第一篇：(經(jīng)典整理)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)

等差、等比數(shù)列的性質(zhì)

一：考試要求

1、理解數(shù)列的概念、2、了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義

3、了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng) 二:知識(shí)歸納

（一）主要知識(shí)：

有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論 1．等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,??仍為等差數(shù)列．

2．等差數(shù)列{an}中，若m?n?p?q，則am?an?ap?aq 3．等比數(shù)列{an}中，若m?n?p?q，則am?an?ap?aq

4．等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,??仍為等比數(shù)列．

5．兩個(gè)等差數(shù)列{an}與{bn}的和差的數(shù)列{an?bn}仍為等差數(shù)列．

?an??1?

6．兩個(gè)等比數(shù)列{an}與{bn}的積、商、倒數(shù)的數(shù)列{an?bn}、??、??仍為等比數(shù)

?bn??bn?

列．

（二）主要方法：

1．解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的問(wèn)題時(shí)，通?？紤]兩類方法：①基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(q)的方程；②巧妙運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡(jiǎn)，減少運(yùn)算量．

2．深刻領(lǐng)會(huì)兩類數(shù)列的性質(zhì)，弄清通項(xiàng)和前n項(xiàng)和公式的內(nèi)在聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．

三：例題詮釋，舉一反三

例題1(2011佛山)在等差數(shù)列{an}中，a1＋2a8＋a15＝96，則2a9－a10＝()A．24B．22C．20D．－8

變式1：(2011廣雅)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列且a1＋a7＋a13＝4π，則tan(a2＋a12)的值為()A

3變式2：（2011重慶理11）在等差數(shù)列{an}中，a3?a7?37，則a2?a4?a6?a8?

________

B3

A3

3A3

例題2 等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為()

A．130B．170C．210D．260

變式1:（2011高考創(chuàng)新）等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=1-2n,其前n項(xiàng)和為Sn,則數(shù)列{的前11項(xiàng)和為（）

A.-45B.-50C.-55D.-66 變式2：（2011高考創(chuàng)新）等差數(shù)列{an}中有兩項(xiàng)am和ak滿足am=

Snn

}

1k,ak=

1m,則該數(shù)列前mk

項(xiàng)之和是.例題3(1)已知等比數(shù)列{an}，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，則an＝________.(2)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且Sm＝10，S2m＝30，則S3m＝________(m∈N*)．(3)在等比數(shù)列{an}中，公比q＝2，前99項(xiàng)的和S99＝56，則a3＋a6＋a9＋…＋a99＝_______.變式1：(2011佛山)在等比數(shù)列{an}中，若a3·a5·a7·a9·a11＝32，則

a9

a1

1的值為()

A．4B．2C．－2D．－

4變式2（2011湛江）等比數(shù)列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n項(xiàng)的和Sn＝126，求n和公比q.變式3（2011廣州調(diào)研）等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2=6，S4=30，則S6.1

例題4 已知數(shù)列{an}，an∈N*，Sn＝(an＋2)2.8(1)求證：{an}是等差數(shù)列；

(2)若bn＝n－30，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和的最小值．

變式1已知數(shù)列{an}中，a1

?3

5，an

?2?

1an?1

(n?2,n?N

?)，數(shù)列{bn}滿足bn

?

1an?1

(n?N

?)

（1）求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；

（2）求數(shù)列{an}中的最大值和最小值，并說(shuō)明理由

變式2設(shè)等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為sn，已知a3?24,s11?0，求： ①數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式②當(dāng)n為何值時(shí)，sn最大，最大值為多少？

變式3(2011·汕頭模擬)已知數(shù)列{an}中，a1＝，數(shù)列an＝2－，(n≥2，n∈N*)，數(shù)列an-1{bn}滿足bn＝

(n∈N*)．a(chǎn)n-1

(1)求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由．

32a例題5(2008·陜西)(文)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝，an+1=n∈N*an+11

(1)求證數(shù)列－1}是等比數(shù)列；

ann

(2)求數(shù)列{前n項(xiàng)的和

an

變式1 在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)證明數(shù)列{an－n}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；(3)求證對(duì)任意n∈N*都有Sn＋1≤4Sn

變式2設(shè){an}，{bn}是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，且cn＝an＋bn，證明數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列．

變式3.在數(shù)列?an?中，a1?1,an?1?2an?2（1）設(shè)bn?

n

an

2n?1,證明?bn?是等差數(shù)列;（2）

求數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn。

當(dāng)堂講練： 1．（1）若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后三項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390,則這個(gè)數(shù)列有項(xiàng)；

（2）已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且an>0,n?N,a3a5?2a4a6?a5a7?81，則

a4?a6?

*

（3）等差數(shù)列前m項(xiàng)和是30，前2m項(xiàng)和是100，則它的前3m項(xiàng)和是．

2．若數(shù)列{an}成等差數(shù)列，且Sm?n,Sn?m(m?n)，求Sn?m．

3．等差數(shù)列{an}中共有奇數(shù)項(xiàng)，且此數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)之和為77，偶數(shù)項(xiàng)之和為66，a1?1，求其項(xiàng)數(shù)和中間項(xiàng).4．若數(shù)列{an}（n?N*）是等差數(shù)列，則有數(shù)列bn?

a1?a2???an

n

（n?N*）也為

等差數(shù)列，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：若數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，且cn>0（n?N*），則有

d

n?

n?N*）也是等比數(shù)列．

5．設(shè)Sn和Tn分別為兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意n?N，都有則第一個(gè)數(shù)列的第11項(xiàng)與第二個(gè)數(shù)列的第11項(xiàng)的比是．說(shuō)明：

anbn

?S2n?1T2n?1

*

SnTn

?

7n?14n?27，．

四：課后練習(xí)

1基礎(chǔ)部分

1已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列?an?中，a1?a11?36，則a6的最小值為（）

A、4B、5C、6D、7

2.已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差為（）

A.3B.4C.5D.23.等差數(shù)列{an}中，a1?3a8?a15?120,則2a9?a10?

（）

A．24 B．22 C．20 D．-8

4{an}是等差數(shù)列，a1>0，a2009＋a2010>0，a2009·a2010<0，使前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大自然數(shù)n是（）A．4019B．4018C．4017D．4016

5.在等差數(shù)列{an}中,前n項(xiàng)和為Sn,若a7?5,S7?21,那么S10等于（）

A．55 B．40 C．35 D．70

6.(2009山東卷文)在等差數(shù)列{an}中,a3?7,a5?a2?6,則a6?____________.7設(shè)Sn是等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，已知S6?36,Sn?324,Sn?6?144,則n=__________.S2007

?S2005200

5?2

?a?Sa??20088在等差數(shù)列n中，1，其前n項(xiàng)的和為n．若2007

S2008?_________，則

2提高部分

1、（2010惠州 第三次調(diào)研理 4）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a2?a8?a11?30，那

么S13值的是（）A．130

B．6

5C．70D．以上都不對(duì)

2．（2010揭陽(yáng)市一模 理4）數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且a1,a3,a7為等比數(shù)列{bn}的連續(xù)三項(xiàng)，則數(shù)列{bn}的公比為

A

B．4C．2D．

3、(2009安徽卷文 2）已知{an}為等差數(shù)列，于A.-1

12，則

B.1C.3D.7

等

4.（2009江西卷文）公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a4是a3與a7的等比中項(xiàng), S8?32,則S10等于

A.18B.24C.60D.90

5．（2011佛山一檢）在等差數(shù)列?an?中，首項(xiàng)a1?0,公差d?0，若

ak?a1?a2?a3???a7，則k?()

A．22 B．23 C．24D．25

6.（2010全國(guó)卷1文）（4）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，則

aaa=

(A)

7.（2010湖北文）7.已知等比數(shù)列{am}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1，則

a9?a10a7?

a8

?A.1?

a3,2a2成等差數(shù)列，B.1?

C.3?

D3?

8（2010福建理）3．設(shè)等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn,若a1??11,a4?a6??6,則當(dāng)Sn取最小值時(shí),n等于

A．6

B．7

C．8

D．9

9.（廣東省佛山市順德區(qū)2010年4月普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè)試題理科）在等比數(shù)列{an}中，若a1a2a3?2，a2a3a4?16, 則公比q?10．（2010年3月廣東省廣州市高三一模數(shù)學(xué)理科試題）在等比數(shù)列?an?中，a1?1，公比

q?2，若?an?前n項(xiàng)和Sn?127，則n的值為．

11．(2010年3月廣東省深圳市高三年級(jí)第一次調(diào)研考試?yán)砜?設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S9?81，則a2?a5?a8?．

12．若Sn和Tn分別表示數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意自然數(shù)n，有an??

2n?32

*，（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)集合A?{x|x?2an,n?N}，4Tn?12Sn?13n，B?{y|y?4bn,n?N}．若等差數(shù)列{cn}任一項(xiàng)cn?A?B,c1是A?B中的最大數(shù)，且

*

?265?c10??125，求{cn}的通項(xiàng)公式．

第二篇：等差、等比數(shù)列性質(zhì)類比

等差、等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)

一、等差數(shù)列：

1.等差數(shù)列的證明方法：1.定義法：2．等差中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列則{an}為等差數(shù)列。2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：

?an?，若2an?1?an?an?

2an?a1?(n?1)d------該公式整理后是關(guān)于n的一次函數(shù)

Sn?

n(a1?an)n(n?1)

2Sn?na1?dS?An?Bn n223.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 1．2.3.a?bA?

2或2A?a?b 4.等差中項(xiàng): 如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)。即：

5.等差數(shù)列的性質(zhì):（1）等差數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果

an是等差數(shù)列的第n項(xiàng)，am是等差

a?am?(n?m)d

數(shù)列的第m項(xiàng)，且m?n，公差為d，則有n

（2）.對(duì)于等差數(shù)列

?an?，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq。

*??SSS?Sk，S3k?S2kak?Nnn（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，那么k，2k

S3k

?????????????????????????a1?a2?a3???ak?ak?1???a2k?a2k?1???a3k???????????????????????

成等差數(shù)列。如下圖所示：

（4）．設(shè)數(shù)列

SkS2k?SkS3k?S2k

?an?是等差數(shù)列，S奇是奇數(shù)項(xiàng)的和，S偶是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和，Sn是前n項(xiàng)的和，S偶?S奇?

S奇n?n?1dS?S?a偶中，S偶n.2，○2當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則奇

則有如下性質(zhì)： ○1當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，二、等比數(shù)列：

1.等比數(shù)列的判定方法:①定義法若數(shù)列。

an?

1?q(q?0)an

2an?是等比aa?ann?2n?1，則數(shù)列?②等比中項(xiàng)：若

n?1

??aa?aqqann12.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:如果等比數(shù)列的首項(xiàng)是1，公比是，則等比數(shù)列的通項(xiàng)為。

3.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和:○1

Sn?

a1(1?qn)

(q?1)

1?q

○

2Sn?

a1?anq

(q?1)

1?q

○3當(dāng)

q?1時(shí)，Sn?na1 ?ab。

4.等比中項(xiàng):如果使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)。那么G5.等比數(shù)列的性質(zhì):

（1）．等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果

an是等比數(shù)列的第n項(xiàng)，am是等差數(shù)列的第m項(xiàng)，且m?n，qan?amqn?m

公比為，則有

（2）對(duì)于等比數(shù)列?an?，若n?m?u?v，則an?am?au?av也就是：a1?an?a2?an?1?a3?an?2???。

（3）．若數(shù)列?an?是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，k?N*，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等比數(shù)

????????????S?3k????????????a?1??a?2??a?3??????a?k?a?k??1???????a?2k?a?2k??1???????a?3k

列。如下圖所示：SkS2k?SkS3k?S2k

基礎(chǔ)練習(xí)

一、選擇題：

1．已知｛an｝為等差數(shù)列，a2+a8=12,則a5等于（）

(A)4(B)5(C)6(D)7

2．設(shè)｛an｝是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a1?1,a5=16,則數(shù)列｛an｝前7項(xiàng)的和為（）

A.63B.64C.127D.128

3.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3?9，S6?36，則a7?a8?a9?（）

A．63B．45C．36D．274、設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q?2，前n項(xiàng)和為SS

4n，則a?（）

A.2B.4 C.15D.17

25.某種細(xì)菌在培養(yǎng)過(guò)程中,每20分鐘分裂一次(一個(gè)分裂為兩個(gè)).經(jīng)過(guò)3個(gè)小時(shí),這種細(xì)菌由1個(gè)可繁殖成-（A.511個(gè)B.512個(gè)C.1023個(gè)D.1024個(gè)

6．已知等差數(shù)列｛an｝中，a2=6, a5=15.若bn=a2n,則數(shù)列｛bn｝的前5項(xiàng)和等于（）

(A)30（B）45(C)90(D)186

7．已知數(shù)列?an?*

對(duì)任意的p，q?N滿足ap?q?ap?aq，且a2??6，那么a10等于（）

A．?165B．?33C．?30D．?2

18．設(shè){an}是等差數(shù)列，若a2?3,a7?13，則數(shù)列{an}前8項(xiàng)和為（）

Ａ．128Ｂ．80Ｃ．64Ｄ．56

9．設(shè)｛an｝是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a1＝1,a5=16,則數(shù)列｛an｝前7項(xiàng)的和為（）

A.63B.64C.127D.128

10．記等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，若S2?4，S4?20，則該數(shù)列的公差d=（）

A．7B.6C.3D.2

11．記等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，若a1?1

2，S4?20，則S6?()

A．16B.24C.36D.48

a2,aa1?

1?n?1?n?ln

12．在數(shù)列?an??中，??1?n??，則an＝（）

2)

A．2?lnnB．

二、填空題：

1．等差數(shù)列{an}中，a5=24，S5=70，則S10=___

2．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=32??n?1?lnnC．2?nlnnD．1?n?lnn +t，則t=________

3．等比數(shù)列{an}中，an>0，a2·a4+2a3·a5+a4·a6=25，則a3+a5=_______

4．設(shè){an}中，an=20－4n，則這個(gè)數(shù)列前__或____項(xiàng)和最大。

5．已知：兩個(gè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且An?3n?1 n

Bn2n?

3求：（1）a15b15=_________（2）an=___________ bn

6.等差數(shù)列{an}的公差d?1，且前100項(xiàng)和S100=100,則a1+a3 +a5+…a99=__

27．在[1000，2000]內(nèi)能被3整除且被4除余1的整數(shù)個(gè)數(shù)是________________

8．在數(shù)列{an}在中，an?4n?52*2，a1?a2??an?an?bn，n?N,其中a,b為常數(shù)，則ab?

52an?4n?{a}a?a??a?an?bn，n?N*,其中a,b為常數(shù)，則2n2，19．在數(shù)列n在中，lin??an?bnan?bn的值是_____________

10．已知{an}為等差數(shù)列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，則a5 = ____

三、解答題：

1．已知數(shù)列

n項(xiàng)和

11111S與SSS與S43453a設(shè)Snn345342.是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知的等比中項(xiàng)為，的等差中項(xiàng)為1，{an}是一個(gè)等差數(shù)列，且a2?1，a5??5。（1）求{an}的通項(xiàng)an；（2）求{an}前Sn的最大值。??

求數(shù)列

?an?的通項(xiàng)．

3.等差數(shù)列{an}的前n

項(xiàng)和為Sn，a1?1S3?9?求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；

4.等差數(shù)列?an?中，a4?10且a3，a6，a10成等比數(shù)列，求數(shù)列?an?前20項(xiàng)的和S20．

第三篇：等差、等比數(shù)列問(wèn)題

等差等比數(shù)列問(wèn)題

一、等差數(shù)列、等比數(shù)列基本數(shù)列問(wèn)題

1．等差數(shù)列?an?，s6?36，sn?6?144，sn?324，求n的值

1）an?2an?1?1；2）an?2an?1?n?1；3）an?2an?1?n2?n?1； 4）an?2an?1?2n；5）an?2an?1?3n

1）sn?2an?1；2）sn?22n?1?n?1；3）sn?2an?1?n2?n?1； 4）sn?2an?1?2n；5）sn?2an?1?3n 2．已知數(shù)列，a?an?滿足：a＝m（m為正整數(shù)）

anA7n?5

2．已知兩個(gè)等差數(shù)列?an?和?bn?的前n項(xiàng)和分別為An,Bn，且n?，則使得為整數(shù)

bnn?3Bn的的正整數(shù)n個(gè)數(shù)為：

3．已知等差數(shù)列?an?，a1?a3?a5???a99?36，公差d??2，求s100的值。

4、已知等差數(shù)列?an?的第2項(xiàng)為8，前10項(xiàng)和為185。1）求?an?的通項(xiàng)公式；2）若數(shù)列依次取出a2,a4,a8,?,a2n

n?1

?an?中

?an當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)

?n，若a6＝1，則m所有??2

當(dāng)an為奇數(shù)時(shí)??3an?1

?得到新數(shù)列?bn?，求數(shù)列?bn?的通項(xiàng)公式。

可能的取值為

四、數(shù)列與其它

1.已知數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式an?n??n?N??，則數(shù)列?an?的前30項(xiàng)中，最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別

n?是

2．已知數(shù)列?an?是遞增數(shù)列，且an?n2??n，則實(shí)數(shù)3.（Ⅰ）設(shè)

4．設(shè)等比數(shù)列?an?的公比為q（q>0），它的前n項(xiàng)和為40，前2n項(xiàng)和為3280，且前前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為27，求數(shù)列的第前2n項(xiàng)。

5．已知數(shù)列?an?的首項(xiàng)為23，公差為整數(shù)，且前6項(xiàng)為正，從第7項(xiàng)起為負(fù)數(shù)，求Sn的最大值。

?范圍是

an為正整數(shù)，6．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且a1

數(shù)列{ban}是公比為64的等比數(shù)列，b2S2?64.（1）求an,bn；（2）求證1?1???1?3.S1S2Sn

4二、數(shù)列思想問(wèn)題

1．?dāng)?shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn，又bn2．求和sn?

?3,b1?1，a1,a2,??,an是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列（n?4），且公差d?0，若將此數(shù)列刪

a1的數(shù)值；②求n的所有可d

去某一項(xiàng)得到的數(shù)列（按原來(lái)的順序）是等比數(shù)列：①當(dāng)n =4時(shí)，求

能值；

（Ⅱ）求證：對(duì)于一個(gè)給定的正整數(shù)n(n≥4)，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差都不為零的等差數(shù)列

?an

b1,b2,??,bn，其中任意三項(xiàng)（按原來(lái)順序）都不能組成等比數(shù)列．，求?bn?的前n項(xiàng)和

123n?2?3???n aaaa

3．等差數(shù)列?an?和等比?bn?，求數(shù)列?an?bn?的前n項(xiàng)和 4．1?1?1???

1*2

2*3

3*4

?n?1??n 12?13?24?3

??????

n*n?11*22*33*4n*n?15．已知數(shù)列?an?滿足a1?2a2?3a3???nan?n?n?1?，求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式

三、復(fù)合數(shù)列問(wèn)題

1、已知數(shù)列?an?滿足下列條件，且a1?1，求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式

第四篇：等差、等比數(shù)列子數(shù)列性質(zhì)的探究

等差、等比數(shù)列的子數(shù)列探究

【教學(xué)目標(biāo)】

經(jīng)歷等差數(shù)列與等比數(shù)列子數(shù)列的性質(zhì)的研究過(guò)程，體驗(yàn)“歸納——猜想——論證”的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的科學(xué)方法；體會(huì)從特殊到一般、類比等數(shù)學(xué)思想，獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與研究的樂(lè)趣。

【教學(xué)重點(diǎn)】

歸納-猜想-論證、從特殊到一般、類比等數(shù)學(xué)思想方法的體驗(yàn)與認(rèn)識(shí)。

【教學(xué)難點(diǎn)】

“歸納——猜想——論證”等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的習(xí)得。

【教材分析】

前段時(shí)間，高三學(xué)生已經(jīng)進(jìn)行了數(shù)列的系統(tǒng)復(fù)習(xí)，掌握了等差、等比數(shù)列的定義與應(yīng)用；學(xué)習(xí)了解決數(shù)列問(wèn)題的“基本量法”、“類比”、“歸納、猜想、論證”等數(shù)學(xué)思想方法，本課主要通過(guò)等差、等比子數(shù)列的研究，強(qiáng)化數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程，加深對(duì)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，規(guī)范解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本方法與要求，獲得數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的新的體會(huì)。

【學(xué)情分析】

從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)看，學(xué)生已經(jīng)對(duì)于等差、等比數(shù)列有了較好的理解與認(rèn)識(shí)，也能夠開展對(duì)于數(shù)學(xué)新問(wèn)題的學(xué)習(xí)與研究能力；從學(xué)生的思維發(fā)展看，高三學(xué)生已經(jīng)具備了一定的研究與學(xué)習(xí)有關(guān)新概念與新問(wèn)題的能力。

【問(wèn)題提出】

在數(shù)列研究的過(guò)程中，等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩個(gè)十分重要的數(shù)列；我們已經(jīng)研究了等差數(shù)列與等比數(shù)列的一些性質(zhì)，這兩節(jié)課，我們將研究了從等差及等比數(shù)列中取出部分的項(xiàng)，按原來(lái)的順序組成的一個(gè)“子數(shù)列”所具有的性質(zhì)；研究這些數(shù)列的的一般特征與規(guī)律。

觀察下列數(shù)列，試寫出一個(gè)符合前4項(xiàng)的通項(xiàng)公式，指出它們具有什么性質(zhì)？

（1）1,2,3,4,...；

（2）2,4,6,8,...；

（3）1,3,5,7,...；

（4）1,2,4,8,...（4）5,9,13,17,...（5）2,5,8,11,...（6）1,4,16,64,...（7）5,20,80,320,...（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)從特殊到一般的歸納與猜測(cè)，獲得各數(shù)列的通項(xiàng)公式；指出其一般特性；體驗(yàn)通項(xiàng)公式的猁過(guò)程，逐步獲得子數(shù)列的概念。）

【問(wèn)題探究】

1）教師提問(wèn)：觀察上述數(shù)列，從數(shù)列的項(xiàng)來(lái)看，他們間存在什么聯(lián)系嗎？

2）形成子數(shù)列定義：給定無(wú)窮數(shù)列?an?，數(shù)列?an?中任取無(wú)窮多項(xiàng)，不改變它們?cè)谠瓉?lái)數(shù)列中的先后次序，得到新的數(shù)列ak1,ak2,ak3,...,ak,...(k...1?k2?k3? n

?kn?...,k1,k2,k3,kn?N?)稱為數(shù)列?an?的一個(gè)子數(shù)列。

3）指出上述數(shù)列中子數(shù)列關(guān)系。

結(jié)論：任何一個(gè)無(wú)窮數(shù)列都存在無(wú)窮多個(gè)子數(shù)列。

問(wèn)題

一、數(shù)列?an?是無(wú)窮等差數(shù)列，問(wèn)：數(shù)列?an?是否存在等差的子數(shù)列？ 研究：

1、設(shè)an?a(a為常數(shù)），則任取一些項(xiàng)組成的數(shù)列都是等差子數(shù)列。

2、an?n中有子數(shù)列bn?2n?1,bn?2n,bn?5n等。

3、an?

1n?1中有子數(shù)列bn?3n?1,bn?n?等 2224、數(shù)列?an?是等差數(shù)列，若k1?k2?k3?...?kn?...，k1,k2,k3,kn?N?)，當(dāng)ak1?t，且m的等差數(shù)列時(shí)，ak1,ak2,ak3,...,ak是數(shù)列?an?的一個(gè)首項(xiàng)為t，k1,k2,k3,...nk,是公差為,...,...n公差為md的等差子數(shù)列。證明：略。

方法小結(jié)：

（1）只要首項(xiàng)不同，公差不同就可以確定不同的等差子數(shù)列。

（2）從具體的例子中小結(jié)出如何尋找等差子數(shù)列，以及子數(shù)列的公差和原數(shù)列的公差之間的關(guān)系，從而得出結(jié)論：

1）2）

等差數(shù)列中下標(biāo)成等差數(shù)列（公差為k）的項(xiàng)仍然成等差數(shù)列。新的等差數(shù)列的公差等于原等差數(shù)列的公差的k倍。

（設(shè)計(jì)意圖：研究問(wèn)題的1以及2，在前面已經(jīng)解決過(guò)，只是讓學(xué)生通過(guò)復(fù)習(xí)，加深對(duì)于子數(shù)列的理

解；問(wèn)題3的解決，是為歸納猜想作必要的準(zhǔn)備；問(wèn)題的證明，是為了規(guī)范學(xué)生的表達(dá)形式。）

問(wèn)題

二、數(shù)列?an?是等比數(shù)列，問(wèn)：數(shù)列?an?是否存在等比的子數(shù)列？

1、設(shè)an?a(a為常數(shù)），則任取一些項(xiàng)組成的數(shù)列都是等比子數(shù)列。

2、an?2n中有子數(shù)列bn?22n?1和bn?25n等。

3、an?2?()

n?

1中有子數(shù)列bn?2?()等。

n4、數(shù)列?an?是等比數(shù)列，若k1?k2?k3?...?kn?...，k1,k2,k3,kn?N?)，當(dāng)ak1?t，且m的等差數(shù)列時(shí)，ak1,ak2,ak3,...,akn,...是數(shù)列?an?的一個(gè)首項(xiàng)為t，k1,k2,k3,...nk,是公差為,...公比為qk的等比子數(shù)列。

證明結(jié)論：設(shè)?an?是等比數(shù)列，q是公比，若am,an為常數(shù)時(shí)，an

?qn?m，當(dāng)n?m?kam

an

?qn?m?qk也是常數(shù)。am

方法小結(jié)：

（1）只要首項(xiàng)不同，公比不同就可以確定不同的等比子數(shù)列。

（2）從具體的例子中小結(jié)出如何尋找等比子數(shù)列，以及子數(shù)列的公比和原數(shù)列的公比之間的關(guān)系，從而得出結(jié)論： 1）

等比數(shù)列中下標(biāo)成等差數(shù)列（公差為k）的項(xiàng)仍然成等比數(shù)列。

2）法。）

新的等比數(shù)列的公比等于qk。

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)習(xí)類比的數(shù)學(xué)思想方法；進(jìn)一步體會(huì)從特殊到一般，歸納——猜想——論證的數(shù)學(xué)思想方問(wèn)題

三、數(shù)列?an?是等差數(shù)列，問(wèn)：數(shù)列?an?是否存在等比的子數(shù)列？

1、若an=n，求數(shù)列?an?的等比子數(shù)列？ 子數(shù)列bn=

2n?

1和bn=

3n?1

等。

（自然數(shù)列是學(xué)生最容易想到的，除了自然數(shù)列之外，其他的數(shù)列不容易想到）

2、給出一個(gè)例子一起研究。

例題1：已知：等差數(shù)列?an?，且an?3n?1。問(wèn)：等差數(shù)列?an?中是否存在等比子數(shù)列?cn?？（1）寫出?an?的一些項(xiàng)：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，?，學(xué)生嘗試后找出結(jié)果有：

①2，8，32，128，512，?，2?4n?1;②2,14,98,686,4802, ?，2?7

n?

1;③2,20,200,2000, ?，2?10n?1;④5,20,80,320, ?，5?4n?1;⑤2,26,338, ?，2?13n?1

（2）猜想：①cn?2?4n?1；②cn?2?7n?1；③cn?2?10n?1；④cn?5?4n?1；⑤

cn?2?13n?1

（3）提問(wèn)：這些猜想是否正確呢？

我們可以從兩個(gè)方面進(jìn)行思考：通過(guò)演繹推理證明猜想為真，或者找出反例說(shuō)明此猜想為假，從而否定或修正此猜想。（4）學(xué)生分組證明猜想

分析：2?4∵2?

4n?1

n?1的項(xiàng)被3除余2，從而得出利用二項(xiàng)式定理證明的方法。

證1：（用二項(xiàng)式定理）

?2?(3?1)n?1?2?(3k?1)?6k?2(k?N)，即2?4n?1除以3余2，∴?cn?是?an?的子數(shù)列。

分析 ：由前面幾項(xiàng)符合推廣到無(wú)窮項(xiàng)都符合，從而得出利用數(shù)學(xué)歸納法證明的方法。證2：（數(shù)學(xué)歸納法）

① 當(dāng)n=1時(shí)，c1?2?3?1?1?a1

② 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ck?22k?1?3m?1?am(m?N)，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，ck?1?

22(k?1)?1?22k?1?4?22k?1?4?(3m?1)?3?(4m?1)?1?a4m?1.由①、②得?cn?是?an?的子數(shù)列。

n?1n?

1c?2?7?2?(6?1)?3k?2,k?N;n（5）同理證明

cn?2?10n?1?2?(9?1)n?1?3k?2,k?N,cn?5?4n?1?5?(3?1)n?1?3k?2，k?N;cn?2?13n?1?2?(12?1)n?1?3k?2,k?N.（6）引申：讓學(xué)生找規(guī)律——以an中任一項(xiàng)為首項(xiàng)，以3k?1(k?N)為公比的等比數(shù)列均是該等差

數(shù)列的等比子數(shù)列

（7）小結(jié)：歸納法是從特殊到一般的推理方法，而由此所作出的猜想是需要進(jìn)一步證明的。從歸納猜

想到論證的思維方法是我們研究數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的方法。

（8）思考：對(duì)給定的等差數(shù)列可以構(gòu)造出等比數(shù)列，不確定的等差數(shù)列中是否存在等比數(shù)列？

【方法總結(jié)】

1、“歸納——猜想——論證”是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法，從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用方法；

2、研究性學(xué)習(xí)，是數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的重要手段；

3、合作學(xué)習(xí)方式，是研究性學(xué)習(xí)的有效途徑。

【方法應(yīng)用】

思考

1、等比數(shù)列是否存在等差子數(shù)列？請(qǐng)舉例說(shuō)明，并研究一般規(guī)律。

思考2： 已知：數(shù)列?an?是首項(xiàng)a1?2,公差是d的等差數(shù)列。數(shù)列?bn?是等比數(shù)列，且

b1?a1,b2?a2。問(wèn)：是否存在自然數(shù)d，使得數(shù)列?bn?是數(shù)列?an?的子數(shù)列？如存在，試求出d的一

切可能值。

思考

3、數(shù)列?an?是等比數(shù)列，問(wèn)：數(shù)列?an?是否存在等差的子數(shù)列？ 分析：先取d=1，2，3，4，5，6。發(fā)現(xiàn)當(dāng)d是奇數(shù)時(shí)，不可能?！遖2是奇數(shù)，∴公比

a2an?

1為分?jǐn)?shù)，則bn?2?(2)從第三項(xiàng)開始就不是自然數(shù)

2取d=2，?an?：2，4，6，8，?，?bn?：2，4，8，16，?，an?2n,bn?2n,?2n是偶數(shù)，∴d=2時(shí)，數(shù)列?bn?是數(shù)列?an?的子數(shù)列，取d=4，?an?：2，6，10，14，18，?，?bn?：2，6，18，54，?，an?4n?2,bn?2?3n?1?2?(4?1)n?1?2?(4k?1)?4?2k?2(k?N)，∴d=4時(shí)，數(shù)列?bn?是數(shù)列?an?的子數(shù)列。同理d=6時(shí)，數(shù)列?bn?也是數(shù)列?an?的子數(shù)列。由此猜想當(dāng)d?2m(m?N)時(shí)，數(shù)列?bn?是數(shù)列?an?的子數(shù)列?？梢杂枚?xiàng)式定理或數(shù)學(xué)歸納法證明。

證1：（用二項(xiàng)式定理）在?an?中，a1?2,d?2m,an2?(n?1)?2m.在?bn?中，b1=2，b2?2?2m,q?

則2?(m?1)

k?1

2?2m

?1?m,bn?2?(1?m)n?1。令bk?an(k?3), 2

1k?2

=2?(n?1)?2m.(m?1)k?1?1?(n?1)?m,mk?1?Ck??? ?1?m

?2k?21k?3?2

an?中的Ckk??Ck???Ckk?1?m?1?1?(n?1)?m，可解出n?1?m?1?m1?N,即bk為?

某一項(xiàng)。

證2：（數(shù)學(xué)歸納法）①當(dāng)n=1時(shí)，b1?a1；②假設(shè)bk是?an?的第p項(xiàng)，即

2?(m?1)k?1?2?2m(p?1),則bk?1?bk(m?1)??2?2m(p?1)?(m?1)=2+

2m?m(p?1)?p?1?1?即bk?1是?an?中的第m（p-1）+p+1項(xiàng)。由①、②得，數(shù)列?bn?是數(shù)列?an?的子

數(shù)列。

第五篇：等差等比數(shù)列下標(biāo)性質(zhì)及應(yīng)用

等差等比數(shù)列下標(biāo)性質(zhì)及應(yīng)用

戎國(guó)華

一． 教學(xué)目標(biāo)：

（一）知識(shí)與技能：等比等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)；

比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)及其推導(dǎo)?教學(xué)目標(biāo)：掌握等差等??方法?

（二）過(guò)程能力與方法學(xué)生的猜想能力?能力訓(xùn)練：進(jìn)一步培養(yǎng)?教學(xué)重點(diǎn)：等差等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)??列下標(biāo)性質(zhì)的靈活應(yīng)用與實(shí)際應(yīng)用?教學(xué)難點(diǎn)：等比等差數(shù)

（三）態(tài)度情感與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析資料的能力，積極思維，追求新知的創(chuàng)新意識(shí)；通過(guò)對(duì)等差等比數(shù)列的研究，從而滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點(diǎn)

（四）教學(xué)模式：多媒體，師生互動(dòng)

一.新課引入等差數(shù)列?an?中,a1?a5與a2?a4的關(guān)系？答：a1?a5=a2?a4等差數(shù)列?an?中,a3?a8與a5?a6的關(guān)系？答：a3?a8=a5?a6二.等差數(shù)列下標(biāo)性質(zhì)：1.等差數(shù)列?an?中,有am,an,ap,aqam?an?a1?(m?1)d?a1?(n?1)d?2a1?(m?n?2)d??證明：am?an?a?(m?1)d?a?(n?1)d?2a??(m?n?2)d??ap?aq?a1?(p?1)d?a1?(q?1)d?2a1?(p?q?2)d?證明：??qa?am?anp?ap?qa?a?a1?(p?1)d?a1?(q?1)d?2a1?(p?q?2)d???am?an?ap?aq2.(變形)等差數(shù)列?an?中,有am,an,ap ,a3?a6與a2?a7的關(guān)系？ 等比數(shù)列an中

答：a3?a6=a2?a7 等比數(shù)列an中,a2?a10與a5?a7的關(guān)系？

答：a2?a10=a5?a7

三.等比數(shù)列下標(biāo)性質(zhì)： ,有am,an,ap,aq 1.等比數(shù)列an中

am?an?a1qm?1?a1qn?1?a12qm?n?2?? 證明：p?1q?12p?q?2?a?a?aq?aq?a ?pq111q? ?a?a?a?amnpq,有am,an,ap 2.(變形)等比數(shù)列an中

四.例題選講：

1.設(shè)an為等差數(shù)列 例（1）若a2?a3?a10?a11?2006,求a6?a7

解：a???a?aa??a6a?a? 解：aa?a2aa?aa?20062006??7a?S22310?11?（67）2310116?7）610例（.a1）等差數(shù)列aa,7求n中，4?a15?18 解：(a1??a2a??aa?a19??aa203?a）?54解：(a?((aa18?a))??（3（aa?）?543))1a20例2（.1）等差數(shù)列a中，a?a?10,求Sn41518 18(a??a))a?a20解：(a1?a2a20(((a?a?)?3a?a）?54解：(a?a??a?a?aa)??（3（a?a）?541a1813))181920120 ?S??10(aa)??S??9(a?a)?90：20***8(aa??aa))20(S20?910(a1??aa)??90??S18??111820?(a4解：20)15 22（2）等差數(shù)列an中，a5?7,求S9

2）等差數(shù)列an中，a5?7,求S9（9((a?a9)9((22aa55))9a11?9解：S??99?63解：S???aa 9955?6322?a?a?...?a?p,29((a?a9)中9,(22a55a9a(a))23.等差數(shù)列若11?a9n12?63310 例解：S???99解：S?aa99?55?63222 a?a?a2?...?a?q，求a21?a22?a23?...?a30？11121320

解：a?a?a?...?a?q?q????????????????????21222330

(1)a1?a2?a3?................?an?(1)a1?a2?a3?................?an?? 思考:等差數(shù)列?an?中，(2)an?1?an?2?an?3?........?a2n??(2)an?1?an?2?an?3?........?a2n? 思考:等差數(shù)列an?中，?(3)a?a?a?....?a?2n?12n?22n?33n(3)a2n?1?a2n?2?a2n?3?....?a3n???S,S?S,S?S ?Snn,S22nn?Snn,S33nn?S22nn

等差數(shù)列a中,a?0,d?0,若S?S,則n為多少時(shí)前n項(xiàng)和Sn有n1917 最大值？

解：S?SS?aa?aa11?a?a?a??aa??a16?aa?00?a?a?a?a?a?a?00解：SS?a?aa?a?9?17?10?1112******17解：?S?a??a?a?a?a?a??9***516***314151617 ?4a(a?aa)??00??aa13?a?0?a??0是最后一個(gè)正數(shù)項(xiàng)?aa?00?a?0是最后一個(gè)正數(shù)項(xiàng)是最后一個(gè)正數(shù)項(xiàng)?44(?))?a?0?a01314131413?(a?a?0??a?0是最后一個(gè)正數(shù)項(xiàng)例（）一個(gè)項(xiàng)數(shù)為5.136項(xiàng)的等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為，末四項(xiàng)和為67，13141314?1313141413 1314131413例4.一個(gè)等差數(shù)列S=396,前四項(xiàng)和為21，末四項(xiàng)和為67，21?a10?a11?a12?a13?a14?a15?a16?a17n?0解：?S13S9?S17?a10?a11?a12?a13?a14?a15?a16?a17?0 ?S?S1313n?13求S求項(xiàng)數(shù)?0?a13?a14?03613?0是最后一個(gè)正數(shù)項(xiàng) ?a?4(a13?aa13?0是最后一個(gè)正數(shù)項(xiàng)14)?0?a13?a14?0?練習(xí)：已知等比數(shù)列a解：a?a?a?a?21,a?a?aan??2167例（）一個(gè)項(xiàng)數(shù)為5.136項(xiàng)的等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為21，末四項(xiàng)和為67，解：例（）一個(gè)項(xiàng)數(shù)為5.136項(xiàng)的等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為21，末四項(xiàng)和為67，n?例（）一個(gè)項(xiàng)數(shù)為，末四項(xiàng)和為67，na1?a2?a3?項(xiàng)的等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為a4?21,ann??ann??1?an?2?an?3?67?S13 求n4(a1?an)求a3?a5的值。例5.求S36S1若a＞，等比數(shù)列an,n且an0?0,a2a4?2a3a5?a???中6?25,36(a1??na36)?4(a?a)88?a?a?22?S??396?16 1n1nn22?4(a?a)?88?a?a?22?S??3962解：a11?a2?a?a?21,a?a?a?a?67解：S?S?a?a?a?a?a??a?0解：a?a?a?a?a?a?a?67a?21,a?a?a?a?67條件改為S?S？解：S?S?a?a?a?a?a?a?a?013613636a解：***34339***4***12***36353433aa?a;aa?a916 解：9***4***12***a?5a2解：a2a43?a34;a46536(a?a)n(a?a)36(a?a)111n36362?7a13?0?a13?0?S12?S最大2?7a?0?a?0?S?S***31213a88?a?22??396?4(a?a)?a?22?S???4(?a)?88?a?22?S??396396***3636n1361n36n1363622aa225?aa?2aa?aa?a??a?3a＞0,a?100,求lga?lg??lga6.2435463355 例2a22?2a3a5?a4a6?1a3?2a?a?的值。25na2a41?1002355100 ?n?36?aa?505050503?5lg?lgaaa...aa?lg(aa)?lg100?100解：a?a??5an＞0,a1a100?100,求lga?a??lga的值。??lgaaa...aa?lg(aa)?lg100?1001100 3****** ?a?a99?a98?...?a?aaa1a1002a?99a3a?98...1a10023????????????????

50對(duì)50對(duì)

50505050 ?lgaa...aa?lg(aa)?lg100??100lgaaaa...aalg(aa)?lg******

??aa22aa99?a3a98?...aa...1a100?99 1a1003?98???????????????????? 50對(duì)對(duì)50

思考：????????課后總結(jié)：