第一篇：分式不等式與高次不等式解法導(dǎo)學(xué)案

分式不等式與高次不等式解法

學(xué)習(xí)目標：

1．復(fù)習(xí)鞏固一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系，掌握掌握簡單的分式不等式和特殊的高次不等式的解法；

2．激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)勇于探索的精神，勇于創(chuàng)新精神，同時體會從不同側(cè)面觀察同一事物思想。

重點：簡單的分式不等式和特殊的高次不等式的解法。難點：正確串根。一．基礎(chǔ)知識

1.分式不等式解法

f(x)

g(x)?0?f(x)g(x)?0f(x)

g(x)?0?f(x)g(x)?0f(x)

?0???

f(x)?g(x)?0g(x)?g(x)?0

f(x)?0???

f(x)?g(x)?0g(x)

?g(x)?0

2.高次不等式解法：數(shù)軸標根

二．典型例題

例1解下列不等式

（1）x－

32x＋7

＜0（2）3＋x ＜0

（3）4x－3＞2－x3－x

－3（4）3

x ＞

1例2 解下列不等式：

（1）(x+1)(x-1)(x-2)>0（2）（-x-1)(x-1)(x-2)<0

(3)x(x-1)2(x+1)3(x+2)≤0（4）（x-3)(x+2)(x-1)2(x-4)>0

（5）2x3?x2?15x?0（6）(x?4)(x?5)2

(2?x)3

?0．

（7）32

x2?4x?1x?2?1?

x?2（8）?1

3x2?7x?2

三．課堂練習(xí)

1.不等式2x?1

3x?1

?0的解集是（）

A.{x|x??13或x?12B.{x|?13?x?111

2C.{x|x?2D.{x|x??3

2.不等式

x?1

x

≥2的解集為（）A.[?1,0)B.[?1,??)C.(??,?1]D.(??,?1?

](0?,?

3．（04重慶）不等式x?

2x?1

?2的解集是（）A．(?1,0)?(1,??)B．(??,?1)?(0,1)C．(?1,0)?(0,1)D．(??,?1)?(1,??)4．（04天津）不等式x?1

x

?2的解集為（）

A．[?1,0)B．[?1,??)C．(??,?1]D．(??,?1]?(0,??)

(x?1)25.不等式(2?x)

x(4?x)≥0的解集為

6,(1)不等式x?3x?3

x?2>0的解集是;(2)不等式x?2

≥0的解集是;

(3)不等式

x?21?x≥0的解集是;(4)不等式-2<1

x

≤3的解集是;(5)不等式(x2-x+1)(x+1)(x-4)(6-x)>0的解集是.x2

7．不等式x－1

>x＋1的解集是.8.解下列不等式：(1)2x?1

x?

4≥0(2)x2?2x?1x?1≥0

(3)x2?2x?3

?x2

?x?6

<0(4)(x?1)2(x?1)(x?2)(x?4)?0(5)x?1x?3x?41?x<0

(6)

x?x?2x3?7x2?8x≥0;(7)4x?20x?18x2

?5x?4

≥3;(8)x-3≥4

x;

（9）(x2-x+1)(x+1)(x-4)(6-x)≥0；（10）(x2-x+1)(x+1)(x-4)2(6-x)>0.9．解關(guān)于x的不等式x?a

x?a2

?0(a?R).10已知不等式ax

x?1

<1的解集為{x|x<1或x>2},求a.11思考題：

解關(guān)于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0.四、小 結(jié)

1．特殊的高次不等式即右邊化為0，左邊可分解為一次或二次式的因式的形式不等式，一般用區(qū)間法解，注意：①左邊各因式中x的系數(shù)化為“+”，若有因式為二次的（不能再分解了）二次項系數(shù)也化為“+”，再按我們總結(jié)的規(guī)律作；②注意邊界點（數(shù)軸上表示時是“0”還是“.”）.2．分式不等式，切忌去分母，一律移項通分化為

f(x)f(g(x)>0(或x)

g(x)

<0)的形式，轉(zhuǎn)化為：??

f(x)g(x)?0?g(x)?0(或??f(x)g(x)?0

?

g(x)?0)，即轉(zhuǎn)化 為一次、二次或特殊高次不等式形式.3．一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我們稱之為有理不等式.4．注意必要的討論.5．一次、二次不等式組成的不等式組仍要借助于數(shù)軸.

第二篇：1.2.2含多個絕對值不等式的解法導(dǎo)學(xué)案

蘭州新區(qū)永登縣第五中學(xué)高二數(shù)學(xué)（文）導(dǎo)學(xué)案

班級：小組名稱：姓名：得分：

導(dǎo)學(xué)案 §1.2.2含多個絕對值不等式的解法

設(shè)計人：薛東梅審核人：梁國棟、趙珍

學(xué)習(xí)目標：含多個絕對值不等式的解法 學(xué)習(xí)重點：含多個絕對值不等式的解法 學(xué)習(xí)難點：含多個絕對值不等式的解法

學(xué)習(xí)方法：六動感悟法（讀，想，記，思，練，悟）

一、自學(xué)評價

1．x?a?x?b?c,x?a?x?b?c(c?0)的解法

（1）利用絕對值不等式的幾何意義，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，是解絕對值不等式最簡單的方法，但要注意理解絕對值的幾何意義，給絕對值不等式以準確的幾何解釋是解題關(guān)鍵；（2）利用x－a＝0，x－b＝0的解，將數(shù)軸分成三個區(qū)間，然后在每個區(qū)間上將原不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式而解之，體現(xiàn)了分類討論思想，從中可以發(fā)現(xiàn)，以絕對值的“零點”為分界點，將數(shù)軸分為幾個區(qū)間的目的是為了確定各個絕對值符號內(nèi)多項式取值的正負性，進而去掉絕對值符號；

（3）通過構(gòu)成函數(shù)，利用函數(shù)的圖象，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想，從中可以發(fā)現(xiàn)，正確求出函數(shù)的零點并畫出函數(shù)圖象(有時需要考察函數(shù)的單調(diào)性)是解題的關(guān)鍵．2．思考并完成例5

二、檢測交流

1．x??x??32． x?x?3?5

3．x??x?2?2

第三篇：不等式和分式應(yīng)用題

1、某中學(xué)為八年級寄宿學(xué)生安排宿舍，如果每間4人，那么有20人無法安排，如果每間8人，那么有一間不空也不滿，求宿舍間數(shù)和寄宿學(xué)生人數(shù)。

2、有10名菜農(nóng),每人可種甲種蔬菜3畝或乙種蔬菜2畝,已知甲種蔬菜每畝可收入

0.5萬元,乙種蔬菜每畝可收入0.8萬元,若要使總收入不低于15.6萬元,則應(yīng)該如何安排人員？

3、出租汽車起價是10元(即行駛路程在5km以內(nèi)需付10元車費),達到或超過5km

后,每增加1km加價1.2元(不足1km部分按1km計),現(xiàn)在某人乘這種出租 汽車從甲地到乙地支付車費17.2元,從甲地到乙地的路程大約是多少?

4、在雙休日,某公司決定組織48名員工到附近一水上公園坐船游園,公司先派一個

人去了解船只的租金情況,這個人看到的租金價格表如下:

那么,怎樣設(shè)計租船方案才能使所付租金最少?(嚴禁超載)

5、(2001安徽)某工程隊要招聘甲、乙兩種工種的工人150人，甲、乙兩種工種的工人月工資分別為600元和1000元.現(xiàn)要求乙種工種的人數(shù)不少于甲種工種人數(shù)的2倍,問甲、乙兩種工種各招聘多少人時，可使得每月所付的工資最少？

6、某工程隊要招聘甲、乙兩種工種的工人150人，甲、乙兩種工種的工人月工資分別為

600元和1000元.現(xiàn)要求乙種工種的人數(shù)不少于甲種工種人數(shù)的2倍,問甲、乙兩種工種各招聘多少人時，可使得每月所付的工資最少？

7、某公司到果品基地購買某種優(yōu)質(zhì)水果慰問醫(yī)務(wù)工作者，果品基地對購買量在3000kg

以上（含3000kg）的顧客采用兩種銷售方案。

甲方案：每千克9元，由基地送貨上門；乙方案：每千克8元，由顧客自己租車運回。已知該公司租車從基地到公司的運輸費用為5000元。

（1）分別寫出該公司兩種購買方案付款金額y（元）與所購買的水果量x（kg）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍。

（2）當購買量在哪一范圍時，選擇哪種購買方案付款最少？并說明理由

8、某公司為了擴大經(jīng)營，決定購進6臺機器用于生產(chǎn)某種活塞．現(xiàn)有甲、?乙兩種機器

供選擇，其中每種機器的價格和每臺機器日生產(chǎn)活塞的數(shù)量如下表所示．經(jīng)過預(yù)算，本次購買機器所耗資金不能超過34萬元．

（1）按該公司要求可以有幾種購買方案？

（2）若該公司購進的6臺機器的日生產(chǎn)能力不能低于380個，那么為了節(jié)約資金應(yīng)

選擇哪種方案？

9、水果店進了某中水果1t，進價是7元/kg。售價定為10元/kg，銷售一半以后，為了

盡快售完，準備打折出售。如果要使總利潤不低于2000元，那么余下的水果可以按原定價的幾折出售？

10、“中秋節(jié)”期間蘋果很熱銷，一商家進了一批蘋果，進價為每千克1.5元，銷售中有

6%的蘋果損耗，商家把售價至少定為每kg多少元，才能避免虧本？

11、陽光中學(xué)校長準備在暑假帶領(lǐng)該校的“市級三好生”去青島旅游，甲旅行社說“如果

校長買全票一張，則其余學(xué)生享受半價優(yōu)惠.”乙旅行社說“包括校長在內(nèi)，全體人員均按全票的6折優(yōu)惠”.若到青島的全票為1000元.（1）設(shè)學(xué)生人數(shù)為x人，甲旅行社收費為y 甲元，乙旅行社收費為y乙元，分別寫出

兩家旅行社的收費表達式.（2）就學(xué)生人數(shù)x，討論哪家旅行社更優(yōu)惠？

12、某用煤單位有煤m噸，每天燒煤n噸，現(xiàn)已知燒煤三天后余煤102噸，燒煤8天后

余煤72噸.(1)求該單位余煤量y噸與燒煤天數(shù)x之間的函數(shù)解析式；(2)當燒煤12天后，還余煤多少噸？(3)預(yù)計多少天后會把煤燒完？

13、重量相同的兩種商品，分別價值900元和1500元,已知第一種商品每千克的價值比第二種少300元,分別求這兩種商品每千克的價值。

14、某客車從甲地到乙地走全長480Km的高速公路，從乙地到甲地走全長600Km的普通公路。又知在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路從甲地到乙地所需的時間是由普通公路從乙地到甲地所需時間的一半，求該客車由高速公路從甲地到乙地所需要的時間。

15、從甲地到乙地的路程是15千米，A騎自行車從甲地到乙地先走，40分鐘后，B騎自行車從甲地出發(fā)，結(jié)果同時到達。已知B的速度是A的速度的3倍，求兩車的速度。

16、一臺甲型拖拉機4天耕完一塊地的一半，加一臺乙型拖拉機，兩臺合耕，1天耕完這塊地的另一半。乙型拖拉機單獨耕這塊地需要幾天？

17、A做90個零件所需要的時間和B做120個零件所用的時間相同，又知每小時A、B兩人共做35個機器零件。求A、B每小時各做多少個零件。

18、某甲有25元，這些錢是甲、乙兩人總數(shù)的20%。乙有多少錢？

19、某甲有錢400元，某乙有錢150元，若乙將一部分錢給甲，此時乙的錢是甲的錢的10%，問乙應(yīng)把多少錢給甲？

20、我部隊到某橋頭狙擊敵人，出發(fā)時敵人離橋頭24千米，我部隊離橋頭30千米，我部隊急行軍速度是敵人的1.5倍，結(jié)果比敵人提前48分鐘到達，求我部隊的速度。

21、輪船順水航行80千米所需要的時間和逆水航行60千米所用的時間相同。已知水流的速度是3千米/時，求輪船在靜水中的速度。

22、某中學(xué)到離學(xué)校15千米的某地旅游，先遣隊和大隊同時出發(fā)，行進速度是大隊的1.2倍，以便提前半小時到達目的地做準備工作。求先遣隊和大隊的速度各是多少？

23、某人現(xiàn)在平均每天比原計劃多加工33個零件，已知現(xiàn)在加工3300個零件所需的時間和原計劃加工2310個零件的時間相同，問現(xiàn)在平均每天加工多少個零件。

24、我軍某部由駐地到距離30千米的地方去執(zhí)行任務(wù)，由于情況發(fā)生了變化，急行軍速度必需是原計劃的1.5倍，才能按要求提前2小時到達，求急行軍的速度。

25、某商廈進貨員預(yù)測一種應(yīng)季襯衫能暢銷市場，就用8萬元購進這種襯衫，面市后果然供不應(yīng)求，商廈又用17.6萬元購進了第二批這種襯衫，所購數(shù)量是第一批購進量的2倍，但單價貴了4元，商廈銷售這種襯衫時每件定價都是58元，最后剩下的150件按八折銷售，很快售完，在這兩筆生意中，商廈共贏利多少元。

26、一個批發(fā)兼零售的文具店規(guī)定：凡一次購買鉛筆300枝以上，（不包括300枝），可以按批發(fā)價付款，購買300枝以下，（包括300枝）只能按零售價付款。小明來該店購買鉛筆，如果給八年級學(xué)生每人購買1枝，那么只能按零售價付款，需用120元，如果購買60枝，那么可以按批發(fā)價付款，同樣需要120元，（1）這個八年級的學(xué)生總數(shù)在什么范圍內(nèi)？

（2）若按批發(fā)價購買6枝與按零售價購買5枝的款相同，那么這個學(xué)校八年級學(xué)生有

多少人？

27、某項緊急工程，由于乙沒有到達，只好由甲先開工，6小時后完成一半，乙到來后倆人同時進行，1小時完成了后一半，如果設(shè)乙單獨x小時可以完成后一半任務(wù)，那么x應(yīng)滿足的方程是什么？

28、走完全長3000米的道路，如果速度增加25%，可提前30分到達，那么速度應(yīng)達到多少？

29、對甲乙兩班學(xué)生進行體育達標檢查，結(jié)果甲班有48人合格，乙班有45人合格，甲班的合格率比乙班高5%，求甲班的合格率？

30、某種商品價格，每千克上漲1/3，上回用了15元，而這次則是30元，已知這次比上回多買5千克，求這次的價格。

31、小明和同學(xué)一起去書店買書，他們先用15元買了一種科普書，又用15元買了一種文學(xué)書，科普書的價格比文學(xué)書的價格高出一半，因此他們買的文學(xué)書比科普書多一本，這種科普和文學(xué)書的價格各是多少？

32、甲種原料和乙種原料的單價比是2：3，將價值2000元的甲種原料有價值1000元的乙混合后，單價為9元，求甲的單價。

33、某商品每件售價15元，可獲利25%，求這種商品的成本價。

34、某商店甲種糖果的單價為每千克20元，乙種糖果的單價為每千克16元，為了促銷，現(xiàn)將10千克的乙種糖果和一包甲種糖果混合后銷售，如果將混合后的糖果單價定為每千克17.5元，那么混合銷售與分開銷售的銷售額相同，這包甲糖果有多少千克？

35、兩地相距360千米，回來時車速比去時提高了50%，因而回來比去時途中時間縮短了2小時，求去時的速度

36、某車間加工1200個零件，采用新工藝，工效是原來的1.5倍，這樣加工同樣多的零件就少用10小時，采用新工藝前后每時分別加工多少個零件？

第四篇：分式不等式教案

2.3分式不等式的解法

上海市虹口高級中學(xué)

韓璽

一、教學(xué)內(nèi)容分析

簡單的分式不等式解法是高中數(shù)學(xué)不等式學(xué)習(xí)的一個基本內(nèi)容.對一個不等式通過同解變形轉(zhuǎn)化為熟悉的不等式是解不等式的一個重要方法.這兩類不等式將在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不斷出現(xiàn)，所以需牢固掌握.二、教學(xué)目標設(shè)計

1、掌握簡單的分式不等式的解法.2、體會化歸、等價轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想方法.三、教學(xué)重點及難點

重點 簡單的分式不等式的解法.難點 不等式的同解變形.四、教學(xué)過程設(shè)計

一、分式不等式的解法

1、引入

某地鐵上，甲乙兩人為了趕乘地鐵，分別從樓梯和運行中的自動扶梯上樓（樓梯和自動扶梯長度相同），如果甲的上樓速度是乙的2倍，他倆同時上樓，且甲比乙早到樓上，問甲的速度至少是自動扶梯運行速度的幾倍.設(shè)樓梯的長度為s，甲的速度為v，自動扶梯的運行速度為v0.于是甲上樓所需時間為

s，乙上樓所需時間為vsvv0?2.由題意，得ss.?vvv?02整理的12?.v2v0?v

由于此處速度為正值，因此上式可化為2v0?v?2v，即v?2v0.所以，甲的速度應(yīng)大于自動扶梯運行速度的2倍.2、分式不等式的解法 例1 解不等式：x?1?2.3x?2 1

解：（化分式不等式為一元一次不等式組）

?5?x?1?x?1x?1x?1?2??2?0??0 ?0?3x?23x?23x?23x?2?x?1?x?1?x?1?0?x?1?02???x?1或x不或?或?????2?233x?2?03x?2?0x?x????3?3??存在.所以，原不等式的解集為??2??2?,1???，即解集為?,1?.?3??3?注意到

x?1?03x?2??x?1?0??3x?2?0或?x?1?0??3x?2??x?1??0，可以簡化上述解法.??3x?2?0另解：（利用兩數(shù)的商與積同號（為一元二次不等式）

aa?0?ab?0，?0?ab?0）化bb?5?x?1?x?1x?1x?1?2??2?0??0 ?0?3x?23x?23x?23x?2??3x?2??x?1??0?2?2??x?1，所以，原不等式的解集為?,1?.3?3?由例1我們可以得到分式不等式的求解通法：

（1）不要輕易去分母，可以移項通分，使得不等號的右邊為零.（2）利用兩數(shù)的商與積同號，化為一元二次不等式求解.一般地，分式不等式分為兩類：

f?x?（1）； ?0（?0）?f?x?g?x??0（?0）g?x?（2）

?f?x??f?x?g?x??0??0?.?0（?0）??g?x???g?x??0 2

[說明]

解不等式中的每一步往往要求“等價”，即同解變形，否則所得的解集或“增”或“漏”.由于不等式的解集常為無限集，所以很難像解無理方程那樣，對解進行檢驗，因此同解變形就顯得尤為重要.例2 解下列不等式

?x?1?0.x?52?3.（2）3?5xx?8?2.（3）2x?2x?3x?1?0??x?1??x?5??0?1?x?5，解（1）原不等式?x?5（1）所以，原不等式的解集為?1,5?.（2）原不等式?215x?715x?7?3?0??0??0 3?5x3?5x5x?3????15x?7??5x?3??0???5x?3?0?3?7?x???155??x?3?5??73?x?，155所以，原不等式的解集為??73,155?2??.?2（3）分母：x?2x?3??x?1??1?1?0，則

原不2等式?x?82?2?xx????x?2??3?x4x?? ??2x22?6?x??2或x??1??,?2????,????.?2?1，所以，原不等式的解集為2 3

例3 當m為何值時，關(guān)于x的不等式m?x?1??3?x?2?的解是（1）正數(shù)？

（2）是負數(shù)？

解：m?x?1??3?x?2? ??m?3?x?m?6（*）當m?3時，（*）?0?x?9?x不存在.當m?3時，（*）?x?（1）原

m?6.m?3方

程的解

為

正

數(shù)?x?（m?6?0?(m?m?3）原

方

m6?程

?)?m??6或m?3.的解

為

負

數(shù)2?x?m?6?0?(m?m?3m6??)??6?m?3.所以，當m????,?6???3,???時，原方程的解為正數(shù).當m???6,3?時，原方程的解為負數(shù).四、作業(yè)布置

選用練習(xí)2.3（1）（2）、習(xí)題2.3中的部分練習(xí).五、課后反思

解分式不等式關(guān)鍵在于同解變形.通過同解變形將其轉(zhuǎn)化為熟悉的不等式來加以解決，這種通過等價變形變“未知”為“已知”的解決問題的方法是教學(xué)的重點也是難點，需在課堂教學(xué)中有所強調(diào).整個教學(xué)內(nèi)容需讓學(xué)生共同參與，特別是在“同解變形”這一點上，應(yīng)在學(xué)生思考、討論的基礎(chǔ)上教師、學(xué)生共同進行歸納小結(jié).

第五篇：分式不等式練習(xí)

分式不等式的解法：

f(x)f(x)f(x)?0?0(或?01）標準化：移項通分化為(或)；g(x)g(x)g(x)

f(x)?0)的形式，g(x)

2）轉(zhuǎn)化為整式不等式（組）

?f(x)g(x)?0f(x)f(x)?0?f(x)g(x)?0；?0?? g(x)g(x)?g(x)?0

解分式不等式：

x?52x?3?0?01、2、x?4x?2

2x?31?2x?1?04、3、x?2x?3

5x?33x?2?16、5、2x?32x?2