2021年中考數(shù)學(xué)：幾何專題復(fù)習(xí)之

特殊四邊形專題（較難）

一．選擇題

1．如圖，在?ABCD中，AB＝6，AD＝8，將△ACD沿對角線AC折疊得到△ACE，AE與BC交于點(diǎn)F，則下列說法正確的是（）

A．當(dāng)∠B＝90°時，則EF＝2

B．當(dāng)F恰好為BC的中點(diǎn)時，則?ABCD的面積為12

C．在折疊的過程中，△ABF的周長有可能是△CEF的2倍

D．當(dāng)AE⊥BC時，連接BE，四邊形ABEC是菱形

2．如圖，E為正方形ABCD邊CD上一點(diǎn)，連接BE，AC．若EC＝1，2∠ABE＝3∠ACB，則AB＝（）

A．

B．

C．

D．

3．如圖，點(diǎn)A、B在函數(shù)y＝（x＞0，k＞0且k是常數(shù)）的圖象上，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)過點(diǎn)A作AM⊥x軸，垂足為M，過點(diǎn)B作BN⊥y軸，垂足為N，AM與BN的交點(diǎn)為C，連接AB、MN．若△CMN和△ABC的面積分別為1和4，則k的值為（）

A．4

B．4

C．

D．6

4．如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向外作等邊△ABD和△ACE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，DE，AB相交于點(diǎn)G．連接EF，若∠BAC＝30°，下列結(jié)論：①EF⊥AC；②四邊形ADFE為菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．則正確結(jié)論的序號是（）

A．①③

B．②④

C．①③④

D．②③④

5．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E為邊BC的中點(diǎn)，P為BD的一個動點(diǎn)，則PC+PE的最小值是（）

A．

B．

C．

D．

6．已知點(diǎn)M是平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)（不含邊界），設(shè)∠MAD＝θ1，∠MBA＝θ2，∠MCB＝θ3，∠MDC＝θ4．若∠AMB＝110°，∠CMD＝90°，∠BCD＝60°．則（）

A．θ1+θ4﹣θ2﹣θ3＝10°

B．θ2+θ4﹣θ1﹣θ3＝30°

C．θ1+θ4﹣θ2﹣θ3＝30°

D．θ2+θ4﹣θ1﹣θ3＝40°

7．如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的對角線AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作EF∥BC，分別交AB，CD于E、F，連接PB、PD．若AE＝2，PF＝8．則圖中陰影部分的面積為（）

A．10

B．12

C．16

D．18

8．矩形ABCD與矩形CEFG如圖放置，點(diǎn)B、C、E共線，點(diǎn)C、D、G共線，連接AF，取AF的中點(diǎn)H，連接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，則GH＝（）

A．

B．

C．2

D．

二．填空題

9．如圖，?ABCD的面積為32，E，F(xiàn)分別為AB、AD的中點(diǎn)，則△CEF的面積為

．

10．如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為邊AD上一動點(diǎn)，連接BE，CE，以CE為邊向右側(cè)作正方形CEFG．

（1）若BE＝5，則正方形CEFG的面積為；

（2）連接DF，DG，則△DFG面積的最小值為

．

11．如圖，菱形ABCD的邊長為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，CD上的兩個動點(diǎn)，且滿足AE+CF＝BD＝2，設(shè)△BEF的面積為S，則S的取值范圍是

．

12．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝2，CD＝6，E，F(xiàn)，M分別為邊BC，AD和對角線BD的中點(diǎn)．連接EF，F(xiàn)M，則FM＝

；線段EF的最大值為

．

13．如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝7，連接BD，把線段BD繞點(diǎn)D逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得線段DQ．在BC邊上取點(diǎn)P，使BP＝2，連接PQ交DC延長線于點(diǎn)E，則線段DE長為

．

14．在三角形ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是BC，AB，AC的中點(diǎn)，AH⊥BC于點(diǎn)H，若∠DEF＝50°，則∠CFH＝

．

15．如圖是一張三角形紙片，其中∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，從紙片上裁出一矩形，要求裁出的矩形的四個頂點(diǎn)都在三角形的邊上，其面積為2，則該矩形周長的最小值＝

．

16．已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝3，BC＝5，分別以AB，AC為邊向外側(cè)作等邊三角形ABM和等邊三角形ACN，連接MN，D，E，F(xiàn)，G分別是MB，BC，CN，MN的中點(diǎn)，則四邊形DEFG的周長為

．

17．如圖的七邊形ABCDEFG中，AB、ED的延長線相交于O點(diǎn)．若圖中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和為220°，則∠BOD的度數(shù)為

．

18．直線y＝a分別與直線y＝x和雙曲線y＝交于D、A兩點(diǎn)，過點(diǎn)A、D分別作x軸的垂線段，垂足為點(diǎn)B，C．若四邊形ABCD是正方形，則a的值為

．

19．如圖，矩形ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，分別沿AE，CF折疊，D，B兩點(diǎn)剛好都落在矩形內(nèi)一點(diǎn)P，且∠APC＝120°，則AB：AD＝

．

20．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)，GE⊥CG交AB于E，BE＝BC，連接CE交BG于F，則∠BFC等于

．

三．解答題

21．如圖①，已知正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，CD上的點(diǎn)（點(diǎn)E，F(xiàn)不與端點(diǎn)重合），且AE＝DF，BE，AF交于點(diǎn)P，過點(diǎn)C作CH⊥BE交BE于點(diǎn)H．

（1）求證：AF∥CH．

（2）若AB＝2，AE＝2，試求線段PH的長．

（3）如圖②，連接CP并延長交AD于點(diǎn)Q，若點(diǎn)H是BP的中點(diǎn)，試求的值．

22．如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝2，E為AB的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P是∠DAB平分線上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合）．

（1）證明：PD＝PE．

（2）連接PC，求PC的最小值．

（3）設(shè)點(diǎn)O是矩形ABCD的對稱中心，是否存在點(diǎn)P，使∠DPO＝90°？若存在，請直接寫出AP的長．

23．當(dāng)k值相同時，我們把正比例函數(shù)y＝x與反比例函數(shù)y＝叫做“關(guān)聯(lián)函數(shù)”．

（1）如圖，若k＞0，這兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)分別為A，B，求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)（用k表示）；

（2）若k＝1，點(diǎn)P是函數(shù)y＝在第一象限內(nèi)的圖象上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P不與B重合），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，），其中m＞0且m≠2．作直線PA，PB分別與x軸交于點(diǎn)C，D，則△PCD是等腰三角形，請說明理由；

（3）在（2）的基礎(chǔ)上，是否存在點(diǎn)P使△PCD為直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

24．如圖，矩形ABCD中，BC＞AB，E是AD上一點(diǎn)，△ABE沿BE折疊，點(diǎn)A恰好落在線段CE上的點(diǎn)F處．

（1）求證：CF＝DE．

（2）設(shè)＝m．

①若m＝，試求∠ABE的度數(shù)；

②設(shè)＝k，試求m與k滿足的關(guān)系．

25．如圖，正方形ABCD中，G是對角線BD上一個動點(diǎn)，連接AG，過G作GE⊥CD，GF⊥BC，E、F分別為垂足

（1）求證：GE+GF＝AB；

（2）①寫出GE、GF、AG三條線段滿足的等量關(guān)系，并證明；

②求當(dāng)AB＝6，AG＝時，BG的長．

26．如圖，E是正方形ABCD的對角線BD上的一個動點(diǎn)（不與B、D兩點(diǎn)重合），連接AE，作EF⊥AE于E，交直線CB于F．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在線段CB上時，通過觀察或測量，猜想△AEF的形狀，并證明你的猜想；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在線段CB的延長線上時，其它條件不變，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

（3）若AE將△ABD的面積分成1：2的兩部分，求AF：CF的值．

27．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC上有一點(diǎn)E，連接BE，作EF⊥BE交AD于點(diǎn)F．過點(diǎn)E作直線CD的對稱點(diǎn)G，連接CG，DG，EG．

（1）求證：△BEC≌△DGC；

（2）求證：四邊形FEGD為平行四邊形；

（3）若AB＝4，?FEGD有可能成為菱形嗎？如果可能，此時CE長；如果不可能，請說明理由．

28．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．點(diǎn)E，F(xiàn)在對角線AC上，點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上．

（1）如圖1，若AE＝CF＝1，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)．求證：四邊形EMFN為矩形．

（2）如圖2，若AE＝CF＝0.5，AM＝CN＝x（0＜x＜2），且四邊形EMFN為矩形，求x的值．

29．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，點(diǎn)E，點(diǎn)F關(guān)于CD對稱．

（1）若ED∥CF，①求證：四邊形ECFD是菱形．

②若點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，求證：AD＝EF．

（2）連接BD，BE，BF，若四邊形ABCD是正方形，△BDF是直角三角形，求的值．

30．（1）如圖1，將一矩形紙片ABCD沿著EF折疊，CE交AF于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GH∥EF，交線段BE于點(diǎn)H．

①判斷EG與EH是否相等，并說明理由．

②判斷GH是否平分∠AGE，并說明理由．

（2）如圖2，如果將（1）中的已知條件改為折疊三角形紙片ABC，其它條件不變．

①判斷EG與EH是否相等，并說明理由．

②判斷GH是否平分∠AGE，如果平分，請說明理由；如果不平分，請用等式表示∠EGH，∠AGH與∠C的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

參考答案

一．選擇題

1．解：A、如圖1中，∵∠B＝90°，四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠DAC＝∠CAE，∴∠ACF＝∠CAF，∴AF＝CF，設(shè)AF＝CF＝x，在Rt△ABF中，則有x2＝62+（8﹣x）2，解得x＝，∴EF＝8﹣＝，故選項(xiàng)A不符合題意．

B、如圖2中，當(dāng)BF＝CF時，∵AF＝CF＝BF，∴∠BAC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴S平行四邊形ABCD＝AB?AC＝6×2＝12，故選項(xiàng)B符合題意．

C、在折疊過程中，△ABF與△EFC的周長相等，選項(xiàng)C不符合題意．

D、如圖3中，當(dāng)AE⊥BC時，四邊形ABEC是等腰梯形，選項(xiàng)D不符合題意．

故選：B．

2．解：如圖，AC，BE交于點(diǎn)F，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∵2∠ABE＝3∠ACB，∴∠ABE＝＝67.5°，∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠BAC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠ABE＝∠AFB，∴AB＝AF，∵AB∥CE，∴∠ABF＝∠CEF＝67.5°，∵∠CFE＝∠AFB＝67.5°，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，設(shè)AB＝x，則AC＝x+1，在Rt△ABC中，AC＝，∴x+1＝，解得x＝+1，故選：B．

3．解：設(shè)點(diǎn)M（a，0），N（0，b）

∵AM⊥x軸，且點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（x＞0，k＞0且k是常數(shù)）的圖象上，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，），BN⊥y軸，同理可得：B（，b）

則點(diǎn)C（a，b）

s△CMN＝＝ab＝1

∴ab＝2

∵AC＝，BC＝

＝＝4

即，且ab＝2

（k﹣2）2＝16

解得：k＝6，k＝﹣2（舍去）

故選：D．

4．解：連接FC，如圖所示：

∵∠ACB＝90°，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，∴FA＝FB＝FC，∵△ACE是等邊三角形，∴EA＝EC，∵FA＝FC，EA＝EC，∴點(diǎn)F、點(diǎn)E都在線段AC的垂直平分線上，∴EF垂直平分AC，即EF⊥AC；

∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，∴DF⊥AB即∠DFA＝90°，BD＝DA＝AB＝2AF，∠DBA＝∠DAB＝∠EAC＝∠ACE＝60°．

∵∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠EAF＝90°，∴∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，∴DF∥AE，DA∥EF，∴四邊形ADFE為平行四邊形而不是菱形；

∵四邊形ADFE為平行四邊形，∴DA＝EF，AF＝2AG，∴BD＝DA＝EF，DA＝AB＝2AF＝4AG；

在△DBF和△EFA中，∴△DBF≌△EFA（SAS）；

綜上所述：①③④正確，故選：C．

5．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于BD對稱，BC＝AB＝4，∵E為邊BC的中點(diǎn)，∴BE＝BC＝2，連接AE交BD于P，則此時，PC+PE的值最小，PC+PE的最小值＝AE，∵AE＝＝＝2，∴PC+PE的最小值是2，故選：A．

6．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD＝∠BCD＝60°，∴∠BAM＝60°﹣θ1，∠DCM＝60°﹣θ3，∴△ABM中，60°﹣θ1+θ2+110°＝180°，即θ2﹣θ1＝10°①，△DCM中，60°﹣θ3+θ4+90°＝180°，即θ4﹣θ3＝30°②，由②+①，可得（θ4﹣θ3）+（θ2﹣θ1）＝40°，即θ2+θ4﹣θ1﹣θ3＝40°，故選：D．

7．解：作PM⊥AD于M，交BC于N．

則有四邊形AEPM，四邊形DFPM，四邊形CFPN，四邊形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∴S△DFP＝S△PBE＝×2×8＝8，∴S陰＝8+8＝16，（本題也可以證明兩個陰影部分的面積相等，由此解決問題）

故選：C．

8．解：延長GH交AD于M點(diǎn)，如圖所示：

∵四邊形ABCD與四邊形CEFG都是矩形，∴CD＝CE＝FG＝1，BC＝EF＝CG＝3，BE∥AD∥FG，∴DG＝CG﹣CD＝3﹣1＝2，∠HAM＝∠HFG，∵AF的中點(diǎn)H，∴AH＝FH，在△AMH和△FGH中，∴△AMH≌△FGH（ASA）．

∴AM＝FG＝1，MH＝GH，∴MD＝AD﹣AM＝3﹣1＝2，在Rt△MDG中，GM＝＝＝2，∴GH＝GM＝，故選：A．

二．填空題（共12小題）

9．解：連接AC、DE、BD，如圖：

∵E為AB中點(diǎn)，∴S△BCE＝S△ABC＝S平行四邊形ABCD＝8，同理可得：S△CDF＝8，∵F為AD中點(diǎn)，∴SAEF＝S△AED＝S△ABD＝S平行四邊形ABCD＝4，∴S△CEF＝S平行四邊形ABCD﹣S△AEF﹣S△BCE﹣S△CDF＝32﹣8﹣8﹣4＝12；

故答案為：12．

10．解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，∠A＝∠ADC＝90°，∵BE＝5，∴AE＝＝＝3，∴DE＝AD﹣AE＝4﹣3＝1，∴EC2＝DE2+CD2＝12+42＝17，∴正方形CEFG的面積＝EC2＝17．

故答案為17．

（2）連接DF，DG．設(shè)DE＝x，則CE＝，∵S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF，∴S△DFG＝（x2+16）﹣×x×4＝x2﹣2x+8＝（x﹣2）2+6，∵＞0，∴x＝2時，△DFG的面積的最小值為6．

故答案為6．

11．解：∵菱形ABCD的邊長為2，BD＝2，∴△ABD和△BCD都為正三角形，∴∠BDE＝∠BCF＝60°，BD＝BC，∵AE+DE＝AD＝2，而AE+CF＝2，∴DE＝CF，∴△BDE≌△BCF（SAS）；

∴∠DBE＝∠CBF，BE＝BF，∵∠DBC＝∠DBF+∠CBF＝60°，∴∠DBF+∠DBE＝60°即∠EBF＝60°，∴△BEF為正三角形；

設(shè)BE＝BF＝EF＝x，則S＝?x?x?sin60°＝x2，當(dāng)BE⊥AD時，x最?。?×sin60°＝，∴S最?。健粒ǎ?＝，當(dāng)BE與AB重合時，x最大＝2，∴S最大＝×22＝，∴≤S≤．

故答案為：≤S≤．

12．解：連接EM，∵E，F(xiàn)，M分別為邊BC，AD和對角線BD的中點(diǎn)，∴FM＝，EM＝，當(dāng)EF＝EM+MF時，線段EF最大，即EF＝1+3＝4，故答案為：1；4．

13．解：如圖，過點(diǎn)Q作QH⊥CD于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝7，∵BP＝2，∴CP＝5，∵把線段BD繞點(diǎn)D逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得線段DQ，∴BD＝DQ，∠BDQ＝90°，∴∠BDC+∠QDC＝90°，且∠BDC+∠DBC＝90°，∴∠QDC＝∠DBC，且BD＝DQ，∠BCD＝∠DHQ＝90°，∴△BDC≌△DQH（AAS）

∴DC＝HQ＝5，BC＝DH＝7，∴CH＝DH﹣CD＝2，∵CP＝HQ＝5，∠PEC＝∠QEH，∠PCE＝∠QHE，∴△PCE≌△QHE（AAS）

∴CE＝EH，且CH＝2，∴CE＝EH＝1，∴DE＝DC+CE＝5+1＝6，故答案為：6．

14．解：∵點(diǎn)D、E、F分別是BC、AB、AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，DE∥AC（三角形的中位線的性質(zhì)）

又∵EF∥BC，∠DEF＝50°，∴∠DEF＝∠EDB＝50°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠FCH＝50°（兩直線平行，同位角相等），又∵AH⊥BC，∴△AHC是直角三角形，∵HF是斜邊上的中線，∴HF＝AC＝FC，∴∠FHC＝∠FCH＝50°．

∴∠CFH＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故答案為：80°．

15．解：①當(dāng)矩形的其中一邊在AC上時，如圖1所示：

設(shè)CE＝x，則BE＝3﹣x，∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴DE＝（3﹣x），∴S矩形DECF＝CE?DE＝x（3﹣x）＝2，整理得：x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，當(dāng)x＝1時，該矩形周長＝（CE+DE）×2＝（1+2）×2＝4+2，當(dāng)x＝2時，該矩形周長＝（CE+DE）×2＝2+4，∵（4+2）﹣（2+4）＝2﹣2＝2（﹣1）＞0，∴矩形的周長最小值為2+4；

②當(dāng)矩形的其中一邊在AB上時，如圖2所示：

設(shè)CF＝x，則BF＝3﹣x，∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴FG＝2x，EF＝（3﹣x），∴S矩形DECF＝FG?EF＝2x?（3﹣x）＝2，整理得：x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，所以和（1）的結(jié)果一致，綜上所述：矩形周長的最小值為2+4．

故答案為：2+4．

16．解：連接BN、CM，作NP⊥BC于P，如圖所示：

∵△ABM和△ACN是等邊三角形，∴AB＝AM，AN＝AC＝CN＝3，∠BAM＝∠CAN＝∠ACN＝60°，∴∠BAM+∠BAC＝∠CAN+∠BAC，即∠CAM＝∠NAB，在△CAM和△NAB中，∴△CAM≌△NAB（SAS），∴CM＝NB，∵D，E，F(xiàn)，G分別是MB，BC，CN，MN的中點(diǎn)，∴DG是△BMN的中位線，EF是△BCN的中位線，DE是△BCM的中位線，∴DG∥BN，DG＝BN，EF∥BN，EF＝BN，DE＝CM，∴DG∥EF，DG＝EF，DG＝DE，∴四邊形DEFG是平行四邊形，又∵DG＝DE，∴四邊形DEFG是菱形，∴DE＝DG＝EF＝FG＝BN，∵∠BAC＝60°，∴∠NCP＝180°﹣∠ACB﹣∠ACN＝60°，∵NP⊥BC，∴∠CNP＝90°﹣60°＝30°，∴PC＝CN＝，PN＝PC＝，∴BP＝BC+PC＝5+＝，∴BN＝＝＝7，∴DE＝DG＝EF＝FG＝BN＝，∴四邊形DEFG的周長＝4×＝14，故答案為：14．

17．解：

∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和為220°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+220°＝4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝500°，∵五邊形OAGFE內(nèi)角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°，∴∠BOD＝540°﹣500°＝40°，故答案為：40°．

18．解：∵直線y＝a分別與直線y＝x和雙曲線y＝交于點(diǎn)D、A，∴A（，a），D（2a，a），當(dāng)直線在x軸的正半軸時，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，即2a﹣＝a，解得a＝﹣1或a＝1．

當(dāng)直線在x軸的負(fù)半軸時，同理可得，2a﹣＝﹣a，解得a＝±．

故答案為：±1或±．

19．解：如圖，設(shè)AD＝BC＝x．過點(diǎn)P作PH⊥AC于H．

由翻折的性質(zhì)可知，PA＝PC＝BC＝x，∵∠APC＝120°，PH⊥AC，∴AH＝CH，∠APH＝∠CPH＝60°，∴AC＝2AH＝2?PA?sin60°＝x，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∴CD＝AB＝＝＝x，∴＝＝，故答案為：1．

20．解：∵BE＝BC，∠ABC＝90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴∠BCE＝∠BEC＝45°，∵GE⊥CG，∴∠AGE+∠CGD＝90°，∵∠DCG+∠CGD＝90°，∴∠AGE＝∠DCG，又∵∠A＝∠D＝90°，∴△AGE∽△DCG，∴，∵G是AD的中點(diǎn)，∴AG＝DG，∴，∵∠D＝∠CGE＝90°，∴△CDG∽△CGE，∴∠DCG＝∠GCE＝（90°﹣45°）＝22.5°，∵G是AD的中點(diǎn)，∴由矩形的對稱性可知∠ABG＝∠DCG＝22.5°，由三角形的外角性質(zhì)得，∠BFC＝∠ABG+∠BEC＝22.5°+45°＝67.5°．

故答案為：67.5°．

三．解答題（共10小題）

21．（1）證明：在正方形ABCD中，AB＝DA，∠EAB＝∠D＝90°，又∵AE＝DF，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，又∵∠DAF+∠FAB＝∠EAB＝90°，∴∠ABE+∠FAB＝90°，∴∠APB＝90°，∴AF⊥BE，又∵CH⊥BE，∴AF∥CH；

（2）解：在正方形ABCD中，∠EAB＝90°，AB＝2，AE＝2，∴BE＝＝＝4，∵S△ABE＝AB?AE＝BE?AP，∴AP＝＝，在Rt△ABP中，BP＝＝＝3，∵∠APB＝∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠HBC＝90°，∠HCB+∠HBC＝90°，∴∠ABP＝∠HCB，∵CH⊥BE，∴∠HCB＝90°，又∵AB＝BC，∴△ABP≌△BCH（AAS），∴BH＝AP＝，∴PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP＝3﹣．

（3）解：在正方形ABCD中，AB＝BC，AD∥BC，∵CH⊥BP，PH＝BH，∴CP＝BC，∴∠CBP＝∠CPB，∵∠CPB＝∠QPE，∠CBP＝∠QEP，∴∠QPE＝∠QEP，在Rt△APE中，∠QAP＝∠QPA，∴QE＝QP＝QA，在四邊形QABC中，設(shè)QP＝a，CP＝b，則AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，∵DC2+DQ2＝CQ2，∴b2+（b﹣a）2＝（a+b）2，∴b2＝4ab，即b＝4a，∴＝4．

22．（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠DAB＝90°，∵AP平分∠DAB，∴∠DAP＝∠EAP＝45°，在△DAP和△EAP中，∴△DAP≌△EAP（SAS）

∴PD＝PE；

（2）解：如圖1，作CP′⊥AP′于P′，則P′C最小，∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠EAP，∵∠DAP＝∠EAP，∴∠DAP＝∠DFA＝45°，∴FC＝DF＝AD＝2，∠P′FC＝45°，∴P′C＝FC×＝，∴PC的最小值為；

（3）解：如圖2，∵DF＝FC，OA＝OC，∴OF∥AD，∴∠DFO＝180°﹣∠ADF＝90°，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時，∠DPO＝90°，此時，AP＝＝2，當(dāng)點(diǎn)P在AF上時，作PG⊥AD于G，PH⊥AB于H，∵AP平分∠DAB，PG⊥AD，PH⊥AB，∴PG＝PH，設(shè)PG＝PH＝a，由勾股定理得，DP2＝（2﹣a）2+a2，OP2＝（2﹣a）2+（1﹣a）2，OD2＝5，當(dāng)∠DPO＝90°時，DP2+OP2＝OD2，即（2﹣a）2+a2+（2﹣a）2+（1﹣a）2＝5，解得，a1＝2（舍去），a2＝，當(dāng)a＝時，AP＝，綜上所述，∠DPO＝90°時，AP＝2或．

23．解：（1）∵兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)分別為A，B，∴，∴x2＝k2，∴x＝±k，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣k，﹣1），點(diǎn)B坐標(biāo)（k，1），（2）∵k＝1，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣1，﹣1），點(diǎn)B坐標(biāo)（1，1），∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，），∴直線PA解析式為：y＝+，當(dāng)y＝0時，x＝m﹣1，∴點(diǎn)C（m﹣1，0）

同理可求直線PB解析式為：y＝﹣x+，當(dāng)y＝0時，x＝m+1，∴點(diǎn)D（m+1，0）

∴PD＝＝，PC＝＝，∴PC＝PD，∴△PCD是等腰三角形；

（3）如圖，過點(diǎn)P作PH⊥CD于H，∵△PCD為直角三角形，PH⊥CD，∴CD＝2PH，∴m+1﹣（m﹣1）＝2×

∴m＝1，∴點(diǎn)P（1，1），∵點(diǎn)B（1，1），且點(diǎn)P是函數(shù)y＝在第一象限內(nèi)的圖象上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P不與B重合），∴不存在點(diǎn)P使△PCD為直角三角形．

24．（1）證明：由折疊的性質(zhì)可知，∠BEA＝∠BEF，∵AD∥BC，∴∠BEA＝∠EBC，∠BCF＝∠CED，∴∠BEF＝∠EBC，∴BC＝CE，∵∠BFC＝∠D＝90°，∴△BFC≌△CDE（AAS），∴CF＝DE．

（2）解：①由翻折可知BA＝BF，∠BFE＝∠A＝90°，在Rt△BFC中，sin∠BCF＝＝＝＝，∴∠BCF＝60°，∴∠CBF＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABF＝90°﹣30°＝60°，∵∠ABE＝∠FBE，∴∠ABE＝∠ABF＝30°．

②∵＝k，＝m，∴AE＝kAD，AB＝mAD，∴DE＝AD﹣AE＝AD（1﹣k），在Rt△CED中，CE2＝CD2+DE2，即AD2＝（mAD）2+[AD（1﹣k）]2，整理得，m2＝2k﹣k2．

25．證明：（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD＝90°，∠ABD＝∠CDB＝∠CBD＝45°，AB＝BC＝CD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝BD，∵GE⊥CD，GF⊥BC，∴△DGE和△BGF是等腰直角三角形，∴GE＝DG，GF＝BG，∴GE+GF＝（DG+BG）＝BD，∴GE+GF＝AB；

（2）解：GE2+GF2＝AG2，理由如下：

連接CG，如圖所示：

在△ABG和△CBG中，∴△ABG≌△CBG（SAS），∴AG＝CG，∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD＝90°，∴四邊形EGFC是矩形，∴CE＝GF，∴GE2+CE2＝CG2，∴GE2+GF2＝AG2；

設(shè)GE＝x＝CF，則GF＝6﹣x＝BF，由勾股定理得：x2+（6﹣x）2＝（）2，∴x＝1或x＝5

當(dāng)x＝1時，∴BF＝GF＝5，∴BG＝＝＝5，當(dāng)x＝5時，∴BF＝GF＝1，∴BG＝＝＝，26．解：（1）△AEF是等腰直角三角形，理由如下：

過點(diǎn)E作直線MN∥AB，交AD于M，交BC于N，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是正方形，BD是對角線，且MN∥AB，∴四邊形ABNM和四邊形MNCD都是矩形，△NEB和△MDE都是等腰直角三角形，∴AM＝BN，∠AME＝∠ENF＝90°，EN＝BN，∴AM＝EN，∵EF⊥AE，∴∠AEM+∠FEN＝∠AEM+∠EAM＝90°，∴∠EAM＝∠FEN，在△AME和△ENF中，∴△AME≌△ENF（ASA），∴AE＝EF，∵AE⊥EF，∴△AEF是等腰直角三角形；

（2）（1）中的結(jié)論還成立，理由如下：

過點(diǎn)E作直線MN∥DC，交AD于M，交BC于N，如圖2所示：

由（1）同理可得：AM＝BN＝EN，∠EAM＝∠FEN，∵∠AME＝∠ENF＝90°，在△AME和△ENF中，∴△AME≌△ENF（ASA）；

∴AE＝EF，∵AE⊥EF，∴△AEF是等腰直角三角形；

（3）分兩種情況：

①△ADE的面積：△ABE的面積＝1：2時，如圖1所示：

則BE＝2DE，設(shè)正方形ABCD的邊長為3a，則BD＝3a，由（1）得：AE＝EF，ME＝NF，DM＝CN，△AEF、△NEB和△MDE都是等腰直角三角形，∴AF＝AE，BE＝BN＝2a，DE＝ME＝a，∴AM＝BN＝2a，CN＝NF＝DM＝ME＝a，∴CF＝NF+CN＝2a，AE＝＝＝a，∴AF＝AE＝a，∴＝＝；

②△ADE的面積：△ABE的面積＝2：1時，如圖2所示：

則DE＝2BE，設(shè)正方形ABCD的邊長為3a，則BD＝3a，同（1）得：AF＝AE，BE＝BN＝a，DE＝ME＝2a，∴AM＝BN＝a，CN＝NF＝DM＝ME＝2a，∴CF＝NF+CN＝4a，AE＝＝＝a，∴AF＝AE＝a，∴＝＝；

綜上所述，若AE將△ABD的面積分成1：2的兩部分，則AF：CF的值為或．

27．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCA＝∠DCA＝45°，AD∥DC，∵點(diǎn)E與點(diǎn)G關(guān)于直線CD對稱，∴EC＝GC，∠DCG＝∠DCA＝45°，EG⊥CD，∴∠BCE＝∠DCG，在△BEC和△DGC中，∴△BEC≌△DGC（SAS）；

（2）證明：∵EG⊥CD，AD⊥DC，AD∥BC，∴EG∥DF∥BC，∴∠EGC＝∠GEC＝∠ACB＝45°，∴∠DGE＝∠DGC﹣45°，∵BE⊥EF，∴∠FEG＝360°﹣90°﹣45°﹣∠BEC＝225°﹣∠BEC，∵△BEC≌△DGC，∴∠DGC＝∠BEC，∴∠DGE+∠FEG＝∠DGC﹣45°+225°﹣∠BEC＝180°，∴EF∥DG，∴四邊形FEGD為平行四邊形；

（3）解：過E作MN⊥AD于N，MN⊥BC于M，如圖所示：

則∠EBM+∠BEM＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEM+∠FEN＝90°，∴∠EBM＝∠FEN，∵BM＝AN，AN＝EN，∴BM＝EN，在△BME和△ENF中，∴△BME≌△ENF（ASA），∴BE＝EF，∵四邊形ABCD是正方形，∴B、D關(guān)于AC對稱，∴BE＝DE，∴DE＝EF，當(dāng)四邊形GD為菱形時，DF＝EF，∴△DEF是等邊三角形，∴∠EBM＝∠FEN＝∠FED＝30°，設(shè)CM＝x，則EM＝x，∵∠EBM＝30°，∴BM＝x，∵四邊形ABCD為正方形，AB＝4，∴BC＝BM+EM＝（+1）x＝4，解得：x＝2（﹣1），∴CE＝x＝2﹣2．

28．（1）證明：連接MN，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝90°，∴∠EAM＝∠FCN，AC＝＝＝5，∵M(jìn)，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，∴AM＝DM＝BN＝CN，AM∥BN，∴四邊形ABNM是平行四邊形，又∵∠B＝90°，∴四邊形ABNM是矩形，∴MN＝AB＝3，在△AME和△CNF中，∴△AME≌△CNF（SAS），∴EM＝FN，∠AEM＝∠CFN，∴∠MEF＝∠NFE，∴EM∥FN，∴四邊形EMFN是平行四邊形，又∵AE＝CF＝1，∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝3，∴MN＝EF，∴四邊形EMFN為矩形．

（2）解：連接MN，作MH⊥BC于H，如圖2所示：

則四邊形ABHM是矩形，∴MH＝AB＝3，BH＝AM＝x，∴HN＝BC﹣BH﹣CN＝4﹣2x，∵四邊形EMFN為矩形，AE＝CF＝0.5，∴MN＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝4，在Rt△MHN中，由勾股定理得：32+（4﹣2x）2＝42，解得：x＝2±，∵0＜x＜2，∴x＝2﹣．

29．（1）證明：①如解圖1，∵點(diǎn)E，點(diǎn)F關(guān)于CD對稱．

∴DE＝DF；CE＝CF，OE＝OF，CD⊥EF，∴∠ECO＝∠FCO，∵ED∥CF，∴∠FCO＝∠EDO，∴∠ECO＝∠EDO，∴DE＝EC，∴DE＝DE＝EC＝CF，∴四邊形ECFD是菱形．

②由得①得四邊形ECFD是菱形，∴EO＝OF＝，OD＝OC，又∵AE＝EC，∴OF＝．

∴AD＝EF

（2）解：四邊形ABCD是正方形，△BDF是直角三角形，則有以下情況：

Ⅰ．第一種情況：若∠BFD＝90°時，E、F、C三點(diǎn)重合，BF＝BE，即．

Ⅱ．第二種情況：若∠BDF＝90°時，如解2，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BDC＝∠DBC＝45°，BE＝DE，∴∠FDC＝45°，∵E，點(diǎn)F關(guān)于CD對稱，∴∠EDC＝45°，即E為AC與BD的交點(diǎn)，EF⊥CD，∴EF∥BC，∴∠DEF＝∠BDC＝45°，∴△EFD為等腰直角三角形，∴DF＝DE＝BE，在Rt△BDF中，BF＝＝，∴即＝．

Ⅲ．點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，所以∠DBF＝90°不存在．

綜上所述：若四邊形ABCD是正方形，△BDF是直角三角形，的值為1或．

30．解：（1）①EG＝EH，理由如下：

如圖，∵四邊形ABCD是矩形

∴AD∥BC

∴AF∥BE，且GH∥EF

∴四邊形GHEF是平行四邊形

∴∠GHE＝∠GFE

∵將一矩形紙片ABCD沿著EF折疊，∴∠1＝∠GEF

∵AF∥BE，GH∥EF

∴∠1＝∠GFE，∠HGE＝∠GEF

∴∠GEF＝∠HGE

∴∠GHE＝∠HGE

∴HE＝GE

②GH平分∠AGE

理由如下：

∵AF∥BE

∴∠AGH＝∠GHE，且∠GHE＝∠HGE

∴∠AGH＝∠HGE

∴GH平分∠AGE

（2）①EG＝GH

理由如下，如圖，∵將△ABC沿EF折疊

∴∠CEF＝∠C＇EF，∠C＝∠C＇

∵GH∥EF

∴∠GEF＝∠HGE，∠FEC＇＝∠GHE

∴∠GHE＝∠HGE

∴EG＝EH

②∠AGH＝∠HGE+∠C

理由如下：

∵∠AGH＝∠GHE+∠C＇

∴∠AGH＝∠HGE+∠C