第一篇：數(shù)列與不等式練習(xí)4
高二數(shù)學(xué)中午練習(xí)10.17
1、設(shè)Sn為等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，若a1?1，公差d?2，Sk?2?Sk?24，則k=
2、已知數(shù)列?an?滿足a1?1,an?1?2an?1(n?N*).則數(shù)列?an?的 通項(xiàng)公式為
1??????1?21?2?31?2?3???n3、求和：
4、在等差數(shù)列?an?中，a3?a7?37，則a2?a4?a6?a8?________
5、等差數(shù)列?an?前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和．若a1?1,ak?a4?0，則k=____________．
6、設(shè){an}是一個(gè)公差為d(d?0)的等差數(shù)列，它的前10項(xiàng)和S10?110，且a1,a2,a4成等比數(shù)列．
（Ⅰ）證明：a1?d；（Ⅱ）求公差d的值和數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
第二篇：數(shù)列與不等式證明專題
數(shù)列與不等式證明專題
復(fù)習(xí)建議：
1．“巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計(jì)算中非常重要，但用“基本量法”并樹立“目標(biāo)意識(shí)”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運(yùn)用條件，又要時(shí)刻注意題的目標(biāo)，往往能取得與“巧用性質(zhì)”解題相同的效果2．歸納——猜想——證明體現(xiàn)由具體到抽象，由特殊到一般，由有限到無限的辯證思想．學(xué)習(xí)這部分知識(shí)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，計(jì)算能力，熟悉歸納、演繹的論證方法，提高分析、綜合、抽象、概括等思維能力，都有重大意義．
3．解答數(shù)列與函數(shù)的綜合問題要善于綜合運(yùn)用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項(xiàng)等方法來分析、解決問題．
4．?dāng)?shù)列與解析幾何的綜合問題解決的策略往往是把綜合問題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再利用數(shù)列知識(shí)和方法求解． 證明方法：（1）先放縮后求和；（2）先求和后放縮(3)靈活運(yùn)用 例1．?dāng)?shù)列?a
2n?n?滿足a1?1,a2?2,an?2?(1?cos2)asin2n?
n?2,n?1,2,3,?.(Ⅰ)求a3,a4,并求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)ba2n?
1n?
a,Sn?b1?b2???bn.證明：當(dāng)n?6S?2?1n2n
n.分析：本題給出數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的遞推關(guān)系，且要對(duì)n分奇偶性。
解:(Ⅰ)因?yàn)閍cos
2?
1?1,a2?2,所以a3?(1?2)a1?sin2
?
?a1?1?2,a4?(1?cos2?)a2?sin2??2a2?4.一般地，當(dāng)n?2k?1(k?N*)時(shí)，a2
k?1)?2k?1?[1?cos
(22]a?sin22k?1
2k?12
? ＝a2k?1?1，即a2k?1?a2k?1?1.所以數(shù)列?a2k?1?是首項(xiàng)為
1、公差為1的等差數(shù)列，因此a2k?1?k.當(dāng)n?2k(k?N*)時(shí)，a2k?2k?2?(1?cos
22)a2k?
2k?sin2
2?2a2k.所以數(shù)列?a2k?是首項(xiàng)為
2、公比為2的等比數(shù)列，因此a2k?2k.?故數(shù)列?a?n?1n?的通項(xiàng)公式為an??
2,n?2k?1(k?N*),?n?22,n?2k(k?N*).(Ⅱ)由(Ⅰ)知，ba2n?1n?a?n
12?3n2,Sn??23???n,①2n22222
12S12?23n
n?222?24???2
n?1② 1①-②得，1[1?(1)2]2S1111nn?2?22?23???2n?2n?1??n1n1?2n?1?1?2n?2n?1.2所以S1nn?2
n?2?2n?1?2n?2?2
n.要證明當(dāng)n?6時(shí)，S1n(n?2)
n?2?n成立，只需證明當(dāng)n?6時(shí)，2n
?1成立.證法一
(1)當(dāng)n = 6時(shí)，6?(6?2)26?4864?
34?1成立.(2)假設(shè)當(dāng)n?k(k?6)時(shí)不等式成立，即k(k?2)
k
?1.則當(dāng)n=k+1時(shí)，(k?1)(k?3)k(k?2)(k?1)(k?2k?1?2k?3)2k(k?2)?(k?1)(k?3)
(k?2)?2k
?1.由(1)、(2)所述，當(dāng)n≥6時(shí)，n(n?1)2
2?1.即當(dāng)n≥6時(shí)，Sn?2?
1n
.證法二令cn(n?2)n?
22(n?6)，則c(n?1)(n?3)n(n?2)3?n2
n?1?cn?2n?1?22?2
n?1?0.所以當(dāng)n?6時(shí)，c6?8n?1?cn.因此當(dāng)n?6時(shí)，cn?c6?64?
34?1.于是當(dāng)n?6時(shí)，n(n?2)22?1.綜上所述，當(dāng)n?6時(shí)，Sn
?2?1
n
.點(diǎn)評(píng)：本題奇偶分類要仔細(xì)，第（2）問證明時(shí)可采用分析法。
例題2.已知?為銳角，且tan??
2?1，函數(shù)f(x)?x2tan2??x?sin(2??
?
4)，數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1?
2,an?1?f(an).(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；⑵ 求證：an?1?an；
⑶ 求證：
1?11?a?1???1?2(n?2,n?N*)11?a21?an
分析：本題是借助函數(shù)給出遞推關(guān)系，第（2）問的不等式利用了函數(shù)的性質(zhì)，第（3）問是轉(zhuǎn)化成可以裂項(xiàng)的形式，這是證明數(shù)列中的不等式的另一種出路。
解：⑴tan2??
??2tan?2(?1)2
又∵?為銳角 ∴2?? ∴sin(2??)?1∴f(x)?x?x??1
441?tan2?1?(2?1)2
∴a2,a3,?an都大于0∴an?0∴an?1?an2
∴
則S?
1111121212111?(????)??(S?)S????? a22a2a3ana2an?13an?13a22an?1
⑵
an?1?an?an∵a1?
點(diǎn)評(píng)：數(shù)列中的不等式要用放縮來解決難度就較大了，而且不容易把握，對(duì)于這樣的題要多探索，多角度的思考問題。
⑶
1an?1
?
1111
???2
an?anan(1?an)an1?an111
??1?ananan?1
例題4.已知函數(shù)f(x)?x?ln?1?x?,數(shù)列?an?滿足0?a1?1,∴
111111111111
???????????????2?
an?1?f?an?;數(shù)列?bn?滿足b1?,bn?1?(n?1)bn, n?N*.求證:
1?a11?a21?ana1a2a2a3anan?1a1an?1an?1
∵a?(12)2?12?34, a?(34)2?3
234
?1 ,又∵n?2an?1?an∴an?1?a3?1
∴1?
2?
1a?2∴1?
1n1?a?1???1
?2
?1
11?a21?an
點(diǎn)評(píng)：把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成清晰的問題是數(shù)學(xué)中的重要思想，本題中的第（3）問不等式的證明更具有一般性。
例題3.已知數(shù)列?aa?
n?滿足a1?1,n?1?2an?1?n?N?
（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列?b?1n?滿足4b1?14b24
b3?1
?4bn?1?(an?1)bn，證明：?bn?是等差數(shù)列；
（Ⅲ）證明：
1?1a???1?2?n?N?a? 23an?13
分析：本例（1）通過把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列；第（2）關(guān)鍵在于找出連續(xù)三項(xiàng)間的關(guān)系；第（3）問關(guān)鍵在如何放縮 解：（1）?an?1?2an?1，?an?1?1?2(an?1)
故數(shù)列{an?1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列。?ann?1?2n，an?2?1
（2）?4
b1?14
b2?14
b3?1
?4bn?1?(an?1)bn，?4
(b1?b2???bn?n)
?2nbn
2(b1?b2???bn)?2n?nbn①2(b1?b2???bn?bn?1)?2(n?1)?(n?1)bn?1②
②—①得2bn?1
?2?(n?1)bn?1?nbn，即nbn?2?(n?1)bn?1③?(n?1)bn?1?2?nbn?2④ ④—③得2nbn?1
?nbn?nbn?1，即2bn?1?bn?bn?1所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列
（3）?
1a?1111
2n?1?1?2n?1?2?
設(shè)S
?
1n2an?a?1???1，2a3an?1
（Ⅰ）0?a（Ⅱ）aa2nn?1?an?1;n?1?2;
（Ⅲ）若a1?2
則當(dāng)n≥2時(shí),bn?an?n!.分析：第（1）問是和自然數(shù)有關(guān)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明；第（2）問可利用函數(shù)的單調(diào)性；第（3）問進(jìn)行放縮。解：(Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明0?an?1,n?N*.（1）當(dāng)n=1時(shí),由已知得結(jié)論成立;（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即0?ak?1.則當(dāng)n=k+1時(shí),因?yàn)? 1x?1?xx?1 ?0,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在?0,1?上連續(xù),所以f(0) ?1, 得an?1?an?an?ln?1?an??an??ln(1?an)?0,從而an?1?an.綜上可知0?an?1 ?an?1.(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)g(x)= x2 x2x2 -f(x)= ?ln(1?x)?x, 0 nn?>0,從而an?1?2 .(Ⅲ)因?yàn)?/p> b12b1b n?11?,n?1?2(n?1)bn,所以bn?0,n?1b?n,所以bba2nbn?1bnn? b??2?b1 1?n?n!————①由(Ⅱ)an?1?,知:an?1?an,n?1bn?2b122an2 所以 ana?a3?na?a1a2?n?1 ,因?yàn)閍a= a2aa1?, n≥2, 0?an?1?an?1.1 1a2n?12222 a2?a2 所以 a1a2?an?1?aan 1< n? 2221<2 n?12n = 2n ————②由①② 兩式可知: bn?an?n!.點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列、超越函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的學(xué)歸納法的知識(shí)交匯題，屬于難題，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起注意。 例題5.已知函數(shù)f(x)=5?2x 16?8x，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列?an?滿足a1=l，an?1?f?an?． (1)試比較a 5n與 4的大小，并說明理由； (2)設(shè)數(shù)列?b5n nn?滿足bn=4－an，記Sn=?bi．證明：當(dāng)n≥2時(shí),Sn＜(2－1)． i? 14分析：比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。 解：(1)a2ann?1 ? 5?16?8a，因?yàn)閍所以a7 31?1,2?,a3?4 .（2）因?yàn)閍n?0,an?1?0,所以16?8an?0,0?an?2.n8a55?2a48(a55 n5n?n?1?)3an?554?16?8a?4?32(2?a??,因?yàn)??an?0,所以an?1?與a?同號(hào)，nn)22?an 4n 4因?yàn)閍51?4??14?0，a5555 2?4?0,a3?4?0,?，an?4?0,即an?4 .（3）當(dāng)n?2時(shí)，b531n?4?an?2?2?a?(5?a31 31n?1)???bn?1???bn?1?2bn?1，n?1422?an?122?5 所以bn ?2?bn?1?22?bn?2???2n?1b31?2n?，13?n (1?2n) 所以Sn?b1?b2???bn? 4?12???????1? ?2?? ?1?2?1 (2n?1) 點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)、不等式的綜合題，是高考的難點(diǎn)熱點(diǎn)。 例題6.已知數(shù)列?a* n?中，a1?1，nan?1?2(a1?a2?...?an)?n?N? ． （1）求a2,a3,a4；（2）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)an；（3）設(shè)數(shù)列{b1n}滿足b1? 2,b12 n?1?abn?bn，求證：bn?1(n?k)k 分析：條件中有類似于前n項(xiàng)和的形式出現(xiàn)，提示我們應(yīng)該考慮an＝Sn－Sn－1(n≥2) 解：（1）a2?2,a3?3,a4?4（2）nan?1?2(a1?a2?...?an)① (n?1)an?2(a1?a2?...?an?1)②①—②得nan?1?(n?1)an?2an 即：nan?1 ?(n?1)a?1n?1aa3ann，ana?所以aa223n n?1a...?1...1 ?n(n?2) nna12an?112n?所以a*n ?n(n?N) （3）由（2）得：b1 ?12,b12 n?1?k bn?bn?bn?bn?1?...?b1?0，所以{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列，故要證：bn?1(n?k)只需證bk?1 若k ?1，則b12?1顯然成立;若k?2，則b?1211? n?1kbn?bn?k bnbn?1?bn 所以 1b?1??1,因此：1?(1?1)?...?(1?1)?1??k?1?2? k?1 n?1bnkbkbkbk?1b2b1b1kk所以bk ? k k?1 ?1,所以bn?1(n?k)點(diǎn)評(píng)：與數(shù)列相關(guān)的不等式證明通常需要“放縮”，而放縮的“度”尤為關(guān)鍵，本題中 1b?(1?1)?...?(1?1)?1,這種拆分方法是數(shù)學(xué)中較高要求的變形.kbkbk?1b2b1b1 例題7.已知不等式 12?13???1n?1 [log2n],其中n為不大于2的整數(shù)，[log2n]表示不超過log2n的最大整數(shù)。設(shè)數(shù)列?a1 n?的各項(xiàng)為正且滿足a1?b(b?0),anan?n? n?a(n?2,3,4?)，證明： n?1 an? 2b 2?b[log，n?3,4,5? 2n] 分析：由條件an?111111n ? nan?a得： n?1 a??1 ?nan?1n a??n(n?2) nan?1 11a? ? 1n?1 an?2 n?1 ?? a?1?1以上各式兩邊分別相加得： 2a121a?1?1?1???1?1?1?1?1???1 ?1?1[log2n](n?3)na1nn?12anbnn?12 b2 = 2?b[log2n]2b? a2b n?2?b[logn] (n?3) 2本題由題設(shè)條件直接進(jìn)行放縮，然后求和，命題即得以證明。 例題8.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn?2an?(?1)n，n?1（1）寫出數(shù)列{an}的前三項(xiàng)a1，a2，a5；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （3）證明：對(duì)任意的整數(shù)m?4，有1117 a????? 4a5am8 分析：⑴由遞推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2； ⑵由已知得：an ?Sn?Sn?1?2an?(?1)n?2an?1?(?1)n?1（n>1） 化簡(jiǎn)得：an?1anan?1anan?1n ?2an?1?2(?1) (?1)n??2(?1)n?1?2,(?1)n?23??2[(?1) n?1 ?2 3] 故數(shù)列{ an2(?1)n?3}是以?a1?23為首項(xiàng), 公比為?2的等比數(shù)列.故an21 (?1) n ?3?(?3)(?2)n?1∴a?23[2n?2?(?1)n]∴數(shù)列{a2 n n}的通項(xiàng)公式為：an?3 [2n?2?(?1)n].⑶觀察要證的不等式，左邊很復(fù)雜，先要設(shè)法對(duì)左邊的項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，使之能夠求和。而左邊= 1a?1a???1?3[111 22?1?23?1???2m?2?(?1) m]，如果我們把上式中的分母中的?1去掉，就可利45am2用等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式求和，由于-1與1交錯(cuò)出現(xiàn)，容易想到將式中兩項(xiàng)兩項(xiàng)地合并起來一起進(jìn)行放縮，嘗試知： 11111 22?1?123?1?122?1 23，23?1?24?1?23?24，因此，可將 ?1 保留，再將后面的項(xiàng)兩兩組合后放縮，即可求和。這里需要對(duì)m進(jìn)行分類討論，（1）當(dāng)m為偶數(shù)(m?4)時(shí)，1a?1???1a?1?(1?1)???(1?1)?1?3(1113?4???m?2)4a5ma4a5a6am?1am 22222 ? 13112?2?4(1?137 m?4)?2?8?8（2）當(dāng)m是奇數(shù)(m?4)時(shí)，m?1為偶數(shù)，1a?1???1?1?1a?1???1?1?7 4a5ama45a6amam?18 所以對(duì)任意整數(shù)m?4，有 a?a??? ?7。本題的關(guān)鍵是并項(xiàng)后進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。45am8 例題9.定義數(shù)列如下：a2 ?1?2,an?1?an?an?1,n?N 證明：（1）對(duì)于n?N? 恒有a? n?1?an成立。（2）當(dāng)n?2且n?N，有an?1?anan?1?a2a1?1成立。（3）1? 112a?12006 ? a???1 ?1。12a2006 分析：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證。 （2）由a2 n?1?an?an?1得：an?1?1?an(an?1) ?an?1?an?1(an?1?1)??a2?1?a1(a1?1) 以上各式兩邊分別相乘得：an?1?1?anan?1?a2a1(a1?1)，又a1?2 ?an?1?anan?1?a2a1?1 （3）要證不等式1? 11122006 ? a????1?1，可先設(shè)法求和：1?1???，1a2a2006a1a2a2006 再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。?a111n?1?1?an(an?1)? aa?a?1?1? a n?1?1 ? n?1nanan?1n?1?1 ? 1111a?????(?1)?(1?1)???(1?1)1a2a2006a1?1a2?1a2?1a3?1a2006?1a2007?1? 1a1?a?1? ?11?2007?1 aa 12?a2006又a?a2006 1a2?a20061 ?22006?1? 1a?1?1 2006?原不等式得證。 1a2?a20062 點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件裂項(xiàng)求和。 2012年數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品試題第六、七模塊 數(shù)列、不等式、推 理與證明 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．在等比數(shù)列{aa 2n}中，若a3a5a7a9a11＝243，則a的值為()1 1A．9B．1 C．2D． 32．在等比數(shù)列{aaa n}中，an>an7·a11＝6，a4＋a14＝5，則＋1，且a等于()16 A.23B.32 C16D．－563．在數(shù)列{aa－n}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝1＋aa n－1n＝() A.1 nB．n C.1nD．n2 4．已知0 B．成等比數(shù)列 C．各項(xiàng)倒數(shù)成等差數(shù)列 D．各項(xiàng)倒數(shù)成等比數(shù)列 5．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是() n- 1A．a(chǎn)n＝2n－1B．a(chǎn)?n?1? n??n?? C．a(chǎn)n＝n2D．a(chǎn)n＝n) n2-6n 6．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的乘積等于Tn＝?的前n項(xiàng)和Sn中的最大值是() A．S6 B．S 5?1? ??4? (n∈N*)，bn＝log2an，則數(shù)列{bn} 7．已知a，b∈R，且a>b，則下列不等式中恒成立的是() ?1??1? A．a(chǎn)>bB.?? ?2??2? ab C．lg(a－b)>0 aD.b 8．設(shè)a>0，b>0，則以下不等式中不恒成立的是()11? A．(a＋b)??ab?≥ 4B．a(chǎn)3＋b3≥2ab2 D.|a－b|ab C．a(chǎn)2＋b2＋2≥2a＋2b 9．當(dāng)點(diǎn)M(x，y)在如圖所示的三角形ABC內(nèi)(含邊界)運(yùn)動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝kx＋y取得最大值的一個(gè)最優(yōu)解為(1,2)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（） A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B．[－1,1] C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,1) ??lg|x|(x<0)10．設(shè)函數(shù)f(x)＝?x，若f(x0)>0，則x0的取值范圍是() ?2－1(x≥0)? A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0，＋∞) C．(－1,0)∪(0,1)D．(－1,0)∪(0，＋∞) a2＋b 211．已知a>b>0，ab＝1，則的最小值是() a－bA．2C．2D．1 12．下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是() A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n＝1,2，…)當(dāng)n＝1時(shí)，恒為1 B．式子1＋k＋k2＋…＋kn1(n＝1,2…)當(dāng)n＝1時(shí)，恒為1＋k － 1111111 C．式子＋＋…＋n＝1,2，…)當(dāng)n＝1時(shí)，恒為 1231232n＋1 111111 D．設(shè)f(n)＝n∈N*)，則f(k＋1)＝f(k)＋n＋1n＋23n＋13k＋23k＋33k＋4 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上． 13．已知Sn是等差數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項(xiàng)和，且S6>S7>S5，有下列四個(gè)命題：(1)d<0；(2)S11>0；(3)S12<0；(4)數(shù)列{Sn}中的最大項(xiàng)為S11，其中正確命題的序號(hào)是________． 14．在數(shù)列{an}中，如果對(duì)任意n∈N*都有數(shù)列，k稱為公差比．現(xiàn)給出下列命題： (1)等差比數(shù)列的公差比一定不為0；(2)等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列； (3)若an＝－3n＋2，則數(shù)列{an}是等差比數(shù)列；(4)若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則其公比等于公差比． 其中正確的命題的序號(hào)為________． ＝q，(4)正確． 15．不等式 ax的解集為{x|x<1或x>2}，那么a的值為________． x－ 1an＋2－an＋1 k(k為常數(shù))，則稱{an}為等差比 an＋1－an x≥0?? 16．已知點(diǎn)P(x，y)滿足條件?y≤x ??2x＋y＋k≤0k＝________.(k為常數(shù))，若z＝x＋3y的最大值為8，則 三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．(10分)(2011·天津市質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)為a－1，4,2a，記前n項(xiàng)和為Sn.(1)設(shè)Sk＝2550，求a和k的值； S(2)設(shè)bn，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值． n 18．(12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)為a1，且2，an，Sn成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； b(2)若bn＝log2an，cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.an 2bx 19．(12分)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)，a≠0，f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的實(shí) ax－1數(shù)x只有一個(gè)． (1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式； 21(2)若數(shù)列{an}滿足a1＝an＋1＝f(an)，bn＝1，n∈N*，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，3an 并求出{bn}的通項(xiàng)公式； (3)在(2)的條件下，證明：a1b1＋a2b2＋…＋anbn<1(n∈N*)． 2x?? 20．(12分)已知集合A＝?x?x－21?，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0} ? ? ? (1)求集合A，B； (2)若B?A，求m的取值范圍． 2a2 21．(12分)解關(guān)于x的不等式：x|x－a|≤(a>0)． 922．(12分)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品所消耗的電能和煤、所需工人人數(shù)以及所得產(chǎn)值如表所示： 160千度，消耗煤不得超過150噸，怎樣安排甲、乙這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量，才能使每天所得的產(chǎn)值最大，最大產(chǎn)值是多少． 高考專題——放縮法 一、基本方法 1.“添舍”放縮 通過對(duì)不等式的一邊進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)以達(dá)到解題目的，這是常規(guī)思路。例1.設(shè)a，b為不相等的兩正數(shù)，且a3－b3＝a2－b2，求證1＜a＋b＜例2.已知a、b、c不全為零，求證：。a?ab?b?2?bc?c2?c2?ac?a2＞3（a?b?c） 2[變式訓(xùn)練]已知an?2n?1(n?N*).求證：an1a1a2????...?n(n?N*).23a2a3an? 12.分式放縮 一個(gè)分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個(gè)真分式，分子、分母同時(shí)加上同一個(gè)正數(shù)則分式值變大，利用這些性質(zhì)，可達(dá)到證題目的。例3.已知a、b、c為三角形的三邊，求證：1＜ 3.裂項(xiàng)放縮 若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關(guān)的n項(xiàng)和，可采用數(shù)列中裂項(xiàng)求和等方法來解題。例4.已知n∈N*，求1?a＋b＋c＜2。a?ca?b 12?1 ???1 n＜2n。 n(n?1)(n?1) 2例5.已知n?N且an??2?2?3???n(n?1)，求證：?an?22對(duì)所有正整數(shù)n都成立。* 4.公式放縮 利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡(jiǎn)解。 n2x?1*例6.已知函數(shù)f(x)?x，證明：對(duì)于n?N且n?3都有f(n)?。n?12?1 例7.已知f(x)??x2，求證：當(dāng)a?b時(shí)f（a）?f（b）?a?b。 5.換元放縮 對(duì)于不等式的某個(gè)部分進(jìn)行換元，可顯露問題的本質(zhì)，然后隨機(jī)進(jìn)行放縮，可達(dá)解題目的。 例8.已知a?b?c，求證 ???0。a?bb?cc?a 例9.已知a，b，c為△ABC的三條邊，且有a2?b2?c2，當(dāng)n?N*且n?3時(shí)，求證： an?bn?cn。 6.單調(diào)函數(shù)放縮 根據(jù)題目特征，通過構(gòu)造特殊的單調(diào)函數(shù)，利用其單調(diào)性質(zhì)進(jìn)行放縮求解。 例10.已知a，b∈R，求證7.放大或縮小“因式”； a?b1?a?b ? a1?a ? b1?b。 n 例 4、已知數(shù)列{an}滿足an?1?a,0?a1?,求證：?(ak?ak?1)ak?2?.232k? 1n 8.固定一部分項(xiàng)，放縮另外的項(xiàng)； 例 6、求證： 11117?????? 122232n2 49.利用基本不等式放縮 例 7、已知an?5n? 41對(duì)任何正整數(shù)m，n都成立.10.先適當(dāng)組合, 排序, 再逐項(xiàng)比較或放縮 例 8、.已知i，m、n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n.(1)證明：nAim＜mAin；(2)證明：(1+m) i i n ＞(1+n) m 二、放縮法綜合問題 （一）、先求和后放縮 例1．正數(shù)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)的和Sn，滿足2Sn?an?1，試求：（1）數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn? 1，數(shù)列?bn?的前n項(xiàng)的和為Bn，求證：Bn?。 2anan?1 （二）、先放縮再求和（或先求和再放縮）例、函數(shù)f（x）= 4x1?4x，求證：f（1）+f（2）+?+f（n）>n+ 12n? 1?(n?N*).21．放縮后成等差數(shù)列，再求和 例2．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an?an?2Sn.an2?an?12(1)求證：Sn?； (2) ????2．放縮后成等比數(shù)列，再求和 例3．（1）設(shè)a，n∈N*，a≥2，證明：a2n?(?a)n?(a?1)?an； （2）等比數(shù)列{an}中，a1??，前n項(xiàng)的和為An，且A7，A9，A8成等差數(shù)列．設(shè) a1bn?n，數(shù)列{bn}前n項(xiàng)的和為Bn，證明：Bn＜． 31?an 3．放縮后為差比數(shù)列，再求和 例4．已知數(shù)列{an}滿足：a1?1，an?1?(1? n)an(n?1,2,3?)．求證： n2 an?1?an?3? n?1 2n?1 n 4．放縮后為裂項(xiàng)相消，再求和 例 5、已知an=n，求證：∑ k=1ak k ＜3． 數(shù)列不等式綜合題示例 例1 設(shè)等比數(shù)列?an?的公比為q，前n項(xiàng)和Sn?0(n?1,2,?)（Ⅰ）求q的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)bn3?an?2?an?1，記?bn?的前n項(xiàng)和為Tn，試比較Sn與Tn2 41n?12例2設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)的和Sn?an??22?,?3?,???，n?1,?333 （Ⅰ）求首項(xiàng)a1與通項(xiàng)an； 2n （Ⅱ）設(shè)Tn?Sn，n?1?,?2?,?3?,??，證明：?Ti?i?1n3 2例3數(shù)列{an}滿足a1=1，且an?1（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：an（Ⅱ）已知不等式ln(1?e =2.71828 ….?(1?11)a?(n?1).n2nn?n2?2(n?2)； x)?x對(duì)x?0成立.證明：an?e2(n?1).其中無理數(shù)第三篇：數(shù)列不等式推理與證明
第四篇：2012高考專題----數(shù)列與不等式放縮法
第五篇：數(shù)列不等式題
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