第一篇：高三數(shù)學(xué)教案：圓錐曲線的綜合問題（最終版）

第八節(jié)

圓錐曲線的綜合應(yīng)用

一、基本知識概要：

1知識精講：

圓錐曲線的綜合問題包括：解析法的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的思想，與圓錐曲線有關(guān)的定值、最值等問題，主要沿著兩條主線，即圓錐曲線科內(nèi)綜合與代數(shù)間的科間綜合，靈活運用解析幾何的常用方法，解決圓錐曲線的綜合問題；通過問題的解決，進一步掌握函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想.2重點難點：正確熟練地運用解析幾何的方法解決圓錐曲線的綜合問題，從中進一步體會分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想的運用.3思維方式：數(shù)形結(jié)合的思想，等價轉(zhuǎn)化，分類討論，函數(shù)與方程思想等.4特別注意：要能準(zhǔn)確地進行數(shù)與形的語言轉(zhuǎn)換和運算、推理轉(zhuǎn)換，并在運算過程中注意思維的嚴(yán)密性，以保證結(jié)果的完整。

二、例題：

例1.A，B是拋物線y2?2px(p?0)上的兩點，且OA?OB（O為坐標(biāo)原點）求證：

（1）A，B兩點的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積分別是定植；（2）直線AB經(jīng)過一個定點

證明：（1）設(shè)?OA?OB,?x1x2?y1y2?0A(x1,y1),B(x2,y2),則y1?2px1,y2?2px2,22

兩式相乘得y1y2??4p2,x1x2?4p2

(2)y1?y222?2p(x1?x2),當(dāng)x1?x2,kAB?2py1?y22py1?y2,2py1?y2(x?2p),所以直線AB的方程y?y1?(x?x1).化簡得y?2p,0)

過定點（2p,0),當(dāng)x1?x2時，顯然也過點（所以直線AB過定點(2p,0)例

2、（2005年春季北京，18）如圖，O為坐標(biāo)原點，直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b(a?0,b?0)，且交拋物線y?2px(p?0)于M（x1,y1），N（x2,y2）兩點。

（1）寫出直線l的截距式方程（2）證明：1y1?1y2?1b2

（3）當(dāng)a?2p時，求?MON的大小。（圖見教材P135頁例1）解：（1）直線l的截距式方程為

xa?yb?1。

（1）

（2）、由（1）及y2?2px消去x可得by2?2pay?2pab?0

（2）

點M，N的坐標(biāo)y1,y2為（2）的兩個根。故y1?y2??2pa?2pab,y1?y2??2pa.所以1y1?1y2?y1?y2y1y2?1b?.?2pab（3）、設(shè)直線OM、ON的斜率分別為k1,k2,則k1?y1x1,k2?y2x2.當(dāng)a?2p時，由（2）知，y1y2??2pa??4p2，由y21?2px1,y22?2px2,相乘得(y1y2)?4px1x2,x1x2?22(y1y2)4p22?(4p)4p222?4p,2因此k1k2?y1y2x1x2??4p4p22??1.所以O(shè)M?ON，即?MON＝90。

?說明：本題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力。

例

3、（2005年黃岡高三調(diào)研考題）已知橢圓C的方程為

xa22?yb22?1(a?b?0)，雙曲線xa22?yb22?1的兩條漸近線為l1,l2，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l?l1，又l與l2交于P點，設(shè)l與橢圓C的兩個交點由上而下依次為A、B。（圖見教材P135頁例2）

（1）當(dāng)l1與l2夾角為60，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程 ??（2）當(dāng)FA??AP時，求?的最大值。

?解：（1）?雙曲線的漸近線為y???bax，兩漸近線的夾角為60，又

?ba?1，??POx?30,即ba?tan30??33?a?x23b.又a?b222?4,?a2

?y?1.2?3,b2?1.故橢圓C的方程為3（3）由已知l:y?ab(x?c),與y?bax解得P（ac,ab）, c ??由FA??AP得A(c???a2c??,abc)，將A點坐標(biāo)代入橢圓方程得

1??41??(c??a)??a2222222222222?(1??)ac,?(e??)???e(1??)

???e?e2??2??(2?e)??3?3?22.22?? e?22?e??2－1。42??的最大值為說明：本題考查了橢圓、雙曲線的基礎(chǔ)知識，及向量、定比分點公式、重要不等式的應(yīng)用。解決本題的難點是通過恒等變形，利用重要不等式解決問題的思想。本題是培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題能力的一道好題。例

4、A，F(xiàn)分別是橢圓

(y?1)162?(x?1)122?1的一個上頂點與上焦點，位于x軸的正半軸上的動點T（t,0）與F的連線交射線OA于Q，求：

（1）點A，F(xiàn)的坐標(biāo)及直線TQ的方程;（2）三角形OTQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式及該函數(shù)的最小值（3）寫出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,并證明.解:(1)由題意得A(1,3),F(1,1)直線TQ得方程為x+(t-1)y-t=0(2)射線OA的方程y=3x(x?0),代入TQ的方程，得xQ?由xQ?0,得t??12(?2)t3t12?23,則yQ?3?4(?)?t4443t3t?2

3t3t?29,?S(t)?2312yQOT?394?3t4322(3t?2)(當(dāng)t?43時取等號）13,?t?,?S(t)?

2所以S(t)的最小值為?4(3)S(t)在?,???3

???上是增函數(shù) ?224??(t2?t1)?(t1?)(t2?)??41339??設(shè)?t1?t2,那么S(t1)?S(t2)????

2232(t1?)(t2?)33?t2?.t1?43,?(t1?23)?23,t2?23?23,?,?S(t2)?S(t1)

所以該函數(shù)在?4?3,?????上是增函數(shù)?

三、課堂小結(jié)：

1、解決圓錐曲線的綜合問題應(yīng)根據(jù)曲線的幾何特征，熟練運用圓錐曲線的知識將曲線的幾何特征轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，再結(jié)合代數(shù)等知識來解。

2、對于求曲線方程中參數(shù)范圍問題，應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件及曲線的幾何性質(zhì)構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式，通過解不等式求得參數(shù)的范圍；或建立關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域來解 四.作業(yè): 教材P136闖關(guān)訓(xùn)練。

第二篇：高二數(shù)學(xué)教案：圓錐曲線方程：02

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識教學(xué)點

使學(xué)生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及標(biāo)準(zhǔn)方程．(二)能力訓(xùn)練點

通過對橢圓概念的引入與標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析探索能力，增強運用坐標(biāo)法解決幾何問題的能力．

(三)學(xué)科滲透點

通過對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)的教學(xué)，可以提高對各種知識的綜合運用能力．

二、教材分析

1．重點：橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強調(diào)；對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程單獨列出加以比較．)2．難點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．

(解決辦法：推導(dǎo)分4步完成，每步重點講解，關(guān)鍵步驟加以補充說明．)3．疑點：橢圓的定義中常數(shù)加以限制的原因．(解決辦法：分三種情況說明動點的軌跡．)

三、活動設(shè)計

提問、演示、講授、詳細講授、演板、分析講解、學(xué)生口答．

四、教學(xué)過程(一)橢圓概念的引入

前面，大家學(xué)習(xí)了曲線的方程等概念，哪一位同學(xué)回答：

問題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個步驟必不可少？ 對上述問題學(xué)生的回答基本正確，否則，教師給予糾正．這樣便于學(xué)生溫故而知新，在已有知識基礎(chǔ)上去探求新知識．

提出這一問題以便說明標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)中一個同解變形．

問題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？

一般學(xué)生能回答：“平面內(nèi)到一定點的距離為常數(shù)的點的軌跡是圓”．對同學(xué)提出的軌跡命題如：

“到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡．” “到兩定點距離平方差等于常數(shù)的點的軌跡．” “到兩定點距離之差等于常數(shù)的點的軌跡．” 教師要加以肯定，以鼓勵同學(xué)們的探索精神．

比如說，若同學(xué)們提出了“到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡”，那么動點軌跡是什么呢？這時教師示范引導(dǎo)學(xué)生繪圖：

取一條一定長的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點(如圖2-13)，當(dāng)繩長大于F1和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓．

教師進一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學(xué)說：“立體幾何中圓的直觀圖．”有的同學(xué)說：“人造衛(wèi)星運行軌道”等??

在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括橢圓的定義：

平面內(nèi)到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距． 學(xué)生開始只強調(diào)主要幾何特征——到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示中要從兩個方面加以強調(diào)：

(1)將穿有鉛筆的細線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學(xué)生認(rèn)識到需加限制條件：“在平面內(nèi)”．

(2)這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學(xué)生注意：若常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)＜|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”．

(二)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 1．標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無所知，所以需要用坐標(biāo)法先建立橢圓的方程．

如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設(shè)點；(2)點的集合；(3)代數(shù)方程；(4)化簡方程等步驟．

(1)建系設(shè)點

建立坐標(biāo)系應(yīng)遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學(xué)生認(rèn)識到下列選取方法是恰當(dāng)?shù)模?/p>

以兩定點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖2-14)．設(shè)|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點，則有F1(-1，0)，F(xiàn)2(c，0)．

(2)點的集合

由定義不難得出橢圓集合為： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代數(shù)方程

(4)化簡方程

化簡方程可請一個反映比較快、書寫比較規(guī)范的同學(xué)板演，其余同學(xué)在下面完成，教師巡視，適當(dāng)給予提示：

①原方程要移項平方，否則化簡相當(dāng)復(fù)雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②為使方程對稱和諧而引入b，同時b還有幾何意義，下節(jié)課還要

(a＞b＞0)．

關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，可從略．

示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是F1(-c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2-b2． 2．兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)

0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2；

-c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到． 教師指出：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，∵a2＞b2，∴可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在哪一個坐標(biāo)軸上．

(三)例題與練習(xí)

例題

平面內(nèi)兩定點的距離是8，寫出到這兩定點的距離的和是10的點的軌跡的方程．

分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標(biāo)系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程． 解：這個軌跡是一個橢圓，兩個定點是焦點，用F1、F2表示．取過點F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

請大家再想一想，焦點F1、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分

練習(xí)1 寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

練習(xí)2 下列各組兩個橢圓中，其焦點相同的是

[

]

由學(xué)生口答，答案為D．(四)小結(jié)

1．定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡．

3．圖形如圖2-

15、2-16．

4．焦點：F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)．F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)．

五、布置作業(yè)

1．如圖2-17，在橢圓上的點中，A1與焦點F1的距離最小，|A1F1|=2，A2 F1的距離最大，|A2F1|=14，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

3．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

是過F1的直線被橢圓截得的線段長，求△ABF2的周長． 作業(yè)答案：

4．由橢圓定義易得，△ABF2的周長為4a．

六、板書設(shè)計

第三篇：圓錐曲線教案 對稱問題教案

圓錐曲線教案 對稱問題教案

教學(xué)目標(biāo)

1．引導(dǎo)學(xué)生探索并掌握解決中心對稱及軸對稱問題的解析方法． 2．通過對稱問題的研究求解，進一步理解數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高分析問題和解決問題的能力．

3．通過對稱問題的探討，使學(xué)生會進一步運用運動變化的觀點，用轉(zhuǎn)化的思想來處理問題．

教學(xué)重點與難點

兩曲線關(guān)于定點和定直線的對稱知識方法是重點．把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為對稱問題，即用對稱觀點解決實際問題是難點．

教學(xué)過程

師：前面學(xué)過了幾種常見的曲線方程，并討論了曲線的性質(zhì)．今天這節(jié)課繼續(xù)討論有關(guān)對稱的問題．大家想一想：點P(x，y)、P′(x′，y′)關(guān)于點Q(x0，y0)對稱，那么它們的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么條件？

師：P(x，y)，P′(x′，y′)關(guān)于原點對稱，那么它們的坐標(biāo)滿足什么條件？ 生：P和P′的中點是原點．即x=-x′且y=-y′． 師：若P和P′關(guān)于x軸對稱，它們的坐標(biāo)又怎樣呢？ 生：x=x′且y=-y′．

師：若P和P′關(guān)于y軸對稱，它們的坐標(biāo)有什么關(guān)系？ 生：y=y′且x=-x′．

師：若P和P′關(guān)于直線y=x對稱，它們的坐標(biāo)又會怎樣？ 生：y=x′且x=y′．

生：它們關(guān)于直線y=x對稱．

師：若P與P′關(guān)于直線Ax+By+C=0對稱，它們在位置上有什么特征？ 生：P和P′必須在直線Ax+By+C=0的兩側(cè)． 師：還有補充嗎？

生：PP′的連線一定與直線Ax+By+C=0垂直．

師：P與P′在直線Ax+By+C=0的兩側(cè)且與直線垂直就能對稱了嗎？ 生：還需要保證P和P′到直線Ax+By+C=0的距離相等． 師：P與P′到直線Ax+By+C=0的距離相等的含義是什么？

生：就是P與P′的中點落在直線Ax+By+C=0上，換句話說P與P′的中點坐標(biāo)滿足直線方程Ax+By+C=0．

師：下面誰來總結(jié)一下，兩點P(x，y)、P′(x′，y′)關(guān)于直線Ax+By+C=0對稱應(yīng)滿足的條件？

生：應(yīng)滿足兩個條件． 生：方程組中含有x′，y′，也可認(rèn)為這是一個含x′，y′的二元一次方程組．換句話說，給定一個點P(x，y)和一條定直線Ax+By+C=0，可以求出P點關(guān)于直線Ax+By+C=0的對稱點P′(x′，y′)的坐標(biāo)．

師：今后有很多有關(guān)對稱問題都可以用此方法處理，很有代表性．但也還有其他方法，大家一起看下面的例題．

例1 已知直線l1和l關(guān)于直線2x-2y+1=0對稱(如圖2-73)，若l1的方程是3x-2y+1=0，求l2的方程．

2(選題目的：熟悉對稱直線方程)師：哪位同學(xué)有思路請談?wù)劊?/p>

生：先求出已知兩直線的交點，設(shè)l2的斜率為k，由兩條直線的夾角公式可求出k，再用點斜式求得l2的方程．

(讓這位同學(xué)在黑板上把解題的過程寫出來，大家訂正．)

由點斜式，l2的方程為4x-6y+3=0． 師：還有別的解法嗎？

生：在直線l1上任取一點，求出這點關(guān)于2x-2y+1=0對稱的點，然后再利用交點，兩點式可求出l的直線方程。(讓這位學(xué)生在黑板上把解題過程寫出來，如有錯誤，大家訂正．)解 由方程組：

師：還有別的解法嗎？

生：在l2上任取一點P(x，y)，則P點關(guān)于2x-2y+1=0對稱的點P′(x′，y′)在l1上，列出P，P′的方程組，解出x′，y′，代入l1問題就解決了．

師：請你到黑板上把解題過程寫出來． 解 設(shè)P(x，y)為l上的任意一點，2則P點關(guān)于直線2x-2y+1=0對稱，點P′(x′，y′)在l1上(如圖2-75)，

又因為P′(x′，y′)在直線l：3x-2y+1=0上，1所以3·x′-2y′+1=0．

即l2的方程為：4x-6y+3=0．

師：很好，大家剛才的幾種解法是求對稱直線方程的常規(guī)方法．那么，如果把l1改為曲線，怎樣求曲線關(guān)于一條直線對稱的曲線方程呢？

引申：已知：曲線C：y=x2，求它關(guān)于直線x-y-2=0對稱的曲線方程．(選題目的：進一步熟悉對稱曲線方程的一般方法．)師：例1中的幾種解法還都適用嗎？ 生：

(讓學(xué)生把他的解法寫出來．)解 設(shè)P0(x0，y0)是曲線C：y=x2上任意一點，它關(guān)于直線x-y-2=0對稱的點為P′(x1，y1)，因此，連結(jié)P0(x0，y0)和P′(x1，y1)兩點的直線方程為y-y0=-(x-x0)．

師：還有不同的方法嗎？

生：用兩點關(guān)于直線對稱的方法也能解決． 師：把你的解法寫在黑板上．

生：解：設(shè)M(x，y)為所求的曲線上任一點，M0(x0，y0)是M關(guān)于直線x-y-2=0對稱的點，所以M0定在曲線C：y=x2上．

代入C的方程可得x=4y2+4y+6． 師：大家再看一個例子．

點出發(fā)射到x軸上后，沿圓的切線方向反射，求這條光線從A點到切點所經(jīng)過的路程．(如圖2-77)

師：解這題的關(guān)鍵是什么？ 生：關(guān)鍵是找到x軸的交點． 師：有辦法找到交點嗎？ 生：沒人回答．

師：交點不好找，那么我們先假設(shè)M就是交點，利用交點M對解決這個問題有什么幫助嗎？

生：既然AM是入射光線，MD為反射光線，D為切點，這樣入射角就等于反射角，從而能推出∠AMO=∠DMx．

師：我們要求|AM|+|MD|能解決嗎？

生：可以先找A關(guān)于x軸的對稱點A′(0，-2)，由對稱的特征知：|AM|=|A′M|，這樣把求|AM|+|MD|就可以轉(zhuǎn)化為|A′M|+|MD|即|A′D|．

師：|A′D|怎么求呢？

生：|A′D|實際上是過A′點到圓切線的長，要求切線長，只需先連結(jié)半徑CD，再連結(jié)A′C，在Rt△A′CD，|CD|和|A′C|都已知，|AD|就可以得到了．(如圖2-77)(讓這位學(xué)生把解答寫在黑板上．)解 已知點A關(guān)于x軸的對稱點為A′(0，-2)，所求的路程即為

師：巧用對稱性，化簡了計算，很好．哪位同學(xué)能把這個題適當(dāng)改一下，變成另一個題目．

生：若已知A(0，2)，D(4，1)兩定點，在x軸上，求一點P，使得|AP|+|PD|為最短．

師：誰能解答這個問題？

生：先過A(0，2)關(guān)于x軸的對稱點A′(0，-2)，連結(jié)A′D與x軸相交于點P，P為所求(如圖2-78)．

師：你能保證|AP|+|PD|最短嗎？

生：因為A，A′關(guān)于x軸對稱，所以|AP|=|A′P|，這時|AP|+|PD|=|A′D|為線段，當(dāng)P點在x軸其他位置上時，如在P′處，那么，連結(jié)AP′、A′P′和P′D．這時|AP′|+|P′D|=|A′P|+|P′D|＞|A′D|．理由(三角形兩邊之和大于 生：先作A點關(guān)于x軸的對稱點A′(0，-2)，連結(jié)A′和圓心C，A′C交x軸于M點，交圓于P點，這時|AM|+|MP|最小(如圖2-79)．

師：你怎樣想到先找A點關(guān)于x軸的對稱點A′的呢？

生：由前題的結(jié)論可知，把AM線段搬到x軸下方，盡可能使它們成為直線，這樣|A′M|+|MP|最?。?/p>

師：很好，大家一起動筆算一算(同時讓這位學(xué)生上前面書寫)． 生：解A點關(guān)于x軸的對稱點為A′(0，-2)，連A′C交x軸于M，交圓C于P點，因為A′(0，-2)，C(6，4)，所以|A′C|=

師：我們一起看下面的問題．

例3 若拋物線y=a·x2-1上總存在關(guān)于直線x+y=0對稱的兩點，求a的范圍．

師：這題的思路是什么？

生：如圖2-80，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線上關(guān)于直線x=-

師：很好，誰還有不同的解法嗎？

生：曲線y=ax2-1關(guān)于直線x+y=0對稱曲線方程為：-x=ay2-1，解方

師：今天我們討論了有關(guān)點，直線，曲線關(guān)于定點，定直線，對稱的問題．解決這些問題的關(guān)鍵所在就是牢固掌握靈活運用兩點關(guān)于定直線對稱的思想方法，結(jié)合圖象利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題．

作業(yè)：

1．一個以原點為圓心的圓與圓：x2+y2+8x-4y=0關(guān)于直線l對稱，求直線l的方程．

(2x-y+5=0)2．ABCD是平行四邊形，已知點A(-1，3)和C(-3，2)，點D在直線x-3y-1=0上移動，則點B的軌跡方程是

______．

(x-3y+20=0)

3．若光線從點A(-3，5)射到直線3x-4y+4=0之后，反射到點B(3，9)，則此光線所經(jīng)過的路程的長是______．

(12)4．已知曲線C：y=-x2+x+2關(guān)于點(a，2a)對稱的曲線是C′，若C與C′有兩個不同的公共點，求a的取值范圍．(-2＜a＜1)

設(shè)計說明

1．這節(jié)課是一節(jié)專題習(xí)題課，也可以認(rèn)為是復(fù)習(xí)題，通過討論對稱問題把有關(guān)的知識進行復(fù)習(xí)，最重要的是充分突出以學(xué)生為主體．讓學(xué)生討論和發(fā)言，就是讓學(xué)生參加到數(shù)學(xué)教學(xué)中來，使學(xué)生興趣盎然，思維活躍，同時對自己也充滿了信心．這樣，才有利于發(fā)揮學(xué)生的主動性，有利于培養(yǎng)學(xué)生的獨立思考的習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性和思維能力．因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要有一定的時間讓學(xué)生充分地發(fā)表自己的見解，從而來提高他們的興趣，發(fā)展他們的能力．

2．這節(jié)課自始至終貫穿數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在腦海里留下一個深刻的印象，就是對稱問題，歸根結(jié)底都可以化成點關(guān)于直線的對稱問題，即可用方程組去解決．反過來，一直線與一曲線的方程組消元后得到一元二次方程，若這二次方程的判別式大于零，也可得直線與曲線有兩個交點，這種從形到數(shù)，再由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化為我們處理解析幾何問題帶來了便利．在解題時，只有站在一定的高度上去處理問題，思路才能開闊，方法才能靈活，學(xué)生的能力才能真正的得到培養(yǎng)，同時水平才能提高得較快．

3．習(xí)題課的一個中心就是解題，怎樣才能讓學(xué)生做盡可能少的題，從而讓學(xué)生掌握通理通法，這是一個值得研究和探討的問題．本節(jié)課采取了讓學(xué)生把題目進行一題多變，一題多解，從中使學(xué)生悟出一些解題辦法和規(guī)律，從而達到盡可能做少量的題，而達到獲取盡可能多的知識、方法和規(guī)律的目的，真正提高學(xué)生的分析問題、提出問題、解決問題的能力．解決當(dāng)前學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)過重的問題，根除題海戰(zhàn)術(shù)給學(xué)生帶來的危害．

4．本課的例題選擇可根據(jù)自己所教學(xué)生的實際情況，下面幾個備用題可供參考．

題目1過圓O：x2+y2=4與y軸正半軸的交點A作這圓的切線l，M為l上任一點，過M作圓O的另一條切線，切點為Q，求點M在直線l上移動時，△MAQ垂心的軌跡方程．

(選題目的：熟練用代入法求動點的軌跡方程，活用平幾簡化計算．)

解 如圖2-81所示．P為△AMQ的垂心，連OQ，則四邊形AOQP為菱形，所以|PQ|=|OA|=2，設(shè)P(x1，y1)，Q(x0，y0)．于是有x0=x1且

題目2若拋物線y=x2上存在關(guān)于直線y=m(x-3)對稱的兩點，求實數(shù)m的取值范圍．

解(如圖2-82)設(shè)拋物線上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)關(guān)于直線

(選題目的：結(jié)合對稱問題，訓(xùn)練反證法的應(yīng)用．)此題證法很多．下面給一種證法供參考．

證明 如圖2-83，若P、Q兩點關(guān)于y=x對稱，可設(shè)P(a，b)、5．本教案作業(yè)4，5題的參考解答：

4題．解設(shè)P(x，y)是曲線y=-x2+x+2上任一點，它關(guān)于點(a，2a)的對稱點是P′(x0，y0)，則x=2a-x0，y=4a-y0，代入拋物線C的方程便得到了C′的方程：y=x2+(1-4a)x+(4a2+2a-2)．聯(lián)立曲線C與C′的方程并消去y得：x2-2ax+2a2+a-2=0，由Δ＞0得-2＜a＜1．

5題略解：如圖2-84，F(xiàn)1(-5，2)，F(xiàn)2(-1，2)，F(xiàn)1關(guān)于直線x-y=1的對稱點為F1(3，-6)，直線F1F2的方程為2x+y=0，代入x-y=1解得，

第四篇：高三數(shù)學(xué)教案

高三數(shù)學(xué)教案---點面距離

課型：復(fù)習(xí)課；課時：1時間：45分鐘 教學(xué)目標(biāo)：

1、知識與技能：在充分了解空間各種距離的概念的基礎(chǔ)

上，探究求空間距離的 一般方法；

2、過程與方法：通過師生互動，發(fā)現(xiàn)、總結(jié)規(guī)律；

3、情感態(tài)度價值觀：從發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律中體驗學(xué)數(shù)學(xué)的興趣。重點難點：

1、點到平面的距離是有關(guān)距離問題的重點，它主要由兩

種方法求得：

﹙1﹚用定義，直接作出這段距離，經(jīng)論證在計算；

﹙2﹚轉(zhuǎn)化為錐體的高，用三棱錐體積公式求點到平面的距離

2、求解距離問題要注意運用化歸與轉(zhuǎn)化思路：面面距離

→線面距離→點面距離→點點距離。

教學(xué)方法：講練結(jié)合教具：多媒體

第五篇：2013白蒲中學(xué)高二數(shù)學(xué)教案：圓錐曲線方程：13(蘇教版)

求曲線的軌跡方程

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識教學(xué)點

使學(xué)生掌握常用動點的軌跡以及求動點軌跡方程的常用技巧與方法．(二)能力訓(xùn)練點

通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的歸納和介紹，培養(yǎng)學(xué)生綜合運用各方面知識的能力．

(三)學(xué)科滲透點

通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的介紹，使學(xué)生掌握常用動點的軌跡，為學(xué)習(xí)物理等學(xué)科打下扎實的基礎(chǔ)．

二、教材分析

1．重點：求動點的軌跡方程的常用技巧與方法．

(解決辦法：對每種方法用例題加以說明，使學(xué)生掌握這種方法．)2．難點：作相關(guān)點法求動點的軌跡方法．

(解決辦法：先使學(xué)生了解相關(guān)點法的思路，再用例題進行講解．)

三、活動設(shè)計

提問、講解方法、演板、小測驗．

四、教學(xué)過程(一)復(fù)習(xí)引入

大家知道，平面解析幾何研究的主要問題是：(1)根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程；(2)通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)．

我們已經(jīng)對常見曲線圓、橢圓、雙曲線以及拋物線進行過這兩個方面的研究，今天在上面已經(jīng)研究的基礎(chǔ)上來對根據(jù)已知條件求曲線的軌跡方程的常見技巧與方法進行系統(tǒng)分析．

1(二)幾種常見求軌跡方程的方法 1．直接法

由題設(shè)所給(或通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出)的動點所滿足的幾何條件列出等式，再用坐標(biāo)代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法．

例1(1)求和定圓x2+y2=k2的圓周的距離等于k的動點P的軌跡方程；(2)過點A(a，o)作圓O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割線，求割線被圓O截得弦的中點的軌跡．

對(1)分析：

動點P的軌跡是不知道的，不能考查其幾何特征，但是給出了動點P的運動規(guī)律：|OP|=2R或|OP|=0．

解：設(shè)動點P(x，y)，則有|OP|=2R或|OP|=0． 即x2+y2=4R2或x2+y2=0．

故所求動點P的軌跡方程為x2+y2=4R2或x2+y2=0． 對(2)分析：

題設(shè)中沒有具體給出動點所滿足的幾何條件，但可以通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出，即圓心與弦的中點連線垂直于弦，它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)．由學(xué)生演板完成，解答為：

設(shè)弦的中點為M(x，y)，連結(jié)OM，則OM⊥AM． ∵kOM·kAM=-1，其軌跡是以O(shè)A為直徑的圓在圓O內(nèi)的一段弧(不含端點)． 2．定義法

利用所學(xué)過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點的軌跡方程，這種方法叫做定義法．這種方法要求題設(shè)中有定點與定直線及兩定點距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件．

直平分線l交半徑OQ于點P(見圖2－45)，當(dāng)Q點在圓周上運動時，求點P的軌跡方程．

分析：

∵點P在AQ的垂直平分線上，∴|PQ|=|PA|． 又P在半徑OQ上．

∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．

故P點到兩定點距離之和是定值，可用橢圓定義 寫出P點的軌跡方程．

解：連接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|． 又P在半徑OQ上． ∴|PO|+|PQ|=2．

由橢圓定義可知：P點軌跡是以O(shè)、A為焦點的橢圓．

3．相關(guān)點法

若動點P(x，y)隨已知曲線上的點Q(x0，y0)的變動而變動，且x0、y0可用x、y表示，則將Q點坐標(biāo)表達式代入已知曲線方程，即得點P的軌跡方程．這種方法稱為相關(guān)點法(或代換法)．

例3 已知拋物線y2=x+1，定點A(3，1)、B為拋物線上任意一點，點P在線段AB上，且有BP∶PA=1∶2，當(dāng)B點在拋物線上變動時，求點P的軌跡方程．

分析：

P點運動的原因是B點在拋物線上運動，因此B可作為相關(guān)點，應(yīng)先找出點P與點B的聯(lián)系．

解：設(shè)點P(x，y)，且設(shè)點B(x0，y0)

∵BP∶PA=1∶2，且P為線段AB的內(nèi)分點．

4．待定系數(shù)法

求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求．

例4 已知拋物線y2=4x和以坐標(biāo)軸為對稱軸、實軸在y軸上的雙曲

曲線方程． 分析：

因為雙曲線以坐標(biāo)軸為對稱軸，實軸在y軸上，所以可設(shè)雙曲線方

ax2-4b2x+a2b2=0 ∵拋物線和雙曲線僅有兩個公共點，根據(jù)它們的對稱性，這兩個點的橫坐標(biāo)應(yīng)相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0應(yīng)有等根．

∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b．(以下由學(xué)生完成)

由弦長公式得：

即a2b2=4b2-a2．

(三)鞏固練習(xí)

用十多分鐘時間作一個小測驗，檢查一下教學(xué)效果．練習(xí)題用一小黑板給出． 1．△ABC一邊的兩個端點是B(0，6)和C(0，-6)，另兩邊斜率的

2．點P與一定點F(2，0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1∶2，求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形？

3．求拋物線y2=2px(p＞0)上各點與焦點連線的中點的軌跡方程． 答案：

義法)

由中點坐標(biāo)公式得：

(四)小結(jié)

求曲線的軌跡方程一般地有直接法、定義法、相關(guān)點法、待定系數(shù)法，還有參數(shù)法、復(fù)數(shù)法也是求曲線的軌跡方程的常見方法，這等到講了參數(shù)方程、復(fù)數(shù)以后再作介紹．

五、布置作業(yè)

1．兩定點的距離為6，點M到這兩個定點的距離的平方和為26，求點M的軌跡方程．

2．動點P到點F1(1，0)的距離比它到F2(3，0)的距離少2，求P點的軌跡． 3．已知圓x2+y2=4上有定點A(2，0)，過定點A作弦AB，并延長到點P，使3|AB|=2|AB|，求動點P的軌跡方程．作業(yè)答案：

1．以兩定點A、B所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，得點M的軌跡方程x2+y2=4 2．∵|PF2|-|PF|=2，且|F1F2|∴P點只能在x軸上且x＜1，軌跡是一條射線

六、板書設(shè)計