第一篇：高考數(shù)學(xué)知識梳理復(fù)習(xí)題1-直接證明與間接證明
高考數(shù)學(xué)知識梳理復(fù)習(xí)題1_
1第2講 直接證明與間接證明
★知識梳理★
三種證明方法的定義與步驟：
1.綜合法是由原因推導(dǎo)到結(jié)果的證明方法，它是利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的證明方法。
2.分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定義、公理、定理等）為止的證明方法。
3.假設(shè)原命題的結(jié)論不成立,經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,由此說明假設(shè)錯誤,從而證明了原命題成立,這樣的方法叫反證法；它是一種間接的證明方法.用這種方法證明一個命題的一般步驟：(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立；(2)根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到推理中導(dǎo)出矛盾為止
(3)斷言假設(shè)不成立(4)肯定原命題的結(jié)論成立
★重難點突破★
重點：能熟練運(yùn)用三種證明方法分析問題或證明數(shù)學(xué)命題
難點：運(yùn)用三種方法提高分析問題和解決問題的能力
重難點：在函數(shù)、三角變換、不等式、立體幾何、解析幾何等不同的數(shù)學(xué)問題中，選擇好證明方法并運(yùn)用三種證明方法分析問題或證明數(shù)學(xué)命題
1.從命題的特點、形式去選擇證明方法
①一般地，結(jié)論中出現(xiàn)“至多”“至少”“唯一”等詞語，或否定性命題，或要討論的情況很復(fù)雜的，可以考慮用反證法②一般地，含分式、根式的不等式，或從條件出發(fā)思路不明顯的命題，可以考慮用分析法③命題的結(jié)論有明確的證明方向的，適宜用綜合法
問題1：對于任意非零實數(shù)x,y(x??y)，等式111總不成立 ??xyx?y
點撥：從命題的形式特點看，適合用反證法證明
2.比較復(fù)雜的命題，有時需要多種證明方法綜合運(yùn)用，各取所長。
★熱點考點題型探析★
考點1綜合法
題型：用綜合法證明數(shù)學(xué)命題
[例1 ](東莞2007—2008學(xué)年度第一學(xué)期高三調(diào)研測試)
對于定義域為?0,1?的函數(shù)f(x)，如果同時滿足以下三條：①對任意的x??0,1?，總有f(x)?0；②f(1)?1；③若x1?0,x2?0,x1?x2?1，都有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù)．
(1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，求f(0)的值；
x(2)判斷函數(shù)g(x)?2?1（x?[0,1]）是否為理想函數(shù)，并予以證明；
x【解題思路】證明函數(shù)g(x)?2?1（x?[0,1]）滿足三個條件
[解析]（1）取x1?x2?0可得f(0)?f(0)?f(0)?f(0)?0．
又由條件①f(0)?0，故f(0)?0．
x（2）顯然g(x)?2?1在[0，1]滿足條件①g(x)?0；
也滿足條件②g(1)?1．若x1?0，x2?0，x1?x2?1，則
g(x1?x2)?[g(x1)?g(x2)]?2x1?x2?1?[(2x1?1)?(2x2?1)]
?2x1?x2?2x1?2x2?1?(2x2?1)(2x1?1)?0，即滿足條件③，故g(x)理想函數(shù)．
【名師指引】緊扣定義，逐個驗證
【新題導(dǎo)練】
1.(2008年佛山)證明:若a,b?0,則lga?blga?lgb? 2
2a?b?ab，2
a?b?lgab，兩邊取對數(shù)，得lg2
lgablga?lgb?又lgab?? 22[解析]當(dāng)a,b?0時，?當(dāng)a,b?0時lga?blga?lgb? 22
2.在銳角三角形ABC中,求證:sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC
[解析]??ABC為銳角三角形，?A?B??
2?A??
2?B，???y?sinx在(0,)上是增函數(shù)，?sinA?sin(?B)?cosB 22
同理可得sinB?cosC，sinC?cosA
?sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC
3..已知數(shù)列{an}中各項為：12、1122、111222、??、11??????122??????2??,證明這個數(shù)列中的每一項都是兩
個 個 nn個相鄰整數(shù)的積.[解析]a
1n?9(10n?1)?10n?
29?(10n?1)
?1n
9(10n?1)?(10n?2)?(10?1
3)?(10n?1
3?1)
10n
記：A =?1
?3 ,則A=33??????3為整數(shù)
n
an= A(A+1)，得證個
考點2分析法
題型：用分析法證明數(shù)學(xué)命題
[例2 ] 已知a?b?0,求證a??a?b
[解析]要證a?b?a?b，只需證(?)2?(a?b)2
即a?b?2ab?a?b，只需證b?ab，即證b?a
顯然b?a成立，因此a?b?a?b成立
【名師指引】注意分析法的“格式”是“要證---只需證---”，而不是“因為---所以---”
【新題導(dǎo)練】
4.若a?b?c?d?0且a?d?b?c，求證：d?a?b?c
[解析]要證d?a?b?c，只需證(d?a)2?(b?c)2
即a?d?2ad?b?c?2，因a?d?b?c，只需證ad?
即ad?bc，設(shè)a?d?b?c?t，則ad?bc?(t?d)d?(t?c)c?(c?d)(c?d?t)?0
?ad?bc成立，從而d?a??c成立
5.已知a,b?R,a?b?1，求證：(a?2)2?(b?2)2?2
5[解析](a?2)2?(b?2)2?25?a2?b2?4(a?b)?8?25?a2?b21
22?2
?a2?(1?a)2?1
2?(a?1
2)2?0，?(a?1)2?0顯然成立，故(a?2)2?(b?2)225
2?2成立
考點2反證法
題型：用反證法證明數(shù)學(xué)命題或判斷命題的真假
[例3 ] 已知f(x)?ax?x?2
x?1(a?1)，證明方程f(x)?0沒有負(fù)數(shù)根
【解題思路】“正難則反”，選擇反證法，因涉及方程的根，可從范圍方面尋找矛盾
[解析]假設(shè)xx
0是f(x)?0的負(fù)數(shù)根，則x0?0且x0x0?2
0??1且a??x
0?1
?0?ax0?1?0??1x0?2?1，解得?x0?2，這與x0?0矛盾，2x0?1
故方程f(x)?0沒有負(fù)數(shù)根
【名師指引】否定性命題從正面突破往往比較困難，故用反證法比較多
【新題導(dǎo)練】
6.（08江西5校聯(lián)考）某個命題與正整數(shù)n有關(guān)，若n?k(k?N*)時該命題成立，那么可推得n?k?1時該命題也成立，現(xiàn)在已知當(dāng)n?5時該命題不成立，那么可推得
A.當(dāng)n?6時，該命題不成立B.當(dāng)n?6時，該命題成立
C.當(dāng)n?4時，該命題不成立D.當(dāng)n?4時，該命題成立
[解析]用反證法，可證當(dāng)n?4時，該命題不成立
7.設(shè)a、b、c都是正數(shù)，則a?111、b?、c?三個數(shù) bac
A.都大于2B.都小于2C.至少有一個大于2D.至少有一個不小于
2111?a??c??6，舉反例可排除A、B、C，故選D bba
1118.已知a、b、c成等差數(shù)列且公差d?0，求證：、、不可能成等差數(shù)列 abc
[解析]? a、b、c成等差數(shù)列，?2b?a?c 111211122?、假設(shè)成等差數(shù)列，則???(a?c)?4ac?(a?c)?0，?a?c從而d?0與d?0矛盾，abcbaca11、不可能成等差數(shù)列 bc[解析] ?a,b,c,?0?a?
9.（廣東省深圳市寶安中學(xué)、翠園中學(xué)2009屆高三第一學(xué)期期中聯(lián)合考試）
[解析]?lg9?2lg3，所以3和9的對數(shù)值正確，若lg15?3a?b?c?1正確，則lg5?a?c
從而lg8?3(1?lg5)，即lg8?3?3a?3c，矛盾。
故15的對數(shù)值錯誤，應(yīng)改正為lg15?3a?b?c
★搶分頻道★
基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練
1.（2008年華師附中）用反證法證明命題：“三角形內(nèi)角和至少有一個不大于60”時，應(yīng)假設(shè)（）
A.三個內(nèi)角都不大于60B.三個內(nèi)角都大于60
C.三個內(nèi)角至多有一個大于60D.三個內(nèi)角至多有兩個大于60
[解析] B
2.已知p3?q3?2，關(guān)于p?q的取值范圍的說法正確的是（）
A.不大于22B.不大于2C.不小于2D.不小于2
2[解析] B
3.若三角形能剖分為兩個與自己相似的三角形，那么這個三角形一定是（）
A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定
[解析] B
4.要證明不等式6?7?22?成立，只需證明：[解析](6?)2?(22?5)2 00000
2與22的大小關(guān)系是a2?2
22?22（注意：不能取等號）[用平均值不等式] [解析] a?2?2a?2
6.(07年惠州第一問)已知數(shù)列?an?滿足a1?5, a2?5，an?1?an?6an?1(n?2)． 5.已知 a?2?2
求證：?an?1?2an?是等比數(shù)列；
[解析]由an＋1＝an＋6an－1，an＋1＋2an＝3(an＋2an－1)(n≥2)
∵a1＝5，a2＝5∴a2＋2a1＝1
5故數(shù)列{an＋1＋2an}是以15為首項，3為公比的等比數(shù)列
綜合提高訓(xùn)練
7.（金山中學(xué)2009屆高三期中考）已知表中的對數(shù)值有且只有兩個是錯誤的：
請你指出這兩個錯誤．（答案寫成如lg20≠a＋b－c的形式）
[解析]若lg3?2a?b錯誤，則lg9?2(2a?b)也錯誤，反之亦然，此時其他對數(shù)值都正確，但lg1.5?lg6?1?4a?2b?lg9，?lg3?2a?b、lg9?2(2a?b)且lg1.5?3a?b?c，若lg5?a?c錯誤，則lg6?1?lg3?lg5?1?a?b?c也錯誤，?lg5?a?c正確
?lg6?1?a?b?c正確，?lg8?3(lg6?lg3)?3(1?a?c)若lg6?1?a?b?c錯誤，也能導(dǎo)出lg5?a?c錯誤，正確，?lg12?1?a?2b，綜上lg1.5?3a?b?c，lg12?1?a?2b
a?2x?a?28.設(shè)函數(shù)f(x)?為奇函數(shù).2x?1
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）用定義法判斷f(x)在其定義域上為增函數(shù)
[解析]（Ⅰ）依題意，函數(shù)f(x)的定義域為R
∵f(x)是奇函數(shù)
∴f(?x)??f(x)
a?2?x?a?2a?2x?a?2??∴ ?xx2?12?1
x∴2(a?1)(2?1)?0
?a?1
2x?1（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)?x 2?1
設(shè)x1?x2且x1,x2?R，則
2x2?12x1?1?2??2?2(2x2?2x1)???1?f(x2)?f(x1)?x2?0 ???1???2?12x1?1?2x2?1??2x1?1?(2x2?1)(2x1?1)
∴f(x2)?f(x1)
∴f(x)在R上是增函數(shù)
9.已知f(x)?lnx證明： f(1?x)?x(x??1)
[解析]即證：ln(x?1)?x?0
1?x?1?設(shè)k(x)?ln(x?1)?x,則k
?(x)?.x?1x?1
當(dāng)x∈（-1，0）時，k′(x)>0，∴k(x)為單調(diào)遞增函數(shù)；
當(dāng)x∈（0，∞）時，k′(x)<0，∴k(x)為單調(diào)遞減函數(shù)；
∴x=0為k(x)的極大值點，∴k(x)≤k(0)=0.即ln(x?1)?x?0?f(1?x)
?x
(x??1)
11?t)(x?0)的最小值恰好是方程x3?ax2?bx?c?0的y?(x?2x
2三個根，其中0?t?1．求證：a?2b?3；
[解析]三個函數(shù)的最小值依次為1，10.已知函數(shù)y?|x|?1，y?
由f(1)?0，得c??a?b?1
∴f(x)?x3?ax2?bx?c?x3?ax2?bx?(a?b?1)?(x?1)[x2?(a?1)x?(a?b?1)]，故方程x2?(a?1)x?(a?b?1)?
??(a?
1)?a?b?1．
2?(a?1)2，即2?2(a?b?1)(?1)?a∴a2?2b?3．
參考例題：
1.設(shè),為非零向量，且,不平行，求證?，?不平行
[解析]假設(shè)???(?)，則(1??)?(1??)?，?,不平行，???1???0
1???0，因方程組無解，故假設(shè)不成立，即原命題成立
?
2.已知?為銳角，且tan??2?1，函數(shù)f(x)?x2tan2??x?sin(2???
4)，數(shù)列{an}的首項a1
1?2,an?1?f(an).⑴ 求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；
⑵ 求證：an?1?an；
⑶ 求證：1?1?a?????2(n?2,n?N*)
11?a21?an
[解析] ⑴tan2??2tan?2(2?1)
1?tan2??1?(2?1)2?1又∵?為銳角
∴2????
4∴sin(2??4)?1f(x)?x2?x
⑵ a2a1
n?1?an?an∵1?2∴a2,a3,?an都大于0
∴a2
n?0∴an?1?an
⑶11111
a?2?a??a?n?1annan(1?an)n1?an
∴111
1?a??
nanan?1
∴1
1?a?1
1?a???1
a?1?1?1?1???1?1?1?1?2?1121?na1a2a2a3anan?1a1an?1an?1
∵a1213323
2?(2)?2?4, a3?(4)?4?1 ,又∵n?2an?1?an
∴aa1
n?1?3?1∴1?2?a?2
n?1
∴1?1
1?a?1???1?2
11?a21?an5
第二篇：直接證明與間接證明
鄉(xiāng)寧三中高中部“自主、互助、檢測”大學(xué)堂學(xué)案數(shù)學(xué)選修2-22014 年3月4日 課題：直接證明與間接證明
主備人：安輝燕參與人：高二數(shù)學(xué)組1112.①已知a,b,c?R，a?b?c?1，求證：???9.abc?
②已知a，b，m都是正數(shù)，并且a?b.求證:a?ma?.學(xué)習(xí)任務(wù)：
①了解直接證明的兩種基本方法----分析法和綜合法；并會用直接法證明一般的數(shù)
學(xué)問題
②了解間接證明的一種方法----反證法，了解反證法的思考過程、特點；會用反證
法證明一般的數(shù)學(xué)問題 3.求證?7?25
自學(xué)導(dǎo)讀：
閱讀課本P85--P91，完成下列問題。
1．直接證明----綜合法、分析法
(1)綜合法定義：
框圖表示：
問題反饋：
思維特點是：由因?qū)Ч?/p>
(2)分析法定義：
框圖表示：
思維特點：執(zhí)果索因
2．間接證明----反證法
定義：
步驟：
思維特點：正難則反 拓展提升：
3.討論并完成課本例1--例5 設(shè)a為實數(shù)，f(x)?x2?ax?a.求證：
自主檢測：
1.如果3sin??sin（2?+?），求證：tan(???)?2tan?.-b?mbf(1)與f(2)中至少有一個不小于12.
第三篇：6.6 直接證明與間接證明修改版
高三導(dǎo)學(xué)案學(xué)科 數(shù)學(xué) 編號 6.6編寫人 陳佑清審核人使用時間
班級：小組：姓名：小組評價：教師評價：課題：（直接證明與間接證明）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法，了解分析法和綜合法的思考過程、特點。
2.了解間接證明的一種基本方法——反證法，了解反證法的思考過程、特點。
【重點難點】
重點 ：了解直接證明和間接證明的思考過程、特點。
難點 ：了解直接證明和間接證明的思考過程、特點。
【使用說明及學(xué)法指導(dǎo)】①要求學(xué)生完成知識梳理和基礎(chǔ)自測題；限時完成預(yù)習(xí)案，識記基礎(chǔ)知識；②課前只獨立完成預(yù)習(xí)案，探究案和訓(xùn)練案留在課中完成預(yù)習(xí)案
一、知識梳理
1． 直接證明
(1)綜合法 ①定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論，這種證明方法叫做綜合法．
②框圖表示：P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→?→Qn?Q(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證明的結(jié)論)．
(2)分析法
①定義：從出發(fā)，逐步尋求使它成立的，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法．
②框圖表示：Q?P1→P1?P2→P2?P3→?→得到一個明顯成立的條件.2． 間接證明
反證法：假設(shè)原命題，經(jīng)過正確的推理，最后得出，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命
題成立，這樣的證明方法叫做反證法．
二、基礎(chǔ)自測
1.下列表述：①綜合法是由因?qū)Чǎ虎诰C合法是順推法；③分析法是執(zhí)果索因法；④分析法是逆推法；⑤反證法是間接證法。其中正確的有（）
A．2個B．3個C．4個D．5個
2.?）
A．綜合法
B．分析法C．反證法D
．歸納法
3.用反證法證明“如果a?
b?）
A
?
?D4．定義一種運(yùn)算“*”：對于自然數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：
①1*1＝1，②(n＋1)*1＝n*1＋1，則n*1＝________．
5.下列條件：①ab?0，②ab?0，③a?0,b?0，④a?0,b?0，其中能使
是。ba??2成立的條件ab
探究案
一、合作探究
a2b2c
2???a?b?c。例
1、設(shè)a,b,c?0，證明bca
例
2、已知函數(shù)f(x)?tanx,x?(0,?x?x2?1)，)。若x1,x2?(0,)，且x1?x2，[f(x1)?f(x2)]?f(1 222
2例
3、已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋Sn＝2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)求證：數(shù)列{an}中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列。
二、總結(jié)整理
訓(xùn)練案
一、課中訓(xùn)練與檢測
1.設(shè)a，b為正實數(shù)．現(xiàn)有下列命題：
11①若a2－b2＝1，則a－b<1；②若1，則a－b<1；③若|a－b|＝1，則|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，則ba
|a－b|<1.其中的真命題有________．(寫出所有真命題的編號)
2.已知a?
01?a??2。a
二、課后鞏固促提升
已知a?0,b?0，且a?b?2，求證1?b1?a,中至少有一個小于2.ab
第四篇：5直接證明與間接證明
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5直接證明與間接證明
作者：
來源：《數(shù)學(xué)金刊·高考版》2014年第03期
直接證明與間接證明貫穿在整張高考卷的始終，解題過程中處處離不開分析與綜合.近年高考解答題的證明，主要考查直接證明，難度多為中檔或中偏高檔；有時以解答題的壓軸題的形式呈現(xiàn)，此時難度為高檔，分值約為4～8分.對于間接證明的考查，主要考查反證法，只在個別地區(qū)的高考卷中出現(xiàn)，難度一般為中檔或中偏高檔，分值約為4～6分.以數(shù)列、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、立體幾何、解析幾何等知識為背景的證明.（1）綜合法解決問題的關(guān)鍵是從“已知”看“可知”，逐步逼近“未知”.其逐步推理，實質(zhì)上是尋找已知的必要條件.分析法解決問題的關(guān)鍵是從未知看需知，逐步靠攏已知，其逐步推理，實際上是尋找結(jié)論的充分條件.因此，在實際解題時，通常以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述過程，相得益彰.（2）對于某些看來明顯成立而又不便知道根據(jù)什么去推導(dǎo)（綜合法），甚至難于尋求到使之成立的充分條件（分析法）的“疑難”證明題，?？紤]用反證法來證明.一般地，可在假設(shè)原命題不成立的前提下，經(jīng)過正確的邏輯推理，最后得出矛盾，從而說明假設(shè)錯誤，從反面證明原命題成立.
第五篇：35 直接證明與間接證明
【2012高考數(shù)學(xué)理科蘇教版課時精品練】作業(yè)35第五節(jié) 直接證明與間接證明
1．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是(c，＋∞)，其中c＝________.解析：由log2x≤2，得0
4x2．(2010年高考山東卷)若對任意x>0a恒成立，則a的取值范圍是________． x＋3x＋
1xx解析：若對任意x＞0≤a恒成立，只需求得a≥的最大值即可． x＋3x＋1x＋3x＋1
x因為x>0，設(shè)y，x＋3x＋1
x111所以y＝ 15x＋3x＋11x＋＋32 x＋3xx
1當(dāng)且僅當(dāng)x＝ x
1所以a的取值范圍是[∞)．
51答案：[)5
1113．設(shè)a、b、c都是正數(shù)，則ab＋，c＋三個數(shù)_______． bca
①都大于
2②至少有一個大于2 ③至少有一個不大于2
④至少有一個不小于2
111111解析：假設(shè)三個數(shù)都小于2，則a＋＋b＋c，而a＋＋b＋＋c2＋2＋2bcabca
＝6，與假設(shè)矛盾．故④正確．
答案：④
1－x4．(2011年鹽城質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝lg，若f(a)＝b，則f(－a)等于________． 1＋x
1－x解析：易證f(x)＝是奇函數(shù)，1＋x
∴f(－a)＝－f(a)＝－b.答案：－b
5．p＝ab＋cd，q＝ma＋nc小關(guān)系為________．
解析：q＝ ab＋＋cd≥ab＋abcd＋cd nm＋m、n、a、b、c、d均為正數(shù))，則p、q的大mn
abcd＝p.答案：q≥p
6．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若f(x)在區(qū)間[1，a](a＞2)上單調(diào)遞增且f(x)＞0，則以下不等式不一定成立的是________．
①f(a)＞f(0)
1－3a?③f?＞f(－a)?1＋a?a＋1?2?＞f(a)1－3a④f(＞f(－2)1＋a②f?
解析：∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，又由已知a＞2，∴f(a)＞f(1)＞0＝f(0)，①成立；
1＋a∵a，∴②成立； 2當(dāng)a＞2時，1－3a＜0，又f(x)為奇函數(shù)，?1－3a＝－f?3a－1，f(－a)＝－f(a)，∴f??1＋a?1＋a???
3a－1?3a－1＜f(a)?3a－1＜a 且1，∴③即f?1＋a1＋a?1＋a?
23a－1－?a－1??a0，∴③成立； 1＋a1＋a
?3a－1＜f(2)?3a－1－2a－3<0，對于④，有f?1＋a1＋a?1＋a?
a－3由于a>2時a－3的符號不確定，∴＜0未必成立． 1＋a
答案：④
a2b
27．設(shè)0＜x＜1，a＞0，b＞0，a、b為常數(shù)，則________． x1－x
2a2b2b2x?2a?1－x?解析：x＋1－x(x＋1－x)＝a＋＋b2 x??1－x
≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.答案：(a＋b)
28．(2011年南通調(diào)研)如果aa＋bb＞ab＋ba，則a、b應(yīng)滿足的條件是________． 解析：aa＋bb＞ab＋a?(a－b)2(a＋b)＞0?a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b
x－y9．若|x|＜1，|y|＜1，試用分析法證明：||＜1.1－xy
證明：因為|x|＜1，|y|＜1，∴|1－xy|≠0，x－y要證|＜1，1－xy
x－y2只需證|＜1.1－xy
?|x－y|2＜|1－xy|2
?x2＋y2－2xy＜1－2xy＋x2y2
?x2＋y2－1－x2y2＜0
?(y2－1)(1－x2)＜0
?(1－y2)(1－x2)＞0，因為|x|＜1，|y|＜1，所以x2＜1，y2＜1，從而(1－y2)(1－x2)＞0成立．
x－y故|＜1.1－xy
10．如圖所示，已知△ABC是銳角三角形，直線SA⊥平面ABC，AH⊥平面SBC，求證：H不可能是△SBC的垂心．
證明：假設(shè)H是△SBC的垂心，則BH⊥SC，又∵AH⊥平面SBC，∴SC⊥平面ABH，∴SC⊥AB.∵SA⊥平面ABC，∴AB⊥SA，又AB⊥SC，SA∩SC＝S，∴AB⊥平面SAC，∴AB⊥AC.即∠A＝90°.這與△ABC為銳角三角形矛盾，所以H不可能為△ABC的垂心．
11．(探究選做)對于定義域為[0,1]的函數(shù)f(x)，如果同時滿足以下三條：①對任意的x∈<[0,1]，總有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù)．
(1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，求f(0)的值；
(2)判斷函數(shù)g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是否為理想函數(shù)，并予以證明．
解：(1)取x1＝x2＝0可得
f(0)≥f(0)＋f(0)?f(0)≤0.又由條件①知f(0)≥0，故f(0)＝0.(2)g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是理想函數(shù)．
證明如下：
顯然g(x)＝2x－1在[0,1]上滿足條件①g(x)≥0；
也滿足條件②g(1)＝1.若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，則g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]
＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]
＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1
＝(2x2－1)(2x1－1)≥0，即滿足條件③，故g(x)為理想函數(shù)．
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