多位數(shù)計(jì)算

教學(xué)目標(biāo)

多位數(shù)的運(yùn)算在奧數(shù)計(jì)算體系里面一般都扮演難題角色，因?yàn)槎辔粩?shù)計(jì)算不僅能體現(xiàn)普通數(shù)字四則運(yùn)算的一切考法，還有自身的“獨(dú)門秘籍”，那就是“數(shù)字多的數(shù)不出來”，只能依靠觀察數(shù)字結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)數(shù)字規(guī)律的方式掌握多位數(shù)的整體結(jié)構(gòu)，然后再確定方法進(jìn)行解題。

多位數(shù)的主要考查方式有

1.用帶省略號(hào)的描述方式進(jìn)行多位數(shù)的具體值四則計(jì)算

2.計(jì)算多位數(shù)的各個(gè)位數(shù)字之和

知識(shí)點(diǎn)撥

一、多位數(shù)運(yùn)算求精確值的常見方法

1.利用，進(jìn)行變形

2.“以退為進(jìn)”法找規(guī)律遞推求解

二、多位數(shù)運(yùn)算求數(shù)字之和的常見方法

M×的數(shù)字和為9×k．(其中M為自然數(shù)，且M≤)．可以利用上面性質(zhì)較快的獲得結(jié)果．

例題精講

模塊一、多位數(shù)求精確值運(yùn)算

【例

1】

計(jì)算：

【考點(diǎn)】多位數(shù)計(jì)算之求精確值

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

這道題目，你會(huì)發(fā)現(xiàn)無規(guī)律可循.這時(shí)我們就要從找規(guī)律這個(gè)思想里走出來，將

乘以3湊出一個(gè)，然后在原式乘以3的基礎(chǔ)上除以3，所以

原式

【答案】

【鞏固】

計(jì)算：

【考點(diǎn)】多位數(shù)計(jì)算之求精確值

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

這道題目，你會(huì)發(fā)現(xiàn)無規(guī)律可循.這時(shí)我們就要從找規(guī)律這個(gè)思想里走出來，將

乘以3湊出一個(gè)，然后在原式乘以3的基礎(chǔ)上除以3，所以

原式

【答案】

【鞏固】

計(jì)算

【考點(diǎn)】多位數(shù)計(jì)算之求精確值

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

我們可以把轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而可以進(jìn)行下一步變形，具體為：

原式

【答案】

【鞏固】

計(jì)算的乘積是多少？

【考點(diǎn)】多位數(shù)計(jì)算之求精確值

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

我們可以將原題的多位數(shù)進(jìn)行的變形：

原式==

=（）=×-

=.【答案】

【鞏固】

快來自己動(dòng)手算算的結(jié)果看誰算得準(zhǔn)？

【考點(diǎn)】多位數(shù)計(jì)算之求精確值

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

本題是提取公因數(shù)和湊整的綜合。

原式

【答案】

【鞏固】

計(jì)算

【考點(diǎn)】多位數(shù)計(jì)算之求精確值

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

本題著重是給大家一種湊的思想，除數(shù)是，所以需要我們的被除數(shù)也能湊出

這就需要我們根據(jù)乘法的性質(zhì)來計(jì)算了。所以：

原式

【答案】

【例

2】

請(qǐng)你計(jì)算結(jié)果的末尾有多少個(gè)連續(xù)的零？

【考點(diǎn)】多位數(shù)計(jì)算之求精確值

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

同學(xué)們觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)乘數(shù)都非常大，不便直接相乘，可以引導(dǎo)學(xué)生按照兩種思路給學(xué)生展開

方法一：是學(xué)生喜歡的從簡(jiǎn)單情況找規(guī)律

9×9=81；99×99=9801

；999×999=998001；9999×9999=99980001；……

所以：

原式

方法二：觀察一下你會(huì)發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)乘數(shù)都非常大，不便直接相乘，其中

999

很接近

000，于是我們采用添項(xiàng)湊整，簡(jiǎn)化運(yùn)算。

原式

所以末尾有4016個(gè)0

【答案】4016個(gè)0

【例

3】

計(jì)算的積

【考點(diǎn)】多位數(shù)計(jì)算之求精確值

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

我們先還是同上例來湊成；

＝＝

＝＝

＝、我們知道能被9整除，商為：049382716．又知1997個(gè)4，9個(gè)數(shù)一組，共221組，還剩下8個(gè)4，則這樣數(shù)字和為8×4=32,加上后面的3，則數(shù)字和為35，于是再加上2個(gè)5，數(shù)字和為45，可以被9整除．能被9整除，商為04938271595；我們知道能被9整除，商為：061728395；這樣9個(gè)數(shù)一組，共221組，剩下的1995個(gè)5還剩下6個(gè)5，而6個(gè)5和1個(gè)、6，數(shù)字和36，可以被9整除．能被9整除，商為0617284．于是，最終的商為：

【答案】

【例

4】

計(jì)算：

【考點(diǎn)】多位數(shù)計(jì)算之求精確值

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

原式

【答案】

【鞏固】

【考點(diǎn)】多位數(shù)計(jì)算之求精確值

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】武漢，明心奧數(shù)

【解析】

原式

【答案】

【例

5】

求的末三位數(shù)字.【考點(diǎn)】多位數(shù)計(jì)算之求精確值

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

原式的末三位和每個(gè)數(shù)字的末三位有關(guān)系，有2007個(gè)3，2006個(gè)30，2005個(gè)300，則，原式末三位數(shù)字為701

【答案】

模塊二、多位數(shù)求數(shù)字之和

【例

6】

求乘積的各位數(shù)字之和.【考點(diǎn)】多位數(shù)計(jì)算之求數(shù)字和

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

方法一：本題可用找規(guī)律方法：

3×6=18；

×

=2178

；333

×

666

=221778；3333

×

6666

=22217778；……

所以：，則原式數(shù)字之和

原式

所以，各位數(shù)字之和為

【答案】

【鞏固】

求111

×

999

999

乘積的各位數(shù)字之和。

【考點(diǎn)】多位數(shù)計(jì)算之求數(shù)字和

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

觀察可以發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)乘數(shù)都非常大，不便直接相乘，其中

999

999

很接近

000

000,于是我們采用添項(xiàng)湊整，簡(jiǎn)化運(yùn)算。

原式=111111×(1000000-1)

=111111×1000000-111111×1

=111111000000-111111

=111110888889

數(shù)字之和為

【答案】

【例

7】

如果，那么A的各位數(shù)字之和等于。

【考點(diǎn)】多位數(shù)計(jì)算之求數(shù)字和

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，5年級(jí)

【解析】，所以，數(shù)字和為.【答案】

【例

8】

若，則整數(shù)的所有數(shù)位上的數(shù)字和等于（）．

（）

（）

（）

（）

【考點(diǎn)】多位數(shù)計(jì)算之求數(shù)字和

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵詞】第十三屆，華杯賽

【解析】

所以整數(shù)的所有數(shù)位上的數(shù)字和．

【答案】（）

【鞏固】

計(jì)算的乘積數(shù)字和是多少?

【考點(diǎn)】多位數(shù)計(jì)算之求數(shù)字和

【難度】4星

【題型】計(jì)算

【解析】

我們還是利用，來簡(jiǎn)便計(jì)算，但是不同于上式的是不易得出湊成，于是我們就創(chuàng)造條件使用：

×=[×（）]×[×（）+1]×25

=××[2×-2]×[2×（）+1]×25=×[4×-2×-2]

=×-×=100×-50×

==

所以原式的乘積為，那么原式乘積的數(shù)字和為1×2004+5×2004=12024．

【答案】

【例

9】

試求1993×123×999999乘積的數(shù)字和為多少?

【考點(diǎn)】多位數(shù)計(jì)算之求數(shù)字和

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

我們可以先求出1993×123的乘積，再計(jì)算與(1000000—1)的乘積，但是1993×123還是有點(diǎn)繁瑣．

設(shè)1993×123=M，則(1000×123＝)123000

則M×999999＝M×（1000000-1）＝1000000M-M

＝-

＝+1－

＝+1

＝

那么這個(gè)數(shù)的數(shù)字和為：a+b+c+d+e+(f－1)+(9－a)+(9－b)+(9－c)+(9－d)+(9－e)+(9－f+1)=9×6=54．所以原式的計(jì)算結(jié)果的數(shù)字和為54．

【答案】

【鞏固】

下面是兩個(gè)1989位整數(shù)相乘：。那么乘積的各位數(shù)字之和是多少?

【考點(diǎn)】多位數(shù)計(jì)算之求數(shù)字和

【難度】4星

【題型】計(jì)算

【解析】

解法一：

在算式中乘以9，再除以9，則結(jié)果不變．因?yàn)槟鼙?整除，所以將一個(gè)乘以9，另一個(gè)除以9，使原算式變成：

=

=

=

得到的結(jié)果中有1980÷9=220個(gè)“123456790”和“987654320”及一個(gè)“12345678”和一個(gè)“987654321”，所以各位數(shù)之和為：

+

解法二：，其中N＜

所以的各個(gè)位數(shù)字之和為：9×1989=17901

【答案】

【鞏固】

試求乘積的數(shù)字和為多少?

【考點(diǎn)】多位數(shù)計(jì)算之求數(shù)字和

【難度】4星

【題型】計(jì)算

【解析】

設(shè)

則原式表示為。

注意到9×99×9999×99999999×…××＝M，則M<10×100×100013×100000000×…××＝

其中k=1+2+4+8+16+…+512=1024－l=1023

即M<，即M最多為1023位數(shù)，所以滿足的使用條件，那么M與乘積的數(shù)字和為1024×9=10240—1024=9216．原式的乘積數(shù)字和為9216．

【答案】

【例

10】

計(jì)算：結(jié)果的各位數(shù)字之和是

【考點(diǎn)】多位數(shù)計(jì)算之求數(shù)字和

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

原式

各位數(shù)字之和是=

【答案】

模塊三、多位數(shù)運(yùn)算中的公因式

【例

11】

（1）

（2）

【考點(diǎn)】多位數(shù)計(jì)算之提取公因式

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

⑴原式

⑵原式

【答案】⑴

⑵

【鞏固】

計(jì)算（1）

（2）

【考點(diǎn)】多位數(shù)計(jì)算之提取公因式

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

（1）原式

（2）原式

【答案】（1）

（2）

【鞏固】

計(jì)算：

【考點(diǎn)】多位數(shù)計(jì)算之提取公因式

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】我愛數(shù)學(xué)夏令營

【解析】

原式

【答案】

【鞏固】

計(jì)算：

【考點(diǎn)】多位數(shù)計(jì)算之提取公因式

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

原式

【答案】

【鞏固】

計(jì)算：（1998+19981998+199819981998+…）÷（1999+19991999+199919991999…）×1999

【考點(diǎn)】多位數(shù)計(jì)算之提取公因式

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

＝1998×

原式＝1998（1+10001+100010001+…）÷［1999×（1+10001+100010001+…）］×1999＝1998÷1999×1999＝1998.【答案】

【鞏固】

計(jì)算：

【考點(diǎn)】多位數(shù)計(jì)算之提取公因式

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】小學(xué)奧林匹克

【解析】

原式

【答案】

【例

12】

計(jì)算：。

【考點(diǎn)】多位數(shù)計(jì)算之提取公因式

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，6年級(jí)

【解析】，，，即這個(gè)數(shù)都等于，原式

【答案】