線性代數(shù)在日常生活中的應(yīng)用——城市人們出行的應(yīng)用

孫瑞201905280230

線性代數(shù)在生活中得到廣泛運用,在大自然中許多現(xiàn)象恰好是線性變化的,研究的是單個變量之間的關(guān)系。例如我們高中學(xué)過的物理學(xué)科中,物理可以分為機械運動、電運動、還有量子力學(xué)的運動。而比較重要的機械運動的基本方程是牛頓第二定律,即物體的加速度同它所受到的力成正比,其實這又恰恰符合基本的線性微分方程。再如電運動的基本方程是麥克思韋方程組,這個方程組表明電場強度與磁場的變化率成正比,而磁場的強度又與電場強度的變化率成正比,因此麥克思韋方程組也正好是線性方程組。之后隨著科學(xué)的發(fā)展,我們不僅要研究單個變量之間的關(guān)系,還要進一步研究多個變量之間的關(guān)系,因為各種實際問題在大多數(shù)情況下可以線性化,而且由于計算機的發(fā)展,線性化了的問題又可以計算出來,所以,線性代數(shù)因這方面的成為了解決這些問題的有力工具具而被廣泛應(yīng)用。

某城市有兩組單行道,構(gòu)成了一個包含四個節(jié)點 A,B，C,D的十字路口如圖所示。在交通繁忙時段的汽車從外部進出此十字路口的流量(每小時的車流數(shù))標(biāo)于圖上。現(xiàn)要求計算每兩個節(jié)點之間路段上的交通流量x1,x2,x3,x4。

解:在每個節(jié)點上,進入和離開的車數(shù)應(yīng)該相等,這就決定了四個流通的方程:

節(jié)點A：x1+450=x2+610

節(jié)點B：x2+520=x3+480

節(jié)點C：x3+390=x4+600

節(jié)點D：x4+640=x2+310

將這組方程進行整理，寫成矩陣的形式：

用消元法求其行列式，或者直接調(diào)用U0=rref（[A，b]）,可以得到它的精簡行列式為

注意這個系數(shù)矩陣所代表的意義,它的左邊四列從左至右依次為變量x1,x2,x3,x4的系數(shù),第五列則是在等式右邊的常數(shù)項。把第四列移到等式右邊,可以按行列寫恢復(fù)為方程,其結(jié)果為:x1=x4+330,x2=x4+170,4x3=x4+210,0=0

由于最后一行變?yōu)槿?這個精簡行階梯形式只有三行有效,也就是說四個方程中有一個是相依的,實際上只有三個有效方程。方程數(shù)比未知數(shù)的數(shù)目少,即沒有給出足夠的信息來唯一地確定x1,x2,x3,和x4。其原因也不難從物理上想象,題目給出的只是進入和離開這個十字路區(qū)的流量,如果有些車沿著這四方的單行道繞圈,那是不會影響總的輸入輸出流量的,但可以全面增加四條路上的流量。所以x4被稱為自由變量,實際上它的取值也不能完全自由,因為規(guī)定了這些路段都是單行道,x1,x2,x3,和x4。都不能取負值。

所以要準(zhǔn)確了解這里的交通流情況,還應(yīng)該在x1,x2,x3,和x4中,再檢測一個變量。

線性代數(shù)有很多在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用,我們要會運用線性代數(shù)來解決現(xiàn)實生活中的一些事或麻煩。我們的生活中到處都存在著數(shù)學(xué),所以用心它的魅力吧。