第一篇：高數(shù)下冊各類積分方法總結(jié)

綜述：高數(shù)下冊，共有如下幾類積分：二重積分，三重積分，第一類線積分，第二類線積分，第一類面積分，第二類面積分。其中，除線積分外，個人認為，拿到題后，首先應用對稱性把運算簡化，線積分的對稱性，不太常用，可以參照面積分的對稱性，將積分曲面換成積分曲線即可，恕不贅述。另外要注意線積分和面積分的方向性，線積分以逆時針為正方向，面積分以坐標軸正向為正方向。二重積分 對稱性：

積分區(qū)間D關于X軸對稱：被積函數(shù)是關于Y的奇函數(shù)，則結(jié)果為0：

被積函數(shù)是關于Y的偶函數(shù)，則結(jié)果為在一半?yún)^(qū)間上積分的2倍 方法：分別對x、y積分，將其中一個變量寫成另一個的表達形式||極坐標換元 三重積分 對稱性：

積分區(qū)間Ω關于xy面對稱：被積函數(shù)是關于z的奇函數(shù)，則結(jié)果為0；

被積函數(shù)是關于z的偶函數(shù)，則結(jié)果為在一半?yún)^(qū)間上積分的2倍 方法：先重后單||先單后重（極坐標）||柱坐標||球坐標

第一類線積分

x,y,z型：具有關于參數(shù)t的表達試，用基本公式，轉(zhuǎn)化成關于t的積分

x,y型：排除上一種條件的話，通常將y表示為關于x的函數(shù)，轉(zhuǎn)化成關于x的積分

第二類線積分 方法：

1、用曲線的切線的方向角余弦，轉(zhuǎn)化成第一類線積分

2、有參數(shù)t，可以轉(zhuǎn)化成關于t的積分

3、將y表示為關于x的函數(shù)，轉(zhuǎn)化成關于x的積分

4、封閉曲線，通常自己構(gòu)造，可采用格林公式轉(zhuǎn)化為二重積分 另：注意與路徑無關的積分

第一類面積分 對稱性：

積分曲面關于XY面對稱：被積函數(shù)是關于z的奇函數(shù)，則結(jié)果為0：

被積函數(shù)是關于z的偶函數(shù)，則結(jié)果為在一半曲面上積分的2倍

計算方法：常規(guī)的話，只有一種，轉(zhuǎn)化為關于x或y或z的積分。詳見書本上的公式。

第二類面積分 對稱性:

積分曲面關于XY面對稱：被積函數(shù)是關于z的偶函數(shù)，則結(jié)果為0：

被積函數(shù)是關于z的奇函數(shù)，則結(jié)果為在一半曲面上積分的2倍（注意區(qū)別于第一類）計算方法：

1、用曲面的切線的方向角余弦，轉(zhuǎn)化成第一類面積分

2、轉(zhuǎn)化為二重積分，直接在前面添正負號即可

3、封閉曲面，可以用高斯公式，轉(zhuǎn)化為三重積分，一般封閉曲面都是人為構(gòu)造的，所以注意減掉構(gòu)造面，并注意方向

4、斯托克斯公式，轉(zhuǎn)化為第二類線積分，不常用

PS：用函數(shù)表達式，可以化簡線面積分的被積函數(shù)，另有積分相關考點，旋度，散度，質(zhì)量，質(zhì)心，轉(zhuǎn)動慣量，求曲面?zhèn)让婷娣e，頂面面積，曲頂柱體體積~~~多多復習，牢記公式，一定可以渡過積分這個難關~

第二篇：高數(shù)積分總結(jié)

高數(shù)積分總結(jié)

一、不定積分

1、不定積分的概念也性質(zhì)

定義1：如果在區(qū)間I上，可導函數(shù)F（x）的導函數(shù)為f(x)，即對任一x?I,都有

F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù)。定義2：在區(qū)間I上，函數(shù)f（x）的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為f（x）（或者f(x)dx）在區(qū)間I上的不定積分，記作

?f(x)dx。

性質(zhì)1：設函數(shù)f(x)及g(x)的原函數(shù)存在，則

?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx。

性質(zhì)2：設函數(shù)f(x)的原函數(shù)存在，k為非零常數(shù)，則

?kf(x)dx?k?f(x)dx。

2、換元積分法(1)第一類換元法：

定理1：設f(u)具有原函數(shù)，???(x)可導，則有換元公式

?f[?(x)]?'(x)dx?[?f(?)d?]??

?(x)。例：求?2cos2xdx

解 ?2cos2xdx??cos2x?2dx??cos2x?(2x)'dx??cos?d? 將??2x代入，既得

?2cos2xdx?sin2x?C

(2)第二類換元法：

定理2：設x??(t)是單調(diào)的、可導的函數(shù)，并且?'(t)?0.又設f[?(t)]?'(t)具有原函數(shù)，則有換元公式

?f(x)dx?[?f[?(t)]?'(t)dt]?1其中?(x)是x??(t)的反函數(shù)。

t???1(x)，例：求?dxx?a22(a?0)

22解

∵1?tant?sect，????設x??tant???t??，那么

2??2x2?a2?a2?a2tan2t?a1?tan2t?asect,dx?asec2tdt，于是

?asec2t??dt??sectdt 22asectx?adx∴?∵sect?∴?dxdxx?a22?lnsect?tant?C

x2?a2，且sect?tant?0 a???C?ln(x?x2?a2)?C，C?C?lna 11??22?xx?a?ln???aax2?a2?

3、分部積分法

定義：設函數(shù)???(x)及???(x)具有連續(xù)導數(shù)。那么，兩個函數(shù)乘積的導數(shù)公式為

????'??'????'

移項得

??'?(??)'??'?

對這個等式兩邊求不定積分，得

???'dx??????'?dx

此公式為分部積分公式。例：求?xcosxdx 解 ?xcosxdx?xsinx??sinxdx

∴xcosxdx?xsinx?cosx?C ?分部積分的順序：反對冪三指。

4、有理函數(shù)的積分 例：求?x?1dx 2x?5x?62解

∵x?5x?6?(x?3)(x?2)，故設

x?1AB??

x2?5x?6x?3x?2其中A,B為待定系數(shù)。上式兩端去分母后，得

x?1?A(x?2)?B(x?3)

即

x?1?(A?B)x?2A?3B

比較上式兩端同次冪的系數(shù)，既有

?A?B?1 ??2A?3B??1從而解得

A?4,B??3 于是

x?13??4??dx?4lnx?3?3lnx?2?C ?x2?5x?6dx????x?3x?2?其他有些函數(shù)可以化做有理函數(shù)。

5、積分表的查詢

二、定積分

1、定積分的定義和性質(zhì)

（1）定義：設函數(shù)f(x)在?a,b?上有界，在?a,b?中任意插入若干個分點

a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b

把區(qū)間?a,b?分成n個小區(qū)間

?x0,x1?,?x1,x2?,?,?xn?1,xn?

各個小區(qū)間的長度依次為

?x1?x1?x0,?x2?x2?x1,?,?xn?xn?xn?1

在每個小區(qū)間?xi?1,xi?上任取一點?i?xi?1??i?xi?，作函數(shù)值f(?i)與小區(qū)間長度?xi的乘積f(?i)?xi?i?1,2,?,n?，并作出和

S??f(?i)?xi

i?1n記??max??x1,?x2,?,?xn?，如果不論對?a,b?怎么劃分，也不論在小區(qū)間xi?1,xi上點?i怎么選取，只要當??0時，和S總趨于確定??的極限I，那么稱這個極限I為函數(shù)(簡稱積分)，記作

f(x)在區(qū)間?a,b?上的定積分

?baf(x)dx，即

n?其中變量，baf(x)dx?I?lim?f(?i)?xi

??0i?1f(x)叫做被積函數(shù)，f(x)dx叫做被積表達式，x叫做積分a叫做積分下限，b叫做積分上限，?a,b?叫做積分區(qū)間。

f(x)在區(qū)間?a,b?上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)定理1：設f(x)在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則f(x)在?a,b?上可積。定理2：設在?a,b?上可積。（2）性質(zhì)1：

性質(zhì)2：??f(x)?g(x)?dx??abbaf(x)dx??g(x)dx

ab?kf(x)dx?k?abbaf(x)dx

(k是常數(shù))

性質(zhì)3：設a?c?b，則

?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

accb

性質(zhì)4：如果在區(qū)間?a,b?上f(x)?1，則

?1dx??dx?b?a

aabb

性質(zhì)5：如果在區(qū)間?a,b?上，f(x)?0，則

??babaf(x)dx?0?a?b?

推論1：如果在區(qū)間?a,b?上，f(x)?g(x)，則

f(x)dx??g(x)dx?a?b?

ab

推論2：

?baf(x)dx??f(x)dx(a?b)

ab

性質(zhì)6：設M及m分別是函數(shù)最小值，則

f(x)在區(qū)間?a,b?上的最大值和m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)(a?b)

ab

性質(zhì)7(定積分中值定理)：如果函數(shù)f(x)在積分區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則在?a,b?上至少存在一個點?，使下式成立

?baf(x)dx?f(?)(b?a)(a???b)

2、微積分基本公式(1)積分上限函數(shù)及其導數(shù)

定理1：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)

??x???f(t)dt

ax在?a,b?上可導，并且它的導數(shù)

dx?'(x)?f(t)dt?f(x)(a?x?b)?adx定理2：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則函數(shù)

?(x)??f(t)dt

ax就是f(x)在區(qū)間?a,b?上的一個原函數(shù)。

f(x)在區(qū)間?a,b?上的一個原函(2)牛頓-萊布尼茨公式

定理3：如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)數(shù)，則

?(1)定積分的換元法 定理：

三、多元函數(shù)微分

四、重積分

五、曲面和曲線積分

baf(x)dx?F(b)?F(a)

3、定積分的換元法和分部積分法

第三篇：高數(shù)積分總結(jié)

高數(shù)積分總結(jié)

一、不定積分

1、不定積分的概念也性質(zhì)

定義1：如果在區(qū)間I上，可導函數(shù)F（x）的導函數(shù)為f(x)，即對任一x?I,都有

F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù)。定義2：在區(qū)間I上，函數(shù)f（x）的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為f（x）（或者f(x)dx）在區(qū)間I上的不定積分，記作

?f(x)dx。

性質(zhì)1：設函數(shù)f(x)及g(x)的原函數(shù)存在，則

?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx。

性質(zhì)2：設函數(shù)f(x)的原函數(shù)存在，k為非零常數(shù)，則

?kf(x)dx?k?f(x)dx。

2、換元積分法(1)第一類換元法：

定理1：設f(u)具有原函數(shù)，???(x)可導，則有換元公式

?f[?(x)]?'(x)dx?[?f(?)d?]??

?(x)。例：求?2cos2xdx

解 ?2cos2xdx??cos2x?2dx??cos2x?(2x)'dx??cos?d? 將??2x代入，既得

?2cos2xdx?sin2x?C

(2)第二類換元法：

定理2：設x??(t)是單調(diào)的、可導的函數(shù)，并且?'(t)?0.又設f[?(t)]?'(t)具有原函數(shù)，則有換元公式

?f(x)dx?[?f[?(t)]?'(t)dt]?1其中?(x)是x??(t)的反函數(shù)。

t???1(x)，例：求?dxx?a22(a?0)

22解

∵1?tant?sect，????設x??tant???t??，那么

2??2x2?a2?a2?a2tan2t?a1?tan2t?asect,dx?asec2tdt，于是

?asec2t??dt??sectdt 22asectx?adx∴?∵sect?∴?dxdxx?a22?lnsect?tant?C

x2?a2，且sect?tant?0 a???C?ln(x?x2?a2)?C，C?C?lna 11??22?xx?a?ln???aax2?a2?

3、分部積分法

定義：設函數(shù)???(x)及???(x)具有連續(xù)導數(shù)。那么，兩個函數(shù)乘積的導數(shù)公式為

????'??'????'

移項得

??'?(??)'??'?

對這個等式兩邊求不定積分，得

???'dx??????'?dx

此公式為分部積分公式。例：求?xcosxdx 解 ?xcosxdx?xsinx??sinxdx

∴xcosxdx?xsinx?cosx?C ?分部積分的順序：反對冪三指。

4、有理函數(shù)的積分 例：求?x?1dx 2x?5x?62解

∵x?5x?6?(x?3)(x?2)，故設

x?1AB??

x2?5x?6x?3x?2其中A,B為待定系數(shù)。上式兩端去分母后，得

x?1?A(x?2)?B(x?3)

即

x?1?(A?B)x?2A?3B

比較上式兩端同次冪的系數(shù)，既有

?A?B?1 ??2A?3B??1從而解得

A?4,B??3 于是

x?13??4??dx?4lnx?3?3lnx?2?C ?x2?5x?6dx????x?3x?2?其他有些函數(shù)可以化做有理函數(shù)。

5、積分表的查詢

二、定積分

1、定積分的定義和性質(zhì)

（1）定義：設函數(shù)f(x)在?a,b?上有界，在?a,b?中任意插入若干個分點

a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b

把區(qū)間?a,b?分成n個小區(qū)間

?x0,x1?,?x1,x2?,?,?xn?1,xn?

各個小區(qū)間的長度依次為

?x1?x1?x0,?x2?x2?x1,?,?xn?xn?xn?1

在每個小區(qū)間?xi?1,xi?上任取一點?i?xi?1??i?xi?，作函數(shù)值f(?i)與小區(qū)間長度?xi的乘積f(?i)?xi?i?1,2,?,n?，并作出和

S??f(?i)?xi

i?1n記??max??x1,?x2,?,?xn?，如果不論對?a,b?怎么劃分，也不論在小區(qū)間xi?1,xi上點?i怎么選取，只要當??0時，和S總趨于確定??的極限I，那么稱這個極限I為函數(shù)(簡稱積分)，記作

f(x)在區(qū)間?a,b?上的定積分

?baf(x)dx，即

n?其中變量，baf(x)dx?I?lim?f(?i)?xi

??0i?1f(x)叫做被積函數(shù)，f(x)dx叫做被積表達式，x叫做積分a叫做積分下限，b叫做積分上限，?a,b?叫做積分區(qū)間。

f(x)在區(qū)間?a,b?上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)定理1：設f(x)在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則f(x)在?a,b?上可積。定理2：設在?a,b?上可積。（2）性質(zhì)1：

性質(zhì)2：??f(x)?g(x)?dx??abbaf(x)dx??g(x)dx

ab?kf(x)dx?k?abbaf(x)dx

(k是常數(shù))

性質(zhì)3：設a?c?b，則

?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

accb

性質(zhì)4：如果在區(qū)間?a,b?上f(x)?1，則

?1dx??dx?b?a

aabb

性質(zhì)5：如果在區(qū)間?a,b?上，f(x)?0，則

??babaf(x)dx?0?a?b?

推論1：如果在區(qū)間?a,b?上，f(x)?g(x)，則

f(x)dx??g(x)dx?a?b?

ab

推論2：

?baf(x)dx??f(x)dx(a?b)

ab

性質(zhì)6：設M及m分別是函數(shù)最小值，則

f(x)在區(qū)間?a,b?上的最大值和m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)(a?b)

ab

性質(zhì)7(定積分中值定理)：如果函數(shù)f(x)在積分區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則在?a,b?上至少存在一個點?，使下式成立

?baf(x)dx?f(?)(b?a)(a???b)

2、微積分基本公式(1)積分上限函數(shù)及其導數(shù)

定理1：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)

??x???f(t)dt

ax在?a,b?上可導，并且它的導數(shù)

dx?'(x)?f(t)dt?f(x)(a?x?b)?adx定理2：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則函數(shù)

?(x)??f(t)dt

ax就是f(x)在區(qū)間?a,b?上的一個原函數(shù)。

f(x)在區(qū)間?a,b?上的一個原函(2)牛頓-萊布尼茨公式

定理3：如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)數(shù)，則

?(1)定積分的換元法 定理： 假設函數(shù)?(α)=a,?(β)=b;

baf(x)dx?F(b)?F(a)

3、定積分的換元法和分部積分法

f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，函數(shù)x=?(t)滿足條件: ?(t)在[α,β]上具有連續(xù)導數(shù)，且其值域R?=[a,b],則有

?baf(x)dx??f[?(t)]?(t)dt??'

(1)公式(1)叫做定積分的換元公式(2)定積分的分部積分法

依據(jù)不定積分的分部積分法，可得

?uvdx?[uv]??vdu'aba

三、反常積分

（一）無窮限的反常積分 bab

定義1 設函數(shù)法f(x)在區(qū)間[a,??)上連續(xù)，取t>a,如果極限

lim?t???taf(x)dx

存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間[a,??)上的反常積分，即

???af(x)dx?limt????taf(x)dx

（二）無界函數(shù)的反常積分

定義2 設函數(shù)f(x)在(a,b]上連續(xù)，點a為f(x)的丅點。取t>a,如果極限

lim?t?ba?tf(x)dx

b存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在(a,b]上的反常積分，仍然記作?a即

f(x)dx，?例題 討論反常積分baf(x)dx=

lim?t?ba?tf(x)dx

1?1?dxx的收斂性。21解：被積函數(shù)（fx）=x在積分區(qū)間[-1,1]上除x=0外連續(xù)，且由于

2limx?01x2??

?即反常積分

0dx?1x21?lim(?)?1???xx?0

?0dx?1x2發(fā)散，所以反常積分

?1dx?1x2發(fā)散

定積分?abf?x?dx的積分區(qū)間?a，b?是有限區(qū)間，又f?x?在?a，b?上是有界的，如果積分區(qū)間推廣到無窮區(qū)間或f?x?推廣到無界函數(shù)，就是兩種不同類型的反常積分：

1.無窮區(qū)間上的反常積分（1）概念 定義：?a??f?x?dx?lim?f?x?dxb???ab

f?x?dx??若極限存在，則稱反常積分?a??是收斂的，它的值就是極

是發(fā)散的，而發(fā)散的限值；若極限不存在，則稱反常積分?反常積分沒有值的概念.af?x?dx??b??f?x?dx?lim?f?x?dxa???ab

??同樣有收斂和發(fā)散的概念，收斂的反常積分有值的概念.????f?x?dx??f?x?dx????ccf?x?dx

?lim?f?x?dx?lim?f?x?dxa???ab???ccb

同樣有收斂和發(fā)散的概念，收斂的反常積分有值的概念，值得注意：判斷?要求???c????f?x?dx的收斂性不能用

f?x?dxR????Rlim?Rf?x?dx的極限存在性.必須

??f?x?dx和?c??兩個反常積分都收斂，才能知道?????f?x?dx是收斂的，但是如果已經(jīng)知道?么計算R?????RlimR??f?x?dx是收斂的，而求它的值，那f?x?dx是可以的.（2）常用公式 ???11??, p?1收斂，dx?p?1?xp?? p?1發(fā)散，dx?x(lnx)p?1?????e1??, p?1收斂，du??p?1up?? p?1發(fā)散，???a?收斂(?＞0）xke??xdx??發(fā)散(??0），(k?0）

2.無界函數(shù)的反常積分（瑕積分）（1）概念： ①設baf?x?limf?x????[a，b)x?b在內(nèi)連續(xù)，且，則稱b為f?x?的瑕點，b???o?af?x?dx?lim???定義

f?x?dx

b若極限存在，則稱反常積分?a若極限不存在，則稱反常積分?a的概念.②設f?x?bbf?x?dx收斂，且它的值就是極限值.f?x?dx發(fā)散，發(fā)散的反常積分沒有值

lim?f?x???(a，b]x在內(nèi)連續(xù)，且?a，則稱a為f?x?的瑕點，b?0?a??f?x?dx?lim???定義af?x?dx

b若極限存在，則稱反常積分?abf?x?dx收斂，且它的值就是極限值，f?x?dx?若極限不存在，則稱反常積分發(fā)散，它沒有值.a③設的瑕點，f?x?limf?x???[a，c)(c，b]在和皆連續(xù)，且x?C，則稱c為f?x?定義cbC??1ac?baf?x?dx??f?x?dx??f?x?dx?lim???1?0af?x?dx?lim???2?0bC??2f?x?dx

(值得注意：這里判別收斂性時，?1和?2要獨立地取極限，不能都???0用來代替)

f?x?dx?若上面兩個極限都存在時才稱反常積分是收斂的，否則

ab反常積分?abf?x?dx發(fā)散.dx?收斂(q＜1時）?0xq??發(fā)散(q?1時）1（2）常用公式：1

1dxdxq?q?0x?1）類似地考慮（和?1x

最后指出：由于反常積分是變限積分的極限，因此原則上由定積分的運算法則和極限的運算法則就可以得到反常積分的運算法則.(乙)典型例題

一、用常規(guī)方法計算定積分 【例1】 求下列定積分（1）?0（3）?02?x2cosxdx（2）?0

2?23xarctanxdx

ln2ex?1dx2?解（1）?02?xcosxdx=?xdsinx?xsinx0?2?xsinxdx002?2?222?2?

＝2?xdcosx?2xcosx0?2?cosxdx00 ＝4??2sinx0?4?2?

（2）?3013x213x232xarctanxdx??arctanxdx?arctanx0??dx2002221?x

313?1?arctan3???1?dx2?02?1?x? ＝2?＝2?12?3?arctanx03???2?31?2?3???22332

（3）令dx?ex?1?t,x?ln?t2?1?

2tdt,x?02t?1時t?0；x?ln2時，t?1

于是?ln201?2t21?e?1dx??2dt?2??1?dt2?0t?10?1?t? x11???2[t?arctant]0?2?1???4? ＝【例2】 計算下列定積分（分段函數(shù)）（1）??1（3）??231x2?3xdx（2）

0?e1elnxdx

min?1,x2?dx1解（1）??1（2）＝x2?3xdx??1?1?x2?3x?dx???x2?3x?dx?30e11

?e1elnxdx??1??lnx?dx??lnxdxe

??xlnx?x?1??xlnx?x?1?2??1?1ee?1??e?

3（3）?3?2min?1,x2?dx??dx??x2dx??dx??2?11?11113

二、用特殊方法計算定積分 【例1】 計算下列定積分

?（1）I??20f(sinx)dxf(sinx)?f(cosx)

（f為連續(xù)函數(shù)，f(sinx)?f(cosx)?0）

?（2）I??4ln(1?tanx)dx0

解（1）令?x=p-t2，則

I??20?f(cost)??dt,2I??2dt?,I?0f(cost)?f(sint)24

（2）令0x=p-t4，則

?2?1?tant?4I???ln?1?d(?t)?lndt??01?tant1?tant??4

?＝4ln2?I,2I??4ln2,I??8ln2

f?x??lnx??f?x?dx1e【例2】 設連續(xù)函數(shù)f?x?滿足e，求?1ef?x?dx

解 f?x?dx?A?令，則f?x??lnx?A，1兩邊從1到e進行積分，得

?e1f?x?dx??lnxdx??Adx?(xlnx?x)1?A(e?1)11eee

于是

A?e?(e?1)?A(e?1),eA?1,A?e1e

則

?1f?x?dx?1e

三、遞推公式形式的定積分 【例1】

設

In??sinnxdx?n?01，2，?2?0

求證當n?2時，求In 解

（1）

In?n?1In?2n

In??sin2?n?10xd??cosx???sin?2n?1xcosx??cosxd?sinn?1x?22??00

??n?1??cosxsin20n?2xdx??n?1???1?sin2x?sinn?2xdx2?0

??n?1?In?2??n?1?In

nIn??n?1?In?2?2，則

?2In?n?1In?2?n?2?n

?2（2）I0??dx?0，I1??sinxdx?10

當n?2k，正偶數(shù)時，In?I2k?2k?12k?12k?3I2k?2?　　2k2k2k?21　I02

2k?!?2k?!????　　?2k　　22k22?k!?2?2k!?

2I13 當n?2k?1，正奇數(shù)時，In?I2k?1?2k2k2k?2I2k?1?　　2k?12k?12k?122k!???k22k?k!?　?　?2k?1?!?2k?1?!2

2【例2】 設

Jn??cosnxdx?n?01，2，?0?，2，?，求證：Jn?In?n?01

????2x??t，Jn???cos??t?d??t???sinntdt022?2?證

令

?0n1，2，??n?0，則

Jn?In 【例3】 設求證：Kn?Kn??tan2nxdx ?n?1，2，3，4?0?

1?Kn?12n?1

2，3，??n?1，求Kn

解（1）Kn??tan4?2?n?1?0x?sec2x?1?dxxdtanx?Kn?1

（2）??tan4?2?n?1?0

??41?Kn?12n?1

2?42K1??tanxdx?　secx?1?dx??00

4??tanx?x? ?1?40

，??

1???1?1????K2???1??，K3?????1???3?4?5?3?4??

當n?3，正整數(shù)時

Kn???1?n?4???1?n?1k?1n??1????1???2k?1???k?2?

四、重積分

（一）二重積分的性質(zhì)與概念

定義：設D是錯誤！未找到引用源。面上的有界閉區(qū)域，錯誤！未找到引用源。在D上有界，將區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。既表示第i個小閉區(qū)域又表示它的面積，在每個小區(qū)域錯誤！未找到引用源。上任意取一點錯誤！未找到引用源。，作n個乘積錯誤！未找到引用源。，然后作和式

記錯誤！未找到引用源。，如當錯誤！未找到引用源。時，以上和式有確定的極限，則稱該極限為錯誤！未找到引用源。在區(qū)域D上的二重積分，記作錯誤！未找到引用源。或錯誤！未找到引用源。，即

其中錯誤！未找到引用源。稱為被積函數(shù)，錯誤！未找到引用源。稱為被積表達式，錯誤！未找到引用源。稱為面積元素，錯誤！未找到引用源。稱為積分變量，D稱為積分區(qū)域，錯誤！未找到引用源。稱為積分和式 幾何意義

當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。等于以區(qū)域D為底，曲面錯誤！未找到引用源。為頂?shù)那斨w體積；

當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。等于以上所說的曲頂柱體體積的相反數(shù)；

當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。等于區(qū)域D的面積。

1.二重積分的性質(zhì)

存在性：若錯誤！未找到引用源。在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則錯誤！未找到引用源。存在 線性性質(zhì)：

區(qū)域可加性

設錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，且錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。只在它們的邊界上相交，則：

有序性

若在區(qū)域D上錯誤！未找到引用源。，則有：

特殊地，有

估值不等式

設錯誤！未找到引用源。在區(qū)域D上有最大值M，最小值m，錯誤！未找到引用源。是D的面積，則有：

積分中值定理

設函數(shù)錯誤！未找到引用源。在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，錯誤！未找到引用源。是D的面積，則至少存在一點錯誤！未找到引用源。，使

錯誤！未找到引用源。

例1 試用二重積分表示極限錯誤！未找到引用源。.解：錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.例2 估計錯誤！未找到引用源。的值，其中錯誤！未找到引用源。解：因為錯誤！未找到引用源。，積分區(qū)域錯誤！未找到引用源。，在D上錯誤！未找到引用源。的最大值錯誤！未找到引用源。，最小值錯誤！未找到引用源。，故:

（二）二重積分的計算

（一）直角坐標系 X型區(qū)域

將區(qū)域D投影到x軸上，投影區(qū)間為錯誤！未找到引用源。，D的邊界上下兩條曲線錯誤！未找到引用源。，則D表示為：

y型區(qū)域

將區(qū)域D投影到y(tǒng)軸上，投影區(qū)間為錯誤！未找到引用源。，D的邊界上下兩條曲線錯誤！未找到引用源。，則D表示為：

例1 計算所圍成的閉區(qū)域。解：，其中D是由直線錯誤！未找到引用源。

（三）二重積分的計算

（二）極坐標系

極點在D外，則D:

極點在D的邊界上，則D:

極點在D內(nèi)：

例1 計算錯誤！未找到引用源。，其中D為由圓錯誤！未找到引用源。及直線錯誤！未找到引用源。所圍成的平面閉區(qū)域 解： 因為

所以

五、曲面和曲線積分

（一）對弧長的曲線積分（又稱第一類曲線積分）

1、定義

nn? Lf(x,y)ds?lim??0?f(?,?)?s，?iiii?1 ?f(x,y,z)ds?lim?f(?i,?i,?i)?si

??0i?

12、物理意義 線密度為?(x,y)的曲線L質(zhì)量為M?? L?(x,y)ds

線密度為f(x,y,z)的曲線?質(zhì)量為M?? ?f(x,y,z)ds

3、幾何意義 曲線L的弧長s?? Lds，曲線?的弧長s?? ?ds

4、若L：f(x,y)?k（常數(shù)），則? Lf(x,y)ds?? Lkds?k? Lds?ks

5、計算（上限大于下限）（1）? ?L:x??(t),y??(t),22 ???t???X，則? Lf(x,y)ds??f??(t),?(t)????(t)?????(t)?dt

（2）L：y??(x)（3）L：x??(y)則?f(x,y(x0?x?X)，)ds??[f,x(?)]x1Lx0Y?(?)?2xdx

2??(?)y.dy

(y0?y?Y)，則?f(x,y)ds??f[?(),y]y1Ly0（4）?:x??(t),y??(t),z??(t).(??t??)，則 ??f(x,y,z)ds??f[?(t),?(t),?(t)]??2(t)???2(t)???2(t)dt??(???)

(二)、對坐標的曲線積分

1、定義

? LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?lim??0??P(?,?)?xiii?1ni?Q(?i,?i)?yi?

??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?lim??0??P(?,?,?iii?1ni)?xi?Q(?i,?i,?i)?yi?R(?i,?i,?i)?zi?

2、計算（下限對應起點，上限對應終點）（1）L:x??(t),y??(t),?t:????，則

?（LP(x,y)dx?Q(x,y)dy??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt

??2）baL：

y??(x)?t:x0?X??t:y0?Y?，則?LPdx?Qdy??{Px?[x?Q,x?x?(?xdx)

（3）dcL：

x??(y)，則?LPdx?Qdy??{P?y[y??y(?Q?y)ydy，（4）?:x??(t),y??(t),z??(t).(t:???)，則

??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz

??{P[?(t),?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t),?(t)]??(t)?R[?(t),?(t),?(t)]??(t)}dt

??

3、兩類曲線積分之間的聯(lián)系

?LPdx?Qdy??(Pcos??Qcos?)ds

L?(x,y),?(x,y)為有向曲線弧L上點(x,y)處的切線向量的方向角。其中，??Pdx?Qdy?Rdz??(Pcos??Qcos??Rcos?)ds，?其中?(x,y,z),?(x,y,z),?(x,y,z)為有向曲線弧?上點(x,y,z)處切向量的方向角。

(三)、格林公式及其應用

1、格林公式 個邊界曲線

2、平面上曲線積分與路徑無關的條件（D為單連通區(qū)域）??(D?Q?P?)dxdy??Pdx?Qdy 其中L是D的取正向的整L?x?y定理 設D是單連通閉區(qū)域，若P(x,y),Q(x,y)在D內(nèi)連續(xù)，且具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則以下四個條件等價：

(i)沿D內(nèi)任一按段光滑封閉曲線L，有?LPdx?Qdy?0；

(ii)對D內(nèi)任一光滑曲線L，曲線積分?LPdx?Qdy與路徑無關，只與L的起點和終點有關；(iii)Pdx?Qdy是D內(nèi)某一函數(shù)u(x,y)的全微分，即在D內(nèi)有du?Pdx?Qd；y

(iv)在D內(nèi)處處成立

注 若(x,y)(x0,y0)?P?Q? ?y?x?P?Q?x?D?y?x 則

Pdx?Qdy的全微分u(x,y)??P(x,y)dx?Q(x,y)dy：

xyx0y0u(x,y)??P(x,y0)dx??Q(x,y)dyu(x,y)??Q(x0,y)dy??P(x,y)dx

y0x0yx

或

(四)、對面積的曲面積分

1、定義

?f(?,?,?)?S ??f(x,y,z)dS?lim???0iiiii?1n2、物理意義： ??f(x,y,z)dS表示面密度為f(x,y,z)的光滑曲面?的質(zhì)量。?

3、幾何意義

曲面?的面積S???dS

?

4、若?：f(x,y,z)?k（常數(shù)），則??f(x,y,z)dS=??kdS=k??dS=kS

???

5、計算（一投、二代、三換元）（S1）D?:z?z(x,y)，(x,y)?Dxy，則

??f(x,y,z)dS???f(x,y,z(x,y))（2）Dxz221?zx?zydxdy

?:y?y(x,z)22，(x,z)?Dxz，則???f(x,y,z)dS????f[x,y(x,z),z]1?y?;x?yzdxdz?：x?x(y,z)（?3）Dyz，(y,z)?Dyz，則??f(x,y,z)dS???f[x(y,z),y,z]2?21?x?y?xzdydz。(五)、對坐標的曲面積分

1、定義

?R(?,?,?)(?S)??R(x,y,z)dxdy?lim???0iiii?1nixy

?P(?,?,?)(?S)??P(x,y,z)dydz?lim???0iiiii?1nyz?Q(?,?,?)(?S)??Q(x,y,z)dzdx?lim???0iiiizxi?1n2、物理意義

流量????P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy。

?????P(x,y,z)cos??Q(x,y,z)cos??R(x,y,z)cos??dS????vdS

?

3、計算（一投、二代、三定號）

?:z?z(x,y)，（1）則??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy（上(x,y)?Dxy，?Dxy側(cè)取正，下側(cè)取負）

（2）則??P(x,y,z)dydz????P[x(y,z),y,z]dydz（前(x,z)?Dxz，?:x?x(y,z)，?Dyz側(cè)取正，后側(cè)取負）

（3）?:y?y(z,x)(y,z)?Dyz，則??Q(x,y,z)dzdx????Q[x,y(z,x),z]dzdx（右

?Dzx側(cè)取正，左側(cè)取負）

4、兩類曲面積分之間的聯(lián)系

??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)dS，??dS?dydzdzdxdxdy?? cos?cos?cos?其中cos?,cos?,cos?為有向曲面Σ上點(x,y,z)處的法向量的方向余弦(六)、高斯公式

1、高斯公式

?P?Q?R??)dv???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)dS ?x?y?z?????(??,?,?是?上點(x,y,z)處的法向量其中?為?的整個邊界曲面的外側(cè)，的方向角。

????

2、通量 向量場A?Pi?Qj?Rk，沿場中有向曲面Σ????0????A?dS???A?ndS???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy ?稱為向量場A(x,y,z)向正側(cè)穿過曲面Σ的通量 ??????P?Q?R????

3、散度 設A?Pi?Qj?Rk，則divA??

?x?y?z(七)、斯托克斯公式

1、Stokes公式

dydzdzdxdxdy?????x?y?zPQRcos???xPcos???yQ?????(??R?Q?P?R?Q?P?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy ?y?z?z?x?x?y=???cos???R?Q??Q?P?P?R??)cos??(?)cos??(?)cos??dSds=???(?y?z?z?x?x?y?z???R??Pdx?Qdy?Rdz

?其中有向曲線?是有向曲面?的整個邊界，且滿足右手系法則

2、環(huán)流量 向量場A?Pi?Qj?Rk沿場A中某一封閉的有向曲線C上的曲線積分???????CA?ds??CPdx?Qdy?Rdz稱為向量場A沿曲線C按所取

ij??yQk??dS ?zR方向的環(huán)流量。環(huán)流量??i?

3、旋度

向量?xPj??yQ?CA?ds??????xPk?????為向量場A?Pi?Qj?Rk的旋度(rotA)。?zRi?旋度

rotA??xPj??yQk??R?Q??P?R??Q?P??(?)i?(?)j?(?)k.?z?y?z?z?x?x?yR

第四篇：高數(shù)積分總結(jié)

第四章 一元函數(shù)的積分及其應用

第一節(jié) 不定積分

一、原函數(shù)與不定積分的概念

定義1.設f(x)是定義在某區(qū)間的已知函數(shù)，若存在函數(shù)F(x)，使得F?(x)或dF?f(x)(x)?f(x)dx,則稱F(x)為f(x)的一個原函數(shù)

定義2.函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)F(x)?C叫做f(x)的不定積分，記為:

?f(x)dx?F(x)?C

f(x)叫做被積函數(shù) f(x)dx叫做被積表達式 C叫做積分常數(shù)

“?其中

”叫做積分號

二、不定積分的性質(zhì)和基本積分公式

性質(zhì)1.不定積分的導數(shù)等于被積函數(shù)，不定積分的微分等于被積表達式，即

?f(x)dx??f(x)；d?f(x)dx?f(x)dx.?性質(zhì)2.函數(shù)的導數(shù)或微分的不定積分等于該函數(shù)加上一個任意函數(shù)，即

??f?(x)dx?f(x)?C,或?df(x)?f(x)?C

性質(zhì)3.非零的常數(shù)因子可以由積分號內(nèi)提出來，即

?kf(x)dx?k?f(x)dx(k?0).性質(zhì)4.兩個函數(shù)的代數(shù)和的不定積分等于每個函數(shù)不定積分的代數(shù)和，即

??f(x)?g(x)?dx??f(x)dx??g(x)dx

基本積分公式(1)?kdx?kx?C(k為常數(shù))(2)?x?dx?1??1x??1?C(???1)1(3)?dx?lnx?C x

(4)?exdx?ex?C(6)?cosxdx?sinx?C(8)?sec2xdx?tanx?C(10)?secxtanxdx?secx?C(12)?secxdx?lnsecx?tanx?C(14)?(16)?11?x11?x2(5)?axdx?axlna?C(7)?sinxdx??cosx?C(9)?csc2xdx??cotx?C

(11)?cscxcotxdx??cscx?C

(13)?cscxdx?lncscx?cotx?C(15)? 11?x22dx?arctanx?C dx?arcsinx?C dx?arcsinx?C

三、換元積分法和分部積分法

定理1.設?(x)可導，并且f(u)du?F(u)?C.則有

??f[?(x)]??(x)dxF(u)?C湊微分?f[?(x)]d?(x)令u??(x)

?f(u)du代回u??(x)F(?(x))?C該方法叫第一換元積分法(integration by substitution)，也稱湊微分法． 定理2.設x數(shù)F??(t)是可微函數(shù)且??(t)?0，若f(?(t))??(t)具有原函(t)，則

x???t?換元?f?x?dx ?f????t??????t?dt積分F?t??Ct???1?x?回代?1F???x?????C.該方法叫第二換元積分法

選取u及v?(或dv)的原則:

1)v 容易求得;2)?u?vdx比?uv?dx

解題技巧: 選取u及v?的一般方法:

把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積 ,按 “ 反對冪指三” 的順序，第二節(jié) 定積分概念

一、原函數(shù)與不定積分的概念

二、定積分的定義和存在定理

三、定積分的幾何意義與定積分的性質(zhì) 1．定積分的幾何意義 2.定積分的性質(zhì)

性質(zhì)1.?b[f(x)?g(x)]dx?bf(x)dx??bg(x)dx

?aaa性質(zhì)2.b?akf(x)dx?k?af(x)dx

(k是常數(shù)).前者為u后者為v?..b性質(zhì)3.性質(zhì)4.??af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx.babcbf(x)dx??adx?b?a.b f(x)dx??af(x)dx?abb推論1.如果在[a,b] 上，f(x)?g(x),則bf(x)dx?bg(x)dx(a

(a?b).性質(zhì)6.設M與m分別是函數(shù)

f(x)在[a,b]上的最大值及最小值，則

m(b?a)??abf(x)dx?M(b?a)(a?b).性質(zhì)7.(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]]上至少存在一點?，使下式成立：

?af(x)dx?f(?)(b?a)(ab???b)

可積的充分條件:

定理1.函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]可積.定理2.函數(shù)f(x)在[a,b]上有界,且只有有限個間斷點，則f(x)在[a,b]可積.第三節(jié) 微積分基本公式

一、微積分基本公式 1.變上限函數(shù)

定義1.設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則它在[a,b]任意一個子區(qū)間[a,x]上可積，則

?(x)?xf(t)dx

(a?x?b)

?a是上限變量的函數(shù)，稱此函數(shù)為積分上限函數(shù)，也稱為變上限函數(shù).2.微積分基本公式

定理2.bf(x)dx?F(b)?F(a)x?a

1.定積分的換元積分法

定理3.bf(x)dx??f??(t)???(t)dt ???a

注：設f(x)在[?a,a]上連續(xù),證明

(1)若f(x)在[?a,a]為偶函數(shù)，則 af(x)dx=2af(x)dx；

??a?0(2)若f(x)在[?a,a]上為奇函數(shù)，則 af(x)dx=0.??a2.定積分的分部積分法

定理4.budv?[uv]b?bvdu ?aa?a 第四節(jié)

定積分的應用（這點跟高中無異，于是乎就偷懶了=v=~）

一、定積分的微元法 其實質(zhì)是找出A的微元dA的微分表達式.b

二、定積分在幾何中的應用 1.平面圖形的面積 A??af(x)dx.2.旋轉(zhuǎn)體的體積V?bA(x)dx ?a

三、定積分在物理上的應用 1.變力做功W?bF(x)dx

?a2.液體靜壓F?bg?xf(x)dx ?a

四、定積分在醫(yī)學上的應用

第五篇：高數(shù)下冊總結(jié)

篇一：高數(shù)下冊總結(jié)

高數(shù)（下）小結(jié)

一、微分方程復習要點

解微分方程時，先要判斷一下方程是屬于什么類型，然后按所屬類型的相應解法 求出其通解.一階微分方程的解法小結(jié)：

二階微分方程的解法小結(jié)：

非齊次方程y???py??qy?f(x)的特解y?

主要: 量方程、線性微分方程的求解；

2、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解；

二、多元函數(shù)微分學復習要點

1、顯函數(shù)的偏導數(shù)的求法 在求

?z?x 量，對x求導，在求

?z?y 量，對y求導，所運

求導法則與求導公式.2數(shù)的求法

u???x,y?，v???x,y?，則

?z?x ?z?u ?u?x ?z?v ?v?x ?z?y ? 的形式為：

一階

1、可分離變、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解

一、偏導數(shù)的求法 時，應將y看作常時，應將x看作常用的是一元函數(shù)的、復合函數(shù)的偏導設z?f?u,v?，3 ?z?u ? ?u?y ? ?z?v ? ?v?y 幾種特殊情況：

1u???x?，v???x?，則2）z?f?x,v?，v???x,y?，則

?z?x dzdx???f?vdzdu???u?x ??z?v ?dvdx ?v?y ? ?f?x ?v?x ?z?y ? ?f?u ? 3則

3、隱函數(shù)求偏導數(shù)的求法 1）一個方程的情況

?z?x ? dzdu ? ?u?x ?z?y ? dzdu ? ?u?y 設z?z?x,y?是由方程f?x,y,z??0唯一確定的隱函數(shù)，則

?z?x fxfz ??）z?f?u,v?，）z?f?u?，u???x,y?，?fz ?0?，?z?y ?? fyfz ?fz ?0? 或者視z?z?x,y?，由方程f?x,y,z??0兩邊同時對x(或y)求導解出

2）方程組的情況 ?z?x(或 ?z?y).?f?x,y,u,v??0?z?z)即可.由方程組?兩邊同時對x(或y)求導解出(或

?x?y??gx,y,u,v?0?

二、全微分的求法 方法1：利用公式du? ?u?x dx? ?u?y dy? ?u?z dz 方法2：直接兩邊同時求微分，解出du即可.其中要注意應用微分形式的不變性：

??z du???u? dz?? ?z?dx??x?? ?z?v?z?y dv dy

三、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法

?x???t? ? 1）設空間曲線г的參數(shù)方程為 ?y???t?，則當t?t0時，在曲線上對應點 ?z???t??p0?x0,y0 ? ,z0?處的切線方向向量為t???t0?,? ?

?t0?,??t0??，切線方程為

x?x0 ??t0? ? y?y0 ? ?t0? ? z?z0 ? ?t0?

法平面方程為 ??t0??x?x0t0??y?y0t0??z?z0??0 2）若曲面?的方程為f? x,y,z??0，則在點p0?x0,y0,z0?處的法向量

?n? ?f x ,fy,fz ? p0，切平面方程為

fx?x0,y0,z0??x?x0??fy?x0,y0,z0??y?y0??fz?x0,y0,z0??z?z0??0 法線方程為 x?x0 fx?x0,y0,z0? ? y?y0 fy?x0,y0,z0? ? z?z0 fz?x0,y0,z0? 若曲面?的方程為z?f?x,y?，則在點p0?x0,y0,z0?處的法向量

? n??fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1?，切平面方程為

fx?x0,y0??x?x0??fy?x0,y0??y?y0???z?z0??0 法線方程為

x?x0fx?x0,y0? ? y?y0fy?x0,y0? ?z?z0?1

四、多元函數(shù)極值（最值）的求法 1 無條件極值的求法

在點p0?x0,y0?的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，由fx?x,y??0，fy ?x,y??0點? x0,y0 ? a?fxx ?x0 ,y0 ? b?fxy ?x0 ,y0 ? c?fyy ?x0,y0?.2 c?b1 ?x ,y?取得極值，且當a?0時有極大值，當a?0 2則f?x,y?在點?x0,y0?處無極值.3）若ac?b 2 ?0 ?x ,y?是否取得極值.設函數(shù)z?f?x,y?，解出駐，記，）若a?0，則f 在點?x0,y0?處時有極小值.）若ac?b2?0，不能判定f 在點?x0,y0?處 2 條件極值的求法

函數(shù)z?f?x,y?在滿足條件??x,y??0下極值的方法如下：

1）化為無條件極值：若能從條件??x,y??0解出y代入f?x,y?中，則使函數(shù)z?z(x,y)成為一元函數(shù)無條件的極值問題.2）拉格朗日乘數(shù)法

作輔助函數(shù)f?x,y??f?x,y?x,y?，其中?為參數(shù)，解方程組

篇二：高數(shù)下冊總結(jié)(同濟第六版)高數(shù)（下）小結(jié)

一、微分方程復習要點

解微分方程時，先要判斷一下方程是屬于什么類型，然后按所屬類型的相應解法 求出其通解.一階微分方程的解法小結(jié)：

二階微分方程的解法小結(jié)：

? 非齊次方程y???py??qy?f(x)的特解y的形式為：

主要: 一階

1、可分離變量方程、線性微分方程的求解；

2、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解；

3、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解

二、多元函數(shù)微分學復習要點

一、偏導數(shù)的求法

1、顯函數(shù)的偏導數(shù)的求法 在求

?z?z時，應將y看作常量，對x求導，在求時，應將x看作常量，對y求導，所運?x?y 用的是一元函數(shù)的求導法則與求導公式.2、復合函數(shù)的偏導數(shù)的求法

設z?f?u,v?，u???x,y?，v???x,y?，則

?z?z?u?z?v?z?z?u?z?v，?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y 幾種特殊情況： 1）z?f?u,v?，u???x?，v???x?，則2）z?f dzdz?u?zdv dxdu?x?vdx?f?v ?x,v?則?x??x??v??x，?z?f ?z?f?v?? ?y?u?y 3則

3、隱函數(shù)求偏導數(shù)的求法 1）一個方程的情況

?zdz?u?zdz?u，?xdu?x?ydu?y 方程f?x,y,z??0唯一確定的隱函數(shù)，則

f?z ??x ?xfz ?fz ?z ?0? ?y fyfz ?fz ?0? 或者視z?z?x,y?，由方程f?x,y,z??0兩邊同時對x(或y)求導解出 2由方程組? ?z?z(?f?x,y,u,v??0?z?z 求導解出(或)即可.?x?y?g?x,y,u,v??0 方法1：利用公式du? ?u?u?u，v???x,y?，）z?f?u?，u???x,y?設z?z?x,y?是由，??）方程組的情況 或).?x?y 兩邊同時對x(或y)

二、全微分的求法 dx?dy?dz ?x?y?z 方法2：直接兩邊同時求微分，解出du即可.其中要注意應用微分形式的不變性：

?z??z du?dv??v??u dz?? ?z?z?dx?dy ?y???x

三、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法

?x???t? ? 1）設空間曲線г的參數(shù)方程為 ?y???t?，則當t?t0時，在曲線上對應點

?z???t?? ? p0?x0,y0,z0?處的切線方向向量為t???t0?,??t0?,??t0?，切線方程為

?? x?x0y?y0z?z0 ?? ?t0?t0?t0法平面方程為 ??t0??x?x0t0??y?y0t0??z?z0??0 2）若曲面?的方程為f?x,y,z??0，則在點p0?x0,y0,z0?處的法向量

? n??fx,fy,fz? p0，切平面方程為

fx?x0,y0,z0??x?x0??fy?x0,y0,z0??y?y0??fz?x0,y0,z0??z?z0??0 法線方程為

x?x0y?y0z?z0 ?? fxx0,y0,z0fyx0,y0,z0fzx0,y0,z0 若曲面?的方程為z?f?x,y?，則在點p0?x0,y0,z0?處的法向量

? n??fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1?，切平面方程為

fx?x0,y0??x?x0??fy?x0,y0??y?y0???z?z0??0 法線方程為

x?x0y?y0z?z0 ?? fxx0,y0fyx0,y0?1

四、多元函數(shù)極值（最值）的求法 1 無條件極值的求法

設函數(shù)z?f?x,y?在點p0?x0,y0?的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，由fx?x,y??0，fy?x,y??0，解出駐點?x0,y0?，記a?fxx?x0,y0?，b?fxy?x0,y0?，c?fyy?x0,y0?.c?b1）若a 時有極小值.2）若ac?b2?0，則f?x,y?在點?x0,y0?處無極值.3）若ac?b?0，不能判定f?x,y?在點?x0,y0?處是否取得極值.2 2 ?0，則f?x,y?在點?x0,y0?處取得極值，且當a?0時有極大值，當a?0 2 條件極值的求法

函數(shù)z?f?x,y?在滿足條件??x,y??0下極值的方法如下：

1）化為無條件極值：若能從條件??x,y??0解出y代入f?x,y?中，則使函數(shù)z?z(x,y)成為一元函數(shù)無條件的極值問題.2）拉格朗日乘數(shù)法

作輔助函數(shù)f?x,y??f?x,y?x,y?，其中?為參數(shù)，解方程組 篇三：高數(shù)下冊公式總結(jié)

第八章 向量與解析幾何

第十章 重積分

第十一章曲線積分與曲面積分

篇四：高數(shù)下冊積分方法總結(jié)

積分方法大盤點

現(xiàn)把我們學了的積分方法做個大總結(jié)。

1、二重積分

1.1 x型區(qū)域上二重積分（必須的基本方法）

（1）后x先y積分，d往x軸上的投影得區(qū)間[a,b]；（2）x [a,b]，x=x截d得截線y1(x)＃yy2(x)（小y邊界y=y1(x)大y邊界y=y2(x)）；

（3）b y(x)蝌f(x,y)dxdy= 蝌dx 2f(x,y)dya yd 1(x)1.2 y型區(qū)域上二重積分（必須的基本方法）

（1）后y先x積分，d往y軸上的投影得區(qū)間[c,d]；（2）y [c,d]，y=y截d得截線x1(y)＃xx2(y)（小x邊界x=x1(y)大x邊界x=x2(y)）；

（3）d x蝌f(x,y)dxdy= 蝌dy 2(y)f(x,y)dxc x d 1(y)1.2 極坐標二重積分（為簡單的方法）

（1）總是后q先r積分；（2）b r蝌f(x,y)ds= 蝌dq 2(q)f(rcosq,rsinq)rdra r(q)d 1其中，在d上a是最小的q，b是最大的q；q [a,b]，射線q=q截d得截線r1(q)＃r r2(q)（小r邊界r=r1(q)大r邊界r=r2(q)）。用坐標關系

x=rcosq，y=rsinq和面積元素ds=dxdy=rdqdr代入（多一個因子r）。

當積分區(qū)域d的邊界有圓弧，或被積函數(shù)有x2+y2 時，用極坐標計算二重

積分特別簡單。

離 散

數(shù) 學

2、三重積分 2.1 二套一方法（必須的基本方法）（1）幾何準備

(i)將積分區(qū)域w投影到xoy面，得投影區(qū)域dxy；

(ii)以dxy的邊界曲線為準線，作一個母線平行于z軸的柱面．柱面將閉區(qū)域w的邊界曲面分割為上、下兩片曲面s2:z=z2(x,y（）大z邊界）；

s 1 :z=z1(x,y（）小z邊界）

（(x,y)dxy，過(x,y)點平行于z軸的直線截w得截線z1(x,y)＃z z2(x,y)）

；（2）z蝌蝌 f(x,y,z)dxdydz=蝌

dxdy2(x,y)f(x,y,z)dzz。

w d1(x,y)xy 還有兩種（w往xoz或yoz面投影）類似的二套一方法（舉一反三）。2.2 一套二方法（為簡單的方法）（1）幾何準備

(i)把w往z投影得輊犏臌 c,d；(ii)任意給定z?輊犏臌

c,d，用平面z=z截w得截面（與z有關）dz；（2）d蝌蝌

f(x,y,z)dxdydz=dz f(x,y,z)dxdy，c 蝌 w dz 還有兩種（w往x或y軸投影）類似的一套二方法（舉一反三）。2.3 柱面坐標計算三重積分（為簡單的方法）

（1）把積分寫成二套一zx,y)蝌蝌

f(x,y,z)dxdydz=蝌

dxdy2(f(x,y,z)dzz,y)w d1(xxy（2）用極坐標計算外層的二重積分

z蝌蝌f(x,y,z)dv= 蝌

dxdy2(x,y)f(x,y,z)dz zw d1(x,y)xyb r2(q)zrcosq,rsinq)= 蝌dqrdr f(rcosq,rsinq,z)dz a r 2(1(q)z 1(rcosq,rsinq)（注意：里層的上下限也要用x=rcosq，y=rsinq代入）。（當用極坐標計算

外層二重積分簡單時。）

還有兩種（w往xoz或yoz面投影的二套一）類似的極坐標計算方法（舉

第1章

集 合

離 散

數(shù) 學

2.3 三重積分（為簡單的方法）

x=rcosqsinjy,=rsiqn sjinz=,r jc dv=dxdydz=r 2 sinjdrdqdj個因子r 2 sinj

蝌

f(rcosqsinj,rsinqsinj,rcosj)r 2 sinjdrdqdj w w 下限變成三次積分（總是先r后j最后q積分）

f(x,y,z)dvw b jr dq2(q)dj 2(q,j)

一反三）。

球面坐標計算（1）用坐標關系和o體積元素（多一）代入

蝌蝌f(x,y,z)dv=；（2）三種情況定上蝌

=蝌f(rcosqsinj,rsinqsinj,rcosj)r 2 sinjdr a j 1(q)r 1(q,j)當w是課堂講的三種情況或被積函數(shù)有x2+y2+z2時用球面坐標計算簡單。第1章

集 合

3曲線積分 3.1平面情形

（1）準備 ?l:?x=x(t), ?y=y(t)(t?[a,b])ds=

；

?? ,f(x,y)ds= f(x(t),y(tt l a l:?l:y=y(x)(x [a,b])時用x作?í

x=x ?(x?[a,b])當??y=y(x)ì?l:x= x(y)(y [c,數(shù)l:?í

x=x(y)??? y=y(y?[c,d])3.2 空間情形

、第一類對弧長的ì

í，（2）代入b蝌。ì

當參數(shù)；時用d]y作參。ì??x=x(t)

（1）準備 l:? ? íy=y(t)(t [a,b? ])，ds=

；

z=z(t)蝌f(x,y,z)ds= f(x(t),y(t),z(tt l a y=y(x)??x=x ?(x?[a,b])作參數(shù)l:?x)x(ab[,；??z=z(x)í?y=y(] ?? z=z(x)l:?? x=x(y)?z=z(y(y?[c,d])時用y作參數(shù)

l:??)? y=y(y [c,d])z=z(y)ì?x=x(??x=x(z)l:? z)?(z?[c,d])作參數(shù)l:??í?? y=y(z)? y=y(z)(z [c,d])。z=z 間的特例。

篇五：高數(shù)下冊復習知識點總結(jié)

下冊復習知識點總結(jié)：

（2）代入b。ìì 當l:???í時用x當?? ìì??x=x(y)í í?? ；當 ìí 時用z平面是空高數(shù) 8空間解析幾乎與向量代數(shù)

1.給定向量的坐標表達式，如何表示單位向量、方向數(shù)與方向余弦、投影。

2.向量的數(shù)量積、向量積的定義式與坐標式，掌握兩個向量垂直和平行的條件。3.了解常用二次曲面的方程及其圖形，以坐標軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面方程?？臻g曲線在坐標平面上的投影方程。

4.平面方程和直線方程及其求法。

5.平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，利用平面、直線的相互關系（平行、垂直、相交等）解決有關問題。

6.點到直線以及點到平面的距離。

多元函數(shù)微分法及其應用

1.有關偏導數(shù)和全微分的求解方法，偏導要求求到二階。

2.復合函數(shù)的鏈式法則，隱函數(shù)求導公式和方法。

3.空間曲線的切線和法平面方程，空間曲面的切平面與法線方程；函數(shù)沿著一條直線的方向?qū)?shù)與梯度。4.利用充分條件判斷函數(shù)的極值問題；利用拉格朗日乘子法（即條件極值）分析實際問題或給定函數(shù)的最值問題。

重積分

1.二重積分直角坐標交換積分次序；選擇合適的坐標系計算二重積分。

2.選擇合適的坐標系計算三重積分。

3.利用二重積分計算曲面的面積；利用三重積分計算立體體積；

4.利用質(zhì)心和轉(zhuǎn)動慣量公式求解問題。

11曲面積分與曲線積分

1.兩類曲線積分的計算與聯(lián)系；

2.兩類曲面積分的計算與聯(lián)系；

3.格林公式和高斯公式的應用。