第一篇：可逆矩陣及其簡單應(yīng)用

石家莊學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文）

它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的性質(zhì)上，并且解方程組的過程也表現(xiàn)為變換這些矩陣的過程?？赡婢仃囎鳛榫仃嚦朔ǖ哪孢\算,是矩陣的一種重要運算,在解決矩陣問題中起著重要的作用。因而掌握可逆矩陣的求法,在解決實際問題時,往往可以起到事半功倍的效果。本文將對一些常用的可逆矩陣的求法作系統(tǒng)的總結(jié)，并進(jìn)一步介紹幾種常見得可逆矩陣的在數(shù)學(xué)領(lǐng)域和通訊領(lǐng)域的簡單應(yīng)用?！娟P(guān)鍵詞】矩陣 可逆矩陣 通信

【Abstract】In the discussion of linear equations, we can see that some

可逆矩陣及其簡單應(yīng)用

important properties of the linear equations are reflected in its coefficient matrix and augmented matrix of nature, what`s more, the process of the solution performance of the process of transformation of these matrices.Invertible matrix multiplication as the inverse of the matrix is an important matrix operations,and plays an important role in solving the problem.master ring the method of Invertible matrix often can play a multiplier effect in solving practical problems.The following are the system summary of the commonly used reversible method for the evaluation of Invertible matrix, and further descripitions of several common application in the field of mathematics and simple communications.【Key Words】Matrix Invertible matrix Communications

石家莊學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文）

目 錄

前言...................................................................5

一、可逆矩陣...........................................................5

二、可逆矩陣的性質(zhì)及求法...............................................5

（一）性質(zhì)..............................................................5

（二）逆矩陣求法.........................................................6

三、可逆矩陣的簡單應(yīng)用.................................................10

（一）可逆矩陣在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用............................................10

（二）可逆矩陣在通信方面的應(yīng)用.........................................11（1）加密保密通信模型.......................................................12（2）可逆矩陣的應(yīng)用........................................................12（3）加密密鑰的生成........................................................13（4）解密密鑰的生成........................................................14（5）明文矩陣的選擇........................................................14（6）加密矩陣的選擇........................................................14（7）算法優(yōu)化............................................................14 結(jié)論...................................................................15 參考文獻(xiàn)...............................................................15 致謝 16

可逆矩陣及其簡單應(yīng)用

前言

矩陣作為高等代數(shù)，這一偉大數(shù)學(xué)圖騰的重要分支的一大重要部分，在我們的生活，學(xué)習(xí)，工作，更是在人類的進(jìn)步中發(fā)揮了卓越的工具作用。可逆矩陣是矩陣知識的一個基礎(chǔ)支流，借助自身優(yōu)秀的性質(zhì)特點，為更高層的矩陣問題的解決提供了便利，更是豐富了矩陣的理論內(nèi)容。

一，可逆矩陣

定義：在線性代數(shù)中，給定一個 n 階方陣，其中陣，記作。，若存在一 n 階方陣，使得 是 的逆矩

為 n 階單位矩陣，則稱是可逆的，且

若方陣的逆陣存在，則稱為非奇異方陣或可逆方陣。

二、可逆矩陣的性質(zhì)及求法

（一）性質(zhì)

（１）如果A可逆，則A也可逆，且(A?1)?1?A．

由可逆的定義，顯然有A與A是互逆的．（２）如果

?1?1A、B是兩個同階可逆矩陣，則(AB)也可逆，且(AB)?1?B?1A?1．

這是因為(AB)(B?1A?1)?A(BB?1)A?1?AEA?1?A?A?1?E

(B?1A?1)(AB)?B?1(A?1A)B?B?1EB?B?1B?E 所以(AB)?1?B?1A?1．

這個結(jié)論也可以推廣到有限個可逆矩陣想乘的情形.（３）可逆矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣A也是可逆矩陣，且(A)這是因為

A(A)?(AA)?E?E

(A)A?(AA)?E?E

?1TT?1TTT?1T?1TTTT?1?(A?1)T．

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所以(AT)?1?(A?1)T．（４）如果A是可逆矩陣，則有A這是因為 AA所以

A?1?1?1?A?1．

?E，兩邊取行列式有 A?A?1?1，?1?1?A． A

（二）逆矩陣求法

方法一伴隨矩陣法

定義1設(shè)A=aij是n級方陣，用Aij，表示A的(ij)元的代 數(shù)余子式(i=l，2，?，n)，???A11???矩陣???A??n1A1n????稱為A的伴隨矩陣，記作A* Ann???若A?0，并且當(dāng)A可逆時有A?1*A A這種方法在理論上很有用,在實際計算中常用于2級或 3級矩陣。

?123????例：A=?456?用伴隨矩陣法求A

?346???123解：：因為A?45856=1，所以A可逆，而A11???2

463464845,A12???0A13???1,A21=0,A22=-3,A23=2,A31=1,A32=4 3634A33=-3 ??201?1*??A=?0?34? ?A??A?123???方法二 二階矩陣的公式求逆法 設(shè)A???ab??(其中ad-bc?0，即A?0)，cd??

可逆矩陣及其簡單應(yīng)用

?d?A?則A???c???A?b?A?1?d?b??= ???aA??ca??A??這個公式的推導(dǎo)思想是從AA?I這個重要結(jié)論出發(fā)，構(gòu) 造一個矩陣B，去左乘A使其等于單位矩陣I，即若AB=I，那 么A =B。這種方法只適用于求二階矩陣的逆矩陣。我們稱為

二階矩陣的公式求逆法。方法三初等變換法

這是一種最常用的一種方法,為了看出如何用初等變換 法求逆矩陣，先證一個引理：

引理l可逆矩陣的簡化行階梯形一定是單位矩陣。換句話說,可逆矩陣可以經(jīng)過一系列初等變

初等航變換?I,A?，同理有?換化成單位矩陣。即?A,I?????????A?初等列變換?I????? ??????I??A??123????例：A??458?用初等變換法求A

?346????123100??123100??458010???0?3?4?410? ??????346001????0?2?3?301???100?201??100?201????011111???0?1?1?11?1??????0?2?3?301????00?1?1?23???100?201?? ??0100?34???2?3??0011???201????所以A??034?

?12?3???方法四利用解線性方程組來求逆矩陣

若n級矩陣A可逆,則AA?I，于是A的第j列是線性

方程組的AX??j的解，j=1,2，?，n因此我們可以去解線性方 程組AX??，其中? =?b1,b2,?,bn?'然后把所得的解的公共式 ??石家莊學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文）

中b1,b2,?,bn分別用l，O，?，O；0，l，?，O；?；0，?，O，l代替，便可求得A的第l,2,?,n列。這種方法在某些時候可能比 用初等變換法求逆矩陣稍微簡單些。方法五分塊求逆法

當(dāng)一個可逆矩陣的級數(shù)較大時,即使用初等變換法求它 的逆矩陣仍然計算量較大,如果把該矩陣分塊,再對分塊矩陣 求逆矩陣，則可減少計算量。用分塊求逆法解題的具體步驟為：(1)根據(jù)所給矩陣A的特點分塊為A=?常用的分塊求逆公式有：

設(shè)A，B，A1，A2，?，As均可逆，則 ??A11?A21A12??(2)選擇適當(dāng)?shù)姆謮K求逆公式 A22??A?1?A0?1:?? =?0B???0?1?A1?1?0??A1?0?0??????????? 2: = ???1???B??0?A??0?As?1?s?????A?1?A?1CB?1??AC?? 4:?????1?10BB?1?????BCAB?1??0 6:??0??BA??0???1?0??B?1?1?1?1?A?1?AC?3:????0B???0?1?10?? B?1??B?1CA?1?0A?5:?????1?BC??AA?1?? 0?B?1? ?1?1??ACB??0??7:????A??s?0?As?1?A1??C????? = ????? 8:??B?1??0?A?0??1?A??0???1?0??A?5?2例：設(shè)四階方陣??0??0解：設(shè)A1??210000?00??試求A?1 1?2??11?0??是分塊矩陣，易 A2??A1?52??1?2?A?,則A???2??2111?0????

可逆矩陣及其簡單應(yīng)用

?1?3?1?2??1?1得A1???，A2??1????25???3?1?20??252?0?3?1?故A?1=?00?1?3??3??00?1?3?0?0??2? 3??1?3??方法六利用哈密爾頓～凱萊定理求逆矩陣

哈密爾頓一凱萊定理：設(shè)A是數(shù)域P上一個n?n級矩 陣，f?????E?A 是A的特征多項式，則f?A??An??a?111?a22???ann?An?????1?AE?0設(shè)f?A??An?an?11A?a2An?2???an?1A?anE

其中ann???1?A

當(dāng)A可逆時，A?0，即an?0

由An?a?11An?an?22A???an?1A?anE?0可得

?1a(An?a1An?1?a?22An???an?1A)?E n?1A(An?1?an?2a1A?a?32An???an?1E)?E n?A?1??1a(An?1?a?31An?2?a2An???an?1E)n?例設(shè)A??11?1??210??試用哈密爾頓一凱萊定理求A?1 ??1?10??解：f?????E?A??3?2?2?3?0 A3?2A2?3E?0

??A??1?3?A2?2A?????E ?A?1???1?1?01?3?A2?2A???=3?01???32

方法七利用最小多項式求逆矩陣

定義：以n階矩陣A為根的多項式中,其中次數(shù)最低的 首項為l的以A為根的多項式，稱為A的最小多項式。

1??2?1?

?? 石家莊學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文）

引理2設(shè)m(?)是矩陣A的最小多項式，那么f為根的充分必要條件是m(?)整除f???以A

???

由上述引理和定義及哈密爾頓一凱萊定理知：非退化矩 陣A的最小多項式的常數(shù)項非零,即設(shè)A的最小多項式為m?????m?a1?m?1???am?1??am則有常數(shù)項am?0又由于m?A??Am?a1Am?1???am?1A?amE，則得??11 Am?1?a1Am?2???am?1E?A?E，?am故A??1Am?1?a1Am?2???am?1E? ?am下面舉例說明此法的應(yīng)用,但此法并不常用。

?110???例,求A??010?的逆矩陣。

?001???解：因為A的特征多項式為?E?A????I?，所以A的

最小多項式為?A?I?的因式，顯然A—E≠0，而?A?E??0，因

2此A的最小多項式為m???????1????2??1，即a2?1?0，所

2323以由

A?1??1Am?1?a1Am?2???am?1E?得 ?am?1?10???A?1???A?2E??2E?A??010?

?101???

三、可逆矩陣的簡單應(yīng)用

（一）可逆矩陣在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用

逆矩陣在對角化中的應(yīng)用

定理1??

n階方陣A相似于對角矩陣的充分必要條件是A由n個線性無關(guān)1的特征向量,且當(dāng)A相似于對角矩陣?時,?的主對角線元素就是A的全部特征值.可逆矩陣及其簡單應(yīng)用

推論1 方陣A相似于對角矩陣的充分必要條件是A的屬于每個特征值的線性無關(guān)的特征向量個數(shù)正好等于該特征值的重數(shù).定理2?1? 如果n階方陣A有n個互不相同的特征值（即A的特征值都是單特征值）,則A必相似于對角矩陣.3.1.2求n階方陣的特征值與特征向量的一般步驟.第一步：計算特征多項式A??I?

第二步：求出特征方程A??I?0的全部根?1,?2,?,?n（重根按重數(shù)計算）,則 ?1,?2,?,?n就是A的全部特征值.如果?i為特征方程的單根,則稱?i為A的單特征根;如果?i為特征方程的k重根,則稱?i為A的k重特征值,并稱k為?i的重數(shù).第三步：對A的相異特征值中的每個特征值?i,求出齊次線性方程??????????????????????A??iI?x?0的一個基礎(chǔ)解系?i1,?i2,?,?iki,則 ?i1,?i2,?,?iki就是對應(yīng)于特征值?i的特征空間的一個基,而A的屬于?i的全部特征向量為

??????????

x ?ci1?i1?ci2?i2???ciki?iki

（其中ci1,ci2?,ciki為不全為0的任意常數(shù)）

3.1.3如果n階方陣A相似于對角矩陣,則A的相似對角化的一般步驟如下:

第一步：求出A的全部特征值?1,?2,?,?n;第二步：對A的相異特征值中的每個特征值?i,求出齊次線性方程組

???A??iI?x?0 的一個基礎(chǔ)解系,將所有這樣的基礎(chǔ)解系中的向量合在一起,假定????????這樣的向量共有n個,它們就是A的n個線性無關(guān)的特征向量?1,?2,?,?n;???????????1??第三步：令矩陣P=??1,?2,?,?n?,則有PAP?diag??1,?2,?,?n?,其中?i是屬于特征值?i的特征向量?i?1,2,?,n?.注意P的列向量的排列次序于與對角矩陣的主對角線元素的排列次序相一致

（二）可逆矩陣在通信方面的應(yīng)用

保密通信是當(dāng)今信息時代一個非常重要的課題．無數(shù)的科技工作者為此做了大量的工作，先后提出 了許多較為有效的保密通信模型．其中，基于加密技術(shù)的保密通信模型是其中最為基本而且最具活力的

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一種．

（1）加密保密通信模型

基于加密技術(shù)的保密通信模型如下：

發(fā)送方采用某種算法將明文數(shù)據(jù)加密轉(zhuǎn)換成密文數(shù)據(jù)后發(fā)送給接收方，接收方則可以采用相對應(yīng) 的某種算法將密文數(shù)據(jù)解密轉(zhuǎn)換成明文數(shù)據(jù)．

2可逆矩陣的應(yīng)用

顯然一種加密技術(shù)是否有效，關(guān)鍵在于是密文能否還原成明文．

設(shè)有矩陣方程C=AB，其中B為未知矩陣．我們知道，如果A為可逆矩陣，則方程有唯一解 B=A?1C，其中A?1是A的逆矩陣．

因此，可逆矩陣可以有效地應(yīng)用于加密技術(shù)．

設(shè)A為可逆矩陣，B為明文矩陣，c為密文矩陣．

加密算法加密時，采用下面的矩陣乘法：

C=BA 或C=AB．

?3?20?1???0221? 例如，設(shè)加密密鑰矩陣A為??1?2?3?2???0121???32?25明文矩陣B為??4?3??1211214?2334??5? 6??7?

可逆矩陣及其簡單應(yīng)用

?3?20?1??32???0221??25則密文矩陣c等于??1?2?3?2??4?3???0121???122．2．2 解密算法

11214?2334??4?6?4?2?5????5??13615129? ????6?15?3?21?1?38???7??11113024?解密時，采用下面的矩陣乘法：

B?CA?1或B?A?1C

其中，A?1為A的逆矩陣．

?11?2?4???010?1?1? 例如，針對上面的加密密鑰矩陣A，解密密鑰矩陣A為???1?136???21?6?10???7?5如果密文矩陣C為??1??***1177326??9? ?2?1?862196116??60697????9??45558?= ???2?37?2?6?3???1??3?1708?1?則相應(yīng)的明文矩陣B應(yīng)等于?11?2?4??7???010?1???5??1?136??1???21?6?10???13密鑰的生成

如何快速而有效地構(gòu)造一個可逆矩陣作為加密密鑰和求出其逆矩陣作為解密密鑰是利用可逆矩陣 實現(xiàn)保密通信的關(guān)鍵． 3加密密鑰的生成

我們知道，初等矩陣都是可逆的，而且初等矩陣的乘積仍然是可逆的．因此，我們可以考慮利用若干 個初等矩陣的乘積作為加密密鑰．

這種做法的好處是，我們可以自由地選擇初等矩陣的數(shù)量和每個初等矩陣的類型，以及由單位矩陣 得到初等矩陣的具體初等變換．

在實際應(yīng)用中，可以通過對單位矩陣連續(xù)施加一序列所選擇的初等變換得到加密矩陣． 根據(jù)文獻(xiàn)[3]，通常所謂的矩陣的三種基本類型的初等變換： 1)交換兩行或兩列； 2)數(shù)乘某一行或某一列；

3)將某一行(或某一列)的K倍加到另一行(或另一列)上，實質(zhì)上只有2)和3)兩種是獨立的，1)可以通過2)和3)來表示．因此，在設(shè)計算法時，可以利用如下矩陣 結(jié)構(gòu)(下文稱其為變換矩陣)：

行號列號倍數(shù)行號列號

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其中行代表變換，列表示變換的具體內(nèi)容，而且第i行表示第i次變換．比如，變換1表示第l行乘一3；

變換2表示第3列乘5；變換3表示第3行的一1倍加到第2行上；變換4表示第3列的3倍加到第2列 上，等等． 4解密密鑰的生成 設(shè)A?PP12P3?Pn，其中Pi只是初等矩陣，則

?1?1?1?1?1P的逆矩陣． A?1?Pn?P3P2P1其中Pi是設(shè)P只是對單位矩陣I做初等變換K得到的初等矩陣，則只需對單位矩陣I做K的逆變換即可

得到Pi?1．

顯然，在實際應(yīng)用，生成解密密鑰只需要再次利用生成加密密鑰時的變換矩陣對單位矩陣做一序列 的初等逆變換即可． 其_______它問題

除了密鑰矩陣的生成這一基本問題以外，在利用可逆矩陣實現(xiàn)保密通信時，還有一些問題值得我們

探討．

5明文矩陣的選擇

如果明文矩陣刀為方陣，則當(dāng)B為可逆矩陣時有

A?B?1C或A?CB?1，其中B?1為B的逆矩陣．

因此，如果竊密者以某種方式竊取到一對明文和相應(yīng)的密文，碰巧其中的明文矩陣可逆，那么竊密者可 以輕而易舉地破解密文．

鑒于以上考慮，在實際應(yīng)用時，明文矩陣不要采用方陣．

另外，在實際應(yīng)用中，明文并不總是恰好可以分成整數(shù)個矩陣，出現(xiàn)這種情況時需要補(bǔ)充一些數(shù)據(jù)． 補(bǔ)充的數(shù)據(jù)可以是有意義的，也可以是無意義的．有時，我們可以利用這些附加數(shù)據(jù)來達(dá)到某種特殊的 效果，比如數(shù)據(jù)的完整性檢驗等． 6加密矩陣的選擇

設(shè)c=AB，根據(jù)矩陣乘法的定義，乘積矩陣C中第i行第j列的元素Cij，等于矩陣A中第i行的所 有元素與矩陣B中第j列的對應(yīng)元素之積的累加和．

因此，利用可逆矩陣來實現(xiàn)保密通信的另一個問題是，如果加密矩陣選擇得不好，密文矩陣的元素 長度會急劇膨脹．

為了避免出現(xiàn)這種情況，加密矩陣A最好滿足以下條件：

對任意的明文矩陣B，密文矩陣C中的每一個元素的長度都不超過明文矩陣B中對應(yīng)位置上的元 素的長度． 或者退而求其次：

對任意的明文矩陣B，密文矩陣C中所有元素的總長度不超過明文矩陣B中所有元素的總長度． 如果能找到一個加密矩陣，使得對任意的明文矩陣，密文矩陣中所有元素的總長度在一個比較理想 的程度上小于明文矩陣中所有元素的總長度，那么這時的加密算法同時也是一種較好的壓縮算法． 7算法優(yōu)化

設(shè)加密矩陣A為咒階矩陣，明文矩陣B為n行m列矩陣，利用“向量”的有關(guān)知識，密文矩陣c的第 i行(行向量Ci（i=1，2，?，n)可以表示為

可逆矩陣及其簡單應(yīng)用

Ci?Ai1B1?Ai2B2???AinBn其中Aij(j=1，2，?，n)為矩陣A的第i行第j列位置上的元素，而Bn則為矩陣B的第n行(行向量)．

顯然，密文矩陣的每一個行向量都是明文矩陣的所有行向量的一種線性組合，其組合系數(shù)正好是加 密矩陣的相應(yīng)行上的所有元素．

根據(jù)矩陣乘法的定義直接計算密文矩陣時，計算密文矩陣的每個元素需要做粗次乘法和咒一1次加 法，因此計算整個密文矩陣總共需要mn次乘法和mn2?n?1?次加法．

2利用上述線性組合關(guān)系來計算密文矩陣時，計算密文矩陣的每行元素需要做mn次乘法和mn計算整個密文矩陣也總共需要進(jìn)行mn次乘法和mn2?n?1?次加法，因此

?n?1?次加法．

但是，如果加密矩陣中含有一定數(shù)量的0元素，則利用線性組合來計算密文矩陣就有較大的優(yōu)勢． 加密矩陣每增加一個0元素，計算密文矩陣就要少做m次乘法和m次加法．

在實際應(yīng)用中，加密矩陣一般都含有一定數(shù)量的0元素．__ 結(jié)論

通過本篇論文對可逆矩陣的性質(zhì)及其求法的探討，我們更深一步的講述了可逆矩陣在數(shù)學(xué)學(xué)科和生活通信保密工作的重要應(yīng)用，我們可以推知逆矩陣將我們遇到的通常難解決的問題，簡易化，模型化，以達(dá)到矩陣的轉(zhuǎn)化與變形，是我們的工作事半功倍，更解決掉了實際的問題。我們也由此總結(jié)歸納，再一次證明了可逆矩陣的重要性。

參考文獻(xiàn)

[1]熊小兵.可逆矩陣在保密通信中的應(yīng)用.[D].武漢大學(xué)計算機(jī)學(xué)院.2007-6.[2] 胡淑娟, 馬寶艷.可逆矩陣及求逆矩陣的方法.[D].河南財經(jīng)學(xué)院成功學(xué)院.2010-4.[3]石生明，王萼芳.高等代數(shù).[M].第三版．北京：高等教育出版社，2003∶273-281.[4]錢吉林.高等代數(shù)題解精粹.[M].第二版.北京：中央民主大學(xué)出版社，2010:112-149.[5] 楊奇、田代軍、韓維信.線性代數(shù)與解析幾何[M].天津：天津大學(xué)出版社,2002:112-128.[6] 郭來鵬, 對可逆矩陣的探討, [D].數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院.2008-6.石家莊學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文）

致謝

感謝我的指導(dǎo)老師??親切關(guān)懷和悉心指導(dǎo)。她嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神，精益求精的工作作風(fēng)，深深地感染和激勵著我。從課題的選擇到項目的最終完成，劉老師都始終給予我細(xì)心的指導(dǎo)和不懈的支持。三年來，她不僅在學(xué)業(yè)上給我以精心指導(dǎo)，同時還在思想、生活上給我以無微不至的關(guān)懷，在此謹(jǐn)致以誠摯的謝意和崇高的敬意。

在此，我還要感謝在一起度過愉快的大學(xué)三年生活的同學(xué)們，正是由于你們的幫助和支持，我才能克服一個一個的困難和疑惑。在論文即將完成之際，我的心情無法平靜，從開始進(jìn)入課題到論文的順利完成，有多少可敬的師長、同學(xué)、朋友給了我無言的幫助，在這里請接受我誠摯的謝意!最后我還要感謝培養(yǎng)我長大含辛茹苦的父母，謝謝你們!

第二篇：可逆矩陣教案

§1.4 可逆矩陣

★ 教學(xué)內(nèi)容：

1.2.3.4.★ 教學(xué)課時：100分鐘/2課時。

★ 教學(xué)目的：

通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生

1.理解可逆矩陣的概念；

2.掌握利用行列式判定矩陣可逆以及利用轉(zhuǎn)置伴隨矩陣求矩陣的逆的方法； 3.熟悉可逆矩陣的有關(guān)性質(zhì)。

★ 教學(xué)重點和難點：

本節(jié)重點在于使學(xué)生了解什么是可逆矩陣、如何判定可逆矩陣及利用轉(zhuǎn)置伴隨矩陣求逆的方法；難點在于轉(zhuǎn)置伴隨矩陣概念的理解。可逆矩陣的概念； 可逆矩陣的判定；

利用轉(zhuǎn)置伴隨矩陣求矩陣的逆； 可逆矩陣的性質(zhì)。

★ 教學(xué)設(shè)計：

一

可逆矩陣的概念。

1.引入：利用數(shù)字乘法中的倒數(shù)引入矩陣的逆的概念。

2.定義1.4.1（可逆矩陣）對于矩陣A，如果存在矩陣B，使得AB?BA?E則稱A為可逆矩陣，簡稱A可逆，并稱B為A的逆矩陣，或A的逆，記為A。

3.可逆矩陣的例子：

（1）例1 單位矩陣是可逆矩陣；（2）例2 A???1?10??10?，B????，則A可逆； 11?11?????100???（3）例3 對角矩陣A??020?可逆；

?003????111??1?10?????（4）例4 A??011?，B??01?1?，則A可逆。

?001??001?????4.可逆矩陣的特點：

（1）可逆矩陣A都是方陣；

（2）可逆矩陣A的逆唯一，且A和A是同階方陣；

?1（3）可逆矩陣A的逆A也是可逆矩陣，并且A和A互為逆矩陣；（4）若A、B為方陣，則AB?E?A?B。二

可逆矩陣的判定及轉(zhuǎn)置伴隨矩陣求逆

1.方陣不可逆的例子：

?1?1?1?11?

例5 A???不可逆；

00??

例6 A???12??不可逆； ?24?2.利用定義判定矩陣可逆及求逆的方法：（1）說明利用定義判定及求逆的方法，（2）說明這種方法的缺陷； 3.轉(zhuǎn)置伴隨矩陣求逆

（1）引入轉(zhuǎn)置伴隨矩陣

1）回顧行列式按一行一列展開公式及推論

ai1As1?ai2As2??D,i?s

(i?1,2,n,，)?ainAsn??0,i?s??D,j?t(j?1,2,?anjAnt???0,j?tA21A22A2nAn1??A??An2??0?????Ann???00A0,n)； a1jA1t?a2jA2t?

2）寫成矩陣乘法的形式有：

?a11??a21???an1a12a22an2a1n??A11??a2n??A12????ann??A1n0??0??AE ??A??

3）定義1.4.2（轉(zhuǎn)置伴隨矩陣）設(shè)Aij式是A?(aij)n?n的行列式中aij的代數(shù)余子式，則

?A11?A*A??12???A1n稱為A的轉(zhuǎn)置伴隨矩陣。

（2）轉(zhuǎn)置伴隨矩陣求逆：

1）AA?AE； *A21A22A2nAn1??An2? ??Ann?

2）定理1.4.1 A可逆的充分必要條件是A?0（或A非奇異），且

A?1?1*A； A

3）例7 判斷矩陣A???12??是否可逆，若可逆，求其逆矩陣。?35??223???

4）例8 設(shè)A??1?10?，判斷A是否可逆，若可逆，求其逆矩陣。

??121???三

可逆矩陣的性質(zhì)

1.性質(zhì)1(A?1)?1?A；

2.性質(zhì)2(AB)?1?B?1A?1；

3.性質(zhì)3(A?)?1?(A?1)?；

4.性質(zhì)4(kA)

5.性質(zhì)5 A?1?1?1?1A； k?1； An?1

6.性質(zhì)6 A?A

7.(A?B)?1*；

?A?1?B?1。

1??1，B?3，求(2BA)。2

例9 設(shè)A，B均為三階方陣，且A?四

可逆的應(yīng)用——解矩陣方程

例10 設(shè)方程A?A?2E?O，證明：A?2E可逆，并求其逆。

第三篇：數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)稀疏矩陣應(yīng)用

實驗五 數(shù)組的運算

實驗?zāi)康模?/p>

掌握稀疏矩陣的壓縮存儲方法及主要運算的實現(xiàn)。實驗內(nèi)容與要求：

設(shè)計一個稀疏矩陣計算器，要求能夠：⑴輸入并建立稀疏矩陣；⑵輸出稀疏矩陣；⑶執(zhí)行兩個矩陣相加；⑷求一個矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。

程序代碼：

#include #define smax 20 typedef int datatype;

typedef struct { int i,j;

datatype v;

}node;typedef struct

{ node data[smax];

int m,n,t;

}spmatrix;

void creat(spmatrix a)創(chuàng)建輸出稀疏矩陣 { int k=0;

printf(“請輸入稀疏矩陣：n”);

scanf(“%d,%d,%d”,&a.m,&a.n,&a.t);

scanf(“%d,%d,%d”,&a.data[0].i,&a.data[0].j,&a.data[0].v);

while(a.data[k].v!=0)以0元素作為結(jié)束標(biāo)志，因為稀疏矩陣不包含0元素

{k++;

scanf(“%d,%d,%d”,&a.data[k].i,&a.data[k].j,&a.data[k].v);

}

printf(“輸出的稀疏矩陣是：n”);

printf(“%d,%d,%dn”,a.m,a.n,a.t);

for(k=0;k

printf(“%d,%d,%dn”,a.data[k].i,a.data[k].j,a.data[k].v);

printf(“n”);}

void transpose(spmatrix a)轉(zhuǎn)置函數(shù) { int p,q,k=0;

printf(“請輸入稀疏矩陣：n”);

scanf(“%d,%d,%d”,&a.m,&a.n,&a.t);

scanf(“%d,%d,%d”,&a.data[0].i,&a.data[0].j,&a.data[0].v);

while(a.data[k].v!=0)

{k++;

scanf(“%d,%d,%d”,&a.data[k].i,&a.data[k].j,&a.data[k].v);

}

for(k=0;k

{p=a.data[k].i;a.data[k].i=a.data[k].j;a.data[k].j=p;}

printf(“輸出轉(zhuǎn)置后的初步矩陣元素：n”);

for(k=0;k

printf(“%d,%d,%dn”,a.data[k].i,a.data[k].j,a.data[k].v);

for(p=0;p

for(k=0;k<(a.t-p);k++)

{if(a.data[k].i>a.data[k+1].i ||(a.data[k].i==a.data[k+1].i && a.data[k].j>a.data[k+1].j))

{q=a.data[k].i;a.data[k].i=a.data[k+1].i;a.data[k+1].i=q;

q=a.data[k].j;a.data[k].j=a.data[k+1].j;a.data[k+1].j=q;

q=a.data[k].v;a.data[k].v=a.data[k+1].v;a.data[k+1].v=q;

}

} printf(“輸出轉(zhuǎn)置后的稀疏矩陣:n”);printf(“%d,%d,%dn”,a.n,a.m,a.t);for(k=1;k<(a.t+1);k++)此處下標(biāo)加1是根據(jù)輸出結(jié)果判定而來，不知道原因

printf(“%d,%d,%dn”,a.data[k].i,a.data[k].j,a.data[k].v);printf(“n”);}

void add(spmatrix a,spmatrix b)求和函數(shù) {spmatrix c;int x=0,y=0,z=0;int p,q,r=0;printf(“請輸入稀疏矩陣a:n”);scanf(“%d,%d,%d”,&a.m,&a.n,&a.t);scanf(“%d,%d,%d”,&a.data[0].i,&a.data[0].j,&a.data[0].v);while(a.data[x].v!=0)

{x++;

scanf(“%d,%d,%d”,&a.data[x].i,&a.data[x].j,&a.data[x].v);

} printf(“請輸入稀疏矩陣b:n”);scanf(“%d,%d,%d”,&b.m,&b.n,&b.t);scanf(“%d,%d,%d”,&b.data[0].i,&b.data[0].j,&b.data[0].v);

while(a.data[y].v!=0)

{y++;

scanf(“%d,%d,%d”,&b.data[y].i,&b.data[y].j,&b.data[y].v);

}以上為重新創(chuàng)建兩個稀疏矩陣，方便運算 if(a.m==b.m && a.n==b.n)首先行列相等的稀疏矩陣才能相加

{for(x=0;x

{c.data[z].i=a.data[x].i;

c.data[z].j=a.data[x].j;

c.data[z].v=a.data[x].v;

z++;

}

for(y=0;y

{c.data[z].i=b.data[y].i;

c.data[z].j=b.data[y].j;

c.data[z].v=b.data[y].v;

z++;

}兩個for循環(huán)先后把a(bǔ),b兩個稀疏矩陣元素放到一個新的稀疏矩陣c里去

printf(“輸出結(jié)合后的初步稀疏矩陣C的元素:n”);進(jìn)行一次打印

for(z=0;z<(a.t+b.t);z++)printf(“%d,%d,%dn”,c.data[z].i,c.data[z].j,c.data[z].v);

for(p=0;p<(a.t+b.t);p++)冒泡排序法對新矩陣元素排序

for(z=0;z<(a.t+b.t-p);z++){if(c.data[z].i>c.data[z+1].i ||(c.data[z].i==c.data[z+1].i && c.data[z].j>c.data[z+1].j))有這幾種情況需要重新排序，首先是進(jìn)行行對比（前行大于后行進(jìn)行交換），然后當(dāng)行相等時在進(jìn)行列對比（前列大于后列時在進(jìn)行交換），其他情況均不用交換

{q=c.data[z].i;c.data[z].i=c.data[z+1].i;c.data[z+1].i=q;

q=c.data[z].j;c.data[z].j=c.data[z+1].j;c.data[z+1].j=q;

q=c.data[z].v;c.data[z].v=c.data[z+1].v;c.data[z+1].v=q;} } printf(“輸出排序后的稀疏矩陣C的元素:n”);進(jìn)行一次打印

for(z=1;z<(a.t+b.t+1);z++)printf(“%d,%d,%dn”,c.data[z].i,c.data[z].j,c.data[z].v);

for(z=1;z<(a.t+b.t+1-r);z++)主循環(huán)，保證閱讀每一個數(shù)組元素

if(c.data[z].i==c.data[z+1].i && c.data[z].j==c.data[z+1].j)在對排好序后的矩陣進(jìn)行相等行列元素的合并

{c.data[z].v=c.data[z].v+c.data[z+1].v;

r++;此處是關(guān)鍵，記錄此時的步驟，如果進(jìn)行一次運算后，那么后面的循環(huán)就要少一次，包括再回到主循環(huán)時也要少一次

for(z+1;(z+1)<(a.t+b.t+1-r);z++)小循環(huán)是讓后面的每一個數(shù)組元素向前移動一個位置，掩蓋掉相等行列元素

{c.data[z+1].i=c.data[z+2].i;

c.data[z+1].j=c.data[z+2].j;

c.data[z+1].v=c.data[z+2].j;

} } printf(“輸出最終結(jié)果的稀疏矩陣C:n”);printf(“%d,%d,%dn”,a.m,a.n,(a.t+b.t-r));輸出稀疏矩陣表頭時只需將行列元素交換輸出即可，元素個數(shù)輸出時要注意相等行列元素合并進(jìn)行了幾次操作，即用r記錄操作步驟的次數(shù)，每進(jìn)行一次操作那么最終稀疏矩陣就少一個數(shù)組元素，同時r又是伴隨步驟增加的

for(z=1;z<(a.t+b.t+1-r);z++)原理同上

printf(“%d,%d,%dn”,c.data[z].i,c.data[z].j,c.data[z].v);} Else給出稀疏矩陣表開頭行列總和不等時則無法計算

printf(“輸入的稀疏矩陣a,b不是行列相等的矩陣。n”);}

void main()主函數(shù) {spmatrix a,b;creat(a);transpose(a);add(a,b);}

心得體會：程序開頭老師指點了一下，后面的算法以及函數(shù)全為自己長時間編寫，全用一維數(shù)組包含多個數(shù)據(jù)的思想去操作，抓住主的數(shù)組元素值的變化，步步為營，一個目標(biāo)一個目標(biāo)的實現(xiàn)，在操作時最好對這次操作結(jié)果做一次打印，就像程序中進(jìn)行前后元素交換的時候主數(shù)組下標(biāo)加1是為什么沒有研究透，不過通過每步打印發(fā)現(xiàn)了這個規(guī)律，要不然找死都找不出結(jié)果為何少一個元素，開頭元素為何是一串?dāng)?shù)字亂碼。

第四篇：矩陣心得體會

《矩陣論》學(xué)習(xí)心得體會

2011-2012第一學(xué)期，我在李勝坤老師的引領(lǐng)下，逐步學(xué)習(xí)了科學(xué)出版社出版、徐仲和張凱院等編著的《矩陣論簡明教程》第二版。該書是大學(xué)本科期間所學(xué)習(xí)的《線性代數(shù)》的矩陣部分內(nèi)容的深化，從數(shù)域擴(kuò)展到矩陣，要想充分理解“矩陣論”的精髓，就得先好好的將《線性代數(shù)》復(fù)習(xí)——掌握其基本概念及重要定理、結(jié)論。

該書有8個章節(jié)，第一章是矩陣的相似變換，第二章講的是范數(shù)理論，第三章介紹的是矩陣分析，第四章詳細(xì)介紹的是矩陣分解，第五章羅列的是特征值的估計與表示，第六章介紹的是廣義逆矩陣，第七章介紹的是矩陣的直積，最后一章介紹的是線性空間與線性變換。下面分章節(jié)談?wù)摗?/p>

第一章中的特征值與特征向量、矩陣的相似對角化、向量內(nèi)積是本科期間《線性代數(shù)》中的內(nèi)容，我想作者的目的是借助以前大家都熟悉的知識，將我們引領(lǐng)到另一個嶄新的知識領(lǐng)域，起到承上啟下的作用，讓我們對《矩陣論》感到不陌生。該章中的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形、Hamilton-Cayley定理、酉相似的標(biāo)準(zhǔn)形是本科期間不曾深入學(xué)習(xí)的知識，這些知識為后續(xù)學(xué)習(xí)《矩陣論》吹響了號角?？傊?，第一章就是高等數(shù)學(xué)中的知識與“矩陣論”的銜接章節(jié)，同時也是后續(xù)章節(jié)學(xué)習(xí)的非常重要基礎(chǔ)章節(jié)。我們要學(xué)好《矩陣論》就得學(xué)好該章，理解記憶其中的概念、結(jié)論。

第二章介紹向量范數(shù)與矩陣范數(shù)及其應(yīng)用。介紹了向量范數(shù)的三公理、酉不變性、1范、2范、無窮范、p范、加權(quán)范數(shù)（也叫橢圓范數(shù)）以及很重要的一個不等式——Cauchy-Schwarz不等式、向量的收斂、發(fā)散性；矩陣范數(shù)的定義、m1范、m無窮范、F范及其酉不變性，矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性等。范數(shù)與矩陣的譜半徑緊緊相連，有了范數(shù)作為研究矩陣的數(shù)學(xué)工具，我們將會更易更深入的理解、研究矩陣，并用矩陣指導(dǎo)實際生產(chǎn)實踐。

第三章矩陣分析和第四章矩陣分解各是矩陣論的最重要章節(jié)之一。通過對矩陣的收斂性、矩陣級數(shù)、矩陣函數(shù)、矩陣微分、矩陣積分、矩陣四種分解等系統(tǒng)性學(xué)習(xí)研究，讓我明白了矩陣?yán)碚撛趯嶋H生活中的巨大作用——矩陣論將大大減少工程運算量及提高計算速度、精度。有了矩陣?yán)碚撟髦笇?dǎo)，現(xiàn)實生活中很多不能解決或者很難解決的數(shù)學(xué)問題等都能夠得到很好的解決。比如，提高計算機(jī)的計算速度、優(yōu)化數(shù)字信號處理算法等。

第五章介紹了矩陣的非常重要的參數(shù)——特征值的估計及其表示，介紹了特征值界定估計、特征值包含區(qū)域等，讓我們對特征值有了更進(jìn)一步的了解，用書中的方法可以很高效的確定特征值的范圍、估計特征值的個數(shù)。是研究矩陣的有效方法，為計算特征值指明了方向，解決了以前計算特征值的困擾。

第六章介紹的是廣義逆矩陣，是逆矩陣的推廣。廣義逆矩陣是將可逆的方陣推廣到不可逆矩陣、長方矩陣。介紹了廣義逆矩陣的概念、逆矩陣的應(yīng)用、Moor-Penrose逆A+的計算、性質(zhì)以及在解線性方程組中的應(yīng)用。我想該章更大的應(yīng)用應(yīng)該在解線性方程組中，解決生活中的計算問題，提供了又一高效辦法。

第七章矩陣的直積是很易懂的知識，是以前向量直積在矩陣中的推廣。對矩陣直積的研究對信號處理與系統(tǒng)理論中的隨機(jī)靜態(tài)分析與隨機(jī)向量過程分析等有重要的指導(dǎo)作用，同時也是重要的數(shù)學(xué)工具，是研究信號處理人員必備的數(shù)學(xué)工具。

第八章線性空間與線性變換，其中線性空間是幾何空間與n維向量空間概念的推廣與抽象，線性變換則反映了線性空間元素之間的一種最基本的聯(lián)系。該章的學(xué)習(xí)需要我們充分發(fā)揮我們的空間想象能力，同時該章也將會大大的啟迪我們思維的靈活性、喚醒沉睡已久的新思維。

通過《矩陣論簡明教程》的學(xué)習(xí)，開闊了我的數(shù)學(xué)視野，給我思考問題、解決實際問題提供了新的思維方法。我將努力借助《矩陣論》，使自己在信號處理領(lǐng)域走的更遠(yuǎn)。

第五篇：矩陣分析

第一章：

了解線性空間（不考證明），維數(shù)，基

9頁：線性變換，定理1.3

13頁：定理1.10，線性空間的內(nèi)積，正交

要求：線性子空間（3條）非零，加法，數(shù)乘

35頁，2491011

本章出兩道題

第二章：

約旦標(biāo)準(zhǔn)型

相似變換矩陣?yán)?.8（51頁）出3階的例2.6（46頁）出3階的三角分解例2.9（55頁）（待定系數(shù)法）（方陣）

行滿秩/列滿秩（最大秩分解）

奇異值分解

本章出兩道題

第三章：

例3.1（75頁）定理3.2要會證明例3.3必須知道（證明不需要知道）定義3.3 例3.4證明要知道定理3.5掌握定理3.7要掌握

習(xí)題24

本章出（一道計算，一道證明）或者（一道大題（一半計算，一半證明））

第四章：

矩陣級數(shù)的收斂性判定要會，一般會讓你證明它的收斂

比較法，數(shù)字級數(shù)

對數(shù)量微分不考，考對向量微分（向量函數(shù)對向量求導(dǎo)）

本章最多兩道，最少 一道，也能是出兩道題選一道

第六章：

用廣義逆矩陣法求例6.4（154頁）

能求最小范數(shù)（158頁）如果無解就是LNLS解

定理6.1了解定理6.2 求廣義逆的方法（不證明）

定理6.3（會證明）定理6.4（會證明）（去年考了）定理6.9（會證明）推論要記

住定理6.10（會證明）

出一道證明一道計算