第一篇：談初中數(shù)學(xué)校本教材的開(kāi)發(fā)

一、把握數(shù)學(xué)的生活性——“使教學(xué)有生活味”

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“數(shù)學(xué)可以幫助人們更好地探求客觀世界的規(guī)律，并對(duì)現(xiàn)代社會(huì)中大量紛繁復(fù)雜的信息做出恰當(dāng)?shù)倪x擇和判斷，進(jìn)而解決問(wèn)題，直接為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值”。這說(shuō)明數(shù)學(xué)來(lái)源于社會(huì)，同時(shí)也反作用于社會(huì)，社會(huì)生活與數(shù)學(xué)關(guān)系密切，它已經(jīng)滲透到生活的每個(gè)方面，我們的衣食住行都離不開(kāi)它?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)論認(rèn)為：數(shù)學(xué)源于生活，又運(yùn)用于生活，生活中充滿數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)教育寓于生活實(shí)際。有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生溝通生活中的具體問(wèn)題與有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的聯(lián)系，借助學(xué)生熟悉的生活實(shí)際中的具體事例，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的求知欲，幫助學(xué)生更好的理解和掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，并運(yùn)用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

二、把握數(shù)學(xué)的美育性——“使教學(xué)有韻味”

數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨(dú)特的創(chuàng)作。音樂(lè)能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切?！泵雷鳛楝F(xiàn)實(shí)的事物和現(xiàn)象，物質(zhì)產(chǎn)品和精神產(chǎn)品、藝術(shù)作品等屬性總和，具有：勻稱性、比例性、和諧性、色彩變幻、鮮明性和新穎性。作為精神產(chǎn)品的數(shù)學(xué)就具有上述美的特點(diǎn)。

簡(jiǎn)練、精確是數(shù)學(xué)的美。數(shù)學(xué)的基本定理說(shuō)法簡(jiǎn)約，卻又涵蓋真理，讓人閱讀簡(jiǎn)便卻又印象深刻。數(shù)學(xué)語(yǔ)言是如此慎重的、有意的而且經(jīng)常是精心設(shè)計(jì)的，憑借數(shù)學(xué)語(yǔ)言的嚴(yán)密性和簡(jiǎn)潔性，我們就可以表達(dá)和研究數(shù)學(xué)思想，這種簡(jiǎn)潔性有助于思維的效率。

數(shù)學(xué)很講究它的邏輯美。數(shù)學(xué)的應(yīng)用是被人們廣泛認(rèn)同的，可學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)還能訓(xùn)練人的邏輯思維能力。尤其是幾何的證明講究前因后果，每一步都要前后呼應(yīng)，抽象的數(shù)學(xué)也顯示它模糊的美。抽象給我們想象的余地，讓我們思維海闊天空，給學(xué)生留有了思索和創(chuàng)新的空間。抽象的數(shù)學(xué)不正展示它的魅力嗎？

數(shù)學(xué)上有很多知識(shí)是和對(duì)稱有關(guān)的。對(duì)稱給人協(xié)調(diào)，平穩(wěn)的感覺(jué)，像圓，正方體等，它們的形式是如此的勻稱優(yōu)美。正是由于幾何圖形中有這些點(diǎn)對(duì)稱、線對(duì)稱、面對(duì)稱，才構(gòu)成了美麗的圖案，精美的建筑，巧奪天工的生活世界，也才給我們帶來(lái)豐富的自然美，多彩的生活美。

中學(xué)數(shù)學(xué)的美育性，除了上述一些方面，還有其它美妙的地方，只要我們用心挖掘和捕捉，就會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)蘊(yùn)涵著如此豐富的美的因素，教師要善于挖掘美的素材，在學(xué)生感受美的同時(shí)既提高教學(xué)質(zhì)量，又使教學(xué)韻味深厚。

三、把握校本教材的可讀性-------“使教學(xué)有拓展性”

陶行知先生早就說(shuō)過(guò)：“在現(xiàn)狀下，把學(xué)習(xí)的基本自由還給學(xué)生。”，經(jīng)過(guò)我們反復(fù)的思考和研究，同時(shí)邀請(qǐng)專家親臨指點(diǎn)，最終我們確定本課程的基本框架，本課程的設(shè)計(jì)理念就是要“把學(xué)習(xí)的基本自由還給學(xué)生”，所有的過(guò)程基本上都是以學(xué)生的活動(dòng)展開(kāi)的，真正實(shí)現(xiàn)“自主、合作、探究”的學(xué)習(xí)方式的變革，本課程共分為六個(gè)章節(jié)，分別是：《古老的數(shù)學(xué)》，《好玩的數(shù)學(xué)》，《有用的數(shù)學(xué)》，《智慧的數(shù)學(xué)》，《先進(jìn)的數(shù)學(xué)》和《美麗的數(shù)學(xué)》。

在《古老的數(shù)學(xué)》一章中，并不是把數(shù)學(xué)史作為一門研究數(shù)學(xué)的起源、發(fā)展過(guò)程和規(guī)律的學(xué)科，而是根據(jù)現(xiàn)代心理學(xué)發(fā)現(xiàn)的一個(gè)體現(xiàn)數(shù)學(xué)史的認(rèn)知功能的“遺傳法則”。從數(shù)學(xué)一次又一次的飛躍中尋找數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的故事，用故事的形式讓學(xué)生了解這些數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的背景、體會(huì)數(shù)學(xué)家們?yōu)閷ふ疫@些知識(shí)的付出的艱辛。這樣一方面可以讓學(xué)生從本質(zhì)上更好的理解自己所學(xué)的知識(shí)；

另一方面也可以以此作為人生觀與價(jià)值觀教育的教材，讓學(xué)生體會(huì)“只有付出努力才會(huì)獲得成功的人生道理”，“為實(shí)現(xiàn)理想而不懈追求的數(shù)學(xué)精神”。

在《好玩的數(shù)學(xué)》一章中，利用心理學(xué)中“興趣是學(xué)習(xí)最好的老師”的規(guī)律，以一系列數(shù)學(xué)游戲?yàn)檩d體，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)并不是“枯燥”的代名詞，真正的數(shù)學(xué)其實(shí)可以是樂(lè)趣無(wú)窮的，以此來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并以這種興趣作為他以后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力和源泉。這樣一方面可以讓學(xué)生主動(dòng)意識(shí)到自己愛(ài)玩的游戲原來(lái)與數(shù)學(xué)緊密相連，從而為學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)培養(yǎng)內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力；

另一方面，也可以在學(xué)生玩游戲的過(guò)程中幫助學(xué)生鞏固看似乏味的知識(shí)，讓學(xué)生的學(xué)科知識(shí)在游戲中得到鍛煉和提升。

在《有用的數(shù)學(xué)》一章中，根據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》：義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程要求“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)”，設(shè)計(jì)了很多貼近學(xué)生、符合實(shí)際、利用學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)能夠解決的生活實(shí)例。這樣做可以使學(xué)生深刻的感受到生活中處處存在著數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)來(lái)源于生活。這些在生活中經(jīng)常碰到的數(shù)學(xué)問(wèn)題需要我們?nèi)ヌ骄?，學(xué)生通過(guò)對(duì)這些數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，能夠更具體更深刻的理解什么是數(shù)學(xué)，知道學(xué)習(xí)和學(xué)好數(shù)學(xué)是很有用的，從而進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力。

在《智慧的數(shù)學(xué)》一章中，通過(guò)穿插一些有趣的數(shù)學(xué)小故事,以改變?nèi)藗冋J(rèn)為科學(xué)研究枯燥無(wú)味的看法。本章內(nèi)容主要包括有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題、經(jīng)典的數(shù)學(xué)問(wèn)題、奇怪的數(shù)學(xué)問(wèn)題。通過(guò)對(duì)“有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題”的研究，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)中的存在的智慧產(chǎn)生強(qiáng)烈的好奇與追求，從而激發(fā)學(xué)生天生的求知欲；

通過(guò)對(duì)“經(jīng)典的數(shù)學(xué)問(wèn)題”的研究使學(xué)生掌握一些基本的數(shù)學(xué)方法，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方法解決問(wèn)題；

通過(guò)對(duì)“奇怪的數(shù)學(xué)問(wèn)題”的研究，幫助學(xué)生開(kāi)闊眼界，增長(zhǎng)知識(shí)、鍛煉和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。

在《先進(jìn)的數(shù)學(xué)》一章中，主要學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)軟件“幾何畫板”的使用方法。通過(guò)對(duì)幾何畫板軟件的學(xué)習(xí)，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓寬學(xué)生的知識(shí)面，改變學(xué)生“數(shù)學(xué)枯燥論”和“數(shù)學(xué)無(wú)用論”的觀點(diǎn)；

可以開(kāi)發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣，改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，從而實(shí)現(xiàn)提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的；

另外，通過(guò)對(duì)幾何畫板軟件的學(xué)習(xí)，可為學(xué)生學(xué)習(xí)其他計(jì)算機(jī)軟件打下了一個(gè)結(jié)實(shí)的基礎(chǔ)，從而提高學(xué)生的電腦素養(yǎng)，為學(xué)生終身發(fā)展和可持續(xù)發(fā)展做出數(shù)學(xué)教育上的貢獻(xiàn)。

在《美麗的數(shù)學(xué)》一章中，展示給大家的是數(shù)學(xué)的美麗無(wú)所不在，數(shù)學(xué)的符號(hào)、公式、算法、圖形、表格、方程、解題思路、解題方法……都是很美麗的。這些“數(shù)學(xué)之美”都需要我們能夠和我們的學(xué)生一起去尋找、去發(fā)現(xiàn)、去挖掘、去欣賞，使美麗的數(shù)學(xué)成為學(xué)生快樂(lè)學(xué)習(xí)的源泉。數(shù)學(xué)的美麗使我們深刻感受到數(shù)學(xué)的教育不應(yīng)該僅僅是作為對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)，更應(yīng)該把它作為一種審美教育的載體，用它來(lái)感染和啟迪學(xué)生的心靈，讓學(xué)生的人格更健全，心靈更美好。

開(kāi)發(fā)校本課程要有高度的責(zé)任感、使命感和強(qiáng)烈的事業(yè)心，決不能僅僅憑著自己的興趣，更重要的是要把它作為自己的事業(yè)來(lái)做，要付出艱辛的努力、經(jīng)歷痛苦的歷程，只有付出艱辛的努力、經(jīng)歷痛苦的歷程才能在這個(gè)過(guò)程中感受成功的喜悅與幸福。

開(kāi)發(fā)校本課程，首先要有一個(gè)追求（對(duì)我們國(guó)家的教育事業(yè)無(wú)比熱愛(ài)，功利心不能太強(qiáng)，不要一說(shuō)到數(shù)學(xué)研究就問(wèn)這件事情對(duì)我職稱評(píng)審有沒(méi)有用，對(duì)我評(píng)骨干教師有沒(méi)有用……），要確定一個(gè)核心思想（即開(kāi)發(fā)的核心宗旨、研究方向、基本要求），要充分利用校內(nèi)外各類資源，要不斷地進(jìn)行課程資源的積累和課程特色的培育；

校本課程的規(guī)劃要根據(jù)學(xué)生的課程需要來(lái)制訂；

要選擇貼近時(shí)代特點(diǎn)、社會(huì)發(fā)展與學(xué)生實(shí)際的課程內(nèi)容，要變革教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式，充分發(fā)揮師生的獨(dú)立性、自主性和創(chuàng)造性，引導(dǎo)學(xué)生在身心愉悅的環(huán)境中實(shí)踐和研究。

校本課程的開(kāi)發(fā)和建設(shè)是一個(gè)漫長(zhǎng)的道路，需要我們時(shí)時(shí)刻刻做一個(gè)有心人，心中時(shí)時(shí)刻刻裝著為學(xué)生的終身發(fā)展和可持續(xù)發(fā)展考慮，裝著為我們數(shù)學(xué)教學(xué)向數(shù)學(xué)教育轉(zhuǎn)變服務(wù)的理想和追求。

第二篇：初中數(shù)學(xué)校本教材(完整版)

初中數(shù)學(xué)校本教材

———— 《生活與數(shù)學(xué)》序言

一、把握數(shù)學(xué)的生活性——“使教學(xué)有生活味”

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“數(shù)學(xué)可以幫助人們更好地探求客觀世界的規(guī)律，并對(duì)現(xiàn)代社會(huì)中大量紛繁復(fù)雜的信息做出恰當(dāng)?shù)倪x擇和判斷，進(jìn)而解決問(wèn)題，直接為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值”。這說(shuō)明數(shù)學(xué)來(lái)源于社會(huì)，同時(shí)也反作用于社會(huì)，社會(huì)生活與數(shù)學(xué)關(guān)系密切，它已經(jīng)滲透到生活的每個(gè)方面，我們的衣食住行都離不開(kāi)它?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)論認(rèn)為：數(shù)學(xué)源于生活，又運(yùn)用于生活，生活中充滿數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)教育寓于生活實(shí)際。有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生溝通生活中的具體問(wèn)題與有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的聯(lián)系，借助學(xué)生熟悉的生活實(shí)際中的具體事例，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的求知欲，幫助學(xué)生更好的理解和掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，并運(yùn)用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

二、把握數(shù)學(xué)的美育性——“使教學(xué)有韻味”

數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨(dú)特的創(chuàng)作。音樂(lè)能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切?！?美作為現(xiàn)實(shí)的事物和現(xiàn)象，物質(zhì)產(chǎn)品和精神產(chǎn)品、藝術(shù)作品等屬性總和，具有：勻稱性、比例性、和諧性、色彩變幻、鮮明性和新穎性。作為精神產(chǎn)品的數(shù)學(xué)就具有上述美的特點(diǎn)。

簡(jiǎn)練、精確是數(shù)學(xué)的美。數(shù)學(xué)的基本定理說(shuō)法簡(jiǎn)約，卻又涵蓋真理，讓人閱讀簡(jiǎn)便卻又印象深刻。數(shù)學(xué)語(yǔ)言是如此慎重的、有意的而且經(jīng)常是精心設(shè)計(jì)的，憑借數(shù)學(xué)語(yǔ)言的嚴(yán)密性和簡(jiǎn)潔性，我們就可以表達(dá)和研究數(shù)學(xué)思想，這種簡(jiǎn)潔性有助于思維的效率。

數(shù)學(xué)很講究它的邏輯美。數(shù)學(xué)的應(yīng)用是被人們廣泛認(rèn)同的，可學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)還能訓(xùn)練人的邏輯思維能力。尤其是幾何的證明講究前因后果，每一步都要前后呼應(yīng)，抽象的數(shù)學(xué)也顯示它模糊的美。抽象給我們想象的余地，讓我們思維海闊天空，給學(xué)生留有了思索和創(chuàng)新的空間。抽象的數(shù)學(xué)不正展示它的魅力嗎？

數(shù)學(xué)上有很多知識(shí)是和對(duì)稱有關(guān)的。對(duì)稱給人協(xié)調(diào)，平穩(wěn)的感覺(jué)，像圓，正方體等，它們的形式是如此的勻稱優(yōu)美。正是由于幾何圖形中有這些點(diǎn)對(duì)稱、線對(duì)稱、面對(duì)稱，才構(gòu)成了美麗的圖案，精美的建筑，巧奪天工的生活世界，也才給我們帶來(lái)豐富的自然美，多彩的生活美。

中學(xué)數(shù)學(xué)的美育性，除了上述一些方面，還有其它美妙的地方，只要我們用心挖掘和捕捉，就會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)蘊(yùn)涵著如此豐富的美的因素，教師要善于挖掘美的素材，在學(xué)生感受美的同時(shí)既提高教學(xué)質(zhì)量，又使教學(xué)韻味深厚。

三、把握校本教材的可讀性-------“使教學(xué)有拓展性”

陶行知先生早就說(shuō)過(guò)：“在現(xiàn)狀下，把學(xué)習(xí)的基本自由還給學(xué)生?！?，經(jīng)過(guò)我們反復(fù)的思考和研究，同時(shí)邀請(qǐng)專家親臨指點(diǎn)，最終我們確定本課程的基本框架，本課程的設(shè)計(jì)理念就是要“把學(xué)習(xí)的基本自由還給學(xué)生”，所有的過(guò)程基本上都是以學(xué)生的活動(dòng)展開(kāi)的，真正實(shí)現(xiàn)“自主、合作、探究”的學(xué)習(xí)方式的變革，本課程共分為六個(gè)章節(jié)，分別是：《古老的數(shù)學(xué)》，《好玩的數(shù)學(xué)》，《有用的數(shù)學(xué)》，《智慧的數(shù)學(xué)》，《先進(jìn)的數(shù)學(xué)》和《美麗的數(shù)學(xué)》。

在《古老的數(shù)學(xué)》一章中，并不是把數(shù)學(xué)史作為一門研究數(shù)學(xué)的起源、發(fā)展過(guò)程和規(guī)律的學(xué)科，而是根據(jù)現(xiàn)代心理學(xué)發(fā)現(xiàn)的一個(gè)體現(xiàn)數(shù)學(xué)史的認(rèn)知功能的“遺傳法則”。從數(shù)學(xué)一次又一次的飛躍中尋找數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的故事，用故事的形式讓學(xué)生了解這些數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的背景、體會(huì)數(shù)學(xué)家們?yōu)閷ふ疫@些知識(shí)的付出的艱辛。這樣一方面可以讓學(xué)生從本質(zhì)上更好的理解自己所學(xué)的知識(shí)；另一方面也可以以此作為人生觀與價(jià)值觀教育的教材，讓學(xué)生體會(huì)“只有付出努力才會(huì)獲得成功的人生道理”，“為實(shí)現(xiàn)理想而不懈追求的數(shù)學(xué)精神”。

在《好玩的數(shù)學(xué)》一章中，利用心理學(xué)中“興趣是學(xué)習(xí)最好的老師”的規(guī)律，以一系列數(shù)學(xué)游戲?yàn)檩d體，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)并不是“枯燥”的代名詞，真正的數(shù)學(xué)其實(shí)可以是樂(lè)趣無(wú)窮的，以此來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并以這種興趣作為他以后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力和源泉。這樣一方面可以讓學(xué)生主動(dòng)意識(shí)到自己愛(ài)玩的游戲原來(lái)與數(shù)學(xué)緊密相連，從而為學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)培養(yǎng)內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力；另一方面，也可以在學(xué)生玩游戲的過(guò)程中幫助學(xué)生鞏固看似乏味的知識(shí)，讓學(xué)生的學(xué)科知識(shí)在游戲中得到鍛煉和提升。

在《有用的數(shù)學(xué)》一章中，根據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》：義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程要求“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)”，設(shè)計(jì)了很多貼近學(xué)生、符合實(shí)際、利用學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)能夠解決的生活實(shí)例。這樣做可以使學(xué)生深刻的感受到生活中處處存在著數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)來(lái)源于生活。這些在生活中經(jīng)常碰到的數(shù)學(xué)問(wèn)題需要我們?nèi)ヌ骄?，學(xué)生通過(guò)對(duì)這些數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，能夠更具體更深刻的理解什么是數(shù)學(xué)，知道學(xué)習(xí)和學(xué)好數(shù)學(xué)是很有用的，從而進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力。

在《智慧的數(shù)學(xué)》一章中，通過(guò)穿插一些有趣的數(shù)學(xué)小故事,以改變?nèi)藗冋J(rèn)為科學(xué)研究枯燥無(wú)味的看法。本章內(nèi)容主要包括有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題、經(jīng) 典的數(shù)學(xué)問(wèn)題、奇怪的數(shù)學(xué)問(wèn)題。通過(guò)對(duì)“有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題”的研究，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)中的存在的智慧產(chǎn)生強(qiáng)烈的好奇與追求，從而激發(fā)學(xué)生天生的求知欲；通過(guò)對(duì)“經(jīng)典的數(shù)學(xué)問(wèn)題”的研究使學(xué)生掌握一些基本的數(shù)學(xué)方法，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方法解決問(wèn)題；通過(guò)對(duì)“奇怪的數(shù)學(xué)問(wèn)題”的研究，幫助學(xué)生開(kāi)闊眼界，增長(zhǎng)知識(shí)、鍛煉和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。

在《先進(jìn)的數(shù)學(xué)》一章中，主要學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)軟件“幾何畫板”的使用方法。通過(guò)對(duì)幾何畫板軟件的學(xué)習(xí)，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓寬學(xué)生的知識(shí)面，改變學(xué)生“數(shù)學(xué)枯燥論”和“數(shù)學(xué)無(wú)用論”的觀點(diǎn)；可以開(kāi)發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣，改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，從而實(shí)現(xiàn)提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的；另外，通過(guò)對(duì)幾何畫板軟件的學(xué)習(xí)，可為學(xué)生學(xué)習(xí)其他計(jì)算機(jī)軟件打下了一個(gè)結(jié)實(shí)的基礎(chǔ)，從而提高學(xué)生的電腦素養(yǎng)，為學(xué)生終身發(fā)展和可持續(xù)發(fā)展做出數(shù)學(xué)教育上的貢獻(xiàn)。

在《美麗的數(shù)學(xué)》一章中，展示給大家的是數(shù)學(xué)的美麗無(wú)所不在，數(shù)學(xué)的符號(hào)、公式、算法、圖形、表格、方程、解題思路、解題方法??都是很美麗的。這些“數(shù)學(xué)之美”都需要我們能夠和我們的學(xué)生一起去尋找、去發(fā)現(xiàn)、去挖掘、去欣賞，使美麗的數(shù)學(xué)成為學(xué)生快樂(lè)學(xué)習(xí)的源泉。數(shù)學(xué)的美麗使我們深刻感受到數(shù)學(xué)的教育不應(yīng)該僅僅是作為對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)，更應(yīng)該把它作為一種審美教育的載體，用它來(lái)感染和啟迪學(xué)生的心靈，讓學(xué)生的人格更健全，心靈更美好。

開(kāi)發(fā)校本課程要有高度的責(zé)任感、使命感和強(qiáng)烈的事業(yè)心，決不能僅僅憑著自己的興趣，更重要的是要把它作為自己的事業(yè)來(lái)做，要付出艱辛的努力、經(jīng)歷痛苦的歷程，只有付出艱辛的努力、經(jīng)歷痛苦的歷程才能在這個(gè)過(guò)程中感受成功的喜悅與幸福。

開(kāi)發(fā)校本課程，首先要有一個(gè)追求（對(duì)我們國(guó)家的教育事業(yè)無(wú)比熱愛(ài)，功利心不能太強(qiáng)，不要一說(shuō)到數(shù)學(xué)研究就問(wèn)這件事情對(duì)我職稱評(píng)審有沒(méi)有用，對(duì)我評(píng)骨干教師有沒(méi)有用??），要確定一個(gè)核心思想（即開(kāi)發(fā)的核心宗旨、研究方向、基本要求），要充分利用校內(nèi)外各類資源，要不斷地進(jìn)行課程資源的積累和課程特色的培育；校本課程的規(guī)劃要根據(jù)學(xué)生的課程需要來(lái)制訂；要選擇貼近時(shí)代特點(diǎn)、社會(huì)發(fā)展與學(xué)生實(shí)際的課程內(nèi)容，要變革教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式，充分發(fā)揮師生的獨(dú)立性、自主性和創(chuàng)造性，引導(dǎo)學(xué)生在身心愉悅的環(huán)境中實(shí)踐和研究。

校本課程的開(kāi)發(fā)和建設(shè)是一個(gè)漫長(zhǎng)的道路，需要我們時(shí)時(shí)刻刻做一個(gè)有心人，心中時(shí)時(shí)刻刻裝著為學(xué)生的終身發(fā)展和可持續(xù)發(fā)展考慮，裝著為我們數(shù)學(xué)教學(xué)向數(shù)學(xué)教育轉(zhuǎn)變服務(wù)的理想和追求。

編者按

2011年8月

第一章

興趣數(shù)學(xué)

第一節(jié)

七橋問(wèn)題（一筆畫問(wèn)題）

18世紀(jì)時(shí)，歐洲有一個(gè)風(fēng)景秀麗的小城哥尼斯堡，那里有七座橋。如圖1所示：河中的小島A與河的左岸B、右岸C各有兩座橋相連結(jié)，河中兩支流間的陸地D與A、B、C各有一座橋相連結(jié)。當(dāng)時(shí)哥尼斯堡的居民中流傳著一道難題：一個(gè)人怎樣才能一次走遍七座橋，每座橋只走過(guò)一次，最后回到出發(fā)點(diǎn)？大家都試圖找出問(wèn)題的答案，但是誰(shuí)也解決不了這個(gè)問(wèn)題。

七橋問(wèn)題引起了著名數(shù)學(xué)家歐拉（1707—1783）的關(guān)注。他把具體七橋布局化歸為圖所示的簡(jiǎn)單圖形，于是，七橋問(wèn)題就變成一個(gè)一筆畫問(wèn)題：怎樣才能從A、B、C、D中的某一點(diǎn)出發(fā)，一筆畫出這個(gè)簡(jiǎn)單圖形（即筆不離開(kāi)紙，而且a、b、c、d、e、f、g各條線 只畫一次不準(zhǔn)重復(fù)），并且最后返回起點(diǎn)？

歐拉經(jīng)過(guò)研究得出的結(jié)論是：圖是不能一筆畫出的圖形。這就是說(shuō)，七橋問(wèn)題是無(wú)解的。這個(gè)結(jié)論是如何產(chǎn)生呢？

如果我們從某點(diǎn)出發(fā)，一筆畫出了某個(gè)圖形，到某一點(diǎn)終止，那么除起點(diǎn)和終點(diǎn)外，畫筆每經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)一次，總有畫進(jìn)該點(diǎn)的一條線和畫出該點(diǎn)的一條線，因此就有兩條線與該點(diǎn)相連結(jié)。如果畫筆經(jīng)過(guò)一個(gè)n次，那 么就有2n條線與該點(diǎn)相連結(jié)。因此，這個(gè)圖形中除起點(diǎn)與終點(diǎn)外的各點(diǎn)，都與偶數(shù)條線相連。

如果起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，那么這個(gè)點(diǎn)也與偶數(shù)條線相連；如果起點(diǎn)和終點(diǎn)是不同的兩個(gè)點(diǎn)，那么這兩個(gè)點(diǎn)部是與奇數(shù)條線相連的點(diǎn)。

綜上所述，一筆畫出的圖形中的各點(diǎn)或者都是與偶數(shù)條線相連的點(diǎn)，或者其中只有兩個(gè)點(diǎn)與奇數(shù)條線相連。

圖2中的A點(diǎn)與5條線相連結(jié)，B、C、D各點(diǎn)各與3條線相連結(jié)，圖中有4個(gè)與奇數(shù)條線相連的點(diǎn)，所以不論是否要求起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，都不能一筆畫出這個(gè)圖形。

歐拉定理 ：

如果一個(gè)圖是連通的并且奇頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于0或2，那么它可以一筆畫出；否則它不可以一筆畫出。

一筆畫：

■⒈凡是由偶點(diǎn)組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時(shí)可以把任一偶點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一定能以這個(gè)點(diǎn)為終點(diǎn)畫完此圖。

■⒉凡是只有兩個(gè)奇點(diǎn)的連通圖（其余都為偶點(diǎn)），一定可以一筆畫成。畫時(shí)必須把一個(gè)奇點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)奇點(diǎn)終點(diǎn)。

■⒊其他情況的圖都不能一筆畫出。(奇點(diǎn)數(shù)除以二便可算出此圖需幾筆畫成。)

練習(xí)：你能筆尖不離紙，一筆畫出下面的每個(gè)圖形嗎？試試看。（不走重復(fù)線路）圖例1

圖例2

圖例3

圖例4

第二節(jié)

四色問(wèn)題

人人都熟悉地圖，可是繪制一張普通的政區(qū)圖，至少需要幾種顏色，才能把相鄰的政區(qū)或區(qū)域通過(guò)不同的顏色區(qū)分開(kāi)來(lái)，就未必是一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題了。

這個(gè)地圖著色問(wèn)題，是一個(gè)著名的數(shù)學(xué)難題。大家不妨用一張中國(guó)政區(qū)圖來(lái)試一試，無(wú)論從哪里開(kāi)始著色，至少都要用上四種顏色，才能把所有省份都區(qū)別開(kāi)來(lái)。所以，很早的時(shí)候就有數(shù)學(xué)家猜想：“任何地圖的著色，只需四種顏色就足夠了?！边@就是“四色問(wèn)題”這個(gè)名稱的由來(lái)。

四色問(wèn)題又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。

四色問(wèn)題的內(nèi)容是：“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色?！庇脭?shù)學(xué)語(yǔ)言表示，即“將平面任意地細(xì)分為不相重迭的區(qū)域，每一個(gè)區(qū)域總可以用1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字之一來(lái)標(biāo)記，而不會(huì)使相鄰的兩個(gè)區(qū)域得到相同的數(shù)字。”（上右圖）。

這里所指的相鄰區(qū)域，是指有一整段邊界是公共的。如果兩個(gè)區(qū)域只相遇于一點(diǎn)或有限多點(diǎn)，就不叫相鄰的。因?yàn)橛孟嗤念伾o它們著色不會(huì)引起混淆。

數(shù)學(xué)史上正式提出“四色問(wèn)題”的時(shí)間是在1852年。當(dāng)時(shí)倫敦的大學(xué)的一名學(xué)生法朗西斯向他的老師、著名數(shù)學(xué)家、倫敦大學(xué)數(shù)學(xué)教授莫根提出了這個(gè)問(wèn)題，可是莫根無(wú)法解答，求助于其它數(shù)學(xué)家，也沒(méi)有得到答案。于是從那時(shí)起，這個(gè)問(wèn)題便成為數(shù)學(xué)界的一個(gè)“懸案”。

一直到二十年前的1976年9月，《美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)通告》正式宣布了一件震撼全球數(shù)學(xué)界的消息：美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩位教授阿貝爾和哈根，利用電子計(jì)算機(jī)證明了“四色問(wèn)題”這個(gè)猜想是完全正確的！他們將普通地圖的四色問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2000個(gè)特殊圖的四色問(wèn)題，然后在電子計(jì)算機(jī)上計(jì)算了足足1200個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，最后成功地證明了四色問(wèn)題，轟動(dòng)了世界。

這是一百多年來(lái)吸引許多數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)愛(ài)好者的大事，當(dāng)兩位數(shù)學(xué)家將他們的研究成果發(fā)表的時(shí)候，當(dāng)?shù)氐泥]局在當(dāng)天發(fā)出的所有郵件上都加蓋了“四色足夠”的特制郵戳，以慶祝這一難題獲得解決。

第三節(jié)

麥比烏斯帶

數(shù)學(xué)上流傳著這樣一個(gè)故事：有人曾提出，先用一張長(zhǎng)方形的紙條，首尾相粘，做成一個(gè)紙圈，然后只允許用一種顏色，在紙圈上的一面涂抹，最后把整個(gè)紙圈全部抹成一種顏色，不留下任何空白。這個(gè)紙圈應(yīng)該怎樣粘？如果是紙條的首尾相粘做成的紙圈有兩個(gè)面，勢(shì)必要涂完一個(gè)面再重新涂另一個(gè)面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一個(gè)面、一條封閉曲線做邊界的紙圈兒呢？

對(duì)于這樣一個(gè)看來(lái)十分簡(jiǎn)單的問(wèn)題，數(shù)百年間，曾有許多科學(xué)家進(jìn)行了認(rèn)真研究，結(jié)果都沒(méi)有成功。后來(lái)，德國(guó)的數(shù)學(xué)家麥比烏斯對(duì)此發(fā)生了濃厚興趣，他長(zhǎng)時(shí)間專心思索、試驗(yàn)，也毫無(wú)結(jié)果。

有一天，他被這個(gè)問(wèn)題弄得頭昏腦漲了，便到野外去散步。新鮮的空氣，清涼的風(fēng)，使他頓時(shí)感到輕松舒適，但他頭腦里仍然只有那個(gè)尚未找到的圈兒。

一片片肥大的玉米葉子，在他眼里變成了“綠色的紙條兒”，他不由自主地蹲下去，擺弄著、觀察著。葉子彎曲著聳拉下來(lái)，有許多扭成半圓形的，他隨便撕下一片，順著葉子自然扭的方向?qū)映梢粋€(gè)圓圈兒，他驚喜地發(fā)現(xiàn)，這“綠色的圓圈兒”就是他夢(mèng)寐以求的那種圓圈。

麥比烏斯回到辦公室，裁出紙條，把紙的一端扭轉(zhuǎn)180°，再將一端的正面和背面粘在一起，這樣就做成了只有一個(gè)面的紙圈兒。

圓圈做成后，麥比烏斯捉了一只小甲蟲，放在上面讓它爬。結(jié)果，小甲蟲不翻越任何邊界就爬遍了圓圈兒的所有部分。麥比烏斯激動(dòng)地說(shuō)：“公正的小甲蟲，你無(wú)可辯駁地證明了這個(gè)圈兒只有一個(gè)面。” 麥比烏斯圈就這樣被發(fā)現(xiàn)了。

做幾個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)“麥比烏斯圈”有許多讓我們感到驚奇而有趣的結(jié)果。弄好一個(gè)圈,粘好,繞一圈后可以發(fā)現(xiàn),另一個(gè)面的入口被堵住了,原理就是這樣啊.實(shí)驗(yàn)一

如果在裁好的一張紙條正中間畫一條線，粘成“麥比烏斯圈”，再沿線剪開(kāi)，把這個(gè)圈一分為二，照理應(yīng)得到兩個(gè)圈兒，奇怪的是，剪開(kāi)后竟是一個(gè)大圈兒。實(shí)驗(yàn)二

如果在紙條上劃兩條線，把紙條三等分，再粘成“麥比烏斯圈”，用剪刀沿畫線剪開(kāi)，剪刀繞兩個(gè)圈竟然又回到原出發(fā)點(diǎn)，猜一猜，剪開(kāi)后的結(jié)果是什么，是一個(gè)大圈？還是三個(gè)圈兒？都不是。它究竟是什么呢？你自己動(dòng)手做這個(gè)實(shí)驗(yàn)就知道了。你就會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，紙帶不一分為二，一大一小的相扣環(huán)。

有趣的是：新得到的這個(gè)較長(zhǎng)的紙圈，本身卻是一個(gè)雙側(cè)曲面，它的兩條邊界自身雖不打結(jié)，但卻相互套在一起。我們可以把上述紙圈，再一次沿中線剪開(kāi)，這回可真的一分為二了！得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含于兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身并不打結(jié)罷了。

奇妙之處有三：

一、麥比烏斯環(huán)只存在一個(gè)面。

二、如果沿著麥比烏斯環(huán)的中間剪開(kāi)，將會(huì)形成一個(gè)比原來(lái)的麥比烏斯環(huán)空間大一倍的、具有正反兩個(gè)面的環(huán)（在本文中將之編號(hào)為：環(huán)0），而不是形成兩個(gè)麥比烏斯環(huán)或兩個(gè)其它形式的環(huán)。

三、如果再沿著環(huán)0的中間剪開(kāi)，將會(huì)形成兩個(gè)與環(huán)0空間一樣的、具有正反兩個(gè)面的環(huán)，且這兩個(gè)環(huán)是相互套在一起的（在本文中將之編號(hào)為：環(huán)1和環(huán)2），從此以后再沿著環(huán)1和環(huán)2以及因沿著環(huán)1和環(huán)2中間剪開(kāi)所生成的所有環(huán)的中間剪開(kāi)，都將會(huì)形成兩個(gè)與環(huán)0空間一樣的、具有正反兩個(gè)面的環(huán)，永無(wú)止境……且所生成的所有的環(huán)都將套在一起，永遠(yuǎn)無(wú)法分開(kāi)、永遠(yuǎn)也不可能與其它的環(huán)不發(fā)生聯(lián)系而獨(dú)立存在。

數(shù)學(xué)中有一個(gè)重要分支叫拓?fù)鋵W(xué)，主要是研究幾何圖形連續(xù)改變形狀時(shí)的一些特征和規(guī)律的，麥比烏斯圈變成了拓?fù)鋵W(xué)中最有趣的單側(cè)面問(wèn)題之一。

麥比烏斯圈的概念被廣泛地應(yīng)用到了建筑，藝術(shù)，工業(yè)生產(chǎn)中。運(yùn) 用麥比烏斯圈原理我們可以建造立交橋和道路，避免車輛行人的擁堵。

一、1979年，美國(guó)著名輪胎公司百路馳創(chuàng)造性地把傳送帶制成麥比烏斯圈形狀，這樣一來(lái)，整條傳送帶環(huán)面各處均勻地承受磨損，避免了普通傳送帶單面受損的情況，使得其壽命延長(zhǎng)了整整一倍。

二、針式打印機(jī)靠打印針擊打色帶在紙上留下一個(gè)一個(gè)的墨點(diǎn)，為充分利用色帶的全部表面，色帶也常被設(shè)計(jì)成麥比烏斯圈。

三、在美國(guó)匹茲堡著名肯尼森林游樂(lè)園里，就有一部“加強(qiáng)版”的云霄飛車——它的軌道是一個(gè)麥比烏斯圈。乘客在軌道的兩面上飛馳。

四、麥比烏斯圈循環(huán)往復(fù)的幾何特征，蘊(yùn)含著永恒、無(wú)限的意義，因此常被用于各類標(biāo)志設(shè)計(jì)。微處理器廠商Power Architecture的商標(biāo)就是一條麥比烏斯圈，甚至垃圾回收標(biāo)志也是由麥比烏斯圈變化而來(lái)。

垃圾回收標(biāo)志

Power Architecture 標(biāo)志

第四節(jié)

分割圖形

分割圖形是使我們的頭腦靈活，增強(qiáng)觀察能力的一種有趣的游戲。我們先來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單的分割圖形的題目──分割正方形。在正方形內(nèi)用4條線段作“井”字形分割，可以把正方形分 成大小相等的9塊，這種圖形我們常稱為九宮格。

用4條線段還可以把一個(gè)正方形分成10塊，只是和九宮格不同的是，每塊的大小不一定都相等。那么，怎樣才能用4條線段把正方形分成10塊呢？請(qǐng)你先動(dòng)腦筋想想，在動(dòng)腦的同時(shí)還要?jiǎng)邮之嬕划?/p>

其實(shí)，正方形是不難分割成10塊的，下面就是其中兩種分割方法。

練習(xí)：想一想，用4條線段能將正方形分成11塊嗎？應(yīng)該怎樣分？

第五節(jié)

數(shù)學(xué)故事

（1）奇特的墓志銘

在大數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上，鐫刻著一個(gè)有趣的幾 何圖形：一個(gè)圓球鑲嵌在一個(gè)圓柱內(nèi)。相傳，它是阿基米 德生前最為欣賞的一個(gè)定理。

在數(shù)學(xué)家魯?shù)婪虻哪贡?，則鐫刻著圓周率π的35位 數(shù)值。這個(gè)數(shù)值被叫做?！濒?shù)婪驍?shù)”。它是魯?shù)婪虍吷难?的結(jié)晶。

大數(shù)學(xué)家高斯曾經(jīng)表示，在他去世以后，希望人們?cè)谒?的墓碑上刻上一個(gè)正17邊形。因?yàn)樗窃谕瓿闪苏?7邊形 的尺規(guī)作圖后，才決定獻(xiàn)身于數(shù)學(xué)研究的……

不過(guò)，最奇特的墓志銘，卻是屬于古希臘數(shù)學(xué)家丟番 圖的。他的墓碑上刻著一道謎語(yǔ)般的數(shù)學(xué)題： “過(guò)路人，這座石墓里安葬著丟番圖。他生命的1／6 是幸福的童年，生命的1／12是青少年時(shí)期。又過(guò)了生命 的 1／ 7他才結(jié)婚?；楹?5年有了一個(gè)孩子，孩子活到他 父親一半的年紀(jì)便死去了。孩子死后，丟番圖在深深的悲 哀中又活了4年，也結(jié)束了塵世生涯。過(guò)路人，你知道丟 番圖的年紀(jì)嗎？” 丟番圖的年紀(jì)究竟有多大呢？

設(shè)他活了X歲，依題意可列出方程。這樣，要知道丟番圖的年紀(jì)，只要解出這個(gè)方程就行了。

這段墓志銘寫得太妙了。誰(shuí)想知道丟番圖的年紀(jì)，誰(shuí) 就得解一個(gè)一元一次方程；而這又正好提醒前來(lái)瞻仰的人 們，不要忘記了丟番圖獻(xiàn)身的事業(yè)。

在丟番圖之前，古希臘數(shù)學(xué)家習(xí)慣用幾何的觀點(diǎn)看待 遇到的所有數(shù)學(xué)問(wèn)題，而丟番圖則不然，他是古希臘第一 個(gè)大代數(shù)學(xué)家，喜歡用代數(shù)的方法來(lái)解決問(wèn)題?，F(xiàn)代解方程的基本步驟，如移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、，方程兩邊乘以同一因子等等，丟番圖都已知道了。他尤其擅長(zhǎng)解答不定方 程，發(fā)明了許多巧妙的方法，被西方數(shù)學(xué)家譽(yù)為這門數(shù)學(xué) 分支的開(kāi)山鼻祖。

丟番圖也是古希臘最后一個(gè)大數(shù)學(xué)家。遺憾的是，關(guān) 于他的生平。后人幾乎一無(wú)所知，既不知道他生于何地，也不知道他卒于何時(shí)。幸虧有了這段奇特的墓志銘，才知 道他曾享有84歲的高齡。

（2）希臘十字架問(wèn)題

圖上那只巨大的復(fù)活節(jié)彩蛋上有一個(gè)希臘十字架，從它引發(fā)出許多切割問(wèn)題，下面是其中的三個(gè)。

(a)將十字架圖形分成四塊，用它們拼成一個(gè)正方形;

有無(wú)限多種辦法把一個(gè)希臘十字架分成四塊，再把它們拼成一個(gè)正方形，下圖給出了其中的一個(gè)解法。奇妙的是，任何兩條切割直線，只要與圖上的直線分別平行，也可取得同樣的結(jié)果，分成的四塊東西總是能拼出一個(gè)正方形。

(b)將十字架圖形分成三塊，用它們拼成一個(gè)菱形;(c)將十字架圖形分成三塊，用它們拼成一個(gè)矩形，要求其 長(zhǎng)是寬的兩倍。

第二章

最完美的數(shù)

完美數(shù)又稱為完全數(shù),最初是由畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)的信徒發(fā)現(xiàn)的,他們注意到: 數(shù)6有一個(gè)特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和: 6=1+2+3，下一個(gè)具有同樣性質(zhì)的數(shù)是28, 28=1+2+4+7+14 接著是496和8128.他們稱這類數(shù)為完美數(shù).歐幾里德在大約公元前350-300年間證明了: 若2n-1是素?cái)?shù),則數(shù) 2n-1[2n-1](1)是完全數(shù).兩千年后,歐拉證明每個(gè)偶完全數(shù)都具有這種形式.這就在完全數(shù)與梅森數(shù)(形式為2n?1的素?cái)?shù))之間建立了緊密的聯(lián)系,到1999

年6月1日為止,共發(fā)現(xiàn)了38個(gè)梅森素?cái)?shù),這就是說(shuō)已發(fā)現(xiàn)了38個(gè)完全數(shù).1：完全數(shù)是非常奇特的數(shù),它們有一些特殊性質(zhì),例如每個(gè)完全數(shù)都是三角形數(shù),即都能寫成n(n+1)/2.6=1+2+3=3*4/2 28=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2 496=1+2+3+4+...+31=31*32/2....2(2-1)=1+2+3+...+(2-1)=(2-1)2/2 n-1n

n

n

n2：把它們(6除外)的各位數(shù)字相加,直到變成一位數(shù),那么這個(gè)一位數(shù)一定是1;它們都是連續(xù)奇數(shù)的立方和(6除外), 22(23-1)=28=13+33 2(2-1)=496=1+3+5+7

2(2-1)=8128=1+3+5+7+9+11+13+1

5....2n-1(2n-1)=13+33+53+...+(2(n+1)/2-1)3

3：除了因子1之外,每個(gè)完全數(shù)的所有因子(包括自身)的倒數(shù)和等于1,比如: 67

3453

31/2+1/3+1/6=1 1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1....4：完全數(shù)都是以6或8結(jié)尾的,如果以8結(jié)尾,那么就肯定是以28結(jié)尾.注意以上談到的完全數(shù)都是偶完全數(shù),至今仍然不知道有沒(méi)有奇完全數(shù),如果真的存在奇完全數(shù).第三章

有理數(shù)的巧算

有理數(shù)運(yùn)算是中學(xué)數(shù)學(xué)中一切運(yùn)算的基礎(chǔ)．它要求同學(xué)們?cè)诶斫庥欣頂?shù)的有關(guān)概念、法則的基礎(chǔ)上，能根據(jù)法則、公式等正確、迅速地進(jìn)行運(yùn)算．不僅如此，還要善于根據(jù)題目條件，將推理與計(jì)算相結(jié)合，靈活巧妙地選擇合理的簡(jiǎn)捷的算法解決問(wèn)題，從而提高運(yùn)算能力，發(fā)展思維的敏捷性與靈活性．

1．括號(hào)的使用

在代數(shù)運(yùn)算中，可以根據(jù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律，去掉或者添上括號(hào)，以此來(lái)改變運(yùn)算的次序，使復(fù)雜的問(wèn)題變得較簡(jiǎn)單．

例1 計(jì)算：

分析 中學(xué)數(shù)學(xué)中，由于負(fù)數(shù)的引入，符號(hào)“+”與“-”具有了雙重涵義，它既是表示加法與減法的運(yùn)算符號(hào)，也是表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的性質(zhì)符號(hào)．因此進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算時(shí)，一定要正確運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算法則，尤其是要注意去括號(hào)時(shí)符號(hào)的變化．

注意 在本例中的乘除運(yùn)算中，常常把小數(shù)變成分?jǐn)?shù)，把帶分?jǐn)?shù)變成假分?jǐn)?shù)，這樣便于計(jì)算．

例2 計(jì)算下式的值：

211×555+445×789+555×789+211×445．

分析 直接計(jì)算很麻煩，根據(jù)運(yùn)算規(guī)則，添加括號(hào)改變運(yùn)算次序，可使計(jì)算簡(jiǎn)單．本題可將第一、第四項(xiàng)和第二、第三項(xiàng)分別結(jié)合起來(lái)計(jì)算．

解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)

=211×(555+445)+(445+555)×789

=211×1000+1000×789

=1000×(211+789)

=1 000 000．

說(shuō)明 加括號(hào)的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數(shù)巧算中的常用技巧．

例3 在數(shù)1，2，3，?，1998前添符號(hào)“+”和“-”，并依次運(yùn)算，所得可能的最小非負(fù)數(shù)是多少？

分析與解 因?yàn)槿舾蓚€(gè)整數(shù)和的奇偶性，只與奇數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)，所以在1，2，3，?，1998之前任意添加符號(hào)“+”或“-”，不會(huì)改變和的奇偶性．在1，2，3，?，1998中有1998÷2個(gè)奇數(shù)，即有999個(gè)奇數(shù)，所以任意添加符號(hào)“+”或“-”之后，所得的代數(shù)和總為奇數(shù)，故最小非負(fù)數(shù)不小于1．

現(xiàn)考慮在自然數(shù)n，n+1，n+2，n+3之間添加符號(hào)“+”或“-”，顯然

n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．

這啟發(fā)我們將1，2，3，?，1998每連續(xù)四個(gè)數(shù)分為一組，再按上述規(guī)則添加符號(hào)，即

(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+?+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1． 所以，所求最小非負(fù)數(shù)是1．

說(shuō)明 本例中，添括號(hào)是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計(jì)算大大簡(jiǎn)化．

2．用字母表示數(shù)

我們先來(lái)計(jì)算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4 =1002-22．

這是一個(gè)對(duì)具體數(shù)的運(yùn)算，若用字母a代換100，用字母b代換2，上述運(yùn)算過(guò)程變?yōu)?/p>

(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．

于是我們得到了一個(gè)重要的計(jì)算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①

這個(gè)公式叫平方差公式，以后應(yīng)用這個(gè)公式計(jì)算時(shí)，不必重復(fù)公式的證明過(guò)程，可直接利用該公式計(jì)算．

例4 計(jì)算 3001×2999的值．

解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．

例5 計(jì)算 103×97×10 009的值．

解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．

例6 計(jì)算：

分析與解 直接計(jì)算繁．仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)分母中涉及到三個(gè)連續(xù)整數(shù)：12 345，12 346，12 347．可設(shè)字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母變?yōu)閚2-(n-1)(n+1)．應(yīng)用平方差公式化簡(jiǎn)得 n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．

例7 計(jì)算：

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．

分析 式子中2，22，24，?每一個(gè)數(shù)都是前一個(gè)數(shù)的平方，若在(2+1)前面有一個(gè)(2-1)，就可以連續(xù)遞進(jìn)地運(yùn)用(a+b)(a-b)=a2-b2了．

解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)

=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=??

=(232-1)(232+1)=264-1．

例8 計(jì)算：

分析 在前面的例題中，應(yīng)用過(guò)公式(a+b)(a-b)=a2-b2．

這個(gè)公式也可以反著使用，即 a2-b2=(a+b)(a-b)．

本題就是一個(gè)例子．

通過(guò)以上例題可以看到，用字母表示數(shù)給我們的計(jì)算帶來(lái)很大的益處．下面再看一個(gè)例題，從中可以看到用字母表示一個(gè)式子，也可使計(jì)算簡(jiǎn)化．

例9計(jì)算：

我們用一個(gè)字母表示它以簡(jiǎn)化計(jì)算．

． 觀察算式找規(guī)律

例10 某班20名學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)?nèi)缦?，?qǐng)計(jì)算他們的總分與平均分．

87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．

分析與解 若直接把20個(gè)數(shù)加起來(lái)，顯然運(yùn)算量較大，粗略地估計(jì)一下，這些數(shù)均在90上下，所以可取90為基準(zhǔn)數(shù)，大于90的數(shù)取“正”，小于90的數(shù)取“負(fù)”，考察這20個(gè)數(shù)與90的差，這樣會(huì)大大簡(jiǎn)化運(yùn)算．所以總分為

90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)

+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)

+2+5+(-2)

=1800-1=1799，平均分為 90+(-1)÷20=89.95．

例11 計(jì)算1+3+5+7+?+1997+1999的值．

分析 觀察發(fā)現(xiàn)：首先算式中，從第二項(xiàng)開(kāi)始，后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都等于2；其次算式中首末兩項(xiàng)之和與距首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都等于2000，于是可有如下解法．

解 用字母S表示所求算式，即 S=1+3+5+?+1997+1999． ①

再將S各項(xiàng)倒過(guò)來(lái)寫為 S=1999+1997+1995+?+3+1． ②

將①，②兩式左右分別相加，得

2S=(1+1999)+(3+1997)+?+(1997+3)+(1999+1)

=2000+2000+?+2000+2000(1000個(gè)2000)

=2000×1000．

從而有 S=1000 000．

說(shuō)明 一般地，一列數(shù)，如果從第二項(xiàng)開(kāi)始，后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都相等(本題3-1=5-3=7-5=?=1999-1997，都等于2)，那么，這列數(shù)的求和問(wèn)題，都可以用上例中的“倒寫相加”的方法解決．

例13 計(jì)算 1+5+52+53+?+599+5100的值．

分析 觀察發(fā)現(xiàn)，上式從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是它前面一項(xiàng)的5倍．如果將和式各項(xiàng)都乘以5，所得新和式中除個(gè)別項(xiàng)外，其余與原和式中的項(xiàng)相同，于是兩式相減將使差易于計(jì)算．

解 設(shè)

S=1+5+52+?+599+5100，①

所以

5S=5+52+53+?+5100+5101． ②

②—①得 4S=5101-1，說(shuō)明 如果一列數(shù)，從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比都相等(本例中是都等于5)，那么這列數(shù)的求和問(wèn)題，均可用上述“錯(cuò)位相減”法來(lái)解決．

例14 計(jì)算：

分析 一般情況下，分?jǐn)?shù)計(jì)算是先通分．本題通分計(jì)算將很繁，所以我們不但不通分，反而利用如下一個(gè)關(guān)系式

來(lái)把每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，然后再計(jì)算，這種方法叫做拆項(xiàng)法．

解 由于

所以

說(shuō)明 本例使用拆項(xiàng)法的目的是使總和中出現(xiàn)一些可以相消的相反數(shù)的項(xiàng)，這種方法在有理數(shù)巧算中很常用．

練習(xí)

1．計(jì)算下列各式的值：

(1)-1+3-5+7-9+11-?-1997+1999；

(2)11+12-13-14+15+16-17-18+?+99+100；

(3)1991×1999-1990×2000；

(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；

(6)1+4+7+?+244；

2．某小組20名同學(xué)的數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦?，試?jì)算他們的平均分．

81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．

第四章 歸納與發(fā)現(xiàn)

歸納的方法是認(rèn)識(shí)事物內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律性的一種重要思考方法，也是數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)命題與發(fā)現(xiàn)解題思路的一種重要手段．這里的歸納指的是常用的經(jīng)驗(yàn)歸納，也就是在求解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，首先從簡(jiǎn)單的特殊情況的觀察入手，取得一些局部的經(jīng)驗(yàn)結(jié)果，然后以這些經(jīng)驗(yàn)作基礎(chǔ)，分析概括這些經(jīng)驗(yàn)的共同特征，從而發(fā)現(xiàn)解題的一般途徑或新的命題的思考方法．下面舉幾個(gè)例題，以見(jiàn)一般．

例1 如圖2-99，有一個(gè)六邊形點(diǎn)陣，它的中心是一個(gè)點(diǎn)，算作第一層；第二層每邊有兩個(gè)點(diǎn)(相鄰兩邊公用一個(gè)點(diǎn))；第三層每邊有三個(gè)點(diǎn)，?這個(gè)六邊形點(diǎn)陣共有n層，試問(wèn)第n層有多少個(gè)點(diǎn)？這個(gè)點(diǎn)陣共有多少個(gè)點(diǎn)？

分析與解 我們來(lái)觀察點(diǎn)陣中各層點(diǎn)數(shù)的規(guī)律，然后歸納出點(diǎn)陣共有的點(diǎn)數(shù)．

第一層有點(diǎn)數(shù)：1；

第二層有點(diǎn)數(shù)：1×6； 第三層有點(diǎn)數(shù)：2×6； 第四層有點(diǎn)數(shù)：3×6；

??

第n層有點(diǎn)數(shù)：(n-1)×6.因此，這個(gè)點(diǎn)陣的第n層有點(diǎn)(n-1)×6個(gè)．n層共有點(diǎn)數(shù)為

例2 在平面上有過(guò)同一點(diǎn)P，并且半徑相等的n個(gè)圓，其中任何兩個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn)，任何三個(gè)圓除P點(diǎn)外無(wú)其他公共點(diǎn)，那么試問(wèn)：

(1)這n個(gè)圓把平面劃分成多少個(gè)平面區(qū)域？

(2)這n個(gè)圓共有多少個(gè)交點(diǎn)？

分析與解(1)在圖2-100中，設(shè)以P點(diǎn)為公共點(diǎn)的圓有1，2，3，4，5個(gè)(取這n個(gè)特定的圓)，觀察平面被它們所分割成的平面區(qū)域有多少個(gè)？為此，我們列出表18．1．

由表18．1易知

S2-S1=2，S3-S2＝3，S4-S3＝4，S5-S4＝5，??

由此，不難推測(cè)

Sn-Sn-1＝n．

把上面(n-1)個(gè)等式左、右兩邊分別相加，就得到

Sn-S1＝2＋3＋4＋?＋n，因?yàn)镾1=2，所以

Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1＋n的正確性略作說(shuō)明．

下面對(duì)

因?yàn)镾n-1為n-1個(gè)圓把平面劃分的區(qū)域數(shù)，當(dāng)再加上一個(gè)圓，即當(dāng)n個(gè)圓過(guò)定點(diǎn)P時(shí)，這個(gè)加上去的圓必與前n-1個(gè)圓相交，所以這個(gè)圓就被前n-1個(gè)圓分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1＋n．

(2)與(1)一樣，同樣用觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的方法來(lái)解決．為此，可列出表18．2．

由表18．2容易發(fā)現(xiàn)

a1＝1，a2-a1＝1，a3-a2＝2，a4-a3＝3，a5-a4＝4，?? an-1-an-2＝n-2，an-an-1＝n-1．

n個(gè)式子相加

注意 請(qǐng)讀者說(shuō)明an=an-1＋(n-1)的正確性．

例3 設(shè)a，b，c表示三角形三邊的長(zhǎng)，它們都是自然數(shù)，其中a≤b≤c，如果 b=n(n是自然數(shù))，試問(wèn)這樣的三角形有多少個(gè)？

分析與解 我們先來(lái)研究一些特殊情況：

(1)設(shè)b=n=1，這時(shí)b=1，因?yàn)閍≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，?．若c=1，則得到一個(gè)三邊都為1的等邊三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三邊c，這時(shí)不可能由a，b，c構(gòu)成三角形，可見(jiàn)，當(dāng)b=n=1時(shí)，滿足條件的三角形只有一個(gè)．

(2)設(shè)b=n=2，類似地可以列舉各種情況如表18．3．

這時(shí)滿足條件的三角形總數(shù)為：1+2=3．

(3)設(shè)b=n=3，類似地可得表18．4．

這時(shí)滿足條件的三角形總數(shù)為：1＋2＋3=6．

通過(guò)上面這些特例不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)b=n時(shí)，滿足條件的三角形總數(shù)為：

這個(gè)猜想是正確的．因?yàn)楫?dāng)b=n時(shí)，a可取n個(gè)值(1，2，3，?，n)，對(duì)應(yīng)于a的每個(gè)值，不妨設(shè)a=k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k個(gè)(n，n＋1，n＋2，?，n＋k-1)．所以，當(dāng)b=n時(shí)，滿足條件的三角形總數(shù)為：

例4 設(shè)1×2×3×?×n縮寫為n！(稱作n的階乘)，試化簡(jiǎn)：1！×＋2！×2＋3！×3＋?＋n！×n.分析與解 先觀察特殊情況：

(1)當(dāng)n=1時(shí)，原式=1=(1＋1)！-1；

(2)當(dāng)n=2時(shí)，原式=5=(2＋1)！-1；

(3)當(dāng)n=3時(shí)，原式=23=(3＋1)！-1；

(4)當(dāng)n=4時(shí)，原式=119=(4＋1)！-1．

由此做出一般歸納猜想：原式=(n+1)！-1.下面我們證明這個(gè)猜想的正確性．

1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3+?+n！×n)

=1！×2＋2！×2＋3！×3+?+n！×n 33 =2！+2！×2＋3！×3＋?+n！×n

=2！×3+3！×3+?＋n！×n

=3！+3！×3+?+n！×n＝?

=n！+n！×n=(n＋1)！，所以原式=(n+1)！-1.例5 設(shè)x＞0，試比較代數(shù)式x3和x2+x+2的值的大?。?/p>

分析與解 本題直接觀察，不好做出歸納猜想，因此可設(shè)x等于某些特殊值，代入兩式中做試驗(yàn)比較，或許能啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)解題思路．為此，設(shè)x=0，顯然有

x3＜x2+x+2．①

設(shè)x=10，則有x3=1000，x2+x＋2=112，所以

x3＞x2+x+2．②

設(shè)x=100，則有x3＞x2+x+2．

觀察、比較①，②兩式的條件和結(jié)論，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x值較小時(shí)，x3＜x2+x+2；當(dāng)x值較大時(shí)，x3＞x2+x+2．

那么自然會(huì)想到：當(dāng)x=？時(shí)，x3=x2+x+2呢？如果這個(gè)方程得解，則它很可能就是本題得解的“臨界點(diǎn)”．為此，設(shè)x3=x2＋x＋2，則

x3-x2-x-2＝0，(x3-x2-2x)＋(x-2)=0，(x-2)(x2+x+1)=0．

因?yàn)閤＞0，所以x2+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．這樣(1)當(dāng)x=2時(shí)，x3=x2+x+2；(2)當(dāng)0＜x＜2時(shí)，因?yàn)?/p>

x-2＜0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2＋x+2)＜0，x3-(x2＋x+2)＜0，所以 x3＜x2＋x＋2.(3)當(dāng)x＞2時(shí)，因?yàn)?/p>

x-2＞0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2+x+2)＞0，即

即

x3-(x2＋x＋2)＞0，所以 x3＞x2＋x＋2．

綜合歸納(1)，(2)，(3)，就得到本題的解答． 練習(xí)七

1．試證明例7中：

2．平面上有n條直線，其中沒(méi)有兩條直線互相平行(即每?jī)蓷l直線都相交)，也沒(méi)有三條或三條以上的直線通過(guò)同一點(diǎn)．試求：

(1)這n條直線共有多少個(gè)交點(diǎn)？

(2)這n條直線把平面分割為多少塊區(qū)域？

然后做出證明.)

3．求適合x5=656356768的整數(shù)x．

(提示：顯然x不易直接求出，但可注意其取值范圍：505＜656356768＜605，所以502＜x＜602．)

第五章 生活中的數(shù)學(xué)（儲(chǔ)蓄、保險(xiǎn)與納稅）

儲(chǔ)蓄、保險(xiǎn)、納稅是最常見(jiàn)的有關(guān)理財(cái)方面的數(shù)學(xué)問(wèn)題，幾乎人人都會(huì)遇到，因此，我們?cè)谶@一講舉例介紹有關(guān)這方面的知識(shí)，以增強(qiáng)理財(cái)?shù)淖晕冶Ｗo(hù)意識(shí)和處理簡(jiǎn)單財(cái)務(wù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)能力．

1．儲(chǔ)蓄

銀行對(duì)存款人付給利息，這叫儲(chǔ)蓄．存入的錢叫本金．一定存期(年、月或日)內(nèi)的利息對(duì)本金的比叫利率．本金加上利息叫本利和．

利息=本金×利率×存期，本利和=本金×(1+利率經(jīng)×存期)．

如果用p，r，n，i，s分別表示本金、利率、存期、利息與本利和，那么有

i=prn，s=p(1+rn)．

例1 設(shè)年利率為0.0171，某人存入銀行2000元，3年后得到利息多少元？本利和為多少元？

解 i=2000×0.0171×3=102.6(元)．

s=2000×(1+0.0171×3)=2102.6(元)．

答 某人得到利息102.6元，本利和為2102.6元．

以上計(jì)算利息的方法叫單利法，單利法的特點(diǎn)是無(wú)論存款多少年，利息都不加入本金．相對(duì)地，如果存款年限較長(zhǎng)，約定在每年的某月把利息加入本金，這就是復(fù)利法，即利息再生利息．目前我國(guó)銀行存款多數(shù)實(shí)行的是單利法．不過(guò)規(guī)定存款的年限越長(zhǎng)利率也越高．例如，1998年3月我國(guó)銀行公布的定期儲(chǔ)蓄人民幣的年利率如表22．1所示．

用復(fù)利法計(jì)算本利和，如果設(shè)本金是p元，年利率是r,存期是n年，那么若第1年到第n年的本利和分別是s1，s2,?，sn，則

s1=p(1+r)，s2=s1(1+r)=p(1+r)(1+r)=p(1+r)2，s3＝s2(1+r)=p(1+r)2(1+r)=p(1+r)3，??，sn=p(1+r)n．

例2 小李有20000元，想存入銀行儲(chǔ)蓄5年，可有幾種儲(chǔ)蓄方案，哪種方案獲利最多？

解 按表22．1的利率計(jì)算．

(1)連續(xù)存五個(gè)1年期，則5年期滿的本利和為

20000(1+0.0522)5≈25794(元)．

(2)先存一個(gè)2年期，再連續(xù)存三個(gè)1年期，則5年后本利和為

20000(1+0.0558×2)·(1+0.0522)3≈25898(元)．

(3)先連續(xù)存二個(gè)2年期，再存一個(gè)1年期，則5年后本利和為

20000(1+0.0558×2)2·(1+0.0552)≈26003(元)．

(4)先存一個(gè)3年期，再轉(zhuǎn)存一個(gè)2年期，則5年后的本利和為

20000(1＋0.0621×3)·(1+0.0558×2)≈26374(元)．

(5)先存一個(gè)3年期，然后再連續(xù)存二個(gè)1年期，則5年后本利和為

20000(1+0.0621×3)·(1+0.0522)2≈26268(元)．

(6)存一個(gè)5年期，則到期后本利和為

20000(1+0.0666×5)≈26660(元)．

顯然，第六種方案，獲利最多，可見(jiàn)國(guó)家所規(guī)定的年利率已經(jīng)充分考慮了你可能選擇的存款方案，利率是合理的．

2．保險(xiǎn)

保險(xiǎn)是現(xiàn)代社會(huì)必不可少的一種生活、生命和財(cái)產(chǎn)保護(hù)的金融事業(yè)．例如，火災(zāi)保險(xiǎn)就是由于火災(zāi)所引起損失的保險(xiǎn)，人壽保險(xiǎn)是由于人身意外傷害或養(yǎng)老的保險(xiǎn)，等等．下面舉兩個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例．

例3 假設(shè)一個(gè)小城鎮(zhèn)過(guò)去10年中，發(fā)生火災(zāi)情況如表22．2所示．

試問(wèn)：(1)設(shè)想平均每年在1000家中燒掉幾家？

(2)如果保戶投保30萬(wàn)元的火災(zāi)保險(xiǎn)，最低限度要交多少保險(xiǎn)費(fèi)保險(xiǎn)公司才不虧本？

解(1)因?yàn)?/p>

1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11(家)，365+371+385+395+412+418+430+435+440＋445=4096(家)．

11÷4096≈0.0026．

(2)300000×0.0026=780(元)．

答(1)每年在1000家中，大約燒掉2.6家．

(2)投保30萬(wàn)元的保險(xiǎn)費(fèi)，至少需交780元的保險(xiǎn)費(fèi)．

例4 財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)是常見(jiàn)的保險(xiǎn)．假定A種財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)是每投保1000元財(cái)產(chǎn)，要交3元保險(xiǎn)費(fèi)，保險(xiǎn)期為1年，期滿后不退保險(xiǎn)費(fèi)，續(xù)保需重新交費(fèi)．B種財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)是按儲(chǔ)蓄方式，每1000元財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)交儲(chǔ)蓄金25元，保險(xiǎn)一年．期滿后不論是否得到賠款均全額退還儲(chǔ)蓄金，以利息作為保險(xiǎn)費(fèi)．今有兄弟二人，哥哥投保8萬(wàn)元A種保險(xiǎn)一年，弟弟投保8萬(wàn)元B種保險(xiǎn)一年．試問(wèn)兄弟二人誰(shuí)投的保險(xiǎn)更合算些？(假定定期存款1年期利率為5.22％)

解 哥哥投保8萬(wàn)元A種財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)，需交保險(xiǎn)費(fèi)

80000÷1000×3=80×3=240(元)．

弟弟投保8萬(wàn)元B種財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)，按每1000元交25元保險(xiǎn)儲(chǔ)蓄金算，共交

80000÷1000×25=2000(元)，而2000元一年的利息為

2000×0.0522=104.4(元)．

兄弟二人相比較，弟弟少花了保險(xiǎn)費(fèi)約

240-104.4=135.60(元)．

因此，弟弟投的保險(xiǎn)更合算些．

3．納稅

納稅是每個(gè)公民的義務(wù)，對(duì)于每個(gè)工作人員來(lái)說(shuō)，除了工資部分按國(guó)家規(guī)定納稅外，個(gè)人勞務(wù)增收也應(yīng)納稅．現(xiàn)行勞務(wù)報(bào)酬納稅辦法有三種：

(1)每次取得勞務(wù)報(bào)酬不超過(guò)1000元的(包括1000元)，預(yù)扣率為3％，全額計(jì)稅．

(2)每次取得勞務(wù)報(bào)酬1000元以上、4000元以下，減除費(fèi)用800元后的余額，依照20％的比例稅率，計(jì)算應(yīng)納稅額．

(3)每次取得勞務(wù)報(bào)酬4000元以上的，減除20％的費(fèi)用后，依照20％的比例稅率，計(jì)算應(yīng)納稅額．

每次取得勞務(wù)報(bào)酬超過(guò)20000元的(暫略)．

由(1)，(2)，(3)的規(guī)定，我們?nèi)绻O(shè)個(gè)人每次勞務(wù)報(bào)酬為x元，y為相應(yīng)的納稅金額(元)，那么，我們可以寫出關(guān)于勞務(wù)報(bào)酬納稅的分段函數(shù)：

例5 小王和小張兩人一次共取得勞務(wù)報(bào)酬10000元，已知小王的報(bào)酬是小張的2倍多，兩人共繳納個(gè)人所得稅1560元，問(wèn)小王和小張各得勞務(wù)報(bào)酬多少元？

解 根據(jù)勞務(wù)報(bào)酬所得稅計(jì)算方法(見(jiàn)函數(shù)①)，從已知條件分析可知小王的收入超過(guò)4000元，而小張的收入在1000～4000之間，如果設(shè)小王的收入為x元，小張的收入為y元，則有方程組：

由①得y=10000-x，將之代入②得

x(1-20％)20％+(10000-x-800)20％=1560，化簡(jiǎn)、整理得

0.16x-0.2x+1840=1560，所以

0.04x=280，x=7000(元)．

則 y=10000-7000=3000(元)．

所以

答 小王收入7000元，小張收入3000元．

例6 如果對(duì)寫文章、出版圖書所獲稿費(fèi)的納稅計(jì)算方法是

其中y(x)表示稿費(fèi)為x元應(yīng)繳納的稅額．

那么若小紅的爸爸取得一筆稿費(fèi)，繳納個(gè)人所得稅后，得到6216元，問(wèn)這筆稿費(fèi)是多少元？

解 設(shè)這筆稿費(fèi)為x元，由于x＞4000，所以，根據(jù)相應(yīng)的納稅規(guī)定，有方程

x(1-20％)· 20％×(1-30％)=x-6216，化簡(jiǎn)、整理得

0.112x=x-6216，所以 0.888x=6216，所以 x=7000(元)．

答 這筆稿費(fèi)是7000元．

練習(xí)八

1．按下列三種方法，將100元存入銀行，10年后的本利和各是多少？(設(shè)1年期、3年期、5年期的年利率分別為5.22％，6.21％，6.66％保持不變)

(1)定期1年，每存滿1年，將本利和自動(dòng)轉(zhuǎn)存下一年，共續(xù)存10年；

(2)先連續(xù)存三個(gè)3年期，9年后將本利和轉(zhuǎn)存1年期，合計(jì)共存10年；

(3)連續(xù)存二個(gè)5年期．

2．李光購(gòu)買了25000元某公司5年期的債券，5年后得到本利和為40000元，問(wèn)這種債券的年利率是多少？

3．王芳取得一筆稿費(fèi)，繳納個(gè)人所得稅后，得到2580元，問(wèn)這筆稿費(fèi)是多少元？

4．把本金5000元存入銀行，年利率為0.0522，幾年后本利和為6566元(單利法)？

第六章

中外著名數(shù)學(xué)家

1、韋達(dá)（1540-1603），法國(guó)數(shù)學(xué)家。

年青時(shí)學(xué)習(xí)法律當(dāng)過(guò)律師，后從事政治活動(dòng)，當(dāng)過(guò)議會(huì)議員，在西班牙的戰(zhàn)爭(zhēng)中曾為政府破譯敵軍密碼。韋達(dá)還致力于數(shù)學(xué)研究，第一個(gè)有意識(shí)地和系統(tǒng)地使用字母來(lái)表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來(lái)了代數(shù)理論研究的重大進(jìn)步。韋達(dá)討論了方程根的多種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，韋達(dá)在歐洲被尊稱為“代數(shù)學(xué)之父”。1579年，韋達(dá)出版《應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定律》

2、帕斯卡（1623──1662年）是法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家．

16歲的時(shí)候就發(fā)現(xiàn)了著名的“帕斯卡定理”，即“圓錐曲線內(nèi)接六邊形的三組對(duì)邊的交點(diǎn)共線”，對(duì)射影幾何學(xué)作出了重要貢獻(xiàn)．19歲時(shí)，發(fā)明了一種能做加法和減法運(yùn)算的計(jì)算器，這是世界上第一臺(tái)機(jī)械式的計(jì)算機(jī)．他對(duì)連續(xù)不可分量、微分三角形、面積和重心等問(wèn)題的深入研究，對(duì)微積分學(xué)的建立起到了積極的作用．帕斯卡對(duì)數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)是創(chuàng)立概率論，為了解決概率論和組合分析方面的問(wèn)題，帕斯卡廣泛應(yīng)用了算術(shù)三角形（即二項(xiàng)式定理系數(shù)表，西方稱帕斯卡三角，我國(guó)稱賈憲三角或楊輝三角），并深入研究了二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)規(guī)律以及這個(gè)三角形的構(gòu)造及其許多有趣的性質(zhì)。帕斯卡在物理學(xué)方面提出了重要的“帕斯卡定律”。他所著《思想錄》和《致鄉(xiāng)人書》對(duì)法國(guó)散文的發(fā)展產(chǎn)生了重要的影響。

3、在數(shù)學(xué)史上，很難再找到如此年輕而如此有創(chuàng)見(jiàn)的數(shù)學(xué)家。他就是出生在法國(guó)的伽羅華（1811——1832）

伽羅華才華橫溢，思維敏捷，十七歲時(shí)就寫了一篇關(guān)于《五次方程代數(shù)解法》這個(gè)世界數(shù)學(xué)難題的論文，最先提出了近代數(shù)學(xué)的一個(gè)基本概念

——“群”?？墒沁@篇論文被法國(guó)科學(xué)院一位目空一切的數(shù)學(xué)家丟失了。次年，他又寫了幾篇數(shù)學(xué)論文送交法國(guó)科學(xué)院，不料主審人因車禍去世，論文也不知所蹤。再過(guò)兩年，他被近把自己的研究再次寫成簡(jiǎn)述，寄往法國(guó)科學(xué)，他去信尖銳地提醒權(quán)威們：“第一，不要因?yàn)槲医匈ち_化，第二，不要因?yàn)槲沂谴髮W(xué)生，”而“預(yù)先決定我對(duì)這個(gè)問(wèn)題無(wú)能為力?！痹谶@封咄咄逼人的書信面前，有兩位數(shù)學(xué)家不得不宣讀了他的研究簡(jiǎn)述，但隨即又以“完全不能理解”予以否定，其實(shí)，他們并沒(méi)有讀懂伽羅華的論文。

伽羅華二十一歲那年死于決斗。臨死前他對(duì)守在旁邊的弟弟說(shuō)：“不要忘了我，因?yàn)槊\(yùn)不讓我活到祖國(guó)知道我的名字的時(shí)候。”在決斗前夜，他給友人寫了著名的“科學(xué)遺囑”，其中充滿自信地說(shuō)：“我一行中不只一次敢于提出我沒(méi)有把握的命題，我期待著將來(lái)總會(huì)有人認(rèn)識(shí)到：解開(kāi)這個(gè)謎對(duì)雅可比和高斯是有好處的?！?/p>

他的預(yù)言成為現(xiàn)實(shí)，那是在三十八年他的六十頁(yè)厚的論文終于出版的時(shí)候，從此，他被認(rèn)為“群論”的奠基 人。

4、劉 徽

劉徽（生于公元250年左右），是中國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)非常偉大的數(shù)學(xué)家，在世界數(shù)學(xué)史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》，是我國(guó)最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)．

《九章算術(shù)》約成書于東漢之初，共有246個(gè)問(wèn)題的解法．在許多方面：如解聯(lián)立方程，分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算，正負(fù)數(shù)運(yùn)算，幾何圖形的體積面積計(jì)算等，都屬于世界先進(jìn)之列，但因解法比較原始，缺乏必要的證明，而劉徽則對(duì)此均作了補(bǔ)充證明．在這些證明中，顯示了他在多方面的創(chuàng)造性的

貢獻(xiàn)．他是世界上最早提出十進(jìn)小數(shù)概念的人，并用十進(jìn)小數(shù)來(lái)表示無(wú)理數(shù)的立方根．在代數(shù)方面，他正確地提出了正負(fù)數(shù)的概念及其加減運(yùn)算的法則；改進(jìn)了線性方程組的解法．在幾何方面，提出了“割圓術(shù)”，即將圓周用內(nèi)接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長(zhǎng)的方法．他利用割圓術(shù)科學(xué)地求出了圓周率π=3.14的結(jié)果．劉徽在割圓術(shù)中提出的“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣”，這可視為中國(guó)古代極限觀念的佳作．

《海島算經(jīng)》一書中，劉徽精心選編了九個(gè)測(cè)量問(wèn)題，這些題目的創(chuàng)造性、復(fù)雜性和富有代表性，都在當(dāng)時(shí)為西方所矚目．

劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀．他是我國(guó)最早明確主張用邏輯推理的方式來(lái)論證數(shù)學(xué)命題的人．

劉徽的一生是為數(shù)學(xué)刻苦探求的一生．他雖然地位低下，但人格高尚．他不是沽名釣譽(yù)的庸人，而是學(xué)而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財(cái)富．

5、賈 憲

賈憲，中國(guó)古代北宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家。曾撰寫的《黃帝九章算法細(xì)草》（九卷）和《算法斆古集》（二卷）（斆xiào，意：數(shù)導(dǎo)）均已失傳。

他的主要貢獻(xiàn)是創(chuàng)造了“賈憲三角”和增乘開(kāi)方法，增乘開(kāi)方法即求高次冪的正根法。目前中學(xué)數(shù)學(xué)中的混合除法，其原理和程序均與此相仿，增乘開(kāi)方法比傳統(tǒng)的方法整齊簡(jiǎn)捷、又更程序化，所以在開(kāi)高次方時(shí)，尤其顯出它的優(yōu)越性，這個(gè)方法的提出要比歐洲數(shù)學(xué)家霍納的結(jié)論早七百多年。

6、秦九韶

秦九韶（約1202--1261），字道古，四川安岳人。先后在湖北，安徽，江蘇，浙江等地做官，1261年左右被貶至梅州，（今廣東梅縣），不久死于任所。他與李冶，楊輝，朱世杰并稱宋元數(shù)學(xué)四大家。早年在杭州“訪習(xí)于太史，又嘗從隱君子受數(shù)學(xué)”，1247年寫成著名的《數(shù)書九章》?！稊?shù)書九章》全書凡18卷，81題，分為九大類。其最重要的數(shù)學(xué)成就----“大衍總數(shù)術(shù)”（一次同余組解法）與“正負(fù)開(kāi)方術(shù)"(高次方程數(shù)值解法），使這部宋代算經(jīng)在中世紀(jì)世界數(shù)學(xué)史上占有突出的地位。

7、李冶

李冶(1192----1279)，原名李治，號(hào)敬齋，金代真定欒城人，曾任鈞州（今河南禹縣）知事，1232年鈞州被蒙古軍所破，遂隱居治學(xué)，被元世祖忽必烈聘為翰林學(xué)士，僅一年，便辭官回鄉(xiāng)。1248年撰成《測(cè)圓海鏡》，其主要目的是說(shuō)明用天元術(shù)列方程的方法?！疤煸g(shù)”與現(xiàn)代代數(shù)中的列方程法相類似，“立天元一為某某”，相當(dāng)于“設(shè)x為某某“，可以說(shuō)是符號(hào)代數(shù)的嘗試。李冶還有另一步數(shù)學(xué)著作《益古演段》（1259）也是講解天元術(shù)的。

8、朱世杰

朱世杰（1300前后），字漢卿，號(hào)松庭，寓居燕山（今北京附近），“以數(shù)學(xué)名家周游湖海二十余年”，“踵門而學(xué)者云集”(莫若、祖頤：《四元玉鑒》

后序）。朱世杰數(shù)學(xué)代表作有《算學(xué)啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》（1303）。《算術(shù)啟蒙》是一部通俗數(shù)學(xué)名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數(shù)學(xué)的發(fā)展。《四元玉鑒》則是中國(guó)宋元數(shù)學(xué)高峰的又一個(gè)標(biāo)志，其中最杰出的數(shù)學(xué)創(chuàng)造有“四元術(shù)”（多元高次方程列式與消元解法）、“垛積術(shù)”（高階等差數(shù)列求和）與“招差術(shù)”（高次內(nèi)插法）．

9、祖沖之

祖沖之（公元429～500年）祖籍是現(xiàn)今河北省淶源縣，他是南北朝時(shí)代的一位杰出科學(xué)家。他不僅是一位數(shù)學(xué)家，同時(shí)還通曉天文歷法、機(jī)械制造、音樂(lè)等領(lǐng)域，并且是一位天文學(xué)家。

祖沖之在數(shù)學(xué)方面的主要成就是關(guān)于圓周率的計(jì)算，他算出的圓周率為3.1415926<π<3.1415927，這一結(jié)果的重要意義在于指出誤差的范圍，是當(dāng)時(shí)世界最杰出的成就。祖沖之確定了兩個(gè)形式的π值，約率355/173(≈3.1415926）密率22/7(≈3.14)，這兩個(gè)數(shù)都是π的漸近分?jǐn)?shù)。

10、祖 暅

祖暅，祖沖之之子，同其父祖沖之一起圓滿解決了球面積的計(jì)算問(wèn)題，得到正確的體積公式。現(xiàn)行教材中著名的“祖暅原理”，在公元五世紀(jì)可謂祖暅對(duì)世界杰出的貢獻(xiàn)。

11、楊輝

楊輝，中國(guó)南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。在13世紀(jì)中葉活動(dòng)于蘇杭一帶，其著作甚多。

第三篇：初中數(shù)學(xué)興趣小組校本教材

初中數(shù)學(xué)校本教材

———— 《校本課程》序言

一、把握數(shù)學(xué)的生活性——“使教學(xué)有生活味”

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“數(shù)學(xué)可以幫助人們更好地探求客觀世界的規(guī)律，并對(duì)現(xiàn)代社會(huì)中大量紛繁復(fù)雜的信息作出恰當(dāng)?shù)倪x擇和判斷，進(jìn)而解決問(wèn)題，直接為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值”。這說(shuō)明數(shù)學(xué)來(lái)源于社會(huì)，同時(shí)也反作用于社會(huì)，社會(huì)生活與數(shù)學(xué)關(guān)系密切，它已經(jīng)滲透到生活的每個(gè)方面，我們的衣食住行都離不開(kāi)它。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)論認(rèn)為：數(shù)學(xué)源于生活，又運(yùn)用于生活，生活中充滿數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)教育寓于生活實(shí)際。有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生溝通生活中的具體問(wèn)題與有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的聯(lián)系，借助學(xué)生熟悉的生活實(shí)際中的具體事例，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的求知欲，幫助學(xué)生更好的理解和掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，并運(yùn)用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

二、把握數(shù)學(xué)的美育性——“使教學(xué)有韻味”

數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨(dú)特的創(chuàng)作。音樂(lè)能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切?！?美作為現(xiàn)實(shí)的事物和現(xiàn)象，物質(zhì)產(chǎn)品和精神產(chǎn)品、藝術(shù)作品等屬性總和，具有：勻稱性、比例性、和諧性、色彩變幻、鮮明性和新穎性。作為精神產(chǎn)品的數(shù)學(xué)就具有上述美的特點(diǎn)。

簡(jiǎn)練、精確是數(shù)學(xué)的美。數(shù)學(xué)的基本定理說(shuō)法簡(jiǎn)約，卻又涵蓋真理，讓人閱讀簡(jiǎn)便卻又印象深刻。數(shù)學(xué)語(yǔ)言是如此慎重的、有意的而且經(jīng)常是精心設(shè)計(jì)的，憑借數(shù)學(xué)語(yǔ)言的嚴(yán)密性和簡(jiǎn)潔性，我們就可以表達(dá)和研究數(shù)學(xué)思想，這種簡(jiǎn)潔性有助于思維的效率。

數(shù)學(xué)很講究它的邏輯美。數(shù)學(xué)的應(yīng)用是被人們廣泛認(rèn)同的，可學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)還能訓(xùn)練人的邏輯思維能力。尤其是幾何的證明講究前因后果，每一步都要前后呼應(yīng)，抽象的數(shù)學(xué)也顯示它模糊的美。抽象給我們想象的余地，讓我們思維海闊天空，給學(xué)生留有了思索和創(chuàng)新的空間。抽象的數(shù)學(xué)不正展示它的魅力嗎？

數(shù)學(xué)上有很多知識(shí)是和對(duì)稱有關(guān)的。對(duì)稱給人協(xié)調(diào)，平穩(wěn)的感覺(jué)，象圓，正方體等，它們的形式是如此的勻稱優(yōu)美。正是由于幾何圖形中有這些點(diǎn)對(duì)稱、線對(duì)稱、面對(duì)稱，才構(gòu)成了美麗的圖案，精美的建筑，巧奪天工的生活世界，也才給我們帶來(lái)豐富的自然美，多彩的生活美。

中學(xué)數(shù)學(xué)的美育性，除了上述一些方面，還有其它美妙的地方，只要我們用心挖掘和捕捉，就會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)蘊(yùn)涵著如此豐富的美的因素，教師要善于挖掘美的素材，在學(xué)生感受美的同時(shí)既提高教學(xué)質(zhì)量，又使教學(xué)韻味深厚。

第一章

興趣數(shù)學(xué)

第一節(jié)七橋問(wèn)題（一筆畫問(wèn)題）

18世紀(jì)時(shí)，歐洲有一個(gè)風(fēng)景秀麗的小城哥尼斯堡，那里有七座橋。如圖1所示：河中的小島A與河的 左岸B、右岸C各有兩座橋相連結(jié)，河中兩支流間 的陸地D與A、B、C各有一座橋相連結(jié)。當(dāng)時(shí)哥尼 斯堡的居民中流傳著一道難題：一個(gè)人怎樣才能一次 走遍七座橋，每座橋只走過(guò)一次，最后回到出發(fā)點(diǎn)？ 大家都試圖找出問(wèn)題的答案，但是誰(shuí)也解決不了這個(gè) 問(wèn)題。

七橋問(wèn)題引起了著名數(shù)學(xué)家歐拉（1707—1783）的關(guān)注。他把具體七橋布局化歸為圖所示的簡(jiǎn)單圖形，于是，七橋問(wèn)題就變成一個(gè)一筆畫問(wèn)題：怎樣才能從A、B、C、D中的某一點(diǎn)出發(fā)，一筆畫出這個(gè)簡(jiǎn)單圖形（即筆不離開(kāi)紙，而且a、b、c、d、e、f、g各條線 只畫一次不準(zhǔn)重復(fù)），并且最后返回起點(diǎn)？

歐拉經(jīng)過(guò)研究得出的結(jié)論是：圖是不能一筆畫出的圖形。這就是說(shuō)，七橋問(wèn)題是無(wú)解的。這個(gè)結(jié)論是如何產(chǎn)生呢？ 如果我們從某點(diǎn)出發(fā)，一筆畫出了某個(gè)圖形，到某一點(diǎn)終止，那么除起點(diǎn)和終點(diǎn)外，畫筆每經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)一次，總有畫進(jìn)該點(diǎn)的一條線和畫出該點(diǎn)的一條線，因此就有兩條線與該點(diǎn)相連結(jié)。如果畫筆經(jīng)過(guò)一個(gè)n次，那么就有2n條線與該點(diǎn)相連結(jié)。因此，這個(gè)圖形中除起點(diǎn)與終點(diǎn)外的各點(diǎn)，都與偶數(shù)條線相連。

如果起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，那么這個(gè)點(diǎn)也與偶數(shù)條線相連；如果起點(diǎn)和終點(diǎn)是不同的兩個(gè)點(diǎn)，那么這兩個(gè)點(diǎn)部是與奇數(shù)條線相連的點(diǎn)。

綜上所述，一筆畫出的圖形中的各點(diǎn)或者都是與偶數(shù)條線相連的點(diǎn)，或者其中只有兩個(gè)點(diǎn)與奇數(shù)條線相連。

圖2中的A點(diǎn)與5條線相連結(jié)，B、C、D各點(diǎn)各與3條線相連結(jié)，圖中有4個(gè)與奇數(shù)條線相連的點(diǎn)，所以不論是否要求起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，都不能一筆畫出這個(gè)圖形。

歐拉定理 ：

如果一個(gè)圖是連通的并且奇頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于0或2，那么它可以一筆畫出；否則它不可以一筆畫出。

練習(xí)：你能筆尖不離紙，一筆畫出下面的每個(gè)圖形嗎？試試看。（不走重復(fù)線路）圖例1

圖例2

圖例3

圖例4

2四色問(wèn)題

人人都熟悉地圖，可是繪制一張普通的政區(qū)圖，至少需要幾種顏色，才能把相鄰的政區(qū)或區(qū)域通過(guò)不同的顏色區(qū)分開(kāi)來(lái)，就未必是一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題了。

這個(gè)地圖著色問(wèn)題，是一個(gè)著名的數(shù)學(xué)難題。大家不妨用一張中國(guó)政區(qū)圖來(lái)試一試，無(wú)論從哪里開(kāi)始著色，至少都要用上四種顏色，才能把所有省份都區(qū)別開(kāi)來(lái)。所以，很早的時(shí)候就有數(shù)學(xué)家猜想：“任何地圖的著色，只需四種顏色就足夠了?！边@就是“四色問(wèn)題”這個(gè)名稱的由來(lái)。

四色問(wèn)題又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。

四色問(wèn)題的內(nèi)容是：“任何一張地圖只用四種顏色就能 使具有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色?！庇脭?shù)學(xué)語(yǔ)言表示，即“將平面任意地細(xì)分為不相重迭的區(qū)域，每一個(gè)區(qū)域總可 以用1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字之一來(lái)標(biāo)記，而不會(huì)使相鄰 的兩個(gè)區(qū)域得到相同的數(shù)字。”（右圖）

這里所指的相鄰區(qū)域，是指有一整段邊界是公共的。如果兩個(gè)區(qū)域只相遇于一點(diǎn)或有限多點(diǎn)，就不叫相鄰的。因?yàn)橛孟嗤念伾o它們著色不會(huì)引起混淆。

數(shù)學(xué)史上正式提出“四色問(wèn)題”的時(shí)間是在1852年。當(dāng)時(shí)倫敦的大學(xué)的一名學(xué)生法朗西斯向他的老師、著名數(shù)學(xué)家、倫敦大學(xué)數(shù)學(xué)教授莫根提出了這個(gè)問(wèn)題，可是莫根無(wú)法解答，求助于其它數(shù)學(xué)家，也沒(méi)有得到答案。于是從那時(shí)起，這個(gè)問(wèn)題便成為數(shù)學(xué)界的一個(gè)“懸案”。

一直到二十年前的1976年9月，《美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)通告》正式宣布了一件震撼全球數(shù)學(xué)界的消息：美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩位教授阿貝爾和哈根，利用電子計(jì)算機(jī)證明了“四色問(wèn)題”這個(gè)猜想是完全正確的！他們將普通地圖的四色問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2000個(gè)特殊圖的四色問(wèn)題，然后在電子計(jì)算機(jī)上計(jì)算了足足1200個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，最后成功地證明了四色問(wèn)題,轟動(dòng)了世界。

這是一百多年來(lái)吸引許多數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)愛(ài)好者的大事，當(dāng)兩位數(shù)學(xué)家將他們的研究成果發(fā)表的時(shí)候，當(dāng)?shù)氐泥]局在當(dāng)天發(fā)出的所有郵件上都加蓋了“四色足夠”的特制郵戳，以慶祝這一難題獲得解決。2 麥比烏斯帶

每一張紙均有兩個(gè)面和封閉曲線狀的棱(edge)，如果有一張紙它有一條棱而且只有一個(gè)面，使得一只螞蟻能夠不越過(guò)棱就可從紙上的任何一點(diǎn)到達(dá)其他任何一點(diǎn)，這有可能嗎?事實(shí)上是可能的只要把一條紙帶半扭轉(zhuǎn)，再把兩頭貼上就行了。這是德國(guó)數(shù)學(xué)家麥比烏斯(M?bius.A.F 1790-1868)在1858年發(fā)現(xiàn)的，自此以後那種帶就以他的名字命名，稱為麥比烏斯帶。有了這種玩具使得一支數(shù)學(xué)的分支拓樸學(xué)得以蓬勃發(fā)展。

3分割圖形

分割圖形是使我們的頭腦靈活，增強(qiáng)觀察能力的一種有趣的游戲。

我們先來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單的分割圖形的題目──分割正方形。在正方形內(nèi)用4條線段作“井”字形分割，可以把正方形分 成大小相等的9塊，這種圖形我們常稱為九宮格。

用4條線段還可以把一個(gè)正方形分成10塊，只是和九宮格不同的是，每塊的大小不一定都相等。那么，怎樣才能用4條線段把正方形分成10塊呢？請(qǐng)你先動(dòng)腦筋想想，在動(dòng)腦的同時(shí)還要?jiǎng)邮之嬕划?其實(shí)，正方形是不難分割成10塊的，下面就是其中兩種分割方法。

練習(xí)：想一想，用4條線段能將正方形分成11塊嗎？應(yīng)該怎樣分？

5數(shù)學(xué)故事

（1）奇特的墓志銘

在大數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上，鐫刻著一個(gè)有趣的幾 何圖形：一個(gè)圓球鑲嵌在一個(gè)圓柱內(nèi)。相傳，它是阿基米 德生前最為欣賞的一個(gè)定理。

在數(shù)學(xué)家魯?shù)婪虻哪贡?，則鐫刻著圓周率π的35位 數(shù)值。這個(gè)數(shù)值被叫做?！濒?shù)婪驍?shù)”。它是魯?shù)婪虍吷难?的結(jié)晶。

大數(shù)學(xué)家高斯曾經(jīng)表示，在他去世以后，希望人們?cè)谒?的墓碑上刻上一個(gè)正17邊形。因?yàn)樗窃谕瓿闪苏?7邊形 的尺規(guī)作圖后，才決定獻(xiàn)身于數(shù)學(xué)研究的……

不過(guò)，最奇特的墓志銘，卻是屬于古希臘數(shù)學(xué)家丟番 圖的。他的墓碑上刻著一道謎語(yǔ)般的數(shù)學(xué)題： “過(guò)路人，這座石墓里安葬著丟番圖。他生命的1／6 是幸福的童年，生命的1／12是青少年時(shí)期。又過(guò)了生命 的 1／ 7他才結(jié)婚?；楹?5年有了一個(gè)孩子，孩子活到他 父親一半的年紀(jì)便死去了。孩子死后，丟番圖在深深的悲 哀中又活了4年，也結(jié)束了塵世生涯。過(guò)路人，你知道丟 番圖的年紀(jì)嗎？” 丟番圖的年紀(jì)究竟有多大呢？

設(shè)他活了X歲，依題意可列出方程。這樣，要知道丟番圖的年紀(jì)，只要解出這個(gè)方程就行了。這段墓志銘寫得太妙了。誰(shuí)想知道丟番圖的年紀(jì)，誰(shuí) 就得解一個(gè)一元一次方程；而這又正好提醒前來(lái)瞻仰的人 們，不要忘記了丟番圖獻(xiàn)身的事業(yè)。

在丟番圖之前，古希臘數(shù)學(xué)家習(xí)慣用幾何的觀點(diǎn)看待 遇到的所有數(shù)學(xué)問(wèn)題，而丟番圖則不然，他是古希臘第一 個(gè)大代數(shù)學(xué)家，喜歡用代數(shù)的方法來(lái)解決問(wèn)題。現(xiàn)代解方程的基本步驟，如移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、，方程兩邊乘以同一因子等等，丟番圖都已知道了。他尤其擅長(zhǎng)解答不定方 程，發(fā)明了許多巧妙的方法，被西方數(shù)學(xué)家譽(yù)為這門數(shù)學(xué) 分支的開(kāi)山鼻祖。

丟番圖也是古希臘最后一個(gè)大數(shù)學(xué)家。遺憾的是，關(guān) 于他的生平。后人幾乎一無(wú)所知，既不知道他生于何地，也不知道他卒于何時(shí)。幸虧有了這段奇特的墓志銘，才知 道他曾享有84歲的高齡。

（2）希臘十字架問(wèn)題

圖上那只巨大的復(fù)活節(jié)彩蛋上有一個(gè)希臘十字架，從它引發(fā)出許多切割問(wèn)題，下面是其中的三個(gè)。(a)將十字架圖形分成四塊，用它們拼成一個(gè)正方形;

有無(wú)限多種辦法把一個(gè)希臘十字架分成四塊，再把它們 拼成一個(gè)正方形，下圖給出了其中的一個(gè)解法。奇妙的 是，任何兩條切割直線，只要與圖上的直線分別平行，也可取得同樣的結(jié)果，分成的四塊東西總是能拼出一個(gè) 正方形。

(b)將十字架圖形分成三塊，用它們拼成一個(gè)菱形;(c)將十字架圖形分成三塊，用它們拼成一個(gè)矩形，要求其 長(zhǎng)是寬的兩倍。

第二章

最完美的數(shù)

完美數(shù)又稱為完全數(shù),最初是由畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)的信徒發(fā)現(xiàn)的,他們注意到: 數(shù)6有一個(gè)特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和: 6=1+2+3，下一個(gè)具有同樣性質(zhì)的數(shù)是28, 28=1+2+4+7+14 接著是496和8128.他們稱這類數(shù)為完美數(shù).歐幾里德在大約公元前350-300年間證明了: 若2n-1是素?cái)?shù),則數(shù) 2n-1[2n-1](1)是完全數(shù).兩千年后,歐拉證明每個(gè)偶完全數(shù)都具有這種形式.這就在完全數(shù)與梅森數(shù)(形式為

2n?1的素?cái)?shù))之間建立了緊密的聯(lián)系,到1999年6月1日為止,共發(fā)現(xiàn)了38個(gè)梅森素?cái)?shù),這就是說(shuō)已發(fā)現(xiàn)了38個(gè)完全數(shù).1：完全數(shù)是非常奇特的數(shù),它們有一些特殊性質(zhì),例如每個(gè)完全數(shù)都是三角形數(shù),即都能寫成n(n+1)/2.6=1+2+3=3*4/2 28=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2 496=1+2+3+4+...+31=31*32/2....2(2-1)=1+2+3+...+(2-1)=(2-1)2/2 n-1n

n

n

n2：把它們(6除外)的各位數(shù)字相加,直到變成一位數(shù),那么這個(gè)一位數(shù)一定是1;它們都是連續(xù)奇數(shù)的立方和(6除外)，22(23-1)=28=13+33 24(25-1)=496=13+33+53+73

26(27-1)=8128=13+33+53+73+93+113+133+1

53....2n-1(2n-1)=13+33+53+...+(2(n+1)/2-1)3

3：除了因子1之外,每個(gè)完全數(shù)的所有因子(包括自身)的倒數(shù)和等于1,比如: 1/2+1/3+1/6=1 1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1....4：完全數(shù)都是以6或8結(jié)尾的,如果以8結(jié)尾,那么就肯定是以28結(jié)尾.注意以上談到的完全數(shù)都是偶完全數(shù),至今仍然不知道有沒(méi)有奇完全數(shù),如果真的存在奇完全數(shù).第三章

有理數(shù)的巧算

有理數(shù)運(yùn)算是中學(xué)數(shù)學(xué)中一切運(yùn)算的基礎(chǔ)．它要求同學(xué)們?cè)诶斫庥欣頂?shù)的有關(guān)概念、法則的基礎(chǔ)上，能根據(jù)法則、公式等正確、迅速地進(jìn)行運(yùn)算．不僅如此，還要善于根據(jù)題目條件，將推理與計(jì)算相結(jié)合，靈活巧妙地選擇合理的簡(jiǎn)捷的算法解決問(wèn)題，從而提高運(yùn)算能力，發(fā)展思維的敏捷性與靈活性．

1．括號(hào)的使用

在代數(shù)運(yùn)算中，可以根據(jù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律，去掉或者添上括號(hào)，以此來(lái)改變運(yùn)算的次序，使復(fù)雜的問(wèn)題變得較簡(jiǎn)單．

例1 計(jì)算：

分析 中學(xué)數(shù)學(xué)中，由于負(fù)數(shù)的引入，符號(hào)“+”與“-”具有了雙重涵義，它既是表示加法與減法的運(yùn)算符號(hào)，也是表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的性質(zhì)符號(hào)．因此進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算時(shí)，一定要正確運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算法則，尤其是要注意去括號(hào)時(shí)符號(hào)的變化．

注意 在本例中的乘除運(yùn)算中，常常把小數(shù)變成分?jǐn)?shù)，把帶分?jǐn)?shù)變成假分?jǐn)?shù)，這樣便于計(jì)算．

例2 計(jì)算下式的值：

211×555+445×789+555×789+211×445．

分析 直接計(jì)算很麻煩，根據(jù)運(yùn)算規(guī)則，添加括號(hào)改變運(yùn)算次序，可使計(jì)算簡(jiǎn)單．本題可將第一、第四項(xiàng)和第二、第三項(xiàng)分別結(jié)合起來(lái)計(jì)算．

解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)

=211×(555+445)+(445+555)×789

=211×1000+1000×789

=1000×(211+789)

=1 000 000．

說(shuō)明 加括號(hào)的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數(shù)巧算中的常用技巧． 例3 在數(shù)1，2，3，?，1998前添符號(hào)“+”和“-”，并依次運(yùn)算，所得可能的最小非負(fù)數(shù)是多少？

分析與解 因?yàn)槿舾蓚€(gè)整數(shù)和的奇偶性，只與奇數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)，所以在1，2，3，?，1998之前任意添加符號(hào)“+”或“-”，不會(huì)改變和的奇偶性．在1，2，3，?，1998中有1998÷2個(gè)奇數(shù)，即有999個(gè)奇數(shù)，所以任意添加符號(hào)“+”或“-”之后，所得的代數(shù)和總為奇數(shù)，故最小非負(fù)數(shù)不小于1．

現(xiàn)考慮在自然數(shù)n，n+1，n+2，n+3之間添加符號(hào)“+”或“-”，顯然

n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．

這啟發(fā)我們將1，2，3，?，1998每連續(xù)四個(gè)數(shù)分為一組，再按上述規(guī)則添加符號(hào)，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+?+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1． 所以，所求最小非負(fù)數(shù)是1．

說(shuō)明 本例中，添括號(hào)是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計(jì)算大大簡(jiǎn)化．

2．用字母表示數(shù)

我們先來(lái)計(jì)算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4 =1002-22．

這是一個(gè)對(duì)具體數(shù)的運(yùn)算，若用字母a代換100，用字母b代換2，上述運(yùn)算過(guò)程變?yōu)?a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．

于是我們得到了一個(gè)重要的計(jì)算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①

這個(gè)公式叫平方差公式，以后應(yīng)用這個(gè)公式計(jì)算時(shí)，不必重復(fù)公式的證明過(guò)程，可直接利用該公式計(jì)算．

例4 計(jì)算 3001×2999的值．

解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．

例5 計(jì)算 103×97×10 009的值．

解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．

例6 計(jì)算：

分析與解 直接計(jì)算繁．仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)分母中涉及到三個(gè)連續(xù)整數(shù)：12 345，12 346，12 347．可設(shè)字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母變?yōu)閚2-(n-1)(n+1)．應(yīng)用平方差公式化簡(jiǎn)得 n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．

例7 計(jì)算：

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．

分析 式子中2，22，24，?每一個(gè)數(shù)都是前一個(gè)數(shù)的平方，若在(2+1)前面有一個(gè)(2-1)，就可以連續(xù)遞進(jìn)地運(yùn)用(a+b)(a-b)=a2-b2了．

解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)

=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=??

=(232-1)(232+1)=264-1．

例8 計(jì)算：

分析 在前面的例題中，應(yīng)用過(guò)公式(a+b)(a-b)=a2-b2．

這個(gè)公式也可以反著使用，即 a2-b2=(a+b)(a-b)．

本題就是一個(gè)例子．

通過(guò)以上例題可以看到，用字母表示數(shù)給我們的計(jì)算帶來(lái)很大的益處．下面再看一個(gè)例題，從中可以看到用字母表示一個(gè)式子，也可使計(jì)算簡(jiǎn)化．

例9計(jì)算：

我們用一個(gè)字母表示它以簡(jiǎn)化計(jì)算．

1． 觀察算式找規(guī)律

例10 某班20名學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)?nèi)缦拢?qǐng)計(jì)算他們的總分與平均分．

87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．

分析與解 若直接把20個(gè)數(shù)加起來(lái)，顯然運(yùn)算量較大，粗略地估計(jì)一下，這些數(shù)均在90上下，所以可取90為基準(zhǔn)數(shù)，大于90的數(shù)取“正”，小于90的數(shù)取“負(fù)”，考察這20個(gè)數(shù)與90的差，這樣會(huì)大大簡(jiǎn)化運(yùn)算．所以總分為

90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)

+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)

+2+5+(-2)

=1800-1=1799，平均分為 90+(-1)÷20=89.95．

例11 計(jì)算1+3+5+7+?+1997+1999的值．

分析 觀察發(fā)現(xiàn)：首先算式中，從第二項(xiàng)開(kāi)始，后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都等于2；其次算式中首末兩項(xiàng)之和與距首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都等于2000，于是可有如下解法．

解 用字母S表示所求算式，即 S=1+3+5+?+1997+1999． ①

再將S各項(xiàng)倒過(guò)來(lái)寫為 S=1999+1997+1995+?+3+1． ②

將①，②兩式左右分別相加，得

2S=(1+1999)+(3+1997)+?+(1997+3)+(1999+1)

=2000+2000+?+2000+2000(1000個(gè)2000)

=2000×1000．

從而有 S=1000 000．

說(shuō)明 一般地，一列數(shù)，如果從第二項(xiàng)開(kāi)始，后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都相等(本題3-1=5-3=7-5=?=1999-1997，都等于2)，那么，這列數(shù)的求和問(wèn)題，都可以用上例中的“倒寫相加”的方法解決．

例13 計(jì)算 1+5+52+53+?+599+5100的值．

分析 觀察發(fā)現(xiàn)，上式從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是它前面一項(xiàng)的5倍．如果將和式各項(xiàng)都乘以5，所得新和式中除個(gè)別項(xiàng)外，其余與原和式中的項(xiàng)相同，于是兩式相減將使差易于計(jì)算．

解 設(shè)

S=1+5+52+?+599+5100，①

所以

5S=5+52+53+?+5100+5101． ②

②—①得 4S=5101-1，說(shuō)明 如果一列數(shù)，從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比都相等(本例中是都等于5)，那么這列數(shù)的求和問(wèn)題，均可用上述“錯(cuò)位相減”法來(lái)解決．

例14 計(jì)算：

分析 一般情況下，分?jǐn)?shù)計(jì)算是先通分．本題通分計(jì)算將很繁，所以我們不但不通分，反而利用如下一個(gè)關(guān)系式

來(lái)把每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，然后再計(jì)算，這種方法叫做拆項(xiàng)法．

解 由于

所以

說(shuō)明 本例使用拆項(xiàng)法的目的是使總和中出現(xiàn)一些可以相消的相反數(shù)的項(xiàng)，這種方法在有理數(shù)巧算中很常用．

練習(xí)

1．計(jì)算下列各式的值：

(1)-1+3-5+7-9+11-?-1997+1999；

(2)11+12-13-14+15+16-17-18+?+99+100；

(3)1991×1999-1990×2000；

(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；

(6)1+4+7+?+244；

2．某小組20名同學(xué)的數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦?，試?jì)算他們的平均分．

81，90，76，72，77，83，73，85，92，91，86，78，74，85． 84，75，63，76，97，80，第四章 歸納與發(fā)現(xiàn)

歸納的方法是認(rèn)識(shí)事物內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律性的一種重要思考方法，也是數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)命題與發(fā)現(xiàn)解題思路的一種重要手段．這里的歸納指的是常用的經(jīng)驗(yàn)歸納，也就是在求解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，首先從簡(jiǎn)單的特殊情況的觀察入手，取得一些局部的經(jīng)驗(yàn)結(jié)果，然后以這些經(jīng)驗(yàn)作基礎(chǔ)，分析概括這些經(jīng)驗(yàn)的共同特征，從而發(fā)現(xiàn)解題的一般途徑或新的命題的思考方法．下面舉幾個(gè)例題，以見(jiàn)一般．

例1 如圖2-99，有一個(gè)六邊形點(diǎn)陣，它的中心是一個(gè)點(diǎn)，算作第一層；第二層每邊有兩個(gè)點(diǎn)(相鄰兩邊公用一個(gè)點(diǎn))；第三層每邊有三個(gè)點(diǎn)，?這個(gè)六邊形點(diǎn)陣共有n層，試問(wèn)第n層有多少個(gè)點(diǎn)？這個(gè)點(diǎn)陣共有多少個(gè)點(diǎn)？

分析與解 我們來(lái)觀察點(diǎn)陣中各層點(diǎn)數(shù)的規(guī)律，然后歸納出點(diǎn)陣共有的點(diǎn)數(shù)．

第一層有點(diǎn)數(shù)：1；

第二層有點(diǎn)數(shù)：1×6；

第三層有點(diǎn)數(shù)：2×6； 第四層有點(diǎn)數(shù)：3×6；

??

第n層有點(diǎn)數(shù)：(n-1)×6.因此，這個(gè)點(diǎn)陣的第n層有點(diǎn)(n-1)×6個(gè)．n層共有點(diǎn)數(shù)為

例2 在平面上有過(guò)同一點(diǎn)P，并且半徑相等的n個(gè)圓，其中任何兩個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn)，任何三個(gè)圓除P點(diǎn)外無(wú)其他公共點(diǎn)，那么試問(wèn)：

(1)這n個(gè)圓把平面劃分成多少個(gè)平面區(qū)域？

(2)這n個(gè)圓共有多少個(gè)交點(diǎn)？

分析與解(1)在圖2-100中，設(shè)以P點(diǎn)為公共點(diǎn)的圓有1，2，3，4，5個(gè)(取這n個(gè)特定的圓)，觀察平面被它們所分割成的平面區(qū)域有多少個(gè)？為此，我們列出表18．1．

由表18．1易知

S2-S1=2，S3-S2＝3，S4-S3＝4，S5-S4＝5，??

由此，不難推測(cè)

Sn-Sn-1＝n．

把上面(n-1)個(gè)等式左、右兩邊分別相加，就得到

Sn-S1＝2＋3＋4＋?＋n，因?yàn)镾1=2，所以

面對(duì)Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1＋n的正確性略作說(shuō)明．

下

因?yàn)镾n-1為n-1個(gè)圓把平面劃分的區(qū)域數(shù)，當(dāng)再加上一個(gè)圓，即當(dāng)n個(gè)圓過(guò)定點(diǎn)P時(shí)，這個(gè)加上去的圓必與前n-1個(gè)圓相交，所以這個(gè)圓就被前n-1個(gè)圓分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1＋n．

(2)與(1)一樣，同樣用觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的方法來(lái)解決．為此，可列出表18．2．

由表18．2容易發(fā)現(xiàn)

a1＝1，a2-a1＝1，a3-a2＝2，a4-a3＝3，a5-a4＝4，?? an-1-an-2＝n-2，an-an-1＝n-1．

n個(gè)式子相加

注意 請(qǐng)讀者說(shuō)明an=an-1＋(n-1)的正確性．

例3 設(shè)a，b，c表示三角形三邊的長(zhǎng)，它們都是自然數(shù)，其中a≤b≤c，如果 b=n(n是自然數(shù))，試問(wèn)這樣的三角形有多少個(gè)？

分析與解 我們先來(lái)研究一些特殊情況：

(1)設(shè)b=n=1，這時(shí)b=1，因?yàn)閍≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，?．若c=1，則得到一個(gè)三邊都為1的等邊三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三邊c，這時(shí)不可能由a，b，c構(gòu)成三角形，可見(jiàn)，當(dāng)b=n=1時(shí)，滿足條件的三角形只有一個(gè)．

(2)設(shè)b=n=2，類似地可以列舉各種情況如表18．3．

這時(shí)滿足條件的三角形總數(shù)為：1+2=3．

(3)設(shè)b=n=3，類似地可得表18．4．

這時(shí)滿足條件的三角形總數(shù)為：1＋2＋3=6．

通過(guò)上面這些特例不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)b=n時(shí)，滿足條件的三角形總數(shù)為：

這個(gè)猜想是正確的．因?yàn)楫?dāng)b=n時(shí)，a可取n個(gè)值(1，2，3，?，n)，對(duì)應(yīng)于a的每個(gè)值，不妨設(shè)a=k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k個(gè)(n，n＋1，n＋2，?，n＋k-1)．所以，當(dāng)b=n時(shí)，滿足條件的三角形總數(shù)為：

例4 設(shè)1×2×3×?×n縮寫為n！(稱作n的階乘)，試化簡(jiǎn)：1！×1＋2！×2＋3！×3＋?＋n！×n.分析與解 先觀察特殊情況：

(1)當(dāng)n=1時(shí)，原式=1=(1＋1)！-1；

(2)當(dāng)n=2時(shí)，原式=5=(2＋1)！-1；

(3)當(dāng)n=3時(shí)，原式=23=(3＋1)！-1；

(4)當(dāng)n=4時(shí)，原式=119=(4＋1)！-1．

由此做出一般歸納猜想：原式=(n+1)！-1.下面我們證明這個(gè)猜想的正確性．

1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3+?+n！×n)

=1！×2＋2！×2＋3！×3+?+n！×n

=2！+2！×2＋3！×3＋?+n！×n

=2！×3+3！×3+?＋n！×n

=3！+3！×3+?+n！×n＝?

=n！+n！×n=(n＋1)！，所以原式=(n+1)！-1.例5 設(shè)x＞0，試比較代數(shù)式x3和x2+x+2的值的大?。?/p>

分析與解 本題直接觀察，不好做出歸納猜想，因此可設(shè)x等于某些特殊值，代入兩式中做試驗(yàn)比較，或許能啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)解題思路．為此，設(shè)x=0，顯然有

x3＜x2+x+2．①

設(shè)x=10，則有x3=1000，x2+x＋2=112，所以

x3＞x2+x+2．②

設(shè)x=100，則有x3＞x2+x+2．

觀察、比較①，②兩式的條件和結(jié)論，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x值較小時(shí)，x3＜x2+x+2；當(dāng)x值較大時(shí)，x3＞x2+x+2．

那么自然會(huì)想到：當(dāng)x=？時(shí)，x3=x2+x+2呢？如果這個(gè)方程得解，則它很可能就是本題得解的“臨界點(diǎn)”．為此，設(shè)x3=x2＋x＋2，則

x3-x2-x-2＝0，(x3-x2-2x)＋(x-2)=0，(x-2)(x2+x+1)=0．

因?yàn)閤＞0，所以x2+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．這樣

(1)當(dāng)x=2時(shí)，x3=x2+x+2；

(2)當(dāng)0＜x＜2時(shí)，因?yàn)?/p>

x-2＜0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2＋x+2)＜0，即

x3-(x2＋x+2)＜0，所以 x3＜x2＋x＋2.(3)當(dāng)x＞2時(shí)，因?yàn)?/p>

x-2＞0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2+x+2)＞0，即

x3-(x2＋x＋2)＞0，所以 x3＞x2＋x＋2．

綜合歸納(1)，(2)，(3)，就得到本題的解答． 練習(xí)七

1．試證明例7中：

2．平面上有n條直線，其中沒(méi)有兩條直線互相平行(即每?jī)蓷l直線都相交)，也沒(méi)有三條或三條以上的直線通過(guò)同一點(diǎn)．試求：

(1)這n條直線共有多少個(gè)交點(diǎn)？

(2)這n條直線把平面分割為多少塊區(qū)域？

然后做出證明.)

3．求適合x5=656356768的整數(shù)x．

(提示：顯然x不易直接求出，但可注意其取值范圍：505＜656356768＜605，所以502＜x＜602．)

第五章 生活中的數(shù)學(xué)（儲(chǔ)蓄、保險(xiǎn)與納稅）

儲(chǔ)蓄、保險(xiǎn)、納稅是最常見(jiàn)的有關(guān)理財(cái)方面的數(shù)學(xué)問(wèn)題，幾乎人人都會(huì)遇到，因此，我們?cè)谶@一講舉例介紹有關(guān)這方面的知識(shí)，以增強(qiáng)理財(cái)?shù)淖晕冶Ｗo(hù)意識(shí)和處理簡(jiǎn)單財(cái)務(wù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)能力．

1．儲(chǔ)蓄

銀行對(duì)存款人付給利息，這叫儲(chǔ)蓄．存入的錢叫本金．一定存期(年、月或日)內(nèi)的利息對(duì)本金的比叫利率．本金加上利息叫本利和．

利息=本金×利率×存期，本利和=本金×(1+利率經(jīng)×存期)．

如果用p，r，n，i，s分別表示本金、利率、存期、利息與本利和，那么有

i=prn，s=p(1+rn)．

例1 設(shè)年利率為0.0171，某人存入銀行2000元，3年后得到利息多少元？本利和為多少元？

解 i=2000×0.0171×3=102.6(元)．

s=2000×(1+0.0171×3)=2102.6(元)．

答 某人得到利息102.6元，本利和為2102.6元．

以上計(jì)算利息的方法叫單利法，單利法的特點(diǎn)是無(wú)論存款多少年，利息都不加入本金．相對(duì)地，如果存款年限較長(zhǎng)，約定在每年的某月把利息加入本金，這就是復(fù)利法，即利息再生利息．目前我國(guó)銀行存款多數(shù)實(shí)行的是單利法．不過(guò)規(guī)定存款的年限越長(zhǎng)利率也越高．例如，1998年3月我國(guó)銀行公布的定期儲(chǔ)蓄人民幣的年利率如表22．1所示．

用復(fù)利法計(jì)算本利和，如果設(shè)本金是p元，年利率是r,存期是n年，那么若第1年到第n年的本利和分別是s1，s2,?，sn，則

s1=p(1+r)，s2=s1(1+r)=p(1+r)(1+r)=p(1+r)2，s3＝s2(1+r)=p(1+r)2(1+r)=p(1+r)3，??，sn=p(1+r)n．

例2 小李有20000元，想存入銀行儲(chǔ)蓄5年，可有幾種儲(chǔ)蓄方案，哪種方案獲利最多？

解 按表22．1的利率計(jì)算．

(1)連續(xù)存五個(gè)1年期，則5年期滿的本利和為

20000(1+0.0522)5≈25794(元)．

(2)先存一個(gè)2年期，再連續(xù)存三個(gè)1年期，則5年后本利和為

20000(1+0.0558×2)·(1+0.0522)3≈25898(元)．

(3)先連續(xù)存二個(gè)2年期，再存一個(gè)1年期，則5年后本利和為 20000(1+0.0558×2)2·(1+0.0552)≈26003(元)．

(4)先存一個(gè)3年期，再轉(zhuǎn)存一個(gè)2年期，則5年后的本利和為

20000(1＋0.0621×3)·(1+0.0558×2)≈26374(元)．

(5)先存一個(gè)3年期，然后再連續(xù)存二個(gè)1年期，則5年后本利和為

20000(1+0.0621×3)·(1+0.0522)2≈26268(元)．

(6)存一個(gè)5年期，則到期后本利和為

20000(1+0.0666×5)≈26660(元)．

顯然，第六種方案，獲利最多，可見(jiàn)國(guó)家所規(guī)定的年利率已經(jīng)充分考慮了你可能選擇的存款方案，利率是合理的．

2．保險(xiǎn)

保險(xiǎn)是現(xiàn)代社會(huì)必不可少的一種生活、生命和財(cái)產(chǎn)保護(hù)的金融事業(yè)．例如，火災(zāi)保險(xiǎn)就是由于火災(zāi)所引起損失的保險(xiǎn)，人壽保險(xiǎn)是由于人身意外傷害或養(yǎng)老的保險(xiǎn)，等等．下面舉兩個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例．

例3 假設(shè)一個(gè)小城鎮(zhèn)過(guò)去10年中，發(fā)生火災(zāi)情況如表22．2所示．

試問(wèn)：(1)設(shè)想平均每年在1000家中燒掉幾家？

(2)如果保戶投保30萬(wàn)元的火災(zāi)保險(xiǎn)，最低限度要交多少保險(xiǎn)費(fèi)保險(xiǎn)公司才不虧本？

解(1)因?yàn)?/p>

1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11(家)，365+371+385+395+412+418+430+435+440＋445=4096(家)．

11÷4096≈0.0026．

(2)300000×0.0026=780(元)．

答(1)每年在1000家中，大約燒掉2.6家．

(2)投保30萬(wàn)元的保險(xiǎn)費(fèi)，至少需交780元的保險(xiǎn)費(fèi)．

例4 財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)是常見(jiàn)的保險(xiǎn)．假定A種財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)是每投保1000元財(cái)產(chǎn)，要交3元保險(xiǎn)費(fèi)，保險(xiǎn)期為1年，期滿后不退保險(xiǎn)費(fèi)，續(xù)保需重新交費(fèi)．B種財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)是按儲(chǔ)蓄方式，每1000元財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)交儲(chǔ)蓄金25元，保險(xiǎn)一年．期滿后不論是否得到賠款均全額退還儲(chǔ)蓄金，以利息作為保險(xiǎn)費(fèi)．今有兄弟二人，哥哥投保8萬(wàn)元A種保險(xiǎn)一年，弟弟投保8萬(wàn)元B種保險(xiǎn)一年．試問(wèn)兄弟二人誰(shuí)投的保險(xiǎn)更合算些？(假定定期存款1年期利率為5.22％)

解 哥哥投保8萬(wàn)元A種財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)，需交保險(xiǎn)費(fèi)

80000÷1000×3=80×3=240(元)．

弟弟投保8萬(wàn)元B種財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)，按每1000元交25元保險(xiǎn)儲(chǔ)蓄金算，共交

80000÷1000×25=2000(元)，而2000元一年的利息為

2000×0.0522=104.4(元)．

兄弟二人相比較，弟弟少花了保險(xiǎn)費(fèi)約

240-104.4=135.60(元)．

因此，弟弟投的保險(xiǎn)更合算些．

3．納稅

納稅是每個(gè)公民的義務(wù)，對(duì)于每個(gè)工作人員來(lái)說(shuō)，除了工資部分按國(guó)家規(guī)定納稅外，個(gè)人勞務(wù)增收也應(yīng)納稅．現(xiàn)行勞務(wù)報(bào)酬納稅辦法有三種：

(1)每次取得勞務(wù)報(bào)酬不超過(guò)1000元的(包括1000元)，預(yù)扣率為3％，全額計(jì)稅．

(2)每次取得勞務(wù)報(bào)酬1000元以上、4000元以下，減除費(fèi)用800元后的余額，依照20％的比例稅率，計(jì)算應(yīng)納稅額．

(3)每次取得勞務(wù)報(bào)酬4000元以上的，減除20％的費(fèi)用后，依照20％的比例稅率，計(jì)算應(yīng)納稅額．

每次取得勞務(wù)報(bào)酬超過(guò)20000元的(暫略)．

由(1)，(2)，(3)的規(guī)定，我們?nèi)绻O(shè)個(gè)人每次勞務(wù)報(bào)酬為x元，y為相應(yīng)的納稅金額(元)，那么，我們可以寫出關(guān)于勞務(wù)報(bào)酬納稅的分段函數(shù)：

例5 小王和小張兩人一次共取得勞務(wù)報(bào)酬10000元，已知小王的報(bào)酬是小張的2倍多，兩人共繳納個(gè)人所得稅1560元，問(wèn)小王和小張各得勞務(wù)報(bào)酬多少元？

解 根據(jù)勞務(wù)報(bào)酬所得稅計(jì)算方法(見(jiàn)函數(shù)①)，從已知條件分析可知小王的收入超過(guò)4000元，而小張的收入在1000～4000之間，如果設(shè)小王的收入為x元，小張的收入為y元，則有方程組：

由①得y=10000-x，將之代入②得

x(1-20％)20％+(10000-x-800)20％=1560，化簡(jiǎn)、整理得

0.16x-0.2x+1840=1560，所以

0.04x=280，x=7000(元)．

則 y=10000-7000=3000(元)．

所以

答 小王收入7000元，小張收入3000元．

例6 如果對(duì)寫文章、出版圖書所獲稿費(fèi)的納稅計(jì)算方法是

其中y(x)表示稿費(fèi)為x元應(yīng)繳納的稅額．

那么若小紅的爸爸取得一筆稿費(fèi)，繳納個(gè)人所得稅后，得到6216元，問(wèn)這筆稿費(fèi)是多少元？

解 設(shè)這筆稿費(fèi)為x元，由于x＞4000，所以，根據(jù)相應(yīng)的納稅規(guī)定，有方程

x(1-20％)· 20％×(1-30％)=x-6216，化簡(jiǎn)、整理得

0.112x=x-6216，所以 0.888x=6216，所以 x=7000(元)．

答 這筆稿費(fèi)是7000元．

練習(xí)八

1．按下列三種方法，將100元存入銀行，10年后的本利和各是多少？(設(shè)1年期、3年期、5年期的年利率分別為5.22％，6.21％，6.66％保持不變)

(1)定期1年，每存滿1年，將本利和自動(dòng)轉(zhuǎn)存下一年，共續(xù)存10年；

(2)先連續(xù)存三個(gè)3年期，9年后將本利和轉(zhuǎn)存1年期，合計(jì)共存10年；

(3)連續(xù)存二個(gè)5年期．

2．李光購(gòu)買了25000元某公司5年期的債券，5年后得到本利和為40000元，問(wèn)這種債券的年利率是多少？

3．王芳取得一筆稿費(fèi)，繳納個(gè)人所得稅后，得到2580元，問(wèn)這筆稿費(fèi)是多少元？

4．把本金5000元存入銀行，年利率為0.0522，幾年后本利和為6566元(單利法)？

第六章

中外著名數(shù)學(xué)家

1、韋達(dá)（1540-1603），法國(guó)數(shù)學(xué)家。

年青時(shí)學(xué)習(xí)法律當(dāng)過(guò)律師，后從事政治活動(dòng)，當(dāng)過(guò)議會(huì)議員，在西班牙的戰(zhàn)爭(zhēng)中曾為政府破譯敵軍密碼。韋達(dá)還致力于數(shù)學(xué)研究，第一個(gè)有意識(shí)地和系統(tǒng)地使用字母來(lái)表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來(lái)了代數(shù)理論研究的重大進(jìn)步。韋達(dá)討論了方程根的多種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，韋達(dá)在歐洲被尊稱為“代數(shù)學(xué)之父”。1579年，韋達(dá)出版《應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定律》

2、帕斯卡（1623──1662年）是法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家．

16歲的時(shí)候就發(fā)現(xiàn)了著名的“帕斯卡定理”，即“圓錐曲線內(nèi)接六邊形的三組對(duì)邊的交點(diǎn)共線”，對(duì)射影幾何學(xué)作出了重要貢獻(xiàn)．19歲時(shí)，發(fā)明了一種能做加法和減法運(yùn)算的計(jì)算器，這是世界上第一臺(tái)機(jī)械式的計(jì)算機(jī)．他對(duì)連續(xù)不可分量、微分三角形、面積和重心等問(wèn)題的深入研究，對(duì)微積分學(xué)的建立起到了積極的作用．帕斯卡對(duì)數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)是創(chuàng)立概率論，為了解決概率論和組合分析方面的問(wèn)題，帕斯卡廣泛應(yīng)用了算術(shù)三角形（即二項(xiàng)式定理系數(shù)表，西方稱帕斯卡三角，我國(guó)稱賈憲三角或楊輝三角），并深入研究了二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)規(guī)律以及這個(gè)三角形的構(gòu)造及其許多有趣的性質(zhì)。帕斯卡在物理學(xué)方面提出了重要的“帕斯卡定律”。他所著《思想錄》和《致鄉(xiāng)人書》對(duì)法國(guó)散文的發(fā)展產(chǎn)生了重要的影響。

3、在數(shù)學(xué)史上，很難再找到如此年輕而如此有創(chuàng)見(jiàn)的數(shù)學(xué)家。他就是出生在法國(guó)的伽羅華（1811——1832）

伽羅華才華橫溢，思維敏捷，十七歲時(shí)就寫了一篇關(guān)于《五次方程代數(shù)解法》這個(gè)世界數(shù)學(xué)難題的論文，最先提出了近代數(shù)學(xué)的一個(gè)基本概念——“群”?？墒沁@篇論文被法國(guó)科學(xué)院一位目空一切的數(shù)學(xué)家丟失了。次年，他又寫了幾篇數(shù)學(xué)論文送交法國(guó)科學(xué)院，不料主審人因車禍去世，論文也不知所蹤。再過(guò)兩年，他被近把自己的研究再次寫成簡(jiǎn)述，寄往法國(guó)科學(xué)，他去信尖銳地提醒權(quán)威們：“第一，不要因?yàn)槲医匈ち_化，第二，不要因?yàn)槲沂谴髮W(xué)生，”而“預(yù)先決定我對(duì)這個(gè)問(wèn)題無(wú)能為力。”在這封咄咄逼人的書信面前，有兩位數(shù)學(xué)家不得不宣讀了他的研究簡(jiǎn)述，但隨即又以“完全不能理解”予以否定，其實(shí)，他們并沒(méi)有讀懂伽羅華的論文。

伽羅華二十一歲那年死于決斗。臨死前他對(duì)守在旁邊的弟弟說(shuō)：“不要忘了我，因?yàn)槊\(yùn)不讓我活到祖國(guó)知道我的名字的時(shí)候。”在決斗前夜，他給友人寫了著名的“科學(xué)遺囑”，其中充滿自信地說(shuō)：“我一行中不只一次敢于提出我沒(méi)有把握的命題，我期待著將來(lái)總會(huì)有人認(rèn)識(shí)到：解開(kāi)這個(gè)謎對(duì)雅可比和高斯是有好處的?！?/p>

他的預(yù)言成為現(xiàn)實(shí)，那是在三十八年他的六十頁(yè)厚的論文終于出版的時(shí)候，從此，他被認(rèn)為“群論”的奠基 人。

4、劉 徽

劉徽（生于公元250年左右），是中國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)非常偉大的數(shù)學(xué)家，在世界數(shù)學(xué)史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》，是我國(guó)最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)．

《九章算術(shù)》約成書于東漢之初，共有246個(gè)問(wèn)題的解法．在許多方面：如解聯(lián)立方程，分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算，正負(fù)數(shù)運(yùn)算，幾何圖形的體積面積計(jì)算等，都屬于世界先進(jìn)之列，但因解法比較原始，缺乏必要的證明，而劉徽則對(duì)此均作了補(bǔ)充證明．在這些證明中，顯示了他在多方面的創(chuàng)造性的貢獻(xiàn)．他是世界上最早提出十進(jìn)小數(shù)概念的人，并用十進(jìn)小數(shù)來(lái)表示無(wú)理數(shù)的立方根．在代數(shù)方面，他正確地提出了正負(fù)數(shù)的概念及其加減運(yùn)算的法則；改進(jìn)了線性方程組的解法．在幾何方面，提出了“割圓術(shù)”，即將圓周用內(nèi)接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長(zhǎng)的方法．他利用割圓術(shù)科學(xué)地求出了圓周率π=3.14的結(jié)果．劉徽在割圓術(shù)中提出的“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣”，這可視為中國(guó)古代極限觀念的佳作．

《海島算經(jīng)》一書中，劉徽精心選編了九個(gè)測(cè)量問(wèn)題，這些題目的創(chuàng)造性、復(fù)雜性和富有代表性，都在當(dāng)時(shí)為西方所矚目．

劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀．他是我國(guó)最早明確主張用邏輯推理的方式來(lái)論證數(shù)學(xué)命題的人．

劉徽的一生是為數(shù)學(xué)刻苦探求的一生．他雖然地位低下，但人格高尚．他不是沽名釣譽(yù)的庸人，而是學(xué)而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財(cái)富．

5、賈 憲

賈憲，中國(guó)古代北宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家。曾撰寫的《黃帝九章算法細(xì)草》（九卷）和《算法斆古集》（二卷）（斆xiào，意：數(shù)導(dǎo)）均已失傳。

他的主要貢獻(xiàn)是創(chuàng)造了“賈憲三角”和增乘開(kāi)方法，增乘開(kāi)方法即求高次冪的正根法。目前中學(xué)數(shù)學(xué)中的混合除法，其原理和程序均與此相仿，增乘開(kāi)方法比傳統(tǒng)的方法整齊簡(jiǎn)捷、又更程序化，所以在開(kāi)高次方時(shí)，尤其顯出它的優(yōu)越性，這個(gè)方法的提出要比歐洲數(shù)學(xué)家霍納的結(jié)論早七百多年。

6、秦九韶

秦九韶（約1202--1261），字道古，四川安岳人。先后在湖北，安徽，江蘇，浙江等地做官，1261年左右被貶至梅州，（今廣東梅縣），不久死于任所。他與李冶，楊輝，朱世杰并稱宋元數(shù)學(xué)四大家。早年在杭州“訪習(xí)于太史，又嘗從隱君子受數(shù)學(xué)”，1247年寫成著名的《數(shù)書九章》?！稊?shù)書九章》全書凡18卷，81題，分為九大類。其最重要的數(shù)學(xué)成就----“大衍總數(shù)術(shù)”（一次同余組解法）與“正負(fù)開(kāi)方術(shù)“(高次方程數(shù)值解法），使這部宋代算經(jīng)在中世紀(jì)世界數(shù)學(xué)史上占有突出的地位。

7、李冶

李冶(1192----1279)，原名李治，號(hào)敬齋，金代真定欒城人，曾任鈞州（今河南禹縣）知事，1232年鈞州被蒙古軍所破，遂隱居治學(xué)，被元世祖忽必烈聘為翰林學(xué)士，僅一年，便辭官回鄉(xiāng)。1248年撰成《測(cè)圓海鏡》，其主要目的是說(shuō)明用天元術(shù)列方程的方法。“天元術(shù)”與現(xiàn)代代數(shù)中的列方程法相類似，“立天元一為某某”，相當(dāng)于“設(shè)x為某某“，可以說(shuō)是符號(hào)代數(shù)的嘗試。李冶還有另一步數(shù)學(xué)著作《益古演段》（1259）也是講解天元術(shù)的。

8、朱世杰

朱世杰（1300前后），字漢卿，號(hào)松庭，寓居燕山（今北京附近），“以數(shù)學(xué)名家周游湖海二十余年”，“踵門而學(xué)者云集”(莫若、祖頤：《四元玉鑒》后序）。朱世杰數(shù)學(xué)代表作有《算學(xué)啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》（1303）?！端阈g(shù)啟蒙》是一部通俗數(shù)學(xué)名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數(shù)學(xué)的發(fā)展。《四元玉鑒》則是中國(guó)宋元數(shù)學(xué)高峰的又一個(gè)標(biāo)志，其中最杰出的數(shù)學(xué)創(chuàng)造有“四元術(shù)”（多元高次方程列式與消元解法）、“垛積術(shù)”（高階等差數(shù)列求和）與“招差術(shù)”（高次內(nèi)插法）．

9、祖沖之

祖沖之（公元429～500年）祖籍是現(xiàn)今河北省淶源縣，他是南北朝時(shí)代的一位杰出科學(xué)家。他不僅是一位數(shù)學(xué)家，同時(shí)還通曉天文歷法、機(jī)械制造、音樂(lè)等領(lǐng)域，并且是一位天文學(xué)家。

祖沖之在數(shù)學(xué)方面的主要成就是關(guān)于圓周率的計(jì)算，他算出的圓周率為3.1415926<π<3.1415927，這一結(jié)果的重要意義在于指出誤差的范圍，是當(dāng)時(shí)世界最杰出的成就。祖沖之確定了兩個(gè)形式的π值，約率355/173(≈3.1415926）密率22/7(≈3.14)，這兩個(gè)數(shù)都是π的漸近分?jǐn)?shù)。

10、祖 暅

祖暅，祖沖之之子，同其父祖沖之一起圓滿解決了球面積的計(jì)算問(wèn)題，得到正確的體積公式?，F(xiàn)行教材中著名的“祖暅原理”，在公元五世紀(jì)可謂祖暅對(duì)世界杰出的貢獻(xiàn)。

11、楊輝

楊輝，中國(guó)南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。在13世紀(jì)中葉活動(dòng)于蘇杭一帶，其著作甚多。

他著名的數(shù)學(xué)書共五種二十一卷。著有《詳解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘除通變本末》三卷（1274年）、《田畝比類乘除算法》二卷（1275年）、《續(xù)古摘奇算法》二卷（1275年）。

楊輝的數(shù)學(xué)研究與教育工作的重點(diǎn)是在計(jì)算技術(shù)方面，他對(duì)籌算乘除捷算法進(jìn)行總結(jié)和發(fā)展，有的還編成了歌決，如九歸口決。

他在《續(xù)古摘奇算法》中介紹了各種形式的”縱橫圖“及有關(guān)的構(gòu)造方法，同時(shí)”垛積術(shù)“是楊輝繼沈括”隙積術(shù)“后，關(guān)于高階等差級(jí)數(shù)的研究。楊輝在”纂類“中，將《九章算術(shù)》246個(gè)題目按解題方法由淺入深的順序，重新分為乘除、分率、合率、互換、二衰分、疊積、盈不足、方程、勾股等九類。

他非常重視數(shù)學(xué)教育的普及和發(fā)展，在《算法通變本末》中，楊輝為初學(xué)者制訂的”習(xí)算綱目“是中國(guó)數(shù)學(xué)教育史上的重要文獻(xiàn)。

12、趙 爽

趙爽，三國(guó)時(shí)期東吳的數(shù)學(xué)家。曾注《周髀算經(jīng)》，他所作的《周髀算經(jīng)注》中有一篇《勾股圓方圖注》全文五百余字，并附有云幅插圖（已失傳），這篇注文簡(jiǎn)練地總結(jié)了東漢時(shí)期勾股算術(shù)的重要成果，最早給出并證明了有關(guān)勾股弦三邊及其和、差關(guān)系的二十多個(gè)命題，他的證明主要是依據(jù)幾何圖形面積的換算關(guān)系。

趙爽還在《勾股圓方圖注》中推導(dǎo)出二次方程(其中a>0,A>0)的求根公式

在《日高圖注》中利用幾何圖形面積關(guān)系，給出了”重差術(shù)"的證明。（漢代天文學(xué)家測(cè)量太陽(yáng)高、遠(yuǎn)的方法稱為重差術(shù)）。

13、華羅庚

華羅庚，中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)家。1910年11月12日生于江蘇省金壇縣。1985年6月12日在日本東京逝世。華羅庚1924年初中畢業(yè)之后，在上海中華職業(yè)學(xué)校學(xué)習(xí)不到一年，因家貧輟學(xué)，他刻苦自修數(shù)學(xué)，1930年在《科學(xué)》上發(fā)表了關(guān)于代數(shù)方程式解法的文章，受到專家重視，被邀到清華大學(xué)工作，開(kāi)始了數(shù)論的研究，1934年成為中華教育文化基金會(huì)研究員。1936年作為訪問(wèn)學(xué)者去英國(guó)劍橋大學(xué)工作。1938年回國(guó)，受聘為西南聯(lián)合大學(xué)教授。1946年應(yīng)蘇聯(lián)普林斯頓高等研究所邀請(qǐng)任研究員，并在普林斯頓大學(xué)執(zhí)教。1948年始，他為伊利諾伊大學(xué)教授。

1924年金壇中學(xué)初中畢業(yè)，后刻苦自學(xué)。1930年后在清華大學(xué)任教。1936年赴英國(guó)劍橋大學(xué)訪問(wèn)、學(xué)習(xí)。1938年回國(guó)后任西南聯(lián)合大學(xué)教授。1946年赴美國(guó)，任普林斯頓數(shù)學(xué)研究所研究員、普林斯頓大學(xué)和伊利諾斯大學(xué)教授，1950年回國(guó)。歷任清華大學(xué)教授，中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所、應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所所長(zhǎng)、名譽(yù)所長(zhǎng)，中國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)、名譽(yù)理事長(zhǎng)，全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽委員會(huì)主任，美國(guó)國(guó)家科學(xué)院國(guó)外院士，第三世界科學(xué)院院士，聯(lián)邦德國(guó)巴伐利亞科學(xué)院院士，中國(guó)科學(xué)院物理學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)部副主任、副院長(zhǎng)、主席團(tuán)成員，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系主任、副校長(zhǎng)，中國(guó)科協(xié)副主席，國(guó)務(wù)院學(xué)位委員會(huì)委員等職。曾任一至六屆全國(guó)人大常務(wù)委員，六屆全國(guó)政協(xié)副主席。曾被授予法國(guó)南錫大學(xué)、香港中文大學(xué)和美國(guó)伊利諾斯大學(xué)榮譽(yù)博士學(xué)位。主要從事解析數(shù)論、矩陣幾何學(xué)、典型群、自守函數(shù)論、多復(fù)變函數(shù)論、偏微分方程、高維數(shù)值積 分等領(lǐng)域的研究與教授工作并取得突出成就。40年代，解決了高斯完整三角和的估計(jì)這 一歷史難題，得到了最佳誤差階估計(jì)（此結(jié)果在數(shù)論中有著廣泛的應(yīng)用）；對(duì)Ｇ.Ｈ.哈代與Ｊ.Ｅ.李特爾伍德關(guān)于華林問(wèn)題及Ｅ.賴特關(guān)于塔里問(wèn)題的結(jié)果作了重大的改進(jìn)，至 今仍是最佳紀(jì)錄。代數(shù)方面，證明了歷史長(zhǎng)久遺留的一維射影幾何的基本定理；給出了體的正規(guī)子體一定包含在它的中心之中這個(gè)結(jié)果的一個(gè)簡(jiǎn)單而直接的證明，被稱為嘉 當(dāng)-布饒爾-華定理。其專著《堆壘素?cái)?shù)論》系統(tǒng)地總結(jié)、發(fā)展與改進(jìn)了哈代與李特爾伍 德圓法、維諾格拉多夫三角和估計(jì)方法及他本人的方法，發(fā)表40余年來(lái)其主要結(jié)果仍居世界領(lǐng)先地位，先后被譯為俄、匈、日、德、英文出版，成為20世紀(jì)經(jīng)典數(shù)論著作之 一。其專著《多個(gè)復(fù)變典型域上的調(diào)和分析》以精密的分析和矩陣技巧，結(jié)合群表示論，具體給出了典型域的完整正交系，從而給出了柯西與泊松核的表達(dá)式。這項(xiàng)工作在調(diào)和分析、復(fù)分析、微分方程等研究中有著廣泛深入的影響，曾獲中國(guó)自然科學(xué)獎(jiǎng)一等 獎(jiǎng)。倡導(dǎo)應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)的研制，曾出版《統(tǒng)籌方法平話》、《優(yōu)選學(xué)》等多部著作 并在中國(guó)推廣應(yīng)用。與王元教授合作在近代數(shù)論方法應(yīng)用研究方面獲重要成果，被稱為 “華-王方法”。在發(fā)展數(shù)學(xué)教育和科學(xué)普及方面做出了重要貢獻(xiàn)。發(fā)表研究論文200多篇，并有專著和科普性著作數(shù)十種。

14、陳景潤(rùn)

數(shù)學(xué)家，中國(guó)科學(xué)院院士。1933 年5月22日生于福建福州。1953年畢業(yè)于廈門大學(xué) 數(shù)學(xué)系。1957年進(jìn)入中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所并在華羅庚教授指導(dǎo)下從事數(shù)論方面的研究。歷任中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所研究員、所學(xué)術(shù)委員會(huì)委員兼貴陽(yáng)民族學(xué)院、河南大學(xué)、青島大學(xué)、華中工學(xué)院、福建師范大學(xué)等校教授，國(guó)家科委數(shù)學(xué)學(xué)科組成員，《數(shù)學(xué)季刊》主編等職。主要從事解析數(shù)論方面的研究，并在哥德巴赫猜想研究方面取得國(guó) 際領(lǐng)先的成果。這一成果國(guó)際上譽(yù)為“陳氏定理”，受到廣泛引用。這項(xiàng)工作，使之與王 元教授、潘承洞教授共同獲得1978年國(guó)家自然科學(xué)獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)。其后對(duì)上述定理又作了改進(jìn)，并于1979年初完成論文《算術(shù)級(jí)數(shù)中的最小素?cái)?shù)》，將最小素?cái)?shù)從原有的80推進(jìn)到 16，受到國(guó)際數(shù)學(xué)界好評(píng)。對(duì)組合數(shù)學(xué)與現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)管理、科學(xué)實(shí)驗(yàn)、尖端技術(shù)、人類生活密切關(guān)系等問(wèn)題也作了研究。發(fā)表研究論文70余篇，并有《數(shù)學(xué)趣味談》、《組合 數(shù)學(xué)》等著作。

15、我們的希望是在21世紀(jì)看見(jiàn)中國(guó)成為數(shù)學(xué)大國(guó)?！薄愂∩?/p>

2004年12月3日，國(guó)際數(shù)學(xué)大師、中科院外籍院士陳省身，在天津病逝．享年93歲．陳省身，1911年10月26日生于浙江嘉興．少年時(shí)就喜愛(ài)數(shù)學(xué)，覺(jué)得數(shù)學(xué)既有趣又較容易，并且喜歡獨(dú)立思考，自

第四篇：校本教材開(kāi)發(fā)交流稿

中等職業(yè)學(xué)校專業(yè)課校本教材開(kāi)發(fā)與實(shí)踐

交 流 稿

四川省綿陽(yáng)職技術(shù)學(xué)校 唐云

目錄：

一、開(kāi)發(fā)校本教材的起源

二、校本教材開(kāi)發(fā)與校本研修的關(guān)系

三、校本教材的基本特征

四、校本教材的構(gòu)成要件

五、校本教材開(kāi)發(fā)條件

六、校本教材實(shí)例

七、小組討論與校本教材編寫

八、小組校本教材展示

九、小組校本教材評(píng)價(jià)

正文：

前言：（形成討論氛圍）

討論：你所在學(xué)校對(duì)校本教材的理解及學(xué)校校本教材的開(kāi)發(fā)情況。

一、我的校本教材開(kāi)發(fā)的起源

（一）“教書”與“專業(yè)教學(xué)”的區(qū)別

（討論：中職學(xué)校“專業(yè)教學(xué)”與傳統(tǒng)意義上的“教書”有什么區(qū)別）“教師”職業(yè)，人們習(xí)慣稱為“教書”，可見(jiàn)，傳統(tǒng)意義上的教學(xué)是由“書”牽著走的，可以看出“書”對(duì)教學(xué)的重要性。

用傳主統(tǒng)的教學(xué)觀看待中職學(xué)校的“專業(yè)教學(xué)”，也離不開(kāi)“教書”這個(gè)概念，目前中職學(xué)校絕大多數(shù)的專業(yè)老師，也是按照“教書”這個(gè)概念在完成一本本教材的內(nèi)容，但我認(rèn)為，中職學(xué)校的專業(yè)教學(xué)應(yīng)該以本專業(yè)在相應(yīng)的崗位上的技能要求，去尋找必要的理論，然后將這些必要的理論整理出來(lái)，編寫出圖文聲光并茂的校本教材。

也就是說(shuō)，傳統(tǒng)意義上的教學(xué)多以“書”練“技”，而中職專業(yè)教學(xué)更多的需要以“技”尋“書”，這就有了編定校本教材的必要性。

（二）中職學(xué)校教材的發(fā)展（電子專業(yè)、汽修專業(yè)教材）討論：你所教專業(yè)課程教材使用情況（審定教材還是自己編教材）展示：中職電子專業(yè)《電子技術(shù)基礎(chǔ)》先后用過(guò)的教材?，F(xiàn)行教材存在的問(wèn)題：

1、多人編寫，內(nèi)容一致性差；

2、與本校實(shí)訓(xùn)設(shè)備、器材不配套；

3、內(nèi)容與形式上與中職生的學(xué)習(xí)能力存在差距；

3、參加高教出版與科技出版社電子專業(yè)教材研討會(huì)的體會(huì)

所有與會(huì)人員都提到教材需要改編，所有人對(duì)如何改編找不到文向，人們一致傾向于以項(xiàng)目教學(xué)形式，理實(shí)結(jié)合的一體化教學(xué)教材。

后來(lái)出了一些樣本，但是“項(xiàng)目”性不強(qiáng)，總體感覺(jué)只是將以往的“章節(jié)”改為了“項(xiàng)目”。

（四）企業(yè)培訓(xùn)教材的特點(diǎn)

討論：你讀過(guò)哪些企業(yè)的培訓(xùn)教材，它們有什么特點(diǎn)。企業(yè)培訓(xùn)教材，針對(duì)性很強(qiáng)，技能具體，例如：長(zhǎng)虹空調(diào)培訓(xùn)教材

如長(zhǎng)虹廠的空調(diào)培訓(xùn)教材，針對(duì)某個(gè)型號(hào)，安裝調(diào)試，檢查，圖文并排，很具體，按照教材的指導(dǎo)，學(xué)習(xí)者完全可以在短時(shí)間內(nèi)完成安一個(gè)項(xiàng)目的技能。

而類似的中職學(xué)校電子專教材，從物質(zhì)的三態(tài)變化講到空調(diào)，很厚一本，整本讀完，也只知道“原理”，尚無(wú)法動(dòng)手操作，背離了中職教學(xué)重在動(dòng)手這個(gè)初衷。

原因簡(jiǎn)析：中職教材一直由老師編寫，有“大綱”約束，脫不了傳統(tǒng)教材的理念，而企業(yè)培訓(xùn)教材多同行業(yè)專業(yè)內(nèi)專業(yè)人士編寫，重在實(shí)用與動(dòng)手，對(duì)于理論，編者很了解需要多少。

（五）工科專業(yè)“項(xiàng)目教學(xué)”、“理實(shí)一體化教學(xué)”對(duì)教材的要求

討論：你對(duì)“理實(shí)一體化教學(xué)”、“項(xiàng)目教學(xué)”的理解，實(shí)際工作的開(kāi)展情況

項(xiàng)目教學(xué)環(huán)節(jié)：

傳統(tǒng)工科教學(xué)橫式：理論（實(shí)驗(yàn)）—技能—項(xiàng)目； 項(xiàng)目教學(xué)：項(xiàng)目—技能的要求—必要的理論（實(shí)驗(yàn)）；

理實(shí)一體化教學(xué)過(guò)程：

過(guò)程式教學(xué)：理論—實(shí)驗(yàn)—考試

理實(shí)一體化教學(xué)：技能需求——理論——小組討論—實(shí)驗(yàn)—小組總結(jié)—再理論——再小組討論——再實(shí)驗(yàn)—再小組總結(jié)??達(dá)到技能要求。

要注意的誤區(qū)：抓技能放棄了理論，然而工科專業(yè)的很多技能需要深入的理論支撐。

（六）教學(xué)科研考察中的感受

因?qū)W本人參與我校省級(jí)科研課題《整體解決中職學(xué)生學(xué)習(xí)困難研究》的研究，走訪了許多中職學(xué)校，大家有一個(gè)共識(shí)：現(xiàn)在的“書”需要改編。

例如：《汽車電氣原理與維修》一書，在第一章節(jié)中，大約花了近40頁(yè)講汽車蓄電池的化學(xué)原理，結(jié)整學(xué)生如何在實(shí)際中去識(shí)別“+”“-”極還搞不清楚。

（七）2008.5.12的震撼

2008年的四川大地震，讓我感覺(jué)到，一個(gè)中職專業(yè)老師，有必要使自己成為專業(yè)人員，總結(jié)出真正能讓學(xué)生學(xué)得懂的理論，讓學(xué)生最終在“理實(shí)一體”中掌握一門專業(yè)技能，這是讓我這么多年來(lái)，潛心開(kāi)展校本研修、編寫校本教材的動(dòng)力之一。

二、校本教材開(kāi)發(fā)與校本研修的關(guān)系 討論：你所在學(xué)校的開(kāi)展哪些方式的校本研修

（一）涪城教研對(duì)校本研修的指導(dǎo)

感謝涪城進(jìn)校修，市教科所等領(lǐng)導(dǎo)對(duì)我我們學(xué)校研修工作的指導(dǎo)與支持，給了我們方向，給了我們力量。

（二）校本研修的目的：根據(jù)專業(yè)技能的要求，提高專業(yè)老師能力、改革課程設(shè)置、改革教學(xué)方法、編寫校本教材，最終讓學(xué)生掌握必要的現(xiàn)理，達(dá)到相應(yīng)的技能，真正“學(xué)有所得”！

（三）校本教材編寫與校本研修的本質(zhì)關(guān)系：從屬關(guān)系！校本教材的開(kāi)發(fā)屬于校本研修的一個(gè)組成部分。

（四）從我?！捌迣I(yè)校本研修”實(shí)例看校本研修與校本教材編寫的關(guān)系：

四川省綿陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)校 汽修專業(yè)教研實(shí)例

（涪城區(qū)政府主辦，國(guó)家級(jí)重點(diǎn)中職學(xué)校）

2012年春伊始，試點(diǎn)班級(jí)：2012級(jí)汽修專業(yè)班。第一階段：2012年秋 課程設(shè)置研究

（一）市場(chǎng)調(diào)研：

企業(yè)對(duì)中職汽修專業(yè)學(xué)生能力需求調(diào)研；

中職汽修專業(yè)辦學(xué)狀況調(diào)查；往屆畢業(yè)生現(xiàn)從業(yè)情況設(shè)查； 汽車高職院校課程設(shè)置與培養(yǎng)目標(biāo)調(diào)查； 綿陽(yáng)市場(chǎng)汽車銷售維修現(xiàn)狀調(diào)查。

（二）分析與研究：

汽車銷售與維修行業(yè)發(fā)現(xiàn)狀與人材需求分析 中職學(xué)生汽修行業(yè)從業(yè)率低的原因分析 中職與高職汽車專業(yè)學(xué)生就業(yè)結(jié)構(gòu)分析 中職汽修專業(yè)教學(xué)現(xiàn)狀分析

（三）研究形式：

走訪、請(qǐng)教、討論、參觀、教學(xué)班實(shí)踐等。

（四）研究成果： 形成第一階段新的課程設(shè)置

（特點(diǎn)：以技能項(xiàng)目為目標(biāo)，分階段集中形展專業(yè)課教學(xué)）

（五）提出的問(wèn)題：

中職工科專業(yè)班額過(guò)大嚴(yán)重影響專業(yè)技能教學(xué)，建議20至25人每班； 中職工科專業(yè)“理實(shí)一體化教學(xué)”需2名專業(yè)老師同時(shí)授課； 中職工科專業(yè)學(xué)制過(guò)短，不能滿足技能訓(xùn)練的要求； 中職工科專業(yè)同一時(shí)段開(kāi)設(shè)科目過(guò)多影響專業(yè)教學(xué)。

中職工科專業(yè)需教總結(jié)教學(xué)內(nèi)容，編寫適合自身情況的“校本教材”。第二階段：2013年春至2013年秋 汽修專業(yè)“理實(shí)一體化教學(xué)”形成研究

（一）研究?jī)?nèi)容：

對(duì)“理實(shí)一體化”教學(xué)的理解 “理實(shí)一體化”教學(xué)環(huán)境的形成 “理實(shí)一體化”教學(xué)課堂內(nèi)容的形成 “理實(shí)一體化”教學(xué)環(huán)節(jié)的形成 教師在“理實(shí)一體化”教學(xué)中的主導(dǎo)作用 設(shè)備在“理實(shí)一體化”教學(xué)中的必要作用 “理實(shí)一體化”教學(xué)在 汽修12.1班的實(shí)踐 “理實(shí)一體化”教學(xué)的影響因素分析 “理實(shí)一體化”研究反饋

（二）研究成果：

在我校汽修專業(yè)形成了以技能需求為目標(biāo)、以技能分類為項(xiàng)目的 “理實(shí)一體化”教學(xué)模式。

（三）提出的問(wèn)題：

“書”引導(dǎo)“教”還是“教”引導(dǎo)“書”

第三階段：2014年春至2014年秋

提高汽修專業(yè)“理實(shí)一體化”教學(xué)質(zhì)量與課程設(shè)置調(diào)整的研究（此項(xiàng)正在研究中）

（一）研究?jī)?nèi)容

教師技能對(duì)教學(xué)效果的影響研究； 提高教師技能的途徑研究；

學(xué)校管理制度對(duì)教師專業(yè)技能提高的影響研究； “理實(shí)一體化”教學(xué)的應(yīng)用研究； 汽修專業(yè)文化教材與教學(xué)現(xiàn)狀研究； 汽修專業(yè)文化課提高方法；

汽修專業(yè)專業(yè)課程教材與教學(xué)現(xiàn)狀研究； 汽修專業(yè)專業(yè)課教學(xué)質(zhì)量提高方法研究；

（二）力求獲得的成果 采用校本教材，提高教學(xué)效果；

應(yīng)用“理實(shí)一體化”項(xiàng)目教學(xué)，有效提高教學(xué)效果； 應(yīng)用“倒置教學(xué)法”改變傳統(tǒng)教學(xué)過(guò)程；

“一屏四畫”投影法解決演示觀看問(wèn)題，提高演示實(shí)訓(xùn)效果；

（三）提出的問(wèn)題

如何實(shí)現(xiàn)專業(yè)教師主動(dòng)提高專業(yè)技能 如何有效提高實(shí)訓(xùn)設(shè)備的利用率

第四階段：2015年春2015年秋 汽修專業(yè)校本教材編寫（計(jì)劃寫的校本教材）《汽車電工基礎(chǔ)》 《汽車電工技能》 《汽車傳感器原理檢測(cè)》 《汽車電氣原理與維修》

《電噴發(fā)動(dòng)機(jī)電氣故障分析與維修》

小結(jié)：校本研修最終目的：提高中職教學(xué)效果！

需要解決的主要問(wèn)題：老師技能的提高；教學(xué)模式的改變；教材的改變。

需要解決的輔助問(wèn)題：教學(xué)管理制度的改變；教學(xué)設(shè)備與環(huán)境的改變；學(xué)校德育工作的改變。

三、校本教材的基本特征 討論：你認(rèn)為校本教材具有哪些特征？

（一）校本教材的類型：

識(shí)讀性校本教材，如《模擬電子技術(shù)基礎(chǔ)》（展示）；

教學(xué)指導(dǎo)性校本教材，如《汽車電氣原理維修》（展示）；

（二）校本教材的特征：

1、強(qiáng)烈的技能針對(duì)性：

選材先取本專業(yè)最直接且最必要的內(nèi)容，特別是專業(yè)基礎(chǔ)課程，編者本專業(yè)最終的知識(shí)需求相當(dāng)了解，才能編出專業(yè)指性很強(qiáng)的專業(yè)校本教材。（展示：技能針對(duì)性強(qiáng)的校本教材樣本）

2、精練：

編寫語(yǔ)言需精練，防止半天說(shuō)不到點(diǎn)子上的現(xiàn)象。（展示：語(yǔ)言簡(jiǎn)練的校本教材樣本）

3、與本校的實(shí)訓(xùn)設(shè)備匹配：

如電子專業(yè)的所用的示波器，品牌不一，面板結(jié)構(gòu)不一，校本材需要與之配套，讓學(xué)生容易將與論課本與實(shí)訓(xùn)結(jié)合起來(lái)。（展示）

（三）校本教材的實(shí)質(zhì)：

你如何教懂了學(xué)生，就把它總結(jié)出來(lái)，歸納起來(lái)，做出適合本校情況的講義資料，就是“校本教材”。

四、校本教材的構(gòu)成要件 討論：你理解教材由哪些項(xiàng)目構(gòu)成

傳統(tǒng)意義上的教材以文本為主，逐步發(fā)展到有圖，有的也配合一些光盤（動(dòng)畫或視頻）

校本教材的構(gòu)成要件：文本；圖片；動(dòng)畫；視頻。

五、校本教材開(kāi)發(fā)條件

討論：你認(rèn)為開(kāi)發(fā)校本教材需要具備的條件？

（一）傳統(tǒng)教材編寫的問(wèn)題：

多人編寫，難于做成“項(xiàng)目”教學(xué)與“理實(shí)一體化”教學(xué)。

（二）校本教材開(kāi)發(fā)的主觀條件

1、首先是老師對(duì)中職專業(yè)與專業(yè)教學(xué)的熱愛(ài)，有沒(méi)有股熱愛(ài)談不上寫點(diǎn)什么。

2、其次是負(fù)責(zé)專業(yè)教學(xué)（特別是專業(yè)基礎(chǔ)）課的老師，要對(duì)本專業(yè)的非常了解，真正是一個(gè)專業(yè)人士，并且能在行業(yè)中，社會(huì)上應(yīng)用本專業(yè)，否則，老師也不知道學(xué)了那些有什么用，只能按照別人編的“書”去完成“教學(xué)任務(wù)”，而不是針對(duì)一門“專業(yè)”進(jìn)行教學(xué)，老師就成了教書先生了。

比如汽修專業(yè)的老師，書上畫著圖，寫著字，老師看一會(huì)，就能站上講臺(tái)去講，但是看到實(shí)物，老師就懵，這樣的課，談不上專業(yè)課，這就需要真正搞專業(yè)的老師編出能引領(lǐng)這些老師的適用教材，也就是校本教材。

當(dāng)前中職老師基本成了“百科教師”，一些學(xué)校安排語(yǔ)文老師上電子線路，歷史老師上汽車維修??這些課程老師是專業(yè)性很強(qiáng)的課程，這樣安排老師，不知道是誰(shuí)在勿悠誰(shuí)。

一堂專業(yè)課，要是不知道這堂課的過(guò)去是什么，未來(lái)是什么，那么，專業(yè)課就上成了文化課，這個(gè)時(shí)候，很需要適合當(dāng)前情況的校本教材。

3、三是老師本身所具備的綜合能力：如文本的編寫能力；圖片的處理能力；視頻的編輯能力；動(dòng)畫的制作能力等。

4、四是老師需要的吃苦耐勞的精神

教學(xué)中實(shí)用的東西往往又是不長(zhǎng)錢的。這個(gè)時(shí)候，老師需要的就是“吃苦耐”，我們經(jīng)常用這四個(gè)字教育學(xué)生，但真正自己“吃苦耐勞”地去做些有用的事情，卻又是很難的事情。

（三）校本教材開(kāi)發(fā)的客觀條件

1、學(xué)校管理的重視與促進(jìn)； 例如：我校高度重視校本教材的開(kāi)發(fā)，如經(jīng)濟(jì)上獎(jiǎng)勵(lì)；榮譽(yù)上傾斜等。

2、學(xué)校設(shè)施設(shè)備件：

如電子專業(yè)，需要做個(gè)實(shí)驗(yàn)，學(xué)校什么也沒(méi)有，那也不好搞。

（四）現(xiàn)行管理制度對(duì)校本教材開(kāi)發(fā)的影響

學(xué)校來(lái)講，諸多管理人員是普教過(guò)來(lái)的，管理模式與方式走的是普教模式，對(duì)專業(yè)教學(xué)中專業(yè)教師自己編講義教材不夠重視；

就大政而言，講義教材涉汲“大綱”的、審定等問(wèn)題，比如我們現(xiàn)在搞的“校本教材”，各方面也在口頭上支持，但說(shuō)到底可能還屬于“非法教材”，這對(duì)老師們參與這個(gè)事情的積極性影響也很大。

六、校本教材實(shí)例

《模擬電子技術(shù)“理實(shí)一體化”校本教材》

圖文識(shí)讀性校本教材，目前用于應(yīng)用電子班、佳仕焊機(jī)班等班級(jí)教學(xué)，效果很好；

《汽車概論》圖文識(shí)讀性校本教材，用于多界汽修專業(yè)教學(xué)，效果很好； 《汽車電氣原理與維修》教學(xué)指導(dǎo)性校本教材，用于汽修專業(yè)教學(xué)，效果很好；

《汽車電工基礎(chǔ)》圖文識(shí)讀性校本教材，用于汽修專業(yè)教學(xué)。

七、校本教材編實(shí)訓(xùn)

方案：結(jié)本本人所在學(xué)校與本人所承擔(dān)的專業(yè)教學(xué)，選取一個(gè)項(xiàng)目，做出一個(gè)校本教材編寫方案。

（一）情況分板（專業(yè)與教學(xué)環(huán)境）

（二）項(xiàng)目選材

（三）文本提綱

（四）圖片設(shè)計(jì)

（五）動(dòng)畫設(shè)計(jì)

（六）視頻錄制

八、小組校本教材展示 邀請(qǐng)學(xué)員展示自己的設(shè)計(jì)

九、小組校本教材評(píng)價(jià)

邀請(qǐng)其他成員對(duì)展示的設(shè)計(jì)作品作評(píng)價(jià)。

——完——

第五篇：《陶藝》校本教材開(kāi)發(fā)方案

《陶藝》校本課程實(shí)施方案

我校陶藝教學(xué)由2006年冬季創(chuàng)辦至今已有將近五個(gè)年頭了，在這五年中我們有過(guò)彷徨、有過(guò)疑惑，也有過(guò)思索和探討，也學(xué)習(xí)過(guò)兄弟學(xué)校的成功經(jīng)驗(yàn)。但如何能拿來(lái)在我們臨池中學(xué)進(jìn)行生根發(fā)芽，并開(kāi)花結(jié)果，我們一直在不斷的追求和探索中。我們不斷的問(wèn)自己，我們?yōu)槭裁匆_(kāi)展陶藝、我們?nèi)绾蝸?lái)開(kāi)展陶藝、我們將來(lái)想怎么樣開(kāi)展陶藝。下面我就這三個(gè)方面來(lái)詳細(xì)描述一下我校陶藝校本教學(xué)的發(fā)展思路。

一、我們?yōu)槭裁匆闾账?/p>

（一）校園文化建設(shè)的需要

校園文化是學(xué)校所具有特定的精神環(huán)境和文化氣氛，它從表象看包括校園建筑設(shè)計(jì)、校園景觀、綠化美化、宣傳櫥窗等這種物化形態(tài)的內(nèi)容，但它更是一種以學(xué)生為主體，以課外文化活動(dòng)為主要內(nèi)容，以校園為主要空間，以校園精神為主要特征的一種群體文化。是一種動(dòng)態(tài)中的校園文化。也是學(xué)校內(nèi)涵和深度的一種體現(xiàn)。健康的校園文化，可以陶冶學(xué)生的情操、啟迪學(xué)生心智，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。而陶藝無(wú)疑是校園文化建設(shè)的最好切入點(diǎn)之一。陶藝由于它本身所具有的文化內(nèi)涵和藝術(shù)魅力，使他成為我們選擇的一個(gè)重要原因。

（二）陶藝本身的價(jià)值使然。

陶藝是我國(guó)的一門傳統(tǒng)藝術(shù)，它的產(chǎn)生是人類進(jìn)化過(guò)程中具有劃時(shí)代意義的偉大創(chuàng)造，標(biāo)志著人類文明和文化的進(jìn)步。中國(guó)的陶瓷藝

術(shù)有著悠久的歷史和深厚的文化底蘊(yùn)，它曾長(zhǎng)期影響著世界陶瓷的發(fā)展，在世界文明史上占有重要地位。

在美國(guó)、德國(guó)、加拿大、日本及至我國(guó)的臺(tái)灣，“陶藝”早就走進(jìn)了大、中、小學(xué)課堂，而且開(kāi)展得有聲有色。實(shí)踐證明，陶藝教育的價(jià)值很高，它為發(fā)展學(xué)生個(gè)性，開(kāi)發(fā)潛能，提高審美能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力開(kāi)辟了無(wú)限的空間。

（三）是提高學(xué)生綜合素質(zhì)的需要

隨著新基礎(chǔ)的深入開(kāi)展，“新基礎(chǔ)教育”形成的教學(xué)共通價(jià)值觀的核心理念是：培養(yǎng)能在當(dāng)代社會(huì)中實(shí)現(xiàn)主動(dòng)、健康發(fā)展的一代新人。而主動(dòng)健康的一代新人必定是素質(zhì)全面發(fā)展的人，因而，一所學(xué)校的好壞不僅僅停留在升學(xué)率的多少，一個(gè)學(xué)生的好壞也不僅僅是分?jǐn)?shù)的高低，學(xué)生的素質(zhì)是多方面的。學(xué)校的育人觀也是全面的。陶藝恰恰在提高學(xué)生素質(zhì)方面具有無(wú)比的優(yōu)勢(shì)。蘇霍姆林斯基說(shuō)：“學(xué)生的才智反映在他的手指尖上”。也就是說(shuō)，只有讓孩子在操作中動(dòng)手、動(dòng)腦，多種感官參與活動(dòng)，才能使他們的智慧和能力得到最大限度的發(fā)展。在中學(xué)開(kāi)設(shè)陶藝課程，是加強(qiáng)素質(zhì)教育的最佳選題。它以其感人的形式，豐富的內(nèi)容，打動(dòng)學(xué)生的心靈，接近學(xué)生的生活，為學(xué)生提供了表達(dá)自我和發(fā)揮想象力的空間，使學(xué)生獲得快樂(lè)和滿足，這對(duì)學(xué)生身心健康的發(fā)展，創(chuàng)造能力和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)有著巨大的積極作用。

（四）是學(xué)校特色發(fā)展的要求

建設(shè)特色學(xué)校是深入實(shí)施素質(zhì)教育的需要，素質(zhì)教育是當(dāng)今教育改革的主旋律和辦學(xué)的歸宿。“合格+特長(zhǎng)”已成為眾多學(xué)校實(shí)施素質(zhì)

教育的切入點(diǎn)?！昂细瘛本褪桥囵B(yǎng)學(xué)生德、智、體、美、勞諸方面的基本素質(zhì)；“特色”就是在培養(yǎng)學(xué)生基本素質(zhì)的基礎(chǔ)上，充分發(fā)揮每一個(gè)學(xué)生的個(gè)性素質(zhì)特長(zhǎng)。同時(shí)建設(shè)特色學(xué)校也是學(xué)校生存和發(fā)展的需要，是學(xué)校品牌建設(shè)需要，是學(xué)校戰(zhàn)略發(fā)展新的增長(zhǎng)點(diǎn)。學(xué)校特色發(fā)展，是學(xué)校以先進(jìn)的教育思想作指導(dǎo)，根據(jù)學(xué)校的發(fā)展歷史與傳統(tǒng)、師資水平、辦學(xué)條件、環(huán)境等因素，選擇某一或幾個(gè)優(yōu)勢(shì)方面的工作進(jìn)行積累和拓展，逐步形成學(xué)校的顯著亮點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)校和諧健康發(fā)展。

二、我們?nèi)绾蝸?lái)開(kāi)展陶藝

在學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)高度重視和鼓勵(lì)鞭策下，在新課程理論的指導(dǎo)下，我校于2006年起，著手進(jìn)行《陶藝》教學(xué)的嘗試。從2008學(xué)起，我校逐步開(kāi)設(shè)六—八年級(jí)陶藝課程，并開(kāi)始把《陶藝》作為校本課程來(lái)開(kāi)發(fā)。逐步編寫了教材。在教材的內(nèi)容方面，遵循新課程標(biāo)準(zhǔn)，符合學(xué)校的實(shí)際情況，選擇貼近學(xué)生生活的內(nèi)容，與社會(huì)發(fā)展、科技進(jìn)步相融合，與人文精神相融合，逐漸向綜合方面發(fā)展，使陶藝校本課程富有時(shí)代感。教材的編寫還體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生的個(gè)性潛能充分挖掘，為學(xué)生的創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力打下基礎(chǔ)，促進(jìn)學(xué)生的個(gè)性全面和諧的發(fā)展。在開(kāi)發(fā)的過(guò)程中我們實(shí)施了以下策略。

（一）構(gòu)建民主、開(kāi)放的課程開(kāi)發(fā)組織。

建立一支民主、開(kāi)放的組織機(jī)構(gòu)是保證校本課程開(kāi)發(fā)渠道順暢的重要因素。從2006年起，我校專門成立了課程開(kāi)發(fā)組。一線教師進(jìn)行陶藝教學(xué)方面的探究和實(shí)踐，搜集適合學(xué)生發(fā)展的課例形式，定期匯總教研。做到邊實(shí)施，邊開(kāi)發(fā)，邊挖掘，邊總結(jié)的同步進(jìn)行的有效方法，在實(shí)踐過(guò)程中動(dòng)態(tài)生成課程。我們先后三次改編寫了教材，并逐步生成了適合我校師生的教材。同時(shí)為保證組織機(jī)構(gòu)民主、順暢運(yùn)行，學(xué)校強(qiáng)調(diào)三個(gè)意識(shí)，即校長(zhǎng)要有協(xié)調(diào)意識(shí)，分管領(lǐng)導(dǎo)要有服務(wù)意識(shí)，實(shí)驗(yàn)教師要有精品意識(shí)，為課程開(kāi)發(fā)的順利實(shí)施提供有力的保障。

（二）創(chuàng)設(shè)良好的外部開(kāi)發(fā)環(huán)境。

為推進(jìn)陶藝教學(xué)，學(xué)校做了大量的工作。配齊、開(kāi)設(shè)了高標(biāo)準(zhǔn)的陶藝教室、作品陳列柜，設(shè)置了專門燒制陶器的窯爐。但由于近兩年學(xué)校陶藝教室的搬遷，陳列室、窯爐、等一些設(shè)施暫時(shí)不能到位，但在新校的規(guī)劃建設(shè)上，陶藝專用教室，及一些配套設(shè)施將得到更全面的配置。

（三）科學(xué)合理課時(shí)課程安排

陶藝校本重在普及，使學(xué)生在陶藝教學(xué)的大文化背景下受到教育。學(xué)校全校一至六年級(jí)全部開(kāi)展陶藝課。在現(xiàn)有的條件下讓盡量多的學(xué)生參與陶藝教學(xué)體驗(yàn)，做到“人人動(dòng)手，個(gè)個(gè)玩陶”。每學(xué)期每人有8次陶藝教學(xué)，每次2課時(shí)，課時(shí)安排還和美術(shù)課教學(xué)相結(jié)合。陶藝教學(xué)和美術(shù)教學(xué)中的手工、泥塑、面塑、雕塑、繪畫等教學(xué)的整合，開(kāi)發(fā)陶藝校本課程，構(gòu)建大綜合的陶藝教學(xué)特色之路。

（四）陶藝校本教材的編寫

我校陶藝校本教材的研究和開(kāi)發(fā)是建立在老師上實(shí)驗(yàn)課，開(kāi)展個(gè)案研究的基礎(chǔ)上。隨著陶藝課程的研究與推進(jìn)，老師積累了大量的案例，厚積薄發(fā)，在專業(yè)刊物的指引下，編寫了名為《陶藝》的陶藝校本教材。教材在實(shí)施過(guò)程中不斷地檢驗(yàn)和完善，使之更加科學(xué)合理。確立課程總目標(biāo) ：

1．通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，了解陶藝發(fā)展史、陶藝技法，從經(jīng)驗(yàn)中探索、把握基本陶藝造型語(yǔ)言。

2．通過(guò)作品設(shè)計(jì)與制作，樹立創(chuàng)新意識(shí)，尋求，加強(qiáng)空間造型能力。3．通過(guò)制陶實(shí)踐過(guò)程，主動(dòng)探索嘗試表達(dá)新穎的設(shè)計(jì)途徑與方法。4．通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，初步體會(huì)陶藝是人類內(nèi)心情感表達(dá)的一種語(yǔ)言，為日后進(jìn)一步體驗(yàn)陶藝作鋪墊。

（1）根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)，制定了課程年級(jí)目標(biāo)。低年級(jí)：

1．以培養(yǎng)學(xué)生喜歡玩泥巴為主，不急于要求學(xué)生塑造出作品，在游戲中體驗(yàn)?zāi)喟偷挠?、軟、干、濕等不同性質(zhì)并自由自在地進(jìn)行變形，以提高其興趣及信心。

2．鼓勵(lì)學(xué)生多嘗試各種技法、探求陶土的可塑性。如揉、搓、切、打、挖、刮、堆等技法，通過(guò)游戲讓學(xué)生自己探究。

3．能夠捏塑出各種簡(jiǎn)單的幾何形體，如長(zhǎng)條、球體、立方體、泥板等，并進(jìn)行簡(jiǎn)單的圖案刻畫。中年級(jí)：

1．嘗試運(yùn)用各種輔助材料進(jìn)行陶土的造型創(chuàng)作，如木棒、牙簽、竹筷、鐵絲等。

2．能夠把握雕塑造型的立體感，感受陶土潛在的美感特性，并能與他人分工合作完成作品。

3．嘗試運(yùn)用各種技法制作平面的或立體的作品來(lái)表達(dá)自己的想法，提高其造型能力。

4．逐步養(yǎng)成收藏自己喜愛(ài)的作品并拍攝照片，作簡(jiǎn)單的介紹，養(yǎng)成樂(lè)于與人共賞的習(xí)慣。高年級(jí)：

1．喜歡欣賞中外優(yōu)秀的陶藝作品，能與他人交流自己的感受，發(fā)現(xiàn)其意義并能對(duì)作品的形式、內(nèi)容、風(fēng)格特點(diǎn)、創(chuàng)作背景等方面進(jìn)行自主探究，有自己的心得。

2．培養(yǎng)學(xué)生有計(jì)劃性的工作能力，在實(shí)際創(chuàng)作之前，能根據(jù)構(gòu)想草圖，預(yù)想必須使用的材料、工具和技法，以及制作步驟，有順序地進(jìn)行創(chuàng)作。能注意到特體量感與動(dòng)勢(shì)的表現(xiàn)，并逐步接觸拉坯，學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的釉色法。

（二）教材編寫的原則：要求教材要適合12歲以上年齡段的學(xué)生。遵循以“玩”為主宗旨，以感受陶藝，享受玩泥的快樂(lè)為主線，以人文性的語(yǔ)言貫穿整個(gè)教材。本教材突出“兩個(gè)易”：

1、陶藝技巧和知識(shí)學(xué)生易接受，要與中學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)和生活相適應(yīng)。

2、學(xué)生的材料容易搜集，如課余練習(xí)黃泥和橡皮泥均可成為陶泥的代用品。

（三）在教材的編寫過(guò)程中注重與多學(xué)科的整合，是突出了“六個(gè)結(jié)合”：音樂(lè)與陶藝的融合，語(yǔ)文文學(xué)與陶藝的融合，歷史與陶藝的融合，生活與陶藝的融合，民間藝術(shù)與陶藝的融合。陶藝和綜合實(shí)踐相融合。例如：音樂(lè)與陶藝，由音樂(lè)欣賞到樂(lè)器的觸摸了解再到我做的樂(lè)器，學(xué)生聽(tīng)覺(jué)、視覺(jué)、手覺(jué)、感知、了解、創(chuàng)造。一堂校本涉及多個(gè)認(rèn)知領(lǐng)域。又比如歷史與陶藝的融合，有一課叫《我做的兵馬俑》，我先讓學(xué)生網(wǎng)上了解有關(guān)兵馬俑的資料，讓學(xué)生進(jìn)行描述，想象。最 6

后假設(shè)自己是考古工作者，請(qǐng)他復(fù)原當(dāng)年的兵馬俑原貌。學(xué)生對(duì)這樣的課非常感興趣。其作品呈現(xiàn)出來(lái)的創(chuàng)造性常常讓我們感到驚奇。

（四）過(guò)程性評(píng)價(jià)在三冊(cè)教材中得以體現(xiàn)。低年級(jí)是“快樂(lè)的陶藝學(xué)期”，中年級(jí)是“發(fā)展的陶藝學(xué)期”，高年級(jí)是“收獲的陶藝學(xué)期”，每?jī)?cè)對(duì)學(xué)生的要求都在不斷地更新。在過(guò)程性評(píng)價(jià)中，我們遵循評(píng)價(jià)的趣味性，激勵(lì)性，可操作性原則，有學(xué)生自評(píng)，生生互評(píng)，還加入了家長(zhǎng)的評(píng)價(jià)。使每個(gè)學(xué)生在學(xué)期結(jié)束后能夠了解自己的學(xué)習(xí)情況，有所收獲，使課程開(kāi)發(fā)與教學(xué)改革一體化。

三、探索陶藝校本的進(jìn)一步發(fā)展之路

雖然我校陶藝校本以積累了一些經(jīng)驗(yàn)，但總覺(jué)得還有這樣那樣的不足，尤其是教師在持續(xù)深入開(kāi)展的過(guò)程中常常感到心有余而力不足，因而迫切需要明確校本進(jìn)一步發(fā)展目標(biāo)，制定是陶藝發(fā)展的近三年規(guī)劃，尋找到一條更好的發(fā)展之路。我們將增加和完善以下措施。

（一）開(kāi)展以課題研究為支撐的理論培訓(xùn)。

校本課程的開(kāi)發(fā)與實(shí)施關(guān)鍵在教師。加強(qiáng)培訓(xùn)，提高教師開(kāi)發(fā)新課程的熱情與能力是當(dāng)務(wù)之急。為此，我校準(zhǔn)備進(jìn)行以課題研究為支撐，通過(guò)校本科研、校本教研加強(qiáng)培訓(xùn)。要求老師業(yè)余進(jìn)行課程目標(biāo)、課程實(shí)施、課程常識(shí)、課程探究等基本理論的自學(xué)，并尋找機(jī)會(huì)向陶藝家請(qǐng)教有關(guān)陶藝專業(yè)知識(shí)，使我校的課程開(kāi)發(fā)既有課程理論方面的支持，也有專業(yè)知識(shí)上的引領(lǐng)。老師在課程開(kāi)發(fā)的過(guò)程中，做到有課題，從實(shí)際教學(xué)出發(fā)，解決實(shí)際問(wèn)題，寫出相關(guān)的論文與案例。老師科研意識(shí)的形成，提高了校本課程開(kāi)發(fā)的質(zhì)量。

（二）進(jìn)一步完善課外興趣小組的建設(shè)，校本重在普及，沒(méi)有數(shù)量就沒(méi)有質(zhì)量，校本的開(kāi)展能讓更多的具有陶藝天賦的學(xué)生被發(fā)現(xiàn)從而有進(jìn)一步發(fā)展的空間。1）、課外陶藝興趣小組 就能滿足部分學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)探索的需求，學(xué)校要更好的組織陶藝興趣小組，讓一部分學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)玩陶。課外興趣小組人員和時(shí)間，以各年級(jí)喜愛(ài)陶藝的學(xué)生組成，限全校20-30名學(xué)生。每周二、下午第三節(jié)課。興趣小組重在提高，學(xué)生制作出一件件充滿藝術(shù)氣息，富有生活氣息的精美作品就是成果。

（三）方法和措施： a.檔案記錄：興趣小組每人都有檔案，記錄其學(xué)習(xí)陶藝的心得感受、個(gè)人看法的文字資料和他們的陶藝作品圖片數(shù)據(jù)庫(kù)，注重收集學(xué)生的個(gè)體成長(zhǎng)資料。b.作品宣傳：每人作品用數(shù)碼相機(jī)采集，文字用電腦存盤。發(fā)布于學(xué)校網(wǎng)頁(yè)上，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)校的社會(huì)知名度。c.陶藝活動(dòng)：可以讓學(xué)生成立陶藝公司，開(kāi)展作品收藏、饋贈(zèng)親友、精品拍賣等藝術(shù)活動(dòng)。以提高學(xué)生陶藝制作的興趣，使學(xué)生體驗(yàn)成功的樂(lè)趣，豐富學(xué)校的文化生活。

（四）加強(qiáng)陶藝教學(xué)的橫向聯(lián)系，走出去，請(qǐng)進(jìn)來(lái)。以區(qū)域研討，觀摩課，外出參觀等方式進(jìn)行教學(xué)交流，拓寬思路，從而達(dá)到提高教師教學(xué)質(zhì)量。

（五）成立教師陶吧，讓每一個(gè)教師體驗(yàn)制陶的樂(lè)趣。在陶吧里親手制作自己喜愛(ài)的作品。營(yíng)造全校師生玩陶氛圍。

（六）設(shè)立陶藝教室家長(zhǎng)和學(xué)生開(kāi)放日，陶藝教室家長(zhǎng)和學(xué)生開(kāi)放日可以在陶藝實(shí)驗(yàn)中得到體現(xiàn)。陶藝課程的實(shí)施效果

1．陶藝課程的有效實(shí)施，進(jìn)一步豐富完善了學(xué)校的課程體系。在多年的探索與實(shí)踐中，學(xué)校充分挖掘課程資源，通過(guò)邊實(shí)踐邊開(kāi)發(fā)的策略過(guò)程，不斷提高課程開(kāi)發(fā)的能力和水平。陶藝課程的成功開(kāi)發(fā)，有利于學(xué)校課程管理和決策的民主化及課程資源的優(yōu)置化，提高了學(xué)校的辦學(xué)質(zhì)量，逐步成為了學(xué)校的品牌課程，凸現(xiàn)了學(xué)校的辦學(xué)特色。2．陶藝課程的有效實(shí)施，滿足學(xué)生自我發(fā)展的需求。激發(fā)學(xué)生對(duì)陶藝的學(xué)習(xí)興趣、發(fā)展感知能力和三維形象思維能力、培養(yǎng)創(chuàng)造精神和解決問(wèn)題問(wèn)題的能力?？傊账囌n程著眼于發(fā)展學(xué)生的興趣、需要和特長(zhǎng)，關(guān)注學(xué)生的個(gè)性發(fā)展。學(xué)生在玩泥巴中培養(yǎng)了審美情趣，享受到了成功和快樂(lè)，真正落實(shí)了“為每個(gè)學(xué)生一生的幸福和發(fā)展奠基”的辦學(xué)理念。結(jié)語(yǔ)：藝無(wú)止境，所以從事藝術(shù)的人是快樂(lè)的。從事藝術(shù)教育的人是幸福的，因?yàn)槟愕母冻鍪顾说玫娇鞓?lè)。陶藝教學(xué)是快樂(lè)的。

臨池鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)美術(shù)教研組

2010年3月