第一篇：2018考研高數(shù)定積分復(fù)習(xí)的三大要點(diǎn)

為學(xué)生引路，為學(xué)員服務(wù)

2018考研高數(shù)定積分復(fù)習(xí)的三大要點(diǎn)

2018考研初試時間臨近，積分是考研數(shù)學(xué)中非常重要的考點(diǎn)也是容易丟分的部分。本文就和考生來說說最后這段時間要怎么復(fù)習(xí)定積分。

我們可以看到：在學(xué)習(xí)定積分之前，我們首先學(xué)習(xí)了不定積分。很多同學(xué)把不定積分與定積分搞混淆。其實(shí)不定積分是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，本質(zhì)還是導(dǎo)數(shù)的延伸。而真正的積分部分是定積分。在此，向考生提出如下學(xué)習(xí)建議，供考生參考。

1.復(fù)習(xí)知識體系

在講定積分的時候，我又回歸到原來的講法：從知識體系講起。因?yàn)槎ǚe分這章非常重要，考試考查的內(nèi)容多而廣。這章包括：定積分的定義，性質(zhì);微積分基本定理;反常積分;定積分的應(yīng)用。這四個部分各有側(cè)重點(diǎn)。其中定積分的定義是重點(diǎn);要理解微積分基本定理;要掌握定積分在幾何和物理上面的應(yīng)用。至于反常積分大家了解就行了。

2.深刻回顧知識點(diǎn)

在掌握了知識體系之后，自然就需要明確具體的重點(diǎn)知識點(diǎn)了。首先是定積分的定義及性質(zhì)。大家需要深刻理解定積分的定義。我覺得同學(xué)們不僅要會用自己的話來表述定義，而且要一步一步的寫出精髓。比如說從定義中體現(xiàn)的思想：微元法。同學(xué)們要理解分割，近似，求和，取極限這四個步驟。同時要知道其幾何意義及定義中需要注意的方面。對定積分定義的考察在每年考研中是必考內(nèi)容。所以希望引起大家的足夠重視。至于性質(zhì)，大家關(guān)鍵也在于理解。特別是區(qū)間可加性;比較定理;積分中值定理。對這三個性質(zhì)大家一定要知道是怎么來的?？佳兄杏嘘P(guān)積分的證明題多多少少會用到這三個性質(zhì)。所以大家只有理解了才懂得在什么時候用。然后是微積分基本定理。這個知識點(diǎn)非常重要。因?yàn)樗x了一種新的函數(shù)：積分上限函數(shù)。而且在一定的條件下，它的導(dǎo)數(shù)就是f(x)。所以我們擴(kuò)展了函數(shù)類型。那么導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的切線與法

為學(xué)生引路，為學(xué)員服務(wù)

線;單調(diào)性;極值;凹凸性等應(yīng)用就可以與積分上限函數(shù)聯(lián)系了。同時提出了牛頓-萊布尼茨公式，使得我們可以用不定積分來計算定積分。希望同學(xué)們要掌握牛頓-萊布尼茨公式的證明過程。補(bǔ)充說一點(diǎn)：求定積分常用的方法是基本積分公式;換元積分法(湊微分法和換元積分法);分部積分法。其中換元積分法和分部積分法是重點(diǎn)。大家要理解換元積分法的思想。即我們通過復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式推出了湊微分法;通過三角代換，根式代換等提出了換元積分法。而我們通過相乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式推出了分部積分法。所以大家只有知道這些方法是怎么來的才能更好的使用這些方法。接著大家要注意變限積分求導(dǎo)了，最好請大家自己證明下。第三個要說的是反常積分。對這一部分，同學(xué)們了解基本定義，會用定積分判斷是否收斂就夠了。最后，是定積分的應(yīng)用。其實(shí)就是微元法在幾何以及物理上面的應(yīng)用。同樣的，同學(xué)們要知道數(shù)學(xué)一，數(shù)學(xué)二，數(shù)學(xué)三的區(qū)別。在幾何上，數(shù)學(xué)三只用掌握用定積分求面積和簡單幾何體的體積。而數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二還要求掌握用定積分求曲線弧長，旋轉(zhuǎn)曲面面積。在物理應(yīng)用方面，數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二主要掌握用定積分求變力沿直線做功，抽水做功，液太靜壓力和質(zhì)心問題。但核心是，同學(xué)們一定要掌握微元法的思想。

3.大量做題

在大家理解了重點(diǎn)知識以及明確了考試重點(diǎn)后就需要做題鞏固了。關(guān)鍵是做真題，反復(fù)做真題，反復(fù)練習(xí)。

總之，希望大家經(jīng)過這三個步驟能夠?qū)W號臨門一腳，祝大家成功

第二篇：高數(shù)復(fù)習(xí)要點(diǎn)

高數(shù)（上冊）期末復(fù)習(xí)要點(diǎn)

第一章：

1、極限（夾逼準(zhǔn)則）

2、連續(xù)（學(xué)會用定義證明一個函數(shù)連續(xù)，判斷間斷點(diǎn)類型）

第二章：

1、導(dǎo)數(shù)（學(xué)會用定義證明一個函數(shù)是否可導(dǎo)）注：連續(xù)不一定可導(dǎo)，可導(dǎo)一定連續(xù)

2、求導(dǎo)法則（背）

3、求導(dǎo)公式也可以是微分公式

第三章：

1、微分中值定理（一定要熟悉并靈活運(yùn)用--第一節(jié)）

2、洛必達(dá)法則

3、泰勒公式拉格朗日中值定理

4、曲線凹凸性、極值（高中學(xué)過，不需要過多復(fù)習(xí)）

5、曲率公式曲率半徑

第四章、第五章：積分

不定積分：

1、兩類換元法

2、分部積分法（注意加C）

定積分：

1、定義

2、反常積分

第六章： 定積分的應(yīng)用

主要有幾類：極坐標(biāo)、求做功、求面積、求體積、求弧長

第七章：向量問題不會有很難

1、方向余弦

2、向量積

3、空間直線（兩直線的夾角、線面夾角、求直線方程）

3、空間平面

4、空間旋轉(zhuǎn)面（柱面）

第三篇：考研高數(shù)復(fù)習(xí)大綱

一、函數(shù)、極限與連續(xù)

1.求分段函數(shù)的復(fù)合函數(shù)；

2.求極限或已知極限確定原式中的常數(shù)；

3.討論函數(shù)的連續(xù)性，判斷間斷點(diǎn)的類型；

4.無窮小階的比較；

5.討論連續(xù)函數(shù)在給定區(qū)間上零點(diǎn)的個數(shù)，或確定方程在給定區(qū)間上有無實(shí)根。

二、一元函數(shù)微分學(xué)

1.求給定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分（包括高階導(dǎo)數(shù)），隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)，特別是分段函數(shù)和帶有絕對值的函數(shù)可導(dǎo)性的討論；

2.利用洛比達(dá)法則求不定式極限；

3.討論函數(shù)極值，方程的根，證明函數(shù)不等式；

4.利用羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理證明有關(guān)命題，如證明在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)滿足……，此類問題證明經(jīng)常需要構(gòu)造輔助函數(shù)；

5.幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等方面的最大值、最小值應(yīng)用問題，解這類問題，主要是確定目標(biāo)函數(shù)和約束條件，判定所討論區(qū)間；

6.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)和描繪函數(shù)圖形，求曲線漸近線。

三、一元函數(shù)積分學(xué)

1.計算題：計算不定積分、定積分及廣義積分；

2.關(guān)于變上限積分的題：如求導(dǎo)、求極限等；

3.有關(guān)積分中值定理和積分性質(zhì)的證明題；

4.定積分應(yīng)用題：計算面積，旋轉(zhuǎn)體體積，平面曲線弧長，旋轉(zhuǎn)面面積，壓力，引力，變力作功等；

第四篇：高數(shù)(下)復(fù)習(xí)要點(diǎn)

高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)要點(diǎn)

（對經(jīng)管及文科類學(xué)生不要求帶“*”的內(nèi)容）

第七章

1、空間曲線在坐標(biāo)面的投影，P8，例5，P9,92、向量的模、方向角、方向余弦、單位化，P19，例7，P20,10.。

3、數(shù)量積、向量積。P27,84、平面方程、平面夾角，點(diǎn)到平面的距離。P35,3..5、空間直線及方程。P41,10

*

6、旋轉(zhuǎn)曲面P43，例2.第八章

*

1、二元函數(shù)極限不存在的證明P54，例7.2、求二元函數(shù)的極限P58, 5（2），（4），P56，例93、偏導(dǎo)計算。P80，例9，P82,14（2），P88,2（4），P89,7,8*（4）

4、全微分。P74,2。4（2）。

*5熟悉可微，可導(dǎo)，連續(xù)和極限存在之間的關(guān)系。P74（B）16、幾何應(yīng)用。P94例3.7、方向?qū)?shù)與梯度P100例4.8、條件極值P111,7.第九章

1、二重積分計算。P124例3，P133 4（4），8（2），P134,13（1）

2、曲面面積。P141,3.*

3、三重積分。P151,4（2）。

4、曲線積分。P166，1（6），3（2）。

5、格林公式,，與路徑無關(guān)的條件。P176,3（4），5（2）。*

6、曲面積分。P188,1（1），5（1）。

*

7、高斯公式。P194，1（4）。

第十章

1、收斂級數(shù)性質(zhì)。

2、正項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別。P211,2（8），3（6）。

3、交錯級數(shù)斂散性的判別。P211,5（4）

4、冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域。P221,1（5），2（3）

*

5、求和函數(shù)。P222,3（1），（3）。

*

6、展開為冪級數(shù)。P236，2（6）

*

7、傅里葉級數(shù)。P250,4

第五篇：高數(shù)積分總結(jié)

高數(shù)積分總結(jié)

一、不定積分

1、不定積分的概念也性質(zhì)

定義1：如果在區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)F（x）的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，即對任一x?I,都有

F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù)。定義2：在區(qū)間I上，函數(shù)f（x）的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為f（x）（或者f(x)dx）在區(qū)間I上的不定積分，記作

?f(x)dx。

性質(zhì)1：設(shè)函數(shù)f(x)及g(x)的原函數(shù)存在，則

?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx。

性質(zhì)2：設(shè)函數(shù)f(x)的原函數(shù)存在，k為非零常數(shù)，則

?kf(x)dx?k?f(x)dx。

2、換元積分法(1)第一類換元法：

定理1：設(shè)f(u)具有原函數(shù)，???(x)可導(dǎo)，則有換元公式

?f[?(x)]?'(x)dx?[?f(?)d?]??

?(x)。例：求?2cos2xdx

解 ?2cos2xdx??cos2x?2dx??cos2x?(2x)'dx??cos?d? 將??2x代入，既得

?2cos2xdx?sin2x?C

(2)第二類換元法：

定理2：設(shè)x??(t)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，并且?'(t)?0.又設(shè)f[?(t)]?'(t)具有原函數(shù)，則有換元公式

?f(x)dx?[?f[?(t)]?'(t)dt]?1其中?(x)是x??(t)的反函數(shù)。

t???1(x)，例：求?dxx?a22(a?0)

22解

∵1?tant?sect，????設(shè)x??tant???t??，那么

2??2x2?a2?a2?a2tan2t?a1?tan2t?asect,dx?asec2tdt，于是

?asec2t??dt??sectdt 22asectx?adx∴?∵sect?∴?dxdxx?a22?lnsect?tant?C

x2?a2，且sect?tant?0 a???C?ln(x?x2?a2)?C，C?C?lna 11??22?xx?a?ln???aax2?a2?

3、分部積分法

定義：設(shè)函數(shù)???(x)及???(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)。那么，兩個函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為

????'??'????'

移項(xiàng)得

??'?(??)'??'?

對這個等式兩邊求不定積分，得

???'dx??????'?dx

此公式為分部積分公式。例：求?xcosxdx 解 ?xcosxdx?xsinx??sinxdx

∴xcosxdx?xsinx?cosx?C ?分部積分的順序：反對冪三指。

4、有理函數(shù)的積分 例：求?x?1dx 2x?5x?62解

∵x?5x?6?(x?3)(x?2)，故設(shè)

x?1AB??

x2?5x?6x?3x?2其中A,B為待定系數(shù)。上式兩端去分母后，得

x?1?A(x?2)?B(x?3)

即

x?1?(A?B)x?2A?3B

比較上式兩端同次冪的系數(shù)，既有

?A?B?1 ??2A?3B??1從而解得

A?4,B??3 于是

x?13??4??dx?4lnx?3?3lnx?2?C ?x2?5x?6dx????x?3x?2?其他有些函數(shù)可以化做有理函數(shù)。

5、積分表的查詢

二、定積分

1、定積分的定義和性質(zhì)

（1）定義：設(shè)函數(shù)f(x)在?a,b?上有界，在?a,b?中任意插入若干個分點(diǎn)

a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b

把區(qū)間?a,b?分成n個小區(qū)間

?x0,x1?,?x1,x2?,?,?xn?1,xn?

各個小區(qū)間的長度依次為

?x1?x1?x0,?x2?x2?x1,?,?xn?xn?xn?1

在每個小區(qū)間?xi?1,xi?上任取一點(diǎn)?i?xi?1??i?xi?，作函數(shù)值f(?i)與小區(qū)間長度?xi的乘積f(?i)?xi?i?1,2,?,n?，并作出和

S??f(?i)?xi

i?1n記??max??x1,?x2,?,?xn?，如果不論對?a,b?怎么劃分，也不論在小區(qū)間xi?1,xi上點(diǎn)?i怎么選取，只要當(dāng)??0時，和S總趨于確定??的極限I，那么稱這個極限I為函數(shù)(簡稱積分)，記作

f(x)在區(qū)間?a,b?上的定積分

?baf(x)dx，即

n?其中變量，baf(x)dx?I?lim?f(?i)?xi

??0i?1f(x)叫做被積函數(shù)，f(x)dx叫做被積表達(dá)式，x叫做積分a叫做積分下限，b叫做積分上限，?a,b?叫做積分區(qū)間。

f(x)在區(qū)間?a,b?上有界，且只有有限個間斷點(diǎn)，則f(x)定理1：設(shè)f(x)在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則f(x)在?a,b?上可積。定理2：設(shè)在?a,b?上可積。（2）性質(zhì)1：

性質(zhì)2：??f(x)?g(x)?dx??abbaf(x)dx??g(x)dx

ab?kf(x)dx?k?abbaf(x)dx

(k是常數(shù))

性質(zhì)3：設(shè)a?c?b，則

?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

accb

性質(zhì)4：如果在區(qū)間?a,b?上f(x)?1，則

?1dx??dx?b?a

aabb

性質(zhì)5：如果在區(qū)間?a,b?上，f(x)?0，則

??babaf(x)dx?0?a?b?

推論1：如果在區(qū)間?a,b?上，f(x)?g(x)，則

f(x)dx??g(x)dx?a?b?

ab

推論2：

?baf(x)dx??f(x)dx(a?b)

ab

性質(zhì)6：設(shè)M及m分別是函數(shù)最小值，則

f(x)在區(qū)間?a,b?上的最大值和m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)(a?b)

ab

性質(zhì)7(定積分中值定理)：如果函數(shù)f(x)在積分區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則在?a,b?上至少存在一個點(diǎn)?，使下式成立

?baf(x)dx?f(?)(b?a)(a???b)

2、微積分基本公式(1)積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

定理1：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)

??x???f(t)dt

ax在?a,b?上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)

dx?'(x)?f(t)dt?f(x)(a?x?b)?adx定理2：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則函數(shù)

?(x)??f(t)dt

ax就是f(x)在區(qū)間?a,b?上的一個原函數(shù)。

f(x)在區(qū)間?a,b?上的一個原函(2)牛頓-萊布尼茨公式

定理3：如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)數(shù)，則

?(1)定積分的換元法 定理：

三、多元函數(shù)微分

四、重積分

五、曲面和曲線積分

baf(x)dx?F(b)?F(a)

3、定積分的換元法和分部積分法