橢圓知識點

知識點一：橢圓的定義

平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù),這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.注意：若，則動點的軌跡為線段；

若，則動點的軌跡無圖形.知識點二：橢圓的簡單幾何性質(zhì)

橢圓：與的簡單幾何性質(zhì)

標(biāo)準方程

圖形

性質(zhì)

焦點，焦距

范圍，對稱性

關(guān)于軸、軸和原點對稱

頂點，軸長

長軸長=，短軸長=

長半軸長=，短半軸長=（注意看清題目）

離心率

；；；

(p是橢圓上一點)（不等式告訴我們橢圓上一點到焦點距離的范圍）

注意：①與坐標(biāo)系無關(guān)的橢圓本身固有的性質(zhì)，如：長軸長、短軸長、焦距、離心率等；②與坐標(biāo)系有關(guān)的性質(zhì)，如：頂點坐標(biāo)、焦點坐標(biāo)等

知識點三：橢圓相關(guān)計算

1．橢圓標(biāo)準方程中的三個量的幾何意義

2.通徑:過焦點且垂直于長軸的弦,其長

焦點弦：橢圓過焦點的弦。

3.最大角:p是橢圓上一點，當(dāng)p是橢圓的短軸端點時，為最大角。

4.橢圓上一點和兩個焦點構(gòu)成的三角形稱為焦點三角形。

焦點三角形的面積，其中（注意公式的推導(dǎo)）

5.求橢圓標(biāo)準方程的步驟（待定系數(shù)法）．

(1)作判斷：依據(jù)條件判斷橢圓的焦點在x軸上還是在y軸上．

(2)設(shè)方程：

①依據(jù)上述判斷設(shè)方程為=1或=1

②在不能確定焦點位置的情況下也可設(shè)mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)．

(3)找關(guān)系，根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a，b，c或m，n的方程組．

(4)解方程組，代入所設(shè)方程即為所求．

6.點與橢圓的位置關(guān)系:

<1,點在橢圓內(nèi)；=1，點在橢圓上；>1,點在橢圓外。

7.直線與橢圓的位置關(guān)系

設(shè)直線方程y＝kx＋m，若直線與橢圓方程聯(lián)立，消去y得關(guān)于x的一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．

(1)Δ＞0，直線與橢圓有兩個公共點；

(2)Δ＝0，直線與橢圓有一個公共點；

(3)Δ＜0，直線與橢圓無公共點．

8.弦長公式：（注意推導(dǎo)和理解）

若直線與圓錐曲線相交與、兩點，則弦長

=

9.點差法：

就是在求解圓錐曲線題目中，交代直線與圓錐曲線相交所截的線段中點坐標(biāo)的時候，利用直線和圓錐曲線的兩個交點，并把交點代入圓錐曲線的方程，并作差。求出直線的斜率，然后利用中點求出直線方程。涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單．

步驟:①設(shè)直線和圓錐曲線交點為，其中點坐標(biāo)為，則得到關(guān)系式：，．.②把，分別代入圓錐曲線的解析式，并作差，利用平方差公式對結(jié)果進行因式分解．其結(jié)果為

③利用??求出直線斜率,代入點斜式得直線方程為.中點弦的重要結(jié)論（不要死記會推導(dǎo)）

10．參數(shù)方程

（為參數(shù)）幾何意義：離心角

11、橢圓切線的求法

1）切點（）已知時，切線

切線

2）切線斜率k已知時，切線

切線

12、焦半徑：橢圓上點到焦點的距離

（加減由長短決定）

（加減由長短決定）

13．離心率的求法

橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)有兩種方

14.焦點三角形的周長和面積的求法

利用定義求焦點三角形的周長和面積，解焦點三角形常利用橢圓的定義和正弦正理，常

15.橢圓的范圍或最值問題

知識點四：橢圓了解知識

1、橢圓面積：

2、橢圓的第二定義：