衡水萬卷周測（七）理科數(shù)學(xué)

圓錐曲線的綜合應(yīng)用

考試時間：120分鐘

姓名：__________班級：__________考號：__________

題號

一

二

三

總分

得分

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的）

橢圓的離心率為（）

A.B.C.D.空間點(diǎn)到平面的距離定義如下：過空間一點(diǎn)作平面的垂線，這個點(diǎn)和垂足之間的距離叫做這個點(diǎn)到這個平面的距離.已知平面，兩兩互相垂直，點(diǎn)∈，點(diǎn)到，的距離都是，點(diǎn)是上的動點(diǎn)，滿足到的距離是到到點(diǎn)距離的倍，則點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是（）

A.B.C.D.若一個橢圓長軸的長度.短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是（）

A.B.C.D.已知F1.F2為橢圓的左.右焦點(diǎn)，若M為橢圓上一點(diǎn)，且△MF1F2的內(nèi)切圓的周長等于,則滿足條件的點(diǎn)M有（）個.A.0

B.1

C.2

D.4

已知拋物線y2＝2px（p＞0）與雙曲線有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A是兩曲線的一個交點(diǎn)，且AF⊥x軸，則雙曲線的離心率為（）

A．

B．

C．

D．

已知雙曲線的右焦點(diǎn)F，直線與其漸近線交于A，B兩點(diǎn)，且△為鈍角三角形，則雙曲線離心率的取值范圍是（）

A.（）

B.（1，）

C.（）

D.（1，）

設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上三點(diǎn)，若為的重心，則的值為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

（2015浙江高考真題）如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個不同的點(diǎn)，其中點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在軸上，則與的面積之比是（）

A.B.C.D.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

已知F是雙曲線的左焦點(diǎn)，是雙曲線外一點(diǎn)，P是雙曲線右支上的動點(diǎn)，則的最小值為

過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，與拋物線分別交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），.如圖所示，直線與雙曲線C:的漸近線交于兩點(diǎn)，記，.任取雙曲線C上的點(diǎn)，若（.），則.滿足的一個等式是

.若橢圓和是焦點(diǎn)相同且的兩個橢圓，有以下幾個命題：①一定沒有公共點(diǎn)；②；③；④，其中，所有真命題的序號為。

三、解答題（本大題共5小題，共90分）

已知橢圓C1

：的離心率為，直線l:y=x+2與以原點(diǎn)為圓心、橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切.（1）求橢圓C1的方程；

（2）設(shè)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，直線l1過點(diǎn)F1且垂直于橢圓的長軸，動直線l2垂直于直線l1，垂足為點(diǎn)P，線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C2的方程；

(3)設(shè)C2與x軸交于點(diǎn)Q，不同的兩點(diǎn)R、S在C2上，且滿足，求的取值范圍.如圖，設(shè)F(－c,0)是橢圓的左焦點(diǎn)，直線l：x＝－與x軸交于P點(diǎn)，MN為橢圓的長軸，已知|MN|＝8，且|PM|＝2|MF|。

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)P的直線m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A,B。

①證明：∠AFM＝∠BFN；

②求△ABF面積的最大值。

已知實(shí)軸長為，虛軸長為的雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，直線是雙曲線的一條漸近線，且原點(diǎn).點(diǎn)和點(diǎn)）使等式成立.（1）

求雙曲線的方程；

（II）若雙曲線上存在兩個點(diǎn)關(guān)于直線對稱，求實(shí)數(shù)的取值范圍.已知雙曲線分別為C的左右焦點(diǎn).P為C右支上一點(diǎn)，且使.(I)求C的離心率e；

(II)設(shè)A為C的左頂點(diǎn)，Q為第一象限內(nèi)C上的任意一點(diǎn)，問是否存在常數(shù)λ（λ>0）,使得恒成立.若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由.已知拋物線:的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，的圓心在軸的正半軸上，且與軸相切，過原點(diǎn)作傾斜角為的直線，交于點(diǎn)，交于另一點(diǎn)，且

（Ⅰ）

求和拋物線的方程;

（Ⅱ）過上的動點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為、，求當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離取得最大值時，四邊形的面積

衡水萬卷周測（七）答案解析

一、選擇題

D【解析】由可得,.A

B【解析】由題意有，即，又，消去整理得，即，或（舍去），選B

C

D

D

C

A.【解析】試題分析：，故選A.考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)

二、填空題

【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F1，則由雙曲線的定義可知，所以當(dāng)滿足的最小時就滿足取最小值.由雙曲線的圖像可知當(dāng)點(diǎn)共線時，滿足最小.而即為的最小值，故所求最小值為9.4ab=1

.①③④

三、解答題

解：（1）

∴橢圓C1的方程是：

（2）由|MP∣=|MF2∣，可知動點(diǎn)M的軌跡是以為準(zhǔn)線，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線，∴點(diǎn)M軌跡C2的方程是

…3分

（3）Q（0，0），設(shè)

….3分

（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）

又當(dāng)，即時，故的取值范圍是:

（1）

∵|MN|＝8,∴a＝4，又∵|PM|＝2|MF|，∴e＝，∴c＝2,b2＝a2－c2＝12，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）①證明：

當(dāng)AB的斜率為0時，顯然∠AFM＝∠BFN＝0，滿足題意；

當(dāng)AB的斜率不為0時，設(shè)AB的方程為x＝my－8，代入橢圓方程整理得(3m2＋4)ymy＋144＝0.△＝576(m),yA＋yB＝,yAyB＝.則,而2myAyB－6(yA＋yB)＝2m·－6·＝0，∴kAF＋kBF＝0，從而∠AFM＝∠BFN.綜合可知：對于任意的割線PAB，恒有∠AFM＝∠BFN.②方法一：

S△ABF＝S△PBF－S△PAF

即S△ABF＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即m＝±時（此時適合于△＞0的條件）取到等號。

∴△ABF面積的最大值是3.方法二：

點(diǎn)F到直線AB的距離，當(dāng)且僅當(dāng)，即m＝±時取等號。

解：（I）根據(jù)題意設(shè)雙曲線的方程為

且,解方程組得

所求雙曲線的方程為

（II）當(dāng)時，雙曲線上顯然不存在兩個點(diǎn)關(guān)于直線對稱；

當(dāng)時，設(shè)又曲線上的兩點(diǎn)M.N關(guān)于直線對稱，.設(shè)直線MN的方程為則M.N兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組,消去得

顯然

即

設(shè)線段MN中點(diǎn)為

則.在直線

即

即的取值范圍是.解：(I)如圖，利用雙曲線的定義，將原題轉(zhuǎn)化為：在ΔP

F1

F2中，E為PF1上一點(diǎn)，PE

＝

PF2，E

F1

＝2a，F(xiàn)1

F2

＝

2c，求.設(shè)PE

＝

PF2

＝

EF2

＝

x，F(xiàn)

F2

＝，，.ΔE

F1

F2為等腰三角形，于是，(II)

（1）準(zhǔn)線L交軸于，在中所以,所以，拋物線方程是

(3分)

在中有,所以

所以⊙M方程是：

(6分)

（2）解法一　　　設(shè)

所以:切線；切線

(8分)

因?yàn)镾Q和TQ交于Q點(diǎn)所以

和成立

所以ST方程：

(10分)

所以原點(diǎn)到ST距離，當(dāng)即Q在y軸上時d有最大值

此時直線ST方程是

所以

所以此時四邊形QSMT的面積

說明：此題第二問解法不唯一，可酌情賦分．

只猜出“直線ST方程是”未說明理由的，利用ＳＭＴＱ四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，寫出以ＱＭ為直徑的圓方程

兩圓方程相減得到直線ＳＴ方程

以后步驟賦分參照解法一．