第一篇：數(shù)列等比證明二項式定理錯項求和2011四川

數(shù)列二項式定理錯項求和2011四川

011年高考四川卷理科20)(本小題共12分)

設(shè)d為非零實數(shù)，an = 1122n-1 n-1nn* [Cn d+2Cnd+…+(n—1)Cnd+nCnd](n∈N).n

(I)寫出a1,a2,a3并判斷{an}是否為等比數(shù)列.若是，給出證明；若不是，說明理由；(II)設(shè)bn=ndan(n∈N)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．

解析：（1）*

a1?d

a2?d(d?1)

a3?d(d?1)2

01223n?1nan?Cnd?Cnd?Cnd???Cnd?d(1?d)n?1

an?1?d(1?d)n

an?1?d?1an

因為d為常數(shù)，所以{an}是以d為首項，d?1為公比的等比數(shù)列。

bn?nd2(1?d)n?1

（2）Sn?d2(1?d)0?2d2(1?d)1?3d2(1?d)2????nd2(1?d)n?1

?d2[(1?d)0?2(1?d)1?3(1?d)2????n(1?d)n?1](1)(1?d)Sn?d2[(1?d)1?2(1?d)2?3(1?d)3????n(1?d)n](2)

1?(1?(1?d)n)?d2n(1?d)n?d?(d2n?d)(1?d)n（2）?（1）?dSn??d[1?(1?d)2

?Sn?1?(dn?1)(1?d)n

第二篇：數(shù)列—等差、等比的證明

等差、等比數(shù)列的證明

1．?dāng)?shù)列{a327

?n}的前n項和為Sn?2n?2

n（n?N）．

（Ⅰ）證明：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足：an?log2bn，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列．

2．已知數(shù)列{a?

n}的前n項和為Sn?4an?3(n?N)，證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列．

3．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足：a1?1，Sn?1?4an?2（n?N?）．

（Ⅰ）證明：數(shù)列??an?

?2n??

為等差數(shù)列；（Ⅱ）證明：數(shù)列{an?1?2an}為等比數(shù)列．

4．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足：

Sn?2a2n?n?4n（n?N?），證明：數(shù)列{an?2n?1}為等比數(shù)列．

5．（2008北京文20）數(shù)列?an?滿足：a1?1，a??)a?

n?1?(n2?nn，（n?N）?是常數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)a2??1時，求?及a3的值；

（Ⅱ）數(shù)列?an?是否可能為等差數(shù)列? 若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由；

6．設(shè)函數(shù)f?x??x2?m，m?R，定義數(shù)列{an}如下：

a1?0，an?1?f(an)（n?N?）．（Ⅰ）當(dāng)m?1時，求a2,a3,a4的值；

（Ⅱ）是否存在實數(shù)m，使a2,a3,a4構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列? 若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

6．（2008湖北21）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1??，a2

n?1?

an?n?4，bnn?(?1)(an?3n?21)，其中?為實數(shù)，n?N?．

（Ⅰ）證明：數(shù)列{an}不是等比數(shù)列；

（Ⅱ）試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，證明你的結(jié)論．

7．（2010安徽20）設(shè)數(shù)列{an}中的每一項都不為0． 證明：數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是： 對任何n?N?，都有

111n

a?a??????

a． 1a22a3anan?11an?1

8．（2011北京文、理20）

若數(shù)列An:a1,a2,???,an(n?2)滿足

ak?1?ak?1(k?1,2,???,n?1)，則稱An為E數(shù)列．

（Ⅰ）寫出一個E數(shù)列A5滿足a1?a3?0；（Ⅱ）若a1?12，n?2000，證明：

E數(shù)列An是遞增數(shù)列的充要條件是an?2011．

第三篇：數(shù)列求和公式證明

1）1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6從左邊推到右邊

數(shù)學(xué)歸納法可以證

也可以如下做 比較有技巧性

n^2=n(n+1)-n

1^2+2^2+3^2+......+n^

2=1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n

=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)

由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/

3所以1*2+2*3+...+n(n+1)

=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3

[前后消項]

=[n(n+1)(n+2)]/3

所以1^2+2^2+3^2+......+n^2

=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2

=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]

=n(n+1)[(2n+1)/6]

=n(n+1)(2n+1)/6

2）1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1）=？

設(shè)n為奇數(shù),1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=

=(1*2+2*3)+(3*4+4*5)+...+n(n+1)

=2(2^2+4^2+6^2+...(n-1)^2)+n(n+1)

=8(1^2+2^2+3^2+...+[(n-1)/2]^2)+n(n+1)

=8*[(n-1)/2][(n+1)/2]n/6+n(n+1)

=n(n+1)(n+2)/3

設(shè)n為偶數(shù),請你自己證明一下！

所以，1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

設(shè)an=n×（n+1）=n^2+n

Sn=1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1）

=(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+……+n)=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2

=n(n+1)(n+2)/3

數(shù)列求和的幾種方法

1.公式法：

等差數(shù)列求和公式:

Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2

等比數(shù)列求和公式：

Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)(q≠1)

2.錯位相減法

適用題型：適用于通項公式為等差的一次函數(shù)乘以等比的數(shù)列形式{ an }、{ bn }分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn

例如：an=a1+(n-1)dbn=a1·q^(n-1)Cn=anbn

Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn

qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)

Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)

Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn)

=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)Tn=上述式子/(1-q)

3.倒序相加法

這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(a1+an)

Sn =a1+ a2+ a3+......+anSn =an+ a(n-1)+a(n-3)......+a1上下相加 得到2Sn 即 Sn=（a1+an)n/

24.分組法

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例如：an=2^n+n-1

5.裂項法

適用于分式形式的通項公式，把一項拆成兩個或多個的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加時抵消中間的許多項。常用公式：

（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5）n·n!=(n+1)!-n!

[例] 求數(shù)列an=1/n(n+1)的前n項和.解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)（裂項）

則Sn =1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂項求和）＝ 1-1/(n+1)＝ n/(n+1)

小結(jié)：此類變形的特點是將原數(shù)列每一項拆為兩項之后，其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。注意： 余下的項具有如下的特點1余下的項前后的位置前后是對稱的。2余下的項前后的正負(fù)性是相反的。

6.數(shù)學(xué)歸納法

一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，有如下步驟：

（1）證明當(dāng)n取第一個值時命題成立；

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥n的第一個值，k為自然數(shù)）時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立。

例：求證：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3)=

[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5證明： 當(dāng)n=1時，有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 = 2×3×4×5×(1/5 +1)= 2×3×4×5×6/5假設(shè)命題在n=k時成立，于是：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3)=

[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5則當(dāng)n=k+1時有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… +(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=

[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 +(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=

(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5即n=k+1時原等式仍然成立，歸納得證

7.通項化歸

先將通項公式進行化簡，再進行求和。如：求數(shù)列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n項和。此時先將an求出，再利用分組等方法求和。

8.并項求和：

例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n（并項）

求出奇數(shù)項和偶數(shù)項的和，再相減。

第四篇：等差數(shù)列、等比數(shù)列的證明及數(shù)列求和

等差數(shù)列、等比數(shù)列的證明

1．已知數(shù)列?an?滿足a1?1，an?3an?1?2n?3?n?2?，（Ⅰ）求證：數(shù)列?an?n?是等比數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列?an?的通項公式。

2．已知數(shù)列?an?滿足a1?5，an?1?2an?3n?n?N*?，（Ⅰ）求證：數(shù)列?an?3n?是等比數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列?an?的通項公式。

3．已知數(shù)列?an?滿足a1?1，an?2an?1?2（Ⅰ）求證：數(shù)列??an?是等差數(shù)列； n?2??n?n?2?，（Ⅱ）求數(shù)列?an?的通項公式。

4．已知數(shù)列?an?滿足a1?2，an?1?

an1?2an，?1?

（Ⅰ）求證：數(shù)列??是等差數(shù)列；

?an?

（Ⅱ）求數(shù)列?an?的通項公式。

5．已知數(shù)列?an?，Sn是它的前n項和，且Sn?1?4an?2?n??N，a1?

1*

（Ⅰ）設(shè)bn?an?1?2an?n?N*?，求證：數(shù)列?bn?是等比數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)cn?

an

2n，求證：數(shù)列?cn?是等差數(shù)列；

（Ⅲ）求數(shù)列?an?的通項公式。

數(shù)列求和的方法介紹

一、公式法

利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法。

1、等差數(shù)列求和公式：Sn?

n(a1?an)

?na1?

n(n?1)

2d2、等比數(shù)列求和公式：Sn

?na1?n

a?anq??a1(1?q)

?

1?1?q1?q?

(q?1)(q?1)

二、錯位相減法

這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列?an?bn?的前n項和，其中?an?、?bn?分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列

三、裂項相消法

裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的通項分解，其中裂項是手段，相消是目的。常見的裂項法有：

（1）an?

1n(n?1)

1n(n?2)

?

1n

?

1n?

1（2）an?

1n(n?1)

?

1n?1

?

1n

?n?2?

（3）an?

?

1?11??

2?nn?2???

1anan?1

?

（4）若?an?等差，公差為d?0，則

?11?

???【裂項原理】 ?an?1an?

（5）

?2n?1??2n?1?

?

例

1、已知數(shù)列?an?是等差數(shù)列，設(shè)其前n項和為Sn，若a5?9，S5?25（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項公式an；

（Ⅱ）設(shè)bn?3，求數(shù)列?bn?的前n項和Tn

an

例

2、已知數(shù)列?an?的通項公式為an??2n?1??3，求前n項和Sn

n

例

3、已知數(shù)列?an?是等差數(shù)列，設(shè)其前n項和為Sn，若S5?35，S10?120（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項公式an和Sn；（Ⅱ）設(shè)bn?

1Sn，求數(shù)列?bn?的前n項和。

第五篇：學(xué)案31 數(shù)列的通項與求和

4數(shù)列的通項與求和

導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.能利用等差、等比數(shù)列前n項和公式及其性質(zhì)求一些特殊數(shù)列的和.2.能在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題．

自主梳理

1．求數(shù)列的通項?S1，n＝1，(1)數(shù)列前n項和Sn與通項an的關(guān)系：an＝? ?Sn－Sn－1，n≥2.(2)當(dāng)已知數(shù)列{an}中，滿足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋?＋f(n)可求，則可用________求數(shù)列的通項an，常利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋?＋(an－an－1)．

an＋1(3)當(dāng)已知數(shù)列{an}中，滿足a＝f(n)，且f(1)·f(2)·?·f(n)可求，則可用__________求數(shù)列的通項an，n

aaa常利用恒等式an＝a1?a1a2an－1.(4)作新數(shù)列法：對由遞推公式給出的數(shù)列，經(jīng)過變形后化歸成等差數(shù)列或等比數(shù)列來求通項．

(5)歸納、猜想、數(shù)學(xué)歸納法證明．

2．求數(shù)列的前n項的和

(1)公式法

①等差數(shù)列前n項和Sn＝____________＝________________，推導(dǎo)方法：____________；

?，q＝1，②等比數(shù)列前n項和Sn＝?＝，q≠1.?

推導(dǎo)方法：乘公比，錯位相減法．

③常見數(shù)列的前n項和：

a．1＋2＋3＋?＋n＝__________；b．2＋4＋6＋?＋2n＝__________；

c．1＋3＋5＋?＋(2n－1)＝______； d．12＋22＋32＋?＋n2＝__________；

e．13＋23＋33＋?＋n3＝__________________.(2)分組求和：把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列．

(3)裂項(相消)法：有時把一個數(shù)列的通項公式分成兩項差的形式，相加過程消去中間項，只剩有限項再求和．常見的裂項公式有：

111111?11①n22n－12n＋1； ③n＋1n.n?n＋1?n＋1?2n－1??2n＋1???n＋n＋

1(4)錯位相減：適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘構(gòu)成的數(shù)列求和．

(5)倒序相加：例如，等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)．

自我檢測

1．(原創(chuàng)題)已知數(shù)列{an}的前n項的乘積為Tn＝3n2(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項的()

3939A.2n－1)B.2(3n－1)C.8n－1)D.8n－1)

2．(2011·邯鄲月考)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是其前n項和，若{Sn}是等差數(shù)列，則q為()

A．－1B．1C．±1D．0

3．已知等比數(shù)列{an}的公比為4，且a1＋a2＝20，設(shè)bn＝log2an，則b2＋b4＋b6＋?＋b2n等于()

A．n2＋nB．2(n2＋n)C．2n2＋nD．4(n2＋n)

n＋14．(2010·天津高三十校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的通項公式an＝log2(n∈N*)，設(shè){an}的前n項的和為Sn，n＋

2則使Sn<－5成立的自然數(shù)n()

A．有最大值63B．有最小值63C．有最大值31D．有最小值31

5．(2011·北京海淀區(qū)期末)設(shè)關(guān)于x的不等式x2－x<2nx(n∈N*)的解集中整數(shù)的個數(shù)為an，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S100的值為________．

探究點一 求通項公式

2n＋1·an

例1 已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝a＝2，求數(shù)列{an}的通項公式．

an＋2＋1

變式遷移1 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．

探究點二 裂項相消法求和

例2 已知數(shù)列{an}，Sn是其前n項和，且an＝7Sn－1＋2(n≥2)，a1＝2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

1m

(2)設(shè)bn＝Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，求使得Tn20對所有n∈N*都成立的最小正整

log2an·log2an＋1

數(shù)m.111

變式遷移2 求數(shù)列1，n項和．

1＋21＋2＋31＋2＋3＋?＋n

探究點三 錯位相減法求和 例3(2011·荊門月考)已知數(shù)列{an}是首項、公比都為q(q>0且q≠1)的等比數(shù)列，bn＝anlog4an(n∈N*)．

(1)當(dāng)q＝5時，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn；

4(2)當(dāng)q＝15時，若bn

123n

變式遷移3 求和Sn＝a＋a＋a＋?＋a.分類討論思想的應(yīng)用

例(5分)二次函數(shù)f(x)＝x2＋x，當(dāng)x∈[n，n＋1](n∈N*)時，f(x)的函數(shù)值中所有整數(shù)值的個數(shù)為g(n)，2n3＋3n2an＝(n∈N*)，則Sn＝a1－a2＋a3－a4＋?＋(－1)n－1an＝()

g?n?

n?n＋1?n?n＋1?n－1n?n＋1?nn?n＋1?A．(－1)B．(－1)C.2 D．－

222

【答題模板】答案 A

解析 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及并項轉(zhuǎn)化法求和．

當(dāng)x∈[n，n＋1](n∈N*)時，函數(shù)f(x)＝x2＋x的值隨x的增大而增大，則f(x)的值域為[n2＋n，n2＋3n

322n＋3n

＋2](n∈N*)，∴g(n)＝2n＋3(n∈N*)，于是an＝＝n2.g?n?

方法一 當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn＝a1－a2＋a3－a4＋?＋an－1－an＝(12－22)＋(32－42)＋?＋[(n－1)2－n2]

3＋?2n－1?nn?n＋1?

＝－[3＋7＋…＋(2n－1)]＝－＝－

222；

n?n－1?n?n＋1?2

當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn＝(a1－a2)＋(a3－a4)＋?＋(an－2－an－1)＋an＝Sn－1＋an＝－2n＝2n?n＋1?

∴Sn＝(－1)n－12

方法二 a1＝1，a2＝4，S1＝a1＝1，S2＝a1－a2＝－3，檢驗選擇項，可確定A正確． 【突破思維障礙】

在利用并項轉(zhuǎn)化求和時，由于數(shù)列的各項是正負(fù)交替的，所以一般需要對項數(shù)n進行分類討論，但最終的結(jié)果卻往往可以用一個公式來表示．

1．求數(shù)列的通項：(1)公式法：例如等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項；(2)觀察法：例如由數(shù)列的前幾項來求通項；(3)可化歸為使用累加法、累積法；

(4)可化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后利用公式法；(5)求出數(shù)列的前幾項，然后歸納、猜想、證明． 2．?dāng)?shù)列求和的方法：

一般的數(shù)列求和，應(yīng)從通項入手，若無通項，先求通項，然后通過對通項變形，轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點的形式，從而選擇合適的方法求和．

3．求和時應(yīng)注意的問題：

(1)直接用公式求和時，注意公式的應(yīng)用范圍和公式的推導(dǎo)過程．

(2)注意觀察數(shù)列的特點和規(guī)律，在分析數(shù)列通項的基礎(chǔ)上或分解為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和．

(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)1．(2010·廣東)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項和，若a2·a3＝2a1且a4與2a7的等差中項

5為4，則S5等于()

A．35

B．3

3C．3

1D．29

S7n＋2a2．(2011·黃岡調(diào)研)有兩個等差數(shù)列{an}，{bn}，其前n項和分別為Sn，Tn，若T則b()

n＋3n5

6537729A.12B.8C.13D.4an－1－anan－an＋1

3．如果數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＝1且＝(n≥2)，則此數(shù)列的第10項()

anan－1anan＋1

1111A.2B.2C.10D.51

4．?dāng)?shù)列{an}的前n項和為Sn，若anS5等于()

n?n＋1?

511

A．1B.6C.6D.305．?dāng)?shù)列1,1＋2,1＋2＋4，?，1＋2＋22＋?＋2n－1，?的前n項和Sn>1 020，那么n的最小值是()A．7B．8C．9D．10

二、填空題(每小題4分，共12分)6．(2010·東北師大附中高三月考)數(shù)列{an}的前n項和為Sn且a1＝1，an＋1＝3Sn(n＝1,2,3，?)，則log4S10＝__________.7．(原創(chuàng)題)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝－2，an＋2＝－a，則該數(shù)列前26項的和為________．

n

8．對于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝2，{an}的“差數(shù)列”的 通項為2n，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝____________.三、解答題(共38分)9．(12分)(2011·河源月考)已知函數(shù)f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7(n∈N*)．

(1)若函數(shù)f(x)的圖象的頂點的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{an}，試證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列；(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象的頂點到x軸的距離構(gòu)成數(shù)列{bn}，試求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.10．(12分)(2011·三門峽月考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2n＋an－c(c是常數(shù)，n∈N*)，a2＝6.(1)求c的值及數(shù)列{an}的通項公式；

1(2)證明aaaa8anan＋1122

311．(14分)(2010·北京宣武高三期中)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝3n，數(shù)列{bn}滿足b1＝－1，bn

*

＋1＝bn＋(2n－1)(n∈N)．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；(2)求數(shù)列{bn}的通項公式bn；

a·b(3)若cn＝n，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.答案自主梳理

n(a1＋an)n(n－1)a1(1－qn)

1．(2)累加法(3)累積法 2.(1)① na1＋2d 倒序相加法 ②na1 21－q

a1－anqn(n＋1)n(n＋1)(2n＋1)?n(n＋1)?

2? ③2 n2＋n n261－q?2?

自我檢測

1．C 2.B 3.B 4.B5．10 100課堂活動區(qū)

例1 解題導(dǎo)引 已知遞推關(guān)系求通項公式這類問題要求不高，主要掌握由a1和遞推關(guān)系先求出前幾項，再歸納、猜想an的方法，以及累加：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋?＋(a2－a1)＋a1；累乘：an

aan－1a＝·?·a等方法． an－1an－2a11

***

解 已知遞推可化為a＋∴aa2，a－a＝2，a－a＝2，?，a－＝2.an＋1n2213243nan－1

1?1?

?1－2?

?11111112?12n

將以上(n－1)個式子相加得aa＝2＋2＋2＋?＋2，∴a＝

1＝1－2.∴an＝2－1n1n

1－2

變式遷移1(1)證明 由已知有a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an；于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn.因此數(shù)列{bn}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列．

an＋1an3

(2)解 由(1)知等比數(shù)列{bn}中，b1＝3，公比q＝2，所以an＋1－2an＝3×2n－1，于是＋2＝4，?a?13an1331

因此數(shù)列?2?是首項為2422(n－1)×44－4an＝(3n－1)·2n－2.??

例2 解題導(dǎo)引 1.利用裂項相消法求和時，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也

有可能前面剩兩項，后面也剩兩項．再就是將通項公式裂項后，有時候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項公式相等．

1111?111?1.2．一般情況如下，若{an}是等差數(shù)列，則，anan＋1d?anan＋1?anan＋22d?anan＋2?

此外根式在分母上時可考慮利用有理化因式相消求和．

解(1)∵n≥2時，an＝7Sn－1＋2，∴an＋1＝7Sn＋2，兩式相減，得an＋1－an＝7an，∴an＋1＝8an(n≥2)． 又a1＝2，∴a2＝7a1＋2＝16＝8a1，∴an＋1＝8an(n∈N*)． ∴{an}是一個以2為首項，8為公比的等比數(shù)列，∴an＝2·8n－1＝23n－2.11111

(2)∵bn＝＝3，log2an·log2an＋1(3n－2)(3n＋1)3n－23n＋1111111111m1∴Tn＝3－4＋4－7＋?＋＝3(1－3∴20≥3，∴最小正整數(shù)m＝7.3n－23n＋13n＋1

12?1－變式遷移2 解 an＝2?nn＋1，n(n＋1)??

11?1?112n?1??1－1－?????∴Sn＝2·[2?＋?23?＋?＋?nn＋1?]＝2·n＋1?＝n＋1.??

例3 解題導(dǎo)引 1.一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法．

2．用乘公比錯位相減法求和時，應(yīng)注意：

(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；

(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達式．

解(1)由題意得an＝qn，∴bn＝an·log4an＝qn·log4qn＝n·5n·log45，∴Sn＝(1×5＋2×52＋?＋n×5n)log45，設(shè)Tn＝1×5＋2×52＋?＋n×5n，①則5Tn＝1×52＋2×53＋?＋(n－1)×5n＋n×5n＋1，②

n

23nn＋15(5－1)① －②得－4Tn＝5＋5＋5＋?＋5－n×5＝4－n×5n＋1，55

∴Tn＝16n×5n－5n＋1)，Sn＝16(4n×5n－5n＋1)log45.141414?14?14??14?

(2)∵bn＝anlog4an＝n?15nlog415，∴bn＋1－bn＝(n＋1)?15?n＋1log415－n?15?nlog415

??????141414n?14n?14n??14?n

＝?15?15－15?log415>0，∵?15?>0，log415，∴1515，∴n>14，即n≥15時，bn

變式遷移3解當(dāng)a＝1時，Sn＝1＋2＋3＋?＋n＝2a≠1時，Sn＝aaa＋?＋a，①

1?1123n1111n?

∴an＝a＋a＋a＋?＋＋，②①－②，得?1－a?·Sn＝aaa?＋a＋

??aa

1?1?11???1－a?1－1－?aa?aa??1??nnn?

?1－aSn＝－－＋＝＋，∴Sn＝－1??aa－1a(a－1)(a－1)·a1－a

??∴S＝??1?

a?1a???n，a≠1.??(a－1)(a－1)·a

n

n(n＋1)

2，a＝1，課后練習(xí)區(qū)1．C 2.A 3.D 4.B 5.D 6．9解析 ∵an＋1＝3Sn，∴an＝3Sn－1(n≥2)．

an＋1

兩式相減得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，∴an＋1＝4an，即a＝4.∴{an}為以a2為首項，公比為4的n

n－2

等比數(shù)列．當(dāng)n＝1時，a2＝3S1＝3，∴n≥2時，an＝3·4，S10＝a1＋a2＋?＋a10＝1＋3＋3×4＋3×42

49－1

＋?＋3×4＝1＋3×(1＋4＋?＋4)＝1＋3×1＋49－1＝49.∴l(xiāng)og4S10＝log449＝9.4－1

7．－10解析 依題意得，a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝2，a5＝1，a6＝－2，a7＝－1，a8＝21

所以數(shù)列周期為4，S26＝6×(1－2－1＋2)＋1－2＝－10.8．2n＋1－2解析 依題意，有a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，?，an－an－1＝2n－1，所有的代數(shù)式相加得an－a1＝2n－2，即an＝2n，所以Sn＝2n＋1－2.9．解 f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7＝[x－(n＋1)]2＋3n－8.……(3分)(1)由題意，an＝n＋1，故an＋1－an＝(n＋1)＋1－(n＋1)＝1，故數(shù)列{an}是以1為公差，2為首項的等差數(shù)列．…………(5分)

(2)由題意，bn＝|3n－8|……(7分)當(dāng)1≤n≤2時，bn＝－3n＋8，數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，b1＝5，n(5－3n＋8)－3n2＋13n∴Sn＝；…(9分)當(dāng)n≥3時，bn＝3n－8，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b3＝1.22

－3n2＋13n

22，1≤n≤2，(n－2)(1＋3n－8)3n－13n＋28

∴Sn＝S2＋分)∴Sn＝?2

223n－13n＋28

n≥3.2

(12分)

10．(1)解 因為Sn＝2nan＋an－c，所以當(dāng)n＝1時，S1＝2a1＋a1－c，解得a1＝2c，(2分)當(dāng)n＝2時，S2＝a2＋a2－c，即a1＋a2＝2a2－c，解得a2＝3c，……(3分)所以3c＝6，解得c＝2；……(4分)

則a1＝4，數(shù)列{an}的公差d＝a2－a1＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋2.……(6分)

111111

(2)證明 因為aaaa?＋?＋anan＋14×66×8(2n＋2)(2n＋4)1223

***1＝24－6)＋268＋?＋2(＝246＋(68＋?＋(……(8分)

2n＋22n＋42n＋22n＋4

111111111＝24－)＝8……(10分)因為n∈N*，所以aa＋aa＋?＋<8.…(12分)

2n＋44(n＋2)anan＋11223

－－

11．解(1)∵Sn＝3n，∴Sn－1＝3n1(n≥2)．∴an＝Sn－Sn－1＝3n－3n1＝2×3n－1(n≥2)．…(3分)

?3，n＝1，1－1

當(dāng)n＝1時，2×3＝2≠S1＝a1＝3，…(4分)∴an＝?n－1*…(5分)

?2×3，n≥2，n∈N

(2)∵bn＋1＝bn＋(2n－1)，∴b2－b1＝1，b3－b2＝3，b4－b3＝5，?，bn－bn－1＝2n－3.(n－1)(1＋2n－3)2

以上各式相加得bn－b1＝1＋3＋5＋?＋(2n－3)＝＝(n－1).∵b1＝－1，∴bn＝n2－2n.……(7分)

?－3，n＝1，(3)由題意得cn＝?n－1*………(9分)

?2(n－2)×3，n≥2，n∈N.當(dāng)n≥2時，Tn＝－3＋2×0×31＋2×1×32＋2×2×33＋?＋2(n－2)×3n－1，∴3Tn＝－9＋2×0×32＋2×1×33＋2×2×34＋?＋2(n－2)×3n，相減得－2Tn＝6＋2×32＋2×33＋?＋2×3n－1－2(n－2)×3n.3n－3(2n－5)3n＋3n23n－1n

∴Tn＝(n－2)×3－(3＋3＋3＋?＋3)＝(n－2)×3－2……(13分)

(2n－5)3n＋3*

T1＝－3也適合． ∴Tn＝(n∈N)．……(14分)