式基本性質(zhì)2還是基本性質(zhì)3，也就是不等號(hào)是否要改變方向的問題.）

五、課堂小結(jié)

1．本節(jié)主要學(xué)習(xí)了不等式的三條基本性質(zhì)及應(yīng)用性質(zhì)解簡(jiǎn)單的不等式.2．主要用到的思想方法是類比思想.3．注意的問題:

當(dāng)不等式兩邊同乘（或除以）同一個(gè)數(shù)時(shí)，一定要看清是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，若是負(fù)數(shù)，要變兩個(gè)號(hào)，一個(gè)性質(zhì)符號(hào)，另一個(gè)是不等號(hào)，對(duì)于未給定范圍的字母，應(yīng)分情況討論．

六、布置課后作業(yè)：

1、課本127頁(yè)練習(xí)

2、課本128習(xí)題9.1的5、6、7題

（教學(xué)說明：進(jìn)一步鞏固本節(jié)課所學(xué)知識(shí).）

七、拓展練習(xí)

1、指出下列各題中不等式變形的依據(jù):

(1)由3a＞2,得(2)由-5a＞2,得(3)由4a＞3a＋ 1,得a＞1

(4)由a＞b，得(5)由a＞b，得2-a＜2-b

2、利用不等式的性質(zhì)解下列不等式，并在數(shù)軸上表示解集：(1)x＋2＞-1(2)5x≤7x-8(3)(4)6x≥-12

3、某長(zhǎng)方體形狀的容器長(zhǎng)5cm，寬3cm，高10cm。容器內(nèi)原有水的高度為3cm，現(xiàn)準(zhǔn)備向它繼續(xù)注水。用V（單位：cm3）表示新注入水的體積，寫出V的取值范圍。

【評(píng)價(jià)與反思】及交流體會(huì)

通過具體的事例觀察并歸納出不等式的三條基本性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)式子表示三條基本性質(zhì)，同時(shí)注意將不等式的三條基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)進(jìn)行比較，以加深學(xué)生的理解.在教學(xué)過程中，注重培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用類比方法觀察、分析、解決問題的能力及歸納總結(jié)概括的能力．同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生積極主動(dòng)的參與意識(shí)和勇敢嘗試、探索的精神．

第三篇：不等式的性質(zhì) 教案

不等式的性質(zhì)

教材分析

這節(jié)的主要內(nèi)容是不等式的概念、不等式與實(shí)數(shù)運(yùn)算的關(guān)系和不等式的性質(zhì)．這部分內(nèi)容是不等式變形、化簡(jiǎn)、證明的理論依據(jù)及基礎(chǔ)．教材通過具體實(shí)例，讓學(xué)生感受現(xiàn)實(shí)生活中存在大量的不等關(guān)系．在不等式與實(shí)數(shù)運(yùn)算的關(guān)系基礎(chǔ)上，系統(tǒng)歸納和論證了不等式的一系列性質(zhì)．

教學(xué)重點(diǎn)是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的方法和不等式的性質(zhì)，教學(xué)難點(diǎn)是不等式性質(zhì)的證明及其應(yīng)用．

教學(xué)目標(biāo)

1.通過具體情境，讓學(xué)生感受現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，理解不等關(guān)系與不等式的聯(lián)系，會(huì)用不等式表示不等關(guān)系．

2.理解并掌握比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的方法．

3.引導(dǎo)學(xué)生歸納和總結(jié)不等式的性質(zhì)，并利用比較實(shí)數(shù)大小的方法論證這些性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理和邏輯論證能力．

任務(wù)分析

這節(jié)內(nèi)容從實(shí)際問題引入不等關(guān)系，進(jìn)而用不等式來表示不等關(guān)系，自然引出不等式的基本性質(zhì)．為了研究不等式的性質(zhì)，首先學(xué)習(xí)比較兩實(shí)數(shù)大小的方法，這是論證不等式性質(zhì)的基本出發(fā)點(diǎn)，故必須讓學(xué)生明確．在教師的引導(dǎo)下學(xué)生基本上可以歸納總結(jié)出不等式的一系列性質(zhì)，但對(duì)于這些性質(zhì)的證明有些學(xué)生認(rèn)為沒有必要或?qū)φ撟C過程感到困惑，為此，必須明確論證性質(zhì)的方法和要點(diǎn)，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)中的定理、法則等，通常要通過論證才予以認(rèn)可，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理性精神．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問題情境

教師通過下列三個(gè)現(xiàn)實(shí)問題創(chuàng)設(shè)不等式的情境，并引導(dǎo)學(xué)生思考．

1.公路上限速40km／h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v不超過40km／h，用不等式表達(dá)即為v≤40km／h． 2.某種雜志以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬本．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若雜志的單價(jià)每提高0.1元，銷售量就可能相應(yīng)減少2000本．若把提價(jià)后雜志的定價(jià)改為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入的不低于20萬元？

x·［80000－2000（x－25）］≥200000．

3.某鋼鐵廠要把長(zhǎng)度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產(chǎn)的要求，600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm的3倍，試寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式．

設(shè)600mm鋼管的數(shù)量為x，500mm的數(shù)量為y，則

通過上述實(shí)例，說明現(xiàn)實(shí)世界中，不等關(guān)系是十分豐富的，為了解決這些問題，須要我們學(xué)習(xí)不等式及基本性質(zhì)．

二、建立模型 1.教師精講，分析

我們知道，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，在數(shù)軸上不同的兩點(diǎn)中，右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大，用不等式表示為ａ＞ｂ，即ａ減去ｂ所得的差是一個(gè)大于0的數(shù)．

一般地，設(shè)ａ，ｂ∈R，則 ａ＞ｂａ＝ｂａ＜ｂａ－ｂ＞0，ａ－ｂ＝0，ａ－ｂ＜0．

由此可見，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考查它們的差就可以了．例如，比較（ａ＋3）（ａ－5）與（ａ＋2）（ａ－4）的大小就可以作差變形，然后判斷符號(hào)．

2.通過問題或復(fù)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生歸納和總結(jié)不等式的性質(zhì)

（1）對(duì)于“甲的年齡大于乙的年齡”，你能換一種不同的敘述方式嗎？（2）如果甲的身高比乙高，乙的身高比丙高，你能得出甲與丙哪個(gè)高嗎？（3）回憶初中已學(xué)過的不等式的性質(zhì)，試用字母把它們表示出來． 用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出上面的問題，便可得出不等式的一些性質(zhì)： 定理1 如果ａ＞ｂ，那么ｂ＜ａ；如果ｂ＜ａ，那么ａ＞ｂ． 定理2 如果ａ＞ｂ，且ｂ＞ｃ，那么ａ＞ｃ． 定理3 如果ａ＞ｂ，那么ａ＋ｃ＞ｂ＋ｃ． 定理4 如果ａ＞ｂ，且ｃ＞０，那么ａｃ＞ｂｃ； 如果ａ＞ｂ，且ｃ＜０，那么ａｃ＜ｂｃ． 3.定理1～4的證明

關(guān)于定理1～4的證明要注意：（1）定理為什么要證明？

（2）證明定理的主要依據(jù)或出發(fā)點(diǎn)是什么？（3）定理的證明要規(guī)范，每步推理要有根據(jù)．

（4）關(guān)于定理3的推論，定理4的推論1，可由學(xué)生獨(dú)立完成證明．

4.考慮定理4的推論2：“如果ａ＞ｂ＞０，那么ａn＞ｂn（ｎ∈N，且ｎ＞0）”的逆命題，得出定理5 定理5 如果ａ＞ｂ＞０，那么（ｎ∈N，且ｎ＞1）．

由于直接證明定理5較困難，故可考慮運(yùn)用反證法．

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］

1.已知ａ＞ｂ，ｃ＜ｄ，求證：ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．

證法1：∵ａ＞ｂ，∴ａ－ｂ＞0．又ｃ＜ｄ，∴ｄ－ｃ＞0． ∴（ａ－ｃ）－（ｂ－ｄ）＝（ａ－ｂ）＋（ｄ－ｃ）＞0，∴ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．

證法2：∵ｃ＜ｄ，∴－ｃ＞－ｄ．又ａ＞ｂ，∴ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．

［練習(xí)］

1.判斷下列命題的真假，并說明理由．（1）如果ａｃ2＞ｂｃ2，那么ａ＞ｂ．

（2）如果ａ＞ｂ，ｃ＞ｄ，那么ａ－ｄ＞ｂ－ｃ．

四、拓展延伸

1.如果30＜ｘ＜42，16＜ｙ＜24，求ｘ＋ｙ，ｘ－2ｙ及的取值范圍．

2.如果ａ1＞ｂ1，ａ2＞ｂ2，ａ3＞ｂ3，…，ａn＞ｂn，那么ａ1＋ａ2＋ａ3＋…＋ａn＞ｂ1＋ｂ2＋ｂ3＋…＋ｂn嗎？為什么？

3.如果ａ＞ｂ＞0，那么嗎？（其中為正有理數(shù)）

點(diǎn) 評(píng)

這篇案例從實(shí)際問題引入不等關(guān)系，由如何求非不等關(guān)系引入不等式的求法，進(jìn)而點(diǎn)出教學(xué)的主題———不等式性質(zhì)，由學(xué)生熟悉的實(shí)數(shù)性質(zhì)，及現(xiàn)實(shí)生活中的常識(shí)，將語(yǔ)言表達(dá)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)的一般表示，進(jìn)而得出不等式的常見性質(zhì)．通過對(duì)不等式的證明，使學(xué)生理解對(duì)數(shù)學(xué)定理證明的必要性，增強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理能力．就整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)的效果看，這種設(shè)計(jì)是成功的，尤其是由定理的應(yīng)用，達(dá)到了對(duì)性質(zhì)的理解和升華，鞏固了教學(xué)的重點(diǎn)，效果比較理想．此外，這篇案例也十分關(guān)注由學(xué)生自主探究去開發(fā)其潛在能力，培養(yǎng)其發(fā)散思維能力．

總之，這是一篇成功的教學(xué)設(shè)計(jì)案例，美中不足的是，對(duì)文初創(chuàng)設(shè)的現(xiàn)實(shí)情景利用的力度稍欠缺．

第四篇：不等式的性質(zhì)教案1

高中數(shù)學(xué)新教材

1． 掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序間關(guān)系； 2． 掌握求差法比較兩實(shí)數(shù)或代數(shù)式大小； 3． 強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合思想.教學(xué)重點(diǎn)：比較兩實(shí)數(shù)大小

教學(xué)難點(diǎn)：理解實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則

教學(xué)過程： Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧

我們知道，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，在數(shù)軸上不同的兩點(diǎn)中，右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大.例如，在圖6—1中，點(diǎn)A表示實(shí)數(shù)a，點(diǎn)B表示實(shí)數(shù)b,點(diǎn)A在點(diǎn)B右邊，那么a＞b.我們?cè)倏磮D6—1，a＞b表示a減去b所得的差是一個(gè)大于0的數(shù)即正數(shù).一般地：

若a＞b，則a－b是正數(shù)；逆命題也正確.類似地，若a＜b，則a－b是負(fù)數(shù)；若a=b，則a－b=0.它們的逆命題都正確.這就是說：

a＞ b? a－b＞0 a=b? a－b=0 a＜b?a-b＜0 由此可見，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差就可以了，這也是我們這節(jié)課將要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容.Ⅱ.講授新課

1． 比較兩實(shí)數(shù)大小的方法——求差比較法

比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b的大小，歸結(jié)為判斷它們的差a－b的符號(hào)，而這又必然歸結(jié)到實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則.比較兩個(gè)代數(shù)式的大小，實(shí)際上是比較它們的值的大小，而這又歸結(jié)為判斷它們的差的符號(hào).接下來，我們通過具體的例題來熟悉求差比較法.2． 例題講解

例1 比較（a+3）(a－5)與（a+2）（a-4）的大小.分析：此題屬于兩代數(shù)式比較大小，實(shí)際上是比較它們的值的大小，可以作差，然后展開，合并同類項(xiàng)之后，判斷差值正負(fù)，并根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則來得出兩個(gè)代數(shù)式的大小.解：(a?3)(a?5)?(a?2)(a?4)

?(a?2a?15)?(a?2a?8)??7?0不等式的性質(zhì)（1）

第五篇：不等式性質(zhì)練習(xí)題

﹤不等式性質(zhì)

一、選擇題

1、已知a?b?0，下列不等式恒成立的是（）

A.a2

?b2

B.ab?1C.1111

a?bD.a?b2、已知a?0,b??1，下列不等式恒成立的是（）

A.a?

ab?abB.aaaaaab2?b?aC.b?b2?aD.b?a?b3、若a,b,c,d四個(gè)數(shù)滿足條件：?1?d?c;?2?a?b?c?d;?3?a?d?b?c，則（）

Ab.?c?d?aB.a?d?c? bC.d?b?a? cD.b?d?c? a4、如果a,b,c滿足c?b?a,且ac?0,則以下選項(xiàng)中不一定成立的是（）

A.ab?acB.c?b?a??0C.cb2?ab2D.ac?a?c??05、下列命題中正確的是（）

Aa.?b,k?N*?ak?bkB.a?b,c?1?

c?1c?1

b?a

C.a?b,c?d??a?b?

??c?d?2

D.a?b?0,c?d?0?abd?c6、如果a,b是滿足ab?0的實(shí)數(shù)，則（）

A.a?b?a?bB.a??a bC.a??a b

D.a?b?a?b

7、若a?0,b?0,則不等式?b?1

x

?a的解為（）

A.?1b?x?0或0?x?1aB.?111111a?x?bC.x??a或x?bD.x??b或x?a

二、填空題

8、若m?0,n?0,m?n?0,則m,n,?m,?n的大小關(guān)系為

9、若?1?a?b?1,?2?c?3,則?a?b?c的取值范圍是

10、若0?a?1,給出下列四個(gè)不等式，其中正確的是

1○

1log?1??1?1?a1?1?1?a?1?a??loga??1?a??○2loga?1?a??loga?a

a?1?a??

○3a?a○4a?aa11、已知三個(gè)不等式：?1?ab?0?2??

ca??d

b

?3?bc?ad，以其中兩個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，可以組成個(gè)正確的命題。、設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，且滿足3?xy2

?8,4?x2y?9,則x3

12y

4的取值范圍是

三、解答題、（1）設(shè)2?a?3,?4?b??3,求a?b,a?b,ab2

13b,ab,a的取值范圍。

（2）設(shè)二次函數(shù)f?x?的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，且?3?f?1??1,?2?f?2??3,求f?3?的最大值和最小值。

14、（1）已知?

1?a?0,A?1?a2,B?1?a211

2,C?1?a,D?1?a，試將A,B,C,D按從小到大的順序排列，并說明理由。

b?c?0,比較aabbcc

與?abc?

a?b?c

（2）已知a?3的大小。

15、火車站有某公司待運(yùn)的甲種貨物1530t,乙種貨物1150t。現(xiàn)用A,B兩種型號(hào)車廂共50節(jié)

運(yùn)送這批貨物。已知35t甲種貨物和

15t乙種貨物可裝滿一節(jié)A型貨廂；25t甲種貨物和35t乙種貨物可裝滿一節(jié)B型貨箱，據(jù)此安排A,B兩種貨箱的節(jié)數(shù)，共有幾種方案？若每節(jié)A型貨箱運(yùn)費(fèi)是0.5萬元，每節(jié)B型貨箱運(yùn)費(fèi)是0.8萬元，哪種方案的運(yùn)費(fèi)最少？