專題四

三角函數(shù)與解三角形

第十一講

三角函數(shù)的綜合應(yīng)用

2019年

1.(2019江蘇18)如圖,一個湖的邊界是圓心為O的圓,湖的一側(cè)有一條直線型公路l,湖上有橋AB(AB是圓O的直徑).規(guī)劃在公路l上選兩個點(diǎn)P?Q,并修建兩段直線型道路PB?QA.規(guī)劃要求:線段PB?QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.已知點(diǎn)A?B到直線l的距離分別為AC和BD(C?D為垂足),測得AB=10,AC=6,BD=12(單位:百米).(1)若道路PB與橋AB垂直,求道路PB的長;

(2)在規(guī)劃要求下,P和Q中能否有一個點(diǎn)選在D處?并說明理由;

(3)在規(guī)劃要求下,若道路PB和QA的長度均為d(單位:百米).求當(dāng)d最小時,P?Q兩點(diǎn)間的距離.2010-2018年

一?選擇題

1.(2018北京)在平面直角坐標(biāo)系中,記為點(diǎn)到直線的距離,當(dāng),變化時,的最大值為

A.1

B.2

C.3

D.4

2.(2016年浙江)設(shè)函數(shù),則的最小正周期

A.與b有關(guān),且與c有關(guān)

B.與b有關(guān),但與c無關(guān)

C.與b無關(guān),且與c無關(guān)

D.與b無關(guān),但與c有關(guān)

3.(2015陜西)如圖,某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù),據(jù)此函數(shù)可知,這段時間水深(單位:m)的最大值為

A.5

B.6

C.8

D.10

4(2015浙江)存在函數(shù)滿足,對任意都有

A.B.C.D.5.(2015新課標(biāo)Ⅱ)如圖,長方形ABCD的邊AB=2,BC=1,O是AB的中點(diǎn),點(diǎn)P沿著邊BC,CD與DA運(yùn)動,∠BOP=x.將動點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù),則的圖像大致為

A

B

C

D

6.(2014新課標(biāo)Ⅰ)如圖,圓O的半徑為1,A是圓上的定點(diǎn),P是圓上的動點(diǎn),角的始邊為射線,終邊為射線,過點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,將點(diǎn)到直線的距離表示為的函數(shù),則=在[0,]上的圖像大致為

A.B.C.D.7.(2015湖南)已知函數(shù)則函數(shù)的圖象的一條對稱軸是

A.B.C.D.二?填空題

8.(2016年浙江)已知,則=__,=__.9.(2016江蘇省)

定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象與的圖象的交點(diǎn)

個數(shù)是

.10.(2014陜西)設(shè),向量,若,則_______.11.(2012湖南)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的部分圖像如圖4所示,其中,P為圖像與y軸的交點(diǎn),A,C為圖像與x軸的兩個交點(diǎn),B為圖像的最低點(diǎn).(1)若,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,),則

;

(2)若在曲線段與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)在△ABC內(nèi)的概率為

.三?解答題

12.(2018江蘇)某農(nóng)場有一塊農(nóng)田,如圖所示,它的邊界由圓的一段圓弧(為此圓弧的中點(diǎn))和線段構(gòu)成.已知圓的半徑為40米,點(diǎn)到的距離為50米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個溫室大棚,大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形,大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為,要求均在線段上,均在圓弧上.設(shè)與所成的角為.(1)用分別表示矩形和的面積,并確定的取值范圍;

(2)若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜,大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜,且甲?乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為.求當(dāng)為何值時,能使甲?乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.13.(2017江蘇)如圖,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm,容器Ⅰ的底面對角線的長為10cm,容器Ⅱ的兩底面對角線,的長分別為14cm和62cm.分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均為12cm.現(xiàn)有一根玻璃棒,其長度為40cm.(容器厚度?玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì))

(1)將放在容器Ⅰ中,的一端置于點(diǎn)處,另一端置于側(cè)棱上,求沒入水中部分的長度;

(2)將放在容器Ⅱ中,的一端置于點(diǎn)處,另一端置于側(cè)棱上,求沒入水中部分的長度.14.(2015山東)設(shè).(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)在銳角△中,角,的對邊分別為,若，求△面積的最大值.15.(2014湖北)某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度(單位:℃)隨時間(單位:)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系:,.(Ⅰ)求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差;

(Ⅱ)若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于,則在哪段時間實(shí)驗(yàn)室需要降溫?

16.(2014陜西)的內(nèi)角所對的邊分別為.(I)若成等差數(shù)列,證明:;

(II)若成等比數(shù)列,求的最小值.17.(2013福建)已知函數(shù)的周期為,圖像的一個對稱中心為,將函數(shù)圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),在將所得圖像向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像.(1)求函數(shù)與的解析式;

(2)是否存在,使得按照某種順序成等差數(shù)列?若存在,請確定的個數(shù);若不存在,說明理由.(3)求實(shí)數(shù)與正整數(shù),使得在內(nèi)恰有2013個零點(diǎn).專題四

三角函數(shù)與解三角形

第十一講

三角函數(shù)的綜合應(yīng)用

答案部分

2019年

1.解析

解法一:

(1)過A作,垂足為E.由已知條件得,四邊形ACDE為矩形,.＇

因?yàn)镻B⊥AB,所以.所以.因此道路PB的長為15(百米).(2)①若P在D處,由(1)可得E在圓上,則線段BE上的點(diǎn)(除B,E)到點(diǎn)O的距離均小于圓O的半徑,所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處,聯(lián)結(jié)AD,由(1)知,從而,所以∠BAD為銳角.所以線段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.因此,Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上,P和Q均不能選在D處.(3)先討論點(diǎn)P的位置.當(dāng)∠OBP<90°時,線段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑,點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求;

當(dāng)∠OBP≥90°時,對線段PB上任意一點(diǎn)F,OF≥OB,即線段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑,點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.設(shè)為l上一點(diǎn),且,由(1)知,B=15,此時;

當(dāng)∠OBP>90°時,在中,.由上可知,d≥15.再討論點(diǎn)Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè),才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時,.此時,線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.綜上,當(dāng)PB⊥AB,點(diǎn)Q位于點(diǎn)C右側(cè),且CQ=時,d最小,此時P,Q兩點(diǎn)間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+.因此,d最小時,P,Q兩點(diǎn)間的距離為17+(百米).解法二:(1)如圖,過O作OH⊥l,垂足為H.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OH為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)锽D=12,AC=6,所以O(shè)H=9,直線l的方程為y=9,點(diǎn)A,B的縱坐標(biāo)分別為3,?3.因?yàn)锳B為圓O的直徑,AB=10,所以圓O的方程為x2+y2=25.從而A(4,3),B(?4,?3),直線AB的斜率為.因?yàn)镻B⊥AB,所以直線PB的斜率為,直線PB的方程為.所以P(?13,9),.因此道路PB的長為15(百米).(2)①若P在D處,取線段BD上一點(diǎn)E(?4,0),則EO=4<5,所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處,聯(lián)結(jié)AD,由(1)知D(?4,9),又A(4,3),所以線段AD:.在線段AD上取點(diǎn)M(3,),因?yàn)?所以線段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上,P和Q均不能選在D處.(3)先討論點(diǎn)P的位置.當(dāng)∠OBP<90°時,線段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑,點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求;

當(dāng)∠OBP≥90°時,對線段PB上任意一點(diǎn)F,OF≥OB,即線段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑,點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.設(shè)為l上一點(diǎn),且,由(1)知,B=15,此時(?13,9);

當(dāng)∠OBP>90°時,在中,.由上可知,d≥15.再討論點(diǎn)Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè),才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時,設(shè)Q(a,9),由,得a=,所以Q(,9),此時,線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.綜上,當(dāng)P(?13,9),Q(,9)時,d最小,此時P,Q兩點(diǎn)間的距離

.因此,d最小時,P,Q兩點(diǎn)間的距離為(百米)

2010-2018年

1.C【解析】由題意可得

(其中,),∵,∴，∴當(dāng)時,取得最大值3,故選C.2.B【解析】由于.當(dāng)時,的最小正周期為;

當(dāng)時,的最小正周期;的變化會引起的圖象的上下平移,不會影響其最小正周期.故選B.注:在函數(shù)中,的最小正周期是和的最小正周期的公倍數(shù).3.C【解析】由圖象知:,因?yàn)?所以,解得:,所以這段時間水深的最大值是,故選C.4.D【解析】對于A,當(dāng)或時,均為1,而與此時均有兩個值,故A?B錯誤;對于C,當(dāng)或時，而由兩個值,故C錯誤,選D.5.B【解析】由于,故排除選項(xiàng)C?D;當(dāng)點(diǎn)在上時,.不難發(fā)現(xiàn)的圖象是非線性,排除A.6.C【解析】由題意知，當(dāng)時,;當(dāng)時，故選C.7.A【解析】由,得,所以,所以,由正弦函數(shù)的性質(zhì)知與的圖象的對稱軸相同,令,則,所以函數(shù)的圖象的對稱軸為,當(dāng),得,選A.8.【解析】,所以

9.7【解析】畫出函數(shù)圖象草圖,共7個交點(diǎn).10.【解析】∵,∴,∴,∵,∴.11.(1)3;(2)【解析】(1),當(dāng),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,)時;

(2)曲線的半周期為,由圖知，設(shè)的橫坐標(biāo)分別為.設(shè)曲線段與x軸所圍成的區(qū)域的面積為則,由幾何概型知該點(diǎn)在△ABC內(nèi)的概率為.12.【解析】(1)連結(jié)并延長交于,則⊥,所以=10.過作⊥于,則∥,所以,故，則矩形的面積為,的面積為.過作⊥,分別交圓弧和的延長線于和,則.令,則,.當(dāng)時,才能作出滿足條件的矩形,所以的取值范圍是.答:矩形的面積為平方米,的面積為,的取值范圍是.(2)因?yàn)榧?乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3,設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為,乙的單位面積的年產(chǎn)值為,則年總產(chǎn)值為,.設(shè)，則.令,得,當(dāng)時，所以為增函數(shù);

當(dāng)時，所以為減函數(shù),因此,當(dāng)時,取到最大值.答:當(dāng)時,能使甲?乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.13.【解析】(1)由正棱柱的定義,平面,所以平面平面,.記玻璃棒的另一端落在上點(diǎn)處.因?yàn)?.所以,從而.記與水平的交點(diǎn)為,過作,為垂足,則平面,故,從而.答:玻璃棒沒入水中部分的長度為16cm.（如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”,則結(jié)果為24cm)

(2)如圖，是正棱臺的兩底面中心.由正棱臺的定義,⊥平面,所以平面⊥平面,⊥.同理,平面⊥平面,⊥.記玻璃棒的另一端落在上點(diǎn)處.過作⊥,為垂足,則==32.因?yàn)?

14,=

62,所以=,從而.設(shè)則.因?yàn)?所以.在中,由正弦定理可得,解得.因?yàn)?所以.于是

.記與水面的交點(diǎn)為,過作,為垂足,則

⊥平面,故=12,從而

=.答:玻璃棒沒入水中部分的長度為20cm.(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”,則結(jié)果為20cm)

14.【解析】(Ⅰ)由題意

.由(),可得();

由(),得();

所以的單調(diào)遞增區(qū)間是();

單調(diào)遞減區(qū)間是().(Ⅱ)，由題意是銳角,所以

.由余弦定理:,可得,且當(dāng)時成立..面積最大值為.15.【解析】(Ⅰ)因?yàn)?又,所以，當(dāng)時,;當(dāng)時,;

于是在上取得最大值12,取得最小值8.故實(shí)驗(yàn)室這一天最高溫度為,最低溫度為,最大溫差為

(Ⅱ)依題意,當(dāng)時實(shí)驗(yàn)室需要降溫.由(Ⅰ)得,所以,即,又,因此,即,故在10時至18時實(shí)驗(yàn)室需要降溫.16.【解析】(1)成等差數(shù)列,由正弦定理得

(2)成等比數(shù)列,由余弦定理得

(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立)

(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立)

(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立)

即,所以的最小值為

17.【解析】(Ⅰ)由函數(shù)的周期為，得

又曲線的一個對稱中心為,故,得,所以

將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)后可得的圖象,再將的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)

(Ⅱ)當(dāng)時，,所以.問題轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)是否有解

設(shè),則

因?yàn)?所以,在內(nèi)單調(diào)遞增

又,且函數(shù)的圖象連續(xù)不斷,故可知函數(shù)在內(nèi)存在唯一零點(diǎn),即存在唯一的滿足題意.(Ⅲ)依題意，令

當(dāng),即時，從而不是方程的解,所以方程等價于關(guān)于的方程,現(xiàn)研究時方程解的情況

令,則問題轉(zhuǎn)化為研究直線與曲線在的交點(diǎn)情況,令,得或.當(dāng)變化時,和變化情況如下表

當(dāng)且趨近于時,趨向于

當(dāng)且趨近于時,趨向于

當(dāng)且趨近于時,趨向于

當(dāng)且趨近于時,趨向于

故當(dāng)時,直線與曲線在內(nèi)有無交點(diǎn),在內(nèi)有個交點(diǎn);當(dāng)時,直線與曲線在內(nèi)有個交點(diǎn),在內(nèi)無交點(diǎn);當(dāng)時,直線與曲線在內(nèi)有個交點(diǎn),在內(nèi)有個交點(diǎn)由函數(shù)的周期性,可知當(dāng)時,直線與曲線在內(nèi)總有偶數(shù)個交點(diǎn),從而不存在正整數(shù),使得直線與曲線在內(nèi)恰有個交點(diǎn);當(dāng)時,直線與曲線在內(nèi)有個交點(diǎn),由周期性，所以

綜上,當(dāng),時,函數(shù)在內(nèi)恰有個零點(diǎn)