第一篇：例析直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用

龍?jiān)雌诳W(wǎng) http://.cn

例析直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用

作者：管永建

來(lái)源：《高考進(jìn)行時(shí)·高三數(shù)學(xué)》2013年第02期

直線與圓錐曲線的知識(shí)在直線與圓關(guān)系的基礎(chǔ)上展開(kāi)，是高考中的重點(diǎn)，也是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)。這部分內(nèi)容既有幾何關(guān)系的表述，又有代數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)化，推理運(yùn)算的要求較高，需從解析幾何基本思想的高度去透徹理解概念以靈活運(yùn)用其中蘊(yùn)藏的各類知識(shí)，提高綜合解決問(wèn)題的能力。

例題 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，以直線l：x=-4為準(zhǔn)線，離心率為22.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若M是直線l上任意一點(diǎn)，以O(shè)M為直徑的圓D與圓O：x2+y2=8相交于A、B兩點(diǎn)，求證：直線AB必過(guò)定點(diǎn)E，并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)M的縱坐標(biāo)大于0，直線AB與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上方，且EP=3QE，求此時(shí)弦AB的長(zhǎng).分析 直線和曲線相交將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為二次方程來(lái)討論，這是解析幾何的基本思想。由于定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，故可聯(lián)系橢圓的定義及三角形相似等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合是靈活解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

第二篇：直線與圓錐曲線練習(xí)2

直線與圓錐曲線練習(xí)

一、選擇題

1．過(guò)點(diǎn)P(0,2)與拋物線y2＝2x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有()．

A．0條B．1條C．2條D．3條

xy2．已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2－1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1且垂直于x軸的ab直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF2為正三角形，則該雙曲線的離心率是()．

A．2B.C．3D.3

3．(2010·遼寧)設(shè)拋物線y＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足．如果直線AF的斜率為－，那么|PF|＝()．

A．4 B．8C．8 D．16

14．已知拋物線C的方程為x2，過(guò)點(diǎn)A(0，－1)和點(diǎn)B(t,3)的直線與拋物線C沒(méi)有公共點(diǎn)，2

則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()．

A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.－∞，－?222?2??? ∪，＋∞?2??2C．(－∞，－2∪(2，＋∞)D．(2)∪(，＋∞)

5．(2011·杭州模擬)過(guò)點(diǎn)M(－2,0)的直線l與橢圓x＋2y＝2交于P1，P2，線段P1P2的中點(diǎn)為P.設(shè)直線l的斜率為k1(k1≠0)，直線OP的斜率為k2，則k1k2等于()．

11A．－ B．－2C.D．2 22

二、填空題

6．已知以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線C，焦點(diǎn)在x軸上，直線x－y＝0與拋物線C交于A，B的兩點(diǎn)．若P(2,2)為AB 中點(diǎn)，則拋物線C的方程為_(kāi)_______．

x227．(2011·中山模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓y＝1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)橢圓中心任作一直線與橢圓4

→→

交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形PF1QF2面積最大時(shí)，PF1·PF2的值等于________．

8．(2011·浙江金華十校模擬)斜率為的直線l過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)且與該拋物線交于A，B的兩點(diǎn)，則|AB|＝________.三、解答題

9．在直角坐標(biāo)系xOy上取兩個(gè)定點(diǎn)A1(－2,0)，A2(2,0)，再取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)N1(0，m)，N2(0，n)，且mn＝3.求直線A1N1與A2N2交點(diǎn)的軌跡M的方程；

第三篇：數(shù)學(xué)直線與圓錐曲線教學(xué)反思

數(shù)學(xué)直線與圓錐曲線教學(xué)反思

本節(jié)課是平面解析幾何的核心內(nèi)容之一。在此之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了直線的基本知識(shí)，圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，這為本節(jié)復(fù)習(xí)課起著鋪墊作用。本節(jié)內(nèi)容是《直線與圓錐曲線的位置關(guān)系》復(fù)習(xí)的第一節(jié)課，著重是教會(huì)學(xué)生如何判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，體會(huì)運(yùn)用方程思想、數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比歸納等數(shù)學(xué)思想方法，優(yōu)化學(xué)生的解題思維，提高學(xué)生解題能力。這為后面解決直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題打下良好的基礎(chǔ)。這節(jié)復(fù)習(xí)課還是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的良好題材，所以說(shuō)是解析幾何的核心內(nèi)容之一。

數(shù)學(xué)思想方法分析：作為一名數(shù)學(xué)老師，不僅要傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識(shí)。因此本節(jié)課在教學(xué)中力圖讓學(xué)生動(dòng)手操作，自主探究、發(fā)現(xiàn)共性、類比歸納、總結(jié)解題規(guī)律。

根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知心理特征，制定如下教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)目標(biāo)：鞏固直線與圓錐曲線的基本知識(shí)和性質(zhì)；掌握直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法，并會(huì)求參數(shù)的值或范圍。

2、能力目標(biāo)：樹(shù)立通過(guò)坐標(biāo)法用方程思想解決問(wèn)題的觀念，培養(yǎng)學(xué)生直觀、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)；靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比歸納等各種數(shù)學(xué)思想方法，優(yōu)化解題思維，提高解題能力。

3、情感目標(biāo)：讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美、和諧美，端正學(xué)生的科學(xué)態(tài)度，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生自主探究的精神。

本著課程標(biāo)準(zhǔn)，在吃透教材基礎(chǔ)上，我覺(jué)得這節(jié)課是解決直線與圓錐曲線綜合問(wèn)題的基礎(chǔ)。對(duì)解決綜合問(wèn)題，我覺(jué)得只有先定性分析畫(huà)出圖形并觀察圖形，以形助數(shù)，才能定量分析解決綜合問(wèn)題。如：解決圓錐曲線中常見(jiàn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題、中點(diǎn)問(wèn)題、對(duì)稱問(wèn)題等。

我設(shè)計(jì)了：（1）提出問(wèn)題——引入課題（2）例題精析——感悟解題規(guī)律（3）課堂練習(xí)——鞏固方法（4）小結(jié)歸納——提高認(rèn)識(shí)，四個(gè)層次的學(xué)法，它們環(huán)環(huán)相扣，層層深入，從而順利完成教學(xué)目標(biāo)。

接下來(lái)，我再具體談?wù)勥@堂課的教學(xué)過(guò)程：

（一）提出問(wèn)題

課前我預(yù)先讓學(xué)生先動(dòng)手解決兩個(gè)學(xué)生熟知的問(wèn)題：直線與圓、直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)的問(wèn)題。讓學(xué)生自己歸納解決的方法。對(duì)直線與圓既可以用幾何法也可以用代數(shù)法，而直線與橢圓只能用代數(shù)法。通過(guò)問(wèn)題的設(shè)置一方面鞏固舊知，又總結(jié)歸納新知：直線與圓與橢圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于方程組的解的個(gè)數(shù)。

(二)例題精析

接著引導(dǎo)學(xué)生自然過(guò)渡到直線與拋物線、直線與雙曲線的位置關(guān)系的判斷。對(duì)于例1，師生共同完成，特別關(guān)注兩次分類討論，一次設(shè)直線方程時(shí)對(duì)斜率存在與否進(jìn)行討論，另一次消去一個(gè)變量y后得到一個(gè)方程，是否為二次方程進(jìn)行再次分類討論，求出三條直線方程后，引導(dǎo)學(xué)生在圖形中畫(huà)出。引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和形兩方面加以類比分析。再對(duì)題目進(jìn)行變式，使學(xué)生感悟直線與拋物線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題?？赏ㄟ^(guò)圖形進(jìn)行定性分析，但易出錯(cuò)，可通過(guò)定量分析進(jìn)行論證。對(duì)于例2，由學(xué)生板演，學(xué)生自主探究，師生共同歸納。

（三）課堂練習(xí)——鞏固方法

（四）類比歸納——提高認(rèn)識(shí)

由學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，以及收獲，通過(guò)數(shù)學(xué)思想方法的小結(jié)，使學(xué)生更深刻地了解數(shù)學(xué)思想方法在解題中的地位和作用，并且逐漸培養(yǎng)學(xué)生的良好個(gè)性品質(zhì)。

第四篇：圓錐曲線與直線相切的條件教案

圓錐曲線與直線相切的條件教案

教學(xué)目的(1)掌握?qǐng)A錐曲線與直線相切的條件及圓錐曲線切線的定義；

(2)使學(xué)生會(huì)用初等數(shù)學(xué)方法求圓錐曲線的切線；

(3)應(yīng)用相切的公式解題，從而培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用能力．

教學(xué)過(guò)程

一、問(wèn)題提出

1．有心的二次曲線包括哪些？無(wú)心的二次曲線包括哪些？

(答：有心的二次曲線是圓、橢圓及雙曲線；無(wú)心的二次曲線是拋物線．)

(由教師啟發(fā)下，讓學(xué)生共同討論．)

(1)當(dāng)α＞0，β＞0且α＝β時(shí)，方程表示為圓；

(2)當(dāng)α＞0，β＞0且α≠β時(shí)，方程表示為橢圓；

(3)當(dāng)α、β為異號(hào)時(shí)，方程表示為雙曲線．

因此，這個(gè)方程可以統(tǒng)一表示有心的二次曲線．

3．圓錐曲線與直線的相切的條件是什么？

設(shè)直線l′與圓錐曲線相交于P、Q兩點(diǎn)(圖1)，將直線l′繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)Q逐漸靠近點(diǎn)P，當(dāng)l′轉(zhuǎn)到直線l的位置時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合，這時(shí)，直線l叫做圓錐曲線在點(diǎn)P的切線．也就是圓錐曲線與直線l相切．根據(jù)這個(gè)定義，于是圓錐曲線方程

f(x，y)＝0

與直線方程

y＝kx＋m

組成的方程組應(yīng)有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解．實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解的充要條件是判別式Δ＝0，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為求Δ＝0．

(啟發(fā)學(xué)生回答，由教師歸納，然后板書(shū)課題．)

今天我們要研究“圓錐曲線與直線相切的條件”．

二、講述新課

根據(jù)上面分析，得

由②代入①，化簡(jiǎn)、整理得(αk2＋β)x2＋2αkmβ＋α(m2－β)＝0．③

當(dāng)αk＋β≠0時(shí)(二次項(xiàng)系數(shù))，Δ＝4αkm－4α(αk＋β)(m－β)

＝4α2k2m2－4α2k2m2＋4α2k2β－4αβm2＋4αβ2

＝4αβ(αk2＋β－m2)．

(啟發(fā)學(xué)生討論．)

由于α、β均不為零，因此當(dāng)Δ＝0時(shí)可知有心二次曲線與直線y＝kx＋m相切的充要條件為

m2＝αk2＋β，(αk2＋β≠0)④

這里αk2＋β恰是方程③的二次項(xiàng)系數(shù)．

(引導(dǎo)學(xué)生對(duì)結(jié)論④，在圓、橢圓、雙曲線各種情況下變化規(guī)律進(jìn)行討論，教師邊歸納，邊板書(shū)．)

(1)對(duì)于圓x2＋y2＝γ2，可寫(xiě)成

222

222

即有α＝β＝γ2，于是相切條件為m2＝γ2(k2＋1)．

(2)對(duì)于橢圓(焦點(diǎn)在x軸上)

即有α＝a，β＝b，于是相切條件為m＝ak＋b．

(3)對(duì)于橢圓(焦點(diǎn)在y軸上)

即有α＝b2，β＝a2，于是相切條件為m2＝b2k2＋a2．

(4)對(duì)于雙曲線(焦點(diǎn)在x軸上)

即有α＝a2，β＝－b2，于是相切條件為m2＝a2k2－b2．

(5)對(duì)于雙曲線(焦點(diǎn)在y軸上)

即有α＝－b2，β＝a2，于是相切條件為m2＝a2－b2k2．

[應(yīng)用有心曲線統(tǒng)一公式，這樣就不必從圓、橢圓、雙曲線一個(gè)一個(gè)地去求，可避免一個(gè)一個(gè)冗長(zhǎng)復(fù)雜的計(jì)算，使問(wèn)題的解決變得簡(jiǎn)捷．]

2．無(wú)心的二次曲線y2＝2px與直線y＝kx＋m相切的條件

根據(jù)上面的分析，得

由②代入①，化簡(jiǎn)整理，得

(kx＋m)2＝2px，k2x2＋(2mk－2p)x＋m2＝0．

當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)k2≠0時(shí)，Δ＝(2mk－2p)2－4k2m2＝4p2－8mkp

＝4p(p－2mk)＝0．

無(wú)心的二次曲線x2＝2py與直線y＝kx＋m相切的條件，應(yīng)為

(讓學(xué)生獨(dú)立完成．)

三、鞏固新課

(讓學(xué)生直接對(duì)照上述結(jié)論，設(shè)所求公切線的斜率為k，截距為m，再根據(jù)橢

解 設(shè)所求的公切線斜率為k，截距為m，根據(jù)相切條件有

由②代入①，化簡(jiǎn)整理，得

81k4＋36k2－5＝0，(9k2－1)(9k2＋5)＝0，∵9k2＋5≠0，∴9k2－1＝0，代入②，得m＝±5．

因此，所求的公切線方程為

即

x＋3y＋15=0或x－3y＋15=0．

求雙曲線的兩條互相垂直的切線交點(diǎn)的軌跡方程．

(幫助學(xué)生分析解題的幾個(gè)要點(diǎn)，然后由學(xué)生上黑板解，教師巡視指點(diǎn)．)

y=kx＋m，則由相切條件，可知m2=a2k2－b2．

(2)設(shè)兩切線交點(diǎn)為P(x0，y0)，則切線方程為

y－y0=k(x－x0)，即

y=kx＋(y0－kx0)．

(3)y=kx＋m，y=kx＋(y0－kx0)表示同一直線，就有

m=(y0－kx0)，∴(y0－kx0)=ak－b．

整理得

(4)k1k2=－1，用韋達(dá)定理從方程①求得k1k2，即

因此，點(diǎn)P的軌跡方程為

x＋y=a－b．

這里a＞b，點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)實(shí)圓；

a=b，點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)點(diǎn)圓；

a＜b，點(diǎn)P無(wú)軌跡(虛圓)．

解略．

法，不難得出軌跡方程為圓方程

x＋y=a＋b；

這題若改為求拋物線y=2px的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡方程，方法也類似，不難得出軌跡方程為

即點(diǎn)P一定在準(zhǔn)線上．

[這樣改變一下題目，可讓學(xué)生開(kāi)拓思路，舉一反三．]

四、練習(xí)

1．已知l為橢圓x＋4y=4的切線并與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的最小值及取得最小值時(shí)切線l的方程．

2解 如圖2，設(shè)切線方程為

y=kx＋m，根據(jù)相切條件有m2=4k2＋1，即①

|OA|2=4k2＋1．

在y=kx＋m中，令y=0，得

即

于是得

代入m=4k＋1，求得 2

因此，所求的切線共有四條(圖3)，它們的方程為

求四邊形ABCD的最大面積．

則由相切條件，知

m2=a2k2＋b2，故兩切線方程為

即

兩切線間的距離

∴四邊形ABCD的最大面積為

五、補(bǔ)充作業(yè)

軌跡方程．

2．求出斜率為k的圓錐曲線的切線方程．

教案說(shuō)明

這一節(jié)課的指導(dǎo)思想是：根據(jù)現(xiàn)代教育理論，強(qiáng)調(diào)在教學(xué)的過(guò)程中培養(yǎng)能力，特別是思維能力．?dāng)?shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)與科學(xué)結(jié)構(gòu)十分相似，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程，就是從一種思維結(jié)構(gòu)過(guò)渡到另一種思維結(jié)構(gòu)的過(guò)程，數(shù)學(xué)知識(shí)只是進(jìn)行思維結(jié)構(gòu)訓(xùn)練的材料．二次曲線與直線相切的條件若從上述結(jié)構(gòu)進(jìn)行訓(xùn)練，就是使學(xué)生形成完整的思維結(jié)構(gòu)，使對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)有新的突破．這一點(diǎn)已成為我在課堂教學(xué)中進(jìn)行探索和研討的課題．

這節(jié)課的整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，著重于講解——啟導(dǎo)——探究，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力．講解時(shí)，突出重點(diǎn)：“相切條件”，并以此為中心，達(dá)到舉一反

三、觸類旁通．其中也穿插了自學(xué)討論，而不是教師滿堂灌．

在練習(xí)中，注意到了再現(xiàn)性練習(xí)、鞏固性練習(xí)，同時(shí)也留有發(fā)現(xiàn)性練習(xí)，使學(xué)生以新帶舊，鞏固新知，發(fā)展智力，反過(guò)來(lái)從思維結(jié)構(gòu)上形成完整體系，以認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本身．

第五篇：直線與圓的方程的綜合應(yīng)用教案參考

直線與圓的方程的應(yīng)用

一、教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)與技能

（1）理解直線與圓的位置關(guān)系的幾何性質(zhì)；（2）利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系；（3）會(huì)用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題．

2、過(guò)程與方法

用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的步驟：

第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；

第二步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)題； 第三步：將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論．

3、情態(tài)與價(jià)值觀

讓學(xué)生通過(guò)觀察圖形，理解并掌握直線與圓的方程的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力．

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)與難點(diǎn)：直線與圓的方程的應(yīng)用．

三、教學(xué)過(guò)程

例

4、圖中是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度AB＝20m，拱高OP=4m，在建造時(shí)每隔4m需用一個(gè)支柱支撐，求支柱A2P2的長(zhǎng)度（精確到0.01）

思考:(用坐標(biāo)法)

1.圓心和半徑能直接求出嗎？ 2.怎樣求出圓的方程？ 3.怎樣求出支柱A2P2的長(zhǎng)度？

解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)圓心坐標(biāo)是（0，b）, 圓的半徑是r ,則圓的方程是x2+(y-b)2=r2.把P（0，4）B（10，0）代入圓的方程得方程組： 02+(4-b)2= r2 102+(0-b)2=r2

解得，b=-10.5

r2=14.52 所以圓的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52

把點(diǎn)P2的橫坐標(biāo)x=-2 代入圓的方程，得

(-2)2+(y+10.5)2=14.52

22因?yàn)閥>0,所以y=14.5-(-2)-10.5≈14.36-10.5=3.86(m)答：支柱A2P2的長(zhǎng)度約為3.86m.例

5、已知內(nèi)接于圓的四邊形的對(duì)角線互相垂直，求證圓心到一邊的距離等于這條邊所對(duì)邊長(zhǎng)的一半.解：以四邊形ABCD互相垂直的對(duì)角線作為x軸y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d)過(guò)四邊形的外接圓圓心O’作AC、BD、AD邊的垂線，垂足為M、N、E，則M、N、E分別為AC、BD、AD邊的中點(diǎn)。由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式有：

x?x?a?c,y?y?b?d,x?a,y?dOMONEE 2222aca2bdd2122所以，|O'E|?(??)?(??)?b?c 2222222 又|BC|?b2?c2

所以：|O'E|?1|BC|22

用坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題的步驟：

第一步：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；

第二步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)題； 第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.練習(xí)：求直線l: 2x-y-2=0被圓C:(x-3)+y=9所截得的弦長(zhǎng).22解：聯(lián)立兩個(gè)方程得x1?2x?y?2?0(x?3)2?y2?9

四、課堂小結(jié)

? ? ? ? 7?297?29x2?55解得：,4?2294?229y1?y2?55229d?(x1?x2)2?(y1?y2)2?5理解直線與圓的位置關(guān)系的幾何性質(zhì)； 利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系； 熟悉直線與方程的關(guān)系，并應(yīng)用其解決相關(guān)問(wèn)題 會(huì)用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題．