第一篇：考研數(shù)學：高數(shù)重要公式總結(基本積分表)

凱程考研

歷史悠久，專注考研，科學應試，嚴格管理，成就學員！

考研數(shù)學：高數(shù)重要公式總結（基本積

分表）

考研數(shù)學中公式的理解、記憶是最基礎的，其次才能針對具體題型進行基礎知識運用、正確解答。凱程小編總結了高數(shù)中的重要公式，希望能幫助考研生更好的復習。

其實，考研數(shù)學大多題目考查的還是基礎知識的運用，難題異題并不多，只要大家都細心、耐心，都能取得不錯的成績?？佳猩佑团?凱程考研，考研機構，10年高質量輔導，值得信賴！以學員的前途為已任，為學員提供高效、專業(yè)的服務，團隊合作,為學員服務，為學員引路。

凱程考研

歷史悠久，專注考研，科學應試，嚴格管理，成就學員！

凱程考研：

凱程考研成立于2005年，具有悠久的考研輔導歷史，國內首家全日制集訓機構考研，一直從事高端全日制輔導，由李海洋教授、張鑫教授、盧營教授、王洋教授、楊武金教授、張釋然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高級考研教研隊伍組成，為學員全程高質量授課、答疑、測試、督導、報考指導、方法指導、聯(lián)系導師、復試等全方位的考研服務。凱程考研的宗旨：讓學習成為一種習慣； 凱程考研的價值觀：凱旋歸來，前程萬里； 信念：讓每個學員都有好最好的歸宿；

使命：完善全新的教育模式，做中國最專業(yè)的考研輔導機構； 激情：永不言棄，樂觀向上；

敬業(yè)：以專業(yè)的態(tài)度做非凡的事業(yè)；

服務：以學員的前途為已任，為學員提供高效、專業(yè)的服務，團隊合作，為學員服務，為學員引路。

特別說明：凱程學員經(jīng)驗談視頻在凱程官方網(wǎng)站有公布，同學們和家長可以查看。扎扎實實的輔導，真真實實的案例，凱程考研的價值觀：凱旋歸來，前程萬里。

如何選擇考研輔導班：

在考研準備的過程中，會遇到不少困難，尤其對于跨專業(yè)考生的專業(yè)課來說，通過報輔導班來彌補自己復習的不足，可以大大提高復習效率，節(jié)省復習時間，大家可以通過以下幾個方面來考察輔導班，或許能幫你找到適合你的輔導班。

師資力量：師資力量是考察輔導班的首要因素，考生可以針對輔導名師的輔導年限、輔導經(jīng)

凱程考研，考研機構，10年高質量輔導，值得信賴！以學員的前途為已任，為學員提供高效、專業(yè)的服務，團隊合作,為學員服務，為學員引路。

凱程考研

歷史悠久，專注考研，科學應試，嚴格管理，成就學員！

驗、歷年輔導效果、學員評價等因素進行綜合評價，詢問往屆學長然后選擇。判斷師資力量關鍵在于綜合實力，因為任何一門課程，都不是由

一、兩個教師包到底的，是一批教師配合的結果。還要深入了解教師的學術背景、資料著述成就、輔導成就等。凱程考研名師云集，李海洋、張鑫教授、方浩教授、盧營教授、孫浩教授等一大批名師在凱程授課。而有的機構只是很普通的老師授課，對知識點把握和命題方向，欠缺火候。

對該專業(yè)有輔導歷史：必須對該專業(yè)深刻理解，才能深入輔導學員考取該校。在考研輔導班中，從來見過如此輝煌的成績：凱程教育拿下2015五道口金融學院狀元，考取五道口15人，清華經(jīng)管金融碩士10人，人大金融碩士15個，中財和貿大金融碩士合計20人，北師大教育學7人，會計碩士保錄班考取30人，翻譯碩士接近20人，中傳狀元王園璐、鄭家威都是來自凱程，法學方面，凱程在人大、北大、貿大、政法、武漢大學、公安大學等院校斬獲多個法學和法碩狀元，更多專業(yè)成績請查看凱程網(wǎng)站。在凱程官方網(wǎng)站的光榮榜，成功學員經(jīng)驗談視頻特別多，都是凱程戰(zhàn)績的最好證明。對于如此高的成績，凱程集訓營班主任邢老師說，凱程如此優(yōu)異的成績，是與我們凱程嚴格的管理，全方位的輔導是分不開的，很多學生本科都不是名校，某些學生來自二本三本甚至不知名的院校，還有很多是工作了多年才回來考的，大多數(shù)是跨專業(yè)考研，他們的難度大，競爭激烈，沒有嚴格的訓練和同學們的刻苦學習，是很難達到優(yōu)異的成績。最好的辦法是直接和凱程老師詳細溝通一下就清楚了。

凱程考研歷年戰(zhàn)績輝煌，成就顯著！

在考研輔導班中，從來見過如此輝煌的成績：凱程教育拿下國內最高學府清華大學五道口金融學院金融碩士29人，占五道口金融學院錄取總人數(shù)的約50%，五道口金融學院歷年狀元均出自凱程.例如，2014年狀元武玄宇,2013年狀元李少華，2012年狀元馬佳偉，2011年狀元陳玉倩;考入北大經(jīng)院、人大、中財、外經(jīng)貿、復旦、上財、上交、社科院、中科院金融碩士的同學更是喜報連連，總計達到150人以上，此外，還有考入北大清華人大法碩的張博等10人，北大法學考研王少棠，北大法學經(jīng)濟法狀元王yuheng等5人成功考入北大法學院，另外有數(shù)10人考入人大貿大政法公安大學等名校法學院。北師大教育學和全日制教育碩士輔導班學員考入15人，創(chuàng)造了歷年最高成績。會計碩士保錄班考取30多人，中傳鄭家威勇奪中傳新聞傳播碩士狀元，王園璐勇奪中傳全日制藝術碩士狀元，（他們的經(jīng)驗談視頻在凱程官方網(wǎng)站有公布，隨時可以查看播放。）對于如此優(yōu)異的成績，凱程輔導班班主任邢老師說，凱程如此優(yōu)異的成績，是與我們凱程嚴格的管理，全方位的輔導是分不開的，很多學生本科都不是名校，某些學生來自二本三本甚至不知名的院校，還有很多是工作了多年才回來考的，大多數(shù)是跨專業(yè)考研，他們的難度大，競爭激烈，沒有嚴格的訓練和同學們的刻苦學習，是很難達到優(yōu)異的成績。

考研路上，拼搏和堅持，是我們成功的必備要素。

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凱程考研

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王少棠

本科學校：南開大學法學

錄取學校：北大法學國際經(jīng)濟法方向第一名 總分：380+ 在來到凱程輔導之前，王少棠已經(jīng)決定了要拼搏北大法學院，他有自己的理想，對法學的癡迷的追求，決定到最高學府北大進行深造，他的北大的夢想一直激勵著他前進，在凱程輔導班的每一刻，他都認真聽課、與老師溝通，每一個重點知識點都不放過，對于少棠來說，無疑是無比高興的是，圓夢北大法學院。在復試之后，王少棠與凱程老師進行了深入溝通，講解了自己的考研經(jīng)驗，與廣大考北大法學，人大法學、貿大法學等同學們進行了交流，錄制為經(jīng)驗談，在凱程官方網(wǎng)站能夠看到。

王少棠參加的是凱程考研輔導班，回憶自己的輔導班的經(jīng)歷，他說：“這是我一輩子也許學習最投入、最踏實的地方，我有明確的復習目標，有老師制定的學習計劃、有生活老師、班主任、授課老師的管理，每天6點半就起床了，然后是吃早餐，進教室里早讀，8點開始單詞與長難句測試，9點開始上課，中午半小時吃飯，然后又回到教室里學習了，夏天比較困了就在桌子上睡一會，下午接著上課，晚上自習、測試、答疑之類，晚上11點30熄燈睡覺?！?/p>

這樣的生活，貫穿了我在輔導班的整個過程，王少棠對他的北大夢想是如此的堅持，無疑，讓他忘記了在考研路上的辛苦，只有堅持的信念，只有對夢想的勇敢追求。

龔輝堂

本科西北工業(yè)大學物理

考入:五道口金融學院金融碩士(原中國人民銀行研究生部)作為跨地區(qū)跨?？鐚I(yè)的三凱程生,在凱程輔導班里經(jīng)常遇到的,五道口金融學院本身公平的的傳統(tǒng),讓他對五道口充滿了向往,所以他來到了凱程輔導班,在這里嚴格的訓練,近乎嚴苛的要求,使他一個跨專業(yè)的學生,成功考入金融界的黃埔軍校,成為五道口金融學院一名優(yōu)秀的學生,實現(xiàn)了人生的重大轉折。

在凱程考研輔導班，雖然學習很辛苦，但是每天他都能感覺到自己在進步，改變了自己以往在大學期間散漫的學習狀態(tài)，進入了高強度學習狀態(tài)。在這里很多課程讓他收獲巨大，例如公司理財老師，推理演算，非常純熟到位，也是每個學生學習的榜樣，公司理財老師帶過很多學生，考的非常好。在學習過程中，拿下了這塊知識，去食堂午餐時候加一塊雞翅，經(jīng)常用小小的獎勵激勵自己，尋找學習的樂趣。在輔導班里，學習成績顯著上升。

在暑期，輔導班的課程排得非常滿，公共課、專業(yè)課、晚自習、答疑、測試，一天至少12個小時及以上。但是他們仍然特別認真，在這個沒有任何干擾的考研氛圍里，充實地學習。

在經(jīng)過暑期嚴格的訓練之后，龔對自己考入五道口更有信心了。在與老師溝通之后，最終確定了五道口金融學院作為自己最后的抉擇，決定之后，讓他更加發(fā)奮努力。

五道口成績公布，龔輝堂成功了。這個封閉的考研集訓，優(yōu)秀的學習氛圍，讓他感覺有

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凱程考研

歷史悠久，專注考研，科學應試，嚴格管理，成就學員！

質的飛躍，成功的喜悅四處飛揚。

另外，在去年，石繼華，本科安徽大學，成功考入五道口金融學院，也就是說，我們只要努力，方向正確，就能取得優(yōu)異的成績。師弟師妹們加油，五道口、人大、中財、貿大這些名校等著你來。

黃同學(女生)本科院校：中國青年政治學院 報考院校：中國人民大學金融碩士 總分：跨專業(yè)380+ 初試成績非常理想，離不開老師的辛勤輔導，離不開班主任的鼓勵，離不開她的努力，離不開所有關心她的人，圓夢人大金融碩士，實現(xiàn)了跨專業(yè)跨校的金融夢。

黃同學是一個非常靦腆的女孩子，英語基礎算是中等，專業(yè)課是0基礎開始復習，剛剛開始有點吃力，但是隨著課程的展開，完全能夠跟上了節(jié)奏。

初試成績公布下來，雖然考的不錯，班主任老師沒有放松對復試的輔導，確保萬無一失，拿到錄取通知書才是最終的塵埃落地，開始了緊張的復試指導，反復的模擬訓練，常見問題、禮儀訓練，專業(yè)知識訓練，每一個細節(jié)都訓練好之后，班主任終于放心地讓她去復試，果然，她以高分順利通過復試，拿到了錄取通知書。這是所有凱程輔導班班主任、授課老師、生活老師的成功。

張博，從山東理工大學考入北京大學法律碩士，我復習的比較晚，很慶幸選擇了凱程，法碩老師講的很到位，我復習起來減輕了不少負擔。愿大家在考研中馬到成功，也祝愿凱程越辦越好。

張亞婷，海南師范大學小學數(shù)學專業(yè)，考入了北京師范大學教育學部課程與教學論方向，成功實現(xiàn)了自己的北師大夢想。特別感謝凱程的徐影老師全方面的指導。

孫川川，西南大學考入中國傳媒大學藝術碩士，播音主持專業(yè)。在考研輔導班，進步飛快，不受其他打擾，能夠全心全意投入到學習中。凱程老師也很負責，真的很感謝他們。

在凱程考研輔導班，他們在一起創(chuàng)造了一個又一個奇跡。從河南理工大學考入人大會計碩士的李夢說：考取人大，是我的夢想，我一直努力，肯定能夠成功的，只要我們不放棄，不拋棄，并且一直在努力前進創(chuàng)造成功的條件，每個人都能夠成功。正確的方法+不懈的努力+良好的環(huán)境+嚴格的管理=成功。我相信，每個人都能夠成功。

凱程考研，考研機構，10年高質量輔導，值得信賴！以學員的前途為已任，為學員提供高效、專業(yè)的服務，團隊合作,為學員服務，為學員引路。

第二篇：高數(shù)積分總結

高數(shù)積分總結

一、不定積分

1、不定積分的概念也性質

定義1：如果在區(qū)間I上，可導函數(shù)F（x）的導函數(shù)為f(x)，即對任一x?I,都有

F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù)。定義2：在區(qū)間I上，函數(shù)f（x）的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為f（x）（或者f(x)dx）在區(qū)間I上的不定積分，記作

?f(x)dx。

性質1：設函數(shù)f(x)及g(x)的原函數(shù)存在，則

?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx。

性質2：設函數(shù)f(x)的原函數(shù)存在，k為非零常數(shù)，則

?kf(x)dx?k?f(x)dx。

2、換元積分法(1)第一類換元法：

定理1：設f(u)具有原函數(shù)，???(x)可導，則有換元公式

?f[?(x)]?'(x)dx?[?f(?)d?]??

?(x)。例：求?2cos2xdx

解 ?2cos2xdx??cos2x?2dx??cos2x?(2x)'dx??cos?d? 將??2x代入，既得

?2cos2xdx?sin2x?C

(2)第二類換元法：

定理2：設x??(t)是單調的、可導的函數(shù)，并且?'(t)?0.又設f[?(t)]?'(t)具有原函數(shù)，則有換元公式

?f(x)dx?[?f[?(t)]?'(t)dt]?1其中?(x)是x??(t)的反函數(shù)。

t???1(x)，例：求?dxx?a22(a?0)

22解

∵1?tant?sect，????設x??tant???t??，那么

2??2x2?a2?a2?a2tan2t?a1?tan2t?asect,dx?asec2tdt，于是

?asec2t??dt??sectdt 22asectx?adx∴?∵sect?∴?dxdxx?a22?lnsect?tant?C

x2?a2，且sect?tant?0 a???C?ln(x?x2?a2)?C，C?C?lna 11??22?xx?a?ln???aax2?a2?

3、分部積分法

定義：設函數(shù)???(x)及???(x)具有連續(xù)導數(shù)。那么，兩個函數(shù)乘積的導數(shù)公式為

????'??'????'

移項得

??'?(??)'??'?

對這個等式兩邊求不定積分，得

???'dx??????'?dx

此公式為分部積分公式。例：求?xcosxdx 解 ?xcosxdx?xsinx??sinxdx

∴xcosxdx?xsinx?cosx?C ?分部積分的順序：反對冪三指。

4、有理函數(shù)的積分 例：求?x?1dx 2x?5x?62解

∵x?5x?6?(x?3)(x?2)，故設

x?1AB??

x2?5x?6x?3x?2其中A,B為待定系數(shù)。上式兩端去分母后，得

x?1?A(x?2)?B(x?3)

即

x?1?(A?B)x?2A?3B

比較上式兩端同次冪的系數(shù)，既有

?A?B?1 ??2A?3B??1從而解得

A?4,B??3 于是

x?13??4??dx?4lnx?3?3lnx?2?C ?x2?5x?6dx????x?3x?2?其他有些函數(shù)可以化做有理函數(shù)。

5、積分表的查詢

二、定積分

1、定積分的定義和性質

（1）定義：設函數(shù)f(x)在?a,b?上有界，在?a,b?中任意插入若干個分點

a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b

把區(qū)間?a,b?分成n個小區(qū)間

?x0,x1?,?x1,x2?,?,?xn?1,xn?

各個小區(qū)間的長度依次為

?x1?x1?x0,?x2?x2?x1,?,?xn?xn?xn?1

在每個小區(qū)間?xi?1,xi?上任取一點?i?xi?1??i?xi?，作函數(shù)值f(?i)與小區(qū)間長度?xi的乘積f(?i)?xi?i?1,2,?,n?，并作出和

S??f(?i)?xi

i?1n記??max??x1,?x2,?,?xn?，如果不論對?a,b?怎么劃分，也不論在小區(qū)間xi?1,xi上點?i怎么選取，只要當??0時，和S總趨于確定??的極限I，那么稱這個極限I為函數(shù)(簡稱積分)，記作

f(x)在區(qū)間?a,b?上的定積分

?baf(x)dx，即

n?其中變量，baf(x)dx?I?lim?f(?i)?xi

??0i?1f(x)叫做被積函數(shù)，f(x)dx叫做被積表達式，x叫做積分a叫做積分下限，b叫做積分上限，?a,b?叫做積分區(qū)間。

f(x)在區(qū)間?a,b?上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)定理1：設f(x)在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則f(x)在?a,b?上可積。定理2：設在?a,b?上可積。（2）性質1：

性質2：??f(x)?g(x)?dx??abbaf(x)dx??g(x)dx

ab?kf(x)dx?k?abbaf(x)dx

(k是常數(shù))

性質3：設a?c?b，則

?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

accb

性質4：如果在區(qū)間?a,b?上f(x)?1，則

?1dx??dx?b?a

aabb

性質5：如果在區(qū)間?a,b?上，f(x)?0，則

??babaf(x)dx?0?a?b?

推論1：如果在區(qū)間?a,b?上，f(x)?g(x)，則

f(x)dx??g(x)dx?a?b?

ab

推論2：

?baf(x)dx??f(x)dx(a?b)

ab

性質6：設M及m分別是函數(shù)最小值，則

f(x)在區(qū)間?a,b?上的最大值和m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)(a?b)

ab

性質7(定積分中值定理)：如果函數(shù)f(x)在積分區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則在?a,b?上至少存在一個點?，使下式成立

?baf(x)dx?f(?)(b?a)(a???b)

2、微積分基本公式(1)積分上限函數(shù)及其導數(shù)

定理1：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)

??x???f(t)dt

ax在?a,b?上可導，并且它的導數(shù)

dx?'(x)?f(t)dt?f(x)(a?x?b)?adx定理2：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則函數(shù)

?(x)??f(t)dt

ax就是f(x)在區(qū)間?a,b?上的一個原函數(shù)。

f(x)在區(qū)間?a,b?上的一個原函(2)牛頓-萊布尼茨公式

定理3：如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)數(shù)，則

?(1)定積分的換元法 定理：

三、多元函數(shù)微分

四、重積分

五、曲面和曲線積分

baf(x)dx?F(b)?F(a)

3、定積分的換元法和分部積分法

第三篇：高數(shù)積分總結

高數(shù)積分總結

一、不定積分

1、不定積分的概念也性質

定義1：如果在區(qū)間I上，可導函數(shù)F（x）的導函數(shù)為f(x)，即對任一x?I,都有

F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù)。定義2：在區(qū)間I上，函數(shù)f（x）的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為f（x）（或者f(x)dx）在區(qū)間I上的不定積分，記作

?f(x)dx。

性質1：設函數(shù)f(x)及g(x)的原函數(shù)存在，則

?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx。

性質2：設函數(shù)f(x)的原函數(shù)存在，k為非零常數(shù)，則

?kf(x)dx?k?f(x)dx。

2、換元積分法(1)第一類換元法：

定理1：設f(u)具有原函數(shù)，???(x)可導，則有換元公式

?f[?(x)]?'(x)dx?[?f(?)d?]??

?(x)。例：求?2cos2xdx

解 ?2cos2xdx??cos2x?2dx??cos2x?(2x)'dx??cos?d? 將??2x代入，既得

?2cos2xdx?sin2x?C

(2)第二類換元法：

定理2：設x??(t)是單調的、可導的函數(shù)，并且?'(t)?0.又設f[?(t)]?'(t)具有原函數(shù)，則有換元公式

?f(x)dx?[?f[?(t)]?'(t)dt]?1其中?(x)是x??(t)的反函數(shù)。

t???1(x)，例：求?dxx?a22(a?0)

22解

∵1?tant?sect，????設x??tant???t??，那么

2??2x2?a2?a2?a2tan2t?a1?tan2t?asect,dx?asec2tdt，于是

?asec2t??dt??sectdt 22asectx?adx∴?∵sect?∴?dxdxx?a22?lnsect?tant?C

x2?a2，且sect?tant?0 a???C?ln(x?x2?a2)?C，C?C?lna 11??22?xx?a?ln???aax2?a2?

3、分部積分法

定義：設函數(shù)???(x)及???(x)具有連續(xù)導數(shù)。那么，兩個函數(shù)乘積的導數(shù)公式為

????'??'????'

移項得

??'?(??)'??'?

對這個等式兩邊求不定積分，得

???'dx??????'?dx

此公式為分部積分公式。例：求?xcosxdx 解 ?xcosxdx?xsinx??sinxdx

∴xcosxdx?xsinx?cosx?C ?分部積分的順序：反對冪三指。

4、有理函數(shù)的積分 例：求?x?1dx 2x?5x?62解

∵x?5x?6?(x?3)(x?2)，故設

x?1AB??

x2?5x?6x?3x?2其中A,B為待定系數(shù)。上式兩端去分母后，得

x?1?A(x?2)?B(x?3)

即

x?1?(A?B)x?2A?3B

比較上式兩端同次冪的系數(shù)，既有

?A?B?1 ??2A?3B??1從而解得

A?4,B??3 于是

x?13??4??dx?4lnx?3?3lnx?2?C ?x2?5x?6dx????x?3x?2?其他有些函數(shù)可以化做有理函數(shù)。

5、積分表的查詢

二、定積分

1、定積分的定義和性質

（1）定義：設函數(shù)f(x)在?a,b?上有界，在?a,b?中任意插入若干個分點

a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b

把區(qū)間?a,b?分成n個小區(qū)間

?x0,x1?,?x1,x2?,?,?xn?1,xn?

各個小區(qū)間的長度依次為

?x1?x1?x0,?x2?x2?x1,?,?xn?xn?xn?1

在每個小區(qū)間?xi?1,xi?上任取一點?i?xi?1??i?xi?，作函數(shù)值f(?i)與小區(qū)間長度?xi的乘積f(?i)?xi?i?1,2,?,n?，并作出和

S??f(?i)?xi

i?1n記??max??x1,?x2,?,?xn?，如果不論對?a,b?怎么劃分，也不論在小區(qū)間xi?1,xi上點?i怎么選取，只要當??0時，和S總趨于確定??的極限I，那么稱這個極限I為函數(shù)(簡稱積分)，記作

f(x)在區(qū)間?a,b?上的定積分

?baf(x)dx，即

n?其中變量，baf(x)dx?I?lim?f(?i)?xi

??0i?1f(x)叫做被積函數(shù)，f(x)dx叫做被積表達式，x叫做積分a叫做積分下限，b叫做積分上限，?a,b?叫做積分區(qū)間。

f(x)在區(qū)間?a,b?上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)定理1：設f(x)在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則f(x)在?a,b?上可積。定理2：設在?a,b?上可積。（2）性質1：

性質2：??f(x)?g(x)?dx??abbaf(x)dx??g(x)dx

ab?kf(x)dx?k?abbaf(x)dx

(k是常數(shù))

性質3：設a?c?b，則

?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

accb

性質4：如果在區(qū)間?a,b?上f(x)?1，則

?1dx??dx?b?a

aabb

性質5：如果在區(qū)間?a,b?上，f(x)?0，則

??babaf(x)dx?0?a?b?

推論1：如果在區(qū)間?a,b?上，f(x)?g(x)，則

f(x)dx??g(x)dx?a?b?

ab

推論2：

?baf(x)dx??f(x)dx(a?b)

ab

性質6：設M及m分別是函數(shù)最小值，則

f(x)在區(qū)間?a,b?上的最大值和m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)(a?b)

ab

性質7(定積分中值定理)：如果函數(shù)f(x)在積分區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則在?a,b?上至少存在一個點?，使下式成立

?baf(x)dx?f(?)(b?a)(a???b)

2、微積分基本公式(1)積分上限函數(shù)及其導數(shù)

定理1：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)

??x???f(t)dt

ax在?a,b?上可導，并且它的導數(shù)

dx?'(x)?f(t)dt?f(x)(a?x?b)?adx定理2：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則函數(shù)

?(x)??f(t)dt

ax就是f(x)在區(qū)間?a,b?上的一個原函數(shù)。

f(x)在區(qū)間?a,b?上的一個原函(2)牛頓-萊布尼茨公式

定理3：如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)數(shù)，則

?(1)定積分的換元法 定理： 假設函數(shù)?(α)=a,?(β)=b;

baf(x)dx?F(b)?F(a)

3、定積分的換元法和分部積分法

f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，函數(shù)x=?(t)滿足條件: ?(t)在[α,β]上具有連續(xù)導數(shù)，且其值域R?=[a,b],則有

?baf(x)dx??f[?(t)]?(t)dt??'

(1)公式(1)叫做定積分的換元公式(2)定積分的分部積分法

依據(jù)不定積分的分部積分法，可得

?uvdx?[uv]??vdu'aba

三、反常積分

（一）無窮限的反常積分 bab

定義1 設函數(shù)法f(x)在區(qū)間[a,??)上連續(xù)，取t>a,如果極限

lim?t???taf(x)dx

存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間[a,??)上的反常積分，即

???af(x)dx?limt????taf(x)dx

（二）無界函數(shù)的反常積分

定義2 設函數(shù)f(x)在(a,b]上連續(xù)，點a為f(x)的丅點。取t>a,如果極限

lim?t?ba?tf(x)dx

b存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在(a,b]上的反常積分，仍然記作?a即

f(x)dx，?例題 討論反常積分baf(x)dx=

lim?t?ba?tf(x)dx

1?1?dxx的收斂性。21解：被積函數(shù)（fx）=x在積分區(qū)間[-1,1]上除x=0外連續(xù)，且由于

2limx?01x2??

?即反常積分

0dx?1x21?lim(?)?1???xx?0

?0dx?1x2發(fā)散，所以反常積分

?1dx?1x2發(fā)散

定積分?abf?x?dx的積分區(qū)間?a，b?是有限區(qū)間，又f?x?在?a，b?上是有界的，如果積分區(qū)間推廣到無窮區(qū)間或f?x?推廣到無界函數(shù)，就是兩種不同類型的反常積分：

1.無窮區(qū)間上的反常積分（1）概念 定義：?a??f?x?dx?lim?f?x?dxb???ab

f?x?dx??若極限存在，則稱反常積分?a??是收斂的，它的值就是極

是發(fā)散的，而發(fā)散的限值；若極限不存在，則稱反常積分?反常積分沒有值的概念.af?x?dx??b??f?x?dx?lim?f?x?dxa???ab

??同樣有收斂和發(fā)散的概念，收斂的反常積分有值的概念.????f?x?dx??f?x?dx????ccf?x?dx

?lim?f?x?dx?lim?f?x?dxa???ab???ccb

同樣有收斂和發(fā)散的概念，收斂的反常積分有值的概念，值得注意：判斷?要求???c????f?x?dx的收斂性不能用

f?x?dxR????Rlim?Rf?x?dx的極限存在性.必須

??f?x?dx和?c??兩個反常積分都收斂，才能知道?????f?x?dx是收斂的，但是如果已經(jīng)知道?么計算R?????RlimR??f?x?dx是收斂的，而求它的值，那f?x?dx是可以的.（2）常用公式 ???11??, p?1收斂，dx?p?1?xp?? p?1發(fā)散，dx?x(lnx)p?1?????e1??, p?1收斂，du??p?1up?? p?1發(fā)散，???a?收斂(?＞0）xke??xdx??發(fā)散(??0），(k?0）

2.無界函數(shù)的反常積分（瑕積分）（1）概念： ①設baf?x?limf?x????[a，b)x?b在內連續(xù)，且，則稱b為f?x?的瑕點，b???o?af?x?dx?lim???定義

f?x?dx

b若極限存在，則稱反常積分?a若極限不存在，則稱反常積分?a的概念.②設f?x?bbf?x?dx收斂，且它的值就是極限值.f?x?dx發(fā)散，發(fā)散的反常積分沒有值

lim?f?x???(a，b]x在內連續(xù)，且?a，則稱a為f?x?的瑕點，b?0?a??f?x?dx?lim???定義af?x?dx

b若極限存在，則稱反常積分?abf?x?dx收斂，且它的值就是極限值，f?x?dx?若極限不存在，則稱反常積分發(fā)散，它沒有值.a③設的瑕點，f?x?limf?x???[a，c)(c，b]在和皆連續(xù)，且x?C，則稱c為f?x?定義cbC??1ac?baf?x?dx??f?x?dx??f?x?dx?lim???1?0af?x?dx?lim???2?0bC??2f?x?dx

(值得注意：這里判別收斂性時，?1和?2要獨立地取極限，不能都???0用來代替)

f?x?dx?若上面兩個極限都存在時才稱反常積分是收斂的，否則

ab反常積分?abf?x?dx發(fā)散.dx?收斂(q＜1時）?0xq??發(fā)散(q?1時）1（2）常用公式：1

1dxdxq?q?0x?1）類似地考慮（和?1x

最后指出：由于反常積分是變限積分的極限，因此原則上由定積分的運算法則和極限的運算法則就可以得到反常積分的運算法則.(乙)典型例題

一、用常規(guī)方法計算定積分 【例1】 求下列定積分（1）?0（3）?02?x2cosxdx（2）?0

2?23xarctanxdx

ln2ex?1dx2?解（1）?02?xcosxdx=?xdsinx?xsinx0?2?xsinxdx002?2?222?2?

＝2?xdcosx?2xcosx0?2?cosxdx00 ＝4??2sinx0?4?2?

（2）?3013x213x232xarctanxdx??arctanxdx?arctanx0??dx2002221?x

313?1?arctan3???1?dx2?02?1?x? ＝2?＝2?12?3?arctanx03???2?31?2?3???22332

（3）令dx?ex?1?t,x?ln?t2?1?

2tdt,x?02t?1時t?0；x?ln2時，t?1

于是?ln201?2t21?e?1dx??2dt?2??1?dt2?0t?10?1?t? x11???2[t?arctant]0?2?1???4? ＝【例2】 計算下列定積分（分段函數(shù)）（1）??1（3）??231x2?3xdx（2）

0?e1elnxdx

min?1,x2?dx1解（1）??1（2）＝x2?3xdx??1?1?x2?3x?dx???x2?3x?dx?30e11

?e1elnxdx??1??lnx?dx??lnxdxe

??xlnx?x?1??xlnx?x?1?2??1?1ee?1??e?

3（3）?3?2min?1,x2?dx??dx??x2dx??dx??2?11?11113

二、用特殊方法計算定積分 【例1】 計算下列定積分

?（1）I??20f(sinx)dxf(sinx)?f(cosx)

（f為連續(xù)函數(shù)，f(sinx)?f(cosx)?0）

?（2）I??4ln(1?tanx)dx0

解（1）令?x=p-t2，則

I??20?f(cost)??dt,2I??2dt?,I?0f(cost)?f(sint)24

（2）令0x=p-t4，則

?2?1?tant?4I???ln?1?d(?t)?lndt??01?tant1?tant??4

?＝4ln2?I,2I??4ln2,I??8ln2

f?x??lnx??f?x?dx1e【例2】 設連續(xù)函數(shù)f?x?滿足e，求?1ef?x?dx

解 f?x?dx?A?令，則f?x??lnx?A，1兩邊從1到e進行積分，得

?e1f?x?dx??lnxdx??Adx?(xlnx?x)1?A(e?1)11eee

于是

A?e?(e?1)?A(e?1),eA?1,A?e1e

則

?1f?x?dx?1e

三、遞推公式形式的定積分 【例1】

設

In??sinnxdx?n?01，2，?2?0

求證當n?2時，求In 解

（1）

In?n?1In?2n

In??sin2?n?10xd??cosx???sin?2n?1xcosx??cosxd?sinn?1x?22??00

??n?1??cosxsin20n?2xdx??n?1???1?sin2x?sinn?2xdx2?0

??n?1?In?2??n?1?In

nIn??n?1?In?2?2，則

?2In?n?1In?2?n?2?n

?2（2）I0??dx?0，I1??sinxdx?10

當n?2k，正偶數(shù)時，In?I2k?2k?12k?12k?3I2k?2?　　2k2k2k?21　I02

2k?!?2k?!????　　?2k　　22k22?k!?2?2k!?

2I13 當n?2k?1，正奇數(shù)時，In?I2k?1?2k2k2k?2I2k?1?　　2k?12k?12k?122k!???k22k?k!?　?　?2k?1?!?2k?1?!2

2【例2】 設

Jn??cosnxdx?n?01，2，?0?，2，?，求證：Jn?In?n?01

????2x??t，Jn???cos??t?d??t???sinntdt022?2?證

令

?0n1，2，??n?0，則

Jn?In 【例3】 設求證：Kn?Kn??tan2nxdx ?n?1，2，3，4?0?

1?Kn?12n?1

2，3，??n?1，求Kn

解（1）Kn??tan4?2?n?1?0x?sec2x?1?dxxdtanx?Kn?1

（2）??tan4?2?n?1?0

??41?Kn?12n?1

2?42K1??tanxdx?　secx?1?dx??00

4??tanx?x? ?1?40

，??

1???1?1????K2???1??，K3?????1???3?4?5?3?4??

當n?3，正整數(shù)時

Kn???1?n?4???1?n?1k?1n??1????1???2k?1???k?2?

四、重積分

（一）二重積分的性質與概念

定義：設D是錯誤！未找到引用源。面上的有界閉區(qū)域，錯誤！未找到引用源。在D上有界，將區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。既表示第i個小閉區(qū)域又表示它的面積，在每個小區(qū)域錯誤！未找到引用源。上任意取一點錯誤！未找到引用源。，作n個乘積錯誤！未找到引用源。，然后作和式

記錯誤！未找到引用源。，如當錯誤！未找到引用源。時，以上和式有確定的極限，則稱該極限為錯誤！未找到引用源。在區(qū)域D上的二重積分，記作錯誤！未找到引用源?；蝈e誤！未找到引用源。，即

其中錯誤！未找到引用源。稱為被積函數(shù)，錯誤！未找到引用源。稱為被積表達式，錯誤！未找到引用源。稱為面積元素，錯誤！未找到引用源。稱為積分變量，D稱為積分區(qū)域，錯誤！未找到引用源。稱為積分和式 幾何意義

當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。等于以區(qū)域D為底，曲面錯誤！未找到引用源。為頂?shù)那斨w體積；

當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。等于以上所說的曲頂柱體體積的相反數(shù)；

當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。等于區(qū)域D的面積。

1.二重積分的性質

存在性：若錯誤！未找到引用源。在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則錯誤！未找到引用源。存在 線性性質：

區(qū)域可加性

設錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，且錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。只在它們的邊界上相交，則：

有序性

若在區(qū)域D上錯誤！未找到引用源。，則有：

特殊地，有

估值不等式

設錯誤！未找到引用源。在區(qū)域D上有最大值M，最小值m，錯誤！未找到引用源。是D的面積，則有：

積分中值定理

設函數(shù)錯誤！未找到引用源。在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，錯誤！未找到引用源。是D的面積，則至少存在一點錯誤！未找到引用源。，使

錯誤！未找到引用源。

例1 試用二重積分表示極限錯誤！未找到引用源。.解：錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.例2 估計錯誤！未找到引用源。的值，其中錯誤！未找到引用源。解：因為錯誤！未找到引用源。，積分區(qū)域錯誤！未找到引用源。，在D上錯誤！未找到引用源。的最大值錯誤！未找到引用源。，最小值錯誤！未找到引用源。，故:

（二）二重積分的計算

（一）直角坐標系 X型區(qū)域

將區(qū)域D投影到x軸上，投影區(qū)間為錯誤！未找到引用源。，D的邊界上下兩條曲線錯誤！未找到引用源。，則D表示為：

y型區(qū)域

將區(qū)域D投影到y(tǒng)軸上，投影區(qū)間為錯誤！未找到引用源。，D的邊界上下兩條曲線錯誤！未找到引用源。，則D表示為：

例1 計算所圍成的閉區(qū)域。解：，其中D是由直線錯誤！未找到引用源。

（三）二重積分的計算

（二）極坐標系

極點在D外，則D:

極點在D的邊界上，則D:

極點在D內：

例1 計算錯誤！未找到引用源。，其中D為由圓錯誤！未找到引用源。及直線錯誤！未找到引用源。所圍成的平面閉區(qū)域 解： 因為

所以

五、曲面和曲線積分

（一）對弧長的曲線積分（又稱第一類曲線積分）

1、定義

nn? Lf(x,y)ds?lim??0?f(?,?)?s，?iiii?1 ?f(x,y,z)ds?lim?f(?i,?i,?i)?si

??0i?

12、物理意義 線密度為?(x,y)的曲線L質量為M?? L?(x,y)ds

線密度為f(x,y,z)的曲線?質量為M?? ?f(x,y,z)ds

3、幾何意義 曲線L的弧長s?? Lds，曲線?的弧長s?? ?ds

4、若L：f(x,y)?k（常數(shù)），則? Lf(x,y)ds?? Lkds?k? Lds?ks

5、計算（上限大于下限）（1）? ?L:x??(t),y??(t),22 ???t???X，則? Lf(x,y)ds??f??(t),?(t)????(t)?????(t)?dt

（2）L：y??(x)（3）L：x??(y)則?f(x,y(x0?x?X)，)ds??[f,x(?)]x1Lx0Y?(?)?2xdx

2??(?)y.dy

(y0?y?Y)，則?f(x,y)ds??f[?(),y]y1Ly0（4）?:x??(t),y??(t),z??(t).(??t??)，則 ??f(x,y,z)ds??f[?(t),?(t),?(t)]??2(t)???2(t)???2(t)dt??(???)

(二)、對坐標的曲線積分

1、定義

? LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?lim??0??P(?,?)?xiii?1ni?Q(?i,?i)?yi?

??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?lim??0??P(?,?,?iii?1ni)?xi?Q(?i,?i,?i)?yi?R(?i,?i,?i)?zi?

2、計算（下限對應起點，上限對應終點）（1）L:x??(t),y??(t),?t:????，則

?（LP(x,y)dx?Q(x,y)dy??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt

??2）baL：

y??(x)?t:x0?X??t:y0?Y?，則?LPdx?Qdy??{Px?[x?Q,x?x?(?xdx)

（3）dcL：

x??(y)，則?LPdx?Qdy??{P?y[y??y(?Q?y)ydy，（4）?:x??(t),y??(t),z??(t).(t:???)，則

??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz

??{P[?(t),?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t),?(t)]??(t)?R[?(t),?(t),?(t)]??(t)}dt

??

3、兩類曲線積分之間的聯(lián)系

?LPdx?Qdy??(Pcos??Qcos?)ds

L?(x,y),?(x,y)為有向曲線弧L上點(x,y)處的切線向量的方向角。其中，??Pdx?Qdy?Rdz??(Pcos??Qcos??Rcos?)ds，?其中?(x,y,z),?(x,y,z),?(x,y,z)為有向曲線弧?上點(x,y,z)處切向量的方向角。

(三)、格林公式及其應用

1、格林公式 個邊界曲線

2、平面上曲線積分與路徑無關的條件（D為單連通區(qū)域）??(D?Q?P?)dxdy??Pdx?Qdy 其中L是D的取正向的整L?x?y定理 設D是單連通閉區(qū)域，若P(x,y),Q(x,y)在D內連續(xù)，且具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則以下四個條件等價：

(i)沿D內任一按段光滑封閉曲線L，有?LPdx?Qdy?0；

(ii)對D內任一光滑曲線L，曲線積分?LPdx?Qdy與路徑無關，只與L的起點和終點有關；(iii)Pdx?Qdy是D內某一函數(shù)u(x,y)的全微分，即在D內有du?Pdx?Qd；y

(iv)在D內處處成立

注 若(x,y)(x0,y0)?P?Q? ?y?x?P?Q?x?D?y?x 則

Pdx?Qdy的全微分u(x,y)??P(x,y)dx?Q(x,y)dy：

xyx0y0u(x,y)??P(x,y0)dx??Q(x,y)dyu(x,y)??Q(x0,y)dy??P(x,y)dx

y0x0yx

或

(四)、對面積的曲面積分

1、定義

?f(?,?,?)?S ??f(x,y,z)dS?lim???0iiiii?1n2、物理意義： ??f(x,y,z)dS表示面密度為f(x,y,z)的光滑曲面?的質量。?

3、幾何意義

曲面?的面積S???dS

?

4、若?：f(x,y,z)?k（常數(shù)），則??f(x,y,z)dS=??kdS=k??dS=kS

???

5、計算（一投、二代、三換元）（S1）D?:z?z(x,y)，(x,y)?Dxy，則

??f(x,y,z)dS???f(x,y,z(x,y))（2）Dxz221?zx?zydxdy

?:y?y(x,z)22，(x,z)?Dxz，則???f(x,y,z)dS????f[x,y(x,z),z]1?y?;x?yzdxdz?：x?x(y,z)（?3）Dyz，(y,z)?Dyz，則??f(x,y,z)dS???f[x(y,z),y,z]2?21?x?y?xzdydz。(五)、對坐標的曲面積分

1、定義

?R(?,?,?)(?S)??R(x,y,z)dxdy?lim???0iiii?1nixy

?P(?,?,?)(?S)??P(x,y,z)dydz?lim???0iiiii?1nyz?Q(?,?,?)(?S)??Q(x,y,z)dzdx?lim???0iiiizxi?1n2、物理意義

流量????P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy。

?????P(x,y,z)cos??Q(x,y,z)cos??R(x,y,z)cos??dS????vdS

?

3、計算（一投、二代、三定號）

?:z?z(x,y)，（1）則??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy（上(x,y)?Dxy，?Dxy側取正，下側取負）

（2）則??P(x,y,z)dydz????P[x(y,z),y,z]dydz（前(x,z)?Dxz，?:x?x(y,z)，?Dyz側取正，后側取負）

（3）?:y?y(z,x)(y,z)?Dyz，則??Q(x,y,z)dzdx????Q[x,y(z,x),z]dzdx（右

?Dzx側取正，左側取負）

4、兩類曲面積分之間的聯(lián)系

??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)dS，??dS?dydzdzdxdxdy?? cos?cos?cos?其中cos?,cos?,cos?為有向曲面Σ上點(x,y,z)處的法向量的方向余弦(六)、高斯公式

1、高斯公式

?P?Q?R??)dv???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)dS ?x?y?z?????(??,?,?是?上點(x,y,z)處的法向量其中?為?的整個邊界曲面的外側，的方向角。

????

2、通量 向量場A?Pi?Qj?Rk，沿場中有向曲面Σ????0????A?dS???A?ndS???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy ?稱為向量場A(x,y,z)向正側穿過曲面Σ的通量 ??????P?Q?R????

3、散度 設A?Pi?Qj?Rk，則divA??

?x?y?z(七)、斯托克斯公式

1、Stokes公式

dydzdzdxdxdy?????x?y?zPQRcos???xPcos???yQ?????(??R?Q?P?R?Q?P?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy ?y?z?z?x?x?y=???cos???R?Q??Q?P?P?R??)cos??(?)cos??(?)cos??dSds=???(?y?z?z?x?x?y?z???R??Pdx?Qdy?Rdz

?其中有向曲線?是有向曲面?的整個邊界，且滿足右手系法則

2、環(huán)流量 向量場A?Pi?Qj?Rk沿場A中某一封閉的有向曲線C上的曲線積分???????CA?ds??CPdx?Qdy?Rdz稱為向量場A沿曲線C按所取

ij??yQk??dS ?zR方向的環(huán)流量。環(huán)流量??i?

3、旋度

向量?xPj??yQ?CA?ds??????xPk?????為向量場A?Pi?Qj?Rk的旋度(rotA)。?zRi?旋度

rotA??xPj??yQk??R?Q??P?R??Q?P??(?)i?(?)j?(?)k.?z?y?z?z?x?x?yR

第四篇：高數(shù)積分總結

第四章 一元函數(shù)的積分及其應用

第一節(jié) 不定積分

一、原函數(shù)與不定積分的概念

定義1.設f(x)是定義在某區(qū)間的已知函數(shù)，若存在函數(shù)F(x)，使得F?(x)或dF?f(x)(x)?f(x)dx,則稱F(x)為f(x)的一個原函數(shù)

定義2.函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)F(x)?C叫做f(x)的不定積分，記為:

?f(x)dx?F(x)?C

f(x)叫做被積函數(shù) f(x)dx叫做被積表達式 C叫做積分常數(shù)

“?其中

”叫做積分號

二、不定積分的性質和基本積分公式

性質1.不定積分的導數(shù)等于被積函數(shù)，不定積分的微分等于被積表達式，即

?f(x)dx??f(x)；d?f(x)dx?f(x)dx.?性質2.函數(shù)的導數(shù)或微分的不定積分等于該函數(shù)加上一個任意函數(shù)，即

??f?(x)dx?f(x)?C,或?df(x)?f(x)?C

性質3.非零的常數(shù)因子可以由積分號內提出來，即

?kf(x)dx?k?f(x)dx(k?0).性質4.兩個函數(shù)的代數(shù)和的不定積分等于每個函數(shù)不定積分的代數(shù)和，即

??f(x)?g(x)?dx??f(x)dx??g(x)dx

基本積分公式(1)?kdx?kx?C(k為常數(shù))(2)?x?dx?1??1x??1?C(???1)1(3)?dx?lnx?C x

(4)?exdx?ex?C(6)?cosxdx?sinx?C(8)?sec2xdx?tanx?C(10)?secxtanxdx?secx?C(12)?secxdx?lnsecx?tanx?C(14)?(16)?11?x11?x2(5)?axdx?axlna?C(7)?sinxdx??cosx?C(9)?csc2xdx??cotx?C

(11)?cscxcotxdx??cscx?C

(13)?cscxdx?lncscx?cotx?C(15)? 11?x22dx?arctanx?C dx?arcsinx?C dx?arcsinx?C

三、換元積分法和分部積分法

定理1.設?(x)可導，并且f(u)du?F(u)?C.則有

??f[?(x)]??(x)dxF(u)?C湊微分?f[?(x)]d?(x)令u??(x)

?f(u)du代回u??(x)F(?(x))?C該方法叫第一換元積分法(integration by substitution)，也稱湊微分法． 定理2.設x數(shù)F??(t)是可微函數(shù)且??(t)?0，若f(?(t))??(t)具有原函(t)，則

x???t?換元?f?x?dx ?f????t??????t?dt積分F?t??Ct???1?x?回代?1F???x?????C.該方法叫第二換元積分法

選取u及v?(或dv)的原則:

1)v 容易求得;2)?u?vdx比?uv?dx

解題技巧: 選取u及v?的一般方法:

把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積 ,按 “ 反對冪指三” 的順序，第二節(jié) 定積分概念

一、原函數(shù)與不定積分的概念

二、定積分的定義和存在定理

三、定積分的幾何意義與定積分的性質 1．定積分的幾何意義 2.定積分的性質

性質1.?b[f(x)?g(x)]dx?bf(x)dx??bg(x)dx

?aaa性質2.b?akf(x)dx?k?af(x)dx

(k是常數(shù)).前者為u后者為v?..b性質3.性質4.??af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx.babcbf(x)dx??adx?b?a.b f(x)dx??af(x)dx?abb推論1.如果在[a,b] 上，f(x)?g(x),則bf(x)dx?bg(x)dx(a

(a?b).性質6.設M與m分別是函數(shù)

f(x)在[a,b]上的最大值及最小值，則

m(b?a)??abf(x)dx?M(b?a)(a?b).性質7.(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]]上至少存在一點?，使下式成立：

?af(x)dx?f(?)(b?a)(ab???b)

可積的充分條件:

定理1.函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]可積.定理2.函數(shù)f(x)在[a,b]上有界,且只有有限個間斷點，則f(x)在[a,b]可積.第三節(jié) 微積分基本公式

一、微積分基本公式 1.變上限函數(shù)

定義1.設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則它在[a,b]任意一個子區(qū)間[a,x]上可積，則

?(x)?xf(t)dx

(a?x?b)

?a是上限變量的函數(shù)，稱此函數(shù)為積分上限函數(shù)，也稱為變上限函數(shù).2.微積分基本公式

定理2.bf(x)dx?F(b)?F(a)x?a

1.定積分的換元積分法

定理3.bf(x)dx??f??(t)???(t)dt ???a

注：設f(x)在[?a,a]上連續(xù),證明

(1)若f(x)在[?a,a]為偶函數(shù)，則 af(x)dx=2af(x)dx；

??a?0(2)若f(x)在[?a,a]上為奇函數(shù)，則 af(x)dx=0.??a2.定積分的分部積分法

定理4.budv?[uv]b?bvdu ?aa?a 第四節(jié)

定積分的應用（這點跟高中無異，于是乎就偷懶了=v=~）

一、定積分的微元法 其實質是找出A的微元dA的微分表達式.b

二、定積分在幾何中的應用 1.平面圖形的面積 A??af(x)dx.2.旋轉體的體積V?bA(x)dx ?a

三、定積分在物理上的應用 1.變力做功W?bF(x)dx

?a2.液體靜壓F?bg?xf(x)dx ?a

四、定積分在醫(yī)學上的應用

第五篇：考研數(shù)學高數(shù)重要知識點

考研數(shù)學高數(shù)重要知識點

摘要：從整個學科上來看，高數(shù)實際上是圍繞著、導數(shù)和積分這三種基本的運算展開的。對于每一種運算，我們首先要掌握它們主要的計算方法;熟練掌握計算方法后，再思考利用這種運算我們還可以解決哪些問題，比如會計算以后：那么我們就能解決函數(shù)的連續(xù)性，函數(shù)間斷點的分類，導數(shù)的定義這些問題。這樣一梳理，整個高數(shù)的邏輯體系就會比較清晰。

函數(shù)部分：

函數(shù)的計算方法很多，總結起來有十多種，這里我們只列出主要的：四則運算，等價無窮小替換，洛必達法則，重要，泰勒公式，中值定理，夾逼定理，單調有界收斂定理。每種方法具體的形式教材上都有詳細的講述，考生可以自己回顧一下，不太清晰的地方再翻到對應的章節(jié)看一看。

接下來，我們來說說直接通過定義的基本概念：

通過，我們定義了函數(shù)的連續(xù)性：函數(shù)在處連續(xù)的定義是，根據(jù)的定義，我們知道該定義又等價于。所以討論函數(shù)的連續(xù)性就是計算。然后是間斷點的分類，討論函數(shù)間斷點的分類，需要計算左右。

再往后就是導數(shù)的定義了，函數(shù)在處可導的定義是存在，也可以寫成存在。這里的式與前面相比要復雜一點，但本質上是一樣的。最后還有可微的定義，函數(shù)在處可微的定義是存在只與有關而與無關的常數(shù)使得時，有，其中。直接利用其定義，我們可以證明函數(shù)在一點可導和可微是等價的，它們都強于函數(shù)在該點連續(xù)。

以上就是這個體系下主要的知識點。

導數(shù)部分：

導數(shù)可以通過其定義計算，比如對分段函數(shù)在分段點上的導數(shù)。但更多的時候，我們是直接通過各種求導法則來計算的。主要的求導法則有下面這些：四則運算，復合函數(shù)求導法則，反函數(shù)求導法則，變上限積分求導。其中變上限積分求導公式本質上應該是積分學的內容，但出題的時候一般是和導數(shù)這一塊的知識點一起出的，所以我們就把它歸到求導法則里面了。

能熟練運用這些基本的求導法則之后，我們還需要掌握幾種特殊形式的函數(shù)導數(shù)的計算：隱函數(shù)求導，參數(shù)方程求導。我們對導數(shù)的要求是不能有不會算的導數(shù)。這一部分的題目往往不難，但計算量比較大，需要考生有較高的熟練度。

然后是導數(shù)的應用。導數(shù)主要有如下幾個方面的應用：切線，單調性，極值，拐點。每一部分都有一系列相關的定理，考生自行回顧一下。

這中間導數(shù)與單調性的關系是核心的考點，考試在考查這一塊時主要有三種考法：

①求單調區(qū)間或證明單調性;

②證明不等式;

③討論方程根的個數(shù)。

同時，導數(shù)與單調性的關系還是理解極值與拐點部分相關定理的基礎。另外，數(shù)學三的考生還需要注意導數(shù)的經(jīng)濟學應用;數(shù)學一和數(shù)學二的考生還要掌握曲率的計算公式。

積分部分：

一元函數(shù)積分學首先可以分成不定積分和定積分，其中不定積分是計算定積分的基礎。對于不定積分，我們主要掌握它的計算方法：第一類換元法，第二類換元法，分部積分法。這三種方法要融會貫通，掌握各種常見形式函數(shù)的積分方法。

熟練掌握不定積分的計算技巧之后再來看一看定積分。定積分的定義考生需要稍微注意一下，考試對定積分的定義的要求其實就是兩個方面：會用定積分的定義計算一些簡單的;理解微元法(分割、近似、求和、取)。至于可積性的嚴格定義，考生沒有必要掌握。

然后是定積分這一塊相關的定理和性質，這中間我們就提醒考生注意兩個定理：積分中值定理和微積分基本定理。這兩個定理的條件要記清楚，證明過程也要掌握，考試都直接或間接地考過。

至于定積分的計算，我們主要的方法是利用牛頓—萊布尼茲公式借助不定積分進行計算，當然還可以利用一些定積分的特殊性質(如對稱區(qū)間上的積分)。

一般來說，只要不定積分的計算沒問題，定積分的計算也就不成問題。定積分之后還有個廣義積分，它實際上就是把積分過程和求的過程結合起來了?？荚噷@一部分的要求不太高，只要掌握常見的廣義積分收斂性的判別，再會進行一些簡單的計算就可以了。

會計算積分了，再來看一看定積分的應用。定積分的應用分為幾何應用和物理應用。其中幾何應用包括平面圖形面積的計算，簡單的幾何體(主要是旋轉體)體積的計算，曲線弧長的計算，旋轉曲面面積的計算。物理應用主要是一些常見物理量的計算，包括功，壓力，質心，引力，轉動慣量等。其中數(shù)學一和數(shù)學二的考生需要全部掌握;數(shù)學三的考生只需掌握平面圖形面積的計算，簡單的幾何體(主要是旋轉體)體積的計算。這一部分題目的綜合性往往比較強，對考生綜合能力要求較高。

這就是高等數(shù)學整個學科從三種基本運算的角度梳理出來的主要知識點。除此之外，考生需要掌握的知識點還有多元函數(shù)微積分，它實際上是將一元函數(shù)中的，連續(xù)，可導，可微，積分等概念推廣到了多元函數(shù)的情況，考生可以按照上面一樣的思路來總結。