專題五

平面向量

第十四講

向量的應(yīng)用

2019

2019年

1.（2019全國Ⅰ文8）已知非零向量a，b滿足=2，且（a–b）b，則a與b的夾角為

A．

B．

C．

D．

2.（2019全國Ⅱ文3）已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，則|a–b|=

A．

B．2

C．5

D．50

3.（2019全國Ⅲ13）已知向量，則___________.4.（2019北京文9）已知向量=（–4，3），=（6，m），且，則m=__________．

5.（2019天津文14）在四邊形中，，，點(diǎn)在線段的延長線上，且，則__________.6.（2019江蘇12）如圖，在中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點(diǎn).若，則的值是

.7.（2019浙江17）已知正方形的邊長為1，當(dāng)每個(gè)取遍時(shí)，的最小值是________，最大值是_______.2010-2018

一、選擇題

1．(2018浙江)已知，是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是

A．

B．

C．2

D．

2．（2017浙江）如圖，已知平面四邊形，，與交于點(diǎn)，記，，則

A．<<

B．<<

C．<

D．<<

3．（2016年四川）已知正三角形的邊長為，平面內(nèi)的動點(diǎn)，滿足,，則的最大值是

A．

B．

C．

D．

4．（2015廣東）在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形是平行四邊形，，則

A．

B．

C．

D．

5．（2015湖南）已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動，且，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為

A．6

B．7

C．8

D．9

6．（2014安徽）在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量點(diǎn)滿足．曲線，區(qū)域

．若為兩段分離的曲線，則

A．

B．

C．

D．

7．（2014天津）已知菱形的邊長為2，點(diǎn)分別在邊上，.若，則

A．

B．

C．

D．

8．（2012天津）在△ABC中，AB=1，設(shè)點(diǎn)P，Q滿足，．若，則

A．

B．

C．

D．2

9．(2012安徽)在平面直角坐標(biāo)系中，將向量繞點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

后得向量，則點(diǎn)的坐標(biāo)是

A．

B．

C．

D．

10．（2012廣東）對任意兩個(gè)非零的平面向量α和β，定義．若平面向量滿足，與的夾角，且和都在集合中，則=

A．

B．1

C．

D．

11．(2011山東)

設(shè)，，是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若(∈)，(∈)，且，則

稱，調(diào)和分割，已知點(diǎn)，(∈)調(diào)和分割

點(diǎn)，則下面說法正確的是

A．可能是線段的中點(diǎn)

B．可能是線段的中點(diǎn)

C．，可能同時(shí)在線段上

D．，不可能同時(shí)在線段的延長線上

二、填空題

12．(2018上海)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，是軸上的兩個(gè)動點(diǎn)，且，則的最小值為______．

13．（2017北京）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，為原點(diǎn)，則的最大值為_______．

14．（2017浙江）已知向量，滿足，則的最小值是，最大值是

．

15．（2017江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)在圓：上，若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是

．

16．（2016年浙江）已知向量，，若對任意單位向量，均有，則的最大值是

．

17．（2015山東）過點(diǎn)

作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則

．

18．（2015江蘇）已知向量，若（R），則的值為______．

19．（2015天津）在等腰梯形ABCD中，已知∥，，點(diǎn)和點(diǎn)分別在線段和上，且，則的值為________．

20．（2015安徽）是邊長為2的等邊三角形，已知向量、滿足，則下列結(jié)論中正確的是

．（寫出所有正確結(jié)論得編號）

①為單位向量；②為單位向量；③；④；⑤．

21．（2014天津）已知菱形的邊長為，點(diǎn)，分別在邊、上，．若，則的值為________．

22．（2014湖南）在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，則的最大值是

23．（2012江蘇）如圖，在矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，若，則的值是

．

24．（2012山東）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一單位圓的圓心的初始位置在，此時(shí)圓上一點(diǎn)的位置在，圓在軸上沿正向滾動。當(dāng)圓滾動到圓心位于時(shí)，的坐標(biāo)為

．

25．（2010湖南）在邊長為1的正三角形ABC中,設(shè)

則______．

三、解答題

26．（2017浙江）已知向量，．

（1）若，求的值；

（2）記，求的最大值和最小值以及對應(yīng)的的值．

27．（2015陜西）△ABC的內(nèi)角所對的邊分別為，向量

與平行．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求△ABC的面積．

28．(2015四川)如圖，橢圓：（>>0）的離心率是，點(diǎn)在短軸上，且．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的動直線與橢圓交于兩點(diǎn)．是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

29．（2014山東）已知向量，函數(shù)，且的圖像過點(diǎn)和點(diǎn)．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）將的圖像向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像，若圖像上各最高點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為1，求的單調(diào)遞增區(qū)間．

30．（2014遼寧）在中，內(nèi)角的對邊，且，已知，，求：

（Ⅰ）和的值；

（Ⅱ）的值．

31．（2013江蘇）已知，．

(1)

若，求證：；

(2)

設(shè)，若，求，的值．

32．（2013湖南）過拋物線的焦點(diǎn)F作斜率分別為的兩條不同的直線，且，相交于點(diǎn)A，B，相交于點(diǎn)C，D．以AB，CD為直徑的圓M，圓N（M，N為圓心）的公共弦所在的直線記為．

（I）若，證明：；

（II）若點(diǎn)M到直線的距離的最小值為，求拋物線E的方程．

33．（2013遼寧）設(shè)向量

（I）若

（II）設(shè)函數(shù)．

34．（2012江西）已知三點(diǎn)，，曲線上任意一點(diǎn)滿足

．

（1）求曲線的方程；

（2）動點(diǎn)在曲線上，曲線在點(diǎn)處的切線為．問：是否存在定點(diǎn),使得與都相交,交點(diǎn)分別為,且與的面積之比是常數(shù)？若存在，求的值。若不存在，說明理由．

35．（2010江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)．

（1）求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；

（2）設(shè)實(shí)數(shù)滿足()·=0，求的值．

專題五

平面向量

第十四講

向量的應(yīng)用

答案部分

2019年

1.解析

因?yàn)?，所以，所以?/p>

又因?yàn)?，所以．故選B．

2.解析

因?yàn)椋?，所以．故選A.3.解析，，．

4.解析

因?yàn)?，所以，?5.解析

因?yàn)?，，所以在等腰三角形中，又，所以，所?因?yàn)?，所?又，所以

.6.解析

設(shè)，所以，解得，所以，，因?yàn)?，所以，所以，所?7.解析：正方形ABCD的邊長為1，可得，，,由于2，3，4，5，取遍，可得，可取，可得所求最小值為0；

由，可取可得所求最大值為．

2010-2018年

1．A【解析】解法一

設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，由得，即，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，l為半徑的圓．因?yàn)榕c的夾角為，所以不妨令點(diǎn)在射線()上，如圖，數(shù)形結(jié)合可知．故選A．

解法二

由得．

設(shè)，，所以，所以，取的中點(diǎn)為．則在以為圓心，為直徑的圓上，如圖．

設(shè)，作射線，使得，所以

．故選A．

2．C【解析】如圖所示，四邊形是正方形，為正方形的對角線的交點(diǎn)，易得，而，∴與為鈍角，與為銳角．根據(jù)題意，∴，同理．

做于，又．

∴，而，∴，而，∴，即，∴，選C．

3．B【解析】建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則，則點(diǎn)的軌跡方程為．

設(shè)，則，代入圓的方程得，所以點(diǎn)的軌跡方程為，它表示以為圓心，以為半徑的圓，所以，所以．

4．A【解析】由，得．

5．B【解析】由題意，AC為直徑，所以，已知B為時(shí)，取得最大值7，故選B．

6．A【解析】設(shè)，則，所以曲線C是單位元，區(qū)域?yàn)閳A環(huán)（如圖）∵，∴．

7．C【解析】因?yàn)椋?因?yàn)?，所以?因?yàn)?，所以，即?/p>

同理可得

②，①+②得.8．B【解析】如圖，設(shè)，則，又，由得，即，選B.9．A【解析】方法一

設(shè)

則．

方法二

將向量按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，可知點(diǎn)落在第三象限，則可排除B、D，代入A，由向量的夾角公式可得，∴．

10．C【解析】首先觀察集合，從而分析

和的范圍如下：∵，∴，而，且，可得，又∵中，∴，從而，∴，所以，且也在集合中，故有．

11．D【解析】根據(jù)已知得，即，從而得

；，即，得，根據(jù)，得．線段的方程是，．若是線段的中點(diǎn)，則，代入，得．此等式不可能成立，故選項(xiàng)A的說法不成立；同理選項(xiàng)B的說法也不成立；若同時(shí)在線段上，則，此時(shí)，，若等號成立，則只能，根據(jù)定義，是兩個(gè)不同的點(diǎn)，故矛盾，故選項(xiàng)的說法也不正確，若

同時(shí)在線段的延長線上，若，則，與矛盾，若，則是負(fù)值，與矛盾，若，則，此時(shí)，與矛盾，故選項(xiàng)D的說法是正確的．

12．【解析】設(shè)，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值．

13．6【解析】所以最大值是6．

14．4,【解析】設(shè)向量的夾角為，由余弦定理有：，則：，令，則，據(jù)此可得：，即的最小值是4，最大值是.15．【解析】設(shè)，由，得，如圖由可知，在上，由，解得，所以點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為．

16．【解析】由，可得兩向量的夾角為，建立平面直角坐標(biāo)，可設(shè)，，則，所以的最大值為．

17．【解析】在平面直角坐標(biāo)系中，作出圓及其切線，如圖所示，連結(jié)，由圖可得，，則的夾角為，所以．

18．【解析】由題意得：．

19．【解析】在等腰梯形中，由∥，，得，，所以

．

20．①④⑤【解析】∵等邊三角形的邊長為2,∴＝2＝2,故①正確；∵

∴，故②錯(cuò)誤，④正確；

由于，則與的夾角為，故③錯(cuò)誤；

又∵

∴，故⑤正確

因此，正確的編號是①④⑤.21．【解析】因?yàn)?，菱形的邊長為2，所以.因?yàn)?，由，所以，解?22．【解析】設(shè)，由，得，向量，故的最大值為

圓上的動點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值，其最大值為圓的圓心到點(diǎn)的距離加上圓的半徑，即．

23．【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在的直線分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，則B(,0),E(,1)，D(0,2)，C(，2)．設(shè)(0≤x≤)，由，∴，=((1–,2)=．

24．【解析】如圖過P作x軸的垂線，垂足為E，過C作y軸的垂線，垂足為A，根據(jù)題意可知圓滾動了2個(gè)單位的弧長，∴，可知，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為

另解1：根據(jù)題意可知滾動制圓心為（2,1）時(shí)的圓的參數(shù)方程為，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即.25．【解析】根據(jù)已知得，所以

（）=．

26．【解析】（1）因?yàn)椋?，所以?/p>

若，則，與矛盾，故．

于是．

又，所以．

（2）.因?yàn)椋?，從?于是，當(dāng)，即時(shí)，取到最大值3；

當(dāng)，即時(shí)，取到最小值.27．【解析】（Ⅰ）因?yàn)?所以，由正弦定理，得

又，從而，由于0<<，所以=．

（Ⅱ）解法一

由余弦定理，得，而=，=2，=，得，即，因?yàn)?，所?/p>

．故的面積為．

解法二

由正弦定理，得，從而=，又由，知>，所以=，故==sin==．

所以的面積為．

28．【解析】（Ⅰ）由已知，點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(0，－b)，(0，b)

．

又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，1)，且＝－1，于是，解得a＝2，b＝．所以橢圓E方程為．

（Ⅱ）當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為．

A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，聯(lián)立，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，其判別式，所以，從而

＝

＝－

所以，當(dāng)時(shí)，－，此時(shí)，為定值．

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線即為直線．

此時(shí)，故存在常數(shù)，使得為定值－3．

29．【解析】（Ⅰ）已知，過點(diǎn)，∴

∴

解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

由題意知

設(shè)的圖象上符合題意的最高點(diǎn)為

由題意知．所以，即到點(diǎn)的距離為1的最高點(diǎn)為．

將其代入得，又∵，所以，因此

由，得

∴的單調(diào)增區(qū)間為．

30．【解析】（Ⅰ）∵，且，∴，∵，∴解得．

所以．

（Ⅱ）∵，∴，∵，，∴，故．

31．【解析】（1）＝，＝

＝．

所以，所以，．

（2），①2＋②2得：．

所以，＝，＝＋，帶入②得：(＋)＋＝＋＝(＋)＝1，所以，＋＝．所以，＝，＝．

32．【解析】由題意，拋物線E的焦點(diǎn)為，直線的方程為．

由得．

設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則、是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

從而，．

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，．

同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，．

于是．

由題設(shè)，有k1＋k2＝2，k1>0，k2>0，k1≠k2，所以．

故．

(2)【解析】由拋物線的定義得，所以，從而圓的半徑．

故圓的方程為．

化簡得．

同理可得圓的方程為．

于是圓，圓的公共弦所在直線的方程為．

又k2－k1≠0，k1＋k2＝2，則l的方程為x＋2y＝0.因?yàn)閜>0，所以點(diǎn)到直線l的距離

故當(dāng)時(shí)，取最小值．

由題設(shè)，得＝，解得．

故所求的拋物線E的方程為．

33．【解析】（I）由，及

又，所以.（II）

=.當(dāng)所以

34．【解析】（1）由，，由已知得=．

化簡得曲線C的方程：．

（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，則直線的方程是，的方程是．

曲線C在Q處的切線的方程是，它與軸的交點(diǎn)為

由于，因此．

①當(dāng)時(shí)，存在，使得．即與直線平行，故當(dāng)時(shí)不符合題意．

②時(shí)，所以與直線一定相交．

分別聯(lián)立方程組，解得的橫坐標(biāo)分別是，則

又，有，又，于是=，對任意，要使為常數(shù)，即只需滿足，解得，此時(shí)，故存在，使得與的面積之比是常數(shù)2．

35．【解析】（1）（方法一）由題設(shè)知，則

所以

故所求的兩條對角線的長分別為、。

（方法二）設(shè)該平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為D，兩條對角線的交點(diǎn)為E，則:

E為B、C的中點(diǎn)，E（0，1）又E（0，1）為A、D的中點(diǎn)，所以D（1，4）

故所求的兩條對角線的長分別為BC=、AD=；

（2）由題設(shè)知：=(－2,－1)，．

由()·=0，得：，從而所以．

或者：，．