幾何專題

題型一考察概念基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)型

例1.如圖1，等腰△ABC的周長(zhǎng)為21，底邊BC

＝

5，AB的垂直平分線是DE，則△BEC的周長(zhǎng)為。

例2.如圖2，菱形中，、是、的中點(diǎn)，若，菱形邊長(zhǎng)______．

圖1

圖2

圖3

例3

已知AB是⊙O的直徑，PB是⊙O的切線，AB＝3cm，PB＝4cm，則BC＝

．

題型二折疊題型：折疊題要從中找到對(duì)就相等的關(guān)系，然后利用勾股定理即可求解。

例4

分別為，邊的中點(diǎn)，沿

折疊，若，則等于。

例5如圖4.矩形紙片ABCD的邊長(zhǎng)AB=4，AD=2．將矩形紙片沿

EF折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折疊后在其一面著色（圖），則著色部分的面積為（）

A．

B．

C．

D．

A

B

C

D

E

G

F

F

圖4

圖5

圖6

【題型三】涉及計(jì)算題型：常見的有應(yīng)用勾股定理求線段長(zhǎng)度，求弧長(zhǎng)，扇形面積及圓錐體積，側(cè)面積，三角函數(shù)計(jì)算等。

例6如圖3，P為⊙O外一點(diǎn)，PA切⊙O于A，AB是⊙O的直徑，PB交⊙O于C，PA＝2cm，PC＝1cm,則圖中陰影部分的面積S是

（）

A.B

C

D

【題型四】證明題型：

第二輪復(fù)習(xí)之幾何（一）——三角形全等

【判定方法1：SAS】

例1.AC是菱形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上，且AE=AF。求證：△ACE≌△ACF

A

D

F

E

B

C

例2

正方形ABCD中，AC為對(duì)角線，E為AC上一點(diǎn)，連接EB、ED．（1）求證：△BEC≌△DEC；

（2）

延長(zhǎng)BE交AD于F，當(dāng)∠BED=120°時(shí)，求∠EFD的度數(shù)．

A

F

D

E

B

C

【判定方法2：AAS（ASA）】

例3

ABCD是正方形，點(diǎn)G是BC上的任意一點(diǎn)，于

E，交

AG于F，求證：．

D

C

B

A

E

F

G

例4如圖，在□ABCD中，分別延長(zhǎng)BA，DC到點(diǎn)E，使得AE=AB，CH=CD連接EH，分別交AD，BC于點(diǎn)F,G。求證：△AEF≌△CHG.【判定方法3：HL（專用于直角三角形）】

例5在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90o,F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),點(diǎn)E在BC上,且AE=CF.(1)求證:Rt△ABE≌Rt△CBF

(2)若∠CAE=30o,求∠ACF度數(shù).A

B

C

E

F

對(duì)應(yīng)練習(xí):1.在平行四邊形ABCD

中，E為BC

中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.(1)證明：∠DFA

=

∠FAB；(2)證明:

△ABE≌△FCE.2.如圖，點(diǎn)是正方形內(nèi)一點(diǎn)，是等邊三角形，連接、，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn).（1）求證:；（2）求的度數(shù).3．如圖，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE與AB相交于F．

(1)求證：△CEB≌△ADC；(2)若AD＝9cm，DE＝6cm，求BE及EF的長(zhǎng)．

A

B

C

D

F

E

第二輪復(fù)習(xí)之幾何（二）——三角形相似

Ⅰ.三角形相似的判定

例1如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B.(1)求證：△ADF∽△DEC.(2)若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的長(zhǎng).例2如圖9，點(diǎn)P是正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A．B重合)，連接PD并將線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，PE交邊BC于點(diǎn)F．連接BE、DF。

（1）求證：∠ADP=∠EPB；（2）求∠CBE的度數(shù)；

（3）當(dāng)?shù)闹档扔诙嗌贂r(shí)．△PFD∽△BFP？并說(shuō)明理由．

2.相似與圓結(jié)合，注意求證線段乘積，一般是轉(zhuǎn)化證它所在的三角形相似。將乘積式轉(zhuǎn)化為比例式→比例式邊長(zhǎng)定位到哪個(gè)三角形→找條件證明所在的三角形相似

例3

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC與E，交BC與D．

求證：（1）D是BC的中點(diǎn)；（2）△BEC∽△ADC；（3）BC2=2AB?CE．

3.相似與三角函數(shù)結(jié)合，①若題目給出三角函數(shù)值一般會(huì)將給出的三角函數(shù)值用等角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后求線段的長(zhǎng)度

②求某個(gè)角的三角函數(shù)值，一般會(huì)先將這個(gè)角用等角轉(zhuǎn)化，間接求三角函數(shù)值

例4如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD中CD邊上一點(diǎn)，⊿BCE沿BE折疊為⊿BFE,點(diǎn)F落在AD上.(1

求證：⊿ABE∽⊿DFE;(2)若sin∠DFE=,求tan∠EBC的值.練習(xí)

一、選擇題

1、如圖1，將非等腰的紙片沿折疊后，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處．若點(diǎn)

為邊的中點(diǎn)，則下列結(jié)論：①是等腰三角形；②；③是的中位線，成立的有（）A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

2.如圖，等邊△ABC中，BD=CE，AD與BE相交于點(diǎn)P，則∠APE的度數(shù)是（）

A．45°

B．55°

C．60°

D．75°

3.如圖3，在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，垂足為點(diǎn)，則等于（）

A．

B．

C．

D．

A

O

B

C

X

Y

D

圖4

圖5

圖6

圖7

4.如圖4，⊿ABC和⊿CDE均為等腰直角三角形，點(diǎn)B,C,D在一條直線上，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①tan∠AEC=;②S⊿ABC+S⊿CDE≧S⊿ACE

;③BM⊥DM;④BM=DM.正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）（A）1個(gè)

（B）2個(gè)

（C）3個(gè)

（D）4個(gè)

5.如圖5，等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且總使AD=BE，AE與CD交于點(diǎn)F，AG⊥CD于點(diǎn)G，則

．

6.如圖6，已知點(diǎn)A、B、C、D均在已知圓上，AD∥BC，AC

平分∠BCD，∠ADC

=

120°，四邊形ABCD的周長(zhǎng)為10cm．圖中陰影部分的面積為（）A.B.C.D.7.如圖7，在直角坐標(biāo)系中，將矩形OABC沿OB對(duì)折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)

處。已知，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A、（，）B、（，）

C、（，）

D、（，）

三、解答題

1矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，AE＝AD，DF⊥AE于F，連結(jié)DE.求證：DF＝DC．

2.如圖，四邊形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等邊三角形，且點(diǎn)P在矩形上方，點(diǎn)Q在矩形內(nèi)．求證：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．

A

C

B

D

P

Q

3.點(diǎn)D為等腰直角△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠CAD＝∠CBD＝15°，E為AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE＝CA．（1）求證：DE平分∠BDC；（2）若點(diǎn)M在DE上，且DC=DM，求證：

ME=BD．

4.如圖5AB是⊙O的直徑，AC是弦，CD是⊙O的切線，C為切點(diǎn)，AD⊥CD于點(diǎn)D．求證：（1）∠AOC=2∠ACD；

（2）AC2＝AB·AD．、5．

把一張矩形ABCD紙片按如圖方式折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，點(diǎn)C與點(diǎn)F重合（E、F兩點(diǎn)在BD上），折痕分別為BH、DG。

（1）求證：△BHE≌△DGF；（2）若AB＝6cm，BC＝8cm，求線段FG的長(zhǎng)。

6．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A、D重合，連結(jié)BE、EC．試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的猜想．

A

B

C

D

E

第二輪復(fù)習(xí)之幾何（三）——四邊形

例1.分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE。已知∠BAC=30o，EF⊥AB，垂足為F，連結(jié)DF。（1）試說(shuō)明AC=EF；（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形。

A

B

C

D

E

F

例2如圖，AD∥FE，點(diǎn)B、C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC

⑴求證：四邊形BCEF是菱形

⑵若AB＝BC＝CD，求證：△ACF≌△BDE

例3四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)G是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)AG，點(diǎn)E、F分別在AG上，連接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4.(1)證明：△ABE≌△DAF；

（2）若∠AGB=30°，求EF的長(zhǎng).例4等腰梯形中，，延長(zhǎng)到，使．（1）證明：；（2）如果，求等腰梯形的高的值．

D

A

B

E

C

F

【對(duì)應(yīng)練習(xí)】

1.在菱形ABCD中，∠A=60°，點(diǎn)P、Q分別在邊AB、BC上，且AP=BQ．

（1）求證：△BDQ≌△ADP；（2）已知AD=3，AP=2，求cos∠BPQ的值(結(jié)果保留根號(hào))．

2、如圖，是四邊形的對(duì)角線上兩點(diǎn)，．

求證：（1）．（2）四邊形是平行四邊形．

A

B

D

E

F

C

3．在一方形ABCD中．E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接EB、ED，（1）求證：△BEC≌△DEC：

（2）延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F，若∠DEB=140°．求∠AFE的度數(shù)．

4.在梯形ABCD中，AD∥BC，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)E，使BE=AD，連接DE交AB于點(diǎn)M.（1）求證：△AMD≌△BME；（2）若N是CD的中點(diǎn)，且MN=5，BE=2，求BC的長(zhǎng).第二輪復(fù)習(xí)之幾何（四）——圓

Ⅰ、證線段相等

例1：如圖，AB是⊙O的直徑，C是的中點(diǎn)，CE⊥AB于

E，BD交CE于點(diǎn)F．

（1）求證：CF

=BF；（2）若CD

=6，AC

=8，則⊙O的半徑為

___，CE的長(zhǎng)是

___

．

A

C

B

D

E

F

O2、證角度相等

例2如圖，是⊙O的直徑，為圓周上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．:求證：（1）；（2）≌．

3、證切線：證明切線的方法——連半徑，證垂直。根據(jù)：過(guò)半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線

例3如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD于點(diǎn)E，DA平分∠BDE。

（1）求證：AE是⊙O的切線。（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的長(zhǎng)。

例4如圖，點(diǎn)A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC=30°．（1）求∠BOC的度數(shù)；

（2）求證：四邊形AOBC是菱形．

對(duì)應(yīng)練習(xí)

1．如圖，已知⊙O的直徑AB與弦CD互相垂直，垂足為點(diǎn)E.⊙O的切線BF與弦AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，且AD=3，cos∠BCD=

.（1）求證：CD∥BF；（2）求⊙O的半徑；

（3）求弦CD的長(zhǎng).FM

A

DO

EC

O

C

B

2.如圖，點(diǎn)D是⊙O的直徑CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．

（1）求證：BD是⊙O的切線．（2）若點(diǎn)E是劣弧BC上一點(diǎn)，AE與BC相交于點(diǎn)F，且△BEF的面積為8，cos∠BFA＝，求△ACF的面積．

1.一副三角板,如圖所示疊放在一起,則圖中∠的度數(shù)是（）

A．　　　　B．　　　　C．　　　　　D．

圖1

圖2

2．如圖2，在邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC中，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E、F是AD上的兩點(diǎn)，圖中陰影部分的面積是（）A．4

B．3

C．2

D．

3.如圖3，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則AP長(zhǎng)不可能是

C

E

A

B

D

圖3

圖4

（A）3.5

（B）4.2

（C）5.8

（D）7

4.如圖4，直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別為6，8，現(xiàn)將如圖那樣折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，則的值是（）

A．

B．

C．

D．

5.如圖5，是等腰直角三角形，是斜邊，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與重合，如果，那么的長(zhǎng)等于（）

A．

B．

C．

D．

6.圖6，已知等邊△ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊AB,BC上，把△BDE沿直線DE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)Bˊ處，DBˊ,EBˊ分別交邊AC于點(diǎn)F，G，若∠ADF=80o，則∠EGC的度數(shù)為

圖5

圖6

圖7

圖8

7．如圖，已知：在平行四邊形ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則DF=______cm．

8．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD，BC于點(diǎn)E、F，連接CE，則CE的長(zhǎng)________.9.如圖，BD是⊙O的直徑，OA⊥OB,M是劣弧上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作⊙O的切線MP交OA的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，MD與OA交于點(diǎn)N。（1）求證：PM=PN；（2）若BD=4,PA=AO,過(guò)B點(diǎn)作BC∥MP交⊙O于C點(diǎn)，求BC的長(zhǎng)．

10．如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)P，PD⊥AC于點(diǎn)D，且PD與⊙O相切．

(1)求證：AB＝AC；(2)若BC＝6，AB＝4，求CD的值．

C

B

A

O

P

D

11．一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°,∠

E=45°,∠A=60°,AC=10,試求CD的長(zhǎng)．

12．四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，點(diǎn)G，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，∠AEF=90o，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F．（1）證明：∠BAE=∠FEC；

（2）證明：△AGE≌△ECF；（3）求△AEF的面積．

13．如圖，矩形中，．點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．

（1）當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)：

①的值為______________；

②

證明：是的切線；

（2）試探究：能否與相切?若能，求出此時(shí)的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由D

E

O

C

B

G

F

A

幾何之——解直角三角形

1在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則tanB＝（）

A．　　B．　　C．　D．

2、在?ABC中，若｜sinA-

|+(-cosB)2=0,∠A.∠B都是銳角，則∠C的度數(shù)是（）

A.750

B.900

C.1050

D.12003、如下左圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，則sinA的值是（）

A、B、C、D、4如上右圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，若EF=2，BC=5，CD=3，則tanC等于（）

A、B、C、D、A

B

C

D

αA5、如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，設(shè)∠ADE=，且,AB

=

4,則AD的長(zhǎng)為（）．（A）3

（B）

（C）

（D）

6在銳角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE為高，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，連接DE、DF、EF，則結(jié)論：①DF=EF；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等邊三角形；④BE+CD=BC；⑤當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，BE=DE中，一定正確的有（）A、2個(gè)

B、3個(gè)

C、4個(gè)

D、5個(gè)

7.=

8.某人沿著有一定坡度的坡面前進(jìn)了10米，此時(shí)他與水平地面的垂直距離為米，則這

個(gè)破面的坡度為

.9.如圖，已知直線∥∥∥，相鄰兩條平行直線間的距離都是1，如果正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條直線上，則

直角三角形常見模型

張華同學(xué)在學(xué)校某建筑物的C點(diǎn)處測(cè)得旗桿頂部A點(diǎn)的仰角為30°，旗桿底部B點(diǎn)的俯角為45°．若旗桿底部B點(diǎn)到建筑物的水平距離BE=9米，旗桿臺(tái)階高1米，試求旗桿AB的高度。

2．海船以5海里/小時(shí)的速度向正東方向行駛，在A處看見燈塔B在海船的北偏東60°方向，2小時(shí)后船行駛到C處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)燈塔B在海船的北偏西45方向，求此時(shí)燈塔B到C處的距離。

3某年入夏以來(lái)，松花江哈爾濱段水位不斷下降，一條船在松花江某段自西向東沿直線航行，在A處測(cè)得航標(biāo)C在北偏東60°方向上。前進(jìn)100m到達(dá)B處，又測(cè)得航標(biāo)C在北偏東45°方向上（如圖），在以航標(biāo)C為圓心，120m為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有淺灘，如果這條船繼續(xù)前進(jìn)，是否有被淺灘阻礙的危險(xiǎn)？

A

D

B

E

圖6

i=1:

C

4如圖6，梯形ABCD是攔水壩的橫斷面圖，（圖中是指坡面的鉛直高度DE與水平寬度CE的比），∠B=60°，AB=6，AD=4，求攔水壩的橫斷面ABCD的面積．（結(jié)果保留三位有效數(shù)字.參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈1.414）