第一篇：2014年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識點(diǎn)： 直接證明與間接證明（本站推薦）

一、選擇題

1．(2012·張家口模擬)分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證b－ac<3a”索的因應(yīng)是()

A．a(chǎn)－b>0

C．(a－b)(a－c)>0B．a(chǎn)－c>0 D．(a－b)(a－c)<0 b－ac<3a?b2－ac<3a

2?(a＋c)2－ac<3a2

?a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0

?－2a2＋ac＋c2<0

?2a2－ac－c2>0

?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0.答案：C

2．要證：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明()

A．2ab－1－ab≤0

?a＋b?2C.－1－a2b2≤0222a4＋b4B．a(chǎn)＋b－1－≤0 222D．(a2－1)(b2－1)≥0

解析：因為a2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0.答案：D

3．用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個是偶數(shù)．用反證法證明時，下列假設(shè)正確的是()

A．假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)

B．假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)

C．假設(shè)a、b、c至多有一個偶數(shù)

D．假設(shè)a、b、c至多有兩個偶數(shù)

解析：“至少有一個”的否定“都不是”．

答案：B

4．設(shè)a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，則a與b大小關(guān)系為()

A．a(chǎn)＞b

C．a(chǎn)＝bB．a(chǎn)＜b D．a(chǎn)≤b

解析：∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，而b＝ex＜e0＝1，故a＞b.答案：A

5．已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為D，若對于任意的x1，x2∈D(x1≠x2)，都有

x＋xf?x?＋f?x?f()<，則稱y＝f(x)為D上的凹函數(shù)．由此可得下列函數(shù)中的凹函數(shù)為()2

2A．y＝log2x

C．y＝x2B．y＝x D．y＝x

3解析：可以根據(jù)圖象直觀觀察；對于C證明如下：

x1＋x2f?x1?＋f?x2?欲證f 22

x1＋x2?2x1＋x22即證?<即證(x1＋x2)2<2x21＋2x2.2?2?

即證(x1－x2)2>0.顯然成立．故原不等式得證．

答案：C

二、填空題

6．(2012·肇慶模擬)已知點(diǎn)An(n，an)為函數(shù)y＝x＋1圖象上的點(diǎn)，Bn(n，bn)為函數(shù)y＝x圖象上的點(diǎn)，其中n∈N*，設(shè)cn＝an－bn，則cn與cn＋1的大小關(guān)系為________．

解析：由條件得cn＝an－bnn＋1－n＝

∴cn隨n的增大而減小．

∴cn＋1

7．(2012·邯鄲模擬)設(shè)a，b是兩個實數(shù)，給出下列條件：

①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一個大于1”的條件是______．(填序號)

12解析：若a＝，ba＋b>1，2

3但a<1，b<1，故①推不出；

若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出；

若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2>2，故④推不出；

若a＝－2，b＝－3，則ab>1，故⑤推不出；

對于③，即a＋b>2，則a，b中至少有一個大于1，反證法：假設(shè)a≤1且b≤1，則a＋b≤2與a＋b＞2矛盾，因此假設(shè)不成立，故a，b中至少有一個大于1.答案：③

三、解答題

8．在△ABC中，三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若113，a＋bb＋ca＋b＋c1 n＋1＋n2

2試問A，B，C是否成等差數(shù)列，若不成等差數(shù)列，請說明理由．若成等差數(shù)列，請給出證明．

解：A、B、C成等差數(shù)列．

證明如下：

∵

∴

∴113＋ a＋bb＋ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c＝3.a＋bb＋cca＋1，a＋bb＋c

∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得

a2＋c2－b2ac1cosB＝＝，2ac2ac

2∵0°

9．已知{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，a1＝1，且點(diǎn)an，an＋1)(n∈N*)在函數(shù)y＝x2＋1的圖象上．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

2(2)若數(shù)列{bn}滿足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，求證：bn·bn＋2

故an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知，an＝n，從而bn＋1－bn＝2n.bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋?＋(b2－b1)＋b1

＝2n－1＋2n－21－2n

＋?＋2＋1＝＝2n－1.1－2

＋＋nn2因為bn·bn＋2－b2－1)－(2n1－1)2 n＋1＝(2－1)(2

＝(22n2－2n2－2n＋1)－(22n2－2·2n1＋1)＋＋＋＋

＝－2n<0，所以bn·bn＋2

解：f(a)＋f(c)>2f(b)．

證明如下：因為a，b，c是不相等的正數(shù)，所以a＋cac.因為b2＝ac，所以ac＋2(a＋c)>b2＋4b.即ac＋2(a＋c)＋4>b2＋4b＋4.從而(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2.因為f(x)＝log2x是增函數(shù)，所以log2(a＋2)(c＋2)>log2(b＋2)2.即log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)． 故f(a)＋f(c)>2f(b)．

第二篇：直接證明與間接證明

鄉(xiāng)寧三中高中部“自主、互助、檢測”大學(xué)堂學(xué)案數(shù)學(xué)選修2-22014 年3月4日 課題：直接證明與間接證明

主備人：安輝燕參與人：高二數(shù)學(xué)組1112.①已知a,b,c?R，a?b?c?1，求證：???9.abc?

②已知a，b，m都是正數(shù)，并且a?b.求證:a?ma?.學(xué)習(xí)任務(wù)：

①了解直接證明的兩種基本方法----分析法和綜合法；并會用直接法證明一般的數(shù)

學(xué)問題

②了解間接證明的一種方法----反證法，了解反證法的思考過程、特點(diǎn)；會用反證

法證明一般的數(shù)學(xué)問題 3.求證?7?25

自學(xué)導(dǎo)讀：

閱讀課本P85--P91，完成下列問題。

1．直接證明----綜合法、分析法

(1)綜合法定義：

框圖表示：

問題反饋：

思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч?/p>

(2)分析法定義：

框圖表示：

思維特點(diǎn)：執(zhí)果索因

2．間接證明----反證法

定義：

步驟：

思維特點(diǎn)：正難則反 拓展提升：

3.討論并完成課本例1--例5 設(shè)a為實數(shù)，f(x)?x2?ax?a.求證：

自主檢測：

1.如果3sin??sin（2?+?），求證：tan(???)?2tan?.-b?mbf(1)與f(2)中至少有一個不小于12.

第三篇：6.6 直接證明與間接證明修改版

高三導(dǎo)學(xué)案學(xué)科 數(shù)學(xué) 編號 6.6編寫人 陳佑清審核人使用時間

班級：小組：姓名：小組評價：教師評價：課題：（直接證明與間接證明）

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法，了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)。

2.了解間接證明的一種基本方法——反證法，了解反證法的思考過程、特點(diǎn)。

【重點(diǎn)難點(diǎn)】

重點(diǎn) ：了解直接證明和間接證明的思考過程、特點(diǎn)。

難點(diǎn) ：了解直接證明和間接證明的思考過程、特點(diǎn)。

【使用說明及學(xué)法指導(dǎo)】①要求學(xué)生完成知識梳理和基礎(chǔ)自測題；限時完成預(yù)習(xí)案，識記基礎(chǔ)知識；②課前只獨(dú)立完成預(yù)習(xí)案，探究案和訓(xùn)練案留在課中完成預(yù)習(xí)案

一、知識梳理

1． 直接證明

(1)綜合法 ①定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論，這種證明方法叫做綜合法．

②框圖表示：P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→?→Qn?Q(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證明的結(jié)論)．

(2)分析法

①定義：從出發(fā)，逐步尋求使它成立的，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法．

②框圖表示：Q?P1→P1?P2→P2?P3→?→得到一個明顯成立的條件.2． 間接證明

反證法：假設(shè)原命題，經(jīng)過正確的推理，最后得出，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命

題成立，這樣的證明方法叫做反證法．

二、基礎(chǔ)自測

1.下列表述：①綜合法是由因?qū)Ч?；②綜合法是順推法；③分析法是執(zhí)果索因法；④分析法是逆推法；⑤反證法是間接證法。其中正確的有（）

A．2個B．3個C．4個D．5個

2.?）

A．綜合法

B．分析法C．反證法D

．歸納法

3.用反證法證明“如果a?

b?）

A

?

?D4．定義一種運(yùn)算“*”：對于自然數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：

①1*1＝1，②(n＋1)*1＝n*1＋1，則n*1＝________．

5.下列條件：①ab?0，②ab?0，③a?0,b?0，④a?0,b?0，其中能使

是。ba??2成立的條件ab

探究案

一、合作探究

a2b2c

2???a?b?c。例

1、設(shè)a,b,c?0，證明bca

例

2、已知函數(shù)f(x)?tanx,x?(0,?x?x2?1)，)。若x1,x2?(0,)，且x1?x2，[f(x1)?f(x2)]?f(1 222

2例

3、已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋Sn＝2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)求證：數(shù)列{an}中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列。

二、總結(jié)整理

訓(xùn)練案

一、課中訓(xùn)練與檢測

1.設(shè)a，b為正實數(shù)．現(xiàn)有下列命題：

11①若a2－b2＝1，則a－b<1；②若1，則a－b<1；③若|a－b|＝1，則|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，則ba

|a－b|<1.其中的真命題有________．(寫出所有真命題的編號)

2.已知a?

01?a??2。a

二、課后鞏固促提升

已知a?0,b?0，且a?b?2，求證1?b1?a,中至少有一個小于2.ab

第四篇：5直接證明與間接證明

龍源期刊網(wǎng) http://.cn

5直接證明與間接證明

作者：

來源：《數(shù)學(xué)金刊·高考版》2014年第03期

直接證明與間接證明貫穿在整張高考卷的始終，解題過程中處處離不開分析與綜合.近年高考解答題的證明，主要考查直接證明，難度多為中檔或中偏高檔；有時以解答題的壓軸題的形式呈現(xiàn)，此時難度為高檔，分值約為4～8分.對于間接證明的考查，主要考查反證法，只在個別地區(qū)的高考卷中出現(xiàn)，難度一般為中檔或中偏高檔，分值約為4～6分.以數(shù)列、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、立體幾何、解析幾何等知識為背景的證明.（1）綜合法解決問題的關(guān)鍵是從“已知”看“可知”，逐步逼近“未知”.其逐步推理，實質(zhì)上是尋找已知的必要條件.分析法解決問題的關(guān)鍵是從未知看需知，逐步靠攏已知，其逐步推理，實際上是尋找結(jié)論的充分條件.因此，在實際解題時，通常以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述過程，相得益彰.（2）對于某些看來明顯成立而又不便知道根據(jù)什么去推導(dǎo)（綜合法），甚至難于尋求到使之成立的充分條件（分析法）的“疑難”證明題，常考慮用反證法來證明.一般地，可在假設(shè)原命題不成立的前提下，經(jīng)過正確的邏輯推理，最后得出矛盾，從而說明假設(shè)錯誤，從反面證明原命題成立.

第五篇：35 直接證明與間接證明

【2012高考數(shù)學(xué)理科蘇教版課時精品練】作業(yè)35第五節(jié) 直接證明與間接證明

1．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是(c，＋∞)，其中c＝________.解析：由log2x≤2，得04，所以c＝4.答案：

4x2．(2010年高考山東卷)若對任意x>0a恒成立，則a的取值范圍是________． x＋3x＋

1xx解析：若對任意x＞0≤a恒成立，只需求得a≥的最大值即可． x＋3x＋1x＋3x＋1

x因為x>0，設(shè)y，x＋3x＋1

x111所以y＝ 15x＋3x＋11x＋＋32 x＋3xx

1當(dāng)且僅當(dāng)x＝ x

1所以a的取值范圍是[∞)．

51答案：[)5

1113．設(shè)a、b、c都是正數(shù)，則ab＋，c＋三個數(shù)_______． bca

①都大于

2②至少有一個大于2 ③至少有一個不大于2

④至少有一個不小于2

111111解析：假設(shè)三個數(shù)都小于2，則a＋＋b＋c，而a＋＋b＋＋c2＋2＋2bcabca

＝6，與假設(shè)矛盾．故④正確．

答案：④

1－x4．(2011年鹽城質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝lg，若f(a)＝b，則f(－a)等于________． 1＋x

1－x解析：易證f(x)＝是奇函數(shù)，1＋x

∴f(－a)＝－f(a)＝－b.答案：－b

5．p＝ab＋cd，q＝ma＋nc小關(guān)系為________．

解析：q＝ ab＋＋cd≥ab＋abcd＋cd nm＋m、n、a、b、c、d均為正數(shù))，則p、q的大mn

abcd＝p.答案：q≥p

6．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若f(x)在區(qū)間[1，a](a＞2)上單調(diào)遞增且f(x)＞0，則以下不等式不一定成立的是________．

①f(a)＞f(0)

1－3a?③f?＞f(－a)?1＋a?a＋1?2?＞f(a)1－3a④f(＞f(－2)1＋a②f?

解析：∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，又由已知a＞2，∴f(a)＞f(1)＞0＝f(0)，①成立；

1＋a∵a，∴②成立； 2當(dāng)a＞2時，1－3a＜0，又f(x)為奇函數(shù)，?1－3a＝－f?3a－1，f(－a)＝－f(a)，∴f??1＋a?1＋a???

3a－1?3a－1＜f(a)?3a－1＜a 且1，∴③即f?1＋a1＋a?1＋a?

23a－1－?a－1??a0，∴③成立； 1＋a1＋a

?3a－1＜f(2)?3a－1－2a－3<0，對于④，有f?1＋a1＋a?1＋a?

a－3由于a>2時a－3的符號不確定，∴＜0未必成立． 1＋a

答案：④

a2b

27．設(shè)0＜x＜1，a＞0，b＞0，a、b為常數(shù)，則________． x1－x

2a2b2b2x?2a?1－x?解析：x＋1－x(x＋1－x)＝a＋＋b2 x??1－x

≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.答案：(a＋b)

28．(2011年南通調(diào)研)如果aa＋bb＞ab＋ba，則a、b應(yīng)滿足的條件是________． 解析：aa＋bb＞ab＋a?(a－b)2(a＋b)＞0?a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b

x－y9．若|x|＜1，|y|＜1，試用分析法證明：||＜1.1－xy

證明：因為|x|＜1，|y|＜1，∴|1－xy|≠0，x－y要證|＜1，1－xy

x－y2只需證|＜1.1－xy

?|x－y|2＜|1－xy|2

?x2＋y2－2xy＜1－2xy＋x2y2

?x2＋y2－1－x2y2＜0

?(y2－1)(1－x2)＜0

?(1－y2)(1－x2)＞0，因為|x|＜1，|y|＜1，所以x2＜1，y2＜1，從而(1－y2)(1－x2)＞0成立．

x－y故|＜1.1－xy

10．如圖所示，已知△ABC是銳角三角形，直線SA⊥平面ABC，AH⊥平面SBC，求證：H不可能是△SBC的垂心．

證明：假設(shè)H是△SBC的垂心，則BH⊥SC，又∵AH⊥平面SBC，∴SC⊥平面ABH，∴SC⊥AB.∵SA⊥平面ABC，∴AB⊥SA，又AB⊥SC，SA∩SC＝S，∴AB⊥平面SAC，∴AB⊥AC.即∠A＝90°.這與△ABC為銳角三角形矛盾，所以H不可能為△ABC的垂心．

11．(探究選做)對于定義域為[0,1]的函數(shù)f(x)，如果同時滿足以下三條：①對任意的x∈<[0,1]，總有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù)．

(1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，求f(0)的值；

(2)判斷函數(shù)g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是否為理想函數(shù)，并予以證明．

解：(1)取x1＝x2＝0可得

f(0)≥f(0)＋f(0)?f(0)≤0.又由條件①知f(0)≥0，故f(0)＝0.(2)g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是理想函數(shù)．

證明如下：

顯然g(x)＝2x－1在[0,1]上滿足條件①g(x)≥0；

也滿足條件②g(1)＝1.若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，則g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]

＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]

＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1

＝(2x2－1)(2x1－1)≥0，即滿足條件③，故g(x)為理想函數(shù)．