專題四

三角函數(shù)與解三角形

第十一講

三角函數(shù)的綜合應(yīng)用

一、選擇題

1．（2016年天津）已知函數(shù)，．若在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

2．（2016全國II卷）函數(shù)的最大值為

A．4

B．5

C．6

D．7

3．（2015年陜西高考）如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)，據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深（單位：m）的最大值為

A．5

B．6

C．8

D．10

4．（2015浙江）存在函數(shù)滿足，對任意都有

A．

B．

C．

D．

5．（2015新課標(biāo)2）如圖，長方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動，∠BOP=．將動點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和表示為的函數(shù)，則的圖像大致為

A

B

C

D

6．（2014新課標(biāo)1）如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動點(diǎn)，角的始邊為射線，終邊為射線，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，將點(diǎn)到直線的距離表示為的函數(shù)，則=在[0,]上的圖像大致為

A．

B．

C．

D．

二、填空題

7．（2017浙江）我國古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率，理論上能把的值計(jì)算到任意精度。祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年，“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積，=

．

8．（2017浙江）已知向量，滿足，則的最小值

是，最大值是

．

9．（2016年浙江）已知，則______．

10．（2014陜西）設(shè)，向量，若，則____．

三、解答題

11．（2018江蘇）某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓的一段圓?。榇藞A弧的中點(diǎn)）和線段構(gòu)成．已知圓的半徑為40米，點(diǎn)到的距離為50米．現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為，要求均在線段上，均在圓弧上．設(shè)與所成的角為．

(1)用分別表示矩形和的面積，并確定的取值范圍；

(2)若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為．求當(dāng)為何值時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．

12．（2017江蘇）如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底面對角線的長為10cm，容器Ⅱ的兩底面對角線，的長分別為14cm和62cm．

分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12cm．

現(xiàn)有一根玻璃棒，其長度為40cm．（容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì)）

（1）將放在容器Ⅰ中，的一端置于點(diǎn)處，另一端置于側(cè)棱上，求沒入水中部分的長度；

（2）將放在容器Ⅱ中，的一端置于點(diǎn)處，另一端置于側(cè)棱上，求沒入水中部分的長度．

13．（2015山東）設(shè)．

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）在銳角△中，角，的對邊分別為，若，求△面積的最大值．

14．（2014湖北）某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度（單位：℃）隨時(shí)間t（單位：h）的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：，.（Ⅰ）求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差；

（Ⅱ）若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于，則在哪段時(shí)間實(shí)驗(yàn)室需要降溫？

15．（2014陜西）的內(nèi)角所對的邊分別為．

（I）若成等差數(shù)列，證明：；

（II）若成等比數(shù)列，求的最小值．

16．（2013福建）已知函數(shù)的周期為，圖像的一個(gè)對稱中心為，將函數(shù)圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），在將所得圖像向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖像．

（1）求函數(shù)與的解析式；

（2）是否存在，使得按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請確定的個(gè)數(shù)；若不存在，說明理由；

（3）求實(shí)數(shù)與正整數(shù)，使得在內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn)．

專題四

三角函數(shù)與解三角形

第十一講

三角函數(shù)的綜合應(yīng)用

答案部分

1．D【解析】，當(dāng)

時(shí)，時(shí)，無零點(diǎn)，排除A,B；當(dāng)時(shí)，時(shí)，有零點(diǎn)，排除C．故選D．

2．B【解析】，因?yàn)椋援?dāng)

時(shí)，取得最大值為，故選B．

3．C【解析】由圖象知：，因?yàn)椋?，解得：，所以這段時(shí)間水深的最大值是，故選C．

4．D【解析】對于A，當(dāng)或時(shí)，均為1，而與此時(shí)均有兩個(gè)值，故A、B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)或時(shí)，而由兩個(gè)值，故C錯(cuò)誤，選D．

5．B【解析】由于，故排除選項(xiàng)C、D；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，．不難發(fā)現(xiàn)的圖象是非線性，排除A．

6．C【解析】由題意知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故選C．

7．【解析】單位圓內(nèi)接正六邊形是由6個(gè)邊長為1的正三角形組成，所以

．

8．4,【解析】設(shè)向量的夾角為，由余弦定理有：，則：，令，則，據(jù)此可得：，即的最小值是4，最大值是.9．；1【解析】，所以

10．【解析】∵，∴，∴，∵，∴．

11．【解析】(1)連結(jié)并延長交于，則⊥，所以=10．

過作⊥于，則∥，所以，故，則矩形的面積為，的面積為．

過作⊥，分別交圓弧和的延長線于和，則．

令，則，．

當(dāng)時(shí)，才能作出滿足條件的矩形，所以的取值范圍是．

答：矩形的面積為平方米，的面積為，的取值范圍是．

(2)因?yàn)榧?、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3，設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為，乙的單位面積的年產(chǎn)值為，則年總產(chǎn)值為，．

設(shè)，則．

令，得，當(dāng)時(shí)，所以為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，所以為減函數(shù)，因此，當(dāng)時(shí)，取到最大值．

答：當(dāng)時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．

12．【解析】（1）由正棱柱的定義，平面，所以平面平面，．

記玻璃棒的另一端落在上點(diǎn)處．

因?yàn)?，?/p>

所以，從而．

記與水平的交點(diǎn)為，過作，為垂足，則平面，故，從而．

答：玻璃棒沒入水中部分的長度為16cm.（如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為24cm)

（2）如圖，是正棱臺的兩底面中心.由正棱臺的定義，⊥平面，所以平面⊥平面，⊥.同理，平面⊥平面，⊥.記玻璃棒的另一端落在上點(diǎn)處.過作⊥，為垂足，則==32.因?yàn)?

14，=

62，所以=，從而.設(shè)則.因?yàn)?，所?在中，由正弦定理可得，解得.因?yàn)?，所?于是

.記與水面的交點(diǎn)為，過作，為垂足，則

⊥平面，故=12，從而

=.答:玻璃棒沒入水中部分的長度為20cm.(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為20cm)

13．【解析】（Ⅰ）由題意

．

由，可得；

由，得；

所以的單調(diào)遞增區(qū)間是；

單調(diào)遞減區(qū)間是．

（Ⅱ），由題意是銳角，所以．

由余弦定理：，且當(dāng)時(shí)成立．

．面積最大值為．

14．【解析】（Ⅰ）因?yàn)?，又，所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

于是在上取得最大值12，取得最小值8.故實(shí)驗(yàn)室這一天最高溫度為，最低溫度為，最大溫差為

（Ⅱ）依題意，當(dāng)時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫.由（1）得，所以，即，又，因此，即，故在10時(shí)至18時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫.15．【解析】：（1）成等差數(shù)列，由正弦定理得

（2）成等比數(shù)列，由余弦定理得

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）

即，所以的最小值為

16．【解析】（Ⅰ）由函數(shù)的周期為，得

又曲線的一個(gè)對稱中心為，故，得，所以

將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）后可得的圖象，再將的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，所以

問題轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)是否有解

設(shè)，則

因?yàn)?，所以，在?nèi)單調(diào)遞增

又，且函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，故可知函數(shù)在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，即存在唯一的滿足題意

（Ⅲ）依題意，令

當(dāng)，即時(shí)，從而不是方程的解，所以方程等價(jià)于關(guān)于的方程，現(xiàn)研究時(shí)方程解的情況

令，則問題轉(zhuǎn)化為研究直線與曲線在的交點(diǎn)情況，令，得或

當(dāng)變化時(shí)，和變化情況如下表

當(dāng)且趨近于時(shí)，趨向于

當(dāng)且趨近于時(shí)，趨向于

當(dāng)且趨近于時(shí)，趨向于

當(dāng)且趨近于時(shí)，趨向于

故當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有無交點(diǎn)，在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)，在內(nèi)無交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)，在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)由函數(shù)的周期性，可知當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)總有偶數(shù)個(gè)交點(diǎn)，從而不存在正整數(shù)，使得直線與曲線在內(nèi)恰有個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)，由周期性，所以

綜上，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在內(nèi)恰有個(gè)零點(diǎn)．