專題七

不等式

第二十一講

不等式的綜合應(yīng)用

2019年

1.(2019天津理13)設(shè),則的最小值為

.2010-2018年

一?選擇題

1.(2018北京)設(shè)集合則

A.對(duì)任意實(shí)數(shù),B.對(duì)任意實(shí)數(shù),C.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),D.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),2.(2017天津)已知函數(shù)設(shè),若關(guān)于的不等式在上恒成立,則的取值范圍是

A.B.C.D.3.(2015北京)設(shè)是等差數(shù)列.下列結(jié)論中正確的是

A.若,則

B.若,則

C.若,則

D.若,則

4.(2015陜西)設(shè)，若，,則下列關(guān)系式中正確的是

A.B.C.D.5.(2014重慶)若的最小值是

A.B.C.D.6.(2013福建)若,則的取值范圍是

A.B.C.D.7.(2013山東)設(shè)正實(shí)數(shù)滿足.則當(dāng)取得最大值時(shí),的最大值為

A.0

B.1

C.D.3

8.(2013山東)設(shè)正實(shí)數(shù)滿足,則當(dāng)取得最大值時(shí),的最大值為

A.0

B.C.2

D.9.(2012浙江)若正數(shù)滿足,則的最小值是

A.B.C.5

D.6

10.(2012浙江)若正數(shù)滿足,則的最小值是

A.B.C.5

D.6

11.(2012陜西)小王從甲地到乙地的時(shí)速分別為和(),其全程的平均時(shí)速為,則

A.B.=

C.<<

D.=

12.(2012湖南)已知兩條直線:

和:(),與函數(shù)的圖像從左至右相交于點(diǎn),與函數(shù)的圖像從左至右相交于.記線段和在軸上的投影長(zhǎng)度分別為,當(dāng)

變化時(shí),的最小值為

A.B.C.D.13.(2011陜西)設(shè),則下列不等式中正確的是

A.B.C.D.14.(2011上海)若,且,則下列不等式中,恒成立的是

A.B.C.D.二?填空題

15.(2018天津)已知,且,則的最小值為

.16.(2018浙江)已知,函數(shù),當(dāng)時(shí),不等式的解集是___________.若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是___________.17.(2017北京)已知，且,則的取值范圍是_______.18.(2017天津)若，則的最小值為_(kāi)__________.19.(2017江蘇)某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物600噸,每次購(gòu)買(mǎi)噸,運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬(wàn)元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)之和最小,則的值是

.20.(2017浙江)已知,函數(shù)在區(qū)間[1,4]上的最大值是5,則的取值范圍是

.21.(2014浙江)已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是__;

22.(2014遼寧)對(duì)于,當(dāng)非零實(shí)數(shù)a,b滿足,且使最大時(shí),的最小值為

.23.(2014遼寧)對(duì)于,當(dāng)非零實(shí)數(shù),滿足,且使最大時(shí),的最小值為

.24.(2014湖北)某項(xiàng)研究表明:在考慮行車(chē)安全的情況下,某路段車(chē)流量F(單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)測(cè)量點(diǎn)的車(chē)輛數(shù),單位:輛/小時(shí))與車(chē)流速度v(假設(shè)車(chē)輛以相同速度v行駛,單位:米/秒)?平均車(chē)長(zhǎng)l(單位:米)的值有關(guān),其公式為.(Ⅰ)如果不限定車(chē)型，則最大車(chē)流量為

輛/小時(shí);

(Ⅱ)如果限定車(chē)型，則最大車(chē)流量比(Ⅰ)中的最大車(chē)流量增加

輛/小時(shí).25.(2013天津)設(shè)a

+

b

=

2,b>0,則當(dāng)a

=

時(shí),取得最小值.26.(2013四川)已知函數(shù)在時(shí)取得最小值,則__.27.(2011浙江)若實(shí)數(shù)滿足,則的最大值是____.28.(2011湖南)設(shè),則的最小值為

.29.(2010安徽)若,則下列不等式對(duì)一切滿足條件的恒成立的是

(寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)).①;

②;

③;

④;

⑤

專題七

不等式

第二十一講

不等式的綜合應(yīng)用

答案部分

2019年

1.解析，,則;

由基本不等式,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即,且時(shí),即或時(shí),等號(hào)成立).故的最小值為.2010-2018年

1.D【解析】點(diǎn)在直線上,表示過(guò)定點(diǎn),斜率為的直線,當(dāng)時(shí),表示過(guò)定點(diǎn),斜率為的直線,不等式表示的區(qū)域包含原點(diǎn),不等式表示的區(qū)域不包含原點(diǎn).直線與直線互相垂直,顯然當(dāng)直線的斜率時(shí),不等式表示的區(qū)域不包含點(diǎn),故排除A;點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率為,當(dāng),即時(shí),表示的區(qū)域包含點(diǎn),此時(shí)表示的區(qū)域也包含點(diǎn),故排除B;當(dāng)直線的斜率,即時(shí),表示的區(qū)域不包含點(diǎn),故排除C,故選D.解法二

若,則,解得,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),.故選D.2.A【解析】解法一

函數(shù)的圖象如圖所示,當(dāng)?shù)膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),可知.當(dāng)?shù)膱D象與的圖象相切時(shí),由,得,由,并結(jié)合圖象可得,要使恒成立,當(dāng)時(shí),需滿足,即,當(dāng)時(shí),需滿足,所以.解法二

由題意時(shí),的最小值2,所以不等式等價(jià)于

在上恒成立.當(dāng)時(shí),令,得,不符合題意,排除C?D;

當(dāng)時(shí),令,得,不符合題意,排除B;

選A.3.C

【解析】若是遞減的等差數(shù)列,則選項(xiàng)都不一定正確.若為公差為0的等差數(shù)列,則選項(xiàng)D不正確.對(duì)于C選項(xiàng),由條件可知為公差不為0的正確數(shù)列,由等差中項(xiàng)的性質(zhì)得,由基本不等式得,所以C正確.4.B【解析】∵,∴,又在上單調(diào)遞增,故,即,∵,∴.5.D【解析】由已知得,且,可知,所以(),.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).6.D【解析】本題考查的是均值不等式.因?yàn)?即,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào).7.B【解析】由,得.所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)此時(shí),.,故選B.8.C【解析】由得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),有最小值1,將代入原式得,所以,當(dāng)時(shí)有最大值2.故選C.9.C【解析】，.10.C【解析】，.11.A【解析】設(shè)從甲地到乙地所走路程為,則.∵,∴,∴.選A.12.B【解析】在同一坐標(biāo)系中作出,(),圖像

如下圖,由=

m,得,=,得.依題意得.,.13.B【解】(方法一)已知和,比較與,因?yàn)?所以,同理由

得;作差法:,所以,綜上可得;故選B.(方法二)取，則，所以.14.D【解析】對(duì)于A取,此時(shí),因此A不正確;對(duì)于B取,此時(shí),因此B不正確;對(duì)于C取,此時(shí),因此C不正確;對(duì)于D,∵,∴,∴,D正確.15.【解析】由,得,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.16.;【解析】若,則當(dāng)時(shí),令,得;當(dāng)時(shí),令,得.綜上可知,所以不等式的解集為.令,解得;令,解得或.因?yàn)楹瘮?shù)恰有2個(gè)零點(diǎn),結(jié)合函數(shù)的圖象(圖略)可知或.17.【解析】由題意，且,又時(shí)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以取值范圍為.18.4【解析】,當(dāng)且僅當(dāng),且,即時(shí)取等號(hào).19.30【解析】總費(fèi)用為,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.20.【解析】∵,∴

①當(dāng)時(shí)，所以的最大值,即(舍去)

②當(dāng)時(shí)，此時(shí)命題成立.③當(dāng)時(shí)，則

或,解得或,綜上可得,實(shí)數(shù)的取值范圍是.21.【解析】由得，則,又,所以,解得,故的最大值為.22.-1【解析】設(shè)最大,則必須同號(hào),因?yàn)?故有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),此時(shí),所以=.23.-2

【解析】

設(shè),則,因?yàn)?所以將代入整理可得①,由解得,當(dāng)取得最大值時(shí)，代入①式得,再由得,所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.24.1900

100【解析】(Ⅰ),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.(Ⅱ),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立..25.-2【解析】∵=

當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)

故取得最小值時(shí),.26.【解析】因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng),即,解得.27.【解析】∵,∴,即,∴,.28.9【解析】由柯西不等式可知.29.①③⑤【解析】令,排除②④;由,命題①正確;,命題③正確;,命題⑤正確.