第一篇：2013年高考分類匯總 考點31 直接證明與間接證明
考點31 直接證明與間接證明
1.（2013·北京高考理科·Ｔ20）已知{an}是由非負整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項的最大值記為An，第n項之后各項an?1，an?2…的最小值記為Bn，dn=An－Bn．
(1)若{an}為2，1，4，3，2，1，4，3…，是一個周期為4的數(shù)列(即對任意n∈N*，an?4?an)，寫出d1，d2，d3，d4的值；
(2)設d為非負整數(shù)，證明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要條件為{an}為公差為d的等差數(shù)列；
(3)證明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3…)，則{an}的項只能是1或2，且有無窮多項為1
【解題指南】(1)根據(jù){dn}的定義求.(2)充分性:先證明{an}是不減數(shù)列,再利用定義求dn;必要性:先證明{an}是不減數(shù)列,再利用定義證明等差.(3)可通過取特殊值和反證法進行證明.【解析】（1）d1?A1?B1?2?1?1，d2?A2?B2?2?1?1，d3?A3?B3?4?1?3，d4?A4?B4?4?1?3。
（2）充分性：
若{an}為公差為d的等差數(shù)列，則an?a1?(n?1)d.因為d是非負整數(shù)，所以{an}是常數(shù)列或遞增數(shù)列.所以An?an?a1?(n?1)d，Bn?an?1?a1?nd，所以dn?An?Bn??d(n=1,2,3,…).必要性：
若dn??d(n?1,2,3,)，假設ak是第一個使得an?an?1?0的項，則 a1?a2??ak?2?ak?1?ak，所以Ak?ak?1,Bk?ak，所以dk?Ak?Bk?ak?1?Bk?ak?1?ak?0，這與dn??d?0矛盾.所以{an}是不減數(shù)列.所以dn?An?Bn?an?an?1??d，即an?1?an?d，所以{an}是公差為d的等差數(shù)列.（3）①首先{an}中的項不能是0，否則d1?a1?0?2，與已知矛盾.②{an}中的項不能超過2，用反證法證明如下：
若{an}中有超過2的項，設ak是第一個大于2的項，{an}中一定存在項為1，否則與dn?1矛盾.當n?k時，an?2，否則與dk?1矛盾.因此存在最大的i在2到k-1之間，使得ai?1，此時di?Ai?Bi?2?Bi?2?2?0，矛盾.綜上{an}中沒有超過2的項.綜合①②，{an}中的項只能是1或2.下面證明1有無數(shù)個，用反證法證明如下：
若ak為最后一個1，則dk?Ak?Bk?2?2?0，矛盾.因此1有無數(shù)個.2.（2013·北京高考文科·Ｔ20）給定數(shù)列a1，a2，…，an。對i=1，2，…n-l，該數(shù)列前i項的最大值記為Ai，后n-i項ai+1，ai+2，…，an的最小值記為Bi，di=Ai-Bi.（1）設數(shù)列{an}為3，4，7，1，寫出d1，d2，d3的值.（2）設a1，a2，…，an（n≥4）是公比大于1的等比數(shù)列，且a1＞0.證明：d1，d2，…dn-1是等比數(shù)列。
（3）設d1，d2，…dn-1是公差大于0的等差數(shù)列，且d1＞0，證明：a1，a2，…，an-1是等差數(shù)列。
【解題指南】(1)利用di的公式,求d1,d2,d3的值.(2)先求出{dn}的通項,再利用等比數(shù)列的定義證明{dn}是等比數(shù)列.(3)先證明{an}是單調遞增數(shù)列,再證明an是數(shù)列{an}的最小項,最后證明{an}是等差數(shù)列.【解析】（1）d1?A1?B1?3?1?2，d2?A2?B2?4?1?3，d3?A3?B3=7-1=6。
（2）由a1,a2，an(n?4)是公比大于1的等比數(shù)列，且a1＞0，可得{an}的通項為an?a1?qn?1且為單調遞增數(shù)列。
于是當k?2,3,dkak?ak?1a1qk?1?a1qk
???q為定值。n?1時，k?2k?1dk?1ak?1?aka1q?a1q
因此d1，d2，…dn-1構成首項d1?a1?a2，公比q的等比數(shù)列。
（3）若d1,d2,…,dn-1是公差大于0的等差數(shù)列,則0
第二篇：直接證明與間接證明
鄉(xiāng)寧三中高中部“自主、互助、檢測”大學堂學案數(shù)學選修2-22014 年3月4日 課題：直接證明與間接證明
主備人：安輝燕參與人：高二數(shù)學組1112.①已知a,b,c?R，a?b?c?1，求證：???9.abc?
②已知a，b，m都是正數(shù)，并且a?b.求證:a?ma?.學習任務：
①了解直接證明的兩種基本方法----分析法和綜合法；并會用直接法證明一般的數(shù)
學問題
②了解間接證明的一種方法----反證法，了解反證法的思考過程、特點；會用反證
法證明一般的數(shù)學問題 3.求證?7?25
自學導讀：
閱讀課本P85--P91，完成下列問題。
1．直接證明----綜合法、分析法
(1)綜合法定義：
框圖表示：
問題反饋：
思維特點是：由因導果
(2)分析法定義：
框圖表示：
思維特點：執(zhí)果索因
2．間接證明----反證法
定義：
步驟：
思維特點：正難則反 拓展提升：
3.討論并完成課本例1--例5 設a為實數(shù)，f(x)?x2?ax?a.求證：
自主檢測：
1.如果3sin??sin（2?+?），求證：tan(???)?2tan?.-b?mbf(1)與f(2)中至少有一個不小于12.
第三篇：6.6 直接證明與間接證明修改版
高三導學案學科 數(shù)學 編號 6.6編寫人 陳佑清審核人使用時間
班級：小組：姓名：小組評價：教師評價：課題：（直接證明與間接證明）
【學習目標】
1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法，了解分析法和綜合法的思考過程、特點。
2.了解間接證明的一種基本方法——反證法，了解反證法的思考過程、特點。
【重點難點】
重點 ：了解直接證明和間接證明的思考過程、特點。
難點 ：了解直接證明和間接證明的思考過程、特點。
【使用說明及學法指導】①要求學生完成知識梳理和基礎自測題；限時完成預習案，識記基礎知識；②課前只獨立完成預習案，探究案和訓練案留在課中完成預習案
一、知識梳理
1． 直接證明
(1)綜合法 ①定義：利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的，最后推導出所要證明的結論，這種證明方法叫做綜合法．
②框圖表示：P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→?→Qn?Q(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證明的結論)．
(2)分析法
①定義：從出發(fā)，逐步尋求使它成立的，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法．
②框圖表示：Q?P1→P1?P2→P2?P3→?→得到一個明顯成立的條件.2． 間接證明
反證法：假設原命題，經(jīng)過正確的推理，最后得出，因此說明假設錯誤，從而證明了原命
題成立，這樣的證明方法叫做反證法．
二、基礎自測
1.下列表述：①綜合法是由因導果法；②綜合法是順推法；③分析法是執(zhí)果索因法；④分析法是逆推法；⑤反證法是間接證法。其中正確的有（）
A．2個B．3個C．4個D．5個
2.?）
A．綜合法
B．分析法C．反證法D
．歸納法
3.用反證法證明“如果a?
b?）
A
?
?D4．定義一種運算“*”：對于自然數(shù)n滿足以下運算性質：
①1*1＝1，②(n＋1)*1＝n*1＋1，則n*1＝________．
5.下列條件：①ab?0，②ab?0，③a?0,b?0，④a?0,b?0，其中能使
是。ba??2成立的條件ab
探究案
一、合作探究
a2b2c
2???a?b?c。例
1、設a,b,c?0，證明bca
例
2、已知函數(shù)f(x)?tanx,x?(0,?x?x2?1)，)。若x1,x2?(0,)，且x1?x2，[f(x1)?f(x2)]?f(1 222
2例
3、已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋Sn＝2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)求證：數(shù)列{an}中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列。
二、總結整理
訓練案
一、課中訓練與檢測
1.設a，b為正實數(shù)．現(xiàn)有下列命題：
11①若a2－b2＝1，則a－b<1；②若1，則a－b<1；③若|a－b|＝1，則|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，則ba
|a－b|<1.其中的真命題有________．(寫出所有真命題的編號)
2.已知a?
01?a??2。a
二、課后鞏固促提升
已知a?0,b?0，且a?b?2，求證1?b1?a,中至少有一個小于2.ab
第四篇：5直接證明與間接證明
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5直接證明與間接證明
作者：
來源：《數(shù)學金刊·高考版》2014年第03期
直接證明與間接證明貫穿在整張高考卷的始終，解題過程中處處離不開分析與綜合.近年高考解答題的證明，主要考查直接證明，難度多為中檔或中偏高檔；有時以解答題的壓軸題的形式呈現(xiàn)，此時難度為高檔，分值約為4～8分.對于間接證明的考查，主要考查反證法，只在個別地區(qū)的高考卷中出現(xiàn)，難度一般為中檔或中偏高檔，分值約為4～6分.以數(shù)列、函數(shù)與導數(shù)、立體幾何、解析幾何等知識為背景的證明.（1）綜合法解決問題的關鍵是從“已知”看“可知”，逐步逼近“未知”.其逐步推理，實質上是尋找已知的必要條件.分析法解決問題的關鍵是從未知看需知，逐步靠攏已知，其逐步推理，實際上是尋找結論的充分條件.因此，在實際解題時，通常以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述過程，相得益彰.（2）對于某些看來明顯成立而又不便知道根據(jù)什么去推導（綜合法），甚至難于尋求到使之成立的充分條件（分析法）的“疑難”證明題，?？紤]用反證法來證明.一般地，可在假設原命題不成立的前提下，經(jīng)過正確的邏輯推理，最后得出矛盾，從而說明假設錯誤，從反面證明原命題成立.
第五篇：35 直接證明與間接證明
【2012高考數(shù)學理科蘇教版課時精品練】作業(yè)35第五節(jié) 直接證明與間接證明
1．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是(c，＋∞)，其中c＝________.解析：由log2x≤2，得0
4x2．(2010年高考山東卷)若對任意x>0a恒成立，則a的取值范圍是________． x＋3x＋
1xx解析：若對任意x＞0≤a恒成立，只需求得a≥的最大值即可． x＋3x＋1x＋3x＋1
x因為x>0，設y，x＋3x＋1
x111所以y＝ 15x＋3x＋11x＋＋32 x＋3xx
1當且僅當x＝ x
1所以a的取值范圍是[∞)．
51答案：[)5
1113．設a、b、c都是正數(shù)，則ab＋，c＋三個數(shù)_______． bca
①都大于
2②至少有一個大于2 ③至少有一個不大于2
④至少有一個不小于2
111111解析：假設三個數(shù)都小于2，則a＋＋b＋c，而a＋＋b＋＋c2＋2＋2bcabca
＝6，與假設矛盾．故④正確．
答案：④
1－x4．(2011年鹽城質檢)已知函數(shù)f(x)＝lg，若f(a)＝b，則f(－a)等于________． 1＋x
1－x解析：易證f(x)＝是奇函數(shù)，1＋x
∴f(－a)＝－f(a)＝－b.答案：－b
5．p＝ab＋cd，q＝ma＋nc小關系為________．
解析：q＝ ab＋＋cd≥ab＋abcd＋cd nm＋m、n、a、b、c、d均為正數(shù))，則p、q的大mn
abcd＝p.答案：q≥p
6．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若f(x)在區(qū)間[1，a](a＞2)上單調遞增且f(x)＞0，則以下不等式不一定成立的是________．
①f(a)＞f(0)
1－3a?③f?＞f(－a)?1＋a?a＋1?2?＞f(a)1－3a④f(＞f(－2)1＋a②f?
解析：∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，又由已知a＞2，∴f(a)＞f(1)＞0＝f(0)，①成立；
1＋a∵a，∴②成立； 2當a＞2時，1－3a＜0，又f(x)為奇函數(shù)，?1－3a＝－f?3a－1，f(－a)＝－f(a)，∴f??1＋a?1＋a???
3a－1?3a－1＜f(a)?3a－1＜a 且1，∴③即f?1＋a1＋a?1＋a?
23a－1－?a－1??a0，∴③成立； 1＋a1＋a
?3a－1＜f(2)?3a－1－2a－3<0，對于④，有f?1＋a1＋a?1＋a?
a－3由于a>2時a－3的符號不確定，∴＜0未必成立． 1＋a
答案：④
a2b
27．設0＜x＜1，a＞0，b＞0，a、b為常數(shù)，則________． x1－x
2a2b2b2x?2a?1－x?解析：x＋1－x(x＋1－x)＝a＋＋b2 x??1－x
≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.答案：(a＋b)
28．(2011年南通調研)如果aa＋bb＞ab＋ba，則a、b應滿足的條件是________． 解析：aa＋bb＞ab＋a?(a－b)2(a＋b)＞0?a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b
x－y9．若|x|＜1，|y|＜1，試用分析法證明：||＜1.1－xy
證明：因為|x|＜1，|y|＜1，∴|1－xy|≠0，x－y要證|＜1，1－xy
x－y2只需證|＜1.1－xy
?|x－y|2＜|1－xy|2
?x2＋y2－2xy＜1－2xy＋x2y2
?x2＋y2－1－x2y2＜0
?(y2－1)(1－x2)＜0
?(1－y2)(1－x2)＞0，因為|x|＜1，|y|＜1，所以x2＜1，y2＜1，從而(1－y2)(1－x2)＞0成立．
x－y故|＜1.1－xy
10．如圖所示，已知△ABC是銳角三角形，直線SA⊥平面ABC，AH⊥平面SBC，求證：H不可能是△SBC的垂心．
證明：假設H是△SBC的垂心，則BH⊥SC，又∵AH⊥平面SBC，∴SC⊥平面ABH，∴SC⊥AB.∵SA⊥平面ABC，∴AB⊥SA，又AB⊥SC，SA∩SC＝S，∴AB⊥平面SAC，∴AB⊥AC.即∠A＝90°.這與△ABC為銳角三角形矛盾，所以H不可能為△ABC的垂心．
11．(探究選做)對于定義域為[0,1]的函數(shù)f(x)，如果同時滿足以下三條：①對任意的x∈<[0,1]，總有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù)．
(1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，求f(0)的值；
(2)判斷函數(shù)g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是否為理想函數(shù)，并予以證明．
解：(1)取x1＝x2＝0可得
f(0)≥f(0)＋f(0)?f(0)≤0.又由條件①知f(0)≥0，故f(0)＝0.(2)g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是理想函數(shù)．
證明如下：
顯然g(x)＝2x－1在[0,1]上滿足條件①g(x)≥0；
也滿足條件②g(1)＝1.若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，則g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]
＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]
＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1
＝(2x2－1)(2x1－1)≥0，即滿足條件③，故g(x)為理想函數(shù)．
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