第一篇：矩陣解題總結(jié)

矩陣解題總結(jié)

迄今，我們都做了不少的矩陣習(xí)題，我們常常以刷題來滿足自己的做題欲望，并以此方法來讓自己對矩陣這個(gè)新概念有更好的了解，那么，在我們無限刷題時(shí)，是否想過，出題，都是萬變不離其宗，如果我們嘗試去整理一些題型的做法，那么不久可以做到了舉一反三的功效了嗎？也讓自己騰出了更多的時(shí)間去從事其他事物，如此事半功倍，豈不妙哉？因此，解題總結(jié)很有必要。

以下，我們來介紹一些常用而較為普遍的經(jīng)驗(yàn)方法： ① 對稱矩陣：A=A’，這個(gè)概念我們見過此類題型——當(dāng)A為非零實(shí)對稱矩陣時(shí)，有A’=A*，求證lAl≠0。這種題，我們通法就是先設(shè)出A，再寫出A’，然后矩陣乘法，得到的矩陣中對角線處元素為Σαij2，并且再用已知條件可得到前面的累和式子都等于lAl。因?yàn)锳為非零實(shí)對稱矩陣，因此存在一元素不為零，從而證得lAl≠0。② 題干中給出某等式，求某個(gè)問題。如：設(shè)A,B均為n階方陣且AB=A+B，則證明AB=BA。此題思路就是從條件出發(fā)，一般都是移項(xiàng)、提公因式，所以得到（A-E）B-A=0，記住，一旦看到等號(hào)右邊有零，我們常常會(huì)加E，變成（A-E）B-A+E=E，然后再次提公因式，得到（A-E）（B-E）=E，所以（A-E）（B-E）=（B-E）（A-E），然后展開即可。總結(jié)：移項(xiàng)→提公因式→整理。

關(guān)于②留一道練習(xí)題——設(shè)n階方陣A和B滿足A+B=AB，證明A-E可逆。

③ 正交陣概念：滿足AA’=A’A=E

反對稱矩陣概念：A=-A’ ④ l(A*)l=lAl^n-1，（A*）^-1=A/lAl，⑤ A為n階方陣，若R(A)=n,則R(A*)=n；若R(A)=n-1，則R(A*)=1；若R(A)＜n-1，則R(A*)=0 ⑥ A、B均為n階方陣，則有tr（AB）=tr（BA），其中tr為對角線元素因此AB-BA的對角線元素為零，即tr（AB-BA）=零。⑦ 結(jié)論：任何一個(gè)n階方陣均可表為一個(gè)對稱陣與一個(gè)反對稱陣之和。證明：A=1/2A+1/2A-1/2A*+1/2A*=1/2（A+A’）+1/2（A-A’）=B+C。B’=（1/2（A+A’））’=1/2(A’+A)=B,C’=(1/2(A-A’))’=1/2(A’-A)=-C’，證明完畢。⑧ 秩的一種常見題型：A,B為n階方陣，AB=0，B為非零方陣，求lAl。思路：因?yàn)锳B=0，所以R(A)+R(B)≤n，又因?yàn)锽≠0，所以R（B）≥1，因此R（A）≤n-1，因此A不滿秩，故行列式為零。⑨ 對于AB=AC時(shí)，如何才可以有B=C？一種情況就是A為滿秩。接下來，我們進(jìn)行計(jì)算證明——由原式可得到：A(B-C)=0。運(yùn)用一個(gè)結(jié)論：AX=0，A滿秩時(shí)，解唯一，即X=0，所以得到B-C=0，因此B=C 證明完畢。特殊的，如果A可逆（因此顯然A是方陣），顯然證得B=C。⑩ A為n階方陣，則R(A)≤1的充要條件是存在兩個(gè)nx1矩陣U,V使A=UV’。證明過程可見考研P45。

第二篇：解題總結(jié)

解題總結(jié)

一、圓：

1、圓中的直角三角形：垂徑定理、直徑、切線、2、圓中的角：弧，非圓周角、圓心角：利用三角形內(nèi)角和轉(zhuǎn)換成圓周角、圓心角，再利用弧。

3、圓中含弦的問題往往不止一個(gè)答案。

4、在圓出現(xiàn)困惑時(shí)，最有可能的突破口是：半徑、弧

二、求線段長

1、相似

2、解直角三角形

3、全等

三、動(dòng)點(diǎn)：先畫圖，再找方法，后求值

1、等腰三角形：中垂線、勾股定理

2、相似三角形：

⑴已知一組角相等時(shí)，用比例線段，注意分子不變，分母互換，或反之。⑵已知兩組角相等時(shí)：用直角三角形中的勾股定理；平行直線的解析式特點(diǎn)

3、平行四邊形：兩種情況：已知邊為邊，已知邊為對角線。方法：平行直線的解析式特點(diǎn)，求交點(diǎn)；勾股定理

4、面積：先表示，后思考 表示方法：

⑴分割：每一圖形必須有一邊在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行 ⑵補(bǔ)全：

①作最遠(yuǎn)邊所在的直線。

②過最遠(yuǎn)點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線，構(gòu)建矩形或直角梯形。附：

⑴多邊形中面積的解決方法：相似比，等底等高。⑵反比例函數(shù)中面積與反比例函數(shù)解析式系數(shù)的關(guān)系。

5、比值：利用相似轉(zhuǎn)換，在直角三角形中用三角函數(shù)，或相似與直角三角形兼有。

四、相似

1、兩組角

2、找不到第二組角時(shí)，必是比例線段

3、無角時(shí)，必是三組邊成比例

4、已知兩邊，求第三邊：如果不能構(gòu)建在同一直角三角形時(shí)，必定是相似，且其中一邊為公共邊或有一組相等邊。

5、圖形中含兩個(gè)或兩個(gè)以上的具等邊圖形（如：等邊三角形、正方形、等腰三角形）時(shí)，必與全等、相似有關(guān)。并且證全等的方法是;邊角邊、邊邊邊；證相似的方法是：兩組邊成比例，夾角相等。

五、解直角三角形

1、單一直角三角形

2、雙直角三角形中，含完全已知的直角三角形：有完全已知直角三角形求出不完全直角三角形的已知元素。

3、雙直角三角形中，無完全已知的直角三角形：利用方程組；尋找等腰三角形進(jìn)行已知元素重組，使其中一個(gè)三角形具備完全已知元素。

4、無直角三角形；構(gòu)建直角三角形。構(gòu)建方法： 圓（見前面）

三角形與四邊形：作高；注意點(diǎn)：盡量不要把已知元素分割；易忘點(diǎn)：鈍角三角形有兩高在三角形外。

六、實(shí)數(shù)運(yùn)算：

負(fù)指數(shù)，零指數(shù)、絕對值、三角函數(shù)值、根式化簡

七．分式計(jì)算：通分，關(guān)注分母的方法是分母與除數(shù)的取值不為0.分式方程：去分母。關(guān)注分母的方法是檢驗(yàn)。

八、自變量取值范圍：分母、除數(shù)、被開放數(shù)、實(shí)際問題、注意是否有等于號(hào)。

九、找規(guī)律：數(shù)字規(guī)律、過程規(guī)律、十、求函數(shù)解析式

1、二次函數(shù)：三種方法

關(guān)鍵點(diǎn)：辨別已知點(diǎn)的特征。如：頂點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。非常規(guī)題：已知不完全點(diǎn)。

2、一次函數(shù)與反比例函數(shù)

十一、點(diǎn)的坐標(biāo) 方法：方程思想

非常規(guī)題：已知不完全點(diǎn)和解析式。此情形是方程思想的逆向應(yīng)用，常用代入法。輔助線方法：過所求點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線。

十二、圖象

1、三種函數(shù)的圖象

⑴圖象位置與系數(shù)關(guān)系。難點(diǎn)：二次函數(shù)中一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)判別。⑵2a?b，a?b?c，b2?4ac

⑶不等式判別

2、應(yīng)用型

方法：先定函數(shù)名稱，再定圖象形狀，或從坐標(biāo)軸的含義作判斷。注意：只需要第一象限部分。

十三、拋物線平移

看頂點(diǎn)，有正反兩種方式。

十四、直線垂直、平行時(shí)，直線解析式中一次項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系

十五、最大利潤

1、頂點(diǎn)在取值范圍內(nèi)的二次函數(shù)：求頂點(diǎn)坐標(biāo)

2、一次函數(shù)與頂點(diǎn)不在取值范圍內(nèi)的二次函數(shù)：利用函數(shù)的增減性，在自變量取值范圍中尋找。

十六、應(yīng)用題

列表型、增長率型、量價(jià)問題、幾何型（面積、相似）

第三篇：矩陣心得體會(huì)

《矩陣論》學(xué)習(xí)心得體會(huì)

2011-2012第一學(xué)期，我在李勝坤老師的引領(lǐng)下，逐步學(xué)習(xí)了科學(xué)出版社出版、徐仲和張凱院等編著的《矩陣論簡明教程》第二版。該書是大學(xué)本科期間所學(xué)習(xí)的《線性代數(shù)》的矩陣部分內(nèi)容的深化，從數(shù)域擴(kuò)展到矩陣，要想充分理解“矩陣論”的精髓，就得先好好的將《線性代數(shù)》復(fù)習(xí)——掌握其基本概念及重要定理、結(jié)論。

該書有8個(gè)章節(jié)，第一章是矩陣的相似變換，第二章講的是范數(shù)理論，第三章介紹的是矩陣分析，第四章詳細(xì)介紹的是矩陣分解，第五章羅列的是特征值的估計(jì)與表示，第六章介紹的是廣義逆矩陣，第七章介紹的是矩陣的直積，最后一章介紹的是線性空間與線性變換。下面分章節(jié)談?wù)摗?/p>

第一章中的特征值與特征向量、矩陣的相似對角化、向量內(nèi)積是本科期間《線性代數(shù)》中的內(nèi)容，我想作者的目的是借助以前大家都熟悉的知識(shí)，將我們引領(lǐng)到另一個(gè)嶄新的知識(shí)領(lǐng)域，起到承上啟下的作用，讓我們對《矩陣論》感到不陌生。該章中的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形、Hamilton-Cayley定理、酉相似的標(biāo)準(zhǔn)形是本科期間不曾深入學(xué)習(xí)的知識(shí)，這些知識(shí)為后續(xù)學(xué)習(xí)《矩陣論》吹響了號(hào)角?？傊?，第一章就是高等數(shù)學(xué)中的知識(shí)與“矩陣論”的銜接章節(jié)，同時(shí)也是后續(xù)章節(jié)學(xué)習(xí)的非常重要基礎(chǔ)章節(jié)。我們要學(xué)好《矩陣論》就得學(xué)好該章，理解記憶其中的概念、結(jié)論。

第二章介紹向量范數(shù)與矩陣范數(shù)及其應(yīng)用。介紹了向量范數(shù)的三公理、酉不變性、1范、2范、無窮范、p范、加權(quán)范數(shù)（也叫橢圓范數(shù)）以及很重要的一個(gè)不等式——Cauchy-Schwarz不等式、向量的收斂、發(fā)散性；矩陣范數(shù)的定義、m1范、m無窮范、F范及其酉不變性，矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性等。范數(shù)與矩陣的譜半徑緊緊相連，有了范數(shù)作為研究矩陣的數(shù)學(xué)工具，我們將會(huì)更易更深入的理解、研究矩陣，并用矩陣指導(dǎo)實(shí)際生產(chǎn)實(shí)踐。

第三章矩陣分析和第四章矩陣分解各是矩陣論的最重要章節(jié)之一。通過對矩陣的收斂性、矩陣級數(shù)、矩陣函數(shù)、矩陣微分、矩陣積分、矩陣四種分解等系統(tǒng)性學(xué)習(xí)研究，讓我明白了矩陣?yán)碚撛趯?shí)際生活中的巨大作用——矩陣論將大大減少工程運(yùn)算量及提高計(jì)算速度、精度。有了矩陣?yán)碚撟髦笇?dǎo)，現(xiàn)實(shí)生活中很多不能解決或者很難解決的數(shù)學(xué)問題等都能夠得到很好的解決。比如，提高計(jì)算機(jī)的計(jì)算速度、優(yōu)化數(shù)字信號(hào)處理算法等。

第五章介紹了矩陣的非常重要的參數(shù)——特征值的估計(jì)及其表示，介紹了特征值界定估計(jì)、特征值包含區(qū)域等，讓我們對特征值有了更進(jìn)一步的了解，用書中的方法可以很高效的確定特征值的范圍、估計(jì)特征值的個(gè)數(shù)。是研究矩陣的有效方法，為計(jì)算特征值指明了方向，解決了以前計(jì)算特征值的困擾。

第六章介紹的是廣義逆矩陣，是逆矩陣的推廣。廣義逆矩陣是將可逆的方陣推廣到不可逆矩陣、長方矩陣。介紹了廣義逆矩陣的概念、逆矩陣的應(yīng)用、Moor-Penrose逆A+的計(jì)算、性質(zhì)以及在解線性方程組中的應(yīng)用。我想該章更大的應(yīng)用應(yīng)該在解線性方程組中，解決生活中的計(jì)算問題，提供了又一高效辦法。

第七章矩陣的直積是很易懂的知識(shí)，是以前向量直積在矩陣中的推廣。對矩陣直積的研究對信號(hào)處理與系統(tǒng)理論中的隨機(jī)靜態(tài)分析與隨機(jī)向量過程分析等有重要的指導(dǎo)作用，同時(shí)也是重要的數(shù)學(xué)工具，是研究信號(hào)處理人員必備的數(shù)學(xué)工具。

第八章線性空間與線性變換，其中線性空間是幾何空間與n維向量空間概念的推廣與抽象，線性變換則反映了線性空間元素之間的一種最基本的聯(lián)系。該章的學(xué)習(xí)需要我們充分發(fā)揮我們的空間想象能力，同時(shí)該章也將會(huì)大大的啟迪我們思維的靈活性、喚醒沉睡已久的新思維。

通過《矩陣論簡明教程》的學(xué)習(xí)，開闊了我的數(shù)學(xué)視野，給我思考問題、解決實(shí)際問題提供了新的思維方法。我將努力借助《矩陣論》，使自己在信號(hào)處理領(lǐng)域走的更遠(yuǎn)。

第四篇：矩陣分析

第一章：

了解線性空間（不考證明），維數(shù)，基

9頁：線性變換，定理1.3

13頁：定理1.10，線性空間的內(nèi)積，正交

要求：線性子空間（3條）非零，加法，數(shù)乘

35頁，2491011

本章出兩道題

第二章：

約旦標(biāo)準(zhǔn)型

相似變換矩陣?yán)?.8（51頁）出3階的例2.6（46頁）出3階的三角分解例2.9（55頁）（待定系數(shù)法）（方陣）

行滿秩/列滿秩（最大秩分解）

奇異值分解

本章出兩道題

第三章：

例3.1（75頁）定理3.2要會(huì)證明例3.3必須知道（證明不需要知道）定義3.3 例3.4證明要知道定理3.5掌握定理3.7要掌握

習(xí)題24

本章出（一道計(jì)算，一道證明）或者（一道大題（一半計(jì)算，一半證明））

第四章：

矩陣級數(shù)的收斂性判定要會(huì)，一般會(huì)讓你證明它的收斂

比較法，數(shù)字級數(shù)

對數(shù)量微分不考，考對向量微分（向量函數(shù)對向量求導(dǎo)）

本章最多兩道，最少 一道，也能是出兩道題選一道

第六章：

用廣義逆矩陣法求例6.4（154頁）

能求最小范數(shù)（158頁）如果無解就是LNLS解

定理6.1了解定理6.2 求廣義逆的方法（不證明）

定理6.3（會(huì)證明）定理6.4（會(huì)證明）（去年考了）定理6.9（會(huì)證明）推論要記

住定理6.10（會(huì)證明）

出一道證明一道計(jì)算

第五篇：總結(jié)求逆矩陣方法

總結(jié)求逆矩陣方法

直接算會(huì)死人的。根據(jù)矩陣特點(diǎn)用不用的分解，寫成幾個(gè)例程，每次實(shí)驗(yàn)之前進(jìn)行嘗試，根據(jù)嘗試結(jié)果在算法里決定里決定用哪個(gè)。

irst 我想問：

1.全階矩陣A的求逆運(yùn)算inv(A)和稀疏矩陣B（階數(shù)和a一樣）的求逆運(yùn)算inv(B)是不是采取一樣的方法??？也就是說他們的計(jì)算量是不是一樣的?。坎粫?huì)因?yàn)槭窍∈杈仃嚲筒扇√厥獾姆椒▉硖幚砬竽姘桑?/p>

我電腦內(nèi)存256M，做4096*4096的矩陣求逆還可以，上萬階的就跑不動(dòng)了

稀疏存儲(chǔ)方式會(huì)減少不必要的計(jì)算，雖然原理還是一樣，不過

計(jì)算量大大減少了。

2.如果一個(gè)矩陣C非零元素都集中在主對角線的周圍，那么對C求逆最好 應(yīng)該采用什么樣的方法最好呢？

一般還是用LU分解＋前后迭代的方法，如果矩陣對角占優(yōu)就更好辦了。

只不過還是需要稀疏存儲(chǔ)。

稀疏矩陣的逆一般不會(huì)是稀疏矩陣，所以對高階的稀疏矩陣求逆，是不可行的，對1萬階的全矩陣需要的內(nèi)存差不多已經(jīng)達(dá)到了pc的極限，我想最好的辦法就是迭代，既然是稀疏，乘法的次數(shù)就有限，效率還是很高的。

不過求逆運(yùn)算基本上就是解方程，對稀疏矩陣，特別是他那種基本上非零元素都在對角線附近的矩陣來說，LU分解不會(huì)產(chǎn)生很多的注入元，所以用LU分解解方程方法的方法是可行的。

如果用迭代法，好像也就是共軛梯度法了。

C的資源網(wǎng)絡(luò)上有很多 google一下

或者到004km.cn上找找

或者用IMSL for C 或者用Lapack

或者用Matlab+C混合編程

有現(xiàn)成代碼，但要你自己找了 也可以使用程序庫

second

30,000*30,000的稀疏矩陣求逆如何實(shí)現(xiàn)？

試試基于krylov子空間方法的算法吧。

如arnoldi和GMRES方法。

matlab中有函數(shù)可以直接調(diào)用。

直接help gmres就可以了。

如果效果還不好。

就用用預(yù)處理技術(shù)。

比如不完全lu預(yù)處理方法。等等。

各種各樣的預(yù)處理+GMRES是現(xiàn)在解決大規(guī)模稀疏矩陣的主力方法。

維數(shù)再多還是用不完全LU分解預(yù)處理+CG or Gmres 我一個(gè)同學(xué)這么求過200W階的矩陣

求逆一般是不可取的，無需多說。但稀疏矩陣的直接解法還是不少的。基本上都是對矩陣進(jìn)行重新排序以期減少填充或運(yùn)算量。

在matlab里面，有許多算法可以利用：

colamd, colmmd, colperm, spparms, symamd, symmmd, symrcm.根據(jù)是否對稱，采用LU分解或者chol分解。

這些算法在internet上搜一下，很多都有相應(yīng)的C或fortran版本。

稀疏矩陣的存儲(chǔ)最常見的是壓縮列（行）存儲(chǔ)，最近發(fā)現(xiàn)一種利用hash表來存儲(chǔ)的，其存取復(fù)雜度是O（1）,很是不錯(cuò)。有幸趣的可以看看下面網(wǎng)頁咯，作者提供了源程序。

事實(shí)上Hash表存儲(chǔ)的效率也跟Hash算法有關(guān)，弄不好的話，不見得比直接按行或者列

順序檢索快。而且規(guī)模越大，效率肯定越來越低。

http://www.informatik.hs-bremen.de/~brey/

對稱正定的稀疏矩陣很好辦啊，用LU分解就可以了。

如果維數(shù)實(shí)在太大，比如超過10^4量級，那就只能用

共軛梯度法之類的迭代法求解了。好多文獻(xiàn)中用Cholesky分解處理的，好像結(jié)果還可以

你覺得LL’分解不會(huì)破壞矩陣的稀疏性么——如果矩陣不是帶狀的話？

而且數(shù)值穩(wěn)定性也有問題。

對于一些注入元不是很多的矩陣這應(yīng)該是個(gè)好辦法。

但是對于有些矩陣，LU分解后可能就把整個(gè)矩陣充滿了。~ 這是比較郁悶的事情。

third

帶狀矩陣的逆有快速算法嗎？

我覺得這個(gè)說法不對，至少在Matlab里面，使用稀疏矩陣求逆對于效率的提高還是很顯著的。利用稀疏特性，很多對于零元素的操作就省掉了。如果原矩陣還是對稱的，可以考慮三角分解，把單位陣的列向量作為右端項(xiàng)，求解得到的是對應(yīng)的逆陣的列向量。

但是，按照前輩的說法，“絕大部分情況下，求逆陣肯定不是必需的”，這一說法我現(xiàn)在還是挺贊同的。至少，一般我們不會(huì)在有限元求解或者普通的線性方程組求解的時(shí)候，是先對系數(shù)矩陣求逆的吧。所以，我認(rèn)為，逆陣在數(shù)學(xué)上很漂亮，對于公式推導(dǎo)有所幫助，但是在數(shù)值計(jì)算中是應(yīng)該盡量避免直接計(jì)算它的，而且，更重要的是，在絕大部分情況下，是可以避免的。