第一篇：高中數(shù)學選修4-5：42數(shù)學歸納法證明不等式 學案

4.2數(shù)學歸納法證明不等式

【學習目標】

1.會用數(shù)學歸納法證明貝努利不等式?1?x??1?nx?x??1,x?0,n?N??，了解當n n

為實數(shù)時貝努利不等式也成立

2.培養(yǎng)使用數(shù)學歸納法證明不等式的基本技能

【自主學習】

1.使用數(shù)學歸納法獨立完成貝努利不等式?1?x??1?nx?x??1,x?0,n?N??的證n

明

2.自我感悟什么樣的不等式易于用數(shù)學歸納法證明？

3.用數(shù)學歸納法證明不等式時要使用歸納假設(shè)進行放縮，如何放縮才能奏效，要積累經(jīng)驗，特別是出現(xiàn)二次式時要注意留心總結(jié).4．對于兩個數(shù)的大小的探究要提高警惕，一般探究要比較的豐富，才利于做出正確的猜測.【自主檢測】

1.用數(shù)學歸納法證明1???

1213?1*?nn?N,n?1?時，由n=k（k>1）時不等?2n?1

式成立，推證n=k+1時，左邊應增加的項數(shù)是（）

A.2k?1B.2k?1C.2kD.2k?1

2.用數(shù)學歸納法證明11??n?1n?2?111??n?N*?時，由n=k到n=k+1時，不n?n2

4等式左邊應添加的項是＿＿＿＿

3.當n=1，2，3，4，5，6

時，比較2n與n2后，你提出的猜想是＿＿＿＿

【典型例題】

1??1??1?例1.用數(shù)學歸納法證明：?n?N?,n?1? ?1???1???1???352n?1??????

例2.設(shè)數(shù)列?an?滿足an?1?an2?nan?1?n?N*?

?1?.a1?2時，求a2,a3,a4并由此猜想?an?的一個通項公式

?2?a1?3時，證明對所有n?1有1an?n?2

2例3.已知函數(shù)g?x??x2?2x?x?1?,f?x???a?b??ax?bx，其中a、b?R,a?1,b?1,a?b,ab?4對于任意的正整數(shù)n，指出f?n?與g?2n?的大小關(guān)系，并證明之

x11 +?1?a11?a2?11? 1?an

2【課堂檢測】

1.設(shè)n為正整數(shù)，f?n??1?????n?N??，計算知11231n

357f?2??,f?4??2,f?8??,f?16??3,f?32??，據(jù)此可以猜測得出一般性結(jié)論為()222

2n?1n?2n?2 A.f?2n??B.f?n2??C.f?2n??D.以上都不對 222

n0為驗證的第一個值，2.欲用數(shù)學歸納法證明對于足夠大的正整數(shù)n，總有2n?n3，則()A.n0?1B.n0為大于1小于10的某個整數(shù)C.n0?10D.n0?2

3.用數(shù)學歸納法證明1????11241127，n的起始值至少應取為?n?126

44.等比數(shù)列?an?的前n項和為Sn，已知對任意的正整數(shù)n，點?n,Sn?均在函數(shù)

y?bx?r(b?0,b?1，b、r均為常數(shù)）的圖像上.(1)求r的值

(2)當b=2時，記bn?2?log2an?1

??n?N*?，證明對所有正整數(shù)n，不等式 b1?1b2?1??b1b2bn?1? bn

【總結(jié)提升】

1.數(shù)學歸納法依然是證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式行之有效的方法.但在證明遞推的依據(jù)是成立的時候常常需要放縮，故千萬要注意不等式的基本性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性的作用.2.數(shù)學歸納法證明不等式時有時不能直接進行，常需加強命題，為此難度就比較大，且加強又不易完成.如證明1?

為1?11??2232?11?2?223?15??n?N*,n?1?，就可以加強2n3152??n?N*,n?1?再用數(shù)學歸納法.?2n32n?1

3.不過關(guān)于n的不等式的證明不一定要用數(shù)學歸納法，有時使用函數(shù)的單調(diào)性就可以；放縮也是不可忽視的方法.

第二篇：比較法證明不等式 高中數(shù)學選修2-3

1.1&1.2比較法證明不等式

陳嬌

【教學目標】

1.知識與技能

掌握兩個實數(shù)的大小與它們的差值的等價關(guān)系以及理解并掌握比較法的一般步驟。

2.過程與方法

掌握運用比較法證明一些簡單的不等式的方法；理解、掌握不等式基本性質(zhì)的導出過程，并能運用性質(zhì)證明一些簡單的不等式。

3.情感態(tài)度與價值觀

通過數(shù)軸比較兩個實數(shù)的大小關(guān)系，體會數(shù)形結(jié)合的思想；掌握數(shù)學研究的基本方法。

【教材分析】

教學重點：理解并掌握作差比較法證明不等式；

教學難點：求差后對“差式”進行適當變形，并判斷其符號。

【教學過程】

第三篇：高中數(shù)學不等式證明常用方法

本科生畢業(yè)設(shè)計（論文中學證明不等式的常用方法

所在學院：數(shù)學與信息技術(shù)學院

專 業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學

姓 名： 張俊

學 號： 1010510020 指導教師： 曹衛(wèi)東

完成日期： 2014年04月15日）

摘 要

本文主要是對高中學習階段不等式證明方法的概括和總結(jié).不等式的證明方法多種多樣,其中有比較法,分析法,綜合法,反證法,數(shù)學歸納法,放縮法等常見的方法,另有一些學生比較不熟悉但也經(jīng)常采用的方法,如構(gòu)造法,向量法,求導法,換元法等等.關(guān)鍵詞: 不等式的證明;函數(shù)的構(gòu)造;極值;導數(shù)

ABSTRACT

This paper is mainly on the high school stage the inequality proof method and summarized.The inequality proof methods varied, including comparison, analysis, synthesis, reduction to absurdity, mathematical induction, scaling and other common methods, and some students are not familiar with but also the methods used, such as construction method, vector method, derivation method, method and so on.Key words:

The inequality proof;function;extreme value;derivative

目 錄

1.構(gòu)造函數(shù)法 ·········································1 1.1 移項法構(gòu)造函數(shù) ·································1 1.2 作差法構(gòu)造函數(shù)

·····························2 1.3 換元法構(gòu)造函數(shù)

·····························2 1.4 從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)

······················3 1.5 主元法構(gòu)造函數(shù) ··································3 1.6 構(gòu)造形似函數(shù) ····································4 2.比較法 ·············································4 2.1 作差比較法 ······································4 2.2 作商比較法 ······································5 3.放縮法 ············································5 4.判別式法 ············································6 5.反證法 ············································7 6.向量法 ···········································8 7.不等式證明的具體應用 ································9 參考文獻 ··············································11

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眾所周知,生活中存在著大量的不等量關(guān)系.不等量關(guān)系是基本的數(shù)學關(guān)系,它在數(shù)學研究與應用中起著不可忽視的作用,因此,研究不等式的方法至關(guān)重要,許多數(shù)學家在這一領(lǐng)域取得豐碩的成果,他們的成就舉世矚目,無可替代.不等式的證明是高中學習階段的重要內(nèi)容之一,縱觀近幾年的高考,不等式的證明每年都有涉及,一般都出現(xiàn)在最后一題,可見它的困難和重要程度,因此不等式證明的學習既是重點也是難點,無論是求最值還是求不定量的范圍都需要用到不等式的證明.所以,有必要對不等式的證明方法做一個全面的,科學的,系統(tǒng)的總結(jié)和歸納.1.構(gòu)造函數(shù)法

1.1移項法構(gòu)造函數(shù)

【例1】 已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x,求證：當x??1時,恒有

1?1?ln(x?1)?x.x?1分析：本題是雙邊不等式,其右邊直接從已知函數(shù)證明,左邊構(gòu)造函數(shù)

1?1,從其導數(shù)入手即可證明.g(x)?ln(x?1)?x?1證:先證左邊,令g(x)?ln(x?1)?111x?1, 則g?(x)? ??x?1x?1(x?1)2(x?1)2 當x?(?1,0)時,g?(x)?0;當x?(0,??)時,g?(x)?0 , 即g(x)在x?(?1,0)上為減函數(shù),在x?(0,??)上為增函數(shù),故函數(shù)

g(x)在(?1,??)上的最小值為g(x)min?g(0)?0, ∴當x??1時,g(x)?g(0)?0,即ln(x?1)?1?1?0 x?1 ∴ ln(x?1)?1? 再證右邊,f?(x)?1(左邊得證).x?11x?1?? x?1x?1 ∴ 當?1?x?0時,f?(x)?0,即f(x)在x?(?1,0)上為增函數(shù), 當x?0時,f?(x)?0,即f(x)在x?(0,??)上為減函數(shù), 于是函數(shù)f(x)在(?1,??)上的最大值為f(x)max?f(0)?0, 1

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因此,當x??1時f(x)?f(0)?0,即ln(x?1)?x?0

∴ ln(x?1)?x(右邊得證).綜上可知,當x??1時,有1?1?ln(x?1)?x x?1【啟迪】: 如果f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最?。ù螅┲?則有f(x)?f(a)

（或f(x)?f(a))那么要證不等式,只要求函數(shù)的最小值不超過0就可得證． 1.2作差法構(gòu)造函數(shù)

【例2】 當x?(0,1)時,證明:(1?x)ln(1?x)?x.分析:本題是一個單邊不等式,很難直接看出兩者有什么聯(lián)系,因此聯(lián)想到采用作差的方法,將兩個函數(shù)變?yōu)橐粋€函數(shù).作差法是最直接把兩者結(jié)合的方法且求導

后能很容易看出兩者的聯(lián)系.證:做函數(shù)f(x)?(1?x)ln(1?x)?x,易得f(0)?0，221?x)?2x,當x?0時,f'(x)?0

而f'(x)?ln(1?x)?2ln(又得,f''(x)?22ln(1?x)22??2?[ln(1?x)?x]，1?x1?x1?x 當x?(0,1)時,f''(x)?0

∴f'(x)在x?(0,1)上遞減,即f'(x)?f'(0)?0,即f(x)在(0,1)遞減

∴f(x)?f(0)?0,從而原不等式得證.【啟迪】: 本題先構(gòu)造出一個函數(shù)并利用所設(shè)函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)單調(diào)

性的性質(zhì)來證明原不等式如果一階導數(shù)無法判斷兩個關(guān)系,可以采用二階導數(shù)

來先判斷一階導數(shù)關(guān)系,再來判斷原函數(shù)的關(guān)系.1.3換元法構(gòu)造函數(shù)

122?x?xy?y?3.1?x?y?2 【例3】 已知 ,求證:222 分析:本題看上去毫無聯(lián)系,但發(fā)現(xiàn)x?y經(jīng)常出現(xiàn)在三角代換中.于是可以采用 換元法進行嘗試,則結(jié)果顯而易見.證:因為 1? 其中1?2x2?y2?2,所以可設(shè)x?rcos?,y?rsin?，22r2?2,0???2?.1212 ∴x?xy?y?r?rsin2??r(1?sin2?)

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??1?sin2??, 222121322 ?r?(1?sin2?)r?r 22232121 而r?3,r? 222122?x?xy?y?3.?2【啟迪】:當發(fā)現(xiàn)不等式題目中含有x2?y2,或者別的與x,y有關(guān)的不等式,可以采用換

元法.將x,y進行替換,再找兩者的關(guān)系來進行論證.1.4從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)

【例4】 若函數(shù)y?f(x)在R上可導且滿足不等式xf?(x)??f(x)恒成立,且常數(shù)

a ,b滿足0?a?b,求證:af(a)

xf(x)，?(x)?f(x)此時可以得到F(x)的導數(shù)為xf ?F?(x)?0,所以F(x)在R上為增函數(shù)，f(a)?f(b)

?af(a)?bf(b)?0?a?b,? 得證.【啟迪】：把條件進行簡單的變形后,很容易發(fā)現(xiàn)它是一個函數(shù)積的導數(shù),因此可以構(gòu)造出

F(x),求導后即可得到證明結(jié)果.1.5主元法構(gòu)造函數(shù)

【例5】 設(shè)a,b,c,d?R,且滿足(a?b?c)求證:ab?bc?ca2?2(a2?b2?c2)?4d，?3d

分析:本題初看含有四個未知量,且題目中只含一條不等式,因此解題時必須從這條

不等式入手,對其進行變換.證:把a看成未知量進行化簡,得一元二次不等式

?2(b?c)a?(b?c)2?4d?0

22xaf(x)?x?2(b?c)x?(b?c)?4d

用替換,構(gòu)造一個函數(shù) a2x2前面的系數(shù)大于0,所以該拋物線開口向上

且當x?a時,f(a)?0.22??4(b?c)?4[(b?c)?4d]?0

?其判別式 ?

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d.同理把b,c看成未知量,可得ca?d,ab?d

疊加可得ab?bc?ca?3d.化簡,得bc?【啟迪】:有些復雜的不等式可以看成一個未知量的簡單不等式,再找?guī)讉€未知量之間的關(guān)系,進行證明.1.6構(gòu)造形似函數(shù)

【例6】 當a?b?e時,證明a?b.分析:要證a?b,只要證lnababab?lnba,即證明blna?alnb?0, 也就是要證明blnx?xlnb,因此構(gòu)造函數(shù)

f(x)?blnx?xlnb,然后只需要證明 證:要證a?b,只要證lnabaf(x)單調(diào)遞減就可以了.b?lnb xb?lnba即證blna?alnb?0

設(shè)f(x)?blnx?xlnb(x?b?e),則f?(x)? ?b?e,x?b ?lnb?1, ?b?1?f?(x)?0 xf(x)在(e,??)上單調(diào)遞減.?a?b

?f(a)?f(b)故blna?alnb?blnb?blnb?0

ba 即blna?alnb ?a?b.【啟迪】:在證明簡單不等式時,可以采用求導等變換來構(gòu)造出一些相似的函數(shù),再利用函

數(shù)的單調(diào)性來證明簡單不等式.2.比較法

2.1作差比較法

【例1】 若0?x?1,證明loga(1?x)?loga(1?x),(a?0,a?1).分析:用作差法來做,則需去掉絕對值,必須要分a?1和0?a?1兩種情況來考慮

問題.證:(1)當0?a?1時,?0?1?x?1,1?1?x?2

?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)

?0?x?1,?0?1?x?

1?loga(1?x)?0,得證.（2）當a?1時,?0?1?x?1,1?1?x?2

? loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)

?0?x?1,?0?1?x?1

22222 江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）

??loga(1?x)?0,得證.綜合（1）（2）可得loga(1?x)?loga(1?x).【啟迪】:當不等式兩邊的式子比較相近,或者是對數(shù)式子時可以采用作差法來嘗試.2.2作商比較法

【例2】 設(shè)a,b?R,且a?0,b?0,求證(ab)a?b22?aabb.分析:發(fā)現(xiàn)作差變形后符號很難判斷,且無法化簡,考慮到兩邊都是正數(shù),可以作商, 判斷比值和1的大小關(guān)系,從而來證明不等式.證:?ab?0,(ab)aba?b2?0,?將不等式兩邊相除，b?a2baa??()2 baabb 得(ab)a?b2?aa?b2bbaa?2?1.當a?b時,()baa?b?1?0, 當0?b?a時，b2baa?a02()?()?1.由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,bbbaa?a0aa?b2()?()?1.?1?0 當0?a?b時，,同理可得bbb2 綜上所述,對于任意的正實數(shù)a,b都有(ab)a?b2?aabb.【啟迪】:當遇到作差法無法解決的問題時可以采用作商法來證明不等式,使用作商法的前

提條件是不等式兩邊均要大于0,一般為指數(shù)函數(shù)的形式.3.放縮法

2n?1an(n?N)

【例1】 已知數(shù)列?an?的前n項和為sn?1?2(1)設(shè)xn?(2n?1)sn,求證:數(shù)列?xn?為等差數(shù)列.11115???..........??(2)當n?2時,2.222xnxnxx32?1n?22n 分析:本題分為兩小題,第一小題是考察數(shù)列的知識,是為第二小題做的鋪墊,在做

第二小題時,需要采用放縮來證明,來把不等式的左邊放大來比較.2n?1(sn?sn?1)

證:(1)當n?2時,sn?1?2

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化簡,得(2n?1)sn?2?(2n?1)sn?1

由已知條件得xn 其通項公式為xn ??xn?是以首項為x1?xn?1?2,即xn?xn?1?2

?2公差d?2的等差數(shù)列，?2n.1111???..........?(2)2222 xnxnxx?1n?22n11111??......?] ?[2?222 4n(n?1)(n?2)(2n)11111???......?] ?[4n(n?1)n(n?1)(n?1)(n?2)(2n?1)(2n)1111111?[(?)?(?)?(?)?......4n?1nnn?1n?1n?

2111111n?1?(?)]?(?)?()2n?12n4n?12n42n(n?1)1n?1 ? 42(n?1)2?6(n?1)?411? 44

2(n?1)?6?n?14 令f(n)?2(n?1)?,當n?2時,f(n)的值隨著n的增大而增

n?1 大,?f(n)?f(2), 111136??? 即4 44f(2)?616322(n?1)?6?n?111115?2?.?2?2?2?..........xnxn?1xn?2x2n32【啟迪】: 采用放縮法題目一般比較開放,且沒有固定的放縮范圍,一般比較靈活,且方法

較多.4.判別式法

?7? 【例1】 已知x?y?z?5,x?y?z?9,求證x,y,z都屬于?1,?

?3?222

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分析:實系數(shù)一元二次方程ax2?bx?c?0有兩個不等實根、有兩個相等實根、沒有實根的充要條件是: b 記??4ac?0、b2?4ac?0、b2?4ac?0．

?b2?4ac,稱其為方程是否有實根的判別式.同時也是與方程對應的

函數(shù)、不等式的判別式.此題含有三個未知數(shù),所以要進行替換.222z?5?x?yx?y?z?9中

證:有條件可得,代入 化簡可得:x ?2?(y?5)x?y2?5y?8?0

x?R,且方程有解,?根的判別式??b2?4ac?0

22?7?7y?1,?.即(y?5)?4(y?5y?8)?0,解得1?y?,即?3?3??7??7? 同理,替換x,y可得z??1,?,x??1,?.?3??3? ?得證.【啟迪】:本題看似復雜,含有三個未知量,其實只需要簡單的幾個步驟就解決了,因此在解決這類問題時,第一步是替換未知量,第二部把另一個未知量看成已知量,再

用根的判別式來確定范圍.5.反證法 【例1】 設(shè)0?a,b,c?1,求證:(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a,不可能同時大于.分析:本題的結(jié)論為否定形式,適合用反證法來證明,假設(shè)命題不成立,從而導出矛

盾.證:假設(shè)(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a三個數(shù)都大于, 則有(1?a)b?111,(1?b)c?,(1?c)a? 444 又?0?a?1,0?b?1,0?c?1

?111(1?a)b?,(1?b)c?,(1?c)a?.222 7

江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）?(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a? ?

2a?b1?a?bab?(1?a)b? 又由基本不等式得，221?b?c1?c?a(1?b)c?,(1?c)a?, 把上面三個式子相加得(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a?3 ? 2 顯然?與?相矛盾,所以假設(shè)不成立.?(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a,不可能同時大于.4【啟迪】:命題中出現(xiàn)“至少”,“都”,“同時”,“至多”等字樣時,可以采用反證法, 反證的關(guān)鍵在于找出與命題相反的結(jié)論,然后再用假設(shè)的條件推出矛盾.6.向量法

a2b2c2???12.【例1】設(shè)a?1,b?1,c?1,證明:

b?1c?1a?1 分析:本題只有一個已知條件,且結(jié)論也無法化簡,因此可以想到高中最直接的方法

向量法,構(gòu)造兩個向量.利用向量的知識進行解決.?m 證:設(shè)?(a2b2c2?，),n?(b?1,c?1,a?1)b?1c?1a?1??m 則?n?a2b2c2?b?1??c?1??a?1 b?1c?1a?1?a?b?c

222abc ????a?b?c?3?cos?b?1c?1a?1a2b2c2???a?b?c?3

?b?1c?1a?1a2b2c2a?b?c??? ? b?1c?1a?1a?b?c?33 ?a?b?c?3?

a?b?c?3 ?23

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?a?1,b?1,c?1.a2b2c2???12.兩邊同時平方可得

b?1c?1a?1 ?得證.7.不等式證明的具體應用

1125【例1】 已知a?0,b?0,且a?b?1,求證(a?)(b?)?

ab4分析:本題是高中階段一道普通的不等式證明題,如讓學生獨立完成,可得到如下解決

方法.解法一:分析法

1125(a?)(b?)? 要證，ab4222 只要證4?ab??4a?b?25ab?4?0，?? 即證4?ab?2?33?ab??8?0，1ab?或ab?8.即因為a?0,b?0,a?b?1,所以ab?8不成立.1ab? 又因為1?a?b?2ab,所以.得證.解法二:作差比較法

?a?b?1,a?0,b?0 ?a?b?2ab,?ab?

41125a2?1b2?125??? ?(a?)(b?)?ab4ab44a2b2?33ab?8(1?4ab)(8?ab)??0

?4ab4ab1125 ?(a?)(b?)?.ab4

解法三:三角代換法

?a?b?1,a

?0,b?0

江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）

??? 故設(shè)a?sin?,b?cos?,???0,?

?2?1122)(cos??)則原式?(sin??22sin?cos?sin4??cos4??2sin2?cos2??2 ?

4sin22?(4?sin2?)2?16 ? 24sin2?22 ? sin2??1?4?sin2??4?1?3.1122?.?(4?sin2?)?16?25,24sin2?41125 ?(a?)(b?)?.ab422本題歸納與小結(jié):本題一共采用了3種不同的方法,第一種是從問題入手,對問題進行一步

步的剖析,有逆向思維的方式,是把問題具體化,把所要證明的問題轉(zhuǎn)化

為所學的知識,或者已知條件.只要分析的過程合理,一般過渡的結(jié)論很

容易得到.第二種方法也是根據(jù)問題入手,不同的是它把問題直接改變?yōu)?/p>

一道運算式,這樣就把問題變?yōu)檫\算式結(jié)果與零比較大小,因為題目所給的數(shù)字往往讓在解題時無從下手,無法想出這個數(shù)字從何而來,一但轉(zhuǎn)化

為零后,解題時只需要考慮對算式的變形,最后只需判斷算式的正負號.第三種方法使用范圍比較小,它一般具有特殊的條件如a?b?1, a2?b2?1這種情況下會考慮三角代換,采用三角代換最需要注意的是

角的范圍,一般學生在采用代換時往往忘記角的范圍,從而無法確定三角

函數(shù)值的范圍,容易產(chǎn)生多解或錯解.這種方法好處在于已經(jīng)知道了三角

值的范圍,且三角函數(shù)含有多種變形方式可以對式子進行更好的化簡.并

且利用三角值的確定性能很快的得到所求式子的范圍.本題三種方法均

可采用,根據(jù)學生個人的掌握程度來選擇方法.本論文主要對高中不等式的常用證明方法進行簡單的總結(jié),使中學生在證明不等式時有法可依,能盡快的找到適合的方法,主要介紹構(gòu)造法,作差法,放縮法,判別式法,反證法,向量法這些常用的方法.江蘇第二師范學院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）

參考文獻

[1]雷小平.證明不等式的常用方法.太原科技[A],2002(1):54～55 [2]丁海軍.證明不等式的常用方法.自然科學版[J],2009:55～57 [3]曹軍芳.高中數(shù)學中不等式證明的常用方法.佳木斯教育學院報[A],2014(1):220～221 [4]孔凡哲.證明不等式正確性的幾種常用方法.武漢教育學院報,1995(3):31～33 [5]劉志雄.談不等式證明的常用方法.重慶師專學報,1999(4):101～103 [6]徐志科.王彥博.利用導數(shù)證明不等式的幾種方法.自然科學版[A],2013(7):7～8 [7]李天榮.曹玉秀.中學數(shù)學不等式的證明方法.臨滄師范高等專科學校學報,2013(2):88～90 [8]嚴萬金.淺談中學數(shù)學不等式的證明的常見技巧及方法策略.數(shù)學教育[A],2012(2):64 [9]封平平.不等式證明方法初探.新課程學習[J],2012:72～73 [10]黃俊峰.袁方程.證明不等式中的常用方法.數(shù)學教學研究[J],2012(8):28～30 [11]程勛躍.不等式證明的方法與技巧.課程教育研究[A],2012:60～61 [12]孫桂枝.不等式證明方法集萃.數(shù)學學習與研究[J],2012:81～82 [13]甘志國.例談常用方法證明不等式.理科考試研究[J],2012:13～15 [14]何振光.不等式證明的常用方法.教與學[J],2012:92 [15]李占光.廖仲春.劉福保.高中數(shù)學中不等式的證明方法歸納.長沙民政職業(yè)技術(shù)學院學報

[A],2012(4):108～109

第四篇：數(shù)學選修4-5學案 §2.1.3不等式的證明

§2.1.3不等式的的證明(3)學案姓名☆學習目標： 1.理解并掌握反證法、換元法與放縮法;

2.?知識情景：

1.不等式證明的基本方法：10.比差法與比商法(兩正數(shù)時)．

20.綜合法和分析法．

30.反證法、換元法、放縮法

2.綜合法：從①已知條件、②不等式的性質(zhì)、③基本不等式等出發(fā),通過邏輯推理, 推導出所要證明的結(jié)論.這種證明方法叫做綜合法.又叫由導法.用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系：A?B1?B2???Bn?B 3.分析法：從要證的結(jié)論出發(fā), 逐步尋求使它成立的充分條件, 直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證的定理、性質(zhì)等),從而得出要證的命題成立,這種證明方法叫做分析法.這是一種執(zhí)索.B?B1?B2????Bn?A用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系： 結(jié)(步步尋求不等式已

論成立的充分條件)知

?新知建構(gòu)：

1.反證法：利用反證法證明不等式，一般有下面幾個步驟：

第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論；

第二步作出與所證不等式相反的假定；

第三步從條件和假定出發(fā)，應用證確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；

第四步斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原證不等式成立.例1已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求證：a, b, c > 0.2.換元法：一般由代數(shù)式的整體換元、三角換元，換元時要注意等價性.常用的換元有三角換元有： 1．已知x?y?a，可設(shè)，； 022

220．已知x2?y2?1，可設(shè)，0?r?1)； 22xy30．已知a2?b2?1，可設(shè)，.例2 設(shè)實數(shù)x,y滿足x2?(y?1)2?1，當x?y?c?0時，c的取值范圍是（）A.1,??)B.(??1]C.1,??)D.(??1] 例3 已知x2?y2?

1，求證：?y?ax?

3.放縮法：“放”和“縮”的方向與“放”和“縮”的量的大小

由題目分析、多次嘗試得出,要注意放縮的適度.a2?1?a，n(n?1)?n，0?a111 ?2?n(n?1)nn(n?1)?bm?0a?a?m

bb?m

④利用基本不等式，如：lg3?lg5?(⑤利用函數(shù)的單調(diào)性)2???lg4；

⑥利用函數(shù)的有界性：如：sinx≤1?x?R?；

⑦絕對值不等式：a?b≤a?

b≤a?b；

???

2n?k?N,k?

1?，*?2?k?N,k?1? * ⑨應用貝努利不等式：(1?x)?1?nx?n(n?1)2x???xn?1?nx.1?2

例4當 n > 2 時，求證：logn(n?1)?log(n?1)n

例5求證：1??

1111?????3.11?21?2?31?2?3???n

例6 若a, b, c, d?R+，求證：1?

abcd????2 a?b?db?c?ac?d?bd?a?c

§2.1.3不等式的證明(3)練習姓名

11、設(shè)二次函數(shù)f(x)?x2?px?q，求證：f(1),f(2),f(3)中至少有一個不小于.212、設(shè)0 < a, b, c < 1，求證：(1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a,不可能同時大于

43、已知a?b?0，求證：a?（n?N且n?1）.4、若x, y > 0，且x + y >2，則

1?y1?x和中至少有一個小于2。xy5、已知 1≤x2?y2≤2，求證：≤x2?xy?y2≤3

26、設(shè)f(x)?x2?x?13，x?a?1，求證：f(x)?f(a)?2?a?1?；

7、求證：?1?

8、求證

x?11? x2?x?13a?b1?a?b?a1?a?b1?b.9、設(shè)n為大于1的自然數(shù)，求證

11111??????.n?1n?2n?32n210、若n是自然數(shù)，求證

1111??????2.122232n

231111?1?2?????2?2?(n≥2)

11、求證：?2n?12nn12、求證：2?1??n?N? *

第五篇：選修4-5學案§2.1.2不等式的證明綜合法...

高二數(shù)學學案選修4-5第二講

§2.1.2綜合法與分析法——問題導讀

設(shè)計：趙連強審核：賈勝如

☆學習目標：1.理解并掌握綜合法與分析法;

2.會利用綜合法和分析法證明不等式

?知識情景：

1.基本不等式：

0221.如果a,b?R, 那么a?b?2ab.當且僅當a?b時, 等號成立.2.如果a,b?R?,那么0

3.如果a,b,c?R0?a?b?c?,那么3a?b?當且僅當a?b時, 等號成立.2, 當且僅當a?b?c時, 等號成立.2.均值不等式：如果a,b?R?,那么

2aba?b的大小關(guān)系是： a?b

22???常用推論：1.a?0;a?0;a?

2.1?2(a?0);aab??2(ab?0);ba

acb?3.???(a,b,c?R).bac

3.不等式證明的基本方法：1.比差法與比商法(兩正數(shù)時)．

2.綜合法和分析法．

3.反證法、換元法、放縮法

☆案例學習：

綜合法：從①已知條件、②不等式的性質(zhì)、③基本不等式等出發(fā),通過邏輯推理, 推導出所要證明的結(jié)論.這種證明方法叫做綜合法.又叫由導法.用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系：A?B1?B2???Bn?B 證明不等式的基本方法——綜合法和分析法 1 00 0

導讀檢測

1、已知x?0,y?0,x?y,求證1

1x?y?

4x?y.2、已知a?b?0, 求證a?b?a?.例題講解

例1 已知a,b,c?0,且不全相等,求證:a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc

例2 已知a1,a2,?,an?R?,且a1a2?an?1,求證:(1?a1)(1?a2)?(1?an

n)?2

B?B1?B2????Bn?A

用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系： 結(jié)(步步尋求不等式已

論成立的充分條件)知

課堂檢測

1.求證?

2.已知a,b,c?0,求證:a2b2?b2c2?c2a2

a?b?c?abc

3.證明：(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2.4.設(shè)a?0,b?0，分別用綜合法與分析法求證: a3?b3?a2b?ab2.綜合法與分析法——問題解決

1．已知x?0,y?0,x?y,求證114??.xyx?y

2．a(chǎn),b,c是互不相等的正數(shù)，且abc?1.求證:(1?a?b)(1?b?c)(1?c?a)?27．

3.已知a?0,b?0.求證：（1）(a?b)(a?b)?4.（2）(a?b)(a?b)(a?b)?8ab.4．已知a,b,c,d都是正數(shù)。求證：

（1）

?1?1223333a?b?c?da?b?c?d?ab?cd;（2）?abcd.24